نحوه حل معادله 9. معادلات آنلاین
استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده و از آن زمان استفاده از آنها تنها افزایش یافته است. حل معادلات پایه نهم شامل استفاده از روش‌های مختلف حل است: روش‌های جمع‌آوری گرافیکی، جبری، معرفی متغیرهای جدید، استفاده از توابع و تبدیل معادلات از یک شکل به شکل ساده‌تر و موارد دیگر. روش حل معادله بر اساس داده های اولیه انتخاب می شود، بنابراین بهتر است روش ها به وضوح با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل شوند.
فرض کنید معادله ای به شکل زیر به ما داده شود:
\[\frac (18)(x^2-6x)-\frac(12)(x^2+6x)=\frac (1)(x)\]
برای حل این معادله، سمت چپ و راست را بر \ تقسیم کنید
\[\frac(18)(x-6)-\frac(12)(x+6)=1\]
\[\frac (6x+180)(x^2-36)=1\]
دو ریشه حاصل راه حل این معادله است.
بیایید معادله را حل کنیم:
\[ (x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0 \]
شما باید مجموع تمام ریشه های این معادله را پیدا کنید. برای انجام این کار، باید جایگزین کنید:
ریشه های این معادله 2 عدد خواهد بود: -1 و 4. بنابراین:
\[\begin(bmatrix) x^2-2x=-1\\ x^2-2x=4 \end(bmatrix)\] \[\begin(bmatrix) x=1\\ x=1\pm\sqrt5 \end(bmatrix)\]
مجموع هر 3 ریشه 4 است که در حل این معادله پاسخ خواهد بود.
کجا می توانم معادلات را به صورت آنلاین پایه نهم حل کنم؟
شما می توانید معادله را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما یاد بگیرید. و اگر سوالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک کنیم.
معادله ای با یک مجهول که پس از باز کردن پرانتزها و کاهش عبارت های مشابه، شکل می گیرد
تبر + b = 0، جایی که a و b اعداد دلخواه هستند، فراخوانی می شود معادله خطی با یک ناشناخته امروز نحوه حل این معادلات خطی را خواهیم فهمید.
به عنوان مثال، تمام معادلات:
2x + 3 \u003d 7 - 0.5x. 0.3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - خطی.
مقدار مجهولی که معادله را به یک برابری واقعی تبدیل می کند نامیده می شود تصمیم گیری یا ریشه معادله .
به عنوان مثال، اگر در معادله 3x + 7 \u003d 13 عدد 2 را به جای مجهول x جایگزین کنیم، برابری صحیح 3 2 + 7 \u003d 13 را به دست می آوریم. بنابراین، مقدار x \u003d 2 راه حل است یا ریشه معادله
و مقدار x \u003d 3 معادله 3x + 7 \u003d 13 را به یک برابری واقعی تبدیل نمی کند، زیرا 3 2 + 7 ≠ 13. بنابراین، مقدار x \u003d 3 راه حل یا ریشه معادله نیست.
حل هر معادله خطی به حل معادلات فرم تقلیل می یابد
تبر + b = 0.
عبارت آزاد را از سمت چپ معادله به سمت راست منتقل می کنیم، در حالی که علامت جلوی b را به مخالف تغییر می دهیم، به دست می آید.
اگر a ≠ 0 باشد، x = – b/a .
مثال 1 معادله 3x + 2 =11 را حل کنید.
2 را از سمت چپ معادله به سمت راست منتقل می کنیم، در حالی که علامت مقابل 2 را به عکس تغییر می دهیم، به دست می آید.
3x \u003d 11 - 2.
پس بیایید تفریق را انجام دهیم
3x = 9.
برای پیدا کردن x، باید محصول را بر یک عامل شناخته شده تقسیم کنید، یعنی:
x = 9:3.
بنابراین مقدار x = 3 جواب یا ریشه معادله است.
پاسخ: x = 3.
اگر a = 0 و b = 0، سپس معادله 0x \u003d 0 را بدست می آوریم. این معادله بی نهایت راه حل دارد، زیرا وقتی هر عددی را در 0 ضرب می کنیم، 0 می گیریم، اما b نیز 0 است. راه حل این معادله هر عددی است.
مثال 2معادله 5 (x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 را حل کنید.
بیایید براکت ها را گسترش دهیم:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
در اینجا اعضای مشابه وجود دارد:
0x = 0.
پاسخ: x هر عددی است.
اگر a = 0 و b ≠ 0 باشد، سپس معادله 0x = - b را بدست می آوریم. این معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا وقتی هر عددی را در 0 ضرب می کنیم، 0 می گیریم، اما b ≠ 0 است.
مثال 3معادله x + 8 = x + 5 را حل کنید.
اجازه دهید عبارات حاوی مجهولات را در سمت چپ و اصطلاحات آزاد را در سمت راست گروه بندی کنیم:
x - x \u003d 5 - 8.
در اینجا اعضای مشابه وجود دارد:
0x = - 3.
پاسخ: راه حلی وجود ندارد.
بر شکل 1 طرحی برای حل معادله خطی نشان داده شده است
اجازه دهید یک طرح کلی برای حل معادلات با یک متغیر بسازیم. راه حل مثال 4 را در نظر بگیرید.
مثال 4 بیایید معادله را حل کنیم
1) تمام جمله های معادله را در کمترین مضرب مشترک مخرج ها، برابر با 12 ضرب کنید.
2) پس از کاهش می گیریم
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) برای جدا کردن اعضای حاوی اعضای مجهول و مجهول، پرانتزها را باز کنید:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) ما در یک قسمت اصطلاحات حاوی مجهولات را گروه بندی می کنیم و در قسمت دیگر - اصطلاحات رایگان:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) در اینجا اعضای مشابه وجود دارد:
- 22x = - 154.
6) تقسیم بر - 22، دریافت می کنیم
x = 7.
همانطور که می بینید، ریشه معادله هفت است.
به طور کلی، چنین معادلات را می توان به صورت زیر حل کرد:
الف) معادله را به شکل عدد صحیح بیاورید.
ب) پرانتز باز.
ج) عبارات حاوی مجهول را در یک قسمت معادله و عبارات آزاد را در قسمت دیگر گروه بندی کنید.
د) اعضای مشابه را بیاورید.
ه) معادله ای به شکل aх = b که پس از آوردن عبارت های مشابه به دست آمده را حل کنید.
با این حال، این طرح برای هر معادله مورد نیاز نیست. هنگام حل بسیاری از موارد دیگر معادلات سادهشما باید نه از اولی، بلکه از دومی شروع کنید ( مثال. 2)، سوم ( مثال. 13) و حتی از مرحله پنجم مانند مثال 5.
مثال 5معادله 2x = 1/4 را حل کنید.
ما مجهول x را پیدا می کنیم \u003d 1/4: 2،
x = 1/8 .
حل برخی از معادلات خطی که در آزمون دولتی اصلی با آن مواجه می شوند را در نظر بگیرید.
مثال 6معادله 2 (x + 3) = 5 - 6x را حل کنید.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
پاسخ: - 0.125
مثال 7معادله را حل کنید - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
پاسخ: 2.3
مثال 8 معادله را حل کنید
3 (3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
مثال 9اگر f (x + 2) = 3 7 است، f(6) را پیدا کنید
راه حل
از آنجایی که باید f(6) را پیدا کنیم، و f (x + 2) را می دانیم،
سپس x + 2 = 6.
معادله خطی x + 2 = 6 را حل می کنیم،
ما x \u003d 6 - 2، x \u003d 4 را دریافت می کنیم.
اگر x = 4 پس
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
جواب: 27.
اگر هنوز سؤالی دارید، تمایل دارید که با حل معادلات به طور کامل برخورد کنید، برای درس های من در برنامه ثبت نام کنید. من خوشحال خواهم شد که به شما کمک کنم!
TutorOnline همچنین توصیه می کند یک آموزش ویدیویی جدید از معلم ما اولگا الکساندرونا تماشا کنید، که به شما کمک می کند هم معادلات خطی و هم معادلات دیگر را درک کنید.
سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.
برای حل ریاضی سریع پیدا کنید حل معادلات ریاضیدر حالت برخط. وب سایت www.site اجازه می دهد معادله را حل کنیدتقریبا هر داده شده جبری, مثلثاتییا معادله ماورایی آنلاین. هنگام مطالعه تقریباً هر بخش از ریاضیات در مراحل مختلف، فرد باید تصمیم بگیرد معادلات آنلاین. برای دریافت فوری پاسخ، و مهمتر از همه یک پاسخ دقیق، به منبعی نیاز دارید که به شما امکان انجام این کار را بدهد. با تشکر از www.site حل معادلات آنلاینچند دقیقه طول خواهد کشید. مزیت اصلی www.site هنگام حل ریاضی معادلات آنلاین- سرعت و دقت پاسخ صادر شده است. سایت قادر به حل هر کدام است معادلات جبری آنلاین, معادلات مثلثاتی آنلاین, معادلات ماورایی آنلاین، و معادلاتبا پارامترهای ناشناخته در حالت برخط. معادلاتبه عنوان یک دستگاه ریاضی قدرتمند عمل می کند راه حل هاوظایف عملی با کمک معادلات ریاضیمی توان حقایق و روابطی را بیان کرد که ممکن است در نگاه اول گیج کننده و پیچیده به نظر برسد. مقادیر ناشناخته معادلاترا می توان با فرمول بندی مسئله در پیدا کرد ریاضیزبان در فرم معادلاتو تصميم گرفتنوظیفه دریافت شده در حالت برخطدر وب سایت www.site. هر معادله جبری, معادله مثلثاتییا معادلاتحاوی ماوراییبه راحتی شما را مشخص می کند تصميم گرفتنآنلاین و پاسخ درست را دریافت کنید. با مطالعه علوم طبیعی، ناگزیر با نیاز مواجه می شود حل معادلات. در این صورت پاسخ باید دقیق باشد و بلافاصله در حالت دریافت شود برخط. بنابراین، برای حل معادلات ریاضی به صورت آنلاینما سایت www.site را توصیه می کنیم که به ماشین حساب ضروری شما تبدیل می شود حل معادلات جبری به صورت آنلاین, معادلات مثلثاتی آنلاین، و معادلات ماورایی آنلاینیا معادلاتبا پارامترهای ناشناخته برای مشکلات عملی یافتن ریشه های مختلف معادلات ریاضیمنبع www.. حل معادلات آنلاینخودتان، بررسی پاسخ دریافتی با استفاده از آن مفید است حل معادلات آنلایندر وب سایت www.site. لازم است معادله را به درستی بنویسید و فورا بدست آورید راه حل آنلاین، پس از آن فقط پاسخ را با جواب معادله خود مقایسه کنید. بررسی پاسخ بیش از یک دقیقه طول نمی کشد، کافی است معادله را به صورت آنلاین حل کنیدو پاسخ ها را با هم مقایسه کنید این به شما کمک می کند تا از اشتباهات خود جلوگیری کنید تصمیم گیریو به موقع پاسخ را تصحیح کنید حل معادلات آنلاینیا جبری, مثلثاتی, متعالییا معادلهبا پارامترهای ناشناخته
معادلات درجه دوم در کلاس 8 مطالعه می شوند، بنابراین هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد. توانایی حل آنها ضروری است.
معادله درجه دوم معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 است که در آن ضرایب a , b و c اعداد دلخواه و a ≠ 0 هستند.
قبل از مطالعه روش های حل خاص، توجه می کنیم که تمام معادلات درجه دوم را می توان به سه کلاس تقسیم کرد:
- بدون ریشه؛
- آنها دقیقا یک ریشه دارند.
- آنها دو ریشه متفاوت دارند.
این یک تفاوت مهم بین معادلات درجه دوم و خطی است، جایی که ریشه همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. چگونه تعیین کنیم که یک معادله چند ریشه دارد؟ یک چیز شگفت انگیز برای این وجود دارد - ممیز.
ممیز
اجازه دهید معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 داده شود.سپس متمایز کننده به سادگی عدد D = b 2 − 4ac است.
این فرمول را باید از روی قلب دانست. الان از کجا آمده مهم نیست. یک چیز دیگر مهم است: با علامت تمایز می توانید تعیین کنید که یک معادله درجه دوم چند ریشه دارد. برای مثال:
- اگر D< 0, корней нет;
- اگر D = 0 باشد، دقیقاً یک ریشه وجود دارد.
- اگر D > 0 باشد، دو ریشه وجود خواهد داشت.
لطفاً توجه داشته باشید: متمایز کننده تعداد ریشه ها را نشان می دهد و اصلاً علائم آنها را نشان نمی دهد ، همانطور که به دلایلی بسیاری فکر می کنند. به مثال ها نگاه کنید و خودتان همه چیز را متوجه خواهید شد:
وظیفه. معادلات درجه دوم چند ریشه دارند:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 - 6 x + 9 = 0.
ضرایب معادله اول را می نویسیم و ممیز را پیدا می کنیم:
a = 1، b = -8، c = 12;
D = (-8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
بنابراین، ممیز مثبت است، بنابراین معادله دو ریشه متفاوت دارد. معادله دوم را به همین ترتیب تحلیل می کنیم:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
ممیز منفی است، هیچ ریشه ای وجود ندارد. آخرین معادله باقی می ماند:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
ممیز برابر با صفر است - ریشه یک خواهد بود.
توجه داشته باشید که برای هر معادله ضرایبی نوشته شده است. بله، طولانی است، بله، خسته کننده است - اما شما شانس را با هم مخلوط نمی کنید و مرتکب اشتباهات احمقانه نمی شوید. خودتان انتخاب کنید: سرعت یا کیفیت.
به هر حال، اگر "دست خود را پر کنید"، پس از مدتی دیگر نیازی به نوشتن همه ضرایب نخواهید داشت. شما چنین عملیاتی را در سر خود انجام خواهید داد. اکثر مردم از جایی بعد از 50-70 معادله حل شده شروع به انجام این کار می کنند - به طور کلی، نه چندان زیاد.
ریشه های یک معادله درجه دوم
حالا بیایید به سراغ راه حل برویم. اگر تفکیک کننده D > 0 باشد، ریشه ها را می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد:
فرمول اصلی برای ریشه های یک معادله درجه دوم
وقتی D = 0 باشد، می توانید از هر یک از این فرمول ها استفاده کنید - همان عدد را دریافت می کنید، که پاسخ خواهد بود. در نهایت، اگر D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
معادله اول:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.
D > 0 ⇒ معادله دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم:
معادله دوم:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ معادله دوباره دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \راست))=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]
در نهایت معادله سوم:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ معادله یک ریشه دارد. از هر فرمولی می توان استفاده کرد. مثلا اولی:
همانطور که از مثال ها می بینید، همه چیز بسیار ساده است. اگر فرمول ها را بلد باشید و بتوانید بشمارید مشکلی پیش نمی آید. اغلب، خطاها زمانی رخ می دهند که ضرایب منفی در فرمول جایگزین شوند. در اینجا، دوباره، تکنیک توضیح داده شده در بالا کمک خواهد کرد: به فرمول به معنای واقعی کلمه نگاه کنید، هر مرحله را رنگ کنید - و خیلی زود از شر اشتباهات خلاص شوید.
معادلات درجه دوم ناقص
این اتفاق می افتد که معادله درجه دوم تا حدودی با آنچه در تعریف ارائه شده است متفاوت است. مثلا:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
به راحتی می توان فهمید که یکی از اصطلاحات در این معادلات وجود ندارد. حل چنین معادلات درجه دوم حتی ساده تر از معادلات استاندارد است: آنها حتی نیازی به محاسبه تفکیک ندارند. پس بیایید یک مفهوم جدید را معرفی کنیم:
معادله ax 2 + bx + c = 0 یک معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود اگر b = 0 یا c = 0، یعنی. ضریب متغیر x یا عنصر آزاد برابر با صفر است.
البته، زمانی که هر دوی این ضرایب برابر با صفر باشند، یک مورد بسیار دشوار ممکن است: b \u003d c \u003d 0. در این حالت، معادله به شکل ax 2 \u003d 0 است. بدیهی است که چنین معادله ای دارای یک واحد است. ریشه: x \u003d 0.
بیایید موارد دیگر را در نظر بگیریم. بگذارید b \u003d 0 باشد، سپس یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 + c \u003d 0 به دست می آوریم. اجازه دهید کمی آن را تبدیل کنیم:
از آنجایی که جذر حسابی فقط از یک عدد غیرمنفی وجود دارد، آخرین تساوی فقط زمانی معنا پیدا می‌کند که (−c/a) ≥ 0 باشد. نتیجه‌گیری:
- اگر یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 + c = 0 نابرابری (-c / a ) ≥ 0 را برآورده کند، دو ریشه وجود خواهد داشت. فرمول بالا داده شده است؛
- اگر (-c/a)< 0, корней нет.
همانطور که می بینید، تمایز مورد نیاز نبود - هیچ محاسبات پیچیده ای در معادلات درجه دوم ناقص وجود ندارد. در واقع، حتی لازم نیست نابرابری (−c / a) ≥ 0 را به خاطر بسپارید. کافی است مقدار x 2 را بیان کنید و ببینید در طرف دیگر علامت مساوی چه چیزی وجود دارد. اگر یک عدد مثبت وجود داشته باشد، دو ریشه خواهد بود. اگر منفی باشد، هیچ ریشه ای وجود نخواهد داشت.
حال بیایید به معادلات شکل ax 2 + bx = 0 بپردازیم که در آن عنصر آزاد برابر با صفر است. همه چیز در اینجا ساده است: همیشه دو ریشه وجود خواهد داشت. کافی است چند جمله ای را فاکتورسازی کنیم:
خارج کردن عامل مشترک از براکتزمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. ریشه ها از اینجا می آید. در خاتمه، چندین مورد از این معادلات را تحلیل خواهیم کرد:
وظیفه. حل معادلات درجه دوم:
- x2 - 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = -(-7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. هیچ ریشه ای وجود ندارد، زیرا مربع نمی تواند برابر با یک عدد منفی باشد.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.
بارگذاری...
