Kiekvienas segmentas av ir cd. Segmentų palyginimas

7. Plokštumoje yra daug taškų ir tiesių. Priimk tai plokštumoje galite statyti taškus ir tiesias linijas; Praktiškai tiesei konstruoti naudojama liniuotė.

Tiesi linija tęsiasi be galo į abi puses. Už velnių. Nutiesta 4 tiesė AB; su savo vaizduote galite tai tęsti be galo į abi puses. Jei tiesėje CD statysite bet kurį tašką, pavyzdžiui, tašką O (4 pav.), tada tiesė bus padalinta į 2 dalis: viena dalis driekiasi iš taško O į dešinę be galo, o kita iš taško. O į kairę be galo. Kiekviena iš šių dalių vadinama spinduliu. Čia turime 2 pluoštus: OD spindulį ir OC spindulį.

Per kiekvieną tašką galime sukurti daugybę spindulių.

Jei tiesėje paimsime 2 taškus, pavyzdžiui, tiesėje KL (4 pav.) taškus E ir F, tai tiesės dalis tarp šių taškų vadinama atkarpa. Brėžinyje turime segmentą EF.

8. Palyginkite 2 segmentų duomenis AB ir CD (5 juodraštis).

Perkelkime segmentą CD taip, kad taškas C patektų į A, ir pasukime jį aplink tašką A, kol segmentas CD eis išilgai segmento AB. Kai tai pasiekiame, pažymime, kur patenka taškas D: jei jis patenka į B, tada mūsų atkarpos yra lygios; jei D patenka kažkur tarp taškų A ir B (pavyzdžiui, M), tai atkarpa CD laikoma mažesne nei atkarpa AB, o jei taškas D atsilieka nuo taško B (pavyzdžiui, N), tada atkarpa CD yra didesnis nei segmentas AB.

Dviejų segmentų „lyginimą“ suprantame nustatydami, ar jie yra lygūs, ar vienas didesnis už kitą.

9. Raskite dviejų duotųjų atkarpų sumą.

Imami du segmentai AB ir CD (6 pav.); turite pridėti šiuos segmentus.

Norėdami tai padaryti, mes perkeliame segmentą CD taip, kad taškas C patektų į B, o tada sukite jį aplink B, kol jis seks segmento AB tęsinį. Atkreipkite dėmesį, kur patenka taškas D; jei jis pasiekia K, tada segmentas BK = CD ir AK = AB + BK arba AK = AB + CD.

Bet kurią atkarpą tarpiniais taškais galima padalyti į kelių dėmenų sumą; pvz.:

AB = AC + CD + DE + EF + FB (7 brėžinys)

Mums tai aišku segmentų suma nesikeičia priklausomai nuo terminų pertvarkymo .

10. Raskite skirtumą tarp dviejų segmentų.

Duoti du segmentai AB ir CD (8 pav.); reikia atimti mažesnio segmento CD iš didesnio segmento AB.

Atkarpą CD perkeliame taip, kad taškas D patektų į tašką B, ir pradedame jį sukti aplink B, kol jis eis BA kryptimi; Pastebėkime, kai tai pasieksime, kur pateks taškas C. Jei C patenka į K, tai KB = CD ir AK = AB – KB arba AK = AB – CD.

Šį segmentą galite padauginti iš 2, 3, 4 ir tt, t.y. kartoti kaip terminą 2, 3 ir tt kartus.

Iš pastraipų. 8-10, mums svarbu suprasti, kad 1) segmentams, taip pat skaičiams, galioja šios sąvokos: „lygus“, „didesnis už“ ir „mažesnis už“; 2) sąvokos „dviejų atkarpų suma ir skirtumas“ turi labai apibrėžtą reikšmę.

Praktiškai, norint sudaryti atkarpą, lygią duotajam, naudojamas kompasas.

11. Pratimai. 1. Pavadinkite sumavimo segmentus ir jų sumą kiekviename iš šių paveikslėlių; užrašyti (brėžinys A).

2. Tuose pačiuose brėžiniuose nurodykite, kuris segmentas gali būti laikomas skirtumu nuo kitų dviejų segmentų; užsirašyti.

3. Padalinkite šį segmentą į 2, 3 ir 4 terminus; užsirašyti.

4. Pateikite šį segmentą kaip dviejų kitų segmentų skirtumą.

12. Galime statyti figūra, susidedanti iš dviejų spindulių, sklindančių iš vieno taško, – tokia figūra vadinama kampu. Už velnių. 9 paveiksle pavaizduotas kampas, susidedantis iš spindulių OA ir OB, sklindančių iš taško O. Šis taškas vadinamas kampo viršūne, o kiekvienas spindulys – jo kraštine. Žodis „kampas“ pakeičiamas ženklu ∠. Kampas vadinamas trimis raidėmis, iš kurių viena dedama ties viršūne, o kitos dvi kur nors kampo šonuose – raidė viršūnėje dedama kampo pavadinimo viduryje. Už velnių. 9 turime ∠AOB arba ∠BOA; kartais kampas vadinamas viena raide, padėta jo viršūnėje, sakydama ∠O. Kampo šonai (spinduliai) turi būti laikomi be galo.

Ypatingas kampo atvejis atsiras, kai jo kraštinės sudarys vieną tiesią liniją; toks ypatingas kampas vadinamas ištiesintu arba pasuktas kampas(12 paveiksle pavaizduoti statūs kampai AOB ir A 1 O 1 B 1).

Kiekvienas kampas padalija plokštumą į 2 dalis, į dvi sritis. Viena iš šių dalių vadinama vidinė sritis kampe ir pasakyti, kad jis yra kampo viduje, o kitas vadinamas išorinė sritis kampe ir pasakyti, kad jis yra už kampo. Kuri iš šių dviejų dalių vadinama išorine, o kuri vidine, priklauso nuo sąlygų. Kiekvieną kartą turėtumėte pažymėti ką nors vidinio, pavyzdžiui, sritį. Vidinę kampo sritį pažymėsime lenktomis linijomis, nubrėžtomis vidinėje srityje tarp kampo kraštų; ant juodo 10 žymi vidines kampų ABC, DEF sritis ir ištiesintą ∠KLM.

Iš plono kartono lakšto naudinga iškirpti kampus: kartono gabalas yra grubus plokštumos dalies vaizdas; nubraižydami ant jo du spindulius, sklindančius iš vieno taško, o šį gabalėlį išpjaudami išilgai nubrėžto kampo šonų, kartono gabalą padalinsime į 2 dalis; Paimkime vieną iš šių dalių, apie kurią norime daryti prielaidą, kad ji yra kampo viduje, ir pašalinkime kitą – tada turėsime kampo modelį kartu su jo vidine sritimi. Norint teisingai interpretuoti šį modelį, reikia nepamiršti, kad kartono gabalas yra tik plokštumos dalies vaizdas, o pati plokštuma tęsiasi be galo.

13. Palyginkite du nurodytus kampus∠ABC ir ∠DEF (11 brėžinys).

„Palyginti“ du kampus reiškia nustatyti, ar kampai yra lygūs, ar vienas didesnis už kitą. Norėdami tai padaryti, mes pradėsime uždėti vieną kampą ant kito, kad jų vidinės sritys eitų viena išilgai: jei tokiu atveju paaiškėja, kad įmanoma pasiekti, kad mūsų kampų viršūnės ir kraštinės būtų išlygintos, tada sakome. kad šie kampai būtų lygūs; jei viršūnės vienoje mūsų kampų pusėje sutampa, bet kitos nesutampa, tada kampai nėra lygūs, o mažesnįjį skaitome kaip tą, kurio vidinis plotas telpa į kitos vidinį plotą.

Pratimas. Iš popieriaus iškirpkite kampų modelius kartu su jų vidinėmis sritimis ir, uždėję šiuos modelius vienas ant kito, nustatykite aukščiau aprašytų atvejų galimybę; Iškirpę vieno kampo modelį, tada išpjaukite jam lygaus kampo modelį ir jam nelygių (daugiau ar mažiau) kampų modelius.

Pažiūrėkime į kampus ABC ir DEF (11 pav.); brėžinyje pažymėtas kiekvieno iš jų vidinis plotas. Perkeliame ∠DEF taip, kad jos viršūnė E patektų į tašką B, o jos kraštinė EF eitų išilgai kraštinės BC – tada vienas po kito išsidėstys vidinės kampų sritys. Jei pusė ED eina išilgai BA, tai ∠DEF = ∠ABC; jei ED pusė patenka į ∠ABC vidų, pavyzdžiui, išilgai spindulio BM, tada ∠DEF< ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF >∠ABC.

Naudinga pakartoti tuos pačius argumentus kampams ABC ir DEF (su pažymėtomis vidinėmis sritimis), pateiktomis Fig. 11 bis.

Taikykime aprašytą dviejų kampų palyginimo su dviem ištiesintais kampais metodą. Turėkime 2 ištiesintus kampus ∠AOB ir ∠A1O1B1 (12 brėžinys), kurių vidinės sritys pažymėtos brėžinyje. Uždėję vieną iš šių kampų ant kito taip, kad vieno viršūnė O 1 patektų į kito viršūnę O, o vieno kraštinė O 1 A 1 eitų išilgai kito šono OA, darome išvadą. kad kitos šių kampų O 1 B 1 ir OB kraštinės sutampa, nes tiesės A 1 O 1 B 1 ir AOB yra tiesės, kurių padėtį lemia du taškai. (Kartais jie sako: „OB yra OA tęsinys“, užuot sakę, kad linija AOB yra tiesi). Todėl darome tokią išvadą:

Visi statūs kampai yra lygūs vienas kitam.

14. Ištiesinta ∠AOB (12 brėžinys) padalija plokštumą į 2 sritis – vidinę ir išorinę. Jei plokštumą sulenksite išilgai tiesės AOB, abi šios dalys sutaps. Todėl galime manyti, kad ištiesinto kampo vidinės ir išorinės sritys yra lygios viena kitai.

Jei turime kokį nors neištaisytą kampą, pavyzdžiui, ∠DEF (brėžinys 11 arba brėžinys 11 bis), tai tęsdami vieną iš jo kraštinių, pavyzdžiui, kraštinę DE (brėžiniuose nebraižomi tęsiniai), pamatysime, kad apie mūsų kampą galima nustatyti, kad jis yra mažesnis nei ištiesintas (11 brėžinys), arba didesnis už jį (11 bis brėžinys); Tai priklauso nuo to, kuri iš dviejų plokštumos dalių yra vidinė kampo sritis. Paprastai vidinis kampo plotas pasirenkamas taip, kad šis kampas būtų mažesnis nei ištiesintas, ir tokiu atveju sutinkame nežymėti vidinės kampo srities. Kartais kampo kilmė parodys, kad vidine sritimi reikia laikyti tą plokštumos dalį, kurios kampas bus didesnis už ištiesintą. Tokie atvejai kartais įvyks ateityje, tada turime pažymėti vidinę kampo sritį.

15. Raskite dviejų kampų sumą: ∠AOB ir ∠PNM (13 brėžinys) arba pridėkite ∠AOB ir ∠PNM.

Čia brėžinyje vidinės kampų sritys nepažymėtos; pagal ankstesnės pastraipos pastabą, tai reiškia, kad jie turi būti parinkti taip, kad kiekvienas kampas būtų mažesnis nei ištiesintas, ir mes aiškiai matome šias sritis.

Perkelkime ∠PNM taip, kad jos viršūnė N sutaptų su kampo AOB viršūne O, o sukdami aplink tašką O užtikrinsime, kad kraštinė NP eitų išilgai kraštinės OB; tada mūsų kampų vidinės sritys bus greta viena kitos – ši aplinkybė būtina norint pridėti kampų. Tada atkreipkime dėmesį, kaip eis NM pusė: pavyzdžiui, tegul ji eina palei spindulį OC. Tada gauname naują ∠AOC, kuri imama kaip dviejų nurodytų kampų suma. Galime parašyti:

1) ∠BOC = ∠PNM, 2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
ir 3) (remiantis 1) ∠AOC = ∠AOB + ∠PNM.

Taip pat galite užlenkti kelis kampus; Šį kampą galite suskirstyti į keletą terminų. Už velnių. 14 turime:

∠AOE = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.

Lengva sukonstruoti du ar daugiau kampų, pritaikytų vienas kitam, kad jų suma būtų lygi ištiesintam kampui. Gali būti, kad kelių kampų suma bus didesnė už ištiesintą kampą (15 pav.), reikia atkreipti dėmesį į šios sumos vidinę sritį.

Galimas ir kitas ypatingas kampų pridėjimo atvejis, kai vidinės pridėtinių kampų sritys dengia visą plokštumą, kai jie yra pritaikyti vienas kitam. Už velnių. 16 turime šiuos kampus: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF ir ∠FOA. Šiuo atveju, sukonstravę spindulį OM, kuris yra spindulio OA tęsinys, matome, kad mūsų kampų suma susideda iš dviejų ištiesintų kampų: 1) ištiesinto ∠AOM, kurio vidinė sritis pažymėta viena lenkta linija. , ir 2) ištiesinta ∠AOM, kurios vidinė sritis pažymėta dviguba lenkta linija. Čia mes turime:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 2 ištiesinti kampai.

Jie sako: Visų einančių kampų, supančių tašką, suma yra lygi dviem stačiakampiams kampams.

Jei yra papildomų kampų, išskyrus tuos, kurie sukonstruoti brėžinyje. 16, tada juos vėl reikės pritaikyti ankstesniems išilgai pirmojo ištiesinto kampo, o tada paaiškėja, kad suma yra daugiau nei du ištiesinti kampai, lygi trims ištiesinti kampai, daugiau nei trys ištiesinti kampai ir pan.

16. Raskite dviejų kampų skirtumą: ∠AOB ir ∠MNP (17 plėtra) arba atimkite ∠MNP iš ∠AOB, darant prielaidą, kad ∠MNP< ∠AOB.

Perkelkime ∠MNP taip, kad jos viršūnė N patektų į kampo AOB viršūnę O; Sukdami aplink tašką O pasieksime, kad NM pusė eitų išilgai OB, o šių kampų vidinės sritys būtų viena ant kitos. Tegul NP pusė seka OC spindulį; tada gauname naują ∠AOC, apie kurią žinome, kad ∠AOC + ∠COB = ∠AOB, iš kurio pagal atimties apibrėžimą kaip atvirkštinį sudėjimo veiksmą gauname:

∠AOC = ∠AOB – ∠COB,
bet ∠COB = ∠MNP; Štai kodėl
∠AOC = ∠AOB – ∠MNP.

Iš pastraipų. 13-16 turime suvokti mintį, kad šios sąvokos yra taikomos kampams, taip pat segmentams: daugiau, mažiau, lygus, ir kad dviejų kampų sumos ir skirtumo sąvokos turi tam tikrą reikšmę.

17. Pratimai. 1. Sukonstruokite du vienas prie kito pritvirtintus kampus, pavadinkite juos raidėmis, nurodykite jų sumą ir užrašykite šių kampų pridėjimą.

2. Tame pačiame brėžinyje nurodykite, kad vienas iš kampų yra skirtumas tarp kitų dviejų; užsirašyk.

3. Tolesniuose brėžiniuose (žr. B brėžinį) ∠AOB išreiškiamas kitų dviejų kampų skirtumu.

4. Padalinkite šį kampą į 2, 3 ir 4 narius; užsirašykite kiekvieną kartą; tą patį padarykite su ištiesintu kampu.

5. Pateikite šį kampą kaip skirtumą tarp ištiesinto ir kito kampo. Kokios struktūros tam reikia?

6. Sudėkite ir atimkite kampus naudodami kampų modelius, iškirptus iš popieriaus.

18. Ateityje dažnai numeruosime kampus, norėdami sutrumpinti raidę pavadindami juos skaičiais. Kiekvieno kampo viduje šalia viršūnės parašysime kampų skaičius.

Sukonstruokime ∠AOB (18 brėžinys) ir pavadinkime jį ∠1. Pridėkime šį kampą prie tiesaus. Problema turi du sprendimus: sukurti spindulį OC, kuris tarnauja kaip spindulio OA tęsinys; tada gauname ∠BOC arba ∠2, kuris tenkina reikalavimą, nes matome, kad

∠1 + ∠2 = ištiesintas kampas.

Pateikiame dviejų kampų pridėjimo pavyzdį, kai suma lygi ištiesintam kampui – tokie kampai vadinami gretimaisiais: ∠1 ir ∠2 yra gretimi kampai. Kad 2 kampai būtų vadinami „gretimais“, būtina, kad 1) jie būtų sujungti vienas su kitu ir 2) kad jų suma būtų lygi ištiesintam kampui arba, kas yra tas pats, kad šie kampai turėtų bendrą viršūnė (kampuose 1 ir 2 bendra viršūnė O), viena bendra pusė (mūsų kampai turi bendrą kraštinę OB) ir kad kitos dvi kraštinės yra viena kitos tęsinys (OC yra OA tęsinys).

Antrasis mūsų problemos sprendimas bus gautas, jei tęsime šoninį OB – tegul OD yra OB tęsinys; tada gauname kitą ∠AOD arba ∠4 greta ∠1. Gautą kampą COD taip pat pavadinkime ∠3.

Panagrinėkime 2 gautus mūsų problemos sprendimus, ty ∠2 ir ∠4. Matome ∠2 ir ∠4 vietos ypatumą: jie turi bendrą viršūnę O, vienos iš jų kraštinės yra kitos kraštinių tęsiniai, būtent OC yra OA tęsinys ir atvirkščiai, o OB yra OD tęsinys ir atvirkščiai – tokie du kampai vadinami vertikaliais.

Tada žinome, kad ir ∠2, ir ∠4 kiekvienas papildo ∠1, kol nebus ištaisyta; iš čia darome tokią išvadą

Pateikiame išsamesnę pastarojo svarstymo santrauką. Pagal konstrukciją turime:

1) ∠1 + ∠2 = ištiesintas kampas;
2) ∠1 + ∠4 = ištiesintas kampas.

Matome, kad abu sudėjimai veda į tą pačią sumą (visi stačiakampiai yra lygūs vienas kitam), be to, vienas narys (būtent ∠1) abiejuose pridėjimuose yra tas pats; iš čia darome išvadą, kad kiti nariai turi būti lygūs vienas kitam, ty ∠2 = ∠4.

Jei sukonstruosime dvi susikertančias tieses, gausime dvi poras vertikalių kampų. Už velnių. 18 turime tieses AC ir BD, viena vertikalių kampų pora yra ∠2 ir ∠4, o kita yra ∠1 ir ∠3. Viskas, kas nurodyta aukščiau, taikoma kiekvienai vertikalių kampų porai; pavyzdžiui, porai ∠1 ir ∠3 turime, kad kiekviena iš jų papildo ∠2 ištaisytąją, todėl ∠1 = ∠3. Todėl turime teoremą:
Vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

Pratimas. Per tašką nutieskite tris tiesias linijas ir nurodykite gautus vertikalius kampus; užrašykite jų lygybę.

Linijos segmentas. Segmento ilgis. Trikampis.

1. Šioje pastraipoje būsite supažindinti su kai kuriomis geometrijos sąvokomis. Geometrija– mokslas apie „žemės matavimą“. Šis žodis kilęs iš lotyniškų žodžių: geo – žemė ir metras – matuoti, matuoti. Geometrijoje įvairios geometriniai objektai, jų savybes, ryšius su išoriniu pasauliu. Paprasčiausi geometriniai objektai yra taškas, linija, paviršius. Sudėtingesni geometriniai objektai, pavyzdžiui, geometrinės figūros ir kūnai, formuojami iš pačių paprasčiausių.

Jei dviem taškams A ir B pritaikysime liniuotę ir išilgai jos nubrėžsime šiuos taškus jungiančią liniją, gausime linijos atkarpa, kuris vadinamas AB arba VA (skaitome: „a-be“, „be-a“). Taškai A ir B vadinami segmento galai(1 paveikslas). Atstumas tarp atkarpos galų, matuojamas ilgio vienetais, vadinamas ilgiosupjaustytika.

Ilgio vienetai: m - metras, cm - centimetras, dm - decimetras, mm - milimetras, km - kilometras ir kt. (1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm). Norėdami išmatuoti segmentų ilgį, naudokite liniuotę arba matavimo juostą. Išmatuoti atkarpos ilgį reiškia išsiaiškinti, kiek kartų tam tikra ilgio matas telpa į jį.

Lygus vadinami dviem segmentais, kuriuos galima sujungti uždedant vieną ant kito (2 pav.). Pavyzdžiui, iš tikrųjų arba mintyse galite iškirpti vieną iš segmentų ir pritvirtinti prie kito taip, kad jų galai sutaptų. Jei atkarpos AB ir SK lygios, tai rašome AB = SK. Vienodos atkarpos yra vienodo ilgio. Yra priešingai: du vienodo ilgio segmentai yra vienodi. Jei du segmentai yra skirtingo ilgio, jie nėra lygūs. Iš dviejų nevienodų segmentų mažesnioji dalis yra kito segmento dalis. Naudodami kompasą galite palyginti persidengiančius segmentus.

Jei mintyse pratęsime atkarpą AB abiem kryptimis iki begalybės, tada gausime idėją tiesiai AB (3 pav.). Bet kuris taškas, esantis ant linijos, padalija jį į dvi dalis sija(4 pav.). Taškas C padalija tiesę AB į dvi dalis sija SA ir SV. Tosca C vadinamas spindulio pradžia.

2. Jei trys taškai, esantys ne vienoje tiesėje, yra sujungti atkarpomis, tada gauname figūrą, vadinamą trikampis.Šie taškai vadinami viršūnės trikampis, o juos jungiančios atkarpos yra vakarėliams trikampis (5 pav.). FNM – trikampis, atkarpos FN, NM, FM – trikampio kraštinės, taškai F, N, M – trikampio viršūnės. Visų trikampių kraštinės turi tokią savybę: d Bet kurios trikampio kraštinės ilgis visada yra mažesnis už kitų dviejų jo kraštinių ilgių sumą.

Jei mintyse pailginsite, pavyzdžiui, stalviršio paviršių visomis kryptimis, suprasite lėktuvas. Taškai, atkarpos, tiesės, spinduliai išsidėstę plokštumoje (6 pav.).

Blokas 1. Papildomas

Pasaulis, kuriame gyvename, viskas, kas mus supa, senovės žmonės vadino gamta arba erdve. Erdvė, kurioje gyvename, laikoma trimate, t.y. turi tris matmenis. Jie dažnai vadinami: ilgis, plotis ir aukštis (pavyzdžiui, kambario ilgis 4 m, plotis 2 m, aukštis 3 m).

Geometrinio (matematinio) taško idėją mums suteikia žvaigždė naktiniame danguje, taškas šio sakinio pabaigoje, žymė iš adatos ir kt. Tačiau visi išvardyti objektai turi matmenis, priešingai, geometrinio taško matmenys laikomi lygiais nuliui (jo matmenys lygūs nuliui). Todėl tikrą matematinį tašką galima įsivaizduoti tik mintyse. Taip pat galite pasakyti, kur jis yra. Įdėję tašką į sąsiuvinį su plunksnakočiu nevaizduosime geometrinio taško, o manysime, kad sukonstruotas objektas yra geometrinis taškas (6 pav.). Taškai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis: A, B, C, D, (skaityti " taškas a, taškas būti, taškas tse, taškas de") (7 pav.).

Ant stulpų kabantys laidai, matoma horizonto linija (riba tarp dangaus ir žemės ar vandens), žemėlapyje pavaizduota upės vaga, gimnastikos lankas, iš fontano trykštanti vandens srovė leidžia įsivaizduoti linijas.

Yra uždaros ir atviros linijos, lygios ir nelygios linijos, linijos su savaiminiu susikirtimu ir be jos (8 ir 9 pav.).

Popieriaus lapas, lazerinis diskas, futbolo kamuolio apvalkalas, pakavimo dėžutės kartonas, kalėdinė plastikinė kaukė ir kt. duokite mums idėją paviršiai(10 pav.). Dažant kambario ar automobilio grindis, grindų ar automobilio paviršius padengiamas dažais.

Žmogaus kūnas, akmuo, plyta, sūris, rutulys, ledo varveklis ir kt. duokite mums idėją geometrinis kūnai (11 pav.).

Paprasčiausia iš visų eilučių yra tai tiesus. Padėkite liniuotę ant popieriaus lapo ir pieštuku nubrėžkite tiesią liniją. Protiškai pratęsę šią liniją iki begalybės abiem kryptimis, gausime tiesios linijos idėją. Manoma, kad tiesė turi vieną matmenį – ilgį, o kiti du jos matmenys lygūs nuliui (12 pav.).

Sprendžiant uždavinius, tiesi linija vaizduojama kaip linija, kuri pieštuku ar kreida brėžiama išilgai liniuotės. Tiesioginės linijos žymimos mažosiomis lotyniškomis raidėmis: a, b, n, m (13 pav.). Tiesią liniją taip pat galite žymėti dviem raidėmis, atitinkančiomis ant jos esančius taškus. Pavyzdžiui, tiesus n 13 paveiksle galime pažymėti: AB arba VA, ADarbaDA,DB arba BD.

Taškai gali gulėti tiesėje (priklausyti tiesei) arba nebūti tiesėje (nepriklausyti tiesei). 13 paveiksle pavaizduoti taškai A, D, B, esantys ant tiesės AB (priklausančios tiesei AB). Tuo pačiu jie rašo. Skaityti: taškas A priklauso tiesei AB, taškas B priklauso AB, taškas D priklauso AB. D taškas taip pat priklauso tiesei m, jis vadinamas bendras taškas. Taške D susikerta tiesės AB ir m. Taškai P ir R nepriklauso tiesėms AB ir m:

Visada per bet kuriuos du taškus galite nubrėžti tiesią liniją ir tik vieną .

Iš visų tipų linijų, jungiančių bet kuriuos du taškus, atkarpa, kurios galai yra šie taškai, yra trumpiausio ilgio (14 pav.).

Figūra, susidedanti iš taškų ir juos jungiančių atkarpų, vadinama laužta linija (15 pav.). Segmentai, kurie sudaro laužtą liniją, vadinami nuorodos nutrūkusi linija ir jų galai - viršūnės nutrūkusi linija Nutrūksta linija įvardijama (pažymima) išvardijant visas jos viršūnes, pavyzdžiui, laužyta linija ABCDEFG. Nutrūkusios linijos ilgis yra jos grandžių ilgių suma. Tai reiškia, kad trūkinės linijos ABCDEFG ilgis yra lygus sumai: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Vadinama uždara laužyta linija poligonas, jos viršūnės vadinamos daugiakampio viršūnės, ir jo nuorodos vakarėliams daugiakampis (16 pav.). Daugiakampis įvardijamas (pažymimas) išvardijant visas jo viršūnes, pradedant nuo bet kurios, pavyzdžiui, daugiakampis (septynikampis) ABCDEFG, daugiakampis (pentagonas) RTPKL:

Vadinama visų daugiakampio kraštinių ilgių suma perimetras daugiakampis ir žymimas lotyniškai laiškąp(skaitykite: pe). Daugiakampių perimetrai 13 paveiksle:

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Protiškai išplečiant stalviršio ar lango stiklo paviršių iki begalybės visomis kryptimis, gauname supratimą apie paviršių, kuris vadinamas lėktuvas (17 pav.). Lėktuvai žymimi mažomis graikų abėcėlės raidėmis: α, β, γ, δ, ... (mes skaitome: plokštuma alfa, beta, gama, delta ir kt.).

2 blokas. Žodynas.

Sukurkite naujų terminų ir apibrėžimų žodyną iš §2. Norėdami tai padaryti, tuščiose lentelės eilutėse įveskite žodžius iš toliau pateikto terminų sąrašo. 2 lentelėje nurodykite terminų skaičius pagal eilučių numerius. Prieš pildant žodyną, rekomenduojama atidžiai peržiūrėti §2 ir 2.1 bloką.

3 blokas. Užmegzti korespondenciją (CS).

Geometrinės figūros.

4 blokas. Savikontrolė.

Atkarpos matavimas naudojant liniuotę.

Prisiminkime, kad atkarpą AB matuoti centimetrais reiškia palyginti ją su 1 cm ilgio atkarpa ir išsiaiškinti, kiek tokių 1 cm atkarpų telpa atkarpoje AB. Norėdami išmatuoti segmentą kitais ilgio vienetais, atlikite tą patį.

Norėdami atlikti užduotis, dirbkite pagal planą, pateiktą lentelės kairiajame stulpelyje. Tokiu atveju rekomenduojame dešinįjį stulpelį uždengti popieriaus lapu. Tada galite palyginti savo išvadas su sprendimais, pateiktais lentelėje dešinėje.

5 blokas. Veiksmų sekos (SE) nustatymas.

Nurodyto ilgio atkarpos konstravimas.

1 variantas. Lentelėje yra sumaišytas algoritmas (sumaišyta veiksmų tvarka), skirta tam tikro ilgio atkarpai sudaryti (pavyzdžiui, sudarykime atkarpą BC = 7 cm). Kairiajame stulpelyje yra veiksmo nuoroda, dešiniajame - šio veiksmo atlikimo rezultatas. Pertvarkykite lentelės eilutes taip, kad gautumėte teisingą algoritmą tam tikro ilgio segmentui sudaryti. Užsirašykite teisingą veiksmų seką.

2 variantas.Šioje lentelėje parodytas atkarpos KM = n cm konstravimo algoritmas, kur vietoj n Galite pakeisti bet kurį skaičių. Šioje parinktyje nėra veiksmo ir rezultato atitikimo. Todėl būtina nustatyti veiksmų seką, tada kiekvienam veiksmui pasirinkti jo rezultatą. Atsakymą parašykite formoje: 2a, 1c, 4b ir kt.

3 variantas. Naudodami 2 parinkties algoritmą, bloknote sukurkite segmentus n = 3 cm, n = 10 cm, n = 12 cm.

6 blokas. Facet testas.

Atkarpa, spindulys, tiesi linija, plokštuma.

Fasetinio testo užduotyse naudojami paveikslėliai ir įrašai, numeruojami 1 - 12, pateikti 1 lentelėje, iš kurių formuojami užduoties duomenys. Tada prie jų pridedami užduočių reikalavimai, kurie dedami į testą po jungiamojo žodžio „Į“. Užduočių atsakymai pateikiami po žodžio „LYGUS“. Užduočių rinkinys pateiktas 2 lentelėje. Pavyzdžiui, 6.15.19 užduotis sudaryta taip: „JEI problema naudoja 6 pav. , s Tada prie jo pridedama sąlyga numeris 15, užduoties reikalavimas yra numeris 19.

13) sukonstruoti keturis taškus taip, kad kas trys iš jų neatsidurtų toje pačioje tiesėje;

14) nubrėžti tiesią liniją per kas du taškus;

15) mintyse išplėsti kiekvieną dėžės paviršių visomis kryptimis iki begalybės;

16) skirtingų segmentų skaičius paveiksle;

17) skirtingų spindulių skaičius paveiksle;

18) skirtingų tiesių skaičius paveiksle;

19) gautų skirtingų plokštumų skaičius;

20) atkarpos AC ilgis centimetrais;

21) atkarpos AB ilgis kilometrais;

22) atkarpos DC ilgis metrais;

23) trikampio PRQ perimetras;

24) trūkinės linijos ilgis QPRMN;

25) trikampių RMN ir PRQ perimetrų koeficientas;

26) atkarpos ED ilgis;

27) atkarpos BE ilgis;

28) tiesių susikirtimo taškų skaičius;

29) gautų trikampių skaičius;

30) dalių, į kurias buvo padalinta plokštuma, skaičius;

31) daugiakampio perimetras, išreikštas metrais;

32) daugiakampio perimetras, išreikštas decimetrais;

33) daugiakampio perimetras, išreikštas centimetrais;

34) daugiakampio perimetras, išreikštas milimetrais;

35) daugiakampio perimetras, išreikštas kilometrais;

EQUALS (lygus, turi formą):

a) 70; b) 4; c) 217; d) 8; e) 20; e) 10; g) 8∙b; h) 800∙b; i) 8000∙b; j) 80∙b; k) 63000; m) 63; m) 63000000; o) 3; n) 6; p) 630 000; c) 6300000; t) 7; y) 5; t) 22; x) 28

7 blokas. Žaiskime.

7.1. Matematikos labirintas.

Labirintas susideda iš dešimties kambarių po trejas duris. Kiekviename iš kambarių yra vienas geometrinis objektas (jis nupieštas ant kambario sienos). Informacija apie šį objektą yra labirinto „gide“. Skaitant jį reikia eiti į kambarį, apie kurį parašyta vadove. Eidami per labirinto kambarius, nubrėžkite maršrutą. Paskutiniai du kambariai turi išėjimus.

Labirinto vadovas

1. Jūs turite patekti į labirintą per kambarį, kuriame yra geometrinis objektas, kuris neturi pradžios, bet turi du galus.
2. Šio kambario geometrinis objektas neturi matmenų, jis tarsi tolima žvaigždė naktiniame danguje.
3. Šio kambario geometrinis objektas sudarytas iš keturių segmentų, turinčių tris bendrus taškus.
4. Šis geometrinis objektas susideda iš keturių segmentų su keturiais bendrais taškais.
5. Šiame kambaryje yra geometrinių objektų, kurių kiekvienas turi pradžią, bet neturi pabaigos.
6. Čia yra du geometriniai objektai, kurie neturi nei pradžios, nei pabaigos, bet turi vieną bendrą tašką.

1. Šio geometrinio objekto idėją suteikia artilerijos sviedinių skrydis

(judėjimo trajektorija).

1. Šiame kambaryje yra geometrinis objektas su trimis viršūnėmis, tačiau jos nėra kalnuotos.

1. Bumerango skrydis suteikia idėją apie šį geometrinį objektą (medžioklė

Australijos vietinių žmonių ginklai). Fizikoje ši linija vadinama trajektorija

kūno judesiai.

1. Įspūdį apie šį geometrinį objektą suteikia ežero paviršius

ramus oras.

Dabar galite išeiti iš labirinto.

Labirinte yra geometrinių objektų: plokštuma, atvira linija, tiesi linija, trikampis, taškas, uždara linija, laužta linija, atkarpa, spindulys, keturkampis.

7.2. Geometrinių figūrų perimetras.

Piešiniuose paryškinkite geometrines figūras: trikampius, keturkampius, penkiakampius ir šešiakampius. Naudodami liniuotę (milimetrais), nustatykite kai kurių iš jų perimetrus.

7.3. Geometrinių objektų estafetės.

Perdavimo užduočių rėmeliai yra tušti. Užrašykite juose trūkstamą žodį. Tada perkelkite šį žodį į kitą kadrą, kur rodo rodyklė. Tokiu atveju galite pakeisti šio žodžio didžiąsias ir mažąsias raides. Eidami per estafetės etapus, užpildykite reikiamas formacijas. Jei teisingai užpildysite relę, pabaigoje gausite šį žodį: perimetras.

7.4. Geometrinių objektų stiprumas.

Perskaitykite § 2, iš jo teksto užsirašykite geometrinių objektų pavadinimus. Tada įrašykite šiuos žodžius į tuščias „tvirtovės“ ląsteles.

Segmentai vadinami lygiais, jei jie gali būti uždėti vienas ant kito taip, kad jų galai sutaptų.

Pateikiame du segmentus AB ir CD (pav.). Atkarpą AB uždėkime ant atkarpos CD taip, kad taškas A sutaptų su tašku C, o atkarpą AB nukreipkime išilgai atkarpos CD. Jei taškas B sutampa su tašku D, tai atkarpos AB ir CD yra lygios; AB = CD.

Palyginkime du segmentus KO ir EM (pav.).

Sudėkime atkarpą KO ant atkarpos EM taip, kad taškai K ir E sutaptų. Nukreipkime atkarpą KO išilgai atkarpos EM. Jei taškas O yra kažkur tarp taškų E ir M, tada jie sako, kad atkarpa EM yra didesnė už atkarpą KO; segmentas KO yra mažesnis nei segmentas EM.

Rašoma taip: EAT > KO, KO

Atkarpos, lygios duotajam, konstravimas naudojant kompasą.

Atkarpos, lygios duotam segmentui AB (pav.), konstravimas atliekamas naudojant kompasą tokiu būdu:

viena kompaso kojelė statoma viename atkarpos AB gale, o kita – kitame gale ir, nekeičiant kompaso kampo, perkeliama į tam tikrą tiesią liniją, kad vienos kojos galas pažymėtų kokį nors tašką N. , tada kitos kompaso kojos galas žymi tam tikrą tašką R toje pačioje tiesėje. Atkarpa NP bus lygi atkarpai AB.

Atkarpų sudėjimas ir atėmimas.

Norėdami rasti dviejų atkarpų, pvz., AB ir CD, sumą (pav.), turite paimti tiesią liniją ir tam tikrą tašką joje, pavyzdžiui, tašką N (b pav.), tada, naudodami kompasą, pirmiausia nubrėžkite diagramą. atkarpa NP šioje tiesėje nuo taško N, lygi atkarpai AB, o po to nuo jos galo ta pačia kryptimi atskiria atkarpą PM, lygią atkarpai CD. Atkarpa NM bus vadinama atkarpų AB ir CD suma.

Tai parašyta taip:

NM = AB + CD.

Tokiu pat būdu randama kelių segmentų suma (pav.)

MN = AB + CD + EF.

Sudedant segmentus, kaip ir aritmetikoje sudedant skaičius, vadovaujamasi dėsniais: komutaciniu ir asociatyviniu.

AB + CD = CD + AB;

(AB + CD) + EF =AB + (CD + EF).

Norėdami rasti skirtumą tarp dviejų segmentų AB ir CD (pav.),

Būtina atidėti mažesnį segmentą (CD) didesniame segmente (AB) nuo jo galo, pavyzdžiui, taško A. Likusi didesnio segmento dalis (KB) bus šių segmentų skirtumas:

AB - CD = KV.

Atkarpos dauginimas ir dalijimas iš sveikojo skaičiaus.

a) Padauginkite atkarpą AB iš sveikojo skaičiaus, pavyzdžiui, iš 5, tai reiškia, kad atkarpą AB reikia paimti kaip terminą 5 kartus (pav.):

Segmentas MN yra segmento AB ir skaičiaus 5 sandauga.

b) Paveiksle atkarpa MN sudaryta iš penkių vienodų atkarpų, t.y. atkarpa MN padalinta į penkias lygias dalis. Kiekvienas iš jų sudaro 1/5 segmento MN.

c) Norėdami padalyti atkarpą į lygias dalis naudodami kompasą, atlikite tai. Pavyzdžiui, jei reikia padalyti atkarpą į dvi lygias dalis, tada kompasas akimi perkeliamas taip, kad kompaso anga būtų maždaug pusė segmento. Tada tam tikrame segmente nuo jo galo su šiuo kompaso sprendimu vienas po kito išdėstomi du segmentai. Jei gauta atkarpų suma yra mažesnė už šią atkarpą, tada kompaso sprendimas padidinamas; jei paaiškėja, kad suma yra didesnė už šį segmentą, kompaso sprendimas sumažinamas. Taigi, palaipsniui taisydami klaidą, galite gana tiksliai rasti pusę segmento (pav.).

Lygiai taip pat atliekamas apytikslis atkarpos padalijimas į 3, 4, 5 ir tt lygias dalis. Tik šiuo atveju turėtumėte paimti 1/3 į akis; 14; 1/5... atkarpos ir paimtą atkarpą atidėkite 3, 4, 5... kartus, priklausomai nuo to, į kiek lygių dalių reikia padalyti duotą atkarpą.

Segmentų, nupjautų lygiagrečių linijų kampo šonuose, savybė

Teorema. Jei vienoje kampo pusėje yra išdėstyti vienodi segmentai ir per jų galus nubrėžtos lygiagrečios linijos, kertančios kitą kampo pusę, tada šioje kampo pusėje bus išdėstyti vienodi segmentai.

Kampo ABN kraštinėje AB išdėliokite lygias atkarpas BM = MK = KS (pav.), o per padalijimo taškus M, K ir C nubrėžiamos lygiagrečios tiesės, kertančios to paties kampo kraštinę BN.

Šioje pusėje buvo suformuoti trys segmentai: VM', M'K' ir K'S'. Būtina įrodyti, kad VM' = M'K' = K'C'.

Norėdami tai įrodyti, per taškus M’ ir K’ nubrėžiame tieses, lygiagrečias AB. Gauname trikampius ВММ', М'ЭК' ir К'РС'. Palyginkime šiuos trikampius.

Pirmiausia palyginkite trikampius MVM' ir M'EK'. Šiuose trikampiuose turime:

∠1 = ∠2, kaip atitinkami kampai lygiagrečioms BA ir M'E bei sekantinėms BN;

∠3 = ∠4, kaip smailieji kampai 1 su atitinkamai lygiagrečiomis kraštinėmis (AB || M'E ir MM' || KK').

VM = MK pagal konstrukciją;

MK = M'E, kaip priešingos lygiagretainio kraštinės.

1 ir 4 kampai gali pasirodyti buki, tačiau tokiu atveju jie išliks lygūs, todėl teoremos įrodymas nepasikeis.

Todėl BM = M'E. Taigi, ΔВММ’ = ΔМ’ЭК’ (šone ir du gretimi kampai). Iš to išplaukia, kad VM' = M'K'.

Taip pat galima įrodyti, kad VM’ = K’C’, t.y. VM’ = M’K’ = K’C’. Įrodinėdami teoremą, atkarpas pradėjome dėlioti nuo kampo viršūnės, tačiau teorema galioja ir tuo atveju, kai atkarpų dėliojimas pradedamas ne nuo kampo viršūnės, o nuo bet kurio taško jo pusėje.

Šiuo atveju kampo viršūnės brėžinyje žymėti nereikia (pav.).

Teorema galioja ir tuo atveju, kai tiesės KO ir MR yra lygiagrečios.

Proporcingi segmentai

Iš aritmetikos žinome, kad dviejų santykių lygybė vadinama proporcija. Pavyzdžiui: 16/4 = 20/5; 2 / 3 = 4 / 6 Mes turime tą patį geometrijoje: jei pateikiamos dvi atkarpų poros, kurių santykiai yra lygūs, tada galima sudaryti proporciją.

Jeigu a / b= 4/3 ir c / d= 4/3 (Nubraižyta 351), tada gauname proporciją a / b = c / d ;

segmentai a, b, c, d yra vadinami proporcingas.

Požiūris a / b vadinamas pirmuoju ryšiu, kaip ir aritmetikoje, c / d- antrasis ryšys; A Ir d vadinami kraštutiniais proporcijos dydžiais, b Ir Su- viduriniai nariai.

Proporcingai santykiai gali būti pakeisti; galite pertvarkyti kraštutinius, vidurinius narius; galite pertvarkyti abu vienu metu.

Nes proporcingai a / b = c / d Raidėmis turime omenyje skaičius, išreiškiančius atkarpų ilgius, tada jos kraštinių narių sandauga yra lygi vidurinių narių sandaugai. Iš čia, žinodami tris proporcijos sąlygas, galite rasti nežinomą ketvirtąjį jos terminą. Taip, proporcingai a / x = c / d x = Reklama / c

Atkreipkime dėmesį į dar keletą proporcijų savybių, kuriomis ateityje teks pasinaudoti įrodant kai kurias teoremas ir sprendžiant uždavinius.

a) Jei trys vienos proporcijos nariai yra atitinkamai lygūs trims kitos proporcijos nariams, tai ir ketvirtieji šių proporcijų nariai yra lygūs.

Jeigu a / b = c / x Ir a / b = c / y, Tai x = y. Iš tikrųjų, x = b c / a , adresu = b c / a, t.y. ir X Ir adresu lygus tam pačiam skaičiui b c / a .

b) Jei ankstesni nariai yra lygūs proporcingai, tai ir vėlesni yra lygūs, t.y a / x = a / y, Tai x = y.

Norėdami tai patikrinti, pertvarkykime vidurinius terminus šia proporcija.

Mes gauname: a / a = x / y. Bet a / a= 1. Todėl ir x / y = 1.

Ir tai įmanoma tik tuo atveju, jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra lygūs, t.y.

x = y.

c) Jei paskesni nariai yra lygūs proporcingai, tai ankstesnieji yra lygūs, t.y x / a = y / a, Tai x = y.

Kviečiame patys įsitikinti šios nuosavybės galiojimu. Norėdami tai padaryti, atlikite samprotavimus, panašius į ankstesnį.

Proporcingų segmentų konstravimas

Teorema. Jei dvi tieses kerta trys lygiagrečios tiesės, tada vienoje tiesėje gautų dviejų atkarpų santykis yra lygus dviejų atitinkamų kitos tiesės atkarpų santykiui.

Tegul dvi tieses EF ir OP kerta trys lygiagrečios tiesės AB, CD ir MN (pav.).

Reikalaujama įrodyti, kad atkarpos AC, CM, BD ir DN, atitvertos tarp lygiagrečių sekantų, yra proporcingos, t.y.

AC/CM = BD/DN

Tegu atkarpos AC ilgis yra R, o atkarpos CM ilgis lygus q.

Pavyzdžiui, R= 4 cm ir q= 5 cm.

Padalinkime AC ir CM į atkarpas lygias 1 cm, o iš padalijimo taškų nubrėžkime tieses, lygiagrečias tiesėms AB, CD ir MN, kaip parodyta paveikslėlyje.

Tada tiesėje ARBA bus dedamos vienodos atkarpos, 4 segmentai atkarpoje BD ir 5 segmentai atkarpoje DN.

AC ir CM santykis yra 4/5, taip pat BD ir DN santykis yra 4/5.

Taigi AC/CM = BD/DN.

Tai reiškia, kad segmentai AC, CM, BD ir DN yra proporcingi. Segmentai AC, AM, BD ir BN (persidengiantys vienas kitą) taip pat yra proporcingi, t. y. AC / AM = BD / BN,

nes AC/AM = 4/9 ir BD/BN = 4/9

Teorema galios bet kurioms kitoms sveikųjų skaičių reikšmėms R Ir q.

Jei atkarpų AC ir CM ilgiai nėra išreikšti sveikaisiais skaičiais tam tikram matavimo vienetui (pavyzdžiui, centimetrui), tuomet reikia paimti mažesnį vienetą (pavyzdžiui, milimetrą arba mikroną), kuriame atkarpų AC ir CM ilgiai praktiškai išreiškiami sveikaisiais skaičiais.

Įrodyta teorema galioja ir tuo atveju, kai vienas iš lygiagrečių sekantų eina per šių tiesių susikirtimo tašką. Tai galioja ir tuo atveju, kai atkarpos braižomos ne tiesiogiai viena po kitos, o po tam tikro intervalo.