سه گوشه باز شده و یکی باز شده. منبسط، مبهم، عمودی و غیر منبسط: انواع گوشه های هندسه

دانش آموزان با مفهوم زاویه در آشنا هستند دبستان. اما به عنوان یک شکل هندسی با ویژگی های خاص، مطالعه آن را از کلاس هفتم در هندسه آغاز می کنند. به نظر می رسد، شکل بسیار سادهچه می توان در مورد او گفت اما با کسب دانش جدید ، دانش آموزان بیشتر و بیشتر درک می کنند که می توانید حقایق بسیار جالبی در مورد او بیاموزید.

در تماس با

چه زمانی مطالعه می شوند

درس هندسه مدرسه به دو بخش پلان سنجی و هندسه جامد تقسیم می شود. هر کدام از آنها توجه زیادی دارند. به گوشه ها داده می شود:

• در پلان سنجی مفهوم اصلی آنها آورده شده است، آشنایی با انواع آنها در اندازه صورت می گیرد. خواص هر نوع مثلث با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار می گیرد. تعاریف جدیدی برای دانش آموزان ظاهر می شود - اینها اشکال هندسی هستند که در تقاطع دو خط با یکدیگر و تقاطع چندین خط یک سکانس شکل می گیرند.
• در استریومتری، زوایای فضایی مورد مطالعه قرار می گیرد - دو وجهی و سه وجهی.

توجه!این مقاله به بررسی انواع و ویژگی های زاویه ها در پلان سنجی می پردازد.

تعریف و اندازه گیری

شروع به مطالعه، ابتدا تعیین کنید، زاویه چیستدر پلان سنجی

اگر نقطه معینی را از صفحه بگیریم و دو پرتو دلخواه از آن بکشیم، یک شکل هندسی - یک زاویه، متشکل از عناصر زیر بدست می آوریم:

• راس - نقطه ای که پرتوها از آن کشیده شده اند، با یک حرف بزرگ از الفبای لاتین نشان داده شده است.
• کناره ها از بالا به صورت نیم خط کشیده شده اند.

تمام عناصری که شکل مورد نظر ما را تشکیل می دهند، صفحه را به آنها تقسیم می کنند دو بخش:

• داخلی - در پلان سنجی از 180 درجه تجاوز نمی کند.
• خارجی

اصل اندازه گیری زوایا در پلان سنجیبه طور شهودی توضیح داد. برای شروع، دانش آموزان با مفهوم زاویه توسعه یافته آشنا می شوند.

مهم!به یک زاویه گفته می‌شود که اگر نیم‌خط‌هایی که از راس آن بیرون می‌آیند یک خط مستقیم تشکیل دهند، ایجاد می‌شود. یک زاویه باز همه موارد دیگر است.

اگر به 180 قسمت مساوی تقسیم شود، مرسوم است که اندازه یک جزء را برابر 10 در نظر بگیرند، در این صورت می گویند اندازه گیری بر حسب درجه است و درجه چنین رقمی 180 درجه است.

انواع اصلی

انواع زوایا بر اساس معیارهایی مانند اندازه گیری درجه، ماهیت شکل گیری آنها و دسته های زیر تقسیم می شوند.

با اندازه

با توجه به بزرگی، زاویه ها به موارد زیر تقسیم می شوند:

• مستقر شده؛
• سر راست؛
• صریح
• تند

زاویه ای که به آن مستقر می گویند در بالا ارائه شد. بیایید مفهوم خط مستقیم را تعریف کنیم.

می توان آن را با تقسیم مستقر به دو قسمت مساوی بدست آورد. در این مورد، پاسخ به این سوال آسان است: زاویه راست، چند درجه است؟

180 درجه را بر 2 تقسیم کنید تا به دست آید زاویه راست 90 درجه است. این یک شکل شگفت انگیز است، زیرا بسیاری از حقایق در هندسه با آن مرتبط است.

همچنین در تعیین ویژگی های خاص خود را دارد. برای نشان دادن یک زاویه راست در شکل، آن را نه با یک قوس، بلکه با یک مربع نشان می دهد.

زوایایی که با تقسیم یک پرتو دلخواه از یک خط مستقیم به دست می آیند، حاد نامیده می شوند.با توجه به منطق اشیاء چنین می شود که یک زاویه تند کمتر از زاویه قائمه است، اما اندازه آن با 0 درجه متفاوت است. یعنی مقداری از 0 تا 90 درجه دارد.

زاویه منفرد بزرگتر از زاویه قائمه، اما کمتر از زاویه مستقیم است. اندازه درجه آن از 90 تا 180 درجه متغیر است.

این عنصر را می توان به تقسیم کرد انواع متفاوتارقام در نظر گرفته شده، به استثنای رقم توسعه یافته.

صرف نظر از اینکه زاویه چرخش نشده چگونه شکسته می شود، از اصل اصلی پلان سنجی همیشه استفاده می شود - "ویژگی اصلی اندازه گیری".

در تقسیم زاویه با یک پرتویا چند، اندازه درجه یک شکل معین برابر است با مجموع اندازه های زوایایی که به آن تقسیم می شود.

در سطح پایه هفتم، انواع زاویه ها به قدر آنها به همین جا ختم می شود. اما برای افزایش دانش می توان اضافه کرد که انواع دیگری نیز وجود دارند که دارای درجه درجه بیش از 180 درجه هستند که به آنها محدب می گویند.

ارقام در تقاطع خطوط

انواع بعدی زوایایی که دانش آموزان با آن ها آشنا می شوند، عناصری هستند که هنگام تلاقی دو خط تشکیل می شوند. به شکل هایی که در مقابل یکدیگر قرار می گیرند عمودی می گویند. وجه تمایز آنها برابری آنهاست.

عناصری که در مجاورت یک خط قرار دارند، مجاور نامیده می شوند. قضیه نگاشت ویژگی آنها این را می گوید زوایای مجاور به 180 درجه اضافه می شود.

عناصر در یک مثلث

اگر شکل را به عنوان عنصری در مثلث در نظر بگیریم، زاویه ها به داخلی و خارجی تقسیم می شوند. مثلث به سه بخش محدود شده و از سه رأس تشکیل شده است. زوایای واقع در داخل مثلث در هر رأس، داخلی نامیده می شود.

اگر در هر رأسی هر عنصر داخلی را بگیریم و هر ضلعی را امتداد دهیم، زاویه ای که تشکیل می شود و مجاور آن داخلی است خارجی نامیده می شود. این جفت عنصر دارای ویژگی زیر است: مجموع آنها 180 درجه است.

تقاطع دو خط مستقیم

تقاطع خط

هنگامی که دو خط مستقیم قطع می شوند، زوایایی نیز تشکیل می شود، که معمولاً به صورت جفتی توزیع می شوند. هر جفت عنصر نام خاص خود را دارد. به نظر می رسد این است:

• متقاطع داخلی: ∟4 و ∟6، ∟3 و ∟5.
• داخلی یک طرفه: ∟4 و ∟5، ∟3 و ∟6.
• متناظر: ∟1 و ∟5، ∟2 و ∟6، ∟4 و ∟8، ∟3 و ∟7.

در موردی که سکنت دو خط را قطع می کند، همه این جفت زاویه دارای ویژگی های خاصی هستند:

1. درازکش های متقاطع داخلی و ارقام متناظر با یکدیگر برابرند.
2. عناصر یک طرفه داخلی تا 180 درجه جمع می شوند.

ما زاویه ها را در هندسه، خواص آنها مطالعه می کنیم

انواع زوایا در ریاضیات

نتیجه

در این مقاله تمام انواع اصلی زاویه هایی که در پلان سنجی یافت می شوند و در پایه هفتم مطالعه می شوند، ارائه شده است. در تمام دوره های بعدی، ویژگی های مربوط به تمام عناصر در نظر گرفته شده، مبنایی برای مطالعه بیشتر هندسه است. به عنوان مثال، با مطالعه، لازم است تمام ویژگی های زاویه های تشکیل شده در تقاطع دو خط موازی یک سکانس را به خاطر بیاوریم. هنگام مطالعه ویژگی های مثلث ها، لازم است به یاد داشته باشید که زوایای مجاور چیست. پس از روی آوردن به استریومتری، تمام فیگورهای سه بعدی بر اساس اشکال پلان سنجی مطالعه و ساخته خواهند شد.

زاویه نامیده می شود شکل هندسی، که از دو پرتو متفاوت تشکیل شده است که از یک نقطه ساطع می شوند. در این حالت به این پرتوها اضلاع زاویه می گویند. نقطه ای که ابتدای پرتوها است، راس زاویه نامیده می شود. در تصویر می توانید گوشه ای را با راس در نقطه مشاهده کنید در باره، و احزاب کو متر.

نقاط A و C در طرفین گوشه مشخص شده اند.این گوشه را می توان به عنوان زاویه AOC تعیین کرد. در وسط باید نام نقطه ای که راس گوشه در آن قرار دارد ذکر شود. عناوین دیگری نیز وجود دارد، زاویه O یا زاویه کیلومتر. در هندسه اغلب به جای کلمه زاویه، نماد خاصی نوشته می شود.

زاویه گردان و غیر گردان

اگر هر دو طرف یک زاویه روی یک خط مستقیم قرار گیرند، چنین زاویه ای نامیده می شود مستقر شده استزاویه یعنی یک طرف گوشه ادامه طرف دیگر گوشه است. شکل زیر زاویه O را نشان می دهد.

لازم به ذکر است که هر زاویه ای صفحه را به دو قسمت تقسیم می کند. اگر گوشه منبسط نشود، یکی از قسمت ها ناحیه داخلی گوشه و دیگری ناحیه بیرونی این گوشه نامیده می شود. شکل زیر یک گوشه غیر مسطح را نشان می دهد و قسمت های بیرونی و داخلی این گوشه را مشخص کرده است.

در مورد زاویه توسعه یافته، هر یک از دو قسمتی که صفحه را به آن تقسیم می کند، می تواند ناحیه بیرونی زاویه در نظر گرفته شود. می توانیم در مورد موقعیت یک نقطه نسبت به یک زاویه صحبت کنیم. نقطه ممکن است خارج از گوشه (در ناحیه بیرونی)، ممکن است در یکی از طرفین آن قرار داشته باشد، یا ممکن است در داخل گوشه (در ناحیه داخلی) قرار گیرد.

در شکل زیر، نقطه A در خارج از گوشه O، نقطه B در یک طرف گوشه و نقطه C در داخل گوشه قرار دارد.

اندازه گیری زاویه

برای اندازه گیری زاویه ها وسیله ای به نام نقاله وجود دارد. واحد زاویه است درجه. لازم به ذکر است که هر زاویه دارای درجه خاصی است که بزرگتر از صفر است.

بسته به اندازه گیری درجه، زاویه ها به چند گروه تقسیم می شوند.

بیایید با تعریف زاویه شروع کنیم. اولاً، ثانیاً توسط دو پرتو تشکیل شده است که به آنها اضلاع زاویه می گویند. ثالثاً دومی ها از یک نقطه بیرون می آیند که به آن راس گوشه می گویند. بر اساس این نشانه ها می توان تعریف کرد: زاویه یک شکل هندسی است که از دو پرتو (ضلع) بیرون آمده از یک نقطه (راس) تشکیل شده است.

آنها بر اساس درجه، مکان نسبت به یکدیگر و نسبت به دایره طبقه بندی می شوند. بیایید با انواع زاویه ها بر اساس اندازه آنها شروع کنیم.

انواع مختلفی از آنها وجود دارد. بیایید نگاهی دقیق تر به هر نوع بیندازیم.

تنها چهار نوع زاویه وجود دارد - زاویه راست، مبهم، حاد و توسعه یافته.

سر راست

به نظر می رسد این است:

اندازه گیری درجه آن همیشه 90 درجه است، به عبارت دیگر زاویه قائمه زاویه 90 درجه است. فقط چهار ضلعی هایی مانند مربع و مستطیل دارای آنها هستند.

بلانت

به نظر می رسد این است:

اندازه گیری درجه همیشه بیشتر از 90 درجه است، اما کمتر از 180 درجه است. می تواند در چهارگوش هایی مانند لوزی، متوازی الاضلاع دلخواه، در چندضلعی ها رخ دهد.

تند

به نظر می رسد این است:

درجه یک زاویه حاد همیشه کمتر از 90 درجه است. در تمام چهارضلعی ها به جز مربع و متوازی الاضلاع دلخواه وجود دارد.

مستقر شده است

زاویه گسترش یافته به شکل زیر است:

در چند ضلعی ها رخ نمی دهد، اما اهمیت آن کمتر از بقیه نیست. زاویه مستقیم یک شکل هندسی است که اندازه درجه آن همیشه 180 درجه است. می توانید با کشیدن یک یا چند پرتو از رأس آن در هر جهتی روی آن بسازید.

چندین نوع ثانویه دیگر از زاویه وجود دارد. آنها در مدارس مطالعه نمی شوند، اما لازم است حداقل از وجود آنها اطلاع داشته باشیم. فقط پنج نوع ثانویه زاویه وجود دارد:

1. صفر

به نظر می رسد این است:

نام این زاویه قبلاً از بزرگی آن صحبت می کند. مساحت داخلی آن 0 o است و اضلاع آن مانند شکل روی هم قرار دارند.

2. مایل

مایل می تواند مستقیم، مبدل، و زاویه حاد و توسعه یافته باشد. شرط اصلی آن این است که برابر 0 o، 90 o، 180 o، 270 o نباشد.

3. محدب

محدب زوایای صفر، راست، منفرد، تند و توسعه یافته هستند. همانطور که قبلاً فهمیدید، درجه یک زاویه محدب از 0 تا 180 درجه است.

4. غیر محدب

غیر محدب زوایایی هستند که دارای درجه ای از 181 تا 359 درجه باشند.

5. پر

زاویه کامل 360 درجه است.

اینها همه انواع زاویه ها با توجه به اندازه آنها هستند. حال انواع آنها را بر اساس موقعیت مکانی در هواپیما نسبت به یکدیگر در نظر بگیرید.

1. اضافی

اینها دو زاویه حاد هستند که یک خط مستقیم را تشکیل می دهند، یعنی. مجموع آنها 90 درجه است.

2. مرتبط

زوایای مجاور تشکیل می شوند اگر یک پرتو در هر جهت از طریق مستقر شده، به طور دقیق تر، از بالای آن کشیده شود. مجموع آنها 180 درجه است.

3. عمودی

زوایای عمودی با قطع دو خط تشکیل می شود. معیارهای درجه آنها برابر است.

حالا بیایید به انواع زاویه های قرار گرفته نسبت به دایره بپردازیم. تنها دو مورد از آنها وجود دارد: مرکزی و کتیبه.

1. مرکزی

زاویه مرکزی زاویه ای است که راس آن در مرکز دایره قرار دارد. اندازه درجه آن برابر است با درجه اندازه گیری قوس کوچکتر که توسط طرفین فرو رفته است.

2. نوشته شده

زاویه محاطی زاویه ای است که راس آن روی دایره قرار دارد و اضلاع آن آن را قطع می کنند. اندازه درجه آن برابر است با نصف قوسی که روی آن قرار گرفته است.

همه چیز به گوشه ها مربوط می شود. اکنون می دانید که علاوه بر معروف ترین - تیز، مبهم، مستقیم و مستقر - در هندسه انواع دیگری از آنها وجود دارد.

این مقاله یکی از اشکال هندسی اصلی - زاویه را در نظر می گیرد. پس از آشنایی کلی با این مفهوم، بر روی آن تمرکز خواهیم کرد گونه های جداگانهچنین رقمی زاویه مستقیم یک مفهوم مهم در هندسه است و تمرکز این مقاله خواهد بود.

مقدمه ای بر مفهوم زاویه هندسی

در هندسه، تعدادی اشیاء هستند که اساس همه علوم را تشکیل می دهند. زاویه فقط به آنها اشاره دارد و با استفاده از مفهوم پرتو تعیین می شود، بنابراین اجازه دهید با آن شروع کنیم.

همچنین، قبل از شروع به تعریف خود زاویه، باید چندین شی به همان اندازه مهم در هندسه را به خاطر بسپارید - این یک نقطه، یک خط مستقیم در یک هواپیما و خود هواپیما است. خط مستقیم ساده ترین شکل هندسی است که نه آغاز دارد و نه پایان. صفحه سطحی است که دارای دو بعد است. خوب، یک پرتو (یا یک نیم خط) در هندسه بخشی از یک خط مستقیم است که آغاز دارد، اما پایان ندارد.

با استفاده از این مفاهیم می‌توان گفت که زاویه یک شکل هندسی است که کاملاً در یک صفحه معین قرار دارد و از دو پرتو ناهمخوان با منشأ مشترک تشکیل شده است. به این گونه پرتوها، اضلاع زاویه می گویند و ابتدای مشترک اضلاع، راس آن است.

انواع زوایا و هندسه

می دانیم که زاویه ها می توانند کاملاً متفاوت باشند. و بنابراین، در زیر طبقه بندی کوچکی ارائه می شود که به درک بهتر انواع زاویه ها و ویژگی های اصلی آنها کمک می کند. بنابراین، چندین نوع زاویه در هندسه وجود دارد:

1. زاویه راست. با مقدار 90 درجه مشخص می شود، به این معنی که اضلاع آن همیشه بر یکدیگر عمود هستند.
2. گوشه ی تیز. این زاویه ها شامل تمام نمایندگان آنها می شود که اندازه آنها کمتر از 90 درجه است.
3. زاویه مبهم. تمام زوایای با مقدار 90 تا 180 درجه نیز می توانند در اینجا باشند.
4. گوشه گسترش یافته اندازه آن کاملاً 180 درجه است و از بیرون دو طرف آن یک خط مستقیم را تشکیل می دهند.

مفهوم زاویه مستقیم

حالا بیایید به زاویه توسعه یافته با جزئیات بیشتری نگاه کنیم. این حالت زمانی است که هر دو طرف روی یک خط مستقیم قرار می گیرند که در شکل زیر به وضوح دیده می شود. این بدان معناست که می توان با اطمینان گفت که یکی از طرفین آن در واقع ادامه طرف دیگر است.

شایان ذکر است که چنین زاویه ای را همیشه می توان با استفاده از پرتویی که از راس آن خارج می شود تقسیم کرد. در نتیجه دو زاویه به دست می آید که در هندسه به آنها مجاور می گویند.

همچنین زاویه توسعه یافته دارای چندین ویژگی است. برای صحبت در مورد اولین آنها، باید مفهوم "نصف ساز زاویه" را به خاطر بسپارید. به یاد بیاورید که این پرتویی است که هر زاویه را دقیقاً به نصف تقسیم می کند. در مورد زاویه مستقیم، نیمساز آن را به گونه ای تقسیم می کند که دو زاویه قائمه 90 درجه تشکیل می شود. محاسبه ریاضی بسیار آسان است: 180 درجه (درجه زاویه صاف): 2 = 90 درجه.

اگر زاویه توسعه یافته را بر یک پرتو کاملاً دلخواه تقسیم کنیم، در نتیجه همیشه دو زاویه به دست می‌آید که یکی از آنها تند و دیگری مبهم است.

ویژگی های گوشه تخت

در نظر گرفتن این زاویه راحت خواهد بود و تمام ویژگی های اصلی آن را که در این لیست انجام داده ایم، گرد هم می آورد:

1. اضلاع یک زاویه مستقیم ضد موازی هستند و یک خط مستقیم را تشکیل می دهند.
2. مقدار زاویه توسعه یافته همیشه 180 درجه است.
3. دو زاویه مجاور با هم همیشه یک زاویه مستقیم می سازند.
4. زاویه کامل که 360 درجه است از دو زاویه مستقر تشکیل شده و برابر مجموع آنهاست.
5. نیمی از زاویه راست، زاویه راست است.

بنابراین با دانستن تمام این ویژگی های این نوع زاویه می توان از آنها برای حل تعدادی از مسائل هندسی استفاده کرد.

مشکلات گوشه های مستقیم

برای اینکه بفهمید به مفهوم زاویه مستقیم تسلط دارید، سعی کنید به چند سوال زیر پاسخ دهید.

1. اگر اضلاع آن یک خط عمودی تشکیل دهند، زاویه مستقیم چیست؟
2. اگر قدر اولی 72 درجه و دیگری 118 باشد، آیا دو زاویه مجاور یکدیگر خواهند بود؟
3. اگر یک زاویه کامل از دو زاویه مستقیم تشکیل شده باشد، چند زاویه قائمه دارد؟
4. یک زاویه مستقیم توسط یک پرتو به دو زاویه تقسیم می شود که اندازه های درجه آنها 1:4 است. زوایای بدست آمده را محاسبه کنید.

راه حل ها و پاسخ ها:

1. مهم نیست که زاویه مستقیم چگونه قرار گیرد، همیشه طبق تعریف برابر با 180 درجه است.
2. گوشه های مجاور یک ضلع مشترک دارند. بنابراین، برای محاسبه اندازه زاویه ای که آنها با هم قرار می دهند، فقط باید مقدار اندازه گیری درجه آنها را اضافه کنید. بنابراین، 72 + 118 = 190. اما طبق تعریف، یک زاویه مستقیم 180˚ است، به این معنی که دو زاویه داده شده نمی توانند مجاور هم باشند.
3. یک زاویه مستقیم شامل دو زاویه راست است. و از آنجایی که در یک کامل دو تا مستقر شده است، به این معنی است که 4 خط مستقیم در آن وجود خواهد داشت.
4. اگر زوایای مورد نظر را a و b بنامیم، اجازه دهید x برای آنها ضریب تناسب باشد، به این معنی که a \u003d x و بر این اساس b \u003d 4x است. زاویه مستقیم بر حسب درجه 180 درجه است. و با توجه به ویژگی های آن، که اندازه درجه یک زاویه همیشه برابر است با مجموع درجه های آن زاویه هایی که با هر پرتو دلخواه که از اضلاع آن می گذرد به آن تقسیم می شود، می توانیم نتیجه بگیریم که x + 4x = 180 ˚، که به معنای 5x = 180˚ است. از اینجا می یابیم: x=a=36˚ و b = 4x = 144˚. جواب: 36 درجه و 144 درجه.

اگر توانستید به همه این سؤالات بدون اعلان و بدون نگاه کردن به پاسخ ها پاسخ دهید، پس آماده هستید تا به درس هندسه بعدی بروید.