Tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą. Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis pateks į tam tikrą intervalą

Tikimybė patekti į tam tikrą normalaus atsitiktinio dydžio intervalą

Jau žinoma, kad jei atsitiktinis dydis X yra duotas pasiskirstymo tankiu f (x), tai tikimybė, kad X įgaus reikšmę, priklausančią intervalui (a, b), yra tokia:

Tegu atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal normalųjį dėsnį. Tada tikimybė, kad X įgis reikšmę, priklausančią intervalui (a,b), yra lygi

Paverskime šią formulę, kad galėtumėte naudoti paruoštas lenteles. Įveskime naują kintamąjį z = (x-a)/--s. Vadinasi, x = sz+a, dx = sdz . Raskime naujas integracijos ribas. Jei x= a, tai z=(a-a)/--s; jei x \u003d b, tada z \u003d (b-a) / - s.

Taigi, mes turime

Naudojant Laplaso funkciją

pagaliau gauname

Atsitiktinio įvykio tikimybės apskaičiavimas

14 dalių partijoje yra 2 nestandartinės dalys. Atsitiktinai atrenkamos 3 prekės. Sudarykite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį - standartinių dalių skaičių tarp pasirinktų. Raskite skaitines charakteristikas, . Sprendimas aišku...

Kalio juostelių atsparumo tempimui tyrimas

Jie sako...

Nežinomų paskirstymo parametrų įvertinimo metodai

Jeigu atsitiktinis dydis X yra duotas pasiskirstymo tankiu, tai tikimybė, kad X įgaus intervalui priklausančią reikšmę, yra tokia: Tegu atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal normalųjį dėsnį. Tada tikimybė, kad X įgis reikšmę...

Nuolatinis atsitiktinis dydis

Atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo funkcija F(x) taške x yra tikimybė, kad dėl eksperimento atsitiktinis dydis įgis mažesnę nei x reikšmę, t.y. F(x)=P(X< х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0...

Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai. Normalaus paskirstymo dėsnis

Žinodami pasiskirstymo tankį, galime apskaičiuoti tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, priklausančią tam tikram intervalui. Skaičiavimas pagrįstas tokia teorema. Teorema. Tikimybė, kad...

Galutinis matematinis lūkestis mx=5 Standartinis nuokrypis yx=3 Imties dydis n=335 Pasitikėjimo tikimybė r=0,95 Reikšmingumo lygis Atrinktų verčių skaičius N=13 Atsitiktinio dydžio modeliavimas...

Statinis sistemos modeliavimas

Statinis sistemos modeliavimas

3. Atsitiktinio proceso statistinių charakteristikų įvertinimas Užduotys nustatomos pagal skyrius ...

Statinis sistemos modeliavimas

Pasiskirstymas: f(x)=b(3-x), b>0 1 pasiskirstymo ribos

Statinis sistemos modeliavimas

Kas yra atsitiktinis dydis

Atsitiktinių dydžių tikimybių teorija Aukščiau pateiktos atsitiktinių dydžių pasiskirstymo taisyklės galioja tik diskrečiųjų dydžių atžvilgiu, nes ...

Tikimybių teorijos elementai

Panagrinėkime svarbią problemą praktinio pritaikymo požiūriu. Tegul yra nuolatinis atsitiktinis dydis, kurio pasiskirstymo tankis. Mus domina su ryšiu susieto kiekio pasiskirstymo tankio nustatymo problema: ...

NUOLATINIŲ ATSITIKTINIŲ KINTAMŲJŲ PASKIRSTYMO DĖSĖS NUSTATYMO FORMOS

DISKRETINIŲ ATSITIKTINIŲ KINTAMŲJŲ PASKIRSTYMO DĖSNIŲ NUSTATYMO FORMOS

1). Paskirstymo lentelė (eilutė). - paprasčiausia diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnio nustatymo forma.

Kadangi lentelėje pateikiamos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės.

2). Paskirstymo daugiakampis . Grafiniame pasiskirstymo serijos vaizde stačiakampėje koordinačių sistemoje visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės brėžiamos išilgai abscisių ašies, o atitinkamos tikimybės – išilgai ordinačių ašies. Tada uždedami taškai ir sujungiami tiesia linija. Gauta figūra – pasiskirstymo daugiakampis – taip pat yra tam tikra forma, nurodanti diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnį.

3). paskirstymo funkcija - tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X įgis mažesnę reikšmę nei koks nors nurodytas x, t.y.

.

Geometriniu požiūriu tai gali būti laikoma tikimybe pataikyti į atsitiktinį tašką Xį skaitinės ašies atkarpą, esančią fiksuoto taško kairėje X.

2) ; ;

2.1 užduotis. Atsitiktinė vertė X- smūgių į taikinį skaičius 3 šūviais (žr. 1.5 užduotį). Sukurkite skirstinio eilutę, pasiskirstymo daugiakampį, apskaičiuokite pasiskirstymo funkcijos reikšmes ir sukurkite jos grafiką.

Sprendimas:

1) Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo eilė X pateiktos lentelėje

At	,
At	,
At	,
At
adresu	.

Brėžimas išilgai vertės abscisės X, o išilgai y ašies - reikšmės ir pasirinkę tam tikrą skalę, gauname pasiskirstymo funkcijos grafiką (2.2 pav.). Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija turi šuolius (nutrūkimus) tuose taškuose, kuriuose atsitiktinis kintamasis Xįgauna konkrečias reikšmes, nurodytas paskirstymo lentelėje. Visų pasiskirstymo funkcijos šuolių suma lygi vienetui.

Ryžiai. 2.2 – Diskrečiųjų reikšmių paskirstymo funkcija

1). paskirstymo funkcija .

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui pasiskirstymo funkcijos grafikas (2.3 pav.) turi lygiosios kreivės formą.

Paskirstymo funkcijos savybės:

c) jei .

Ryžiai. 2.3 – Tolydžios vertės pasiskirstymo funkcija

2). Pasiskirstymo tankis apibrėžtas kaip skirstinio funkcijos išvestinė, t.y.

.

Kreivė, vaizduojanti atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį, vadinamas pasiskirstymo kreivė (2.4 pav.).

Tankio savybės:

ir tie. tankis yra neneigiama funkcija;

b), t.y. plotas ribotas pasiskirstymo kreivė o x ašis visada yra 1.

Jei visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės X uždara viduje a prieš b, tada antroji tankio savybė įgauna tokią formą:

Ryžiai. 2.4 – pasiskirstymo kreivė

Praktikoje dažnai reikia žinoti tikimybę, kad atsitiktinis dydis Xįgis reikšmę tam tikrame diapazone, pvz., nuo a iki b. Norima tikimybė už diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X nustatoma pagal formulę

kadangi bet kurios vienos tolydžio atsitiktinio dydžio reikšmės tikimybė lygi nuliui: .

Tikimybė pataikyti į nuolatinį atsitiktinį kintamąjį X intervale (a,b) taip pat nustatoma išraiška:

2.3 užduotis. Atsitiktinė vertė X duota paskirstymo funkcijos

Raskite tankį , taip pat tikimybę, kad atlikus testą atsitiktinis kintamasis X ims reikšmę, esančią intervale .

Sprendimas:

2. Tikimybė pataikyti į atsitiktinį kintamąjį X intervale nustatoma pagal formulę. Imdami ir randame

Kaip svetainėje įterpti matematines formules?

Jei kada nors prireiks prie tinklalapio pridėti vieną ar dvi matematines formules, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių, kuriuos Wolfram Alpha automatiškai generuoja, pavidalu. Be paprastumo, šis universalus metodas padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemose. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet morališkai pasenęs.

Jei savo svetainėje nuolat naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią „JavaScript“ biblioteką, kuri rodo matematinius žymėjimus žiniatinklio naršyklėse, naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą.

Yra du būdai pradėti naudoti MathJax: (1) naudodami paprastą kodą, galite greitai prijungti prie savo svetainės MathJax scenarijų, kuris tinkamu metu bus automatiškai įkeltas iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) įkelkite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas yra sudėtingesnis ir reikalaujantis daug laiko ir leis jums pagreitinti jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba iš dokumentacijos puslapio:

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, geriausia tarp žymų Ir arba iškart po žymos . Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai seka ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įvesite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įklijuosite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prijungti „MathJax“ yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją įkėlimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau šablono pradžia (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasiruošę į savo tinklalapius įdėti matematines formules.

Bet koks fraktalas statomas pagal tam tikrą taisyklę, kuri nuosekliai taikoma neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodus kubus. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Pasirodo, rinkinys susideda iš 20 likusių mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą neribotą laiką, gauname Menger kempinę.

Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją X, laikantis normalaus paskirstymo įstatymo:

pakeičiame integralą ir pateikiame jį į formą:

.

Integralinis nėra išreiškiamas elementariomis funkcijomis, bet gali būti apskaičiuotas naudojant specialią funkciją, kuri išreiškia apibrėžtąjį išraiškos integralą arba . Mes išreiškiame funkciją per Laplaso funkciją Ф(х):

.

Tikimybė pataikyti į atsitiktinį kintamąjį X svetainėje (α, β) išreiškiama formule:

.

Naudojant paskutinę formulę, galima įvertinti tikimybę, kad normalus atsitiktinis dydis nukryps nuo jo matematinio lūkesčio iš anksto nustatyta, savavališkai maža teigiama reikšme ε:

.

Leiskite , tada ir . At t=3 gauname , t.y. atvejis, kai normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo matematinio lūkesčio bus mažesnis už , yra praktiškai tikras.

Štai kas trijų sigmų taisyklė: jei atsitiktinis dydis yra normaliai paskirstytas, tada jo reikšmių nuokrypio nuo matematinio lūkesčio absoliuti vertė neviršija standartinio nuokrypio tris kartus.

Užduotis. Tegul dirbtuvėje pagamintos detalės skersmuo yra atsitiktinis dydis, paskirstytas normaliai, m = 4,5 cm, cm Raskite tikimybę, kad atsitiktinai paimtos detalės skersmens dydis skiriasi nuo jos matematinio lūkesčio ne daugiau kaip 1 mm.

Sprendimas. Šiai problemai būdingos šios parametrų reikšmės, kurios lemia pageidaujamą tikimybę: , , F(0,2) = 0,0793,

Kontroliniai klausimai

1. Koks tikimybių skirstinys vadinamas vienodu?

2. Kokia yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos forma, tolygiai paskirstyta intervale [ A; b]?

3. Kaip apskaičiuoti tikimybę, kad tam tikrame intervale pataikys į tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio reikšmes?

4. Kaip nustatomas atsitiktinio dydžio eksponentinis skirstinys?

5. Kokia yra atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal eksponentinį dėsnį, pasiskirstymo funkcija?

6. Koks tikimybių skirstinys vadinamas normaliuoju?

7. Kokias savybes turi normaliojo skirstinio tankis? Kaip normaliojo skirstinio parametrai įtakoja normalaus pasiskirstymo tankio grafiko išvaizdą?

8. Kaip apskaičiuoti tikimybę, kad normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio reikšmės pateks į tam tikrą intervalą?

9. Kaip apskaičiuoti normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio reikšmių nukrypimo nuo jo matematinio lūkesčio tikimybę?

10. Suformuluokite „trijų sigmų“ taisyklę?

11. Kokie yra atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal vienodą intervalo dėsnį, matematinė prognozė, dispersija ir standartinis nuokrypis [ A; b]?

12. Kokie yra atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal eksponentinį dėsnį su parametru λ, matematinė tikėtis, dispersija ir standartinis nuokrypis?

13. Kokie yra atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal normalųjį dėsnį su parametrais, matematinė tikėtis, dispersija ir standartinis nuokrypis m Ir ?

Kontrolės užduotys

1. Atsitiktinis kintamasis X pasiskirstę tolygiai intervale [−3, 5]. Raskite pasiskirstymo tankį ir pasiskirstymo funkciją X. Nubraižykite abiejų funkcijų grafikus. Raskite tikimybes ir . Apskaičiuokite matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį X.

2. Maršruto Nr. 21 autobusai važiuoja reguliariai su 10 minučių intervalu. Keleivis išvažiuoja stotelėje atsitiktiniu laiku. Mes laikome atsitiktinį kintamąjį X− autobuso keleivio laukimo laikas (minutėmis). Raskite pasiskirstymo tankį ir pasiskirstymo funkciją X. Nubraižykite abiejų funkcijų grafikus. Raskite tikimybę, kad keleiviui autobuso teks laukti ne ilgiau kaip penkias minutes. Raskite vidutinį autobuso laukimo laiką ir autobuso laukimo laiko dispersiją.

3. Nustatyta, kad VCR remonto laikas (dienomis) yra atsitiktinis dydis X, paskirstytas pagal eksponentinį dėsnį. Vidutinis vaizdo grotuvo remonto laikas yra 10 dienų. Raskite pasiskirstymo tankį ir pasiskirstymo funkciją X. Nubraižykite abiejų funkcijų grafikus. Raskite tikimybę, kad vaizdo grotuvo taisymas užtruks mažiausiai 11 dienų.

4. Nubraižykite atsitiktinio dydžio tankio ir pasiskirstymo funkcijas X, paskirstytas pagal normalųjį dėsnį su parametrais m= = − 2 ir = 0,2.

Daugelyje problemų, susijusių su normaliai paskirstytais atsitiktiniais dydžiais, būtina nustatyti tikimybę, kad atsitiktinis dydis , paklūstantis normaliajam dėsniui su parametrais , patenka į intervalą nuo iki . Norėdami apskaičiuoti šią tikimybę, naudojame bendrą formulę

kur yra kiekio pasiskirstymo funkcija .

Raskime atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal normalųjį dėsnį su parametrais, pasiskirstymo funkciją. Vertės pasiskirstymo tankis yra toks:

. (6.3.2)

Iš čia randame paskirstymo funkciją

. (6.3.3)

Padarykime kintamojo pakeitimą integralu (6.3.3)

ir perkelkite į formą:

(6.3.4)

Integralas (6.3.4) neišreiškiamas elementariomis funkcijomis, bet gali būti apskaičiuojamas naudojant specialią funkciją, kuri išreiškia apibrėžtąjį išraiškos integralą arba (vadinamasis tikimybių integralas), kuriai sudaromos lentelės . Yra daug tokių funkcijų rūšių, pavyzdžiui:

;

ir tt Kurią iš šių funkcijų naudoti – skonio reikalas. Mes pasirinksime kaip tokią funkciją

. (6.3.5)

Nesunku pastebėti, kad ši funkcija yra ne kas kita, kaip normaliai paskirstyto atsitiktinio kintamojo su parametrais paskirstymo funkcija.

Sutinkame funkciją vadinti normalaus skirstinio funkcija. Priede (1 lentelė) pateiktos funkcijų reikšmių lentelės.

Dydžio pasiskirstymo funkciją (6.3.3) išreikškime parametrais ir normaliojo pasiskirstymo funkcija . Akivaizdu,

. (6.3.6)

Dabar suraskime tikimybę pataikyti į atsitiktinį kintamąjį segmente nuo iki . Pagal (6.3.1) formulę

Taigi išreiškėme tikimybę, kad atsitiktinis dydis , paskirstytas pagal normalųjį dėsnį su bet kuriais parametrais, pateks į diagramą pagal standartinio skirstinio funkciją , atitinkančią paprasčiausią normalųjį dėsnį, kurio parametrai yra 0,1. Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos argumentai formulėje (6.3.7) turi labai paprastą reikšmę: yra atstumas nuo dešiniojo atkarpos galo iki sklaidos centro, išreiškiamas standartiniais nuokrypiais; - toks pat atstumas kairiajam atkarpos galui, ir šis atstumas laikomas teigiamu, jei galas yra dešinėje nuo sklaidos centro, ir neigiamu, jei jis yra kairėje.

Kaip ir bet kuri paskirstymo funkcija, funkcija turi šias savybes:

3. - nemažėjanti funkcija.

Be to, iš normaliojo skirstinio simetrijos su parametrais apie kilmę išplaukia, kad

Naudojant šią savybę, iš tikrųjų būtų galima apriboti funkcijų lenteles tik teigiamomis argumento reikšmėmis, tačiau siekiant išvengti nereikalingos operacijos (atėmimo iš vienos), priedo 1 lentelėje pateikiamos vertės tiek teigiamų, tiek neigiamų argumentų.

Praktikoje dažnai susiduriama su tikimybės, kad normaliai paskirstytas atsitiktinis kintamasis pateks į sritį, kuri yra simetriška sklaidos centrui, apskaičiavimo problema. Apsvarstykite tokią ilgio atkarpą (6.3.1 pav.). Apskaičiuokime tikimybę patekti į šią svetainę naudodami formulę (6.3.7):

Atsižvelgdami į funkcijos savybę (6.3.8) ir suteikę kairiajai formulės (6.3.9) pusei kompaktiškesnę formą, gauname atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal normalųjį dėsnį, tikimybės formulę. atkarpa, simetriška sklaidos centro atžvilgiu:

. (6.3.10)

Išspręskime šią problemą. Atidėkime nuoseklius ilgio segmentus nuo sklaidos centro (6.3.2 pav.) ir apskaičiuokime tikimybę, kad į kiekvieną iš jų pateks atsitiktinis dydis. Kadangi normaliojo dėsnio kreivė yra simetriška, tokius segmentus pakanka atidėti tik viena kryptimi.

Pagal formulę (6.3.7) randame:

(6.3.11)

Kaip matyti iš šių duomenų, tikimybė pataikyti kiekvieną iš sekančių atkarpų (penktą, šeštą ir kt.) 0,001 tikslumu yra lygi nuliui.

Suapvalinus segmentų pataikymo tikimybę iki 0,01 (iki 1%), gauname tris lengvai įsimenamus skaičius:

0,34; 0,14; 0,02.

Šių trijų verčių suma yra 0,5. Tai reiškia, kad normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio visos dispersijos (iki procento dalių) telpa į sekciją.

Tai leidžia, žinant atsitiktinio dydžio standartinį nuokrypį ir matematinį tikėjimą, apytiksliai nurodyti jo praktiškai galimų dydžių diapazoną. Šis atsitiktinio dydžio galimų verčių diapazono įvertinimo metodas matematinėje statistikoje žinomas kaip „trijų sigmų taisyklė“. Trijų sigmų taisyklė taip pat reiškia apytikslį atsitiktinio dydžio standartinio nuokrypio nustatymo metodą: jie ima didžiausią praktiškai įmanomą nuokrypį nuo vidurkio ir padalija jį iš trijų. Žinoma, šis apytikslis metodas gali būti rekomenduojamas tik tuo atveju, jei nėra kitų tikslesnių būdų nustatyti .

1 pavyzdys. Atsitiktinis dydis , paskirstytas pagal normalųjį dėsnį, yra klaida matuojant tam tikrą atstumą. Matuojant leidžiama sisteminė paklaida pervertinimo kryptimi 1,2 (m); matavimo paklaidos standartinis nuokrypis yra 0,8 (m). Raskite tikimybę, kad išmatuotos vertės nuokrypis nuo tikrosios vertės neviršija 1,6 (m) absoliučia verte.

Sprendimas. Matavimo paklaida yra atsitiktinis dydis, atitinkantis normalųjį dėsnį su parametrais ir . Turime rasti tikimybę, kad šis dydis patenka į intervalą nuo iki . Pagal formulę (6.3.7) turime:

Naudodami funkcijų lenteles (priedas, 1 lentelė) randame:

; ,

2 pavyzdys. Raskite tokią pat tikimybę kaip ir ankstesniame pavyzdyje, tačiau su sąlyga, kad nėra sisteminės klaidos.

Sprendimas. Pagal formulę (6.3.10), darydami prielaidą, randame:

.

3 pavyzdys. Į taikinį, kuris atrodo kaip juosta (autostrada), kurio plotis yra 20 m, šaudoma statmena greitkeliui kryptimi. Taikymas atliekamas išilgai greitkelio vidurio linijos. Šaudymo krypties standartinis nuokrypis lygus m. Yra sisteminė šūvio krypties paklaida: apatinis šūvis yra 3 m. Raskite tikimybę vienu šūviu atsitrenkti į greitkelį.