هر یک از بخش های av و cd. مقایسه بخش ها

7. نقاط و خطوط زیادی روی یک صفحه قرار می گیرند. قبول کن که شما می توانید نقاط و خطوط مستقیم را در یک صفحه بسازید; در عمل از خط کش برای ساخت یک خط مستقیم استفاده می شود.

خط مستقیم در هر دو جهت بی انتها کشیده می شود. برای جهنم. 4 خط مستقیم AB ساخته شده است. با تخیل خود می توانید آن را بی انتها در هر دو جهت ادامه دهید. اگر هر نقطه ای، به عنوان مثال، نقطه O را بر روی CD خط مستقیم بسازید (شکل 4)، خط مستقیم به 2 قسمت تقسیم می شود: یک قسمت از نقطه O به سمت راست بدون انتها کشیده می شود و دیگری از نقطه امتداد دارد. O به سمت چپ بدون انتها. به هر یک از این قسمت ها پرتو می گویند. در اینجا ما 2 پرتو داریم: پرتو OD و پرتو OC.

ما می توانیم از هر نقطه پرتوهای بی شماری بسازیم.

اگر 2 نقطه از یک خط مستقیم را مثلاً روی خط مستقیم KL (شکل 4) نقاط E و F بگیریم، آن قسمت از خط مستقیم بین این نقاط را پاره می گویند. در نقاشی قطعه EF داریم.

8. داده های 2 بخش را مقایسه کنید AB و CD (پیش نویس 5).

بیایید قطعه CD را طوری حرکت دهیم که نقطه C به A برخورد کند و آن را حول نقطه A بچرخانیم تا قطعه CD در امتداد قطعه AB قرار گیرد. وقتی به این امر رسیدیم، محل سقوط نقطه D را یادداشت می کنیم: اگر به B بیفتد، بخش های ما برابر هستند. اگر D در جایی بین نقاط A و B قرار گیرد (مثلاً در M)، آنگاه قطعه CD کمتر از قطعه AB در نظر گرفته می شود و اگر نقطه D پشت نقطه B قرار گیرد (مثلاً در N)، آنگاه قطعه CD بزرگتر از قطعه AB است.

ما "مقایسه" دو بخش را به این معنا درک می کنیم که آیا آنها مساوی هستند یا یکی بزرگتر از دیگری است.

9. مجموع دو بخش داده شده را بیابید.

دو بخش AB و CD گرفته شده است (شکل 6). شما باید این بخش ها را اضافه کنید.

برای این کار قطعه CD را طوری حرکت می دهیم که نقطه C به B برسد و سپس آن را به دور B می چرخانیم تا ادامه قطعه AB را دنبال کند. توجه داشته باشید که نقطه D کجا می افتد. اگر به K برخورد کند، بخش BK = CD و AK = AB + BK یا AK = AB + CD.

هر بخش را می توان با نقاط میانی به مجموع چند جمله تقسیم کرد. به عنوان مثال:

AB = AC + CD + DE + EF + FB (طرح 7)

برای ما روشن است که مجموع بخش ها بسته به ترتیب مجدد شرایط تغییر نمی کند .

10. تفاوت بین دو بخش را پیدا کنید.

با توجه به دو بخش AB و CD (شکل 8). شما باید بخش کوچکتر CD را از بخش بزرگتر AB کم کنید.

قطعه CD را طوری حرکت می دهیم که نقطه D به نقطه B برسد و شروع به چرخاندن آن به دور B می کنیم تا در جهت BA برود. اجازه دهید توجه داشته باشیم که وقتی به این رسیدیم، نقطه C در کجا قرار می‌گیرد. اگر C به K بیفتد، KB = CD و AK = AB – KB یا AK = AB – CD.

می توانید این بخش را در 2، 3، 4 و غیره ضرب کنید، یعنی آن را به عنوان یک جمله 2، 3 و غیره بار تکرار کنید.

از پاراگراف ها 8-10، درک این نکته برای ما مهم است که 1) مفاهیم زیر برای بخش ها و همچنین اعداد قابل استفاده است: "برابر"، "بزرگتر از" و "کمتر از"؛ 2) مفاهیم «مجموع و تفاضل دو بخش» معنای بسیار مشخصی دارند.

در عمل، برای ساخت یک قطعه برابر با یک قطعه داده شده، از قطب نما استفاده می شود.

11. تمرینات. 1. بخش های جمع و مجموع آنها را در هر یک از تصاویر زیر نام ببرید. یادداشت کنید (نقاشی A).

2. در همان نقشه ها، مشخص کنید که کدام بخش را می توان تفاوت دو بخش دیگر در نظر گرفت. بنویس.

3. این بخش را به 2، 3 و 4 جمله تقسیم کنید. بنویس.

4. این بخش را به عنوان تفاوت دو بخش دیگر ارائه کنید.

12. ما می توانیم بسازیم شکلی متشکل از دو پرتو که از یک نقطه ساطع می شود, – به چنین شکلی زاویه می گویند. برای جهنم. شکل 9 زاویه ای متشکل از پرتوهای OA و OB را نشان می دهد که از نقطه O خارج می شوند. این نقطه راس زاویه و هر پرتو را ضلع آن می نامند. کلمه "زاویه" با علامت ∠ جایگزین می شود. یک زاویه با سه حرف نامیده می شود که یکی از آنها در رأس و دو حرف دیگر در جایی در طرفین زاویه قرار می گیرد - حرف در راس در وسط نام زاویه قرار می گیرد. برای جهنم. 9 ما ∠AOB یا ∠BOA داریم. گاهی اوقات یک زاویه را به یک حرف می گویند که در راس آن قرار می گیرد و می گوید ∠O. اضلاع زاویه (پرتوها) باید بدون پایان در نظر گرفته شود.

یک مورد خاص از یک زاویه زمانی به وجود می آید که دو طرف آن یک خط مستقیم را تشکیل دهند. چنین زاویه خاصی را صاف یا راست می گویند زاویه چرخیده(شکل 12 زوایای قائمه AOB و A 1 O 1 B 1 را نشان می دهد).

هر زاویه صفحه را به 2 قسمت، به دو منطقه تقسیم می کند. یکی از این قسمت ها نام دارد منطقه داخلیگوشه و می گویند که در داخل گوشه نهفته است و دیگری نامیده می شود منطقه خارجیگوشه و بگویید که خارج از گوشه قرار دارد. کدام یک از این دو قسمت را ناحیه خارجی و کدام داخلی را شرط می گویند. هر بار باید چیزی داخلی، به عنوان مثال، یک منطقه را علامت گذاری کنید. قسمت داخلی گوشه را با خطوط منحنی که در قسمت داخلی بین دو طرف گوشه کشیده شده است مشخص می کنیم. روی مشکی 10 مناطق داخلی زوایای ABC، DEF و ∠KLM را مشخص می کند.

برش گوشه ها از یک ورق مقوای نازک مفید است: یک تکه مقوا نمایانگر قسمتی از هواپیما است. با کشیدن دو پرتو از یک نقطه بر روی آن و برش دادن این قطعه در کناره های زاویه ترسیم شده، تکه مقوا را به 2 قسمت تقسیم می کنیم. بیایید یکی از این قسمت‌ها را که می‌خواهیم در مورد آن فرض کنیم که در داخل زاویه قرار دارد را برداریم و دیگری را برداریم - سپس یک مدل از زاویه به همراه منطقه داخلی آن خواهیم داشت. برای تفسیر صحیح این مدل، باید در نظر داشت که یک تکه مقوا تنها تصویر بخشی از یک هواپیما است و خود هواپیما بدون انتها کشیده می شود.

13. دو زاویه داده شده را با هم مقایسه کنید∠ABC و ∠DEF (نقاشی 11).

"مقایسه" دو زاویه به معنای مساوی بودن یا بزرگتر بودن یکی از زاویه ها از دیگری است. برای انجام این کار، ما شروع به قرار دادن یک زاویه بر روی دیگری می کنیم تا مناطق داخلی آنها در امتداد یکدیگر قرار گیرند: اگر در این حالت معلوم شد که می توان به هم تراز بودن رئوس و اضلاع زوایای ما دست یافت، می گوییم که این زوایا مساوی هستند. اگر رئوس یک طرف زوایای ما بر هم منطبق باشد، اما اضلاع دیگر منطبق نباشد، آنگاه زوایا مساوی نیستند و کوچکتر را به عنوان آن می خوانیم که مساحت داخلی آن با ناحیه داخلی طرف دیگر مطابقت دارد.

ورزش. مدل‌های گوشه‌ها را به همراه قسمت‌های داخلی آن‌ها از کاغذ جدا کنید و با قرار دادن این مدل‌ها بر روی هم، امکان مواردی که در بالا توضیح داده شد را ایجاد کنید. پس از برش یک مدل از یک زاویه، سپس یک مدل از زاویه ای برابر با آن و مدل هایی از زوایای غیر برابر با آن (کمتر یا بیشتر) برش دهید.

بیایید به زوایای ABC و DEF نگاه کنیم (شکل 11). ناحیه داخلی هر یک از آنها در نقاشی مشخص شده است. ∠DEF را حرکت می دهیم تا راس E آن به نقطه B برخورد کند و EF ضلع آن در امتداد ضلع BC قرار گیرد - سپس نواحی داخلی گوشه ها یکی پس از دیگری قرار می گیرند. اگر سمت ED در امتداد سمت BA قرار گیرد، ∠DEF = ∠ABC; اگر طرف ED به داخل ∠ABC برود، برای مثال، در امتداد پرتو BM، سپس ∠DEF< ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF >∠ABC.

تکرار همان استدلال برای زوایای ABC و DEF (با مناطق داخلی مشخص شده) داده شده در شکل مفید است. 11 bis.

اجازه دهید روش توصیف شده را برای مقایسه دو زاویه با دو زاویه صاف اعمال کنیم. اجازه دهید 2 زاویه صاف ∠AOB و ∠A1O1B1 (طرح 12) داشته باشیم که نواحی داخلی آنها در نقشه مشخص شده است. با قرار دادن یکی از این زوایا روی دیگری به گونه ای که راس O 1 یکی به راس O دیگری بیفتد و ضلع O 1 A 1 یکی در امتداد ضلع OA دیگری قرار گیرد، به این نتیجه می رسیم. که اضلاع دیگر این زوایا O 1 B 1 و OB بر هم منطبق هستند، زیرا خطوط A 1 O 1 B 1 و AOB خطوط مستقیمی هستند که موقعیت آنها توسط دو نقطه مشخص می شود. (گاهی به جای اینکه بگویند خط AOB یک خط مستقیم است، می گویند: OB ادامه OA است). بنابراین به این نتیجه می رسیم:

تمام زوایای قائمه با یکدیگر برابرند.

14. صاف ∠AOB (طرح 12) هواپیما را به 2 منطقه داخلی و خارجی تقسیم می کند. اگر هواپیما را در امتداد خط مستقیم AOB خم کنید، هر دوی این قسمت ها بر هم منطبق می شوند. بنابراین، می‌توان فرض کرد که نواحی داخلی و خارجی یک زاویه صاف با یکدیگر برابر هستند.

اگر هر زاویه اصلاح نشده ای داشته باشیم، مثلاً ∠DEF (طراحی 11 یا ترسیم 11 bis)، سپس با ادامه یکی از اضلاع آن، مثلاً ضلع DE (هیچ ادامه ای روی نقشه ها کشیده نشده است) خواهیم دید که در مورد زاویه ما، می توان ثابت کرد که یا کمتر از صاف است (نقاشی 11)، یا بزرگتر از آن (نقاشی 11 bis). بستگی به این دارد که کدام یک از دو قسمت هواپیما به عنوان ناحیه داخلی گوشه در نظر گرفته شود. معمولاً ناحیه داخلی زاویه به گونه ای انتخاب می شود که این زاویه از زاویه راست کوچکتر باشد و در این صورت توافق می کنیم که ناحیه داخلی زاویه را علامت گذاری نکنیم. گاهی اوقات مبدأ زاویه نشان می دهد که ناحیه داخلی را باید آن قسمت از صفحه در نظر گرفت که زاویه آن بزرگتر از زاویه صاف شده باشد. این موارد گاهی اوقات در آینده رخ می دهد و سپس باید ناحیه داخلی گوشه را علامت گذاری کنیم.

15. مجموع دو زاویه را پیدا کنید: ∠AOB و ∠PNM (رسم 13)، یا ∠AOB و ∠PNM را اضافه کنید.

در اینجا در نقاشی مناطق داخلی گوشه ها مشخص نشده اند. با توجه به تبصره بند قبل، این بدان معناست که آنها باید طوری انتخاب شوند که هر زاویه کمتر از یک راست باشد و ما به وضوح این مناطق را می بینیم.

اجازه دهید ∠PNM را طوری حرکت دهیم که راس N آن با راس O زاویه AOB منطبق باشد و با چرخش حول نقطه O اطمینان حاصل کنیم که ضلع NP در امتداد ضلع OB می رود. سپس نواحی داخلی زوایای ما در مجاورت یکدیگر خواهند بود - این شرایط برای اضافه کردن زاویه ضروری است. اجازه دهید توجه کنیم که سمت NM چگونه خواهد رفت: برای مثال، اجازه دهید در امتداد پرتو OC حرکت کند. سپس یک ∠AOC جدید بدست می آوریم که به عنوان مجموع دو زاویه داده شده در نظر گرفته می شود. ما میتوانیم بنویسیم:

1) ∠BOC = ∠PNM، 2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
و 3) (بر اساس 1) ∠AOC = ∠AOB + ∠PNM.

همچنین می توانید چندین گوشه را تا کنید. شما می توانید این زاویه را به چند عبارت تقسیم کنید. برای جهنم. 14 داریم:

∠AOE = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.

به راحتی می توان دو یا چند زاویه را که به یکدیگر اعمال می شود به گونه ای ساخت که مجموع آنها برابر با زاویه صاف شده باشد. ممکن است که مجموع چندین زاویه بیشتر از زاویه راست باشد (شکل 15)، ناحیه داخلی این مجموع باید توجه شود.

یک مورد خاص دیگر از افزودن زاویه ها ممکن است، زمانی که نواحی داخلی زوایای اضافه شده، وقتی روی یکدیگر اعمال می شوند، کل صفحه را می پوشانند. برای جهنم. 16 زوایای زیر را داریم: ∠AOB، ∠BOC، ∠COD، ∠DOE، ∠EOF و ∠FOA. در این حالت، با ساختن پرتو OM، که ادامه پرتو OA است، می بینیم که مجموع زوایای ما از دو زاویه مستقیم تشکیل شده است: 1) ∠AOM راست که ناحیه داخلی آن با یک خط منحنی مشخص شده است. ، و 2) ∠AOM صاف شده، که ناحیه داخلی آن با خط منحنی دوگانه مشخص شده است. در اینجا ما داریم:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 2 گوشه صاف شده.

میگویند: مجموع تمام زوایای متوالی اطراف یک نقطه برابر با دو زاویه قائمه است.

اگر زوایای اضافی غیر از زوایای ساخته شده در طراحی وجود داشته باشد. 16، سپس آنها باید دوباره در امتداد اولین زاویه صاف شده روی موارد قبلی اعمال شوند، و سپس حاصل جمع بیش از دو زاویه صاف، برابر با سه زاویه صاف، بیش از سه زاویه صاف و غیره است.

16. تفاوت دو زاویه را پیدا کنید: ∠AOB و ∠MNP (توسعه 17)، یا ∠MNP را از ∠AOB کم کنید، با فرض اینکه ∠MNP< ∠AOB.

اجازه دهید ∠MNP را طوری حرکت دهیم که راس N آن به راس O زاویه AOB بیفتد. با چرخش حول نقطه O، به این نتیجه خواهیم رسید که ضلع NM در امتداد ضلع OB قرار می گیرد و نواحی داخلی این زوایا یکی روی دیگری قرار می گیرند. اجازه دهید سمت NP پرتو OC را دنبال کند. سپس یک ∠AOC جدید دریافت می کنیم که در مورد آن می دانیم که ∠AOC + ∠COB = ∠AOB، که با توجه به تعریف تفریق به عنوان عمل معکوس جمع، از آن به دست می آوریم:

∠AOC = ∠AOB – ∠COB،
اما ∠COB = ∠MNP; از همین رو
∠AOC = ∠AOB – ∠MNP.

از پاراگراف ها 13-16 ما باید این ایده را درک کنیم که مفاهیم زیر برای زوایا و همچنین بخش ها قابل استفاده است: بیشتر، کمتر، برابر، و اینکه مفاهیم مجموع و تفاضل دو زاویه معنای خاصی دارند.

17. تمرینات. 1. دو زاویه متصل به یکدیگر بسازید، آنها را با حروف نامگذاری کنید، مجموع آنها را مشخص کنید و جمع این زوایا را یادداشت کنید.

2. در همان نقشه نشان دهید که یکی از زاویه ها تفاوت بین دو زاویه دیگر است. آن را بنویسید.

3. در نقشه های زیر (به شکل B مراجعه کنید)، ∠AOB با اختلاف دو زاویه دیگر بیان می شود.

4. این زاویه را به 2، 3 و 4 جمله تقسیم کنید. هر بار آن را یادداشت کنید؛ همین کار را با گوشه صاف انجام دهید.

5. این زاویه را به عنوان تفاوت بین یک زاویه راست و یک زاویه دیگر ارائه کنید. چه نوع ساختاری برای این مورد نیاز است؟

6. با استفاده از مدل های زاویه ای که از کاغذ جدا شده اند، زوایا را اضافه و کم کنید.

18. در آینده اغلب زوایا را شماره گذاری می کنیم تا حرف را با اعداد نامیدن کوتاه کنیم. اعداد زاویه را در داخل هر زاویه نزدیک راس می نویسیم.

بیایید ∠AOB (نقاشی 18) را بسازیم و آن را ∠1 بنامیم. بیایید این زاویه را به یک زاویه مستقیم اضافه کنیم. مشکل دو راه حل دارد: یک پرتو OC بسازید که به عنوان ادامه پرتو OA عمل می کند. سپس ∠BOC یا ∠2 را به دست می آوریم که نیاز را برآورده می کند، زیرا می بینیم که

∠1 + ∠2 = زاویه صاف.

در اینجا مثالی از اضافه کردن دو زاویه داریم که مجموع آنها برابر با زاویه راست باشد - چنین زاویه هایی مجاور نامیده می شوند: ∠1 و ∠2 زوایای مجاور هستند. برای اینکه 2 زاویه را مجاور نامید، لازم است 1) به هم چسبیده باشند و 2) مجموع آنها برابر با زاویه راست باشد یا اینکه این زاویه ها یک اشتراک داشته باشند. راس (در زوایای 1 و 2 راس مشترک O)، یک ضلع مشترک (گوشه های ما دارای ضلع مشترک OB هستند) و دو ضلع دیگر ادامه یکدیگر هستند (OC ادامه OA است).

راه حل دوم برای مشکل ما به دست می آید اگر OB کناری را ادامه دهیم - اجازه دهید OD ادامه OB باشد. سپس یک ∠AOD یا ∠4 دیگر در مجاورت ∠1 دریافت می کنیم. اجازه دهید زاویه حاصل را با ∠3 نیز COD بنامیم.

اجازه دهید 2 راه حل به دست آمده برای مشکل خود را بررسی کنیم، یعنی ∠2 و ∠4. ما ویژگی مکان ∠2 و ∠4 را می بینیم: آنها یک راس مشترک O دارند، اضلاع یکی از آنها ادامه اضلاع دیگری است، یعنی OC ادامه OA است و بالعکس، و OB است. ادامه OD و بالعکس - به این دو زاویه عمودی می گویند.

سپس می دانیم که هر دو ∠2 و ∠4 هر کدام مکمل ∠1 هستند تا زمانی که اصلاح شوند. از اینجا نتیجه می گیریم که

در اینجا خلاصه ای دقیق تر از ملاحظات اخیر آمده است. با توجه به ساخت، داریم:

1) ∠1 + ∠2 = زاویه صاف.
2) ∠1 + ∠4 = زاویه صاف.

می بینیم که هر دو جمع به یک مجموع منتهی می شوند (همه زوایای قائمه با یکدیگر برابر هستند) و علاوه بر این، یک جمله (یعنی ∠1) در هر دو جمع یکسان است. از اینجا نتیجه می گیریم که سایر عبارت ها باید با یکدیگر برابر باشند، یعنی ∠2 = ∠4.

اگر دو خط مستقیم متقاطع بسازیم، دو جفت زاویه عمودی به دست می آید. برای جهنم. 18 ما خطوط AC و BD را داریم، یک جفت زاویه عمودی ∠2 و ∠4 است و دیگری ∠1 و ∠3 است. همه چیز در بالا برای هر جفت زاویه عمودی اعمال می شود. به عنوان مثال، برای جفت ∠1 و ∠3 داریم که هر یک از آنها مکمل ∠2 برای یک اصلاح شده است، بنابراین، ∠1 = ∠3. بنابراین ما این قضیه را داریم:
زوایای عمودی با یکدیگر برابر هستند.

ورزش. سه خط مستقیم در نقطه ایجاد کنید و زوایای عمودی حاصل را نشان دهید. برابری آنها را بنویسید

بخش خط. طول بخش. مثلث.

1. در این پاراگراف با برخی از مفاهیم هندسه آشنا می شوید. هندسه- علم "اندازه گیری زمین". این کلمه از کلمات لاتین آمده است: geo - earth و metr - اندازه گیری، اندازه گیری. در هندسه، گوناگون اجسام هندسی، خواص آنها، ارتباطات آنها با دنیای خارج. ساده ترین اجسام هندسی یک نقطه، یک خط، یک سطح هستند. اجسام هندسی پیچیده تر، به عنوان مثال، اشکال هندسی و اجسام، از ساده ترین ها تشکیل می شوند.

اگر روی دو نقطه A و B خط کش اعمال کنیم و در امتداد آن خطی بکشیم که این نقاط را به هم وصل می کند، به دست می آید بخش خط،که به آن AB یا VA می گویند (می خوانیم: «الف»، «بی-ا»). نقاط A و B نامیده می شوند انتهای بخش(تصویر 1). فاصله بین انتهای یک قطعه که بر حسب واحد طول اندازه گیری می شود، نامیده می شود طولبرشکا.

واحدهای طول: m - متر، سانتی متر - سانتی متر، dm - دسی متر، میلی متر - میلی متر، کیلومتر - کیلومتر و غیره. (1 کیلومتر = 1000 متر؛ 1 متر = 10 dm؛ 1 dm = 10 سانتی متر؛ 1 سانتی متر = 10 میلی متر).برای اندازه گیری طول قطعات، از خط کش یا متر نوار استفاده کنید. اندازه گیری طول یک قطعه به این معنی است که بفهمیم یک اندازه گیری طول خاص چند بار در آن قرار می گیرد.

برابردو بخش نامیده می شوند که می توانند با قرار دادن یکی بر روی دیگری ترکیب شوند (شکل 2). به عنوان مثال، می توانید به طور واقعی یا ذهنی یکی از بخش ها را برش دهید و آن را به دیگری وصل کنید تا انتهای آنها مطابقت داشته باشد. اگر پاره های AB و SK برابر باشند، AB = SK را می نویسیم. قطعات مساوی دارای طول مساوی هستند. برعکس این است: دو بخش با طول مساوی برابر هستند. اگر دو بخش دارای طول های متفاوتی باشند، پس با هم برابر نیستند. از بین دو بخش نابرابر، بخش کوچکتر بخشی از بخش دیگر است. می‌توانید با استفاده از قطب‌نما، بخش‌های همپوشانی را با هم مقایسه کنید.

اگر به صورت ذهنی قطعه AB را در هر دو جهت تا بی نهایت گسترش دهیم، آنگاه ایده ای از آن به دست خواهیم آورد سر راست AB (شکل 3). هر نقطه ای که روی یک خط قرار دارد آن را به دو قسمت تقسیم می کند پرتو(شکل 4). نقطه C خط AB را به دو قسمت تقسیم می کند پرتو SA و SV. توسکا سی نامیده می شود آغاز پرتو.

2. اگر سه نقطه که روی یک خط قرار نمی گیرند توسط پاره ها به هم متصل شوند، شکلی به نام می گیریم مثلث.این نقاط نامیده می شوند قله هامثلث، و بخش های متصل کننده آنها هستند مهمانیمثلث (شکل 5). FNM - مثلث، بخش های FN، NM، FM - اضلاع مثلث، نقاط F، N، M - رئوس مثلث. اضلاع همه مثلث ها دارای خاصیت زیر هستند: d طول هر ضلع مثلث همیشه کمتر از مجموع طول دو ضلع دیگر آن است.

اگر به طور ذهنی، به عنوان مثال، سطح یک میز را در همه جهات گسترش دهید، تصوری از آن خواهید داشت سطح. نقاط، قطعات، خطوط مستقیم، پرتوها در یک صفحه قرار دارند (شکل 6).

بلوک 1. اضافی

دنیایی که در آن زندگی می کنیم، هر چیزی که ما را احاطه کرده است، گذشتگان به آن طبیعت یا فضا می گفتند. فضایی که در آن زندگی می کنیم سه بعدی در نظر گرفته می شود، یعنی. سه بعد دارد اغلب به آنها می گویند: طول، عرض و ارتفاع (مثلاً طول اتاق 4 متر، عرض اتاق 2 متر و ارتفاع 3 متر است).

ایده یک نقطه هندسی (ریاضی) توسط ستاره ای در آسمان شب، نقطه ای در انتهای این جمله، علامتی از سوزن و غیره به ما داده می شود. با این حال، تمام اشیاء ذکر شده دارای ابعاد هستند؛ در مقابل، ابعاد یک نقطه هندسی برابر با صفر در نظر گرفته می شود (ابعاد آن برابر با صفر است). بنابراین، یک نقطه ریاضی واقعی را فقط می توان به صورت ذهنی تصور کرد. همچنین می توانید بگویید که در کجا قرار دارد. با قرار دادن یک نقطه در دفترچه یادداشت با خودکار، یک نقطه هندسی را به تصویر نخواهیم کشید، بلکه فرض می کنیم که شی ساخته شده یک نقطه هندسی است (شکل 6). نقاط با حروف بزرگ الفبای لاتین مشخص می شوند: آ, ب, سی, D, (خواندن " نقطه a، نقطه be، نقطه tse، نقطه د") (شکل 7).

سیم های آویزان شده روی تیرها، خط افق قابل مشاهده (مرز بین آسمان و زمین یا آب)، بستر رودخانه که روی نقشه به تصویر کشیده شده است، حلقه ژیمناستیک، جریانی از آب که از فواره فواره می زند، تصوری از خطوط به ما می دهد.

خطوط بسته و باز، خطوط صاف و غیر هموار، خطوط با و بدون خود تقاطع وجود دارد (شکل های 8 و 9).

یک ورق کاغذ، دیسک لیزری، پوسته توپ فوتبال، مقوا جعبه بسته بندی، ماسک پلاستیکی کریسمس و غیره. به ما ایده بدهید سطوح(شکل 10). هنگام رنگ آمیزی کف اتاق یا ماشین، سطح کف یا ماشین با رنگ پوشانده می شود.

بدن انسان، سنگ، آجر، پنیر، توپ، یخ یخ و غیره. به ما ایده بدهید هندسیبدن (شکل 11).

ساده ترین خط این است مستقیم است. یک خط کش را روی یک ورق کاغذ قرار دهید و با مداد یک خط مستقیم در امتداد آن بکشید. با گسترش ذهنی این خط تا بی نهایت در هر دو جهت، ایده یک خط مستقیم را دریافت خواهیم کرد. اعتقاد بر این است که یک خط مستقیم یک بعد - طول دارد و دو بعد دیگر آن برابر با صفر است (شکل 12).

هنگام حل مسائل، یک خط مستقیم به عنوان خطی به تصویر کشیده می شود که در امتداد یک خط کش با مداد یا گچ کشیده می شود. خطوط مستقیم با حروف لاتین کوچک مشخص می شوند: a، b، n، m (شکل 13). همچنین می توانید یک خط مستقیم را با دو حرف مربوط به نقاطی که روی آن قرار دارند نشان دهید. مثلا مستقیم nدر شکل 13 می توان به موارد زیر اشاره کرد: AB یا VA، ADیاDآ،Dب یا بD.

نقاط می توانند روی یک خط قرار بگیرند (متعلق به یک خط) یا روی یک خط قرار نگیرند (به یک خط تعلق نداشته باشند). شکل 13 نقاط A، D، B را نشان می دهد که روی خط AB (متعلق به خط AB) قرار دارند. همزمان می نویسند. بخوانید: نقطه A متعلق به خط AB، نقطه B متعلق به AB، نقطه D متعلق به AB است. نقطه D نیز متعلق به خط m است که نامیده می شود عمومینقطه. در نقطه D خطوط AB و m همدیگر را قطع می کنند. نقاط P و R به خطوط مستقیم AB و m تعلق ندارند:

از طریق هر دو نقطه همیشه شما می توانید یک خط مستقیم و فقط یک خط بکشید .

از بین انواع خطوطی که هر دو نقطه را به هم وصل می کنند، قسمتی که انتهای آن این نقاط است، کوتاه ترین طول را دارد (شکل 14).

شکلی که از نقاط و پاره های متصل کننده آنها تشکیل شده باشد، خط شکسته نامیده می شود (شکل 15). قطعاتی که یک خط شکسته را تشکیل می دهند نامیده می شوند پیوندهاخط شکسته و انتهای آنها - قله هاخط شکسته یک خط شکسته با فهرست کردن تمام رئوس آن به ترتیب نامگذاری می شود (تعیین می شود) به عنوان مثال، خط شکسته ABCDEFG. طول یک خط شکسته مجموع طول پیوندهای آن است. این به این معنی است که طول خط شکسته ABCDEFG برابر است با مجموع: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

خط شکسته بسته نامیده می شود چند ضلعی، رئوس آن نامیده می شود رئوس چند ضلعیو پیوندهای آن مهمانیچند ضلعی (شکل 16). یک چند ضلعی با فهرست کردن به ترتیب تمام رئوس آن نامگذاری می شود (تعیین می شود) که از هر یک شروع می شود، به عنوان مثال، چند ضلعی (هفت ضلعی) ABCDEFG، چند ضلعی (پنج ضلعی) RTPKL:

مجموع طول تمام ضلع های یک چند ضلعی نامیده می شود محیط چند ضلعی و با کلمه لاتین نشان داده می شود حرفپ(خواندن: پلی اتیلن). محیط چند ضلعی ها در شکل 13:

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

با گسترش ذهنی سطح یک میز یا شیشه پنجره تا بی نهایت در همه جهات، تصوری از سطح به دست می آید که به آن می گویند. سطح (شکل 17). هواپیماها با حروف کوچک الفبای یونانی مشخص شده اند: α, β, γ, δ, ... (ما می خوانیم: صفحه آلفا، بتا، گاما، دلتا و غیره).

بلوک 2. واژگان.

یک فرهنگ لغت از اصطلاحات و تعاریف جدید از §2 بسازید. برای این کار، کلماتی را از لیست عبارات زیر در ردیف های خالی جدول وارد کنید. در جدول 2 اعداد عبارت را مطابق با شماره خطوط مشخص کنید. توصیه می شود قبل از پر کردن فرهنگ لغت، §2 را با دقت مرور کنید و 2.1 را بلاک کنید.

بلوک 3. مکاتبات (CS) را ایجاد کنید.

اشکال هندسی

بلوک 4. خودآزمایی.

اندازه گیری یک قطعه با استفاده از خط کش

بیایید به یاد بیاوریم که اندازه گیری یک قطعه AB در سانتی متر به معنای مقایسه آن با یک قطعه به طول 1 سانتی متر است و دریابیم که چند قطعه از این 1 سانتی متر در قطعه AB قرار می گیرد. برای اندازه گیری یک قطعه در واحدهای دیگر طول، به همین ترتیب عمل کنید.

برای تکمیل کارها، طبق طرحی که در ستون سمت چپ جدول داده شده است، کار کنید. در این مورد، توصیه می کنیم ستون سمت راست را با یک ورق کاغذ بپوشانید. سپس می توانید یافته های خود را با راه حل های جدول سمت راست مقایسه کنید.

بلوک 5. ایجاد دنباله ای از اقدامات (SE).

ساختن پاره ای به طول معین.

انتخاب 1. جدول حاوی یک الگوریتم ترکیبی (ترتیب ترکیبی از اقدامات) برای ساخت یک قطعه با طول مشخص است (به عنوان مثال، بیایید یک قطعه BC = 7 سانتی متر بسازیم). در ستون سمت چپ نشان دهنده عمل است، در ستون سمت راست نتیجه انجام این عمل است. ردیف های جدول را به گونه ای مرتب کنید که الگوریتم درستی برای ساخت یک قطعه با طول مشخص به دست آورید. دنباله صحیح اقدامات را بنویسید.

گزینه 2.جدول زیر الگوریتم ساخت قطعه KM = n سانتی متر را نشان می دهد که به جای آن nمی توانید هر عددی را جایگزین کنید. در این گزینه هیچ تناسبی بین عمل و نتیجه وجود ندارد. بنابراین، لازم است دنباله ای از اقدامات ایجاد شود، سپس برای هر عمل، نتیجه آن انتخاب شود. پاسخ را به شکل 2a، 1c، 4b و غیره بنویسید.

گزینه 3.با استفاده از الگوریتم گزینه 2، بخش هایی را در دفترچه یادداشت خود با n = 3 سانتی متر، n = 10 سانتی متر، n = 12 سانتی متر بسازید.

بلوک 6. تست وجهی.

قطعه، پرتو، خط مستقیم، صفحه.

در وظایف آزمون وجهی از تصاویر و رکوردهای شماره 1-12 که در جدول 1 آورده شده است استفاده می شود که داده های وظیفه از آنها تشکیل می شود. سپس الزامات وظایف به آنها اضافه می شود که بعد از کلمه اتصال "TO" در آزمون قرار می گیرند. پاسخ به مسائل بعد از کلمه "EQUAL" قرار می گیرد. مجموعه وظایف در جدول 2 آورده شده است. به عنوان مثال، وظیفه 6.15.19 به صورت زیر تشکیل شده است: "اگر مشکل از شکل 6 استفاده می کند. ، سسپس شرط شماره 15 به آن اضافه می شود، شرط تکلیف شماره 19 است.

13) چهار نقطه را طوری بسازید که هر سه تای آنها روی یک خط مستقیم قرار نگیرند.

14) از هر دو نقطه یک خط مستقیم بکشید.

15) از نظر ذهنی هر یک از سطوح جعبه را در همه جهات تا بی نهایت گسترش دهید.

16) تعداد بخش های مختلف در شکل.

17) تعداد پرتوهای مختلف در شکل.

18) تعداد خطوط مستقیم مختلف در شکل.

19) تعداد صفحات مختلف بدست آمده؛

20) طول قطعه AC بر حسب سانتی متر.

21) طول قطعه AB بر حسب کیلومتر.

22) طول قطعه DC بر حسب متر.

23) محیط مثلث PRQ.

24) طول خط شکسته QPRMN.

25) ضریب محیط های مثلث RMN و PRQ.

26) طول بخش ED.

27) طول بخش BE.

28) تعداد نقاط حاصل از تقاطع خطوط.

29) تعداد مثلث های حاصل؛

30) تعداد قطعاتی که هواپیما به آنها تقسیم شده است.

31) محیط چند ضلعی، بیان شده در متر؛

32) محیط چند ضلعی که در دسی متر بیان می شود.

33) محیط چند ضلعی، بیان شده در سانتی متر.

34) محیط چند ضلعی، بیان شده در میلی متر.

35) محیط چند ضلعی، بیان شده در کیلومتر.

EQUALS (برابر، شکل دارد):

الف) 70؛ ب) 4; ج) 217; د) 8; ه) 20; ه) 10; g) 8∙b; h) 800∙b; i) 8000∙b؛ ی) 80∙b; ل) 63000; م) 63; م) 63000000; o) 3; ن) 6; ص) 630000; ج) 6300000; ت) 7; y) 5; ت) 22; x) 28

بلوک 7. بیایید بازی کنیم.

7.1. هزارتوی ریاضی.

هزارتو از ده اتاق با سه در تشکیل شده است. در هر یک از اتاق ها یک شی هندسی وجود دارد (روی دیوار اتاق کشیده شده است). اطلاعات مربوط به این شی در "راهنمای" هزارتو است. هنگام خواندن آن، باید به اتاقی بروید که در کتاب راهنما در مورد آن نوشته شده است. همانطور که در اتاق های هزارتو قدم می زنید، مسیر خود را ترسیم کنید. دو اتاق آخر خروجی دارند.

راهنمای لابیرنت

1. شما باید از طریق اتاقی وارد هزارتو شوید که در آن یک شی هندسی وجود دارد که آغازی ندارد، اما دو انتها دارد.
2. جسم هندسی این اتاق هیچ ابعادی ندارد، مانند ستاره ای دور در آسمان شب است.
3. جسم هندسی این اتاق از چهار بخش تشکیل شده است که دارای سه نقطه مشترک هستند.
4. این شی هندسی از چهار بخش با چهار نقطه مشترک تشکیل شده است.
5. این اتاق شامل اجسام هندسی است که هر کدام آغازی دارند اما پایانی ندارند.
6. در اینجا دو جسم هندسی وجود دارد که نه آغاز دارند و نه پایان، بلکه دارای یک نقطه مشترک هستند.

1. ایده ای از این شی هندسی با پرواز گلوله های توپخانه به دست می آید

(مسیر حرکت).

1. این اتاق شامل یک شی هندسی با سه قله است که کوهستانی نیستند.

1. پرواز یک بومرنگ تصوری از این شی هندسی (شکار

سلاح های مردم بومی استرالیا). در فیزیک به این خط یک مسیر می گویند

حرکات بدن

1. تصوری از این شی هندسی از سطح دریاچه در داخل ارائه شده است

هوای آرام

اکنون می توانید از پیچ و خم خارج شوید.

پیچ و خم شامل اجسام هندسی است: صفحه، خط باز، خط مستقیم، مثلث، نقطه، خط بسته، خط شکسته، قطعه، پرتو، چهار ضلعی.

7.2. محیط اشکال هندسی.

در نقاشی ها، اشکال هندسی را برجسته کنید: مثلث، چهار گوش، پنج ضلعی و شش ضلعی. با استفاده از یک خط کش (به میلی متر) محیط برخی از آنها را مشخص کنید.

7.3. مسابقه رله اجسام هندسی.

وظایف رله فریم های خالی دارند. کلمه گم شده را در آنها یادداشت کنید. سپس این کلمه را به فریم دیگری که فلش نشان می دهد منتقل کنید. در این صورت می توانید حروف این کلمه را تغییر دهید. همانطور که مراحل رله را طی می کنید، تشکیلات مورد نیاز را تکمیل کنید. اگر رله را به درستی تکمیل کنید، کلمه زیر را در پایان دریافت خواهید کرد: محیط.

7.4. استحکام اجسام هندسی

§ 2 را بخوانید، نام اجسام هندسی را از متن آن یادداشت کنید. سپس این کلمات را در سلول های خالی "قلعه" بنویسید.

اگر قسمت ها را بتوان به گونه ای روی یکدیگر قرار داد که انتهای آنها منطبق باشد، برابر نامیده می شوند.

اجازه دهید دو بخش AB و CD به ما داده شود (شکل). بیایید قطعه AB را روی قطعه CD قرار دهیم تا نقطه A با نقطه C منطبق شود و قطعه AB را در امتداد قطعه CD مستقیم کنیم. اگر نقطه B با نقطه D منطبق باشد، بخش های AB و CD برابر هستند. AB = CD.

بیایید دو بخش KO و EM را با هم مقایسه کنیم (شکل).

بیایید قطعه KO را روی قطعه EM قرار دهیم تا نقاط K و E بر هم منطبق شوند. بیایید بخش KO را در امتداد بخش EM هدایت کنیم. اگر نقطه O جایی بین نقاط E و M باشد، آنها می گویند که قطعه EM بزرگتر از قطعه KO است. قطعه KO کمتر از بخش EM است.

اینطور نوشته شده: EAT > KO, KO

ساختن قطعه ای برابر با یک قطعه داده شده با استفاده از قطب نما.

ساخت یک قطعه برابر با یک قطعه معین AB (شکل) با استفاده از قطب نما به این ترتیب انجام می شود:

یک پایه قطب نما در یک انتهای قطعه AB و دیگری - در انتهای دیگر آن قرار می گیرد و بدون تغییر زاویه قطب نما، آن را به یک خط مستقیم خاص منتقل می کند تا انتهای یک پا نقطه ای را مشخص کند. N، سپس انتهای پای دیگر قطب نما نقطه R را در همان خط مستقیم نشان می دهد. قطعه NP برابر با قطعه AB خواهد بود.

جمع و تفریق قطعات.

برای یافتن مجموع دو بخش، به عنوان مثال AB و CD (شکل)، باید یک خط مستقیم و مقداری از آن را بگیرید، برای مثال نقطه N (شکل، b)، سپس با استفاده از قطب نما، ابتدا رسم کنید. قطعه NP در این خط مستقیم از نقطه N برابر با قطعه AB و سپس از انتهای آن در همان جهت یک قطعه PM برابر با قطعه CD را کنار می گذارد. قطعه NM مجموع قطعات AB و CD نامیده می شود.

اینگونه نوشته شده است:

NM = AB + CD.

به همین ترتیب، مجموع چند بخش پیدا می شود (شکل.)

MN = AB + CD + EF.

هنگام جمع کردن بخش ها، مانند محاسبات هنگام جمع کردن اعداد، از قوانین زیر پیروی می شود: جابجایی و انجمنی.

AB + CD = CD + AB;

(AB + CD) + EF =AB + (CD + EF).

برای پیدا کردن تفاوت بین دو بخش AB و CD (شکل)،

لازم است یک قطعه کوچکتر (CD) را روی یک قطعه بزرگتر (AB) از انتهای آن، به عنوان مثال، نقطه A کنار بگذارید. قسمت باقی مانده (KB) از بخش بزرگتر، تفاوت این بخش ها خواهد بود:

AB - CD = KV.

ضرب و تقسیم یک قطعه بر یک عدد صحیح.

الف) قطعه AB را در یک عدد صحیح ضرب کنید، به عنوان مثال در 5، به این معنی است که قطعه AB باید به عنوان یک جمله 5 برابر در نظر گرفته شود (شکل):

قطعه MN حاصل ضرب قطعه AB و عدد 5 است.

ب) در شکل، قطعه MN از پنج بخش مساوی تشکیل شده است، یعنی قطعه MN به پنج قسمت مساوی تقسیم شده است. هر یک از آنها 1/5 از بخش MN را تشکیل می دهند.

ج) برای تقسیم یک قطعه به قطعات مساوی با استفاده از قطب نما، این کار را انجام دهید. به عنوان مثال، اگر شما نیاز دارید که یک قطعه را به دو قسمت مساوی تقسیم کنید، قطب نما با چشم از هم جدا می شود به طوری که دهانه قطب نما تقریباً نصف قطعه باشد. سپس، روی یک قطعه مشخص از انتهای آن، دو بخش به ترتیب، یکی پس از دیگری، با این راه حل قطب نما قرار می گیرند. اگر مجموع قطعات حاصل از این بخش کمتر باشد، حل قطب نما افزایش می یابد. اگر مقدار بیشتر از این بخش باشد، محلول قطب نما کاهش می یابد. بنابراین، با تصحیح تدریجی خطا، می توانید نیمی از بخش را با دقت کامل پیدا کنید (شکل).

به همین ترتیب، تقسیم تقریبی یک قطعه به 3، 4، 5 و ... قسمت های مساوی انجام می شود. فقط در این مورد باید 1/3 را با چشم مصرف کنید. 14 ; 1/5... از یک پاره و بسته به اینکه قطعه داده شده باید به چند قسمت مساوی تقسیم شود، قطعه گرفته شده را 3، 4، 5... بار کنار بگذارید.

ویژگی پاره های بریده شده توسط خطوط موازی در طرفین یک زاویه

قضیه. اگر پاره های مساوی در یک طرف یک زاویه گذاشته شوند و خطوط موازی در انتهای آنها کشیده شوند و طرف دیگر زاویه را قطع کنند، در این سمت از زاویه پاره های مساوی قرار می گیرند.

بگذارید پاره های مساوی BM = MK = KS (شکل) در ضلع AB زاویه ABN قرار گیرند و خطوط موازی که ضلع BN همان زاویه را قطع می کنند از طریق نقاط تقسیم M، K و C ترسیم شوند.

در این سمت سه بخش تشکیل شد: VM'، M'K' و K'S'. لازم است ثابت شود که VM' = M'K' = K'C'.

برای اثبات این موضوع، از طریق نقاط M’ و K’ خطوط مستقیم موازی با AB رسم می کنیم. مثلث های ВММ'، М'ЭК' و К'РС' را می گیریم. بیایید این مثلث ها را با هم مقایسه کنیم.

ابتدا مثلث های MVM' و M'EK' را با هم مقایسه کنید. در این مثلث ها داریم:

∠1 = ∠2، به عنوان زوایای مربوط به موازی BA و M'E و مقطع BN.

∠3 = ∠4، به عنوان زوایای حاد 1 با اضلاع مشابه موازی (AB || M'E و MM' || KK').

VM = MK توسط ساخت.

MK = M'E، مانند اضلاع مخالف متوازی الاضلاع.

زوایای 1 و 4 ممکن است هر دو مبهم باشند، اما در این صورت آنها برابر خواهند بود و بنابراین اثبات قضیه تغییر نخواهد کرد.

بنابراین، BM = M'E. بنابراین، ΔVMM’ = ΔM’ЭK’ (در کنار و دو زاویه مجاور). نتیجه این است که VM' = M'K'.

همچنین می توان ثابت کرد که VM’ = K’C’، یعنی VM’ = M’K’ = K’C’. هنگام اثبات قضیه، ما شروع به چیدمان پاره ها از راس زاویه کردیم، اما این قضیه برای حالتی نیز معتبر است که چیدمان پاره ها نه از راس زاویه، بلکه از هر نقطه ای در سمت آن شروع شود.

در این حالت لازم نیست راس گوشه در نقشه مشخص شود (شکل).

این قضیه برای حالتی نیز معتبر است که خطوط KO و MR موازی باشند.

بخش های متناسب

از حساب می دانیم که برابری دو نسبت را نسبت می گویند. به عنوان مثال: 16 / 4 = 20 / 5 ; 2 / 3 = 4 / 6 ما در هندسه همین چیز را داریم: اگر دو جفت پاره که نسبت های آنها برابر است داده شود، می توان نسبتی ایجاد کرد.

اگر آ / ب= 4/3 و ج / د= 4/3 (351 ترسیم شده)، سپس نسبت را بدست می آوریم آ / ب = ج / د ;

بخش ها آ ب پ تنامیده می شوند متناسب.

نگرش آ / بهمانطور که در حساب، رابطه اول نامیده می شود، ج / د- رابطه دوم؛ آو داصطلاحات شدید نسبت نامیده می شوند، بو با- اعضای میانی

به نسبت، نسبت ها می توانند معکوس شوند. می توانید اعضای افراطی، اعضای میانی را دوباره مرتب کنید. شما می توانید هر دو را همزمان مرتب کنید.

زیرا به نسبت آ / ب = ج / دحروف به معنای اعدادی است که طول قطعات را بیان می کنند، سپس حاصل ضرب اعضای انتهایی آن برابر با حاصلضرب اعضای میانی آن است. از اینجا با دانستن سه جمله نسبت، می توانید جمله چهارم مجهول آن را پیدا کنید. بله به نسبت آ / ایکس = ج / د ایکس = آگهی / ج

اجازه دهید به برخی از ویژگی های نسبت ها توجه کنیم که در آینده باید هنگام اثبات برخی قضایا و حل مسائل از آنها استفاده شود.

الف) اگر سه جزء یک نسبت به ترتیب برابر با سه جزء نسبت دیگر باشد، جزء چهارم این نسبت ها نیز مساوی است.

اگر آ / ب = ج / ایکسو آ / ب = ج / y، آن x = y. در واقع، ایکس = قبل از میلاد مسیح / آ , در = قبل از میلاد مسیح / آ، یعنی و ایکسو دربرابر با همان عدد قبل از میلاد مسیح / آ .

ب) اگر جملات قبلی به نسبت مساوی باشند، موارد بعدی برابرند، یعنی اگر آ / ایکس = آ / y، آن x = y.

برای تأیید این موضوع، اجازه دهید عبارات میانی را در این نسبت دوباره مرتب کنیم.

ما گرفتیم: آ / آ = ایکس / y. ولی آ / آ= 1. بنابراین، و ایکس / y = 1.

و این تنها در صورتی امکان پذیر است که صورت و مخرج کسر برابر باشند، یعنی.

x = y.

ج) اگر عبارات بعدی از نظر نسبت مساوی باشند، موارد قبلی برابر هستند، یعنی اگر ایکس / آ = y / آ، آن x = y.

از شما دعوت می شود اعتبار این ملک را برای خود بررسی کنید. برای انجام این کار، استدلال مشابه قبلی را انجام دهید.

ساخت بخش های متناسب

قضیه. اگر دو خط با سه خط موازی قطع شوند، نسبت دو پاره به دست آمده در یک خط با نسبت دو پاره متناظر خط دیگر برابر است.

بگذارید دو خط EF و OP با سه خط موازی AB، CD و MN قطع شوند (شکل).

لازم است ثابت شود که بخش‌های AC، CM، BD و DN که بین بخش‌های موازی محصور شده‌اند، متناسب هستند، یعنی.

AC/CM = BD/DN

بگذارید طول قطعه AC باشد آر، و طول قطعه CM برابر است q.

مثلا، آر= 4 سانتی متر و q= 5 سانتی متر

اجازه دهید AC و CM را به قطعاتی برابر با 1 سانتی متر تقسیم کنیم و از نقاط تقسیم، خطوط مستقیمی را موازی با خطوط مستقیم AB، CD و MN ترسیم کنیم، همانطور که در شکل نشان داده شده است.

سپس، قطعات مساوی روی خط مستقیم OR، با 4 قطعه در قطعه BD، و 5 قطعه بر روی قطعه DN قرار می‌گیرند.

نسبت AC به CM 4/5 است و به طور مشابه نسبت BD به DN 4/5 است.

بنابراین AC/CM = BD/DN.

این بدان معنی است که بخش های AC، CM، BD و DN متناسب هستند. بخش های AC، AM، BD و BN (همپوشانی با یکدیگر) نیز متناسب هستند، یعنی AC / AM = BD / BN،

زیرا AC/AM = 4/9 و BD/BN = 4/9

این قضیه برای هر مقدار صحیح دیگر معتبر خواهد بود آرو q.

اگر طول بخش‌های AC و CM به اعداد صحیح برای یک واحد اندازه‌گیری معین (مثلاً یک سانتی‌متر) بیان نشود، لازم است واحد کوچک‌تری (مثلاً یک میلی‌متر یا میکرون) در نظر گرفته شود که در آن طول قطعات AC و CM عملاً با اعداد صحیح بیان می شود.

قضیه اثبات شده در موردی نیز معتبر است که یکی از تقاطع های موازی از نقطه تلاقی این خطوط عبور کند. همچنین در مواردی معتبر است که بخش ها مستقیماً یکی پس از دیگری رسم نمی شوند، بلکه پس از یک فاصله زمانی معین.