Av ve cd bölümlerinin her biri. Segmentlerin karşılaştırılması

7. Bir düzlem üzerinde birçok nokta ve doğru yerleştirilmiştir. Bunu kabul et bir düzlem üzerinde noktalar ve düz çizgiler oluşturabilirsiniz; Uygulamada düz bir çizgi oluşturmak için bir cetvel kullanılır.

Düz çizgi her iki yönde de sonsuzca uzanır. Lanet olsun. 4 düz çizgi AB inşa edilmiştir; hayal gücünüzle her iki yönde de sonsuza kadar devam ettirebilirsiniz. CD düz çizgisi üzerinde herhangi bir nokta, örneğin O noktası oluşturursanız (Şekil 4), düz çizgi 2 parçaya bölünecektir: bir parça O noktasından sağa doğru sonu olmayan bir şekilde uzanır ve diğeri noktadan itibaren uzanır. O sonu olmayan sola. Bu parçaların her birine ışın denir. Burada 2 ışınımız var: OD ışını ve OC ışını.

Her noktadan sayısız ışın oluşturabiliriz.

Düz bir çizgi üzerinde 2 nokta alırsak, örneğin KL düz çizgisinde (Şekil 4) E ve F noktalarını alırsak, o zaman düz çizginin bu noktalar arasındaki kısmına doğru parçası denir. Çizimde EF segmentimiz var.

8. 2 segment verilerini karşılaştırın AB ve CD (taslak 5).

CD parçasını, C noktası A'ya çarpacak şekilde hareket ettirelim ve CD parçası AB doğru parçası boyunca ilerleyene kadar A noktası etrafında döndürelim. Bunu başardığımızda D noktasının nereye düştüğünü not ediyoruz: B'ye düşüyorsa parçalarımız eşittir; D, A ve B noktaları arasında bir yere düşerse (örneğin, M'de), o zaman CD segmenti AB segmentinden daha az kabul edilir ve D noktası B noktasının (örneğin, N'de) gerisinde kalırsa, o zaman segment CD, AB segmentinden daha büyüktür.

İki parçayı "karşılaştırmayı", bunların eşit olup olmadığını veya birinin diğerinden büyük olup olmadığını belirlemek anlamında anlıyoruz.

9. Verilen iki parçanın toplamını bulun.

AB ve CD olmak üzere iki segment alınır (Şekil 6); bu segmentleri eklemeniz gerekir.

Bunu yapmak için, CD parçasını C noktası B'ye çarpacak şekilde hareket ettiririz ve ardından AB doğru parçasının devamını takip edene kadar B etrafında döndürürüz. D noktasının nereye düştüğüne dikkat edin; K'ye çarparsa, BK = CD ve AK = AB + BK veya AK = AB + CD segmenti olur.

Herhangi bir bölüm ara noktalarla birkaç terimin toplamına bölünebilir; Örneğin:

AB = AC + CD + DE + EF + FB (çizim 7)

Bizim için açıktır ki bölümlerin toplamı terimlerin yeniden düzenlenmesine bağlı olarak değişmez .

10. İki segment arasındaki farkı bulun.

AB ve CD olmak üzere iki segment verildiğinde (Şekil 8); daha küçük CD segmentini daha büyük AB segmentinden çıkarmanız gerekir.

CD parçasını D noktası B noktasına çarpacak şekilde hareket ettiriyoruz ve onu BA yönüne gidene kadar B etrafında döndürmeye başlıyoruz; Bunu başardığımızda C noktasının nereye düşeceğini not edelim, C, K'ya düşerse KB = CD ve AK = AB – KB veya AK = AB – CD olur.

Bu parçayı 2, 3, 4 vb. ile çarpabilirsiniz, yani terim olarak 2, 3 vb. kez tekrarlayabilirsiniz.

Paragraflardan. 8-10'a göre, şunu anlamamız önemlidir: 1) aşağıdaki kavramlar sayılara olduğu kadar segmentlere de uygulanabilir: "eşit", "büyüktür" ve "küçüktür"; 2) “İki parçanın toplamı ve farkı” kavramının çok kesin bir anlamı vardır.

Uygulamada, belirli bir parçaya eşit bir parça oluşturmak için pusula kullanılır.

11. Egzersizler. 1. Aşağıdaki görsellerin her birinde özet bölümlerini ve bunların toplamını adlandırın; yazın (çizim A).

2. Aynı çizimlerde hangi parçanın diğer iki parçanın farkı olarak kabul edilebileceğini belirtin; yazın.

3. Bu parçayı 2, 3 ve 4 terime bölün; yazın.

4. Bu parçayı diğer iki parçanın farkı olarak gösterin.

12. İnşa edebiliriz bir noktadan çıkan iki ışından oluşan şekil, – böyle bir şekle açı denir. Lanet olsun. Şekil 9, O noktasından çıkan OA ve OB ışınlarından oluşan bir açıyı göstermektedir. Bu noktaya açının tepe noktası denir ve her ışına kendi tarafı denir. “Açı” kelimesinin yerini ∠ işareti almıştır. Açı, biri tepe noktasına, diğer ikisi açının kenarlarında bir yere yerleştirilen üç harfle adlandırılır - tepe noktasındaki harf, açı adının ortasına yerleştirilir. Lanet olsun. 9 ∠AOB veya ∠BOA'ya sahibiz; Bazen bir açıya tepe noktasına yerleştirilen ve ∠O diyen bir harf denir. Açının (ışınların) kenarlarının sonsuz olduğu düşünülmelidir.

Kenarları tek bir düz çizgi oluşturduğunda açının özel bir durumu ortaya çıkar; böyle özel bir açıya düzleştirilmiş veya denir dönüş açısı(Şekil 12'de AOB ve A 1 O 1 B 1 dik açıları gösterilmektedir).

Her açı düzlemi 2 parçaya, iki bölgeye ayırır. Bu parçalardan birine denir iç alan köşe ve köşenin içinde olduğunu söyleyin, diğerine denir dış alan köşe ve köşenin dışında olduğunu söyleyin. Bu iki kısımdan hangisinin dış bölge, hangisinin iç bölge olduğu ise bir şart meselesidir. Her seferinde dahili bir şeyi, örneğin bir alanı işaretlemelisiniz. Köşenin kenarları arasındaki iç alana çizilen eğri çizgilerle köşenin iç alanını işaretleyeceğiz; siyah 10 ABC, DEF açılarının ve düzleştirilmiş ∠KLM açılarının iç bölgelerini işaretler.

İnce bir karton tabakasının köşelerini kesmek faydalıdır: bir karton parçası, düzlemin bir kısmının kaba bir temsilidir; Üzerine bir noktadan çıkan iki ışın çizip bu parçayı çizilen açının kenarları boyunca keserek karton parçasını 2 parçaya böleceğiz; Açının içinde olduğunu varsaymak istediğimiz bu parçalardan birini alıp diğerini çıkaralım - o zaman iç bölgesiyle birlikte açının bir modeline sahip olacağız. Bu modeli doğru bir şekilde yorumlamak için, bir karton parçasının bir düzlemin yalnızca bir kısmının görüntüsü olduğu ve düzlemin kendisinin sonsuz bir şekilde uzandığı akılda tutulmalıdır.

13. Verilen iki açıyı karşılaştırın∠ABC ve ∠DEF (çizim 11).

İki açıyı "karşılaştırmak", açıların eşit mi yoksa birinin diğerinden büyük mü olduğunu belirlemek anlamına gelir. Bunu yapmak için, iç alanları birbirini takip edecek şekilde bir açıyı diğerinin üzerine bindirmeye başlayacağız: bu durumda açılarımızın köşelerinin ve yanlarının hizalanmasını sağlamanın mümkün olduğu ortaya çıkarsa, o zaman şunu söyleriz: bu açıların eşit olduğunu; açılarımızın bir tarafındaki köşeleri çakışıyor ancak diğer kenarları çakışmıyorsa açılar eşit değildir ve küçük olanı iç alanı diğerinin iç alanına uyan açı olarak okuruz.

Egzersiz yapmak. Kağıttan köşe modellerini iç alanlarıyla birlikte kesin ve bu modelleri üst üste yerleştirerek yukarıda açıklanan durumların olasılığını belirleyin; Bir açılı modeli kestikten sonra, ona eşit bir açının modelini ve ona eşit olmayan açıların modellerini (az ya da çok) kesin.

ABC ve DEF açılarına bakalım (Şekil 11); çizimde her birinin iç alanı işaretlenmiştir. ∠DEF'i, E köşe noktası B noktasına çarpacak ve EF tarafı BC kenarı boyunca gidecek şekilde hareket ettiririz - o zaman köşelerin iç alanları birbiri ardına yerleştirilecektir. Eğer ED kenarı BA kenarı boyunca gidiyorsa ∠DEF = ∠ABC; ED tarafı örneğin BM ışını boyunca ∠ABC'nin içine girerse, o zaman ∠DEF olur< ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF >∠ABC.

Şekil 2'de verilen ABC ve DEF açıları (iç bölgeleri işaretlenmiş) için aynı mantığı tekrarlamakta fayda var. 11 bis.

İki açıyı iki düz açıyla karşılaştırmanın açıklanan yöntemini uygulayalım. İç alanları çizimde işaretlenmiş olan 2 düzleştirilmiş açımız ∠AOB ve ∠A1O1B1 (çizim 12) olsun. Bu açılardan birini, birinin O 1 köşesi diğerinin O köşesine denk gelecek ve birinin O 1 A 1 tarafı diğerinin OA kenarı boyunca gidecek şekilde diğerinin üzerine bindirerek şu sonuca varırız: A 1 O 1 B 1 ve AOB çizgileri, konumu iki nokta tarafından belirlenen düz çizgiler olduğundan, bu O 1 B 1 ve OB açılarının diğer kenarlarının çakıştığı. (Bazen AOB çizgisinin düz bir çizgi olduğunu söylemek yerine “OB, OA’nın devamıdır” derler). Bu nedenle şu sonuca varıyoruz:

Bütün dik açılar birbirine eşittir.

14. Düzleştirilmiş ∠AOB (çizim 12), düzlemi iç ve dış olmak üzere 2 bölgeye ayırır. Düzlemi AOB düz çizgisi boyunca bükerseniz, bu parçaların her ikisi de çakışacaktır. Bu nedenle düzleştirilmiş bir açının iç ve dış alanlarının birbirine eşit olduğunu varsayabiliriz.

Düzeltilmemiş herhangi bir açımız varsa, örneğin ∠DEF (çizim 11 veya çizim 11 bis), o zaman bunun kenarlarından birini, örneğin DE kenarını (çizimlerde devamı çizilmemiştir) devam ettirerek şunu göreceğiz: açımız hakkında, ya düzleştirilmiş olandan daha küçük (çizim 11) ya da ondan daha büyük (çizim 11 bis) olduğu tespit edilebilir; Düzlemin iki kısmından hangisinin köşenin iç bölgesi olarak alındığına bağlıdır. Genellikle açının iç alanı, bu açı düzleştirilmiş olandan daha küçük olacak şekilde seçilir ve bu durumda açının iç alanını işaretlememeyi kabul ederiz. Bazen açının orijini, iç bölgenin, açının düzleştirilmiş olandan daha büyük olacağı düzlemin bir parçası olarak kabul edilmesi gerektiğini gösterecektir. Bu durumlar bazen ileride meydana gelebilir ve sonrasında köşenin iç alanını işaretlememiz gerekir.

15. İki açının toplamını bulun: ∠AOB ve ∠PNM (çizim 13) veya ∠AOB ve ∠PNM'yi ekleyin.

Buradaki çizimde köşelerin iç alanları işaretlenmemiştir; önceki paragraftaki açıklamaya göre bu, her açının düzleştirilmişten daha az olacak şekilde seçilmesi gerektiği anlamına gelir ve bu alanları açıkça görürüz.

∠PNM'yi N köşe noktası AOB açısının O köşe noktasıyla çakışacak şekilde hareket ettirelim ve O noktası etrafında dönerek NP tarafının OB tarafı boyunca ilerlemesini sağlayacağız; o zaman açılarımızın iç bölgeleri birbirine bitişik olacaktır - bu durum açıların eklenmesi için gereklidir. Daha sonra NM tarafının nasıl gideceğine dikkat edelim: örneğin OC ışını boyunca ilerlemesine izin verin. Daha sonra verilen iki açının toplamı olarak alınan yeni bir ∠AOC elde ederiz. Yazabiliriz:

1) ∠BOC = ∠PNM, 2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
ve 3) (1'e dayanarak) ∠AOC = ∠AOB + ∠PNM.

Ayrıca birkaç köşeyi de katlayabilirsiniz; Bu açıyı birkaç terime ayırabilirsiniz. Lanet olsun. 14 elimizde:

∠AOE = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.

Toplamları düzleştirilmiş açıya eşit olacak şekilde birbirine uygulanan iki veya daha fazla açıyı oluşturmak kolaydır. Birkaç açının toplamının düzleştirilmiş açıdan daha büyük olması mümkündür (Şekil 15), bu toplamın iç bölgesi not edilmelidir.

Eklenen açıların iç alanları birbirlerine uygulandığında tüm düzlemi kapladığında, açı eklemenin başka bir özel durumu da mümkündür. Lanet olsun. Şekil 16'da şu açılara sahibiz: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF ve ∠FOA. Bu durumda, OA ışınının devamı olan OM ışınını oluşturduğumuzda, açılarımızın toplamının iki düz açıdan oluştuğunu görürüz: 1) düzleştirilmiş ∠AOM, iç bölgesi bir eğri çizgiyle işaretlenmiştir. ve 2) iç bölgesi çift eğri çizgiyle işaretlenmiş olan düzleştirilmiş ∠AOM. İşte elimizde:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 2 düzleştirilmiş köşe.

Onlar söylüyor: Bir noktayı çevreleyen ardışık tüm açıların toplamı iki dik açıya eşittir.

Çizimde oluşturulanların dışında ek açılar varsa. 16, daha sonra ilk düzeltilmiş açı boyunca öncekilere tekrar uygulanmaları gerekecek ve daha sonra toplamın ikiden fazla düzleştirilmiş açı, üç düzleştirilmiş açıya eşit, üçten fazla düzleştirilmiş açı vb. olduğu ortaya çıkacak.

16. İki açının farkını bulun: ∠AOB ve ∠MNP (Dev. 17), veya ∠MNP olduğunu varsayarak ∠AOB'den ∠MNP'yi çıkarın< ∠AOB.

∠MNP'yi N köşesi AOB açısının O köşesine denk gelecek şekilde hareket ettirelim; O noktası etrafında dönerek, NM tarafının OB tarafı boyunca ilerlemesini ve bu açıların iç alanlarının üst üste yerleştirilmesini sağlayacağız. NP tarafının OC ışınını takip etmesine izin verin; o zaman yeni bir ∠AOC elde ederiz, bunun hakkında ∠AOC + ∠COB = ∠AOB olduğunu biliyoruz, bundan toplamanın ters eylemi olarak çıkarma tanımına göre şunu elde ederiz:

∠AOC = ∠AOB – ∠COB,
fakat ∠COB = ∠MNP; Bu yüzden
∠AOC = ∠AOB – ∠MNP.

Paragraflardan. Şekil 13-16'da aşağıdaki kavramların doğru parçalarına olduğu kadar açılara da uygulanabileceği fikrini kavramalıyız: daha fazla, daha az, eşit ve iki açının toplamı ve farkı kavramlarının belli bir anlamı olduğu.

17. Egzersizler. 1. Birbirine bitişik iki açı oluşturunuz, bunları harflerle adlandırınız, toplamlarını gösteriniz ve bu açıların toplamını yazınız.

2. Aynı çizimde açılardan birinin diğer ikisinin farkı olduğunu belirtiniz; bir yere yaz.

3. Aşağıdaki çizimlerde (bkz. Çizim B), ∠AOB diğer iki açının farkıyla ifade edilmektedir.

4. Bu açıyı 2, 3 ve 4 terime bölün; her zaman yaz; aynısını düzleştirilmiş köşeyle yapın.

5. Bu açıyı düzleştirilmiş açı ile başka bir açı arasındaki fark olarak gösterin. Bunun için nasıl bir yapıya ihtiyaç var?

6. Kağıttan kesilmiş açı modellerini kullanarak açıları toplayın ve çıkarın.

18. Gelecekte harfi kısaltmak için açıları sayı olarak adlandırıp sık sık numaralandıracağız. Köşeye yakın her açının içine açı sayılarını yazacağız.

∠AOB'yi (çizim 18) oluşturalım ve buna ∠1 adını verelim. Bu açıyı düz olana ekleyelim. Sorunun iki çözümü vardır: OA ışınının devamı olarak hizmet eden bir OC ışınını oluşturun; o zaman gereksinimi karşılayan ∠BOC veya ∠2'yi elde ederiz, çünkü şunu görürüz:

∠1 + ∠2 = düzleştirilmiş açı.

Burada, toplam düzleştirilmiş açıya eşit olduğunda iki açının eklenmesine ilişkin bir örneğimiz var - bu tür açılara bitişik denir: ∠1 ve ∠2 komşu açılardır. 2 açının “komşu” olarak adlandırılabilmesi için 1) birbirine bağlı olması ve 2) toplamlarının düz açıya eşit olması veya aynı şekilde bu açıların ortak bir açıya sahip olması gerekir. köşe (1 ve 2 açılarında ortak köşe O), bir ortak kenar (köşelerimiz ortak OB kenarına sahiptir) ve diğer iki kenar birbirinin devamıdır (OC, OA'nın devamıdır).

Sorunumuzun ikinci çözümü, OB tarafına devam edersek elde edilecektir - OD, OB'nin devamı olsun; o zaman ∠1'e bitişik başka bir ∠AOD veya ∠4 elde ederiz. Ortaya çıkan COD açısına da ∠3 diyelim.

Sorunumuza elde edilen 2 çözümü, yani ∠2 ve ∠4'ü inceleyelim. ∠2 ve ∠4'ün konumunun tuhaflığını görüyoruz: ortak bir O köşesine sahipler, birinin kenarları diğerinin kenarlarının devamı, yani OC, OA'nın devamı ve tersi ve OB, OD'nin devamı ve bunun tersi - bu iki açıya dikey denir.

O zaman hem ∠2 hem de ∠4'ün her birinin düzeltilene kadar ∠1'i tamamladığını biliyoruz; buradan şu sonuca varıyoruz

Burada ikinci değerlendirmenin daha ayrıntılı bir özetini bulabilirsiniz. Yapıya göre elimizde:

1) ∠1 + ∠2 = düzleştirilmiş açı;
2) ∠1 + ∠4 = düzleştirilmiş açı.

Her iki toplamanın da aynı toplamı verdiğini (tüm dik açılar birbirine eşittir) ve ayrıca her iki toplamadaki bir terimin (yani ∠1) aynı olduğunu görüyoruz; buradan diğer terimlerin birbirine eşit olması gerektiği sonucuna varırız, yani ∠2 = ∠4.

Kesişen iki düz çizgi çizersek iki çift dikey açı elde ederiz. Lanet olsun. Şekil 18'de AC ve BD doğrularımız var, dikey açılardan biri ∠2 ve ∠4, diğeri ise ∠1 ve ∠3'tür. Yukarıdaki her şey her dikey açı çifti için geçerlidir; örneğin, ∠1 ve ∠3 çifti için, bunların her birinin ∠2'yi düzeltilmiş olana tamamlaması gerekir, dolayısıyla ∠1 = ∠3 olur. Bu nedenle şu teoremimiz var:
Düşey açılar birbirine eşittir.

Egzersiz yapmak. Noktadan geçen üç düz çizgi çizin ve ortaya çıkan dikey açıları belirtin; eşitliklerini yazınız.

Çizgi segmenti. Segmentin uzunluğu. Üçgen.

1. Bu paragrafta geometrinin bazı kavramlarıyla tanışacaksınız. Geometri- "dünyayı ölçme" bilimi. Bu kelime Latince kelimelerden gelir: geo - dünya ve metri - ölçmek, ölçmek. Geometride çeşitli geometrik nesneler, özellikleri, dış dünyayla bağlantıları. En basit geometrik nesneler bir nokta, bir çizgi ve bir yüzeydir. Geometrik şekiller ve cisimler gibi daha karmaşık geometrik nesneler en basitinden oluşturulur.

A ve B gibi iki noktaya bir cetvel uygulayıp bu noktaları birleştiren bir çizgi çizersek, şunu elde ederiz: çizgi segmenti, buna AB veya VA denir (okuyuyoruz: “a-be”, “be-a”). A ve B noktalarına denir segmentin sonları(resim 1). Bir parçanın uçları arasındaki uzunluk birimi cinsinden ölçülen mesafeye denir. uzunlukkesmekka.

Uzunluk birimleri: m - metre, cm - santimetre, dm - desimetre, mm - milimetre, km - kilometre vb. (1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm). Segmentlerin uzunluğunu ölçmek için bir cetvel veya şerit metre kullanın. Bir parçanın uzunluğunu ölçmek, belirli bir uzunluk ölçüsünün ona kaç kez uyduğunu bulmak anlamına gelir.

Eşitüst üste bindirilerek birleştirilebilen iki parçaya denir (Şekil 2). Örneğin, bölümlerden birini gerçekten veya zihinsel olarak kesebilir ve uçları çakışacak şekilde diğerine ekleyebilirsiniz. AB ve SK doğru parçaları eşitse AB = SK yazarız. Eşit segmentler eşit uzunluklara sahiptir. Bunun tersi doğrudur: eşit uzunluktaki iki parça eşittir. İki parçanın uzunlukları farklıysa bunlar eşit değildir. Eşit olmayan iki parçadan küçük olanı diğer parçanın bir parçasını oluşturandır. Bir pusula kullanarak örtüşen bölümleri karşılaştırabilirsiniz.

AB parçasını zihinsel olarak her iki yönde sonsuza kadar uzatırsak, o zaman şu konuda bir fikir ediniriz: dümdüz AB (Şekil 3). Bir doğru üzerinde bulunan herhangi bir nokta onu ikiye böler ışın(Şekil 4). C noktası AB doğrusunu ikiye böler ışın SA ve SV. Tosca C denir ışının başlangıcı.

2. Aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta doğru parçalarıyla birbirine bağlanırsa, o zaman adı verilen bir şekil elde ederiz. üçgen. Bu noktalara denir zirvelerüçgen ve onları birbirine bağlayan doğru parçaları partilerüçgen (Şekil 5). FNM - üçgen, FN, NM, FM segmentleri - üçgenin kenarları, F, N, M noktaları - üçgenin köşeleri. Tüm üçgenlerin kenarları aşağıdaki özelliğe sahiptir: d Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu her zaman diğer iki kenarının uzunluklarının toplamından küçüktür.

Örneğin bir masa tablasının yüzeyini zihinsel olarak her yöne doğru uzatırsanız, uçak. Noktalar, doğru parçaları, doğrular, ışınlar bir düzlem üzerinde yer almaktadır (Şekil 6).

Blok 1. Ek

İçinde yaşadığımız dünya, bizi çevreleyen her şey, eskiler doğa ya da uzay adını verdiler. İçinde yaşadığımız alan üç boyutlu olarak kabul edilir, yani. üç boyutu vardır. Genellikle denir: uzunluk, genişlik ve yükseklik (örneğin, odanın uzunluğu 4 m, odanın genişliği 2 m ve yüksekliği 3 m'dir).

Geometrik (matematiksel) nokta fikrini bize gece gökyüzündeki bir yıldız, bu cümlenin sonundaki bir nokta, bir iğneden gelen işaret vb. verir. Ancak listelenen nesnelerin hepsinin boyutları vardır; aksine, geometrik bir noktanın boyutları sıfıra eşit kabul edilir (boyutları sıfıra eşittir). Bu nedenle gerçek bir matematiksel nokta ancak zihinsel olarak hayal edilebilir. Ayrıca nerede bulunduğunu da söyleyebilirsiniz. Dolma kalemle deftere nokta koyarak geometrik bir nokta tasvir etmeyeceğiz, ancak oluşturulan nesnenin geometrik bir nokta olduğunu varsayacağız (Şekil 6). Noktalar Latin alfabesinin büyük harfleriyle belirtilmiştir: A, B, C, D, (Okumak " a noktası, be noktası, tse noktası, de noktası") (Şekil 7).

Direklere asılan teller, görünür bir ufuk çizgisi (gökyüzü ile yer veya su arasındaki sınır), haritada tasvir edilen bir nehir yatağı, bir jimnastik çemberi, bir çeşmeden fışkıran su bize çizgiler hakkında fikir verir.

Kapalı ve açık çizgiler, düzgün ve düzgün olmayan çizgiler, kendiyle kesişen ve kesişmeyen çizgiler vardır (Şekil 8 ve 9).

Bir parça kağıt, lazer disk, futbol topu kabuğu, ambalaj kutusu kartonu, Noel plastik maskesi vb. bize bir fikir ver yüzeyler(Şekil 10). Bir odanın veya arabanın zemini boyanırken zeminin veya arabanın yüzeyi boya ile kaplanır.

İnsan vücudu, taş, tuğla, peynir, top, buz saçağı vb. bize bir fikir ver geometrik cesetler (Şekil 11).

Tüm çizgilerin en basiti bu düz. Bir kağıdın üzerine bir cetvel yerleştirin ve kurşun kalemle onun üzerine düz bir çizgi çizin. Bu çizgiyi zihinsel olarak her iki yönde de sonsuza kadar uzattığımızda düz bir çizgi fikrini elde ederiz. Düz bir çizginin bir boyuta - uzunluğa sahip olduğuna ve diğer iki boyutunun sıfıra eşit olduğuna inanılmaktadır (Şekil 12).

Problemleri çözerken, cetvel boyunca kalem veya tebeşirle çizilen bir çizgi olarak düz bir çizgi gösterilir. Doğrudan çizgiler küçük Latin harfleriyle gösterilir: a, b, n, m (Şekil 13). Düz bir çizgiyi, üzerinde bulunan noktalara karşılık gelen iki harfle de belirtebilirsiniz. Örneğin, düz NŞekil 13'te şunu belirtebiliriz: AB veya VA, ADveyaDA,DB veya BD.

Noktalar bir çizgi üzerinde bulunabilir (bir çizgiye ait olabilir) veya bir çizgi üzerinde olmayabilir (bir çizgiye ait olmayabilir). Şekil 13 AB doğrusu üzerinde (AB doğrusuna ait olan) A, D, B noktalarını göstermektedir. Aynı zamanda yazıyorlar. Okuyun: A noktası AB doğrusuna, B noktası AB'ye, D noktası AB'ye aittir. D noktası da m doğrusuna aittir, buna denir genel nokta. D noktasında AB ve m doğruları kesişiyor. P ve R noktaları AB ve m düz çizgilerine ait değildir:

Her zaman herhangi iki noktadan düz bir çizgi çizebilirsin ve yalnızca bir tane .

Herhangi iki noktayı birleştiren tüm doğru türleri arasında uçları bu noktalar olan doğru parçası en kısa uzunluğa sahiptir (Şekil 14).

Noktalardan ve bunları birbirine bağlayan parçalardan oluşan şekle kesikli çizgi denir (Şekil 15). Kesikli bir çizgiyi oluşturan parçalara denir bağlantılar kesikli çizgi ve uçları - zirveler bozuk hat Kırık bir çizgi, tüm köşelerinin sırayla listelenmesiyle adlandırılır (belirtilir), örneğin ABCDEFG kesikli çizgisi. Kırık bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır. Bu, ABCDEFG kesik çizgisinin uzunluğunun toplamına eşit olduğu anlamına gelir: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Kapalı kırık çizgiye denir çokgen, köşelerine denir çokgenin köşeleri ve bağlantıları partilerçokgen (Şekil 16). Bir çokgen, herhangi birinden başlayarak tüm köşeleri sırayla listelenerek adlandırılır (belirlenir), örneğin çokgen (yedigen) ABCDEFG, çokgen (beşgen) RTPKL:

Bir çokgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamına ne denir çevre çokgen ve Latince ile gösterilir mektupP(Okumak: pe). Şekil 13'teki çokgenlerin çevreleri:

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Bir masa tablasının veya pencere camının yüzeyini zihinsel olarak her yöne sonsuza kadar uzatarak, yüzey hakkında bir fikir ediniriz. uçak (Şekil 17). Uçaklar Yunan alfabesinin küçük harfleriyle belirtilmiştir: α, β, γ, δ, ... (Biz okuyoruz: düzlem alfa, beta, gama, delta vb.).

Blok 2. Kelime Bilgisi.

§2'den yeni terimler ve tanımlar içeren bir sözlük hazırlayın. Bunu yapmak için aşağıdaki terim listesinden kelimeleri tablonun boş satırlarına girin. Tablo 2'de terim numaralarını satır numaralarına göre belirtiniz. Sözlüğü doldurmadan önce §2 ve blok 2.1'i dikkatlice incelemeniz önerilir.

Blok 3. Yazışmayı kurun (CS).

Geometrik şekiller.

Blok 4. Kendi kendine test.

Cetvel kullanarak bir parçayı ölçmek.

Bir AB parçasını santimetre cinsinden ölçmenin, onu 1 cm uzunluğundaki bir parçayla karşılaştırmak ve AB parçasına bu tür 1 cm'lik kaç tane parçanın sığdığını bulmak anlamına geldiğini hatırlayalım. Bir parçayı diğer uzunluk birimlerinde ölçmek için aynı şekilde ilerleyin.

Görevleri tamamlamak için tablonun sol sütununda verilen plana göre çalışın. Bu durumda sağ sütunu bir kağıtla kapatmanızı öneririz. Daha sonra bulgularınızı sağdaki tabloda yer alan çözümlerle karşılaştırabilirsiniz.

Blok 5. Bir dizi eylemin oluşturulması (SE).

Belirli bir uzunlukta bir parçanın oluşturulması.

seçenek 1. Tablo, belirli bir uzunlukta bir parça oluşturmak için karışık bir algoritma (karışık bir eylem sırası) içerir (örneğin, BC = 7 cm'lik bir parça oluşturalım). Sol sütunda eylemin bir göstergesi, sağ sütunda ise bu eylemin gerçekleştirilmesinin sonucu yer alır. Belirli bir uzunlukta bir parça oluşturmak için doğru algoritmayı elde edecek şekilde tablonun satırlarını yeniden düzenleyin. Doğru eylem sırasını yazın.

Seçenek 2. Aşağıdaki tabloda KM = n cm segmentini oluşturmak için kullanılan algoritma gösterilmektedir; N Herhangi bir sayıyı değiştirebilirsiniz. Bu seçenekte eylem ile sonuç arasında herhangi bir uygunluk yoktur. Bu nedenle, bir dizi eylem oluşturmak ve ardından her eylem için sonucunu seçmek gerekir. Cevabı şu şekilde yazın: 2a, 1c, 4b, vb.

Seçenek 3. Seçenek 2'nin algoritmasını kullanarak defterinizde n = 3 cm, n = 10 cm, n = 12 cm'lik bölümler oluşturun.

Blok 6. Faset testi.

Segment, ışın, doğru, düzlem.

Faset testinin görevlerinde Tablo 1'de verilen 1 - 12 numaralı resimler ve kayıtlar kullanılmış ve bunlardan görev verileri oluşturulmuştur. Daha sonra teste "TO" bağlantı kelimesinden sonra yerleştirilen görevlerin gereksinimleri eklenir. Sorunların cevapları “EŞİT” sözcüğünden sonra yer almaktadır. Görev seti Tablo 2'de verilmiştir. Örneğin, görev 6.15.19 şu şekilde oluşturulmuştur: “Eğer problem Şekil 6'yı kullanıyorsa , S Daha sonra buna 15 numaralı koşul da eklenir, görev şartı 19 olur.”

13) her üçü aynı düz çizgi üzerinde olmayacak şekilde dört nokta oluşturun;

14) her iki noktadan geçen düz bir çizgi çizin;

15) kutunun yüzeylerinin her birini zihinsel olarak her yöne sonsuza kadar uzatın;

16) şekildeki farklı bölümlerin sayısı;

17) şekildeki farklı ışınların sayısı;

18) şekildeki farklı düz çizgilerin sayısı;

19) elde edilen farklı düzlemlerin sayısı;

20) AC segmentinin santimetre cinsinden uzunluğu;

21) AB segmentinin kilometre cinsinden uzunluğu;

22) DC segmentinin metre cinsinden uzunluğu;

23) PRQ üçgeninin çevresi;

24) QPRMN kesikli çizgisinin uzunluğu;

25) RMN ve PRQ üçgenlerinin çevrelerinin bölümü;

26) ED bölümünün uzunluğu;

27) BE bölümünün uzunluğu;

28) ortaya çıkan çizgilerin kesişme noktalarının sayısı;

29) ortaya çıkan üçgenlerin sayısı;

30) düzlemin bölündüğü parça sayısı;

31) metre cinsinden ifade edilen çokgenin çevresi;

32) poligonun desimetre cinsinden ifade edilen çevresi;

33) santimetre cinsinden ifade edilen çokgenin çevresi;

34) milimetre cinsinden ifade edilen çokgenin çevresi;

35) kilometre cinsinden ifade edilen çokgenin çevresi;

EŞİTTİR (eşittir, şu şekle sahiptir):

a) 70; b) 4; c) 217; d) 8; e) 20; e) 10; g) 8∙b; h) 800∙b; i) 8000∙b; j) 80∙b; k) 63000; m) 63; m) 63000000; o) 3; n) 6; p) 630000; c) 6300000; t) 7; y) 5; t) 22; 28

Blok 7. Hadi oynayalım.

7.1. Matematik labirenti.

Labirent, her biri üç kapılı on odadan oluşur. Odaların her birinde bir geometrik nesne vardır (odanın duvarına çizilmiştir). Bu nesneyle ilgili bilgiler labirentin “rehberinde” bulunmaktadır. Okurken rehberde adı geçen odaya gitmeniz gerekiyor. Labirentin odalarından geçerken rotanızı çizin. Son iki odanın çıkışı var.

Labirent Rehberi

1. Labirente, başlangıcı olmayan ancak iki ucu olan geometrik bir nesnenin bulunduğu bir odadan girmelisiniz.
2. Bu odanın geometrik nesnesinin boyutları yoktur, gece gökyüzündeki uzak bir yıldız gibidir.
3. Bu odanın geometrik nesnesi üç ortak noktaya sahip dört parçadan oluşmaktadır.
4. Bu geometrik nesne dört ortak noktaya sahip dört parçadan oluşur.
5. Bu odada her birinin başlangıcı olan ama sonu olmayan geometrik nesneler bulunmaktadır.
6. Burada ne başlangıcı ne de sonu olan, ancak tek bir ortak noktası olan iki geometrik nesne var.

1. Bu geometrik nesne hakkında bir fikir, top mermilerinin uçuşuyla verilmektedir.

(hareketin yörüngesi).

1. Bu odada üç tepeli geometrik bir nesne var ama bunlar dağlık değil.

1. Bir bumerangın uçuşu bu geometrik nesne (avlanma) hakkında fikir verir.

Avustralya'nın yerli halkının silahları). Fizikte bu çizgiye yörünge denir

vücut hareketleri.

1. Bu geometrik nesneye dair fikir, gölün yüzeyi tarafından verilmektedir.

sakin hava.

Artık labirentten çıkabilirsiniz.

Labirent geometrik nesneler içerir: düzlem, açık çizgi, düz çizgi, üçgen, nokta, kapalı çizgi, kesikli çizgi, parça, ışın, dörtgen.

7.2. Geometrik şekillerin çevresi.

Çizimlerde geometrik şekilleri vurgulayın: üçgenler, dörtgenler, beşgenler ve altıgenler. Bir cetvel kullanarak (milimetre cinsinden) bazılarının çevrelerini belirleyin.

7.3. Geometrik nesnelerin bayrak yarışı.

Aktarma görevlerinde boş çerçeveler var. İçlerindeki eksik kelimeyi yazın. Daha sonra bu kelimeyi okun işaret ettiği başka bir çerçeveye taşıyın. Bu durumda bu kelimenin büyük/küçük harf durumunu değiştirebilirsiniz. Bayrak yarışının aşamalarından geçerken gerekli formasyonları tamamlayın. Röleyi doğru bir şekilde tamamlarsanız sonunda aşağıdaki kelimeyi alacaksınız: çevre.

7.4. Geometrik nesnelerin mukavemeti.

§ 2'yi okuyun, geometrik nesnelerin adlarını metninden yazın. Daha sonra bu kelimeleri “kalenin” boş hücrelerine yazın.

Uçları çakışacak şekilde üst üste bindirilebilen bölümlere eşit denir.

Bize iki AB ve CD doğru parçası verilsin (Şekil). AB parçasını CD parçasının üzerine yerleştirelim, böylece A noktası C noktasıyla çakışsın ve AB parçasını CD parçası boyunca yönlendirelim. B noktası D noktasıyla çakışıyorsa AB ve CD parçaları eşittir; AB = CD'dir.

İki segment KO ve EM'yi karşılaştıralım (Şek.).

K ve E noktaları çakışacak şekilde KO segmentini EM segmentinin üzerine yerleştirelim. KO segmentini EM segmenti boyunca yönlendirelim. O noktası, E ve M noktaları arasında bir yerdeyse, EM doğru parçasının KO doğru parçasından daha büyük olduğunu söylerler; KO segmenti EM segmentinden daha küçüktür.

Şöyle yazılır: EAT > KO, KO

Pusula kullanarak verilen bir parçaya eşit bir parça oluşturmak.

Belirli bir AB segmentine eşit bir segmentin inşası (Şek.), bir pusula kullanılarak şu şekilde gerçekleştirilir:

pusulanın bir ayağı AB segmentinin bir ucuna, diğeri ise diğer ucuna yerleştirilir ve pusulanın açısını değiştirmeden, bir ayağın ucu bir noktayı işaretleyecek şekilde onu belirli bir düz çizgiye aktarın N, sonra pusulanın diğer ayağının ucu aynı düz çizgi üzerinde bir R noktasını işaretler. NP segmenti AB segmentine eşit olacaktır.

Segmentlerin eklenmesi ve çıkarılması.

İki parçanın toplamını bulmak için, örneğin AB ve CD (Şek.), düz bir çizgi ve onun üzerinde bir nokta, örneğin N noktası (Şek., b), ardından bir pusula kullanarak ilk grafiği çizmeniz gerekir. N noktasından itibaren AB doğru parçasına eşit olan bu düz çizgi üzerindeki NP parçası ve daha sonra aynı yöndeki ucundan CD parçasına eşit bir PM parçası bırakır. NM segmentine AB ve CD segmentlerinin toplamı adı verilecektir.

Bu şekilde yazılmıştır:

NM = AB + CD.

Aynı şekilde birkaç parçanın toplamı da bulunur (Şek.)

MN = AB + CD + EF.

Aritmetikte sayı eklerken olduğu gibi segmentleri eklerken aşağıdaki yasalara uyulur: değişmeli ve ilişkisel.

AB + CD = CD + AB;

(AB + CD) + EF =AB + (CD + EF).

İki AB ve CD segmenti arasındaki farkı bulmak için (Şek.),

Daha küçük bir parçayı (CD) daha büyük bir parçaya (AB) ucundan, örneğin A noktasından ayırmak gerekir. Daha büyük segmentin geri kalan kısmı (KB), bu segmentlerin farkı olacaktır:

AB - CD = KV.

Bir parçayı bir tamsayıyla çarpmak ve bölmek.

a) AB parçasını bir tamsayıyla, örneğin 5 ile çarpın; bu, AB parçasının 5 kez terim olarak alınması gerektiği anlamına gelir (Şek.):

MN segmenti, AB segmenti ile 5 sayısının çarpımıdır.

b) Şekilde MN segmenti beş eşit parçadan oluşmaktadır, yani MN segmenti beş eşit parçaya bölünmüştür. Her biri MN segmentinin 1/5'ini oluşturur.

c) Bir doğru parçasını pusula kullanarak eşit parçalara bölmek için bunu yapın. Örneğin, bir parçayı iki eşit parçaya bölmeniz gerekiyorsa, pusula, pusulanın açıklığı parçanın yaklaşık yarısı kadar olacak şekilde gözle birbirinden uzaklaştırılır. Daha sonra belirli bir parçanın ucundan itibaren iki parça bu pusula çözümüyle birbiri ardına sıralanır. Ortaya çıkan bölümlerin toplamı bu bölümden azsa pusula çözümü artırılır; miktarın bu segmentten fazla olduğu ortaya çıkarsa pusula çözümü azaltılır. Böylece hatayı kademeli olarak düzelterek segmentin yarısını oldukça doğru bir şekilde bulabilirsiniz (Şek.).

Aynı şekilde bir segmentin yaklaşık olarak 3, 4, 5 vb. eşit parçaya bölünmesi gerçekleştirilir. Ancak bu durumda 1/3'ünü gözle almalısınız; 14; Bir parçanın 1/5...'i ve alınan parçayı, verilen parçanın kaç eşit parçaya bölünmesi gerektiğine bağlı olarak 3, 4, 5... kez bir kenara koyun.

Bir açının kenarlarında paralel çizgilerle kesilen parçaların özelliği

Teorem. Bir açının bir tarafına eşit bölümler yerleştirilirse ve uçlarından açının diğer tarafıyla kesişen paralel çizgiler çizilirse, açının bu tarafına eşit bölümler yerleştirilecektir.

ABN açısının AB tarafına eşit BM = MK = KS parçaları (Şekil) döşensin ve M, K ve C bölme noktalarından aynı açının BN kenarını kesen paralel çizgiler çizilsin.

Bu tarafta üç segment oluşturuldu: VM', M'K' ve K'S'. VM' = M'K' = K'C' olduğunun kanıtlanması gerekmektedir.

Bunu kanıtlamak için M' ve K' noktalarından AB'ye paralel düz çizgiler çiziyoruz. ВММ', М'ЭК' ve К'РС' üçgenlerini elde ederiz. Bu üçgenleri karşılaştıralım.

İlk önce MVM' ve M'EK' üçgenlerini karşılaştırın. Bu üçgenlerde elimizde:

∠1 = ∠2, paralel BA ve M'E ve sekant BN için karşılık gelen açılar olarak;

∠3 = ∠4, kenarları paralel olan 1 dar açı olarak (AB || M'E ve MM' || KK').

VM = Yapı itibariyle MK;

MK = M'E, paralelkenarın karşıt kenarları gibi.

1 ve 4 numaralı açıların her ikisi de geniş olabilir ancak bu durumda eşit kalacaklar ve dolayısıyla teoremin ispatı değişmeyecektir.

Bu nedenle BM = M'E. Böylece, ΔВММ’ = ΔМ’ЭК’ (yanda ve iki bitişik açıda). Bundan VM' = M'K' sonucu çıkar.

Ayrıca VM' = K'C', yani VM' = M'K' = K'C' olduğu da kanıtlanabilir. Teoremi kanıtlarken, parçaları açının tepe noktasından yerleştirmeye başladık, ancak teorem, parçaları yerleştirmenin açının tepe noktasından değil, yan tarafındaki herhangi bir noktadan başladığı durum için de geçerlidir.

Bu durumda köşenin tepe noktasının çizimde işaretlenmesine gerek yoktur (Şek.).

Teorem KO ve MR doğrularının paralel olduğu durum için de geçerlidir.

Orantılı segmentler

Aritmetikten iki oranın eşitliğine oran dendiğini biliyoruz. Örneğin: 16/4 = 20/5; 2/3 = 4/6 Geometride de aynı şey var: Eğer oranları eşit olan iki çift doğru parçası verilirse, o zaman bir orantı yapılabilir.

Eğer A / B= 4/3 ve C / D= 4/3 (Çizilmiş 351), o zaman oranı elde ederiz A / B = C / D ;

bölümler a, b, c, d arandı orantılı.

Davranış A / B aritmetikte olduğu gibi ilk bağıntı denir, C / D- ikinci ilişki; A Ve D oranın ekstrem terimleri denir, B Ve İle- orta üyeler.

Bir oranda oranlar tersine çevrilebilir; uçtaki üyeleri, ortadaki üyeleri yeniden düzenleyebilirsiniz; ikisini aynı anda yeniden düzenleyebilirsiniz.

Çünkü orantılı A / B = C / D harfler, parçaların uzunluklarını ifade eden sayılar anlamına gelir, bu durumda uç elemanlarının çarpımı orta elemanlarının çarpımına eşittir. Buradan oranın üç terimini bilerek bilinmeyen dördüncü terimini bulabilirsiniz. Evet orantılı A / X = C / D X = bir d / C

Gelecekte bazı teoremleri kanıtlarken ve problemleri çözerken kullanmak zorunda kalacağımız oranların bazı özelliklerine daha dikkat edelim.

a) Bir oranın üç terimi sırasıyla başka bir oranın üç terimine eşitse, bu oranların dördüncü terimi de eşittir.

Eğer A / B = C / X Ve A / B = C / sen,O x = y. Aslında, X = M.Ö / A , en = M.Ö / A, yani ve X Ve en aynı sayıya eşit M.Ö / A .

b) Önceki terimler orantılı ise sonrakiler de eşittir, yani: A / X = A / sen, O x = y.

Bunu doğrulamak için ortadaki terimleri bu oranda yeniden düzenleyelim.

Şunu elde ederiz: A / A = X / sen. Ancak A / A= 1. Bu nedenle ve X / sen = 1.

Ve bu ancak kesrin payı ve paydası eşitse mümkündür;

x = y.

c) Sonraki terimler orantılı ise öncekiler de eşittir, yani: X / A = sen / A, O x = y.

Bu mülkün geçerliliğini kendiniz doğrulamaya davetlisiniz. Bunu yapmak için öncekine benzer bir mantık yürütün.

Orantılı segmentlerin inşası

Teorem. İki çizgi üç paralel çizgiyle kesişiyorsa, bir çizgide elde edilen iki bölümün oranı, diğer çizginin karşılık gelen iki bölümünün oranına eşittir.

İki EF ve OP çizgisinin üç paralel AB, CD ve MN çizgisiyle kesişmesine izin verin (Şekil).

Paralel sekantlar arasına alınan AC, CM, BD ve DN bölümlerinin orantılı olduğunun kanıtlanması gerekir;

AC/CM = BD/DN

AC segmentinin uzunluğu şöyle olsun: R ve CM segmentinin uzunluğu eşittir Q.

Örneğin, R= 4 cm ve Q= 5cm.

AC ve CM'yi 1 cm'lik parçalara bölelim ve bölme noktalarından şekilde gösterildiği gibi AB, CD ve MN doğrularına paralel düz çizgiler çizelim.

Daha sonra, BD segmentinde 4 segment ve DN segmentinde 5 segment olacak şekilde OR düz çizgisine eşit segmentler yerleştirilecektir.

AC'nin CM'ye oranı 4/5, benzer şekilde BD'nin DN'ye oranı da 4/5'tir.

Dolayısıyla AC/CM = BD/DN.

Bu, AC, CM, BD ve DN bölümlerinin orantılı olduğu anlamına gelir. AC, AM, BD ve BN segmentleri de (birbirleriyle örtüşen) orantılıdır, yani AC / AM = BD / BN,

AC/AM = 4/9 ve BD/BN = 4/9 olduğundan

Teorem diğer tamsayı değerleri için geçerli olacaktır. R Ve Q.

AC ve CM bölümlerinin uzunlukları belirli bir ölçü birimi (örneğin bir santimetre) için tamsayılarla ifade edilmiyorsa, daha küçük bir birimin (örneğin bir milimetre veya mikron) alınması gerekir; AC ve CM segmentlerinin uzunlukları pratik olarak tamsayılarla ifade edilir.

Kanıtlanmış teorem, paralel kesenlerden birinin bu çizgilerin kesişme noktasından geçmesi durumunda da geçerlidir. Segmentlerin doğrudan birbiri ardına değil, belirli bir aralıktan sonra çizilmesi durumunda da geçerlidir.