Trei colțuri desfăcute și unul extins. Expansat, obtuz, vertical și neexpandat: tipuri de colțuri ale geometriei

Elevii sunt familiarizați cu conceptul de unghi în școală primară. Dar ca figură geometrică cu anumite proprietăți, încep să o studieze din clasa a VII-a la geometrie. Pare, formă destul de simplă ce se poate spune despre ea. Dar, dobândind noi cunoștințe, școlarii înțeleg din ce în ce mai mult că poți afla fapte destul de interesante despre ea.

In contact cu

Când sunt studiate

Cursul de geometrie școlară este împărțit în două secțiuni: planimetrie și geometrie solidă. Fiecare dintre ele are multă atenție. dat la colturi:

• În planimetrie, este dat conceptul lor de bază, are loc cunoașterea tipurilor lor în mărime. Proprietățile fiecărui tip de triunghi sunt studiate mai detaliat. Apar noi definiții pentru elevi - acestea sunt forme geometrice formate la intersecția a două linii una cu alta și la intersecția mai multor linii ale unei secante.
• În stereometrie se studiază unghiurile spațiale - diedrul și triedrul.

Atenţie! Acest articol discută toate tipurile și proprietățile unghiurilor în planimetrie.

Definiție și măsurare

Începând să studiezi, mai întâi determină, ce este un unghiîn planimetrie.

Dacă luăm un anumit punct din plan și desenăm două raze arbitrare din el, obținem o figură geometrică - un unghi, constând din următoarele elemente:

• vârful - punctul din care au fost trase razele, este indicat printr-o majusculă a alfabetului latin;
• laturile sunt trase pe jumătate de linie de sus.

Toate elementele care formează figura în care luăm în considerare împart planul două părți:

• intern - în planimetrie nu depășește 180 de grade;
• extern.

Principiul măsurării unghiurilor în planimetrie explicat intuitiv. Pentru început, elevii sunt introduși în conceptul de unghi dezvoltat.

Important! Se spune că un unghi este dezvoltat dacă semi-liniile care emană din vârful său formează o linie dreaptă. Un unghi desfășurat sunt toate celelalte cazuri.

Dacă este împărțit în 180 de părți egale, atunci se obișnuiește să se ia în considerare măsura unei părți egală cu 10. În acest caz, se spune că măsurarea se face în grade, iar măsura gradului unei astfel de figuri este de 180 de grade.

Principalele tipuri

Tipurile de unghiuri sunt subdivizate în funcție de criterii precum măsurarea gradului, natura formării lor și categoriile de mai jos.

După mărime

Având în vedere mărimea, unghiurile sunt împărțite în:

• dislocat;
• Drept;
• bont;
• picant.

Ce unghi se numește desfășurat a fost prezentat mai sus. Să definim conceptul de linie dreaptă.

Poate fi obținut prin împărțirea desfășurată în două părți egale. În acest caz, este ușor să răspunzi la întrebarea: un unghi drept, de câte grade este?

Împărțiți 180 de grade la 2 pentru a obține unghiul drept este de 90 de grade. Aceasta este o figură minunată, deoarece multe fapte din geometrie sunt asociate cu ea.

De asemenea, are propriile sale caracteristici în denumire. Pentru a arăta un unghi drept în figură, acesta este indicat nu printr-un arc, ci printr-un pătrat.

Unghiurile care se obțin prin împărțirea unei raze arbitrare a unei drepte se numesc acute. Conform logicii lucrurilor, rezultă că un unghi ascuțit este mai mic decât un unghi drept, dar măsura lui este diferită de 0 grade. Adică are o valoare de la 0 la 90 de grade.

Un unghi obtuz este mai mare decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi drept. Măsura gradului său variază de la 90 la 180 de grade.

Acest element poate fi descompus în tipuri diferite cifre considerate, excluzând cea extinsă.

Indiferent de modul în care este rupt unghiul nerotat, se folosește întotdeauna axioma de bază a planimetriei - „proprietatea principală a măsurării”.

La împărțind unghiul cu un fascicul sau mai multe, măsura gradului unei figuri date este egală cu suma măsurilor unghiurilor în care este împărțită.

La nivelul clasei a VII-a se termină acolo tipurile de unghiuri în mărimea lor. Dar pentru a spori erudiția, se poate adăuga că există și alte soiuri care au o măsură gradată de peste 180 de grade.Se numesc convexe.

Cifre la intersecția liniilor

Următoarele tipuri de unghiuri în care sunt prezentate elevii sunt elementele formate atunci când două drepte se intersectează. Figurile care sunt plasate una față de alta se numesc verticale. Caracteristica lor distinctivă este că sunt egali.

Elementele care sunt adiacente aceleiași linii sunt numite adiacente. Teorema de cartografiere a proprietății lor spune că Unghiurile adiacente se adaugă până la 180 de grade.

Elementele dintr-un triunghi

Dacă considerăm figura ca un element dintr-un triunghi, atunci unghiurile sunt împărțite în interne și externe. Triunghiul este delimitat de trei segmente și este format din trei vârfuri. Unghiurile situate în interiorul triunghiului la fiecare vârf, numite interne.

Dacă luăm orice element intern la orice vârf și extindem orice latură, atunci unghiul care se formează și este adiacent celui intern se numește extern. Această pereche de elemente are următoarea proprietate: suma lor este de 180 de grade.

Intersecția a două drepte

Intersecția liniilor

Când două drepte se intersectează, se formează și unghiuri, care sunt de obicei distribuite în perechi. Fiecare pereche de elemente are propriul nume. Arata cam asa:

• încrucișare internă: ∟4 și ∟6, ∟3 și ∟5;
• interioare unilaterale: ∟4 și ∟5, ∟3 și ∟6;
• corespunzând: ∟1 și ∟5, ∟2 și ∟6, ∟4 și ∟8, ∟3 și ∟7.

În cazul în care secanta intersectează două drepte, toate aceste perechi de unghiuri au anumite proprietăți:

1. Culcarea transversală internă și figurile corespunzătoare sunt egale între ele.
2. Elementele interne unilaterale se adaugă până la 180 de grade.

Studiem unghiurile în geometrie, proprietățile lor

Tipuri de unghiuri în matematică

Concluzie

Acest articol prezintă toate principalele tipuri de unghiuri care se găsesc în planimetrie și sunt studiate în clasa a VII-a. În toate cursurile ulterioare, proprietățile referitoare la toate elementele luate în considerare stau la baza studiului ulterioar al geometriei. De exemplu, studiind, va fi necesar să ne amintim toate proprietățile unghiurilor formate la intersecția a două drepte paralele ale unei secante. Când studiem caracteristicile triunghiurilor, este necesar să ne amintim care sunt unghiurile adiacente. După trecerea la stereometrie, toate figurile tridimensionale vor fi studiate și construite pe baza figurilor planimetrice.

Se numește unghi figură geometrică, care constă din două raze diferite care emană din același punct. În acest caz, aceste raze sunt numite laturile unghiului. Punctul care este începutul razelor se numește vârful unghiului. În imagine puteți vedea colțul cu vârful în punct DESPRE, și părțile kȘi m.

Pe părțile laterale ale colțului sunt marcate punctele A și C. Acest colț poate fi desemnat ca unghiul AOC. În mijloc trebuie să fie numele punctului în care se află vârful colțului. Există și alte denumiri, unghiul O sau unghiul km. În geometrie, în locul cuvântului unghi, se scrie adesea o pictogramă specială.

Unghi rotit și neînvârtit

Dacă ambele laturi ale unui unghi se află pe aceeași linie dreaptă, atunci se numește un astfel de unghi dislocate unghi. Adică, o parte a colțului este o continuare a celeilalte părți a colțului. Figura de mai jos arată unghiul O.

Trebuie remarcat faptul că orice unghi împarte planul în două părți. Dacă colțul nu este extins, atunci una dintre părți se numește regiunea interioară a colțului, iar cealaltă este regiunea exterioară a acestui colț. Figura de mai jos arată un colț neaplatizat și a marcat zonele exterioare și interioare ale acestui colț.

În cazul unui unghi dezvoltat, oricare dintre cele două părți în care împarte planul poate fi considerată regiunea exterioară a unghiului. Putem vorbi despre poziția unui punct față de un unghi. Punctul poate fi situat în afara colțului (în regiunea exterioară), poate fi pe una dintre laturile sale sau poate fi în interiorul colțului (în regiunea interioară).

În figura de mai jos, punctul A se află în afara colțului O, punctul B se află pe o parte a colțului, iar punctul C se află în interiorul colțului.

Măsurarea unghiului

Pentru a măsura unghiurile, există un dispozitiv numit raportor. Unitatea de unghi este grad. Trebuie remarcat faptul că fiecare unghi are o anumită măsură de grad, care este mai mare decât zero.

În funcție de măsura gradului, unghiurile sunt împărțite în mai multe grupuri.

Să începem prin a defini ce este un unghi. În primul rând, este În al doilea rând, este format din două raze, care se numesc laturile unghiului. În al treilea rând, acestea din urmă ies dintr-un punct, care se numește vârful colțului. Pe baza acestor semne, putem face o definiție: un unghi este o figură geometrică care este formată din două raze (laturi) care ies dintr-un punct (vârf).

Ele sunt clasificate pe grade, după locație unul față de celălalt și față de cerc. Să începem cu tipurile de unghiuri după dimensiunea lor.

Există mai multe varietăți ale acestora. Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare tip.

Există doar patru tipuri principale de unghiuri - drept, obtuz, acut și dezvoltat.

Drept

Arata cam asa:

Gradul său este întotdeauna de 90 o, cu alte cuvinte, un unghi drept este un unghi de 90 de grade. Numai patruunghiuri precum pătratul și dreptunghiul le au.

Bont

Arata cam asa:

Măsura gradului este întotdeauna mai mare de 90 de grade, dar mai mică de 180 de grade. Poate apărea în patrulatere precum un romb, un paralelogram arbitrar, în poligoane.

Picant

Arata cam asa:

Gradul de măsurare a unui unghi ascuțit este întotdeauna mai mic de 90°. Apare în toate patrulaterele, cu excepția unui pătrat și a unui paralelogram arbitrar.

dislocate

Unghiul extins arată astfel:

Nu apare în poligoane, dar nu este mai puțin important decât toate celelalte. Un unghi drept este o figură geometrică, a cărei măsură este întotdeauna 180º. Puteți construi pe el desenând una sau mai multe raze din vârful său în orice direcție.

Există mai multe alte tipuri secundare de unghiuri. Nu se studiază în școli, dar este necesar să se cunoască măcar despre existența lor. Există doar cinci tipuri secundare de unghiuri:

1. Zero

Arata cam asa:

Însuși numele unghiului vorbește deja despre mărimea lui. Zona sa interioară este de 0 o, iar părțile laterale se află una peste alta, așa cum se arată în figură.

2. Oblic

Oblic poate fi drept, și obtuz, și acut și unghi dezvoltat. Condiția sa principală este ca să nu fie egal cu 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Convex

Convexe sunt unghiurile zero, drepte, obtuze, acute și dezvoltate. După cum ați înțeles deja, gradul de măsură a unui unghi convex este de la 0 o la 180 o.

4. Neconvex

Neconvexe sunt unghiuri cu o măsură a gradului de la 181 o până la 359 o inclusiv.

5. Plin

Un unghi cu o măsură de 360 ​​de grade este un unghi complet.

Acestea sunt toate tipurile de unghiuri în funcție de dimensiunea lor. Acum luați în considerare tipurile lor în funcție de locația pe plan unul față de celălalt.

1. Adițional

Acestea sunt două unghiuri ascuțite care formează o linie dreaptă, adică suma lor este de 90 o.

2. Înrudit

Unghiurile adiacente se formează dacă o rază este trasă în orice direcție printr-o desfășurare, mai precis, prin vârful ei. Suma lor este de 180 o.

3. Verticală

Unghiurile verticale se formează atunci când două linii se intersectează. Măsurile gradului lor sunt egale.

Acum să trecem la tipurile de unghiuri situate în raport cu cerc. Sunt doar două dintre ele: centrală și inscripționată.

1. Centrală

Unghiul central este cel cu vârful în centrul cercului. Măsura gradului său este egală cu măsura gradului arcului mai mic subîntins de laturi.

2. Înscris

Un unghi înscris este unul al cărui vârf se află pe cerc și ale cărui laturi îl intersectează. Gradul său este egal cu jumătate din arcul pe care se sprijină.

Totul ține de colțuri. Acum știți că, pe lângă cele mai faimoase - ascuțite, obtuze, drepte și desfășurate - în geometrie există multe alte tipuri de ele.

Acest articol va lua în considerare una dintre principalele forme geometrice - unghiul. După o introducere generală a acestui concept, ne vom concentra asupra specii separate o asemenea cifră. Unghiul drept este un concept important în geometrie și va fi punctul central al acestui articol.

Introducere în conceptul de unghi geometric

În geometrie, există o serie de obiecte care formează baza tuturor științei. Unghiul se referă doar la ele și este determinat folosind conceptul de rază, așa că să începem cu el.

De asemenea, înainte de a trece la definirea unghiului în sine, trebuie să vă amintiți mai multe obiecte la fel de importante în geometrie - acesta este un punct, o linie dreaptă pe un plan și planul în sine. O linie dreaptă este cea mai simplă figură geometrică, care nu are nici început, nici sfârșit. Un plan este o suprafață care are două dimensiuni. Ei bine, o rază (sau o semilinie) în geometrie este o parte a unei linii drepte care are un început, dar fără sfârșit.

Folosind aceste concepte, putem afirma că un unghi este o figură geometrică care se află complet într-un anumit plan și constă din două raze nepotrivite cu o origine comună. Astfel de raze sunt numite laturile unghiului, iar începutul comun al laturilor este vârful acestuia.

Tipuri de unghiuri și geometrie

Știm că unghiurile pot fi destul de diferite. Și, prin urmare, o mică clasificare va fi dată mai jos, care va ajuta la înțelegerea mai bună a tipurilor de unghiuri și a principalelor caracteristici ale acestora. Deci, există mai multe tipuri de unghiuri în geometrie:

1. Unghi drept. Se caracterizează printr-o valoare de 90 de grade, ceea ce înseamnă că laturile sale sunt întotdeauna perpendiculare între ele.
2. Colt ascutit. Aceste unghiuri includ toți reprezentanții lor, având o dimensiune mai mică de 90 de grade.
3. Unghi obtuz. Toate unghiurile cu o valoare de la 90 la 180 de grade pot fi, de asemenea, aici.
4. Colț extins. Are o dimensiune de strict 180 de grade și în exterior laturile sale formează o linie dreaptă.

Conceptul de unghi drept

Acum să ne uităm la unghiul dezvoltat mai detaliat. Acesta este cazul când ambele părți se află pe aceeași linie dreaptă, ceea ce poate fi văzut clar în figura de mai jos. Aceasta înseamnă că putem spune cu încredere că una dintre laturile sale este, de fapt, o continuare a celeilalte.

Merită să ne amintim faptul că un astfel de unghi poate fi întotdeauna împărțit folosind o rază care iese din vârful său. Ca rezultat, obținem două unghiuri, care în geometrie sunt numite adiacente.

De asemenea, unghiul dezvoltat are mai multe caracteristici. Pentru a vorbi despre primul dintre ele, trebuie să vă amintiți conceptul de „bisectoare unghiulară”. Amintiți-vă că aceasta este o rază care împarte orice unghi strict în jumătate. În ceea ce privește unghiul drept, bisectoarea acestuia îl împarte în așa fel încât să se formeze două unghiuri drepte de 90 de grade. Acesta este foarte ușor de calculat matematic: 180˚ (gradul unui unghi îndreptat): 2 = 90˚.

Dacă împărțim unghiul dezvoltat cu o rază complet arbitrară, atunci ca rezultat obținem întotdeauna două unghiuri, dintre care unul va fi acut și celălalt obtuz.

Proprietăți de colț plat

Va fi convenabil să luăm în considerare acest unghi, reunind toate proprietățile sale principale, pe care le-am făcut în această listă:

1. Laturile unui unghi drept sunt antiparalele și formează o linie dreaptă.
2. Valoarea unghiului dezvoltat este întotdeauna 180˚.
3. Două unghiuri adiacente împreună formează întotdeauna un unghi drept.
4. Unghiul complet, care este de 360˚, este format din două desfășurate și este egal cu suma lor.
5. Jumătate de unghi îndreptat este un unghi drept.

Deci, cunoscând toate aceste caracteristici ale acestui tip de unghi, le putem folosi pentru a rezolva o serie de probleme geometrice.

Probleme cu colțurile drepte

Pentru a înțelege dacă ați stăpânit conceptul de unghi drept, încercați să răspundeți la câteva dintre următoarele întrebări.

1. Ce este un unghi drept dacă laturile lui formează o linie verticală?
2. Vor fi două unghiuri adiacente dacă magnitudinea primului este de 72˚ și a celuilalt este de 118˚?
3. Dacă un unghi întreg este format din două unghiuri drepte, câte unghiuri drepte are?
4. Un unghi drept este împărțit de o grindă în două astfel de unghiuri, încât măsurile gradelor lor sunt legate ca 1:4. Calculați unghiurile rezultate.

Solutii si raspunsuri:

1. Indiferent cum este situat unghiul drept, acesta este întotdeauna, prin definiție, egal cu 180˚.
2. Colțurile adiacente au o latură comună. Prin urmare, pentru a calcula dimensiunea unghiului pe care l-au pus împreună, trebuie doar să adăugați valoarea măsurilor gradului lor. Deci, 72 +118 = 190. Dar, prin definiție, un unghi drept este 180˚, ceea ce înseamnă că două unghiuri date nu pot fi adiacente.
3. Un unghi drept conține două unghiuri drepte. Și din moment ce sunt două desfășurate în cel plin, înseamnă că vor fi 4 linii drepte în el.
4. Dacă numim unghiurile dorite a și b, atunci fie x coeficientul de proporționalitate pentru ele, ceea ce înseamnă că a \u003d x și, în consecință, b \u003d 4x. Un unghi drept în grade este de 180˚. Și conform proprietăților sale, că măsura gradului unui unghi este întotdeauna egală cu suma gradelor unghiurilor în care este împărțit de orice rază arbitrară care trece între laturile sale, putem concluziona că x + 4x = 180 ˚, ceea ce înseamnă 5x = 180˚ . De aici găsim: x=a=36˚ și b = 4x = 144˚. Răspuns: 36˚ și 144˚.

Dacă ați reușit să răspundeți la toate aceste întrebări fără solicitări și fără să aruncați o privire în răspunsuri, atunci sunteți gata să treceți la următoarea lecție de geometrie.