Розв'язання лінійних рівнянь із прикладами. Розв'язання простих лінійних рівнянь Розв'язання лінійних рівнянь

Рівняння з одним невідомим, яке після розкриття дужок та приведення подібних членів набуває вигляду

aх + b = 0, де a і b довільні числа, називається лінійним рівнянням з одним невідомим. Сьогодні розберемося, як ці лінійні рівняння вирішувати.

Наприклад, усі рівняння:

2х + 3 = 7 - 0,5 х; 0,3 х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) – лінійні.

Значення невідомого, що звертає рівняння у правильну рівність, називається рішенням або коренем рівняння .

Наприклад, якщо в рівнянні 3х + 7 = 13 замість невідомого х підставити число 2 то отримаємо правильну рівність 3 · 2 +7 = 13. Значить, значення х = 2 є рішення або корінь рівняння.

А значення х = 3 не перетворює рівняння 3х + 7 = 13 у правильну рівність, оскільки 3· 2 +7 ≠ 13. Значить, значення х = 3 не є розв'язком або коренем рівняння.

Розв'язання будь-яких лінійних рівнянь зводиться до розв'язання рівнянь виду

aх + b = 0.

Перенесемо вільний член із лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед b на протилежний, отримаємо

Якщо a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

приклад 1. Розв'яжіть рівняння 3х + 2 =11.

Перенесемо 2 з лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед 2 протилежний, отримаємо
3х = 11 - 2.

Виконаємо віднімання, тоді
3х = 9.

Щоб знайти їх треба розділити твір на відомий множник, тобто
х = 9: 3.

Значить, значення х = 3 є розв'язком чи коренем рівняння.

Відповідь: х = 3.

Якщо а = 0 та b = 0, Отримаємо рівняння 0х = 0. Це рівняння має нескінченно багато рішень, так як при множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b теж дорівнює 0. Рішенням цього рівняння є будь-яке число.

приклад 2.Розв'яжіть рівняння 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Розкриємо дужки:
5х - 15 + 2 = 3х - 12 + 2х - 1.

5х - 3х - 2х = - 12 - 1 + 15 - 2.

Наведемо такі члени:
0х = 0.

Відповідь: х - будь-яке число.

Якщо а = 0 та b ≠ 0, Отримаємо рівняння 0х = - b. Це рівняння рішень немає, оскільки з множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b ≠ 0 .

приклад 3.Розв'яжіть рівняння х + 8 = х + 5.

Згрупуємо в лівій частині члени, які містять невідомі, а в правій – вільні члени:
х - х = 5 - 8.

Наведемо такі члени:
0х = ‒ 3.

Відповідь: немає рішень.

на малюнку 1 зображено схему розв'язання лінійного рівняння

Складемо загальну схему розв'язання рівнянь з однією змінною. Розглянемо рішення прикладу 4.

приклад 4. Нехай треба розв'язати рівняння

1) Помножимо всі члени рівняння на найменше загальне кратне знаменників, що дорівнює 12.

2) Після скорочення отримаємо
4 (х - 4) + 3 · 2 (х + 1) - 12 = 6 · 5 (х - 3) + 24х - 2 (11х + 43)

3) Щоб відокремити члени, які містять невідомі та вільні члени, розкриємо дужки:
4х - 16 + 6х + 6 - 12 = 30х - 90 + 24х - 22х - 86.

4) Згрупуємо в одній частині члени, які містять невідомі, а в іншій – вільні члени:
4х + 6х - 30х - 24х + 22х = - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Наведемо такі члени:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Розділимо на – 22 , Отримаємо
х = 7.

Як бачимо, корінь рівняння дорівнює семи.

Взагалі такі рівняння можна вирішувати за наступною схемою:

а) привести рівняння до цілого виду;

б) розкрити дужки;

в) згрупувати члени, що містять невідоме, в одній частині рівняння, а вільні члени – в іншій;

г) навести таких членів;

д) вирішити рівняння виду aх = b, яке одержали після приведення подібних членів.

Однак ця схема не є обов'язковою для будь-якого рівняння. При розв'язанні багатьох простіших рівнянь доводиться починати не з першого, а з другого ( приклад. 2), третього ( приклад. 1, 3) і навіть із п'ятого етапу, як у прикладі 5.

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2х = 1/4.

Знаходимо невідоме х = 1/4: 2,
х = 1/8 .

Розглянемо розв'язання деяких лінійних рівнянь, що зустрічаються на основному державному екзамені.

Приклад 6.Розв'яжіть рівняння 2 (х + 3) = 5 - 6х.

2х + 6 = 5 - 6х

2х + 6х = 5 - 6

Відповідь: ‒ 0, 125

Приклад 7.Розв'яжіть рівняння – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

- 30 + 18х = 8х - 7

18х - 8х = - 7 +30

Відповідь: 2,3

Приклад 8. Розв'яжіть рівняння

3 (3х - 4) = 4 · 7х + 24

9х - 12 = 28х + 24

9х - 28х = 24 + 12

Приклад 9.Знайдіть f(6), якщо f(x + 2) = 3 7-х

Рішення

Тому що треба знайти f(6), а нам відомо f(x + 2),
то х + 2 = 6.

Вирішуємо лінійне рівняння х + 2 = 6,
отримуємо х = 6 - 2, х = 4.

Якщо х = 4, тоді
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Відповідь: 27.

Якщо у Вас залишилися питання, є бажання розібратися з розв'язанням рівнянь більш ґрунтовно, записуйтесь на мої уроки у РОЗКЛАДІ . Буду рада Вам допомогти!

Також TutorOnline радить переглянути новий відеоурок від нашого репетитора Ольги Олександрівни, який допоможе розібратися як з лінійними рівняннями, так і з іншими.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Лінійні рівняння. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Лінійні рівняння.

Лінійні рівняння – не найскладніша тема шкільної математики. Але є там свої фішки, які можуть спантеличити навіть підготовленого учня. Розберемося?)

Зазвичай лінійне рівняння визначається як рівняння виду:

ax + b = 0 де а та b- Будь-які числа.

2х + 7 = 0. Тут а=2, b=7

0,1 х - 2,3 = 0 Тут а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Тут а=12, b=1/2

Нічого складного, правда? Особливо, якщо не помічати слова: "де а і b – будь-які числа"... А якщо помітити, та необережно замислитись?) Адже, якщо а=0, b=0(будь-які числа можна?), то виходить кумедний вираз:

Але це ще не все! Якщо, скажімо, а=0,а b=5,виходить зовсім щось несусвітне:

Що напружує та підриває довіру до математики, так...) Особливо на іспитах. Але ж із цих дивних виразів ще й ікс знайти треба! Якого немає взагалі. І що дивно, цей ікс дуже просто знаходиться. Ми навчимося це робити. У цьому уроці.

Як дізнатися лінійне рівняння на вигляд? Це, дивлячись який зовнішній вигляд.) Фішка в тому, що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду ax + b = 0 , але й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. А хто ж його знає, зводиться воно чи ні?)

Чітко розпізнати лінійне рівняння можна у деяких випадках. Скажімо, якщо перед нами рівняння, в яких є лише невідомі в першому ступені та числа. Причому в рівнянні немає дробів з розподілом на невідоме , це важливо! А розподіл на число,або дріб числовий – це будь ласка! Наприклад:

Це лінійне рівняння. Тут є дроби, але немає іксів у квадраті, кубі і т.д., і немає іксів у знаменниках, тобто. ні поділу на ікс. А ось рівняння

не можна назвати лінійним. Тут ікси все в першому ступені, але є розподіл на вираз з іксом. Після спрощень та перетворень може вийти і лінійне рівняння, і квадратне, і все, що завгодно.

Виходить, що дізнатися лінійне рівняння в якомусь мудрому прикладі не можна, поки його майже не вирішиш. Це засмучує. Але у завданнях, як правило, не питають про вид рівняння, правда? У завданнях велять рівняння вирішувати.Це радує.)

Розв'язання лінійних рівнянь. приклади.

Все рішення лінійних рівнянь складається з тотожних перетворень рівнянь. До речі, ці перетворення (цілі два!) лежать в основі рішень всіх рівнянь математики.Іншими словами, рішення будь-якогорівняння починається з цих самих перетворень. Що стосується лінійних рівнянь, воно (рішення) цих перетвореннях і закінчується повноцінним відповіддю. Має сенс за посиланням сходити, правда?) Тим більше, там теж приклади розв'язання лінійних рівнянь є.

Для початку розглянемо найпростіший приклад. Без будь-яких підводних каменів. Нехай нам потрібно вирішити таке рівняння.

х - 3 = 2 - 4х

Це лінійне рівняння. Ікси все в першому ступені, поділу на ікс немає. Але, власне, нам все одно, яке це рівняння. Нам його вирішувати треба. Схема тут проста. Зібрати все, що з іксами в лівій частині рівності, все, що без іксів (числа) – у правій.

Для цього потрібно перенести - 4х у ліву частину, зі зміною знака, зрозуміло, а - 3 - У праву. До речі, це і є перше тотожне перетворення рівнянь.Здивовані? Значить, за посиланням не ходили, а дарма...) Отримаємо:

х + 4х = 2 + 3

Наводимо подібні, вважаємо:

Що нам не вистачає на повне щастя? Та щоб ліворуч чистий ікс був! П'ятірка заважає. Позбавляємося п'ятірки за допомогою другого тотожного перетворення рівнянь.А саме - ділимо обидві частини рівняння на 5. Отримуємо готову відповідь:

Приклад елементарний, ясна річ. Це для розминки.) Не дуже зрозуміло, чого я тут тотожні перетворення згадував? Ну добре. Беремо бика за роги.) Вирішимо щось солідніше.

Наприклад, ось це рівняння:

З чого почнемо? З іксами – вліво, без іксів – вправо? Можна і так. Маленькими кроками довгою дорогою. А можна відразу, універсальним та потужним способом. Якщо, звичайно, у вашому арсеналі є тотожні перетворення рівнянь.

Задаю вам ключове питання: що вам найбільше не подобається у цьому рівнянні?

95 осіб зі 100 дадуть відповідь: дроби ! Відповідь правильна. От і давайте їх позбудемося. Тому починаємо відразу зі другого тотожного перетворення. На що потрібно помножити дріб зліва, щоб знаменник скоротився геть? Правильно, на 3. А справа? 4. Але математика дозволяє нам множити обидві частини на те саме число. Як викрутимося? А помножимо обидві частини на 12! Тобто. загальний знаменник. Тоді і трійка скоротиться і четвірка. Не забуваймо, що множити треба кожну частину повністю. Ось як виглядає перший крок:

Розкриваємо дужки:

Зверніть увагу! Чисельник (х+2)я взяв у дужки! Це тому, що при множенні дробів, чисельник множиться весь, цілком! А тепер дроби і скоротити можна:

Розкриваємо дужки, що залишилися:

Не приклад, а суцільне задоволення!) Ось тепер згадуємо заклинання з молодших класів: з іксом – ліворуч, без ікса – праворуч!І застосовуємо це перетворення:

Наводимо такі:

І ділимо обидві частини 25, тобто. знову застосовуємо друге перетворення:

От і все. Відповідь: х=0,16

Беремо на замітку: щоб привести вихідне замороченого рівняння до приємного вигляду, ми використовували два (всього два!) тотожні перетворення- Перенесення вліво-вправо зі зміною знака і множення-розподіл рівняння на те саме число. Це універсальний спосіб! Працювати таким чином ми будемо з будь-якими рівняннями! Цілком будь-якими. Саме тому я про ці тотожні перетворення постійно занудно повторюю.)

Як бачимо, принцип розв'язання лінійних рівнянь простий. Беремо рівняння та спрощуємо його за допомогою тотожних перетворень до отримання відповіді. Основні проблеми тут у обчисленнях, а не в принципі вирішення.

Але... Зустрічаються в процесі розв'язання найелементарніших лінійних рівнянь такі сюрпризи, що можуть і у сильний ступор увігнати...) На щастя, таких сюрпризів може бути лише два. Назвемо їх особливими випадками.

Особливі випадки під час вирішення лінійних рівнянь.

Сюрприз перший.

Припустимо, трапилося вам найелементарніше рівняння, що-небудь, типу:

2х +3 = 5х +5 - 3х - 2

Злегка нудна, переносимо з іксом вліво, без ікса - вправо... Зі зміною знака, все чин-чинарем... Отримуємо:

2х-5х +3х = 5-2-3

Вважаємо, і... опаньки! Отримуємо:

Сама собою ця рівність не викликає заперечень. Нуль справді дорівнює нулю. Але ж ікс пропав! А ми зобов'язані записати у відповіді, чому дорівнює ікс.Інакше, рішення не вважається, так ...) Тупик?

Спокій! У таких сумнівних випадках рятують найзагальніші правила. Як розв'язувати рівняння? Що означає розв'язати рівняння? Це означає, знайти всі значення ікса, які, при підстановці у вихідне рівняння, дадуть нам правильну рівність.

Але вірна рівність у нас вжевийшло! 0=0, куди вже вірніше? Залишається збагнути, за яких іксів це виходить. Які значення ікса можна підставляти в вихіднерівняння, якщо ці ікси все одно скорочуються на повний нуль?Ну ж бо?)

Так! Ікси можна підставляти будь-які!Які бажаєте. Хоч 5, хоч 0,05, хоч -220. Вони все одно скоротяться. Якщо не вірите - можете перевірити.) Підставляйте будь-які значення ікса в вихіднерівняння та порахуйте. Весь час виходитиме чиста правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 і так далі.

Ось вам і відповідь: х – будь-яке число.

Відповідь можна записати різними математичними значками, суть не змінюється. Це абсолютно правильна і повноцінна відповідь.

Сюрприз другий.

Візьмемо те саме елементарне лінійне рівняння і змінимо в ньому лише одне число. Ось таке вирішуватимемо:

2х +1 = 5х +5 - 3х - 2

Після тих самих тотожних перетворень ми отримаємо щось інтригуюче:

Ось так. Вирішували лінійне рівняння, здобули дивну рівність. Говорячи математичною мовою, ми отримали неправильна рівність.А кажучи простою мовою, Неправда це. Маячня. Але тим не менш, це марення - цілком вагома основа для правильного вирішення рівняння.)

Знову міркуємо, виходячи з загальних правил. Які ікси при підстановці у вихідне рівняння дадуть нам вірнерівність? Та ніякі! Немає таких іксів. Чого не підставляй, все скоротиться, залишиться марення.)

Ось вам і відповідь: рішень немає.

Це також цілком повноцінна відповідь. У математиці такі відповіді часто зустрічаються.

Ось так. Зараз, сподіваюся, зникнення іксів у процесі вирішення будь-якого (не тільки лінійного) рівняння вас анітрохи не збентежить. Справа вже знайома.)

Тепер, коли ми розібралися з усіма підводними каменями в лінійних рівняннях, має сенс їх вирішувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Заочне рішення крім передбачених законом виняткових способів рішень може бути скасовано тим самим судом, з поновленням розгляду справи по суті за заявою відповідача, якщо той зможе довести, що неявка його на судове засідання була спричинена поважними причинами.

Можливий перегляд рішення, що вступило в законну силуу касаційному порядку, якщо суд поновив пропущений з поважних причин касаційний строк.

Властивість винятковості:

Властивість винятковості це неможливість повторного звернення до суду з позовом, скаргою, заявою, у справі між тими ж сторонами або їх правонаступниками, про той самий предмет і заснований на тих же обставинах (підстави позову), якщо є рішення, що набрало законної сили.

Якщо після набрання законної сили рішенням, яким з відповідача стягуються періодичні платежі, змінюються обставини що впливають визначення розміру платежів чи його тривалість, кожна сторона вправі шляхом пред'явлення нового позову, вимагати зміни розміру й термінів платежів.

У цьому випадку предметом розгляду судом стають нові вимоги, виноситься нове рішення, яке набирає законної сили за загальними правилами.

Пред'явлення до розгляду тотожної заяви є неприпустимим і тоді, коли при початковому розгляді суперечка між сторонами була остаточно усунена, ухвалою про затвердження мирової угоди або про відмову заявника від своїх вимог. Не допускається вторинне звернення до суду у разі припинення провадження у справі.

Властивість обов'язковості:

Обов'язковість означає, що державні органи, посадові особи, організації та громадяни зобов'язані свою діяльність підпорядковувати змісту рішення.

ЦПК наголошує, що рішення обов'язково на всій території РФ, а в передбачених законом випадках суди РФ можуть звертатися до іноземних судів із проханням про виконання рішень.

Державні органи та посадові особи зобов'язані вчиняти і необхідні дії з оформлення та реєстрації прав встановлених судовим рішенням, що набрало законної сили.

Рішення суду після набрання законної сили має бути виконане зобов'язаними особами добровільно, а в необхідних випадках, примусово виконавчими органами.

Необхідність реалізації дій передбачених у рішенні називається здійсненністю рішень.

Вона є складовою обов'язковості. Поняття обов'язковості ширше здійсненності, охоплює і обов'язок всіх осіб та організацій, які не мають у цій справі безпосереднього юридичного інтересу, зважати на авторитет судового рішення та сприяти його виконанню.

Рішення у всіх справах обов'язкові, але не всі з них потребують виконання, тому що не можуть бути примусово виконані. Наприклад, рішення щодо позовів про визнання не потребують здійснення конкретних дій для захисту оскарженого відповідачем права. Для їхньої обов'язковості достатньо визнання судом певних обставин чи правовідносин (приклад: встановлення батьківства, визнання права авторства, тощо).

Рішення за позовами про визнання можуть мати преюдиційне значення у справі за позовом про присудження. Наприклад, рішення про встановлення батьківства має преюдиціальне значення для справи за позовом про стягнення аліментів. Також рішення про визнання права авторства є обов'язковим для суду у справі про стягнення гонорару з видавництва.

Сімейний кодекс РФ, крім питань сімейного права вводить кілька процесуальних правил, що стосуються дій (обов'язків) суду після винесення рішення. Наприклад, СК зазначає, що суд зобов'язаний протягом 3 днів з дня набрання законної сили рішенням суду про розірвання шлюбу направити витяг з цього рішення до органів запису актів цивільного стану за місцем державної реєстрації речових укладення шлюбу.

Сімейне законодавство зобов'язує суд вчинити певні дії щодо примусового виконання рішення. Після набрання законної сили судові рішення набуває властивості похідне від сутності законної сили, якості преюдиційності (передбачуваності).

Преюдиційність означає, що відносини та факти встановлені судом та зафіксовані рішенням не можуть спростовуватися при вторинному їх дослідженні судовими та адміністративними органами.

Преюдиційність зводиться до правил:

1. Суд, адміністративні органи, виступаючи як юрисдикційні органи, аналізуючи повторно факти та відносини повністю або частково зміст яких встановлено судом у рішенні набрав законної сили, зобов'язані покласти в основу своїх рішень ці факти та відносини в тому ж вигляді, в якому вони були встановлені. , тобто факти вже встановлені у рішенні суду не доводяться знову.

2. Сторона, яка ґрунтує свої вимоги на правовідносини колишніх повністю або частково предметом судового рішення, що набрала законної сили, не повинна повторно доводити наявність цих правовідносин, зміст елементів її складових, а також юридичні факти, покладені в основу вимог сторін.

Відносини та факти вважаються чинними, не підлягають доведенню, доки діє законна сила рішення, тобто поки що рішення не скасовано. Інша сторона заперечуючи вимоги заявника не може подавати докази для спростування фактів та обставин раніше встановлених судом, а також вимагати від суду дослідження їх та залучення до справи.

3. Якщо предметом дослідження стають відносини зміст яких встановлено, що набрало законної сили рішення, то розв'язання, тобто преюдиціальність поширюється на правовідносини в повному обсязі в будь-якій його частині в тому вигляді, в якому воно становило предмет судового дослідження.

Рішення, що набрало законної сили, має преюдиційне значення і при розгляді кримінальної справи. Вирок у кримінальній справі, що набрав законної сили, є обов'язковим для суду, який розглядає справу про цивільних. правових наслідківдій особи щодо якої відбувся вирок суду з питань чи мала місце ця дія і чи скоєно воно цією особою.

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму — тому й вони і називаються найпростішими.

Спочатку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке з них називати найпростішим?

Лінійне рівняння - таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в іншу;
3. Навести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. У цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливе – рівняння звелося до конструкції $0\cdot x=0$. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер подивимося, як все це працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише в першому ступені.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
2. Потім звести такі
3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливих помилок у досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або під час розкриття дужок, або за підрахунком «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із найпростіших завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить «ікси», переносимо в один бік, а без «іксів» — в інший.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними й познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому кроці нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: йдеться лише про окремі доданки. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч ми бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, проте вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий уже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від надто простих завдань, то я хотів би сказати таке:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль - таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана з розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть мінус, то ми його прибираємо, однак у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого факту дозволить вам не допускати дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до складніших рівнянь. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то в процесі перетворення всі одночлени, які містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже обережно:

Тепер займемося самотою:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що дане рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси рішення

Обидва рівняння повністю розв'язані. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак мінус. Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно перемножити все на ікс. Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І тільки після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що вниз, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що рішення рівнянь - це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко і грамотно виконувати прості дії призводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, настане день, і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще більш складних лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «іксом» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси рішення

Найважливіше зауваження щодо цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж воно доданок, то виконується це за таким правилом: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі я хотів би нагадати учням, що таке сума алгебри. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. В алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, ніяких проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнити змінні.
3. Навести такі.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього в алгоритм потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнити змінні.
4. Навести такі.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\ -4x = -1 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми одержали остаточне рішення, переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
• Вміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функції, швидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, буває трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!