Prezentácia na tému osemsten. Vlastnosti dvanástnika a zaujímavé fakty

Definícia: Konvexný mnohosten sa nazýva
správne, ak sú všetky jeho tváre
rovnaké pravidelné mnohouholníky a in
v každom z jeho vrcholov konverguje to isté
rovnaký počet rebier. Správne
Existuje iba päť mnohostenov: štvorsten,
šesťsten, osemsten, dvanásťsten, dvadsaťsten.

Tetrahedron
Octaedron
Štvorsten je najjednoduchší mnohosten s plochami
čo sú štyri trojuholníky. U
štvorsten má 4 steny, 4 vrcholy a 6 hrán. Tetrahedron, y
ktorého všetky steny sú rovnostranné
trojuholníky sa nazývajú
správne. To pravé
štvorsten všetky dvojstenné uhly na hranách a
všetky trojstenné uhly vo vrcholoch sú rovnaké.
Osemsten - má 8 trojuholníkových plôch, 12 hrán, 6
vrcholy, v každom vrchole sa zbiehajú 4 hrany.

Príklady pravidelných mnohostenov:

Ikosahedrón
Kocka
Icosahedron - pravidelné konvexné
mnohosten, dvadsaťsten. Každý z 20
tváre predstavujú
rovnostranný trojuholník. Počet hrán je
30, počet vrcholov - 12. Dvanásťsten má
59 tvarov hviezd.
Kocka je pravidelný mnohosten, každá strana
čo je štvorec. Vershin -
8, hrany - 12, tváre - 6.

Príklady pravidelných mnohostenov:

Dodekaedrón
Dodekaedrón – zložený z
dvanásť správnych
päťuholníkov, ktoré sú jeho
hrany.
Každý vrchol dvanástnika
je horná časť vpravo
päťuholníkov. teda
dvanásťsten má 12 tvárí
(päťuholníkový), 30 hrán a 20
vrcholy (v každom sa zbiehajú 3 hrany).

Vlastnosti a vzorce:

Prvky symetrie pravidelného štvorstenu:
Pravidelný štvorsten nemá stred
symetria. Má však tri osi
symetria a šesť rovín
symetria.

Prvky symetrie pravidelného osemstenu:

Pravidelný osemsten má stred
symetria - priesečník jej osí
symetria. Tri z 9 lietadiel
prechádzajú symetrie štvorstenu
každé 4 vrcholy ležiaceho osemstenu
jedno lietadlo. Šesť lietadiel
symetrie prechádzajú cez dva vrcholy,
nepatriace k tej istej tvári a
stred protiľahlých rebier.

Prvky symetrie pravidelného dvadsaťstena:

Pravidelný dvadsaťsten má 15 osí
symetrie, z ktorých každá prechádza
cez stred protikladu
paralelné rebrá. Priesečník
všetkých osí symetrie dvadsaťstenu je
jeho stred symetrie. Lietadlá
symetria aj 15. Roviny
symetrie prechádzajú cez štyri
vrcholy ležiace v rovnakej rovine a
stredy protiľahlých rovnobežiek
rebrá

Prvky symetrie kocky:

Kocka má jeden stred symetrie -
aj priesečník jej uhlopriečok
Stredom symetrie prechádza 9 osí
symetria. Roviny symetrie kocky
aj 9 a prechádzajú buď cez
protiľahlé rebrá.

Prvky symetrie pravidelného dvanásťstena:

Pravidelný dvanásťsten má stred
symetria a 15 osí symetrie. Každý
osí prechádza cez stredy
protiľahlé paralelné rebrá.
Dvanásťsten má 15 lietadiel
symetria. Ktorékoľvek z lietadiel
v každej tvári je symetria
cez vrch a stred
opačné rebro.

Všetky informácie prevzaté z:

http://licey102.k26.ru/
http://math4school.ru
wikipedia.org
Učebnica pre ročníky 10-11 o geometrii

Jedna z najstarších zmienok o pravidelných mnohostenoch je v Platónovom (BC) pojednaní Timaus. Preto sa pravidelné mnohosteny nazývajú aj platónske telesá (hoci boli známe dávno pred Platónom). Každý z pravidelných mnohostenov a celkovo ich je päť. Platón sa spájal so štyrmi „pozemskými“ prvkami: zemou (kocka), vodou (ikosaedrón), ohňom (tetrahedron), vzduchom (oktaedrón), ako aj s „nepozemským“ prvkom - oblohou (dvanásťsten).

Pravidelný mnohosten alebo platónske teleso je konvexný mnohosten s najväčšou možnou symetriou. Mnohosten sa nazýva pravidelný, ak: je konvexný, všetky jeho steny sú rovnaké pravidelné mnohouholníky a zbiehajú sa v každom z jeho vrcholov rovnaké číslo všetky jeho uhly sú rovnaké

Všimnime si zaujímavý fakt súvisiaci s hexaedrom (kockou) a oktaedrom. Kocka má 6 stien, 12 hrán a 8 vrcholov a osemsten má 8 stien, 12 hrán a 6 vrcholov. To znamená, že počet plôch jedného mnohostenu sa rovná počtu vrcholov druhého a naopak. Ako sa hovorí, kocka a šesťsten sú navzájom duálne. Prejavuje sa to aj v tom, že ak vezmete kocku a postavíte mnohosten s vrcholmi v stredoch jeho plôch, potom, ako môžete ľahko vidieť, dostanete osemsten. Platí to aj naopak - stredy plôch osemstenu slúžia ako vrcholy kocky. Toto je dualita osemstenu a kocky (obr.). Je ľahké prísť na to, že ak vezmeme stredy plôch pravidelného štvorstenu, opäť dostaneme pravidelný štvorsten (obr. Preto je štvorsten duálny sám so sebou.

Slávny matematik a astronóm Kepler postavil model slnečná sústava ako séria postupne zapísaných a opísaných pravidelných mnohostenov a gúľ. Aké poradie usporiadania planét (v súlade s „požiadavkami“ pravidelných mnohostenov) získal Kepler? Do sféry dráhy Saturna bola vpísaná kocka a do nej bola vpísaná sféra dráhy Jupitera; do tejto sféry zapadá štvorsten a do nej zapadá sféra obežnej dráhy Marsu; ďalej: dvanásťsten - sféra obežnej dráhy Zeme - dvadsaťsten - sféra obežnej dráhy Venuše - osemsten - sféra obežnej dráhy Merkúra.

Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet ( účtu) Google a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Mnohosten je teleso, ktorého povrch pozostáva z konečného počtu plochých mnohouholníkov.

Pravidelné mnohosteny

Koľko pravidelných mnohostenov existuje? - Ako sa určujú, aké majú vlastnosti? -Kde sa nachádzajú, majú praktické využitie?

Konvexný mnohosten sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho steny rovnaké pravidelné mnohouholníky a rovnaký počet hrán sa zbieha v každom z jeho vrcholov.

"hedra" - tvár "tetra" - štyri hexy - šesť "okta" - osem "dodeca" - dvanásť "icosa" - dvadsať Názvy týchto mnohostenov pochádzajú z Staroveké Grécko a označujú počet tvárí.

Názov pravidelného mnohostenu Typ plochy Počet vrcholov hrán plôch zbiehajúcich sa v jednom vrchole Tetrahedron Pravidelný trojuholník 4 6 4 3 Osemsten Pravidelný trojuholník 6 12 8 4 Dvadsaťsten Pravidelný trojuholník 12 30 20 5 Kocka (šesťsten) Štvorec 3 12 6 Dvanásťsten Pravidelný päťuholník 20 30 12 3 Údaje o pravidelných mnohostenoch

Otázka (problém): Koľko je pravidelných mnohostenov? Ako nastaviť ich počet?

α n = (180 °(n -2)): n V každom vrchole mnohostenu sú najmenej tri rovinné uhly a ich súčet musí byť menší ako 360 °. Tvar stien Počet stien v jednom vrchole Súčet rovinných uhlov vo vrchole mnohostena Záver o existencii mnohostena α = 3 α = 4 α = 5 α = 6 α = 3 α = 4 α = 3 α = 4 a = 3

L. Carroll

Veľkí matematici staroveku Archimedes Euclid Pytagoras

Staroveký grécky vedec Platón podrobne opísal vlastnosti pravidelných mnohostenov. Pravidelné mnohosteny sa preto nazývajú platónske telesá

štvorsten - ohnivá kocka - zemský osemsten - vzdušný dvadsaťsten - vodný dvanásťsten - vesmír

Mnohosteny vo vedách o vesmíre a Zemi

Johannes Kepler (1571-1630) – nemecký astronóm a matematik. Jeden zo zakladateľov modernej astronómie - objavil zákony pohybu planét (Keplerove zákony)

Kepler Cup Cosmic

"Ekosahedrón - dodekaedrická štruktúra Zeme"

Mnohosten v umení a architektúre

Albrecht Durer (1471-1528) "Melanchólia"

Salvador Dalí "Posledná večera"

Moderné architektonické štruktúry vo forme mnohostenov

Alexandrijský maják

Tehla mnohosten od švajčiarskeho architekta

Moderná budova v Anglicku

Mnohosteny v prírode FEODARIA

Pyrit (sírový pyrit) Monokryštál kamenca draselného Kryštály červenej Medená ruda PRÍRODNÉ KRYŠTÁLY

Kuchynská soľ pozostáva z kryštálov v tvare kocky.Minerál sylvit má tiež kryštálovú mriežku v tvare kocky. Molekuly vody majú tvar štvorstenu. Minerál kuprit tvorí kryštály v tvare osemstenov. Pyritové kryštály majú tvar dvanástnika

Diamant Vo forme oktaénu kryštalizuje diamant, chlorid sodný, fluorit, olivín a ďalšie látky.

Historicky prvou rezanou formou, ktorá sa objavila v 14. storočí, bol osemsten. Diamond Shah Hmotnosť diamantu 88,7 karátov

Úloha Britská kráľovná dal pokyny rezať pozdĺž okrajov diamantu zlatou niťou. Ale rezanie sa neuskutočnilo, pretože klenotník nebol schopný vypočítať maximálna dĺžka zlatá niť, ale samotný diamant mu neukázali. Klenotníkovi boli oznámené tieto údaje: počet vrcholov B = 54, počet plôch D = 48, dĺžka najväčšej hrany L = 4 mm. Nájdite maximálnu dĺžku zlatej nite.

Pravidelný mnohosten Počet plôch Vrcholy Hrany Tetrahedron 4 4 6 Kocka 6 8 12 Osemsten 8 6 12 Dvadsaťsten 12 20 30 Dvojsten 20 12 30 Výskum"Eulerov vzorec"

Eulerova veta. Pre ľubovoľný konvexný mnohosten B + G - 2 = P, kde B je počet vrcholov, G je počet plôch, P je počet hrán tohto mnohostenu.

FYZICKÁ MINÚTA!

Úloha Nájdite uhol medzi dvoma hranami pravidelného osemstenu, ktoré majú spoločný vrchol, ale nepatria k tej istej ploche.

Úloha Nájdite výšku pravidelného štvorstenu s hranou 12 cm.

Kryštál má tvar oktaédra, ktorý pozostáva z dvoch pravidelných pyramíd so spoločnou základňou, okraj základne pyramídy je 6 cm. Výška oktaédra je 8 cm. Nájdite bočnú plochu kryštálu

Povrchová plocha Tetrahedron Icosahedron Dvadsaťsten Hexahedron Osemsten

Zadanie domácej úlohy: mnogogranniki.ru Pomocou vývoja vytvorte modely 1. pravidelného mnohostenu so stranou 15 cm, 1. polopravidelného mnohostenu

Dakujem za radu!

Mnohosten je plocha zložená z mnohouholníkov, ktoré spájajú geometrické teleso. Mnohosteny sú konvexné a nekonvexné mnohouholníky. Mnohosten sa nazýva konvexný, ak sa nachádza na jednej strane roviny každého mnohouholníka na jeho povrchu.

Osemsten Osemsten (grécky οκτάεδρον, z gréčtiny οκτώ, „osem“ a grécky έδρα „základ“) je jedným z piatich konvexných pravidelných mnohostenov, takzvaných platónskych telies. pravidelné platónske mnohosteny Osemsten má 8 trojuholníkových plôch, 12 hrán, 6 vrcholov a 4 hrany sa zbiehajú v každom vrchole.

Dvadsaťsten (z gréckeho εικοσάς dvadsať; -εδρον tvár, tvár, základňa) je pravidelný konvexný mnohosten, dvadsaťsten, jedno z platónskych telies. Každá z 20 stien je rovnostranný trojuholník. Počet hrán je 30, počet vrcholov je 12. Dvadsaťsten má 59 hviezdicových tvarov Grécke platónske telesá trojuholník hviezdicové tvary

Dvanásťsten Dvanásťsten (z gréckeho δώδεκα dvanásť a εδρον tvár), dvanásťsten je pravidelný mnohosten zložený z dvanástich pravidelných päťuholníkov. Každý vrchol dvanástnika je vrcholom troch pravidelných päťuholníkov Grécky pravidelný mnohosten vrchol pravidelného päťuholníka Dvanásťsten má teda 12 plôch (päťuholníkov), 30 hrán a 20 vrcholov (v každom sa zbiehajú 3 hrany). Súčet rovinných uhlov v každom z 20 vrcholov sa rovná 324°.

Snímka 1

Snímka 2

SYMETRIA V PRIESTORE „Symetria je myšlienka, prostredníctvom ktorej sa človek snažil pochopiť a vytvoriť poriadok, krásu a dokonalosť“ (G. Weil) Symetria („proporcionalita“) je súlad, nemennosť (nemennosť), prejavujúca sa pri akýchkoľvek premenách. Napríklad sférická symetria telesa znamená, že vzhľad telesa sa nezmení, ak sa otáča v priestore pod ľubovoľnými uhlami, pričom jeden bod zostane na mieste. "Vitruviánsky muž" od Lenarda Da Vinciho (1490, Benátky)

Snímka 3

SYMETRIA V PRIESTORE Body A a A1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na bod O (stred symetrie), ak O je stredom segmentu AA1. Bod O sa považuje za symetrický sám so sebou. A A1

Snímka 4

SÚMERNOSŤ V PRIESTORE Body A a A1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na priamku (os symetrie), ak priamka prechádza stredom úsečky AA1 a je na túto úsečku kolmá. Každý bod priamky a sa považuje za symetrický sám so sebou. A1

Snímka 5

SÚMERNOSŤ V PRIESTORE Body A a A1 sa nazývajú symetrické voči rovine (rovina symetrie), ak táto rovina prechádza stredom úsečky AA1 a je na túto úsečku kolmá. Každý bod roviny sa považuje za symetrický

Snímka 6

SÚMERNOSŤ V PRIESTORE Bod (priamka, rovina) sa nazýva stred (os, rovina) symetrie obrazca, ak je každý bod obrazca vzhľadom k nemu symetrický k niektorému bodu toho istého obrazca. Ak má postava stred (os, rovinu) symetrie, potom sa hovorí, že má stredovú (osovú, zrkadlovú) symetriu.

Snímka 7

PRÍKLADY Symetrie TABUĽKOVÝCH OBRÁZKOV Rovnobežník má len stredovú symetriu. Jeho stred symetrie je priesečníkom uhlopriečok Rovnostranný lichobežník má iba osovú súmernosť. Jeho osou symetrie je kolmica vedená cez stredy základov lichobežníka Kosoštvorec má stredovú aj osovú symetriu. Jeho osou symetrie je ľubovoľná z jeho uhlopriečok; stred symetrie - bod ich priesečníka

Snímka 8

PRAVIDELNÉ LYHEDRÓNY - 5 PLATÓNSKYCH PEVNÝCH LÁTOK Obyvatelia aj tej najvzdialenejšej galaxie nemôžu hrať kocky, ktoré majú tvar pre nás neznámeho pravidelného konvexného mnohostena. M. Gardner Konvexný mnohosten sa nazýva pravidelný, ak všetky jeho steny sú rovnaké pravidelné mnohouholníky a rovnaký počet hrán sa zbieha v každom z jeho vrcholov. Všetky hrany pravidelného mnohouholníka sú rovnaké, rovnako ako všetky dihedrálne uhly obsahujúce dve plochy so spoločnou hranou. Pravidelný mnohosten, ktorého steny sú n-uholníky pre n > alebo = 6, neexistuje!

Snímka 9

PRAVIDELNÝ TETRAHEDER Zložený zo štyroch rovnostranných trojuholníkov. Každý z jeho vrcholov je vrcholom troch trojuholníkov. Súčet rovinných uhlov v každom vrchole je presne 180°. Prvky symetrie: Štvorsten nemá stred symetrie, ale má 3 osi symetrie a 6 rovín symetrie. S plná výška objemu vrcholov – 4 plochy – 6 hrán – 4

Snímka 10

KOCIA Zložená zo šiestich štvorcov. Každý vrchol kocky je vrcholom troch štvorcov. Súčet rovinných uhlov v každom vrchole je presne 270°. 6 stien, 8 vrcholov a 12 hrán Prvky symetrie: Kocka má stred symetrie - stred kocky, 9 osí a rovín symetrie R popis. env. S plný r in. okr

Snímka 11

PRAVIDELNÝ OCTAHEDRON Zložený z ôsmich rovnostranných trojuholníkov. Každý vrchol osemstenu je vrcholom štyroch trojuholníkov. Súčet rovinných uhlov v každom vrchole je 240°. Prvky symetrie: Osemsten má stred symetrie - stred osemstenu, 9 osí symetrie a 9 rovín symetrie 8 stien 6 vrcholov 12 hrán