Üç genişletilmemiş köşe ve bir genişletilmiş köşe. Gelişmiş, geniş, dikey ve gelişmemiş: geometri açı türleri

Öğrenciler açı kavramına aşina olurlar. ilkokul. Ancak belirli özelliklere sahip geometrik bir şekil olarak onu 7. sınıftan itibaren geometride çalışmaya başlıyorlar. Öyle gibi, oldukça basit bir rakam, onun hakkında ne söylenebilir? Ancak yeni bilgiler edinen okul çocukları, bu konuda oldukça ilginç gerçekleri öğrenebileceklerini giderek daha fazla anlıyorlar.

Temas halinde

Çalışıldığında

Okul geometri dersi iki bölüme ayrılmıştır: planimetri ve stereometri. Her birinde hatırı sayılır bir dikkat var köşelere verilir:

• Planimetride temel kavramları verilmekte ve boyutlarına göre türleri tanıtılmaktadır. Her üçgen türünün özellikleri daha ayrıntılı olarak incelenmiştir. Öğrenciler için yeni tanımlar ortaya çıkıyor - bunlar iki düz çizginin birbiriyle kesişmesi ve birkaç düz çizginin enine çizgilerle kesişmesiyle oluşan geometrik şekillerdir.
• Stereometride uzamsal açılar incelenir - dihedral ve trihedral.

Dikkat! Bu makale planimetrideki açıların tüm türlerini ve özelliklerini tartışmaktadır.

Tanım ve ölçüm

Çalışmaya başlarken öncelikle belirleyin açı nedir planimetride.

Düzlemde belirli bir noktayı alıp ondan iki rastgele ışın çizersek, aşağıdaki unsurlardan oluşan geometrik bir şekil - bir açı elde ederiz:

• tepe noktası - Latin alfabesinin büyük harfiyle gösterilen, ışınların çekildiği nokta;
• kenarlar tepe noktasından çizilen yarı düz çizgilerdir.

Düşündüğümüz şekli oluşturan tüm unsurlar düzlemi ikiye böler iki parça:

• iç - planimetride 180 dereceyi geçmez;
• harici.

Planimetride açıları ölçme prensibi sezgisel bir temelde açıklanmıştır. Başlangıç ​​olarak öğrencilere döndürülmüş açı kavramı tanıtılır.

Önemli! Bir açının tepe noktasından çıkan yarım çizgiler düz bir çizgi oluşturuyorsa açının gelişmiş olduğu söylenir. Gelişmemiş açı diğer tüm durumlardır.

180 eşit parçaya bölünürse bir parçanın ölçüsünün 10'a eşit olduğunu düşünmek gelenekseldir. Bu durumda ölçümün derece cinsinden yapıldığını ve böyle bir rakamın derece ölçüsünün 180 olduğunu söylerler. derece.

Ana türler

Açı türleri, dereceleri, oluşumlarının niteliği ve aşağıda sunulan kategoriler gibi kriterlere göre bölünmüştür.

Boyuta göre

Büyüklük dikkate alınarak açılar aşağıdakilere ayrılır:

• genişletilmiş;
• dümdüz;
• köreltmek;
• baharatlı.

Hangi açının açılmış olarak adlandırıldığı yukarıda sunulmuştur. Doğrudan kavramını tanımlayalım.

Genişletilmiş olanı iki eşit parçaya bölerek elde edilebilir. Bu durumda şu soruyu cevaplamak kolaydır: Dik açı kaç derecedir?

180 derecelik açılımı 2'ye bölersek şunu elde ederiz dik açı 90 derecedir. Bu harika bir rakam çünkü geometrideki birçok gerçek onunla bağlantılı.

Ayrıca atamada kendine has özellikleri vardır. Şekilde dik açıyı göstermek için yay değil kare ile gösterilmiştir.

Düz bir çizginin rastgele bir ışınla bölünmesiyle elde edilen açılara dar açı denir. Mantıksal olarak bundan dar açının dik açıdan küçük olduğu ancak ölçüsünün 0 dereceden farklı olduğu sonucu çıkar. Yani 0 ila 90 derece arasında bir değere sahiptir.

Geniş açı, dik açıdan daha büyük, ancak düz açıdan daha küçüktür. Derece ölçüsü 90 ila 180 derece arasında değişir.

Bu eleman ikiye ayrılabilir farklı şekiller Açılmamış olan hariç, söz konusu figürlerin.

Döndürülmemiş açının nasıl bölündüğüne bakılmaksızın, planimetrinin temel aksiyomu her zaman kullanılır - "ölçümün temel özelliği".

Şu tarihte: bir açıyı bir ışınla bölmek veya daha fazla sayıda, belirli bir şeklin derece ölçüsü, bölündüğü açıların ölçülerinin toplamına eşittir.

7.sınıf düzeyinde boyutlarına göre açı çeşitleri burada bitmektedir. Ancak bilgiyi arttırmak için, derece ölçüsü 180 dereceden büyük olan başka çeşitlerin de olduğunu ekleyebiliriz, bunlara dışbükey denir.

Çizgilerin kesişimindeki şekiller

Öğrencilere tanıtılacak sonraki açı türleri, iki düz çizginin kesişmesiyle oluşan elemanlardır. Karşılıklı yerleştirilen şekillere dikey denir. Ayırt edici özellikleri eşit olmalarıdır.

Aynı doğruya bitişik olan elemanlara bitişik denir. Mülklerini yansıtan teorem şunu söylüyor: komşu açıların toplamı 180 dereceye kadar çıkar.

Bir üçgenin elemanları

Şekli bir üçgenin elemanı olarak düşünürsek, açılar iç ve dış olarak ayrılır. Bir üçgen üç parçayla sınırlanmıştır ve üç köşeden oluşur. Her köşede üçgenin içinde bulunan açılar dahili denir.

Herhangi bir köşedeki herhangi bir iç elemanı alıp herhangi bir kenarı uzatırsak, oluşan ve iç açıya bitişik olan açıya dış denir. Bu eleman çifti şu özelliğe sahiptir: toplamları 180 dereceye eşittir.

İki düz çizginin kesişimi

Çizgilerin kesişimi

İki düz çizgi bir enine çizgiyle kesiştiğinde açılar da oluşur. genellikle çiftler halinde dağıtılır. Her öğe çiftinin kendi adı vardır. Şuna benziyor:

• iç çapraz yatma: ∟4 ve ∟6, ∟3 ve ∟5;
• dahili tek taraflı: ∟4 ve ∟5, ∟3 ve ∟6;
• karşılık gelen: ∟1 ve ∟5, ∟2 ve ∟6, ∟4 ve ∟8, ∟3 ve ∟7.

Bir sekantın iki çizgiyi kesmesi durumunda, tüm bu açı çiftlerinin belirli özellikleri vardır:

1. İç çapraz uzanma ve karşılık gelen rakamlar birbirine eşittir.
2. Dahili tek yönlü elemanların toplamı 180 dereceye kadar çıkar.

Geometride açıları, özelliklerini inceliyoruz

Matematikte açı türleri

Çözüm

Bu makale, planimetride bulunan ve yedinci sınıfta incelenen tüm ana açı türlerini sunmaktadır. Sonraki tüm derslerde, dikkate alınan tüm elemanların özellikleri, geometrinin ileriki çalışmaları için temel oluşturur. Örneğin, çalışırken, iki paralel çizgi bir enine çizgiyle kesiştiğinde oluşan açıların tüm özelliklerini hatırlamanız gerekecektir. Üçgenlerin özelliklerini incelerken komşu açıların ne olduğunu hatırlamak gerekir. Stereometriye geçildiğinde, tüm hacimsel şekiller incelenecek ve planimetrik şekillere dayalı olarak oluşturulacaktır.

Açı denir geometrik şekil bir noktadan çıkan iki farklı ışından oluşur. Bu durumda bu ışınlara açının kenarları denir. Işınların başlangıç ​​noktası olan noktaya açının tepe noktası denir. Resimde noktanın tepe noktasıyla olan açısını görebilirsiniz. HAKKINDA ve taraflar k Ve M.

Açının kenarlarında A ve C noktaları işaretlenmiştir, bu açı AOC açısı olarak gösterilebilir. Ortada açının tepe noktasının bulunduğu noktanın adı bulunmalıdır. Başka tanımlamalar da vardır, O açısı veya km açısı. Geometride genellikle açı kelimesi yerine özel bir sembol yazılır.

Geliştirilmiş ve genişletilmemiş açı

Bir açının her iki tarafı da aynı doğru üzerinde bulunuyorsa bu açıya denir. genişletilmiş açı. Yani açının bir tarafı diğer tarafının devamıdır. Aşağıdaki şekil genişletilmiş O açısını göstermektedir.

Herhangi bir açının düzlemi iki parçaya böldüğüne dikkat edilmelidir. Açı açılmamışsa parçalardan birine açının iç bölgesi, diğerine ise bu açının dış bölgesi denir. Aşağıdaki şekil gelişmemiş bir açıyı göstermekte ve bu açının dış ve iç bölgelerini göstermektedir.

Gelişmiş bir açı olması durumunda, düzlemi böldüğü iki parçadan herhangi biri açının dış bölgesi olarak düşünülebilir. Bir noktanın açıya göre konumu hakkında konuşabiliriz. Bir nokta köşenin dışında (dış bölgede), kenarlarından birinde yer alabilir veya köşenin içinde (iç bölgede) bulunabilir.

Aşağıdaki şekilde A noktası O açısının dışında, B noktası açının bir tarafında ve C noktası açının içinde yer almaktadır.

Açıların ölçülmesi

Açıları ölçmek için iletki adı verilen bir cihaz vardır. Açı birimi derece. Her açının sıfırdan büyük belirli bir derece ölçüsü olduğuna dikkat edilmelidir.

Derece ölçüsüne bağlı olarak açılar birkaç gruba ayrılır.

Açının ne olduğunu tanımlayarak başlayalım. Birincisi, ikincisi, açının kenarları adı verilen iki ışından oluşur. Üçüncüsü, ikincisi açının tepe noktası adı verilen bir noktadan çıkar. Bu özelliklere dayanarak bir tanım oluşturabiliriz: Açı, bir noktadan (tepe noktasından) çıkan iki ışından (kenardan) oluşan geometrik bir şekildir.

Derece değerine, birbirlerine göre konumlarına ve daireye göre sınıflandırılırlar. Büyüklüklerine göre açı türleriyle başlayalım.

Bunların birkaç çeşidi vardır. Her türe daha yakından bakalım.

Yalnızca dört ana açı türü vardır - düz, geniş, dar ve düz açılar.

Dümdüz

Şuna benziyor:

Derece ölçüsü her zaman 90 derecedir, yani dik açı 90 derecelik açıdır. Yalnızca kare ve dikdörtgen gibi dörtgenler bunlara sahiptir.

Köreltmek

Şuna benziyor:

Derece ölçüsü her zaman 90 dereceden fazla, ancak 180 dereceden küçüktür. Eşkenar dörtgen, keyfi bir paralelkenar gibi dörtgenlerde ve çokgenlerde bulunabilir.

Baharatlı

Şuna benziyor:

Dar açının derece ölçüsü her zaman 90°'den küçüktür. Kare ve paralelkenar dışındaki tüm dörtgenlerde bulunur.

Genişletilmiş

Açılmamış açı şuna benzer:

Çokgenlerde görülmez ancak diğerlerinden daha az önemli değildir. Düz açı, derecesi ölçüsü her zaman 180° olan geometrik bir şekildir. Üstünden herhangi bir yönde bir veya daha fazla ışın çizerek üzerine inşa edebilirsiniz.

Başka birkaç küçük açı türü daha vardır. Okullarda okutulmuyor ama en azından varlıklarını bilmek gerekiyor. Yalnızca beş ikincil açı türü vardır:

1. Sıfır

Şuna benziyor:

Açının adı zaten boyutunu gösteriyor. İç alanı 0° olup, şekilde görüldüğü gibi kenarlar üst üste gelmektedir.

2. Eğik

Eğik açı, düz açı, geniş açı, dar açı veya düz açı olabilir. Temel şartı 0 o, 90 o, 180 o, 270 o’ya eşit olmamasıdır.

3. Dışbükey

Dışbükey açılar sıfır, düz, geniş, dar ve düz açılardır. Zaten anladığınız gibi, dışbükey açının derece ölçüsü 0° ila 180° arasındadır.

4. Dışbükey olmayan

Derece ölçüleri 181°'den 359°'ye kadar olan açılar dışbükey değildir.

5. Tam

Tam açı 360 derecedir.

Bunların hepsi büyüklüklerine göre açı türleridir. Şimdi bunların uçaktaki birbirlerine göre konumlarına göre türlerine bakalım.

1. Ek

Bunlar bir düz çizgi oluşturan iki dar açıdır; toplamları 90 o'dur.

2. Bitişik

Bir ışın açılmamış açıdan veya daha doğrusu tepe noktasından herhangi bir yönde geçirilirse bitişik açılar oluşur. Toplamları 180o'dur.

3. Dikey

İki düz çizgi kesiştiğinde dikey açılar oluşur. Derece ölçüleri eşittir.

Şimdi daireye göre konumlanan açı türlerine geçelim. Bunlardan sadece ikisi var: merkezi ve yazılı.

1. Merkezi

Merkezi açı, tepe noktası çemberin merkezinde olan açıdır. Derece ölçüsü, kenarların gördüğü daha küçük yayın derece ölçüsüne eşittir.

2. Yazılı

Yazılı açı, tepe noktası bir daire üzerinde bulunan ve kenarları onunla kesişen bir açıdır. Derece ölçüsü durduğu yayın yarısına eşittir.

Açılar için bu kadar. Artık, en ünlü olanlara (dar, geniş, düz ve konuşlandırılmış) ek olarak geometride bunların başka birçok türü olduğunu biliyorsunuz.

Bu makalede temel geometrik şekillerden biri olan açı tartışılacaktır. Bu kavrama genel bir giriş yaptıktan sonra şu konulara odaklanacağız: ayrı türler böyle bir rakam. Düz açı geometride önemli bir kavramdır ve bu makalenin ana konusu da bu olacaktır.

Geometrik Açıya Giriş

Geometride tüm bilimlerin temelini oluşturan çok sayıda nesne vardır. Açı bunlara atıfta bulunur ve ışın kavramı kullanılarak tanımlanır, o yüzden onunla başlayalım.

Ayrıca, açının kendisini belirlemeye başlamadan önce, geometrideki eşit derecede önemli birkaç nesneyi hatırlamanız gerekir - bu bir nokta, bir düzlemdeki düz bir çizgi ve düzlemin kendisidir. Düz çizgi, başlangıcı ve sonu olmayan en basit geometrik şekildir. Düzlem iki boyutlu bir yüzeydir. Geometride bir ışın (veya yarım çizgi), başlangıcı olan ancak sonu olmayan bir çizginin parçasıdır.

Bu kavramları kullanarak açının, tamamen belirli bir düzlemde yer alan ve ortak kökene sahip iki farklı ışından oluşan geometrik bir şekil olduğunu söyleyebiliriz. Bu tür ışınlara bir açının kenarları denir ve kenarların ortak başlangıcı köşe noktasıdır.

Açı türleri ve geometri

Açıların tamamen farklı olabileceğini biliyoruz. Bu nedenle, biraz aşağıda açı türlerini ve ana özelliklerini daha iyi anlamanıza yardımcı olacak küçük bir sınıflandırma olacaktır. Dolayısıyla geometride birkaç tür açı vardır:

1. Sağ açı. 90 derecelik bir değerle karakterize edilir, bu da kenarlarının her zaman birbirine dik olduğu anlamına gelir.
2. Keskin köşe. Bu açılar, boyutları 90 dereceden küçük olan tüm temsilcilerini içerir.
3. Geniş açı. Burada 90 ila 180 derece arasında değişen tüm açılar olabilir.
4. Açılmış köşe. Kesinlikle 180 derecelik bir boyuta sahiptir ve dıştan kenarları tek bir düz çizgi oluşturur.

Doğru açı kavramı

Şimdi döndürülmüş açıya daha detaylı bakalım. Bu, her iki tarafın da aynı düz çizgi üzerinde olduğu durumdur ve bu, şekilde biraz daha aşağıda açıkça görülebilmektedir. Bu, ters açıdan bakıldığında bir tarafının esasen diğerinin devamı olduğunu güvenle söyleyebileceğimiz anlamına gelir.

Böyle bir açının her zaman tepe noktasından çıkan bir ışın kullanılarak bölünebileceği gerçeğini hatırlamakta fayda var. Sonuç olarak geometride bitişik olarak adlandırılan iki açı elde ederiz.

Ayrıca açılmış açının çeşitli özellikleri vardır. Bunlardan ilkinden bahsetmek için “açıortay” kavramını hatırlamanız gerekiyor. Bunun herhangi bir açıyı tam olarak ikiye bölen bir ışın olduğunu hatırlayın. Açılmamış açıya gelince, açıortayı onu 90 derecelik iki dik açı oluşturacak şekilde böler. Bunu matematiksel olarak hesaplamak çok kolaydır: 180˚ (döndürülmüş açının derecesi): 2 = 90˚.

Döndürülmüş bir açıyı tamamen rastgele bir ışınla bölersek, sonuç olarak her zaman biri dar, diğeri geniş olmak üzere iki açı elde ederiz.

Döndürülmüş köşelerin özellikleri

Bu listede yaptığımız gibi, tüm ana özelliklerini bir araya getirerek bu açıyı dikkate almak uygun olacaktır:

1. Döndürülmüş açının kenarları antiparaleldir ve düz bir çizgi oluşturur.
2. Döndürülmüş açı her zaman 180˚'dir.
3. İki komşu açı birlikte her zaman düz bir açı oluşturur.
4. 360˚ olan bir tam açı, açılmış iki açıdan oluşur ve bunların toplamına eşittir.
5. Düz açının yarısı dik açıdır.

Dolayısıyla, bu tür açıların tüm bu özelliklerini bildiğimizden, bunları bir takım geometrik problemleri çözmek için kullanabiliriz.

Döndürülmüş açılarla ilgili sorunlar

Düz açı kavramını kavrayıp kavramadığınızı görmek için aşağıdaki birkaç soruyu yanıtlamayı deneyin.

1. Kenarları dikey bir çizgi oluşturuyorsa düz açının büyüklüğü nedir?
2. Birincisi 72˚, diğeri 118˚ ise iki açı bitişik olur mu?
3. Bir tam açı iki ters açıdan oluşuyorsa kaç dik açısı vardır?
4. Bir doğru açı, bir ışın tarafından derece ölçüleri 1:4 oranında olacak şekilde iki açıya bölünür. Ortaya çıkan açıları hesaplayın.

Çözümler ve cevaplar:

1. Döndürülmüş açı nasıl konumlandırılırsa konumlandırılsın, tanım gereği her zaman 180˚'ye eşittir.
2. Komşu açıların bir kenarı ortaktır. Bu nedenle, birlikte yaptıkları açının boyutunu hesaplamak için derece ölçülerinin değerini eklemeniz yeterlidir. Bu, 72 +118 = 190 anlamına gelir. Ancak tanım gereği ters açı 180˚'dir, bu da verilen iki açının bitişik olamayacağı anlamına gelir.
3. Doğru açı iki dik açı içerir. Ve tamamlanmış olanın iki açılmış çizgisi olduğundan, 4 düz çizgi olacağı anlamına gelir.
4. İstenilen açılara a ve b dersek bunların orantı katsayısı x olsun, yani a=x ve buna göre b=4x olur. Derece cinsinden döndürülen açı 180˚'dir. Ve bir açının derece ölçüsünün her zaman kenarları arasından geçen herhangi bir ışın tarafından bölündüğü açıların derece ölçülerinin toplamına eşit olduğu özelliklerine göre, x + 4x = 180˚ olduğu sonucuna varabiliriz. , yani 5x = 180˚ . Buradan şunu buluruz: x = a = 36˚ ve b = 4x = 144˚. Cevap: 36˚ ve 144˚.

Tüm bu soruları yönlendirmeler olmadan ve cevaplara bakmadan cevaplayabildiyseniz bir sonraki geometri dersine geçmeye hazırsınız demektir.