Výpočet abstraktných súvislých zlomkov pomocou Brownovho vzorca. Pokračujúce zlomky

POKRAČOVANÉ FRAKCIE. Postupnosť, ktorej každý člen je obyčajný zlomok, vygeneruje pokračujúci (alebo pokračujúci) zlomok, ak sa jeho druhý člen pripočíta k prvému a každý zlomok, počnúc tretím, sa pripočíta k menovateľovi predchádzajúceho zlomku.

Napríklad postupnosť 1, 1/2, 2/3, 3/4,..., n/(n+ 1),... generuje pokračujúci zlomok

kde elipsa na konci naznačuje, že proces pokračuje donekonečna. Na druhej strane, pokračujúca frakcia vedie k ďalšej sekvencii frakcií nazývaných vhodné frakcie. V našom príklade sú prvý, druhý, tretí a štvrtý vhodný zlomok rovnaké

Môžu byť postavené podľa jednoduché pravidlo z postupnosti neúplných podielov 1, 1/2, 2/3, 3/4,.... Najprv vypíšeme prvý a druhý vhodný zlomok 1/1 a 3/2. Tretí vhodný zlomok sa rovná (2H 1 + 3H 3)/(2H 1 + 3H 2) alebo 11/8, jeho čitateľ sa rovná súčtu súčinov čitateľov prvého a druhého vhodného zlomku, vynásobených v tomto poradí čitateľom a menovateľom tretieho neúplného kvocientu a menovateľ sa rovná súčtu súčinov menovateľov prvého a druhého neúplného kvocientu, vynásobených v príslušnom poradí čitateľom a menovateľom tretieho neúplného kvocientu. Štvrtá vhodná frakcia sa získa podobne zo štvrtého neúplného kvocientu 3/4 a druhá a tretia vhodná frakcia: (3H3 + 4H 11)/(3H2 + 4H 8) alebo 53/38. Podľa tohto pravidla nájdeme prvých sedem vhodných zlomkov: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 a 16687/11986. Zapíšme ich vo forme desatinných zlomkov (so šiestimi desatinnými miestami): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 a 1,392208. Hodnota nášho pokračovacieho zlomku bude číslo X, ktorého prvé číslice sú 1,3922. Prispôsobovacie zlomky sú najlepšou aproximáciou čísla X. Okrem toho sa striedavo ukáže, že sú menšie alebo väčšie ako číslo X(nepárne čísla sú viac X, a dokonca aj tie – menej).

Na vyjadrenie pomeru dvoch kladných celých čísel ako konečného zlomku musíte použiť metódu hľadania najväčšieho spoločný deliteľ. Vezmime si napríklad pomer 50/11. Pretože 50 = 4H 11 + 6 alebo 11/50 = 1/(4 + 6/11), a podobne, 6/11 = 1/(1 + 5/6) alebo 5/6 = 1/(1 + 1 /5), dostaneme:

Pokračujúce zlomky sa používajú na aproximáciu iracionálnych čísel k racionálnym číslam. Predstierajme to X– iracionálne číslo (t. j. nemôže byť vyjadrené ako podiel dvoch celých čísel). Potom ak n 0 je najväčšie celé číslo, ktoré je menšie ako X, To X = n 0 + (X – n 0), kde X – n 0 je kladné číslo menšie ako 1, takže jeho inverzná hodnota je X 1 je väčší ako 1 a X = n 0 + 1/X 1. Ak n 1 je najväčšie celé číslo, ktoré je menšie ako X 1, potom X 1 = n 1 + (X 1 – n 1), kde X 1 – n 1 je kladné číslo, ktoré je menšie ako 1, takže jeho inverzná hodnota je X 2 je väčší ako 1 a X 1 = n 1 + 1/X 2. Ak n 2 je najväčšie celé číslo, ktoré je menšie ako X 2, potom X 2 = n 2 + 1/X 3 kde X 3 je väčšie ako 1 atď. Výsledkom je, že krok za krokom nachádzame postupnosť neúplných kvocientov n 0 , 1/n 1 , 1/n 2 ,... pokračovanie zlomkov, ktoré sú aproximáciou X.

Vysvetlíme si to na príklade. Predpokladajme, že potom

Prvých 6 zodpovedajúcich zlomkov je 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Keď sú zapísané ako desatinné zlomky, dávajú tieto približné hodnoty: 1 000; 1 500; 1 400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Pokračovací zlomok má parciálne podiely 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1,.... Iracionálne číslo je koreň kvadratická rovnica s celočíselnými koeficientmi vtedy a len vtedy, ak sú jeho neúplné parciálne expanzie na pokračovanie zlomkov periodické.

Pokračovacie zlomky úzko súvisia s mnohými odvetviami matematiky, ako je teória funkcií, divergentné rady, problém momentov, diferenciálne rovnice a nekonečné matice. Ak X je radiánová miera ostrého uhla, potom tangens uhla X X/1, - X 2 /3, - X 2 /7, - X 2/9, ..., a ak X je kladné číslo, potom prirodzený logaritmus 1 + X rovná hodnote reťazového zlomku s parciálnymi podielmi 0, X/1, 1 2 X/2, 1 2 X/3, 2 2 X/4, 2 2 X/5, 3 2 X/6,... . Formálne riešenie diferenciálnej rovnice X 2 D Y/dx + y = 1 + X vo forme mocninového radu je divergentný mocninný rad 1 + X – 1!X 2 + 2!X 3 – 3!X 4 +.... Tento mocninový rad je možné previesť na pokračujúci zlomok s parciálnymi podielmi 1, X/1, X/1, 2X/1, 2X/1, 3X/1, 3X/1,..., a následne ho použiť na získanie riešenia diferenciálnej rovnice X 2 D Y/dx + r = 1 + X.

POKRAČOVANÉ FRAKCIE

Postupnosť, ktorej každý člen je obyčajný zlomok, vygeneruje pokračujúci (alebo pokračujúci) zlomok, ak sa jeho druhý člen pripočíta k prvému a každý zlomok, počnúc tretím, sa pripočíta k menovateľovi predchádzajúceho zlomku. Napríklad postupnosť 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... generuje pokračujúci zlomok

kde elipsa na konci naznačuje, že proces pokračuje donekonečna. Na druhej strane, pokračujúca frakcia vedie k ďalšej sekvencii frakcií nazývaných vhodné frakcie. V našom príklade sú prvý, druhý, tretí a štvrtý vhodný zlomok rovnaké

Dajú sa zostrojiť pomocou jednoduchého pravidla zo sekvencie neúplných kvocientov 1, 1/2, 2/3, 3/4, .... Najprv si vypíšme prvý a druhý vhodný zlomok 1/1 a 3/2. Tretí vhodný zlomok sa rovná (2?1 + 3?3)/(2?1 + 3?2) alebo 11/8, jeho čitateľ sa rovná súčtu súčinov čitateľov prvého a druhého vhodného zlomku. zlomky vynásobené čitateľom a menovateľom tretieho neúplného podielu a menovateľ sa rovná súčtu súčinov menovateľov prvého a druhého neúplného podielu, vynásobených čitateľom a menovateľom tretieho neúplného podielu. Štvrtá vhodná frakcia sa získa podobne zo štvrtého neúplného kvocientu 3/4 a druhá a tretia vhodná frakcia: (3 > 3 + 4 > 11)/(3 > 2 + 4 > 8) alebo 53/38. Podľa tohto pravidla nájdeme prvých sedem vhodných zlomkov: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 a 16687/11986. Zapíšme ich vo forme desatinných zlomkov (so šiestimi desatinnými miestami): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 a 1,392208. Hodnota nášho pokračovacieho zlomku bude číslo x, ktorého prvé číslice sú 1,3922. Fitovacie zlomky sú najlepšou aproximáciou x. Okrem toho sa striedavo ukáže, že sú buď menšie alebo väčšie ako číslo x (nepárne sú väčšie ako x a párne sú menšie).

Na vyjadrenie pomeru dvoch kladných celých čísel ako konečného zlomku musíte použiť metódu najväčšieho spoločného deliteľa. Vezmime si napríklad pomer 50/11. Pretože 50 = 4?11 + 6 alebo 11/50 = 1/(4 + 6/11), a podobne, 6/11 = 1/(1 + 5/6) alebo 5/6 = 1/(1 + 1 /5), dostaneme:

Pokračujúce zlomky sa používajú na aproximáciu iracionálnych čísel k racionálnym číslam. Predpokladajme, že x je iracionálne číslo (to znamená, že ho nemožno reprezentovať ako podiel dvoch celých čísel). Potom, ak n0 je najväčšie celé číslo, ktoré je menšie ako x, potom x = n0 + (x - n0), kde x - n0 je kladné číslo menšie ako 1, takže jeho inverzná hodnota x1 je väčšia ako 1 a x = n0 + 1/x1. Ak je n1 najväčšie celé číslo menšie ako x1, potom x1 = n1 + (x1 - n1), kde x1 - n1 je kladné číslo menšie ako 1, takže jeho inverzná hodnota x2 je väčšia ako 1 a x1 = n1 + 1/x2. Ak je n2 najväčšie celé číslo menšie ako x2, potom x2 = n2 + 1/x3, kde x3 je väčšie ako 1 atď. Výsledkom je, že krok za krokom nachádzame postupnosť neúplných kvocientov n0, 1/n1, 1/n2, ... spojitého zlomku, ktoré sú aproximáciou x.

Vysvetlíme si to na príklade. Predpokladajme teda

Prvých 6 zodpovedajúcich zlomkov je 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Keď sú zapísané ako desatinné miesta, dávajú tieto približné hodnoty: 1 000; 1 500; 1 400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Pokračovací zlomok pre má parciálne podiely 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... . Iracionálne číslo je koreňom kvadratickej rovnice s celočíselnými koeficientmi vtedy a len vtedy, ak sú jeho neúplné parciálne expanzie na pokračovanie zlomkov periodické.

Pokračovacie zlomky úzko súvisia s mnohými odvetviami matematiky, ako je teória funkcií, divergentné rady, problém momentov, diferenciálne rovnice a nekonečné matice. Ak x je radiánová miera ostrého uhla, potom sa dotyčnica uhla x rovná hodnote súvislého zlomku s parciálnymi podielmi 0, x/1, ?x2/3, ?x2/7, ?x2/9 , ..., a ak x je kladné číslo, potom sa prirodzený logaritmus 1 + x rovná hodnote spojitého zlomku s parciálnymi podielmi 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4 , 22x/5, 32x/6, ... . Formálne riešenie diferenciálnej rovnice x2dy/dx + y = 1 + x v tvare mocninného radu je divergentný mocninný rad 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Tento mocninový rad je možné previesť na pokračujúci zlomok s parciálnymi podielmi 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., a to je zase možné použiť na získanie riešenia diferenciálnej rovnice x2dy/dx + y = 1 + x.

Collier. Collierov slovník. 2012

Pozrite si tiež výklady, synonymá, významy slova a čo sú POKRAČOVANÉ ZLOMKY v ruštine v slovníkoch, encyklopédiách a príručkách:

• FRAKCIA
  Ak sa nejaké celé číslo a delí iným celým číslom b, t.j. hľadá sa číslo x, ktoré spĺňa podmienku bx=a, potom...
• OSTROV KAUAI v adresári zázrakov, nezvyčajné javy, UFO a iné veci:
  najvlhkejšie miesto na Zemi, ktoré sa nachádza na Havajskom súostroví v Tichý oceán kde sú takmer nepretržité zrážky. Priemerný ročný počet...
• STALKER (FILM) vo Wiki citátoch.
• RUSKO, SEKCIA MATEMATIKA v Stručnej životopisnej encyklopédii:
  Éra písomných pamiatok našla v Rusku používanie desiatkovej číselnej sústavy v rozsahu 1 - 10 000 (tma) a zlomkov dvojkovej sústavy...
• FRAKCIA vo Veľkom encyklopedickom slovníku:
  
• JAKOBIAN
  funkčný determinant -aik-1n s prvkami, kde yi fi (X1 , ... , Xn), l £ i £ …
• FUNKČNÁ ANALÝZA (MAT.) vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  analýza, súčasť modernej matematiky, ktorej hlavnou úlohou je štúdium nekonečne rozmerných priestorov a ich zobrazení. Najviac študované sú lineárne priestory a lineárne...
• FUNKČNÉ ROVNICE vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  rovnice, veľmi všeobecná trieda rovnice, v ktorých je požadovaná funkcia určitá funkcia. Do F. u. v podstate zahŕňa diferenciálne rovnice...
• ENERGETICKÉ ÚROVNE vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  energie, možné energetické hodnoty kvantových systémov, t.j. systémov pozostávajúcich z mikročastíc (elektrónov, protónov atď. elementárne častice, atómové jadrá, ...
• TOPOLÓGIA vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  (z gréckeho topos - miesto a - logika) - časť geometrie venovaná štúdiu fenoménu kontinuity (vyjadreného napr. v koncepte ...
• TERMODYNAMIKA NEROVNÁVANÝCH PROCESOV vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  nerovnovážne procesy, všeobecná teória makroskopického popisu nerovnovážnych procesov. Nazýva sa aj nerovnovážná termodynamika alebo termodynamika nevratných procesov. Klasická termodynamika...
• TERMÁLNA RÚRA vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  pec, priemyselná pec na vykonávanie rôznych operácií tepelného alebo chemicko-tepelného spracovania kovových výrobkov. atď., sú klasifikované podľa spôsobu prevádzky: periodické...
• ZSSR. TECHNICKÁ VEDA vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  veda Letecká veda a technika V predrevolučnom Rusku bolo vyrobených množstvo lietadiel pôvodnej konštrukcie. Ya. M. vytvorili svoje vlastné lietadlá (1909-1914) ...
• RACIONÁLNA FUNKCIA vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  funkcia, funkcia vyplývajúca z konečného počtu aritmetických operácií (sčítanie, násobenie a delenie) s premennou x a ľubovoľnými číslami. R. …
• VALCOVŇA vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  mlyn, stroj na tvarovanie kovu a iných materiálov medzi rotujúcimi valcami, t.j. na vykonávanie procesu valcovania, v ...
• POLYMÉRY vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  (z gréckych polymérov - pozostávajúcich z mnohých častí, rôznorodých), chemických zlúčenín s vysokou molekulovou hmotnosťou (od niekoľkých tisíc do mnohých ...
• PERIODICKÝ ZLOMOK vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  zlomok, nekonečný desatinný zlomok, v ktorom od určitého miesta je len periodicky sa opakujúca určitá skupina číslic. Napríklad 1,3181818...; Stručne povedané…
• POKRAČOVANÁ FRAKCIA vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  zlomok, pokračujúci zlomok, jeden z najdôležitejších spôsobov reprezentácie čísel a funkcií. N.d. je výraz v tvare, kde 0 - ...
• PRIEBEŽNÁ SKUPINA vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  grupa, matematický pojem, ako pojem obyčajnej grupy, vznikajúci pri uvažovaní o transformáciách. Nech M je množina prvkov x nejakého...
• MAROKO vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  Marocké kráľovstvo (arabsky - Al-Mamlaka al-Maghribia, alebo Maghrib al-Aqsa, doslova - ďaleký západ). ja Všeobecné informácie M. je štát na…
• ČIARA (GEOMETRICKÁ KONCEPCIA) vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  (z latinčiny linea), geometrický koncept, ktorého presná a zároveň celkom všeobecná definícia predstavuje značné ťažkosti a vykonáva sa ...
• MNOŽSTVO vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  kategória vyjadrujúca vonkajší, formálny vzťah predmetov alebo ich častí, ako aj vlastnosti, súvislosti: ich veľkosť, počet, stupeň prejavu tohto alebo...
• KYBERNETIKA vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  (z gréckeho kybernetike - umenie riadiť, z kybernao - kormidlujem, ovládam), veda o riadení, komunikácii a spracovaní informácií. ...
• ZLIATINY ZLATA vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  zliatiny, zliatiny, ktorých najdôležitejšou zložkou je zlato (Au). Legovanie Au s inými kovmi (zliatinami) má za cieľ zvýšiť pevnosť...
• BLANKING MLYN vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  valcovňa, valcovňa určená na valcovanie predvalkov alebo ingotov do štvorcových resp okrúhly rez za účelom ich následného spracovania...
• VŔTANIE STREL vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  vŕtanie, druh rotačného vŕtania využívajúce broky ako abrazívny materiál. Navrhnuté v USA v roku 1899 na vŕtanie studní v ...
• REÁLNE ČÍSLO vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  číslo, reálne číslo, akékoľvek kladné číslo, záporné číslo alebo nula. D. hodiny sa delia na racionálne a iracionálne. Prvé môžu byť reprezentované ako...
• GEOMETRIA vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
  (grécka geometria, z ge - Zem a metro - miera), odvetvie matematiky, ktoré študuje priestorové vzťahy a formy, ako aj iné ...
• BRZDA
• RUČNÉ STRELNÉ ZBRANE v Encyklopedickom slovníku Brockhausa a Eufrona:
  vyznačujúci sa tým, že na bojové použitie vyžaduje úsilie len jednej osoby. Jeho prototyp (XIII, XIV storočia) je ručné bombardovanie (bomba ...
• RUSKO. RUSKÁ VEDA: MATEMATIKA v Encyklopedickom slovníku Brockhausa a Eufrona:
  Éra písomných pamiatok nachádza v Rusku používanie systému desatinných čísel v rozsahu 1-10000 (tma) a zlomkov binárneho systému spolu s ...
• RIEŠENIA v Encyklopedickom slovníku Brockhausa a Eufrona.
• POZRIŤANIE LOVECKEJ PUŠKY v Encyklopedickom slovníku Brockhausa a Eufrona:
  má za úlohu jednak študovať jeho boj, jednak určiť hranice presnosti, ostrosti a dosahu boja pomocou rôznych zlomkových čísel. Všetci bojujú...
• POHYB RASTLINNÝCH ORGÁNOV v Encyklopedickom slovníku Brockhausa a Eufrona.
• MATEMATIKA v Encyklopedickom slovníku Brockhausa a Eufrona:
  Slovo "matematika" pochádza z gréčtiny??????? (veda, učenie), ktoré sa zase vyskytuje spolu so slovom, ktoré má rovnaký význam ako...
• KOSTI v Encyklopedickom slovníku Brockhausa a Eufrona:
  pevné časti, ktorých kombinácia tvorí kostru alebo kostru tela stavovcov a ktoré sa vyznačujú veľkou tvrdosťou, významným obsahom minerálnych látok a ...
• STREL NA STRELEC v Encyklopedickom slovníku Brockhausa a Eufrona.
• DIGITÁLNY vo Veľkom ruskom encyklopedickom slovníku:
  DIGITAL TELEVISION, systém televízneho vysielania, v ktorom je televízia nepretržitá v čase. signály počas prenosu sa konvertujú na diskrétne a prenášajú sa ...
• BRZDA*
• RUČNÉ STRELNÉ ZBRANE *
  ? vyznačujúci sa tým, že na bojové použitie vyžaduje úsilie len jednej osoby. Jeho prototyp (XIII, XIV storočia)? ručné bombardovanie...
• RIEŠENIA* v Encyklopédii Brockhausa a Efrona.
• POZRIŤANIE LOVECKEJ PUŠKY v encyklopédii Brockhaus and Efron:
  ? má za úlohu jednak študovať jeho boj, jednak určiť hranice presnosti, ostrosti a dosahu boja pomocou rôznych zlomkových čísel. Boj …
• POHYB RASTLINNÝCH ORGÁNOV* v Encyklopédii Brockhausa a Efrona.
• MLETIE MÚKY* v Encyklopédii Brockhausa a Efrona.
• MATEMATIKA v encyklopédii Brockhaus and Efron:
  ? Slovo "matematika" pochádza z gréčtiny??????? (veda, učenie), ktoré sa zase vyskytujú spolu s rovnakým významom...
• KOSTI v encyklopédii Brockhaus and Efron:
  ? pevné časti, ktorých spojenie tvorí kostra alebo kostra tela stavovcov a ktoré sa vyznačujú veľkou tvrdosťou, významným obsahom minerálnych látok ...
• ČÍSLA A ČÍSELNÉ SYSTÉMY: ČÍSELNÉ ZÁPISY v Collierovom slovníku:
  K článku ČÍSLA A ČÍSELNÉ SÚSTAVY Staroveký Egypt. Rozlúštenie číselného systému vytvoreného v Egypte počas prvej dynastie (asi 2850 ...
• TEÓRIA FUNKCIE: FUNKCIE REÁLNEJ PREMENNEJ v Collierovom slovníku:
  K článku TEÓRIA FUNKCIÍ Funkcie používané v elementárnej analýze sú dané vzorcami. Ich grafy sa zvyčajne dajú nakresliť bez toho, aby ste zdvihli ceruzku z...
• STROM: HLAVNÉ ČASTI STROMU v Collierovom slovníku:
  K článku STROM Stromy, s výnimkou stromových papradí, sú semenné rastliny pozostávajúce z koreňov, stoniek, listov a rozmnožovacích (pohlavných) orgánov, ...

zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové tel, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, zlomkové, …
• PELETA v úplnej akcentovanej paradigme podľa Zaliznyaka:
  zlomky"nka, zlomky"nki, zlomky"nki,zlomky"nok,zlomky"nke,zlomky"nkam,zlomky"nku,zlomky"nki,zlomky"nkoy,zlomky"nkoyu,zlomky"nkami,zlomky"nke, .. .
• BRÚSŤ v úplnej akcentovanej paradigme podľa Zaliznyaka:
  zlomky zapnuté, zlomky zapnuté, zlomky zapnuté, zlomky zapnuté, zlomky zapnuté, zlomky zapnuté, zlomky zapnuté, zlomky zapnuté, zlomky zapnuté, zlomky zapnuté, zlomky zapnuté, zlomky zapnuté, ...
• DRTIČ v úplnej akcentovanej paradigme podľa Zaliznyaka:
  brokovnica, brokovnica, brokovnica, brokovnica, brokovnica, brokovnica, brokovnica, brokovnica, brokovnica, brokovnica, brokovnica, …
• DRVIŤ v úplnej akcentovanej paradigme podľa Zaliznyaka:
  zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový, zlomkový , zlomkový ľan, ...
• DRTIČ v úplnej akcentovanej paradigme podľa Zaliznyaka:
  zlomky"lo, zlomky"la, zlomky"la, zlomky"l, zlomky"lu, zlomky"lam, zlomky"lo, zlomky"la, zlomky"lom, zlomky"lami, zlomky"le, ...
• DRTIČ v úplnej akcentovanej paradigme podľa Zaliznyaka:
  zlomky "lka, zlomky"lka, zlomky"lka, zlomky"lka, zlomky"lka, zlomky"lkam, zlomky"lka, zlomky"lka, zlomky"lkoy, zlomky"lkoy, zlomky"lka, zlomky"lka, .. .
• FRAKCIA v Modernom výkladovom slovníku, TSB:
  v aritmetike - číslo zložené z celého čísla zlomkov jednotky. Zlomok je vyjadrený ako pomer dvoch celých čísel m/n, kde n - ...
• CONTINUOUS V Výkladový slovník Ruský jazyk Ushakov:
  súvislý, súvislý; súvislý, súvislý, súvislý. 1. Nemať prestávky, žiadne dni, naťahovať sa v súvislom rade, línii. Nepretržitý reťazec. Nepretržité série. Nepretržitý tok. ...

Plán:

Úvod

• 1 Pokračujúca expanzia frakcie
• 2 Zodpovedajúce zlomky
• 3 Aproximácia reálnych čísel racionálnymi číslami
  • 3.1 Príklady
• 4 Vlastnosti a príklady
• 5 Aplikácie kontinuálnych frakcií
  • 5.1 Teória kalendára
  • 5.2 Riešenie porovnávaní prvého stupňa
  • 5.3 Iné aplikácie
    • 5.3.1 Vlastnosti zlatého rezu
• 6 Historický odkaz
• 7 Motivácia
Poznámky

Úvod

Pokračujúci zlomok(alebo pokračujúci zlomok) je matematickým vyjadrením tvaru

Kde a 0 je celé číslo a všetky ostatné a n prirodzené čísla (teda nezáporné celé čísla). Akékoľvek reálne číslo môže byť reprezentované ako pokračujúci zlomok (konečný alebo nekonečný). Číslo môže byť reprezentované ako konečný zlomok vtedy a len vtedy, ak je racionálne. Číslo je reprezentované periodickým zlomkom vtedy a len vtedy, ak ide o kvadratickú iracionalitu.

1. Pokračujúca expanzia frakcie

Akékoľvek skutočné číslo X môže byť reprezentovaný (konečným alebo nekonečným) pokračujúcim zlomkom, kde

kde označuje celú časť čísla X .

Pre racionálne číslo X toto rozšírenie sa skončí, keď dosiahne nulu X n pre niektoré n. V tomto prípade X je reprezentovaný konečným zlomkom.

Pre iracionálnych X všetky množstvá X n bude nenulový a proces rozširovania môže pokračovať donekonečna. V tomto prípade X sa javí ako nekonečný pokračujúci zlomok.

Pre racionálne čísla je možné použiť Euklidovský algoritmus na rýchle získanie expanzie pokračujúceho zlomku.

2. Zodpovedajúce zlomky

n-Ach vhodná frakcia pre pokračujúci zlomok sa nazýva konečný reťazový zlomok, ktorého hodnota sa rovná nejakému racionálnemu číslu. Priraďovanie zlomkov k párnym číslam tvorí rastúcu postupnosť, ktorej limit je X. Podobne zhodné zlomky s nepárnymi číslami tvoria klesajúcu postupnosť, ktorej limit sa tiež rovná X .

Euler odvodil vzorce opakovania na výpočet čitateľov a menovateľov vhodných zlomkov:

Teda množstvá p n A q n sú reprezentované spojitými hodnotami:

Sekvencie pribúdajú.

Čitatelia a menovatelia susediacich vhodných zlomkov súvisia vzťahom:

p n q n - 1 - q n p n - 1 = (- 1) n - 1 ,

(1)

ktorý je možné prepísať do tvaru

Odkiaľ z toho vyplýva

3. Aproximácia reálnych čísel racionálnymi číslami

Pokračujúce zlomky vám umožňujú efektívne nájsť dobré racionálne aproximácie pre reálne čísla. Totiž, ak reálne číslo X expandovaný do súvislého zlomku, potom jeho vhodné zlomky uspokoja nerovnosť

Odtiaľto najmä vyplýva:

3.1. Príklady

• Rozložme číslo π =3,14159265... na pokračujúci zlomok a vypočítajme jeho vhodné zlomky: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ...

Druhý zlomok (22/7) je slávna Archimedova aproximácia. Štvrtý (355/113) bol prvýkrát získaný v starovekej Číne.

4. Vlastnosti a príklady

• Akékoľvek racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný zlomok dvoma spôsobmi, napríklad:

• Lagrangeova veta: Číslo je reprezentované ako nekonečný periodický pokračujúci zlomok vtedy a len vtedy, ak ide o iracionálne riešenie kvadratickej rovnice s celočíselnými koeficientmi.

Napríklad: Zlatý pomer e − 1 =

pre číslo

• Číslo pi nemá jednoduchý vzor:

π =

• Gauss-Kuzminova veta: Pre takmer všetky (okrem množiny nulovej miery) reálne čísla existuje geometrický priemer koeficientov ich zodpovedajúcich spojitých zlomkov a rovná sa Khinchinovej konštante.
• Marshall Hallov teorém. Ak pri rozširovaní čísel X v pokračujúcom zlomku, počnúc druhým prvkom, nie sú väčšie čísla n, potom hovoria, že číslo X patrí do triedy F(n). Akékoľvek reálne číslo môže byť reprezentované ako súčet dvoch čísel z triedy F(4) a v tvare súčinu dvoch čísel z triedy F(4). Neskôr sa ukázalo, že akékoľvek reálne číslo môže byť reprezentované ako súčet 3 čísel z triedy F(3) a ako súčet 4 čísel z triedy F(2). Počet členov požadovaných v tejto vete nemožno znížiť - na reprezentáciu niektorých čísel týmto spôsobom nestačí menší počet členov.

5. Aplikácia kontinuálnych frakcií

5.1. Teória kalendára

Pri vývoji slnečného kalendára je potrebné nájsť racionálnu aproximáciu počtu dní v roku, ktorá sa rovná 365,2421988... Vypočítajme vhodné zlomky pre zlomkovú časť tohto čísla:

Prvý zlomok znamená, že každé 4 roky musíte pridať ďalší deň; Tento princíp tvoril základ juliánskeho kalendára. V tomto prípade sa chyba 1 deň akumuluje počas 128 rokov. Druhá hodnota (7/29) nebola nikdy použitá. Tretí zlomok (8/33), teda 8 prestupných rokov za obdobie 33 rokov, navrhol Omar Khayyam v 11. storočí a znamenal začiatok perzského kalendára, v ktorom sa chyba za deň hromadí počas 4500 rokov. (v gregoriánskom – vyše 3280 rokov). Veľmi presnú verziu so štvrtým zlomkom (31/128, chyba za deň sa kumuluje len za 100 000 rokov) presadzoval nemecký astronóm Johann von Medler (1864), ale nevzbudila veľký záujem.

5.2. Riešenie porovnávaní prvého stupňa

Uvažujme o porovnaní: , kde sú známe a môžeme to predpokladať a recipročne práve s m. Treba nájsť X .

Rozviňme to na pokračujúci zlomok. Bude to posledný a posledný vhodný zlomok bude . Dosadíme do vzorca (1):

mq n − 1 − ap n − 1 = (− 1) n − 1

Z toho vyplýva:

, alebo:

Záver: trieda zvyškov je riešením pôvodného porovnania.

5.3. Iné aplikácie

5.3.1. Vlastnosti zlatého rezu

Zaujímavým výsledkom, ktorý vyplýva zo skutočnosti, že výraz pokračovacieho zlomku pre φ nepoužíva celé čísla väčšie ako 1 je, že φ je jedno z „najťažších“ reálnych čísel na aproximáciu pomocou racionálnych čísel. Jedna veta (Hurwitzova veta) hovorí, že akékoľvek reálne číslo k možno aproximovať zlomkom m/n s pomocou

Potom, keď takmer všetky reálne čísla k v konečnom dôsledku majú nekonečne veľa aproximácií m/n, ktoré sa nachádzajú vo výrazne menšej vzdialenosti od k než je tento limit, aproximácie pre φ (t.j. čísla 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 atď.) sa postupne „dotýkajú hranice“, pričom vzdialenosť udržiavajú takmer presne vo vzdialenosti od φ, čím sa nikdy nevytvorí aproximácia taká pôsobivá ako napríklad 355/113 pre π. Dá sa ukázať, že akékoľvek reálne číslo formulára ( a + bφ)/( c + dφ) – kde a, b, c A d sú celé čísla ako napr inzerát − bc= ±1 – majú rovnakú vlastnosť ako zlatý rez φ; a tiež, že všetky ostatné reálne čísla sa dajú aproximovať oveľa lepšie.

6. Historické pozadie

Starovekí matematici boli schopní reprezentovať vzťahy nesúmerateľných veličín vo forme reťazca po sebe nasledujúcich vhodných vzťahov, pričom tento reťazec získali pomocou Euklidovho algoritmu. Zrejme takto Archimedes získal aproximáciu - ide o 12. vhodný zlomok pre alebo od 4. vhodný zlomok pre .

V 5. storočí použil indický matematik Aryabhata podobnú „metódu mletia“ na riešenie neurčitých rovníc prvého a druhého stupňa. Použitím rovnakej techniky sa pravdepodobne získala známa aproximácia pre číslo π (355/113). V 16. storočí Raphael Bombelli extrahoval druhú odmocninu pomocou nepretržitých zlomkov (pozri jeho algoritmus).

Štart moderná teória pokračovacie frakcie zaviedol v roku 1613 Pietro Antonio Cataldi. Zaznamenal ich hlavnú vlastnosť (polohu medzi vhodnými zlomkami) a zaviedol notáciu pripomínajúcu modernú. Jeho teóriu neskôr rozšíril John Wallis, ktorý tento termín vytvoril "pokračujúci zlomok". Ekvivalentný výraz je " pokračujúci zlomok“ sa objavil koncom 18. storočia.

Tieto zlomky sa používali predovšetkým na racionálnu aproximáciu reálnych čísel; napríklad Christiaan Huygens ich použil pri návrhu ozubených kolies svojho planetária. Huygens už vedel, že vhodné zlomky sú vždy neredukovateľné a že predstavujú najlepšiu racionálnu aproximáciu.

V 18. storočí teóriu spojitých zlomkov vo všeobecnosti dokončili Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange.

7. Motivácia

Pokračovacie zlomky sú „matematicky najprirodzenejšie“ reprezentácie reálnych čísel.

Väčšina ľudí pozná desiatkové znázornenie reálnych čísel, ktoré možno definovať ako

kde a 0 môže byť ľubovoľné celé číslo a nasledujúce a i sú jedným z prvkov (0,1,2,…,9). V tejto reprezentácii môže byť číslo π napríklad reprezentované ako postupnosť celých čísel.

Toto desatinné zobrazenie má niekoľko problémov. Jedným z nich je, že mnohé racionálne čísla nemajú v tomto systéme konečné zastúpenie. Napríklad číslo 1/3 môže byť reprezentované nekonečnou postupnosťou (0,3,3,3,3,...). Ďalším problémom je, že konštanta 10 je v podstate svojvoľná voľba, ktorá uprednostňuje čísla, ktoré nejakým spôsobom súvisia s celým číslom 10. Napríklad 137/1600 má konečnú desatinnú reprezentáciu, zatiaľ čo 1/3 nie, pretože 137/1600 je jednoduchšie ako 1/3, ale len preto, že 1600 delí mocninu 10 (106 = 1600 × 625). Zápis ako pokračujúci zlomok je reprezentácia reálnych čísel, ktorá nemá tieto problémy.

Pozrime sa, ako môžeme opísať číslo ako 415/93, ktoré sa približne rovná 4,4624. Je to asi 4. V skutočnosti je to trochu viac ako 4, asi 4 + 1/2. Ale 2 v menovateli nie je úplne presné; malo by byť číslo o niečo väčšie ako 2, približne 2 + 1/6. Takže 415/93 sa približne rovná 4 + 1/(2 + 1/6). Ale 6 v menovateli nie je správne; skutočná hodnota je o niečo viac ako 6,6+1/7. Takže 415/93 je 4+1/(2+1/(6+1/7). Toto je presná hodnota.

Vynechaním niektorých požadovaných častí vo výraze 4 + 1 / (2 + 1 / (6 + 1 / 7)) dostaneme krátky zápis. (Všimnite si, že je bežnou praxou nahradiť iba prvú čiarku bodkočiarkou.)

Týmto spôsobom možno definovať reprezentáciu ako pokračujúci zlomok reálneho čísla. Má niekoľko želaných vlastností:

• Reprezentácia ako pokračujúci zlomok je konečná vtedy a len vtedy, ak je číslo racionálne.

• Každé racionálne číslo má v podstate jedinečnú reprezentáciu ako pokračujúci zlomok. Každé racionálne číslo možno znázorniť presne dvoma spôsobmi, pretože [ a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n ] = [a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n− 1, 1]. Matematici uprednostňujú korešpondenciu jedna ku jednej medzi racionálnymi číslami a nekonečnými zlomkami; ako kanonická reprezentácia je zvolený prvý kratší zápis.

• Reprezentácia ako pokračujúci zlomok iracionálneho čísla je jedinečná.

• Pokračujúci zlomok je periodický vtedy a len vtedy, ak je číslo kvadratická iracionalita, t.j. má tvar

pre celé čísla a, b, c, d; Kde b A d nie nula a c>1 a c nie je presný štvorec.

Napríklad periodický pokračujúci zlomok je zlatý pomer a periodický pokračujúci zlomok je druhá odmocnina z 2.

• Včasné skrátenie reprezentácie pokračovacieho zlomku x vedie k racionálnej aproximácii x, ktorá je v istom zmysle „najlepšou“ racionálnou aproximáciou.

Posledná vlastnosť je mimoriadne dôležitá. Desatinné vyjadrenie čísla ho nemá. Skrátenie desiatkovej reprezentácie čísla vedie k rozumnej aproximácii čísla, ale zvyčajne nie veľmi dobrej aproximácii. Napríklad skrátenie 1/7 = 0,142857... na rôznych miestach vedie k aproximáciám ako 142/1000, 14/100 a 1/10. Ale očividne najlepšou racionálnou aproximáciou by bolo samotné číslo „1/7“. Odrezaním desiatkovej reprezentácie π získame aproximácie ako 31415/10000 a 314/100. Pokračovací zlomok π začína znakom . Skrátením tejto reprezentácie získame vynikajúce racionálne aproximácie 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …. Menovatelia 314/100 a 333/106 sú takmer rovnaké, ale chyba v aproximácii 314/100 je devätnásťkrát väčšia ako chyba v aproximácii 333/106. Ako aproximácia π je aproximácia 3,1416 viac ako stokrát presnejšia.

, Zlomok, Zlomok (matematika), Vlastný zlomok.

Postupnosť, ktorej každý člen je obyčajný zlomok, vygeneruje pokračujúci (alebo pokračujúci) zlomok, ak sa jeho druhý člen pripočíta k prvému a každý zlomok, počnúc tretím, sa pripočíta k menovateľovi predchádzajúceho zlomku. Napríklad postupnosť 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... generuje pokračujúci zlomok

Ak elipsa na konci naznačuje, že proces pokračuje donekonečna. Na druhej strane, pokračujúca frakcia vedie k ďalšej sekvencii frakcií nazývaných vhodné frakcie. V našom príklade sú prvý, druhý, tretí a štvrtý vhodný zlomok rovnaké

Dajú sa zostrojiť pomocou jednoduchého pravidla zo sekvencie neúplných kvocientov 1, 1/2, 2/3, 3/4, .... Najprv si vypíšme prvý a druhý vhodný zlomok 1/1 a 3/2. Tretí vhodný zlomok sa rovná (2*1 + 3*3)/(2*1 + 3*2) alebo 11/8, jeho čitateľ sa rovná súčtu súčinov čitateľov prvého a druhého vhodného zlomku. zlomky vynásobené čitateľom a menovateľom tretieho neúplného podielu a menovateľ sa rovná súčtu súčinov menovateľov prvého a druhého neúplného podielu, vynásobených čitateľom a menovateľom tretieho neúplného podielu. Štvrtá vhodná frakcia sa získa podobne zo štvrtého neúplného kvocientu 3/4 a druhá a tretia vhodná frakcia: (3*3 + 4*11)/(3*2 + 4*8) alebo 53/38. Podľa tohto pravidla nájdeme prvých sedem vhodných zlomkov: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 a 16687/11986. Zapíšme ich vo forme desatinných zlomkov (so šiestimi desatinnými miestami): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 a 1,392208. Hodnota nášho pokračovacieho zlomku bude číslo x, ktorého prvé číslice sú 1,3922. Fitovacie zlomky sú najlepšou aproximáciou x. Okrem toho sa striedavo ukáže, že sú buď menšie alebo väčšie ako číslo x (nepárne sú väčšie ako x a párne sú menšie). Na vyjadrenie pomeru dvoch kladných celých čísel ako konečného zlomku musíte použiť metódu najväčšieho spoločného deliteľa. Vezmime si napríklad pomer 50/11. Pretože 50 = 4H11 + 6 alebo 11/50 = 1/(4 + 6/11), a podobne, 6/11 = 1/(1 + 5/6) alebo 5/6 = 1/(1 + 1 / 5), dostaneme:

Pokračujúce zlomky sa používajú na aproximáciu iracionálnych čísel k racionálnym číslam. Predpokladajme, že x je iracionálne číslo (to znamená, že ho nemožno reprezentovať ako podiel dvoch celých čísel). Potom, ak n0 je najväčšie celé číslo, ktoré je menšie ako x, potom x = n0 + (x - n0), kde x - n0 je kladné číslo menšie ako 1, takže jeho inverzná hodnota x1 je väčšia ako 1 a x = n0 + 1/x1. Ak je n1 najväčšie celé číslo menšie ako x1, potom x1 = n1 + (x1 - n1), kde x1 - n1 je kladné číslo menšie ako 1, takže jeho inverzná hodnota x2 je väčšia ako 1 a x1 = n1 + 1/x2. Ak je n2 najväčšie celé číslo menšie ako x2, potom x2 = n2 + 1/x3, kde x3 je väčšie ako 1 atď. Výsledkom je, že krok za krokom nachádzame postupnosť neúplných kvocientov n0, 1/n1, 1/n2, ... spojitého zlomku, ktoré sú aproximáciou x. Vysvetlíme si to na príklade. Predstierajme to

Https:="">
">

Potom

Prvých 6 zodpovedajúcich zlomkov je 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Keď sú zapísané ako desatinné miesta, poskytujú tieto približné hodnoty:
: 1000; 1 500; 1 400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Pokračujúci zlomok pre
má neúplné podiely 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... . Iracionálne číslo je koreňom kvadratickej rovnice s celočíselnými koeficientmi vtedy a len vtedy, ak sú jeho neúplné parciálne expanzie na pokračovanie zlomkov periodické. Pokračovacie zlomky úzko súvisia s mnohými odvetviami matematiky, ako je teória funkcií, divergentné rady, problém momentov, diferenciálne rovnice a nekonečné matice. Ak x je radiánová miera ostrého uhla, potom sa dotyčnica uhla x rovná hodnote súvislého zlomku s parciálnymi podielmi 0, x/1, -x2/3, -x2/7, -x2/9 , ..., a ak x je kladné číslo, potom sa prirodzený logaritmus 1 + x rovná hodnote spojitého zlomku s parciálnymi podielmi 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4 , 22x/5, 32x/6, ... . Formálne riešenie diferenciálnej rovnice x2dy/dx + y = 1 + x v tvare mocninného radu je divergentný mocninný rad 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Tento mocninový rad je možné previesť na pokračujúci zlomok s parciálnymi podielmi 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., a to je zase možné použiť na získanie riešenia diferenciálnej rovnice x2dy/dx + y = 1 + x.

• - pomer dvoch navzájom delených čísel v tvare a/b; napríklad 3/4. V tomto výraze a je čitateľ a b je menovateľ. Ak a a b sú celé čísla, potom je kvocient jednoduchý zlomok. Ak je a menšie ako b, zlomok je správny...

  Vedecko-technický encyklopedický slovník

• - prax vyplácania provízií registrovaným zástupcom po tom, čo prestali pôsobiť ako sprostredkovateľ/obchodníci alebo dedičom po smrti registrovaného zástupcu...

  Veľký ekonomický slovník

• - Výpočet úroku alebo diskontovania budúceho príjmu na konštantnej báze. Pri ročnej sadzbe 100 r sa po N rokoch výška úveru N-násobne zvýši oproti pôvodnej výške...

  Ekonomický slovník

• - Rukhin, 1961, - rytmy, ktoré nie sú oddelené trvalými prestávkami v sedimentácii a nevyhnutne majú regresívnu časť...

  Geologická encyklopédia

• - prostredia, v ktorých rýchlosť šírenia elastických vĺn plynule rastie s hĺbkou. Veľkú úlohu zohráva ich štúdium pri seizmickom prieskume...

  Geologická encyklopédia

• - pozri Dni počítané postupne...

  Námorný slovník

• - v teoretických finančných výpočtoch - úroky naakumulované v nekonečne malých časových obdobiach Synonymá: Priebežné časové rozlíšenie Pozri. Pozri tiež: Cena pôžičky  ...

  Finančný slovník

• - pozri zlomok...
• - pozri zlomok...

  encyklopedický slovník Brockhaus a Euphron

• - čísla alebo funkcie, ktoré vznikajú, keď sa zlomok pokračuje...

  Veľká sovietska encyklopédia

• - 1. Arch., Orel., Sib. Tancujte, prerušovane klopkajte nohami na zem. SRNG 8, 189; SOG 1989, 75; FSS, 12. 2. Volg. Klepanie nohami od chladu. Glukhov 1988, 3...
• - Sib. To isté ako šľahanie frakcií 1. FSS, 53...

  Veľký slovník Ruské výroky

• - Zlyhať / zlyhať niekoho na zlomkoch. Jarg. stud. Odmietnuť, odmietnuť koho z nepodstatného dôvodu. NRL-82; Mokienko 2003, 26...

  Veľký slovník ruských prísloví

• - príd., počet synoným: 1 celý...

  Slovník synonym

"POKRAČOVANÉ ZLOMKY" v knihách

Putinove nepretržité voľby

Z knihy autora

Putinove nepretržité voľby Aby si udržal Putinovu osobnú popularitu medzi ľuďmi, jeho tím okamžite reaguje na najmenšiu zmenu situácie. „Trvalé voľby“ nadobudli ďalší význam na začiatku 21. storočia, keď sa zmietla séria „farebných revolúcií“

Neustále a radikálne inovácie

Z knihy Beztiaže bohatstvo. Určte hodnotu vašej spoločnosti v ekonomike nehmotného majetku od Thyssen Rene

Nepretržité a radikálne inovácie Dnes už každý pozná teóriu rastovej krivky. Dlhé roky bol (a stále je) jedným z nástrojov, ktorý nám umožňuje určiť pozíciu firmy v ktorejkoľvek fáze jej vývoja. Každý produkt a služba má svoj vlastný cyklus

4. 5. Nepretržité toky

Z knihy Základy podnikovej kybernetiky od Forrester Jay

4. 5. Spojité toky Pri konštrukcii modelu priemyselného distribučného systému predpokladáme, že jeho základom - aspoň spočiatku - sú spojité toky a interakcie premenných. Pri analýze informačných systémov je možné brať do úvahy diskrétnosť udalostí

Neustále inovácie a udržateľný úspech sú cenou pre víťaza

Z knihy V zdravom podnikaní - zdravá myseľ. Ako veľké spoločnosti rozvíjajú imunitu voči krízam od Karlgaarda Richa

Nepretržitá inovácia a trvalý úspech sú cenou pre víťaza Teraz, keď ste pochopili každú z troch strán trojuholníka úspechu, dám ich dokopy. Ak je vaším cieľom vytvoriť spoločnosť, ktorá dokáže neustále inovovať a implementovať

Neustále vyhrážky

Z knihy V sibírskych táboroch. Spomienky nemeckého zajatca. 1945-1946 od Gerlacha Horsta

Nepretržité vyhrážky Celú noc sme boli s Rusmi namierené. Zamkli nás a potom prišli ďalší a nadávali, že dvere sú zatvorené. Nejaký pohyb sa nezastavil, všetky veci sa pretrepali a prezreli: truhlice, krabice, krabice. Ich obsah bol vyhodený

Kapitola I. NEUKONČUJÚCE KONFLIKTY A NESPOĽAHLIVÉ prímeria

Z knihy Náboženské vojny od Live Georges

KAPITOLA I. KONFLIKTNÉ KONFLIKTY A NESPOĽAHLIVÉ prímeria V roku 1559 rana Montgomeryho kopijou, ktorá zabila kráľa Henricha II., „zmení tvár Francúzska“. Podarí sa následníkovi trónu Františkovi II. obmedziť sily, ktoré sú pripravené zúriť pri najmenšom oslabení kráľovskej moci? Na jednej strane

Zodpovedajúce zlomky

Z knihy Veľký Sovietska encyklopédia(softvér) autora TSB

3.2.1. Binárne zlomky

autor Grigoriev A. B.

3.2.1. Binárne zlomky Najprv trocha matematiky. V škole študujeme dva typy zlomkov: jednoduché a desatinné. Desatinné čísla sú v podstate rozšírením čísla na mocniny desiatich. Takže písanie 13,6704 znamená číslo rovné 1?101 + 3?100 + 6?10-1 + 7?10-2 + ​​0?10-3 + 4?10-4. ale

3.2.5. Nekonečné zlomky

Z knihy O čom knihy Delphi nepíšu autor Grigoriev A. B.

3.2.5. Nekonečné zlomky Zo školy si všetci pamätáme, že nie každé číslo sa dá zapísať ako konečný desatinný zlomok. Existujú dva typy nekonečných zlomkov: periodické a neperiodické. Príkladom neperiodického zlomku je číslo?, periodickým zlomkom je číslo? alebo akékoľvek iné

Čo dokáže dlhé a nepretržité úsilie

Z knihy Pravidlá. Zákony úspechu od Canfielda Jacka

Čo sa dá dosiahnuť dlhodobým, nepretržitým úsilím? Stála hra za námahu? Ó áno! Z knihy sa nakoniec predalo 8 miliónov kópií v 39 jazykoch. Stalo sa to zo dňa na deň? Ale nie! Dostali sme sa do zoznamu bestsellerov rok po vydaní knihy – cez

Zlomky

Z knihy 50 najlepších hádaniek na rozvoj ľavej a pravej hemisféry mozgu od Phillipsa Charlesa

Fractions Fractions je nová agentúra ponúkajúca hodiny matematiky. Dizajnér Freddie Matisse predstavil možnosti loga pre agentúru vo forme hádanky: A sa zmení na B pomocou jednoduchá konverzia; ak urobíte rovnakú transformáciu pre päťuholník

Šiesta črta: pohyby sú spojené a kontinuálne s tvorbou jedinej čchi

Z knihy Tajné techniky Taijiquan v štýle Chen od Jiazhen Chen

Šiesty znak: pohyby sú spojené a kontinuálne s tvorbou jedinej čchi Pojednania o gymnastike dávajú tieto požiadavky: 1) Pohyby tam a späť musia mať prestávku a zmenu. Postup a ústup musia mať revolúciu.2) Keď to zdvihnú, okamžite to uvoľnia,

Neustála inovácia

od Tellisa Gerarda

Neustála inovácia Trhy a technológie sa neustále menia a po úspešných produktoch sa prestanú používať. Dokonca aj pozície najsilnejších spoločností sú veľmi zraniteľné v dôsledku technologických a trhových zmien. Preto, aby si udržali vedúce postavenie na trhu, spoločnosti

Neustála inovácia: Spätná väzba

Z knihy Vôľa a vízia. Ako tí, ktorí prídu neskôr ako ostatní, nakoniec ovládnu trhy od Tellisa Gerarda

Nepretržité inovácie: Spätná väzba Skúsenosti spoločnosti Intel ukazujú, že neustále inovácie nielen odrádzajú konkurentov, ale generujú aj zisky pre nové inovácie. Trh mikroprocesorov je oveľa dynamickejší ako trh holiacich systémov. Obrázok 7-3 znázorňuje trendy

1.4. Diskrétne a spojité systémy

Z knihy Fenomén vedy. Kybernetický prístup k evolúcii autora Turchin Valentin Fedorovič

1.4. Diskrétne a spojité systémy Stav systému je určený množinou stavov všetkých jeho subsystémov, teda v konečnom dôsledku elementárnych subsystémov. Existujú dva typy základných subsystémov: s konečným a nekonečným počtom možných stavov. Subsystémy

- 88,50 kb

FEDERÁLNA LESNÁ AGENTÚRA RF

FBOU SPO "DIVNOGORSKY LESNÍCTVO - TECHNIKA"

MATEMATICKÁ KANCELÁRIA

SPRÁVA

O VÝSKUMNEJ PRÁCI Č.

K TÉME "POKRAČUJÚCE ZLOMKY"

Dokončené:

Študent 1. ročníka gr. 11B-L Kardapoltsev A.O.

Skontrolované:

učiteľ: Konovalová E.G.

stupeň:

Úvod - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

Pokračujúci zlomok - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Pokračujúca expanzia frakcie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Aproximácia reálnych čísel racionálnymi číslami - - 6

Historické pozadie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Záver - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Bibliografia - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9

Úvod

Môj cieľ výskumná práca je štúdiom teórie spojitých zlomkov. Pokúsim sa v ňom odhaliť vlastnosti vhodných zlomkov, znaky expanzie reálnych čísel na nevlastné zlomky, chyby, ktoré vznikajú v dôsledku tohto rozšírenia a aplikáciu teórie spojitých zlomkov na riešenie množstva algebraické problémy.

Pokračovacie zlomky zaviedol v roku 1572 taliansky matematik Bombelli. Modernú notáciu pre pokračovanie zlomkov našiel taliansky matematik Cataldi v roku 1613. Najväčší matematik 18. storočia Leonardo Euler ako prvý vysvetlil teóriu spojitých zlomkov, nastolil otázku ich použitia na riešenie diferenciálnych rovníc, aplikoval ich na expanziu funkcií, reprezentoval nekonečné súčiny a dal dôležité zovšeobecnenie. z nich.

V Eulerovej práci o teórii spojitých zlomkov pokračovali M. Sofronov (1729-1760), akademik V.M. Viskovaty (1779-1819), D. Bernoulli (1700-1782) atď. Mnohé dôležité výsledky tejto teórie patria francúzskemu matematikovi Lagrangeovi, ktorý našiel metódu na približné riešenie diferenciálnych rovníc pomocou reťazových zlomkov.

Pokračujúci zlomok

Pokračujúci zlomok(alebo pokračujúci zlomok) je matematickým vyjadrením tvaru

Kde a 0 existuje celé číslo a všetky ostatné a n prirodzené čísla (teda nezáporné celé čísla). Akékoľvek reálne číslo môže byť reprezentované ako pokračujúci zlomok (konečný alebo nekonečný). Číslo môže byť reprezentované ako konečný zlomok vtedy a len vtedy, ak je racionálne. Číslo je reprezentované periodickým zlomkom vtedy a len vtedy, ak ide o kvadratickú iracionalitu.

Pokračujúca expanzia frakcie

Akékoľvek skutočné čísloX môže byť reprezentovaný (konečným alebo nekonečným) pokračujúcim zlomkom kde

kde označuje celú časť číslaX .

Pre racionálne čísloX toto rozšírenie sa skončí, keď dosiahne nuluX n pre niektoré n. V tomto prípade X reprezentovaný konečným zlomkom

Pre iracionálnychX všetky množstvá X n bude nenulový a proces rozširovania môže pokračovať donekonečna. V tomto prípadeX sa javí ako nekonečný pokračujúci zlomok

Aproximácia reálnych čísel racionálnymi číslami

Pokračujúce zlomky vám umožňujú efektívne nájsť dobré racionálne aproximácie pre reálne čísla. Totiž, ak reálne čísloX expandovaný do súvislého zlomku, potom jeho vhodné zlomky uspokoja nerovnosť:

Odtiaľto najmä vyplýva:

1) vhodná frakciaje najlepšia aproximácia

Pre X medzi všetkými zlomkami, ktorých menovateľ nepresahujeq n ;

2) miera iracionality akéhokoľvek iracionálneho čísla nie je menšia ako 2.

Príklady

1) Rozšírime početπ =3,14159265... na pokračujúci zlomok a vypočítajte jeho zodpovedajúce zlomky: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ...

Druhý zlomok (22/7) je slávna Archimedova aproximácia. Štvrtý (355/113) bol prvýkrát získaný v starovekej Číne.

2) V hudobnej teórii sa vyžaduje nájsť racionálnu aproximáciu pre

Tretí vhodný zlomok: 7/12 nám umožňuje zdôvodniť klasické delenie oktávy na 12 poltónov..

Historický odkaz

Starovekí matematici boli schopní reprezentovať vzťahy nesúmerateľných veličín vo forme reťazca po sebe nasledujúcich vhodných vzťahov, pričom tento reťazec získali pomocou Euklidovho algoritmu. Archimedes zrejme získal svoju aproximáciu takto:

Toto je 12. vhodný zlomok pre

Alebo od 4. vhodného zlomku pre.

V 5. storočí použil indický matematik Aryabhata podobnú „metódu mletia“ na riešenie neurčitých rovníc prvého a druhého stupňa. Použitím rovnakej techniky sa pravdepodobne získala známa aproximácia číslaπ (355/113). V 16. storočí Raphael Bombelli extrahoval druhú odmocninu pomocou nepretržitých zlomkov (pozri jeho algoritmus).

Modernú teóriu spojitých zlomkov založil v roku 1613 Pietro Antonio Cataldi. Zaznamenal ich hlavnú vlastnosť (polohu medzi vhodnými zlomkami) a zaviedol notáciu pripomínajúcu modernú. Jeho teóriu neskôr rozšíril John Wallis, ktorý tento termín vytvoril "pokračujúci zlomok". Ekvivalentný výraz je " pokračujúci zlomok“ sa objavil koncom 18. storočia.

Tieto zlomky sa používali predovšetkým na racionálnu aproximáciu reálnych čísel; napríklad Christiaan Huygens ich použil pri návrhu ozubených kolies svojho planetária. Huygens už vedel, že vhodné zlomky sú vždy neredukovateľné a že predstavujú najlepšiu racionálnu aproximáciu.

V 18. storočí teóriu spojitých zlomkov vo všeobecnosti dokončili Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange.

Záver

Tento výskumný dokument ukazuje dôležitosť reťazových zlomkov v matematike.

Možno ich úspešne aplikovať na riešenie neurčitých rovníc tvaru

ax+by=c.

Hlavným problémom pri riešení takýchto rovníc je nájsť nejaké konkrétne riešenie. Takže pomocou pokračovacích zlomkov môžete určiť algoritmus na nájdenie takéhoto konkrétneho riešenia.

Pokračovacie zlomky možno použiť aj na riešenie zložitejších neurčitých rovníc, napríklad takzvanej Pellovej rovnice:

().

Nekonečné pokračovanie zlomkov je možné použiť na riešenie algebraických a transcendentálnych rovníc a na rýchly výpočet hodnôt jednotlivých funkcií.

V súčasnosti sa vo výpočtovej technike čoraz viac využívajú spojité zlomky, pretože umožňujú zostaviť efektívne algoritmy na riešenie množstva problémov na počítači.

Bibliografia:

http://ru.wikipedia.org

1. Algebra a teória čísel. Upravil N.Ya. Vilenkina, M, „Osvietenie“, 84.
2. ONI. Vinogradov. Základy teórie čísel. M, „Veda“, 72.
3. A.A. Kocheva. Praktický pracovný zošit z algebry a teórie čísel. M, „Osvietenie“, 84.
4. L.Ya. Kulikov, A.I. Moskalenko, A.A. Fomin. Zbierka úloh z algebry a teórie čísel. M, „Osvietenie“, 93.

E.S. Lyapin, A.E. Evseev. Algebra a teória čísel. M, "Osvietenie",

Popis práce

Účelom mojej výskumnej práce je študovať teóriu spojitých zlomkov. Pokúsim sa v ňom odhaliť vlastnosti vhodných zlomkov, znaky expanzie reálnych čísel na nevlastné zlomky, chyby, ktoré vznikajú v dôsledku tohto rozšírenia a aplikáciu teórie spojitých zlomkov na riešenie množstva algebraické problémy.

Pokračujúci zlomok - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Pokračujúca expanzia frakcie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Aproximácia reálnych čísel racionálnymi číslami - - 6

Historické pozadie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Záver - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Bibliografia - - - - - - - - - - - - - - -