فاکتورسازی بزرگترین مقسوم علیه مشترک به عوامل اول. یافتن نوک ها با استفاده از فاکتورسازی اول

بیایید دو روش اصلی را برای یافتن GCD به دو روش اصلی در نظر بگیریم: با استفاده از الگوریتم اقلیدسی و با فاکتورگیری در فاکتورهای اول. بیایید هر دو روش را برای دو، سه یا چند عدد اعمال کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

الگوریتم اقلیدسی برای یافتن GCD

الگوریتم اقلیدسی محاسبه بزرگترین عامل مشترک دو عدد مثبت را آسان می کند. ما فرمول ها و اثبات الگوریتم اقلیدس را در بخش "بزرگترین مقسوم علیه مشترک: تعیین کننده، مثال ها" ارائه کردیم.

ماهیت الگوریتم انجام متوالی تقسیم با باقی مانده است که طی آن یک سری برابری های شکل به دست می آید:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

ما می توانیم تقسیم را زمانی به پایان برسانیم r k + 1 = 0، که در آن r k = gcd (a، b).

مثال 1

64 و 48 .

راه حل

بیایید نمادهای زیر را معرفی کنیم: a = 64، b = 48.

بر اساس الگوریتم اقلیدسی، تقسیم را انجام خواهیم داد 64 بر 48 .

ما 1 و بقیه 16 می گیریم. معلوم می شود که q 1 = 1، r 1 = 16.

مرحله دوم تقسیم است 48 در 16، 3 می گیریم. به این معنا که q 2 = 3، آ r 2 = 0.بنابراین، عدد 16 بزرگترین مقسوم علیه مشترک برای اعداد از شرط است.

پاسخ: GCD (64، 48) = 16.

مثال 2

GCD اعداد چیست؟ 111 و 432 ?

راه حل

تقسیم می کنیم 432 بر 111 . طبق الگوریتم اقلیدسی، زنجیره برابری های 432 = 111 · 3 + 99، 111 = 99 · 1 + 12، 99 = 12 · 8 + 3، 12 = 3 · 4 را به دست می آوریم.

بنابراین، بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد است 111 و 432 - این 3 است.

پاسخ: GCD (111، 432) = 3.

مثال 3

بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 661 و 113 را پیدا کنید.

راه حل

بیایید اعداد را به ترتیب تقسیم کنیم و GCD را بدست آوریم (661 , 113) = 1 . این بدان معناست که 661 و 113 اعداد نسبتا اول هستند. اگر جدولی از اعداد اول را بررسی کنیم، می‌توانیم این را قبل از شروع محاسبه بفهمیم.

پاسخ: GCD (661، 113) = 1.

یافتن GCD با فاکتورسازی اعداد به عوامل اول

برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد با استفاده از روش فاکتورسازی، لازم است تمامی ضرایب اولی که از فاکتورگیری این دو عدد به دست می‌آیند و مشترک با آن‌ها هستند، ضرب شوند.

مثال 4

اگر اعداد 220 و 600 را در فاکتورهای اول قرار دهیم، دو محصول به دست می آید: 220 = 2 2 5 11و 600 = 2 2 2 3 5 5. فاکتورهای مشترک در این دو محصول 2، 2 و 5 می باشد. این بدان معنی است که GCD (220، 600) = 2 2 5 = 20.

مثال 5

بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد را پیدا کنید 72 و 96 .

راه حل

همه عوامل اول اعداد را بیابید 72 و 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

فاکتورهای اول رایج برای دو عدد 2، 2، 2 و 3 هستند. این بدان معنی است که GCD (72، 96) = 2 2 2 3 = 24.

پاسخ: GCD (72، 96) = 24.

قاعده یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد بر اساس ویژگی های بزرگترین مقسوم علیه مشترک است که بر اساس آن gcd (m a 1, m b 1) = m gcd (a 1, b 1) که m هر عدد صحیح مثبت است. .

یافتن gcd سه یا چند عدد

صرف نظر از تعداد اعدادی که برای آنها باید GCD را پیدا کنیم، الگوریتم مشابهی را دنبال می کنیم که شامل یافتن متوالی GCD دو عدد است. این الگوریتم مبتنی بر کاربرد قضیه زیر است: GCD چند اعداد a 1 , a 2 , … , a kبرابر عدد dk، که با محاسبه متوالی gcd پیدا می شود (a 1, a 2) = d 2, GCD (d 2 , a 3) = d 3 , GCD (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .

مثال 6

بزرگترین مقسوم علیه مشترک چهار عدد 78، 294، 570 و را بیابید 36 .

راه حل

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم: a 1 = 78، a 2 = 294، a 3 = 570، a 4 = 36.

بیایید با پیدا کردن gcd اعداد 78 و 294 شروع کنیم: d 2 = GCD (78 , 294) = 6 .

اکنون بیایید شروع کنیم به یافتن d 3 = GCD (d 2 , a 3) = GCD (6, 570). طبق الگوریتم اقلیدس 570 = 6 95.این به آن معنا است d 3 = GCD (6 , 570) = 6 .

بیایید d 4 = GCD (d 3 , a 4) = GCD (6, 36) را پیدا کنیم. 36 بدون باقیمانده بر 6 بخش پذیر است. این به ما اجازه می دهد که به دست آوریم d 4 = GCD (6 , 36) = 6 .

d4 = 6، یعنی GCD (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

پاسخ:

اکنون بیایید به روش دیگری برای محاسبه GCD برای آن و تعداد بیشتر نگاه کنیم. ما می‌توانیم gcd را با ضرب همه عوامل اول مشترک اعداد پیدا کنیم.

مثال 7

GCD اعداد 78، 294، 570 و را محاسبه کنید 36 .

راه حل

بیایید این اعداد را به عوامل اول تجزیه کنیم: 78 = 2 3 13، 294 = 2 3 7 7، 570 = 2 3 5 19، 36 = 2 2 3 3.

برای هر چهار عدد، ضرایب اول مشترک اعداد 2 و 3 خواهند بود.

معلوم می شود که GCD (78، 294، 570، 36) = 2 3 = 6.

پاسخ: GCD (78، 294، 570، 36) = 6.

یافتن GCD اعداد منفی

اگر باید با اعداد منفی سر و کار داشته باشیم، می توانیم از مدول این اعداد برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک استفاده کنیم. ما می توانیم این کار را با دانستن خاصیت اعداد با علائم متضاد انجام دهیم: اعداد nو - nتقسیم کننده های یکسانی دارند

مثال 8

gcd اعداد صحیح منفی را پیدا کنید − 231 و − 140 .

راه حل

برای انجام محاسبات، ماژول های اعداد داده شده در شرط را می گیریم. اینها اعداد 231 و 140 خواهند بود. بگذارید به اختصار آن را بنویسیم: GCD (− 231 , − 140) = GCD (231، 140). اکنون الگوریتم اقلیدسی را برای یافتن فاکتورهای اول دو عدد اعمال می کنیم: 231 = 140 · 1 + 91 ; 140 = 91 1 + 49 ; 91 = 49 · 1 + 42 ; 49 = 42 1 + 7 و 42 = 7 6. ما دریافت می کنیم که GCD (231، 140) = 7 .

و از آنجایی که GCD (− 231 , − 140) = GCD (231 , 140) ، سپس gcd از اعداد − 231 و − 140 برابر است 7 .

پاسخ: GCD (- 231، 140-) = 7.

مثال 9

gcd سه عدد - 585، 81 و را تعیین کنید − 189 .

راه حل

بیایید اعداد منفی در لیست بالا را با مقادیر مطلق آنها جایگزین کنیم، GCD دریافت می کنیم (− 585 , 81 , − 189) = GCD (585 , 81 , 189) . سپس همه این اعداد را به عوامل اول تبدیل می کنیم: 585 = 3 3 5 13، 81 = 3 3 3 3 و 189 = 3 3 3 7. مشترک این سه عدد ضرایب اول 3 و 3 هستند. به نظر می رسد که GCD (585، 81، 189) = GCD (- 585، 81، 189-) = 9.

پاسخ: GCD (- 585، 81، 189-) = 9.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

شماره بلیط 45. کمترین مضرب مشترک اعداد. خواص و روش های یافتن آن مثال ها.

محاسبه حداقل مضرب مشترک (LCM) با استفاده از GCD (کمترین مقسوم علیه مشترک)

یکی از راه های یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس رابطه بین LCM و GCD است. ارتباط موجود بین LCM و GCD به ما این امکان را می دهد که حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح مثبت را از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده محاسبه کنیم. فرمول مربوطه است LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . بیایید به نمونه هایی از پیدا کردن LCM با استفاده از فرمول داده شده نگاه کنیم.

مثال.

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد را پیدا کنید 126 و 70 .

راه حل.

در این مثال a=126, b=70. اجازه دهید از ارتباط بین LCM و GCD استفاده کنیم که با فرمول بیان شده است LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). یعنی ابتدا باید بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد را پیدا کنیم 70 و 126 ، پس از آن می توانیم LCM این اعداد را با استفاده از فرمول نوشته شده محاسبه کنیم.

پیدا خواهیم کرد GCD(126, 70)با استفاده از الگوریتم اقلیدسی: 126=70 1+56, 70=56 1+14, 56=14·4از این رو، GCD(126، 70)=14.

اکنون حداقل مضرب مشترک مورد نیاز را پیدا می کنیم: GCD(126، 70)=126·70:GCD(126، 70)=126·70:14=630.

پاسخ:

LCM(126، 70)=630.

مثال.

چه چیزی برابر است NOC(68, 34)?

راه حل.

زیرا 68 بخشپذیر بر 34 ، آن gcd(68, 34)=34. اکنون کمترین مضرب مشترک را محاسبه می کنیم: GCD(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)=68 34:34=68.

پاسخ:

LCM(68, 34)=68.

توجه داشته باشید که مثال قبلی با قانون زیر برای یافتن LCM برای اعداد صحیح مثبت مطابقت دارد آو ب: اگر شماره آتقسیم بر ب، پس کمترین مضرب مشترک این اعداد است آ.

یافتن LCM با فاکتورگیری اعداد به عوامل اول

راه دیگر برای یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس فاکتورسازی اعداد به ضرایب اول است. اگر از همه ضرایب اول اعداد داده شده، یک محصول بسازید، و سپس تمام ضرایب اول مشترک موجود در تجزیه اعداد داده شده را از این حاصل حذف کنید، آنگاه حاصل ضرب حاصل برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد داده شده خواهد بود. .

قانون بیان شده برای یافتن LCM از برابری ناشی می شود LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). در واقع حاصل ضرب اعداد آو ببرابر حاصلضرب همه عوامل دخیل در بسط اعداد است آو ب. در نوبتش GCD(a, b)برابر حاصلضرب همه عوامل اولی است که به طور همزمان در بسط اعداد وجود دارند آو ب(که در قسمت یافتن gcd با استفاده از فاکتورگیری اعداد به ضرایب اول در مورد آن نوشته شده است).

بیایید یک مثال بزنیم. این را به ما اطلاع دهید 75=3·5·5و 210=2·3·5·7. بیایید از همه عوامل این بسط محصولی بسازیم: 2·3·3·5·5·5·7. اکنون از این محصول ما تمام عوامل موجود در گسترش تعداد را حذف می کنیم 75 و در بسط اعداد 210 (چنین ضرب کننده هایی هستند 3 و 5 ) سپس محصول فرم خواهد گرفت 2·3·5·5·7. مقدار این محصول برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد است 75 و 210 ، به این معنا که، NOC(75، 210)= 2·3·5·5·7=1050.

مثال.

شکستن اعداد 441 و 700 برای عوامل اول، کمترین مضرب مشترک این اعداد را پیدا کنید.

راه حل.

بیایید اعداد را تجزیه کنیم 441 و 700 به عوامل اصلی:

ما گرفتیم 441=3·3·7·7و 700=2·2·5·5·7.

حال بیایید یک محصول از همه عوامل دخیل در گسترش این اعداد ایجاد کنیم: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. اجازه دهید همه عواملی را که به طور همزمان در هر دو بسط وجود دارند از این محصول حذف کنیم (فقط یک عامل وجود دارد - این تعداد 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7. بدین ترتیب، LCM(441، 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

پاسخ:

NOC(441، 700)= 44 100.

قانون یافتن LCM با استفاده از فاکتورسازی اعداد به ضرایب اول را می توان کمی متفاوت فرموله کرد. اگر به عوامل حاصل از بسط یک عدد آعوامل گمشده را از بسط اعداد اضافه کنید ب، سپس مقدار حاصلضرب برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد خواهد بود آو ب .

به عنوان مثال، بیایید همه اعداد یکسان را در نظر بگیریم 75 و 210 فاکتورسازی آنها به عوامل اول به شرح زیر است: 75=3·5·5و 210=2·3·5·7. به عوامل 3 , 5 و 5 از بسط یک عدد 75 2 و 7 از بسط یک عدد 210 ، محصول را دریافت می کنیم 2·3·5·5·7، که ارزش آن است NOC(75، 210).

مثال.

کمترین مضرب مشترک اعداد را پیدا کنید 84 و 648 .

راه حل.

ابتدا تجزیه اعداد را بدست می آوریم 84 و 648 به عوامل اصلی به نظر می رسند 84=2·2·3·7و 648=2·2·2·3·3·3·3·3. به ضرب کننده ها 2 , 2 , 3 و 7 از بسط یک عدد 84 ضریب های گم شده را اضافه کنید 2 , 3 , 3 و 3 از بسط یک عدد 648 ، محصول را دریافت می کنیم 2·2·2·3·3·3·3·7، که برابر است 4 536 . بنابراین، حداقل مضرب مشترک مورد نظر از اعداد 84 و 648 برابر است 4 536 .

پاسخ:

LCM(84, 648)=4,536.

نمایش یک عدد به عنوان حاصل ضرب اعداد اول نامیده می شود با فاکتورگیری این عدد در فاکتورهای اول.

به عنوان مثال، نوشتن 110 = 2 5 11 به این معنی است که عدد 110 در فاکتورهای اول 2، 5 و 11 فاکتور می شود.

به طور کلی هر عدد ترکیبی را می توان به ضرایب اول تجزیه کرد و با هر روشی اگر ترتیب ضرایب را در نظر نگیرید همان تجزیه به دست می آید. بنابراین، نمایش های عدد 110 به صورت حاصلضرب 2 · 5 · 11 یا حاصلضرب 5 · 2 · 11 در اصل همان تجزیه عدد 110 به عوامل اول هستند.

هنگام تجزیه اعداد به ضرایب اول، با استفاده از علائم تقسیم بر 2، 3، 5 و غیره، روش نوشتن تجزیه یک عدد به ضریب اول را به یاد بیاوریم. مثلا عدد 720 را به ضرایب اول تجزیه کنیم عدد 720 بر 2 بخش پذیر است یعنی 2 یکی از عوامل اول در تجزیه عدد 720 است 720 را بر 2 تقسیم کنید عدد 2 نوشته می شود در سمت راست علامت مساوی و ضریب 360 زیر عدد 720 نوشته شده است. عدد 360 را بر 2 تقسیم می کنیم، عدد 180 را به دست می آوریم. 45 بر 3 می گیریم 15، 15 را بر 3 تقسیم می کنیم، 5 می گیریم. عدد 5 اول است، وقتی آن را بر 5 تقسیم کنیم، 1 می شود. فاکتورسازی کامل است.

720 = 2 2 2 2 3 3 5

حاصلضرب ضرایب یکسان معمولاً با یک توان جایگزین می شود: 720 = 5. این نمایش عدد 720 نامیده می شود. دیدگاه متعارفاین شماره.

برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک آن، از فاکتورگیری یک عدد در ضرایب اول استفاده می شود.

بیایید مثلاً بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک اعداد 3600 و 288 را پیدا کنیم.

بیایید هر یک از این اعداد را به شکل متعارف نشان دهیم.

3600 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 = · · ; 288 = 2 2 2 2 2 3 3 =

در فاکتورسازی اول بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 3600 و 288، همه باید گنجانده شوند. ضرب اعداد اول مشترک،که در بسط های این اعداد موجود است و هر کدام باید از آنها گرفته شود کمترین نرخکه با آن وارد هر دو بسط می شود. بنابراین بسط بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 3600 و 288 شامل عوامل و . بنابراین D (3600؟ 288) = · = 144.

فاکتور اول حداقل مضرب مشترک 3600 و 288 باید شامل همه ضرایب اول موجود در حداقل در یکیاز بسط های اعداد 3600 و 288 و هر کدام را باید گرفت با بالاترین نرخ،در هر دو بسط این اعداد گنجانده شده است. بنابراین، بسط حداقل مضرب مشترک 3600 و 288 شامل عوامل , , 5 می شود.

K (3600، 288) = · · 5 = 7200.

به طور کلی، برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد داده شده:

2) حاصل ضرب ضرایب اول مشترک برای همه اعداد داده شده را تشکیل می دهیم و هر یک از آنها را با کوچکترین توانی که با آن در همه بسط های این اعداد گنجانده شده است، می گیریم.

3) مقدار این محصول را بیابید - بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد خواهد بود.

برای پیدا کردن کمترین مضرب مشترک اعداد داده شده:

1) ما هر عدد داده شده را به شکل متعارف نشان می دهیم.

2) از تمام عوامل اولی که در بسط این اعداد یافت می شوند، یک حاصل ضرب می گیریم و هر کدام را با بالاترین توانی که در همه بسط های اعداد داده شده شامل می شود، می گیریم.

3) مقدار این محصول را بیابید - کمترین مضرب مشترک این اعداد خواهد بود.

بیایید به دو روش برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک نگاه کنیم.

یافتن با فاکتورسازی

روش اول یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک با فاکتورگیری اعداد داده شده در ضرایب اول است.

برای یافتن gcd چند عدد کافی است آنها را به ضرایب اول تجزیه کرده و آنهایی را که در همه اعداد داده شده مشترک است در بین خود ضرب کنیم.

مثال 1.بیایید GCD (84، 90) را پیدا کنیم.

اعداد 84 و 90 را به عوامل اول تبدیل می کنیم:

بنابراین، ما تمام فاکتورهای اول مشترک را برجسته کرده ایم، تنها چیزی که باقی می ماند این است که آنها را با هم ضرب کنیم: 1 · 2 · 3 = 6.

بنابراین، GCD (84، 90) = 6.

مثال 2.بیایید GCD را پیدا کنیم (15، 28).

15 و 28 را در فاکتورهای اول فاکتور می کنیم:

اعداد 15 و 28 نسبتاً اول هستند زیرا بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها یک است.

GCD (15، 28) = 1.

الگوریتم اقلیدس

روش دوم (که روش دیگر اقلیدسی نامیده می شود) یافتن GCD با تقسیم ترتیبی است.

ابتدا به این روش نگاه می کنیم که فقط برای دو عدد داده شده اعمال می شود و سپس نحوه اعمال آن را برای سه عدد یا بیشتر بررسی خواهیم کرد.

اگر بزرگتر از دو عدد داده شده بر کوچکتر بخش پذیر باشد، عدد کوچکتر بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها خواهد بود.

مثال 1.بیایید دو عدد 27 و 9 را در نظر بگیریم. از آنجایی که 27 بر 9 بخش پذیر است و 9 بر 9 بخش پذیر است، به این معنی است که 9 مقسوم علیه مشترک اعداد 27 و 9 است. این مقسوم علیه در عین حال بزرگترین است، زیرا 9 نمی تواند باشد. تقسیم بر هر عدد، بزرگتر از 9. بنابراین، gcd (27، 9) = 9.

در موارد دیگر، برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد، از روش زیر استفاده کنید:

1. از دو عدد داده شده، عدد بزرگتر بر عدد کوچکتر تقسیم می شود.
2. سپس عدد کوچکتر بر باقیمانده حاصل از تقسیم عدد بزرگتر بر عدد کوچکتر تقسیم می شود.
3. سپس باقیمانده اول بر باقیمانده دوم تقسیم می شود که از تقسیم عدد کوچکتر بر باقی مانده اول حاصل می شود.
4. باقی مانده دوم بر سوم تقسیم می شود که از تقسیم باقی مانده اول بر دوم و غیره به دست می آید.
5. بنابراین، تقسیم تا زمانی ادامه می یابد که باقیمانده صفر شود. آخرین مقسوم علیه بزرگترین مقسوم علیه مشترک خواهد بود.

مثال 2.بیایید بزرگترین مقسوم علیه اعداد 140 و 96 را پیدا کنیم:

1) 140: 96 = 1 (باقيمانده 44)

2) 96: 44 = 2 (باقی مانده 8)

3) 44: 8 = 5 (باقيمانده 4)

آخرین مقسوم علیه 4 است - این بدان معنی است که gcd (140، 96) = 4.

تقسیم متوالی را می توان در یک ستون نیز نوشت:

برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک سه عدد یا بیشتر، از روش زیر استفاده می کنیم:

1. ابتدا بزرگترین مقسوم علیه مشترک هر دو عدد را از چندین داده پیدا می کنیم.
2. سپس gcd مقسوم علیه پیدا شده و یک عدد سوم داده شده را پیدا می کنیم.
3. سپس gcd آخرین مقسوم علیه پیدا شده و چهارمین عدد داده شده را پیدا می کنیم و به همین ترتیب.

مثال 3.بیایید بزرگترین مقسوم علیه اعداد 140، 96 و 48 را پیدا کنیم. قبلاً gcd اعداد 140 و 96 را در مثال قبلی پیدا کردیم (این عدد 4 است). باقی مانده است که بزرگترین مقسوم علیه عدد 4 و سومین عدد داده شده - 48 را پیدا کنیم:

48 بدون باقیمانده بر 4 بخش پذیر است. بنابراین، gcd (140، 96، 48) = 4.