Každý zo segmentov av a cd. Porovnanie segmentov
7. Veľa bodov a čiar je umiestnených na rovine. Prijmite to môžete vytvárať body a priame čiary v rovine; V praxi sa na zostrojenie priamky používa pravítko.
Rovná čiara sa tiahne nekonečne oboma smermi. Do pekla. 4 je zostrojená priamka AB; s vašou fantáziou môžete pokračovať donekonečna v oboch smeroch. Ak zostrojíte akýkoľvek bod, napríklad bod O, na priamke CD (obrázok 4), potom sa priamka rozdelí na 2 časti: jedna časť sa tiahne od bodu O doprava bez konca a druhá od bodu O doľava bez konca. Každá z týchto častí sa nazýva lúč. Tu máme 2 lúče: OD lúč a OC lúč.
Cez každý bod môžeme zostrojiť nespočetné množstvo lúčov.
Ak vezmeme 2 body na priamke, napríklad na priamke KL (obrázok 4) body E a F, tak časť priamky medzi týmito bodmi sa nazýva úsečka. Na výkrese máme segment EF.
8. Porovnajte údaje 2 segmentov AB a CD (návrh 5).
Posuňme segment CD tak, aby bod C narazil na A, a otáčajme ho okolo bodu A, kým segment CD neprejde pozdĺž segmentu AB. Keď to dosiahneme, všimneme si, kam spadá bod D: ak spadá do B, potom sú naše segmenty rovnaké; ak D spadá niekde medzi body A a B (napríklad v M), potom sa segment CD považuje za menší ako segment AB a ak bod D spadá za bod B (napríklad v N), potom segment CD je väčšie ako segment AB.
„Porovnávanie“ dvoch segmentov chápeme v zmysle určenia, či sú rovnaké alebo jeden je väčší ako druhý.
9. Nájdite súčet dvoch daných segmentov.
Sú odobraté dva segmenty AB a CD (obr. 6); musíte pridať tieto segmenty.
Aby sme to dosiahli, posunieme segment CD tak, aby bod C zasiahol bod B, a potom ho otáčame okolo B, kým nebude nasledovať po pokračovaní segmentu AB. Všimnite si, kde spadá bod D; ak zasiahne K, potom segment BK = CD a AK = AB + BK alebo AK = AB + CD.
Každý segment možno rozdeliť medziľahlými bodmi na súčet niekoľkých výrazov; napr.:
AB = AC + CD + DE + EF + FB (nákres 7)
Je nám to jasné súčet segmentov sa nemení v závislosti od preskupenia pojmov .
10. Nájdite rozdiel medzi dvoma segmentmi.
Dané dva segmenty AB a CD (obr. 8); musíte odpočítať menší segment CD od väčšieho segmentu AB.
Pohneme segmentom CD tak, aby bod D narazil na bod B, a začneme ním otáčať okolo B, až kým nepôjde v smere BA; Všimnime si, kedy to dosiahneme, kam padne bod C. Ak C spadne do K, potom KB = CD a AK = AB – KB alebo AK = AB – CD.
Tento segment môžete vynásobiť 2, 3, 4 atď., t. j. zopakovať ho ako výraz 2, 3 atď.
Z paragrafov. 8-10, je dôležité, aby sme pochopili, že 1) nasledujúce pojmy sú použiteľné pre segmenty, ako aj pre čísla: „rovná sa“, „väčšie ako“ a „menšie ako“; 2) pojmy „súčet a rozdiel dvoch segmentov“ majú veľmi jasný význam.
V praxi sa na zostrojenie segmentu rovného danému používa kompas.
11. Cvičenia. 1. Pomenujte segmenty sčítancov a ich súčet na každom z nasledujúcich obrázkov; zapísať (nákres A).
2. Na rovnakých výkresoch uveďte, ktorý segment možno považovať za rozdiel dvoch ďalších segmentov; zapísať.
3. Rozdeľte tento segment na 2, 3 a 4 pojmy; zapísať.
4. Prezentujte tento segment ako rozdiel dvoch ďalších segmentov.
12. Môžeme stavať postava pozostávajúca z dvoch lúčov vychádzajúcich z jedného bodu, – takýto obrazec sa nazýva uhol. Do pekla. Obrázok 9 zobrazuje uhol pozostávajúci z lúčov OA a OB vychádzajúcich z bodu O. Tento bod sa nazýva vrchol uhla a každý lúč sa nazýva jeho strana. Slovo „uhol“ sa nahrádza znakom ∠. Uhol sa nazýva tromi písmenami, z ktorých jedno je umiestnené vo vrchole a ďalšie dve niekde po stranách uhla - písmeno na vrchole je umiestnené v strede názvu uhla. Do pekla. 9 máme ∠AOB alebo ∠BOA; niekedy sa uhol nazýva jedno písmeno umiestnené na jeho vrchole a hovorí ∠O. Strany uhla (lúče) sa musia považovať za nekonečné.
Špeciálny prípad uhla vznikne, keď jeho strany tvoria jednu priamku; takýto zvláštny uhol sa nazýva narovnaný resp natočený uhol(Obrázok 12 znázorňuje pravé uhly AOB a A101B1).
Každý uhol rozdeľuje rovinu na 2 časti, na dve oblasti. Jedna z týchto častí je tzv vnútorná oblasť rohu a povedzte, že leží vo vnútri rohu a ten druhý sa volá vonkajšia oblasť rohu a povedzte, že leží mimo rohu. Ktorá z týchto dvoch častí sa nazýva vonkajšia oblasť a ktorá vnútorná je vecou stavu. Zakaždým by ste mali označiť niečo vnútorné, napríklad oblasť. Vnútornú oblasť rohu označíme zakrivenými čiarami nakreslenými na vnútornej ploche medzi stranami rohu; na čierno 10 sú vyznačené vnútorné oblasti uhlov ABC, DEF a narovnaných ∠KLM.
Je užitočné vystrihnúť rohy z listu tenkého kartónu: kus kartónu je hrubým znázornením časti roviny; nakreslením dvoch lúčov vychádzajúcich z jedného bodu a rozrezaním tohto kusu pozdĺž strán nakresleného uhla rozdelíme kus lepenky na 2 časti; Zoberme si jednu z týchto častí, o ktorej chceme predpokladať, že leží vo vnútri uhla, a odstránime druhú - potom budeme mať model uhla spolu s jeho vnútornou oblasťou. Pre správnu interpretáciu tohto modelu je potrebné mať na pamäti, že kus kartónu je obrazom iba časti roviny a samotná rovina sa tiahne bez konca.
13. Porovnajte dva dané uhly∠ABC a ∠DEF (nákres 11).
„Porovnať“ dva uhly znamená určiť, či sú uhly rovnaké alebo či je jeden väčší ako druhý. Aby sme to dosiahli, začneme prekrývať jeden uhol na druhý tak, aby ich vnútorné oblasti išli pozdĺž seba: ak sa v tomto prípade ukáže, že je možné dosiahnuť, aby boli vrcholy a strany našich uhlov zarovnané, potom povieme že tieto uhly sú rovnaké; ak sa vrcholy na jednej strane našich uhlov zhodujú, ale ostatné strany sa nezhodujú, potom uhly nie sú rovnaké a menší z nich čítame ako ten, ktorého vnútorná plocha zapadá do vnútornej plochy toho druhého.
Cvičenie. Vystrihnite modely rohov z papiera spolu s ich vnútornými oblasťami a položením týchto modelov na seba vytvorte možnosť vyššie opísaných prípadov; Po vyrezaní modelu jedného uhla vyrežte model s rovnakým uhlom a modely uhlov, ktoré sa mu nerovnajú (viac alebo menej).
Pozrime sa na uhly ABC a DEF (obrázok 11); vnútorná plocha každého z nich je vyznačená na výkrese. ∠DEF posunieme tak, aby jeho vrchol E narazil na bod B a jeho strana EF smerovala pozdĺž strany BC - potom budú vnútorné plochy rohov umiestnené jedna po druhej. Ak strana ED ide pozdĺž strany BA, potom ∠DEF = ∠ABC; ak strana ED ide dovnútra ∠ABC, napríklad pozdĺž lúča BM, potom ∠DEF< ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF >∠ABC.
Je užitočné zopakovať rovnakú úvahu pre uhly ABC a DEF (s vyznačenými vnútornými oblasťami) ako je uvedené na obr. 11 bis.
Aplikujme opísanú metódu porovnania dvoch uhlov k dvom narovnaným uhlom. Majme 2 vyrovnané uhly ∠AOB a ∠A1O1B1 (výkres 12), ktorých vnútorné plochy sú na výkrese vyznačené. Priložením jedného z týchto uhlov na druhý tak, aby vrchol O 1 jedného spadal do vrcholu O druhého a aby strana O 1 A 1 jedného prechádzala pozdĺž strany OA druhého, dospejeme k záveru že ostatné strany týchto uhlov O 1 B 1 a OB sa zhodujú, keďže priamky A 1 O 1 B 1 a AOB sú priamky, ktorých polohu určujú dva body. (Niekedy hovoria: „OB je pokračovaním OA“ namiesto toho, aby povedali, že čiara AOB je priamka). Preto prichádzame k záveru:
Všetky pravé uhly sú si navzájom rovné.
14. Narovnaný ∠AOB (nákres 12) rozdeľuje rovinu na 2 oblasti, vnútornú a vonkajšiu. Ak ohnete rovinu pozdĺž priamky AOB, obe tieto časti sa zhodujú. Preto môžeme predpokladať, že vnútorné a vonkajšie plochy narovnaného uhla sú si navzájom rovné.
Ak máme nejaký nerektifikovaný uhol, napríklad ∠DEF (výkres 11 alebo výkres 11bis), potom pokračovaním jednej z jeho strán, napríklad stranou DE (na výkresoch nie sú nakreslené žiadne pokračovania), uvidíme, že o našom uhle možno zistiť, že je buď menší ako narovnaný (výkres 11), alebo väčší než on (výkres 11 bis); Závisí to od toho, ktorá z dvoch častí roviny sa považuje za vnútornú oblasť rohu. Zvyčajne sa vnútorná oblasť uhla volí tak, aby bol tento uhol menší ako narovnaný a v tomto prípade súhlasíme s tým, že vnútornú oblasť uhla nebudeme označovať. Niekedy začiatok uhla naznačí, že za vnútornú oblasť treba považovať tú časť roviny, v ktorej bude uhol väčší ako narovnaný. Tieto prípady sa niekedy vyskytnú v budúcnosti a potom musíme označiť vnútornú oblasť rohu.
15. Nájdite súčet dvoch uhlov: ∠AOB a ∠PNM (nákres 13), alebo pridajte ∠AOB a ∠PNM.
Tu na výkrese nie sú vyznačené vnútorné oblasti rohov; podľa poznámky z predchádzajúceho odseku to znamená, že musia byť zvolené tak, aby každý uhol bol menší ako narovnaný a tieto oblasti jasne vidíme.
Presuňme ∠PNM tak, aby sa jeho vrchol N zhodoval s vrcholom O uhla AOB a otáčaním okolo bodu O zabezpečíme, aby strana NP išla po strane OB; potom budú vnútorné oblasti našich uhlov susediť - táto okolnosť je podstatná pre sčítanie uhlov. Všimnime si potom, ako pôjde strana NM: nech ide napríklad pozdĺž lúča OC. Potom dostaneme nový ∠AOC, ktorý sa berie ako súčet dvoch daných uhlov. Môžeme napísať:
1) ∠BOC = ∠PNM, 2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
a 3) (na základe 1) ∠AOC = ∠AOB + ∠PNM.
Môžete tiež zložiť niekoľko rohov; Tento uhol môžete rozdeliť do niekoľkých pojmov. Do pekla. 14 máme:
∠AOE = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.
Je ľahké zostrojiť dva alebo viac uhlov aplikovaných na seba tak, aby sa ich súčet rovnal narovnanému uhlu. Je možné, že súčet viacerých uhlov bude väčší ako narovnaný uhol (obr. 15), treba si všimnúť vnútornú oblasť tohto súčtu.
Je možný aj ďalší špeciálny prípad pridania uhlov, keď vnútorné plochy pridaných uhlov pri vzájomnom priložení pokrývajú celú rovinu. Do pekla. 16 máme tieto uhly: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF a ∠FOA. V tomto prípade po zostrojení lúča OM, ktorý je pokračovaním lúča OA, vidíme, že súčet našich uhlov pozostáva z dvoch narovnaných uhlov: 1) narovnaného ∠AOM, ktorého vnútorná oblasť je označená jednou zakrivenou čiarou. a 2) narovnaný ∠AOM, ktorého vnútorná oblasť je označená dvojitou zakrivenou čiarou. Tu máme:
∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 2 zarovnané rohy.
Hovoria: Súčet všetkých po sebe nasledujúcich uhlov obklopujúcich bod sa rovná dvom pravým uhlom.
Ak existujú ďalšie uhly iné ako tie, ktoré sú skonštruované na výkrese. 16, potom sa budú musieť znova aplikovať na predchádzajúce pozdĺž prvého narovnaného uhla a potom sa ukáže, že súčet je viac ako dva narovnané uhly, rovnajúce sa trom narovnaným uhlom, viac ako trom narovnaným uhlom atď.
16. Nájdite rozdiel dvoch uhlov: ∠AOB a ∠MNP (Dev. 17), alebo odčítajte ∠MNP od ∠AOB, za predpokladu, že ∠MNP< ∠AOB.
Presuňme ∠MNP tak, aby jeho vrchol N spadal do vrcholu O uhla AOB; Rotáciou okolo bodu O potom dosiahneme, že strana NM ide pozdĺž strany OB a vnútorné oblasti týchto uhlov sú umiestnené jedna na druhej. Nechajte stranu NP sledovať lúč OC; potom dostaneme nové ∠AOC, o ktorom vieme, že ∠AOC + ∠COB = ∠AOB, z čoho podľa definície odčítania ako inverznej akcie sčítania dostaneme:
∠AOC = ∠AOB – ∠COB,
ale ∠COB = ∠MNP; Preto
∠AOC = ∠AOB – ∠MNP.
Z paragrafov. 13-16 musíme pochopiť myšlienku, že nasledujúce koncepty sú použiteľné pre uhly, ako aj pre segmenty: viac, menej, rovné, a že pojmy súčtu a rozdielu dvoch uhlov majú určitý význam.
17. Cvičenia. 1. Zostrojte dva k sebe pripojené uhly, pomenujte ich písmenami, označte ich súčet a zapíšte sčítanie týchto uhlov.
2. Na tom istom výkrese označte, že jeden z uhlov je rozdiel medzi ostatnými dvoma; Napíš to.
3. Na nasledujúcich nákresoch (pozri nákres B) je ∠AOB vyjadrené rozdielom ostatných dvoch uhlov.
4. Rozdeľte tento uhol na 2, 3 a 4 pojmy; zapíšte si to zakaždým; urobte to isté s narovnaným rohom.
5. Prezentujte tento uhol ako rozdiel medzi narovnaným a iným uhlom. Aká štruktúra je na to potrebná?
6. Pripočítajte a odčítajte uhly pomocou modelov uhlov vystrihnutých z papiera.
18. V budúcnosti budeme uhly často číslovať, aby sme písmeno skrátili tak, že ich budeme nazývať číslami. Čísla uhlov napíšeme do vnútra každého uhla blízko vrcholu.
Zostrojme ∠AOB (nákres 18) a nazvime ho ∠1. Pridajme tento uhol k priamemu. Úloha má dve riešenia: zostrojte lúč OC, ktorý slúži ako pokračovanie lúča OA; potom dostaneme ∠BOC alebo ∠2, čo spĺňa požiadavku, pretože vidíme, že
∠1 + ∠2 = narovnaný uhol.
Tu máme príklad sčítania dvoch uhlov, keď sa súčet rovná narovnanému uhlu – takéto uhly sa nazývajú susedné: ∠1 a ∠2 sú susedné uhly. Na to, aby sa 2 uhly nazývali „susedné“, je potrebné, aby 1) boli navzájom spojené a 2) aby sa ich súčet rovnal narovnanému uhlu, alebo, čo je to isté, aby tieto uhly mali spoločnú vrchol (v uhloch 1 a 2 spoločný vrchol O), jednu spoločnú stranu (naše rohy majú spoločnú stranu OB) a že ostatné dve strany sú pokračovaním jedna druhej (OC je pokračovanie OA).
Druhé riešenie nášho problému získame, ak budeme pokračovať stranou OB – nech je OD pokračovaním OB; potom dostaneme ďalšie ∠AOD alebo ∠4 susediace s ∠1. Výsledný uhol nazvime aj COD ∠3.
Preskúmajme 2 získané riešenia nášho problému, t.j. ∠2 a ∠4. Vidíme zvláštnosť umiestnenia ∠2 a ∠4: majú spoločný vrchol O, strany jednej z nich sú pokračovaním strán druhej, konkrétne OC je pokračovaním OA a naopak a OB je pokračovanie OD a naopak - takéto dva uhly sa nazývajú vertikálne.
Potom vieme, že ∠2 aj ∠4 dopĺňajú ∠1, kým nie sú opravené; odtiaľto usudzujeme
Tu je podrobnejšie zhrnutie poslednej úvahy. Podľa konštrukcie máme:
1) ∠1 + ∠2 = narovnaný uhol;
2) ∠1 + ∠4 = narovnaný uhol.
Vidíme, že oba sčítania vedú k rovnakému súčtu (všetky pravé uhly sú si navzájom rovné) a navyše jeden člen (konkrétne ∠1) v oboch sčítaniach je rovnaký; z toho vyvodíme, že ostatné členy sa musia navzájom rovnať, t.j. ∠2 = ∠4.
Ak zostrojíme dve pretínajúce sa priamky, dostaneme dva páry zvislých uhlov. Do pekla. 18 máme priamky AC a BD, jedna dvojica vertikálnych uhlov je ∠2 a ∠4 a druhá je ∠1 a ∠3. Všetko vyššie uvedené platí pre každý pár vertikálnych uhlov; napríklad pre pár ∠1 a ∠3 platí, že každý z nich dopĺňa ∠2 k rektifikovanému, teda ∠1 = ∠3. Preto máme vetu:
Vertikálne uhly sú navzájom rovnaké.
Cvičenie. Zostrojte tri priame čiary cez bod a označte výsledné vertikálne uhly; zapíšte si ich rovnosť.
Úsečka. Dĺžka segmentu. Trojuholník.
1. V tomto odseku sa zoznámite s niektorými pojmami geometrie. Geometria- veda o "meraní zeme". Toto slovo pochádza z latinských slov: geo - zem a metr - merať, merať. V geometrii rôzne geometrické objekty, ich vlastnosti, ich spojenie s vonkajším svetom. Najjednoduchšie geometrické objekty sú bod, čiara, plocha. Zložitejšie geometrické objekty, napríklad geometrické útvary a telesá, sa tvoria od najjednoduchších.
Ak použijeme pravítko na dva body A a B a nakreslíme pozdĺž neho čiaru spájajúcu tieto body, dostaneme úsečka, ktorý sa nazýva AB alebo VA (čítame: „a-be“, „be-a“). Body A a B sa nazývajú konce segmentu(obrázok 1). Vzdialenosť medzi koncami segmentu, meraná v jednotkách dĺžky, sa nazýva dĺžkarezaťka.
Jednotky dĺžky: m - meter, cm - centimeter, dm - decimeter, mm - milimeter, km - kilometer atď. (1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm). Na meranie dĺžky segmentov použite pravítko alebo zvinovací meter. Zmerať dĺžku úsečky znamená zistiť, koľkokrát sa do nej hodí konkrétna dĺžková miera.
Rovnaký sa nazývajú dva segmenty, ktoré možno kombinovať prekrývaním jedného na druhý (obrázok 2). Napríklad môžete skutočne alebo mentálne vystrihnúť jeden zo segmentov a pripevniť ho k inému tak, aby sa ich konce zhodovali. Ak sú segmenty AB a SK rovnaké, potom píšeme AB = SK. Rovnaké segmenty majú rovnakú dĺžku. Opak je pravdou: dva segmenty rovnakej dĺžky sú rovnaké. Ak majú dva segmenty rôzne dĺžky, potom nie sú rovnaké. Z dvoch nerovnakých segmentov je menší ten, ktorý tvorí časť druhého segmentu. Pomocou kompasu môžete porovnávať prekrývajúce sa segmenty.
Ak mentálne predĺžime segment AB v oboch smeroch do nekonečna, získame predstavu rovno AB (obrázok 3). Akýkoľvek bod ležiaci na priamke ju rozdelí na dve časti lúč(Obrázok 4). Bod C rozdeľuje čiaru AB na dve časti lúč SA a SV. Volá sa Tosca C začiatok lúča.
2. Ak sú tri body, ktoré neležia na tej istej priamke, spojené úsečkami, tak dostaneme obrazec tzv trojuholník. Tieto body sa nazývajú vrcholov trojuholník a segmenty, ktoré ich spájajú strany trojuholník (obrázok 5). FNM - trojuholník, úsečky FN, NM, FM - strany trojuholníka, body F, N, M - vrcholy trojuholníka. Strany všetkých trojuholníkov majú nasledujúcu vlastnosť: d Dĺžka ktorejkoľvek strany trojuholníka je vždy menšia ako súčet dĺžok jeho ďalších dvoch strán.
Ak mentálne roztiahnete napríklad povrch stolovej dosky do všetkých strán, získate predstavu o lietadlo. Body, segmenty, priamky, lúče sú umiestnené v rovine (obrázok 6).
Blok 1. Dodatočné
Svet, v ktorom žijeme, všetko, čo nás obklopuje, pradávna nazývaná príroda alebo vesmír. Priestor, v ktorom žijeme, sa považuje za trojrozmerný, t.j. má tri rozmery. Často sa nazývajú: dĺžka, šírka a výška (napríklad dĺžka miestnosti je 4 m, šírka miestnosti je 2 m a výška je 3 m).
Myšlienku geometrického (matematického) bodu nám dáva hviezda na nočnej oblohe, bodka na konci tejto vety, značka z ihly atď. Všetky uvedené objekty však majú rozmery, naproti tomu rozmery geometrického bodu sa považujú za rovné nule (jeho rozmery sú rovné nule). Skutočný matematický bod si preto možno len mentálne predstaviť. Môžete tiež povedať, kde sa nachádza. Umiestnením bodky do zošita s plniacim perom neznázorníme geometrický bod, ale budeme predpokladať, že zostrojený objekt je geometrický bod (obrázok 6). Body sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy: A, B, C, D, (čítať " bod a, bod be, bod tse, bod de") (Obrázok 7).
Drôty visiace na stĺpoch, viditeľná čiara horizontu (hranica medzi nebom a zemou alebo vodou), koryto rieky zobrazené na mape, gymnastický obruč, prúd vody tryskajúci z fontány nám dávajú predstavu o čiarach.
Existujú uzavreté a otvorené čiary, hladké a nehladké čiary, čiary s vlastným priesečníkom a bez neho (obrázky 8 a 9).
List papiera, laserový disk, škrupina futbalovej lopty, kartón na balenie, vianočná plastová maska atď. dajte nám predstavu povrchy(Obrázok 10). Pri maľovaní podlahy izby alebo auta je povrch podlahy alebo auta pokrytý farbou.
Ľudské telo, kameň, tehla, syr, guľa, ľadový cencúľ atď. dajte nám predstavu geometrický telies (obrázok 11).
Najjednoduchší zo všetkých riadkov je je to rovné. Položte pravítko na list papiera a nakreslite pozdĺž neho ceruzkou rovnú čiaru. Mentálnym predĺžením tejto čiary do nekonečna v oboch smeroch získame predstavu o priamke. Predpokladá sa, že priamka má jeden rozmer - dĺžku a jej ďalšie dva rozmery sa rovnajú nule (obrázok 12).
Pri riešení problémov je priamka znázornená ako čiara nakreslená pozdĺž pravítka ceruzkou alebo kriedou. Priame čiary sú označené malými latinskými písmenami: a, b, n, m (obrázok 13). Rovnú čiaru môžete označiť aj dvoma písmenami zodpovedajúcimi bodom, ktoré na nej ležia. Napríklad rovno n na obrázku 13 môžeme označiť: AB alebo VA, ADaleboDA,DB alebo BD.
Body môžu ležať na priamke (patria do priamky) alebo neležať na priamke (nepatria k priamke). Obrázok 13 ukazuje body A, D, B ležiace na priamke AB (patriace k priamke AB). Zároveň píšu. Prečítajte si: bod A patrí do čiary AB, bod B patrí do AB, bod D patrí do AB. Do priamky m patrí aj bod D, je to tzv všeobecný bodka. V bode D sa pretínajú priamky AB a m. Body P a R nepatria k priamkam AB a m:
Vždy cez ľubovoľné dva body môžete nakresliť priamku a iba jednu .
Zo všetkých typov čiar spájajúcich akékoľvek dva body má segment, ktorého konce sú tieto body, najkratšiu dĺžku (obrázok 14).
Obrazec, ktorý pozostáva z bodov a segmentov, ktoré ich spájajú, sa nazýva prerušovaná čiara (Obrázok 15). Segmenty, ktoré tvoria prerušovanú čiaru, sa nazývajú odkazy prerušovaná čiara a ich konce - vrcholov prerušovaná čiara Prerušovaná čiara je pomenovaná (označená) uvedením všetkých jej vrcholov v poradí, napríklad prerušovaná čiara ABCDEFG. Dĺžka prerušovanej čiary je súčtom dĺžok jej článkov. To znamená, že dĺžka prerušovanej čiary ABCDEFG sa rovná súčtu: AB + BC + CD + DE + EF + FG.
Uzavretá prerušovaná čiara sa nazýva mnohouholník, jej vrcholy sa nazývajú vrcholy mnohouholníka a jeho odkazy strany polygón (obrázok 16). Polygón je pomenovaný (označený) zoznamom všetkých jeho vrcholov v poradí, počnúc ľubovoľným, napríklad polygón (sedemuholník) ABCDEFG, polygón (päťuholník) RTPKL:
Súčet dĺžok všetkých strán mnohouholníka sa nazýva obvod mnohouholník a označuje sa lat listp(čítať: pe). Obvody polygónov na obrázku 13:
P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.
P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.
Mentálnym rozšírením povrchu stolovej dosky alebo okenného skla do nekonečna vo všetkých smeroch získame predstavu o povrchu, ktorý je tzv. lietadlo (Obrázok 17). Lietadlá sú označené malými písmenami gréckej abecedy: α, β, γ, δ, ... (čítame: rovina alfa, beta, gama, delta atď.).
Blok 2. Slovná zásoba.
Urobte si slovník nových pojmov a definícií z §2. Ak to chcete urobiť, zadajte slová zo zoznamu výrazov nižšie do prázdnych riadkov tabuľky. V tabuľke 2 uveďte čísla výrazov v súlade s číslami riadkov. Pred vyplnením slovníka sa odporúča pozorne si prečítať §2 a zablokovať 2.1.
Blok 3. Vytvorte korešpondenciu (CS).
Geometrické postavy.
Blok 4. Autotest.
Meranie segmentu pomocou pravítka.
Pripomeňme si, že zmerať segment AB v centimetroch znamená porovnať ho so segmentom dlhým 1 cm a zistiť, koľko takýchto 1 cm segmentov sa zmestí do segmentu AB. Ak chcete zmerať segment v iných jednotkách dĺžky, postupujte rovnakým spôsobom.
Na splnenie úloh pracujte podľa plánu uvedeného v ľavom stĺpci tabuľky. V tomto prípade odporúčame zakryť pravý stĺpec hárkom papiera. Potom môžete svoje zistenia porovnať s riešeniami v tabuľke vpravo.
Blok 5. Stanovenie postupnosti činností (SE).
Zostrojenie segmentu danej dĺžky.
možnosť 1. Tabuľka obsahuje zmiešaný algoritmus (zmiešané poradie akcií) na zostavenie segmentu danej dĺžky (napríklad zostavme segment BC = 7 cm). V ľavom stĺpci je označenie akcie, v pravom stĺpci je výsledok vykonania tejto akcie. Usporiadajte riadky tabuľky tak, aby ste získali správny algoritmus na zostavenie segmentu danej dĺžky. Zapíšte si správnu postupnosť akcií.
Možnosť 2. Nasledujúca tabuľka ukazuje algoritmus na konštrukciu segmentu KM = n cm, kde namiesto n Môžete nahradiť ľubovoľné číslo. V tejto možnosti neexistuje žiadna zhoda medzi akciou a výsledkom. Preto je potrebné stanoviť postupnosť akcií a potom pre každú akciu vybrať jej výsledok. Odpoveď napíšte v tvare: 2a, 1c, 4b atď.
Možnosť 3. Pomocou algoritmu možnosti 2 zostrojte v notebooku segmenty s rozmermi n = 3 cm, n = 10 cm, n = 12 cm.
Blok 6. Fazetový test.
Úsečka, lúč, priamka, rovina.
V úlohách fazetového testu sa používajú obrázky a záznamy očíslované 1 - 12 uvedené v tabuľke 1. Z nich sa tvoria údaje o úlohe. Potom sa k nim pridajú požiadavky úloh, ktoré sú v teste umiestnené za spojovacie slovo „TO“. Odpovede na problémy sú umiestnené za slovom „ROVNÁ SA“. Súbor úloh je uvedený v tabuľke 2. Napríklad úloha 6.15.19 je zložená takto: „AK problém používa obrázok 6 , s Potom sa k nej pridá podmienka číslo 15, požiadavka úlohy je číslo 19.“
13) zostrojte štyri body tak, aby žiadne tri neležali na tej istej priamke;
14) nakreslite priamku cez každé dva body;
15) mentálne roztiahnite každý z povrchov krabice vo všetkých smeroch do nekonečna;
16) počet rôznych segmentov na obrázku;
17) počet rôznych lúčov na obrázku;
18) počet rôznych priamych čiar na obrázku;
19) počet rôznych získaných rovín;
20) dĺžka segmentu AC v centimetroch;
21) dĺžka úseku AB v kilometroch;
22) dĺžka segmentu DC v metroch;
23) obvod trojuholníka PRQ;
24) dĺžka prerušovanej čiary QPRMN;
25) podiel obvodov trojuholníkov RMN a PRQ;
26) dĺžka segmentu ED;
27) dĺžka segmentu BE;
28) počet výsledných priesečníkov čiar;
29) počet výsledných trojuholníkov;
30) počet častí, na ktoré bola rovina rozdelená;
31) obvod mnohouholníka vyjadrený v metroch;
32) obvod mnohouholníka vyjadrený v decimetroch;
33) obvod mnohouholníka vyjadrený v centimetroch;
34) obvod mnohouholníka vyjadrený v milimetroch;
35) obvod mnohouholníka vyjadrený v kilometroch;
ROVNÁ SA (rovná sa, má tvar):
a) 70; b) 4; c) 217; d) 8; e) 20; e) 10; g) 8°b; h) 800°b; i) 8000 °b; j) 80°b; l) 63000; m) 63; m) 63000000; o) 3; n) 6; p) 630 000; c) 6300000; t) 7; y) 5; t) 22; x) 28
Blok 7. Poďme sa hrať.
7.1. Matematický labyrint.
Labyrint pozostáva z desiatich miestností s tromi dverami v každej. V každej z izieb je jeden geometrický objekt (je nakreslený na stene miestnosti). Informácie o tomto objekte sú v „sprievodcovi“ labyrintom. Pri jej čítaní treba ísť do miestnosti, o ktorej sa píše v príručke. Keď budete prechádzať miestnosťami labyrintu, nakreslite si trasu. Posledné dve izby majú východy.
Sprievodca labyrintom
- Do labyrintu musíte vstúpiť cez miestnosť, kde je geometrický objekt, ktorý nemá začiatok, ale má dva konce.
- Geometrický objekt tejto miestnosti nemá rozmery, je ako vzdialená hviezda na nočnej oblohe.
- Geometrický objekt tejto miestnosti je zložený zo štyroch segmentov, ktoré majú tri spoločné body.
- Tento geometrický objekt pozostáva zo štyroch segmentov so štyrmi spoločnými bodmi.
- Táto miestnosť obsahuje geometrické objekty, z ktorých každý má začiatok, ale nie koniec.
- Tu sú dva geometrické objekty, ktoré nemajú začiatok ani koniec, ale majú jeden spoločný bod.
- Predstava tohto geometrického objektu je daná letom delostreleckých granátov
(trajektória pohybu).
- Táto miestnosť obsahuje geometrický objekt s tromi vrcholmi, ktoré však nie sú hornaté.
- Let bumerangu dáva predstavu o tomto geometrickom objekte (lov
zbrane domorodého obyvateľstva Austrálie). Vo fyzike sa táto čiara nazýva trajektória
pohyby tela.
- Predstava tohto geometrického objektu je daná hladinou jazera v
pokojné počasie.
Teraz môžete opustiť bludisko.
Bludisko obsahuje geometrické objekty: rovina, otvorená čiara, priamka, trojuholník, bod, uzavretá čiara, prerušovaná čiara, úsečka, lúč, štvoruholník.
7.2. Obvod geometrických tvarov.
Na výkresoch zvýraznite geometrické tvary: trojuholníky, štvoruholníky, päťuholníky a šesťuholníky. Pomocou pravítka (v milimetroch) určte obvody niektorých z nich.
7.3. Štafetový závod geometrických objektov.
Štafetové úlohy majú prázdne rámce. Zapíšte si do nich chýbajúce slovo. Potom presuňte toto slovo do iného rámca, kam ukazuje šípka. V tomto prípade môžete zmeniť veľkosť tohto slova. Keď prechádzate fázami štafety, dokončite požadované formácie. Ak štafetu dokončíte správne, dostanete na konci nasledujúce slovo: obvod.
7.4. Pevnosť geometrických objektov.
Prečítajte si § 2, z jeho textu vypíšte názvy geometrických objektov. Potom napíšte tieto slová do prázdnych buniek „pevnosti“.
Segmenty sa nazývajú rovnaké, ak sa dajú navzájom prekrývať tak, aby sa ich konce zhodovali.Dajme nám dva segmenty AB a CD (obr.). Položme segment AB na segment CD tak, aby sa bod A zhodoval s bodom C, a nasmerujeme segment AB pozdĺž segmentu CD. Ak sa bod B zhoduje s bodom D, potom sú segmenty AB a CD rovnaké; AB = CD.
Porovnajme dva segmenty KO a EM (obr.). 
Položme segment KO na segment EM tak, aby sa body K a E zhodovali. Nasmerujme segment KO pozdĺž segmentu EM. Ak je bod O niekde medzi bodmi E a M, potom hovoria, že segment EM je väčší ako segment KO; segment KO je menší ako segment EM.
Píše sa to takto: JESŤ > KO, KO
Zostrojenie segmentu rovného danému pomocou kompasu.
Konštrukcia segmentu rovnajúceho sa danému segmentu AB (obr.) sa vykonáva pomocou kompasu týmto spôsobom:
jedna noha kompasu je umiestnená na jednom konci segmentu AB a druhá - na jeho druhom konci a bez zmeny uhla kompasu ho presuňte na určitú priamku tak, aby koniec jednej nohy označoval nejaký bod N, potom koniec druhého ramena kompasu označuje nejaký bod R na tej istej priamke. Segment NP sa bude rovnať segmentu AB.
Sčítanie a odčítanie segmentov.
Ak chcete nájsť súčet dvoch segmentov, napríklad AB a CD (obr.), musíte zobrať priamku a nejaký bod na nej, napríklad bod N (obr., b), potom pomocou kompasu najprv vykresliť segment NP na tejto priamke z bodu N, ktorý sa rovná segmentu AB, a potom z jeho konca v rovnakom smere odloží segment PM rovný segmentu CD. Segment NM sa bude nazývať súčet segmentov AB a CD.
Píše sa to takto:
NM = AB + CD.
Rovnakým spôsobom sa nájde súčet niekoľkých segmentov (obr.)
MN = AB + CD + EF.
Pri pridávaní segmentov, ako pri aritmetike pri sčítaní čísel, sa riadia nasledujúcimi zákonmi: komutatívne a asociatívne.
AB + CD = CD + AB;
(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF).
Ak chcete nájsť rozdiel medzi dvoma segmentmi AB a CD (obr.),
Je potrebné oddeliť menší segment (CD) na väčší segment (AB) od jeho konca, napríklad bodu A. Zostávajúca časť (KB) väčšieho segmentu bude rozdiel medzi týmito segmentmi:
AB - CD = KV.
Násobenie a delenie segmentu celým číslom.
a) Vynásobte segment AB celým číslom, napríklad 5, to znamená, že segment AB je potrebné brať ako člen 5-krát (obr.):
Segment MN je súčinom segmentu AB a čísla 5.
b) Na obrázku je segment MN zložený z piatich rovnakých segmentov, t. j. segment MN je rozdelený na päť rovnakých častí. Každý z nich tvorí 1/5 segmentu MN.
c) Ak chcete segment rozdeliť na rovnaké časti pomocou kompasu, urobte toto. Napríklad, ak potrebujete rozdeliť segment na dve rovnaké časti, potom sa kompas posunie od seba okom tak, že otvor kompasu je približne polovica segmentu. Potom sa na danom segmente od jeho konca postupne rozložia dva segmenty, jeden po druhom, s týmto kompasovým riešením. Ak je výsledný súčet segmentov menší ako tento segment, potom sa riešenie kompasu zväčší; ak sa ukáže, že množstvo je väčšie ako tento segment, potom sa riešenie kompasu zníži. Takže postupným opravovaním chyby môžete nájsť celkom presne polovicu segmentu (obr.).
Rovnakým spôsobom sa vykoná približné rozdelenie segmentu na 3, 4, 5 atď. rovnaké časti. Iba v tomto prípade by ste mali vziať 1/3 očami; 14; 1/5... segmentu a odobratý segment odložíme 3, 4, 5... krát, podľa toho, na koľko rovnakých častí je potrebné daný segment rozdeliť.
Vlastnosť segmentov odrezaných rovnobežnými čiarami na stranách uhla
Veta. Ak sú na jednej strane uhla umiestnené rovnaké segmenty a cez ich konce sú nakreslené rovnobežné čiary, ktoré pretínajú druhú stranu uhla, potom sa na tejto strane uhla rozložia rovnaké segmenty.Na strane AB uhla ABN nech sú rozložené rovnaké úsečky BM = MK = KS (obr.) a deliacimi bodmi M, K a C sú nakreslené rovnobežné čiary pretínajúce stranu BN s rovnakým uhlom.
Na tejto strane sa vytvorili tri segmenty: VM', M'K' a K'S'. Je potrebné preukázať, že VM' = M'K' = K'C'.
Aby sme to dokázali, nakreslíme priame čiary rovnobežné s AB cez body M‘ a K‘. Získame trojuholníky ВММ', М'ЭК' a К'РС'. Porovnajme tieto trojuholníky.
Najprv porovnajte trojuholníky MVM' a M'EK'. V týchto trojuholníkoch máme:
∠1 = ∠2, ako zodpovedajúce uhly pre rovnobežky BA a M'E a sečnicu BN;
∠3 = ∠4, ako ostré uhly 1 so zodpovedajúcimi rovnobežnými stranami (AB || M'E a MM' || KK').
VM = MK podľa konštrukcie;
MK = M'E, ako protiľahlé strany rovnobežníka.
Uhly 1 a 4 sa môžu ukázať ako tupé, ale v tomto prípade zostanú rovnaké, a preto sa dôkaz vety nezmení.
Preto BM = M'E. Teda ΔВММ’ = ΔМ’ЭК’ (na strane a dvoch susedných uhloch). Z toho vyplýva, že VM' = M'K'.
Dá sa tiež dokázať, že VM’ = K’C’, teda VM’ = M’K’ = K’C’. Pri dokazovaní vety sme začali ukladať úsečky od vrcholu uhla, ale veta platí aj pre prípad, keď sa úsečky nezačínajú od vrcholu uhla, ale z akéhokoľvek bodu na jeho strane.
V tomto prípade nemusí byť na výkrese vyznačený vrchol rohu (obr.).
Veta platí aj pre prípad, keď sú priamky KO a MR rovnobežné.
Proporcionálne segmenty
Z aritmetiky vieme, že rovnosť dvoch pomerov sa nazýva pomer. Napríklad: 16/4 = 20/5; 2 / 3 = 4 / 6 V geometrii máme to isté: ak sú dané dva páry segmentov, ktorých pomery sú rovnaké, potom je možné vytvoriť pomer.
Ak a / b= 4/3 a c / d= 4 / 3 (nakreslené 351), potom dostaneme pomer a / b = c / d ;
segmentov a B C d sa volajú proporcionálne.
Postoj a / b sa nazýva, ako v aritmetike, prvý vzťah, c / d- druhý vzťah; A A d sa nazývajú extrémne pomery, b A s- strední členovia.
V pomere môžu byť pomery obrátené; môžete zmeniť usporiadanie krajných členov, stredných členov; môžete zmeniť usporiadanie oboch naraz.
Pretože v pomere a / b = c / d písmená znamenajú čísla vyjadrujúce dĺžky úsečiek, potom sa súčin jeho krajných členov rovná súčinu jeho stredných členov. Odtiaľ, keď poznáte tri výrazy podielu, môžete nájsť jeho neznámy štvrtý výraz. Áno, v pomere a / X = c / d X = a d / c
Všimnime si ešte niektoré vlastnosti proporcií, ktoré bude treba v budúcnosti využiť pri dokazovaní niektorých viet a riešení úloh.
a) Ak sa tri časti jedného podielu rovnajú trom členom iného podielu, potom sú rovnaké aj štvrté časti týchto podielov.
Ak a / b = c / X A a / b = c / r,To x = y. Naozaj, X = b c / a , pri = b c / a, t.j X A pri rovná rovnakému číslu b c / a .
b) Ak sú predchádzajúce členy v pomere rovnaké, potom sú rovnaké aj nasledujúce, t. j. ak a / X = a / r, To x = y.
Aby sme si to overili, usporiadajme stredné členy v tomto pomere.
Dostaneme: a / a = X / r. ale a / a= 1. Preto a X / r = 1.
A to je možné len vtedy, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku rovnajú, t.j.
x = y.
c) Ak sú nasledujúce členy v pomere rovnaké, potom sú rovnaké aj predchádzajúce, t. j. ak X / a = r / a, To x = y.
Pozývame vás, aby ste si overili platnosť tohto vlastníctva. Ak to chcete urobiť, vykonajte úvahy podobné predchádzajúcemu.
Konštrukcia proporcionálnych segmentov
Veta. Ak dve priamky pretínajú tri rovnobežné priamky, potom sa pomer dvoch segmentov získaných na jednej priamke rovná pomeru dvoch zodpovedajúcich segmentov druhej priamky.Nech dve priamky EF a OP pretínajú tri rovnobežné priamky AB, CD a MN (obr.).
Je potrebné preukázať, že segmenty AC, CM, BD a DN, uzavreté medzi paralelnými sečnami, sú proporcionálne, t.j.
AC/CM = BD/DN
Nech je dĺžka segmentu AC R a dĺžka segmentu CM sa rovná q.
Napríklad, R= 4 cm a q= 5 cm.
Rozdeľme AC a CM na segmenty rovné 1 cm a z deliacich bodov nakreslíme priamky rovnobežné s priamkami AB, CD a MN, ako je znázornené na obrázku.
Potom sa rovnaké segmenty uložia na priamku OR so 4 segmentmi na segment BD a 5 segmentmi na segment DN.
Pomer AC ku CM je 4/5 a podobne pomer BD k DN je 4/5.
Preto AC/CM = BD/DN.
To znamená, že segmenty AC, CM, BD a DN sú proporcionálne. Segmenty AC, AM, BD a BN (vzájomne sa prekrývajúce) sú tiež proporcionálne, t.j. AC / AM = BD / BN,
pretože AC/AM = 4/9 a BD/BN = 4/9
Veta bude platná pre akékoľvek iné celočíselné hodnoty R A q.
Ak dĺžky segmentov AC a CM nie sú vyjadrené v celých číslach pre danú jednotku merania (napríklad centimeter), potom je potrebné vziať menšiu jednotku (napríklad milimeter alebo mikrón), v ktorej je dĺžky segmentov AC a CM sú prakticky vyjadrené v celých číslach.
Dokázaná veta platí aj v prípade, keď jedna z rovnobežných sekán prechádza priesečníkom týchto priamok. Platí to aj v prípade, keď sa segmenty nevykresľujú priamo za sebou, ale po určitom intervale.
Načítava...
