Բաշխման պարամետրերի վիճակագրական գնահատում. Կետային գնահատում և դրա հատկությունները Բաշխման պարամետրերի վիճակագրական գնահատումներ օրինակներ

Մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ բաշխումները բնութագրվում են բազմաթիվ վիճակագրական պարամետրերով: Տարբեր ընտրանքային տվյալների հիման վրա անհայտ բաշխման պարամետրերի գնահատումը թույլ է տալիս կառուցել պատահական փոփոխականի բաշխումներ:

Գտեք բաշխման անհայտ պարամետրի վիճակագրական գնահատում - գտեք դիտարկված պատահական փոփոխականների ֆունկցիա, որը կտա գնահատված պարամետրի մոտավոր արժեքը:

Վիճակագրական գնահատականները կարելի է դասակարգել որպես անաչառ, կողմնակալ, արդյունավետ և հետևողական:

Սահմանում 1

Անաչառ գնահատական- վիճակագրական գնահատում $Q^*$, որը, ընտրանքի չափի ցանկացած արժեքի համար, ունի մաթեմատիկական ակնկալիք, որը հավասար է գնահատված պարամետրին, այսինքն.

Սահմանում 2

Կողմնակալ գնահատական-- վիճակագրական գնահատում $Q^*$, որը, ընտրանքի չափի ցանկացած արժեքի համար, ունի մաթեմատիկական ակնկալիք, որը հավասար չէ գնահատված պարամետրին, այսինքն.

Սահմանում 4

Հետևողական գնահատական- վիճակագրական գնահատում, որտեղ ընտրանքի չափը հակված է անսահմանության, հավանականությունը ձգտում է գնահատված $Q.$ պարամետրին:

Սահմանում 5

Հետևողական գնահատական- վիճակագրական գնահատում, որի դեպքում, քանի որ ընտրանքի չափը ձգտում է դեպի անսահմանություն, անաչառ գնահատականի շեղումը ձգտում է զրոյի:

Ընդհանուր և օրինակելի միջին ցուցանիշներ

Սահմանում 6

Ընդհանուր միջին- ընդհանուր բնակչության տարբերակի արժեքների միջին թվաբանականը:

Սահմանում 7

Նմուշի միջինը- ընտրանքի բնակչության արժեքների միջին թվաբանականը:

Ընդհանուր և օրինակելի միջին արժեքները կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերի միջոցով.

1. Եթե ​​$x_1,\ x_2,\dots, x_k$ տարբերակի արժեքները համապատասխանաբար ունեն $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$ հաճախականություններ, ապա

1. Եթե ​​$x_1, \ x_2, \ dots, x_k$ տարբերակի արժեքները տարբեր են, ապա

Այս հայեցակարգի հետ կապված է միջինից շեղման հայեցակարգը: Այս արժեքը հայտնաբերվում է հետևյալ բանաձևով.

Միջին շեղումն ունի հետևյալ հատկությունները.

$\sum(n_i\left(x_i-\overline(x)\right)=0)$

Միջին շեղումը զրոյական է:

Ընդհանուր, ընտրանքային և ուղղված շեղումներ

Մեկ այլ հիմնական պարամետրերից է ընդհանուր և ընտրանքային շեղումների հայեցակարգը.

Ընդհանուր տարբերություն.

Նմուշի տարբերություն.

Ընդհանուր և նմուշային ստանդարտ շեղումները նույնպես կապված են այս հասկացությունների հետ.

Ընդհանուր շեղումը գնահատելու համար ներկայացվում է շտկված շեղման հայեցակարգը.

Ներկայացված է նաև շտկված ստանդարտ շեղման հայեցակարգը.

Խնդրի լուծման օրինակ

Օրինակ 1

Բնակչությունը որոշվում է հետևյալ բաշխման աղյուսակով.

Նկար 1.

Եկեք դրա համար գտնենք ընդհանուր միջինը, ընդհանուր շեղումը, ընդհանուր ստանդարտ շեղումը, շտկված շեղումը և ուղղված ստանդարտ շեղումը:

Այս խնդիրը լուծելու համար մենք նախ կազմում ենք հաշվարկային աղյուսակ.

Նկար 2.

$\overline(x_в)$ արժեքը (նմուշի միջին) հայտնաբերվում է բանաձևով.

\[\ overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)\]

\[\ overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)=\frac(87)(30)=2.9\]

Եկեք գտնենք ընդհանուր տարբերությունը բանաձևով.

Ընդհանուր ստանդարտ շեղում.

\[(\sigma)_в=\sqrt(D_в)\մոտ 1.42\]

Ուղղված շեղում.

\[(S^2=\frac(n)(n-1)D)_в=\frac(30)(29)\cdot 2.023\մոտ 2.09\]

Ուղղված ստանդարտ շեղում:

Բնակչության պարամետրերի վիճակագրական գնահատականներ. Վիճակագրական վարկածներ

ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅՈՒՆ 16

Թող անհրաժեշտ լինի ուսումնասիրել ընդհանուր բնակչության քանակական բնութագիրը: Ենթադրենք, որ տեսական նկատառումներից ելնելով մենք կարողացել ենք ճշգրիտ որոշել, թե ինչ բաշխում ունի հատկանիշը: Սա բարձրացնում է այս բաշխումը որոշող պարամետրերի գնահատման խնդիրը: Օրինակ, եթե հայտնի է, որ ուսումնասիրվող բնութագիրը սովորական օրենքի համաձայն բաշխված է ընդհանուր բնակչության մեջ, ապա անհրաժեշտ է գնահատել (մոտավորապես գտնել) մաթեմատիկական ակնկալիքը և ստանդարտ շեղումը, քանի որ այս երկու պարամետրերն ամբողջությամբ որոշում են նորմալ բաշխումը։ . Եթե ​​հիմքեր կան ենթադրելու, որ բնութագիրը ունի Պուասոնի բաշխում, ապա անհրաժեշտ է գնահատել այն պարամետրը, որով որոշվում է այս բաշխումը:

Սովորաբար, բաշխման մեջ հետազոտողն ունի միայն նմուշային տվյալներ, օրինակ՝ քանակական բնութագրի արժեքներ, որոնք ստացվել են դիտարկումների արդյունքում (այսուհետ՝ դիտարկումները ենթադրվում են անկախ): Գնահատված պարամետրը արտահայտվում է այս տվյալների միջոցով:

Հաշվի առնելով որպես անկախ պատահական փոփոխականների արժեքներ , կարելի է ասել, որ տեսական բաշխման անհայտ պարամետրի վիճակագրական գնահատում գտնելը նշանակում է գտնել դիտարկվող պատահական փոփոխականների ֆունկցիա, որը տալիս է գնահատված պարամետրի մոտավոր արժեքը։ Օրինակ, ինչպես ցույց կտա ստորև, նորմալ բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքը գնահատելու համար օգտագործեք ֆունկցիան (հատկանիշի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը).

.

Այսպիսով, վիճակագրական գնահատումՏեսական բաշխման անհայտ պարամետրը կոչվում է դիտարկվող պատահական փոփոխականների ֆունկցիա։ Անհայտ պոպուլյացիայի պարամետրի վիճակագրական գնահատականը, որը գրված է որպես մեկ թիվ, կոչվում է կետ. Հաշվի առեք հետևյալ կետերի գնահատումները՝ կողմնակալ և անկողմնակալ, արդյունավետ և հետևողական:

Որպեսզի վիճակագրական գնահատումներն ապահովեն գնահատված պարամետրերի «լավ» մոտարկումները, դրանք պետք է բավարարեն որոշակի պահանջներ: Եկեք նշենք այս պահանջները:

Թող լինի տեսական բաշխման անհայտ պարամետրի վիճակագրական գնահատում: Ենթադրենք, որ ծավալը նմուշառելիս հայտնաբերվում է նախահաշիվ։ Կրկնենք փորձը, այսինքն՝ ընդհանուր պոպուլյացիայից կհանենք նույն չափի մեկ այլ նմուշ և դրա տվյալներով կգտնենք գնահատական ​​և այլն։ Փորձը բազմիցս կրկնելով՝ ստանում ենք թվերը , որոնք, ընդհանուր առմամբ, կտարբերվեն միմյանցից։ Այսպիսով, միավորը կարելի է դիտարկել որպես պատահական փոփոխական, իսկ թվերը - որպես դրա հնարավոր իմաստներ:

Հասկանալի է, որ եթե գնահատումը տալիս է ավելցուկով մոտավոր արժեք, ապա ընտրանքային տվյալներից հայտնաբերված յուրաքանչյուր թիվ ավելի մեծ կլինի, քան իրական արժեքը: Հետևաբար, այս դեպքում պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական (միջին արժեքը) ավելի մեծ կլինի, քան , այսինքն. Ակնհայտ է, որ եթե այն տալիս է մոտավոր արժեք թերության հետ, ապա .

Հետևաբար, վիճակագրական գնահատման օգտագործումը, որի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար չէ գնահատված պարամետրին, հանգեցնում է համակարգված (նույն նշանի) սխալների։ Այդ իսկ պատճառով բնական է պահանջել, որ գնահատման մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար լինի գնահատված պարամետրին: Թեև այս պահանջին համապատասխանելը, ընդհանուր առմամբ, չի վերացնի սխալները (որոշ արժեքներ ավելի մեծ են, իսկ մյուսները ավելի քիչ, քան), տարբեր նշանների սխալները տեղի կունենան նույնքան հաճախ: Այնուամենայնիվ, պահանջի կատարումը երաշխավորում է համակարգված սխալներ ստանալու անհնարինությունը, այսինքն՝ վերացնում է համակարգված սխալները։

Անաչառկոչվում է վիճակագրական գնահատում (սխալ), որի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ցանկացած ընտրանքի չափի գնահատված պարամետրին, այսինքն.

Տեղահանվածկոչվում է վիճակագրական գնահատում, որի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար չէ ցանկացած ընտրանքի չափի գնահատված պարամետրին, այսինքն.

Այնուամենայնիվ, սխալ կլինի ենթադրել, որ անաչառ գնահատականը միշտ ապահովում է գնահատվող պարամետրի լավ մոտարկում: Իրոք, հնարավոր արժեքները կարող են լայնորեն ցրված լինել իրենց միջին արժեքի շուրջ, այսինքն, ցրվածությունը կարող է նշանակալի լինել: Այս դեպքում, օրինակ, մեկ նմուշի տվյալներից հայտնաբերված գնահատականը կարող է պարզվել, որ շատ հեռու է միջին արժեքից և, հետևաբար, հենց գնահատված պարամետրից: Այսպիսով, ընդունելով որպես մոտավոր արժեք՝ մենք մեծ սխալ կգործենք։ Եթե ​​դուք պահանջում եք, որ շեղումը փոքր լինի, ապա մեծ սխալ թույլ տալու հնարավորությունը կբացառվի: Այդ իսկ պատճառով վիճակագրական գնահատումը ենթակա է արդյունավետության պահանջի:

Արդյունավետվիճակագրական գնահատական ​​է, որը (տվյալ ընտրանքի չափի համար) ունի ամենափոքր հնարավոր շեղումը:

Հարուստնրանք անվանում են վիճակագրական գնահատում, որը, ամենայն հավանականությամբ, ձգտում է գնահատված պարամետրին, այսինքն՝ հավասարությունը ճշմարիտ է.

.

Օրինակ, եթե անկողմնակալ գնահատականի շեղումը զրոյի է ձգտում, ապա այդպիսի գնահատականը նույնպես հետևողական է:

Դիտարկենք այն հարցը, թե որ ընտրանքի բնութագրիչները լավագույնս են գնահատում ընդհանուր միջինը և շեղումը անաչառության, արդյունավետության և հետևողականության տեսանկյունից:

Եկեք ուսումնասիրենք դիսկրետ ընդհանուր պոպուլյացիան՝ կապված որոշ քանակական բնութագրերի հետ:

Ընդհանուր միջնակարգկոչվում է ընդհանուր բնակչության բնորոշ արժեքների թվաբանական միջին: Այն հաշվարկվում է բանաձևով.

§ - եթե ընդհանուր ծավալի բնակչության բնութագրի բոլոր արժեքները տարբեր են.

§ - եթե ընդհանուր բնակչության բնութագրիչի արժեքները համապատասխանաբար ունեն հաճախականություններ, և . Այսինքն, ընդհանուր միջինը ատրիբուտների արժեքների միջին կշռված է համապատասխան հաճախականություններին հավասար կշիռներով:

ՄեկնաբանությունԹող ծավալի ընդհանուր պոպուլյացիան պարունակի հատկանիշի տարբեր արժեքներով օբյեկտներ: Պատկերացնենք, որ այս բազմությունից պատահականորեն ընտրված է մեկ օբյեկտ։ Հավանականությունը, որ, օրինակ, հատկանիշի արժեք ունեցող օբյեկտը կվերցվի, ակնհայտորեն հավասար է . Ցանկացած այլ օբյեկտ կարող է վերցվել նույն հավանականությամբ: Այսպիսով, հատկանիշի արժեքը կարելի է դիտարկել որպես պատահական փոփոխական, որի հնարավոր արժեքներն ունեն նույն հավանականությունները, որոնք հավասար են . Այս դեպքում դժվար չէ գտնել մաթեմատիկական ակնկալիքը.

Այսպիսով, եթե դիտարկենք ընդհանուր բնակչության հետազոտված բնութագիրը որպես պատահական փոփոխական, ապա բնութագրի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է այս բնութագրի ընդհանուր միջինին. Մենք ստացանք այս եզրակացությունը՝ հաշվի առնելով, որ ընդհանուր պոպուլյացիայի բոլոր օբյեկտներն ունեն տարբեր հատկանիշների արժեքներ։ Նույն արդյունքը կստացվի, եթե ենթադրենք, որ ընդհանուր պոպուլյացիան պարունակում է նույն հատկանիշի արժեք ունեցող մի քանի օբյեկտ։

Ընդհանրացնելով ստացված արդյունքը ընդհանուր բնակչությանը բնութագրի շարունակական բաշխմամբ, մենք ընդհանուր միջինը սահմանում ենք որպես բնութագրի մաթեմատիկական ակնկալիք. .

Թող արդյունահանվի ծավալի նմուշ՝ ընդհանուր բնակչության քանակական բնութագրի վերաբերյալ ուսումնասիրելու համար:

Նմուշի միջինըկոչվում է ընտրանքային բնակչության բնորոշ արժեքների թվաբանական միջին: Այն հաշվարկվում է բանաձևով.

§ - եթե նմուշի ծավալի բնութագրիչի բոլոր արժեքները տարբեր են.

§ - եթե ընտրանքի պոպուլյացիայի բնութագրիչի արժեքները համապատասխանաբար ունեն հաճախականություններ, և . Այսինքն, նմուշի միջինը ատրիբուտների արժեքների միջին կշռված է համապատասխան հաճախականություններին հավասար կշիռներով:

ՄեկնաբանությունՄեկ նմուշի տվյալներից հայտնաբերված ընտրանքային միջինը ակնհայտորեն որոշակի թիվ է: Եթե ​​դուք վերցնում եք նույն չափի այլ նմուշներ նույն պոպուլյացիայից, ապա ընտրանքի միջինը կփոխվի ընտրանքից նմուշ: Այսպիսով, ընտրանքային միջինը կարող է դիտվել որպես պատահական փոփոխական, և, հետևաբար, մենք կարող ենք խոսել ընտրանքի միջին բաշխումների (տեսական և էմպիրիկ) և այս բաշխման թվային բնութագրերի, մասնավորապես, ընտրանքի մաթեմատիկական ակնկալիքի և շեղումների մասին։ բաշխում.

Ավելին, եթե ընդհանուր միջինը անհայտ է, և պահանջվում է գնահատել այն՝ օգտագործելով ընտրանքային տվյալները, ապա ընտրանքի միջինը, որն անաչառ և հետևողական գնահատական ​​է, ընդունվում է որպես ընդհանուր միջինի գնահատում (առաջարկում ենք ինքներդ ապացուցել այս պնդումը): Վերոնշյալից հետևում է, որ եթե ընտրանքային միջոցներ հայտնաբերվեն միևնույն ընդհանուր պոպուլյացիայի բավականին մեծ ծավալի մի քանի նմուշների համար, ապա դրանք մոտավորապես հավասար կլինեն միմյանց: Սա սեփականությունն է նմուշի միջոցների կայունությունը.

Նկատի ունեցեք, որ եթե երկու պոպուլյացիաների շեղումները նույնն են, ապա ընտրանքային միջոցների մոտությունը ընդհանուր միջինին կախված չէ ընտրանքի չափի և ընդհանուր բնակչության չափի հարաբերակցությունից: Դա կախված է ընտրանքի չափից. որքան մեծ է ընտրանքի չափը, այնքան փոքր է ընտրանքի միջինը տարբերվում ընդհանուր միջինից: Օրինակ, եթե օբյեկտների 1%-ը ընտրված է մեկ պոպուլյացիայից, իսկ օբյեկտների 4%-ը ընտրված է մեկ այլ պոպուլյացիայից, և առաջին նմուշի ծավալը պարզվում է, որ ավելի մեծ է, քան երկրորդը, ապա առաջին ընտրանքի միջինը ավելի քիչ կտարբերվի. համապատասխան ընդհանուր միջինը, քան երկրորդը:

Վիճակագրական գնահատման հարցերը կապում են մաթեմատիկական վիճակագրության այնպիսի խնդրահարույց ասպեկտները, ինչպիսիք են գիտական ​​մեթոդաբանությունը, պատահական փոփոխականները, վիճակագրական բաշխումներև այլն: Ցանկացած նմուշի համար կան բնորոշ սխալներ՝ կապված միավորների թերի ծածկման, չափման սխալների և նմանատիպ պատճառների հետ: Իրական կյանքում նման սխալները յուրաքանչյուր վարկածի (մասնավորապես՝ տնտեսական եզրակացությունների հիման վրա ձևակերպվածներին) տալիս են պատահական, ստոխաստիկ բնույթ։ Անկախ տեսական վարկածներով նախատեսված փոփոխականների քանակից, ենթադրվում է, որ ազդեցությունը. տարբեր տեսակներսխալները կարելի է բավականին ճշգրիտ նկարագրել՝ օգտագործելով միայն մեկ բաղադրիչ: Այս մեթոդաբանական մոտեցումը թույլ է տալիս մեզ սահմանափակվել հավանականության միաչափ բաշխմամբ՝ միաժամանակ գնահատելով մի քանի պարամետր:

Վիճակագրական գնահատումվիճակագրական դատողության երկու տեսակներից մեկն է (երկրորդ տեսակը հիպոթեզների փորձարկումն է): Սա բնակչության բաշխման բնութագրերի (պարամետրերի) թվային արժեքները դատելու հատուկ մեթոդ է, որը հիմնված է այս բնակչության ընտրանքից ստացված տվյալների վրա: Այսինքն, ունենալով ընտրանքային դիտարկման արդյունքները, մենք փորձում ենք գնահատել (առավելագույն ճշգրտությամբ) որոշակի պարամետրերի արժեքները, որոնցից կախված է մեզ հետաքրքրող հատկանիշի (փոփոխելի) բաշխումը ընդհանուր բնակչության մեջ: Քանի որ ընտրանքը ներառում է բնակչության միայն մի մասը (երբեմն շատ փոքր թիվ), կա սխալի վտանգ: Թեև այս ռիսկը նվազում է դիտարկման միավորների քանակի ավելացման հետ մեկտեղ, այնուամենայնիվ, այն տեղի է ունենում պատահական դիտարկման ժամանակ: Այսպիսով, ընտրանքային արդյունքների հիման վրա կայացված որոշումը հավանականական բնույթ է կրում: Բայց վիճակագրական դատողությունները միայն հավանականությունների տեսանկյունից դիտարկելը սխալ կլինի։ Այս մոտեցումը միշտ չէ, որ բավարար է պոպուլյացիայի պարամետրերի վերաբերյալ ճիշտ տեսական ենթադրություններ կառուցելու համար: Հաճախ մի շարք լրացուցիչ դատողություններ են անհրաժեշտ ավելի խորը հիմնավորում տալու համար: Օրինակ, անհրաժեշտ է հնարավորինս մոտ գնահատել տարածաշրջանի ձեռնարկություններում հմուտ աշխատողների միջին թիվը: Այս դեպքում գնահատվում է պոպուլյացիայից x փոփոխականի միջին թվաբանականը, որն ունի նորմալ բաշխում։ Այս հատկանիշի համար նմուշ ստանալով քանակով Պմիավորներով, անհրաժեշտ է լուծել այն հարցը, թե ո՞ր արժեքն է, ըստ ընտրանքային տվյալների, ընդհանուր պոպուլյացիայի միջինին առավել մոտ: Կան մի քանի այդպիսի մեծություններ, որոնց մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ցանկալի պարամետրին (կամ դրան մոտ). ա) թվաբանական միջին; բ) նորաձեւություն; գ) միջին; դ) միջին, որը հաշվարկվում է տատանումների միջակայքով և այլն:

Հավանական տեսանկյունից, վերը նշված մեծություններից յուրաքանչյուրը կարելի է համարել, որ լավագույն մոտարկում է ցանկալի բնակչության պարամետրին (x), քանի որ այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի մաթեմատիկական ակնկալիքը (հատկապես մեծ նմուշների համար) հավասար է ընդհանուր միջինին։ . Այս ենթադրությունը պայմանավորված է նրանով, որ միևնույն պոպուլյացիայից մի նմուշ բազմիցս կրկնելիս կստացվի «միջին հաշվով» ճիշտ արդյունք։

«Միջինում» ճիշտությունը բացատրվում է ընդհանուր միջինը գնահատելիս առաջացած սխալների դրական և բացասական շեղումների կրկնությունների հավասարությամբ, այսինքն՝ գնահատման միջին սխալը հավասար կլինի զրոյի։

Գործնական պայմաններում, որպես կանոն, կազմակերպվում է մեկ նմուշ, ուստի հետազոտողին հետաքրքրում է ավելիի հարցը ճշգրիտ գնահատումցանկալի պարամետրը՝ հիմնված կոնկրետ նմուշի արդյունքների վրա: Նման խնդիր լուծելու համար, ի լրումն այն եզրակացությունների, որոնք ուղղակիորեն բխում են հավանականությունների վերացական հաշվարկից, անհրաժեշտ են լրացուցիչ կանոններ՝ մոտիվացնելու գնահատման լավագույն մոտարկումը բնակչության ցանկալի պարամետրին:

Ընտրանքային դիտարկումներից հաստատունները գնահատելու բավականաչափ եղանակներ կան: Նրանցից որոնք են լավագույնը կոնկրետ հետազոտական ​​խնդիրների լուծման մեջ, դա վիճակագրական գնահատման տեսության առարկան է: Այն ուսումնասիրում է այն պայմանները, որոնց պետք է ենթարկվի այս կամ այն ​​գնահատումը, և կենտրոնանում է տվյալ հանգամանքներում առավել նախընտրելի գնահատականների վրա: Գնահատման տեսությունը ցույց է տալիս մեկ գնահատման առավելությունը մյուսի նկատմամբ:

Ինչպես հայտնի է, նմուշից ստացված տեղեկատվությունը կատեգորիկ եզրակացության մեջ չէ։ Եթե, օրինակ, ուսումնասիրված 100 կենդանիները առողջ են, իսկ 99-ը՝ առողջ, ապա հավանականություն կա, որ մեկ կենդանին, որը մնացել է չհետազոտված, կրում է կասկածելի հիվանդության վիրուսը։ Քանի որ դա քիչ հավանական է, եզրակացնում են, որ հիվանդությունը գոյություն չունի։ Շատ դեպքերում այս եզրակացությունը լիովին արդարացված է:

Հիմնվելով նմանատիպ բացահայտումների վրա գործնական գործունեություն, փորձարարը (հետազոտողը) հենվում է ոչ թե տեղեկատվության հավաստիության, այլ միայն դրա հավանականության վրա։

Նմուշի դիտարկման մյուս կողմը, ինչպես արդեն նշվել է, լուծում է ստացված նմուշի գնահատումների հուսալիության աստիճանը հնարավորինս օբյեկտիվորեն որոշելու խնդիրը: Այս խնդրի լուծումը փորձում են տալ հնարավորինս ճշգրիտ հավանականական արտահայտությամբ, այսինքն՝ խոսքը գնահատման ճշտության աստիճանը որոշելու մասին է։ Այստեղ հետազոտողը որոշում է ընտրանքից ստացված գնահատման և պոպուլյացիայի մեջ դրա արժեքի իրական արժեքի հնարավոր անհամապատասխանության սահմանները:

Գնահատման ճշգրտությունը որոշվում է ընտրանքային տվյալների հիման վրա այն հաշվարկելու եղանակով և ընտրանքային պոպուլյացիայի մեջ միավորների ընտրության եղանակով:

Գնահատումների ստացման մեթոդը ներառում է ցանկացած հաշվողական ընթացակարգ (մեթոդ, կանոն, հանրահաշվական բանաձև): Սա վիճակագրական գնահատման տեսության առաջնահերթությունն է։ Ընտրության մեթոդները հանգեցնում են ընտրանքի տեխնիկայի հարցերի:

Վերոնշյալը մեզ թույլ է տալիս սահմանել «վիճակագրական գնահատում» հասկացությունը։

Վիճակագրական գնահատում- սա բնակչության ցանկալի պարամետրի մոտավոր արժեքն է, որը ստացվում է ընտրանքի արդյունքներից և հնարավորություն է տալիս տեղեկացված որոշումներ կայացնել բնակչության անհայտ պարամետրերի վերաբերյալ:

Ենթադրենք, որ ^ "-ը տեսական բաշխման անհայտ պարամետրի ^ վիճակագրական գնահատումն է։ Հիմնվելով նույնի կրկնվող իրագործումների վրա։

Նմուշի չափը ընդհանուր բնակչությունից հայտնաբերված գնահատականներ և 2 ^ ""n,

տարբեր իմաստներ ունենալով. Հետևաբար, ^» գնահատականը կարելի է համարել որպես

պատահական փոփոխական, և +17 երկու, 3 ~ "n - որպես դրա հնարավոր արժեքներ: Ինչպես պատահական արժեք, այն բնութագրվում է հավանականության որոշակի խտության ֆունկցիայով։ Քանի որ այս ֆունկցիան որոշվում է ընտրովի դիտարկման (փորձի) արդյունքում, այն կոչվում է նմուշառման բաշխում.Նման ֆունկցիան նկարագրում է հավանականության խտությունը գնահատումներից յուրաքանչյուրի համար՝ օգտագործելով որոշակի քանակությամբ նմուշ

դիտարկումներ։ Եթե ​​ենթադրենք, որ վիճակագրական գնահատականը ^ "-ը տվյալների որոշակի բազմության հանրահաշվական ֆունկցիա է, և այդպիսի բազմություն կստացվի նմուշային դիտարկում իրականացնելով, ապա

Ընդհանուր առմամբ, գնահատումը կստանա արտահայտություն՝ ® n = f (Xl.X2, ^ 3, ... X t):

Ընտրանքային հետազոտության վերջում այս գործառույթն այլևս գնահատական ​​չէ ընդհանուր տեսարան, բայց ստանում է կոնկրետ արժեք, այսինքն՝ դառնում է քանակական գնահատական ​​(թիվ)։ Այլ կերպ ասած, ֆունկցիայի վերը նշված արտահայտությունից հետևում է, որ ընտրանքային դիտարկման արդյունքները բնութագրող ցուցիչներից որևէ մեկը կարող է գնահատական ​​համարվել: Ընտրանքային միջինը բնակչության միջինի գնահատումն է: Ընտրանքից հաշվարկված շեղումը կամ դրանից հաշվարկված ստանդարտ շեղման արժեքը ընդհանուր բնակչության համապատասխան բնութագրերի գնահատականներն են և այլն:

Ինչպես արդեն նշվեց, վիճակագրական գնահատականների հաշվարկը չի երաշխավորում սխալների վերացումը: Բանն այն է, որ վերջինս չպետք է համակարգված լինի։ Նրանց ներկայությունը պետք է պատահական լինի: Դիտարկենք այս դիրքորոշման մեթոդաբանական կողմը։

Ենթադրենք ^ «գնահատումը տալիս է թերություն ունեցող բնակչության ^ գնահատման ոչ ճշգրիտ արժեքը: Այս դեպքում յուրաքանչյուր հաշվարկված արժեք = 1,2,3, ..., n) պակաս կլինի արժեքի իրական արժեքից: $.

Այդ պատճառով b պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը (միջին արժեքը) փոքր կլինի b-ից, այսինքն՝ (M(^ n. Եվ, հակառակը, եթե այն տալիս է գերազանցող գնահատական, ապա մաթեմատիկական ակնկալիքը.

պատահական ^"-ը կդառնա $-ից մեծ:

Հետևում է, որ վիճակագրական գնահատման օգտագործումը, որի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար չէ գնահատված պարամետրին, հանգեցնում է համակարգային սխալների, այսինքն՝ ոչ պատահական սխալների, որոնք թեքում են չափման արդյունքները մեկ ուղղությամբ:

Բնական պահանջ է առաջանում. գնահատման մաթեմատիկական ակնկալիքը ^ «պետք է հավասար լինի գնահատված պարամետրին: Այս պահանջին համապատասխանելը ընդհանրապես չի վերացնում սխալները, քանի որ գնահատման ընտրանքային արժեքները կարող են լինել ավելի մեծ կամ փոքր, քան իրական արժեքը: ընդհանուր բնակչության գնահատականը: Բայց ^-ի արժեքներից այս կամ այն ​​ուղղությամբ սխալները տեղի կունենան (ըստ հավանականության տեսության) նույն հաճախականությամբ: Հետևաբար, այս պահանջին համապատասխանելը, ընտրանքային գնահատման մաթեմատիկական ակնկալիքը պետք է լինի: հավասար լինի գնահատված պարամետրին, բացառում է համակարգված (ոչ պատահական) սխալների առաջացումը, այսինքն.

Մ (V) = 6.

Վիճակագրական գնահատիչի ընտրությունը, որն ապահովում է գնահատվող պարամետրի լավագույն մոտարկումը, գնահատման տեսության կարևոր խնդիր է: Եթե ​​հայտնի է, որ ուսումնասիրվող պատահական փոփոխականի բաշխումը բնակչության մեջ համապատասխանում է նորմալ բաշխման օրենքին, ապա ընտրանքային տվյալների միջոցով անհրաժեշտ է գնահատել մաթեմատիկական ակնկալիքը և ստանդարտ շեղումը: Սա բացատրվում է նրանով, որ այս երկու բնութագրիչները լիովին որոշում են այն հիմքը, որի վրա կառուցված է նորմալ բաշխումը։ Եթե ​​ուսումնասիրվող պատահական փոփոխականը բաշխվում է Պուասոնի օրենքի համաձայն, ապա գնահատվում է ^ պարամետրը, քանի որ այն որոշում է այս բաշխումը։

Մաթեմատիկական վիճակագրությունը տարբերակում է ընտրանքային տվյալներից վիճակագրական գնահատականներ ստանալու հետևյալ մեթոդները՝ մոմենտների մեթոդը, առավելագույն հավանականության մեթոդը։

Մոմենտների մեթոդով գնահատումներ ստանալիս ընդհանուր բնակչության պահերը փոխարինվում են ընտրանքի պոպուլյացիայի պահերով (հավանականությունների փոխարեն կշռման համար օգտագործվում են հաճախականություններ):

Որպեսզի վիճակագրական գնահատականը «լավագույն մոտավորություն» տա ընդհանուր բնութագրին, այն պետք է ունենա մի շարք հատկություններ: Դրանք կքննարկվեն ստորև:

Լավագույն գնահատականն ընտրելու կարողությունը պայմանավորված է դրանց հիմնական հատկությունների իմացությամբ և ըստ այդ հատկությունների գնահատումները դասակարգելու ունակությամբ: Մաթեմատիկական գրականության մեջ «գնահատումների հատկությունները» երբեմն կոչվում են «գնահատման պահանջներ» կամ «գնահատման չափանիշներ»: Վիճակագրական գնահատումների հիմնական հատկությունները ներառում են՝ անաչառություն, արդյունավետություն, կարողություն, բավարարություն:

Եթե ​​ենթադրենք, որ ընտրանքի միջինը (~) և ընտրանքի շեղումը

(Stv) համապատասխան ընդհանուր բնութագրերի (^) գնահատականներն են, այսինքն՝ դրանց մաթեմատիկական ակնկալիքները, մենք հաշվի ենք առնում, որ երբ մեծ քանակությամբ

Նմուշային միավորները, որոնք կոչվում են բնութագրեր (~) մոտ կլինեն իրենց մաթեմատիկական ակնկալիքներին: Եթե ​​նմուշառման միավորների թիվը փոքր է, ապա այդ բնութագրերը կարող են զգալիորեն տարբերվել համապատասխան մաթեմատիկական ակնկալիքներից:

Եթե ​​որպես գնահատում ընտրված նմուշի բնութագրերի միջինը համընկնում է ընդհանուր բնութագրի արժեքի հետ, ապա գնահատումը կոչվում է անաչառ: Ապացույցը, որ ընտրանքի միջինի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ընդհանուր միջինին (m (x) = x) ցույց է տալիս, որ ~ արժեքը անաչառ ընդհանուր է

միջին Իրավիճակն այլ է ընտրովի ցրվածության դեպքում (o): նրա

M (ST 2) = - o-2: .

մաթեմատիկական ակնկալիք n, ընդհանուրին հավասար չէ

շեղումներ. Այսպիսով, a h-ը a-ի կողմնակալ գնահատումն է: Կողմնակալությունը վերացնելու և անաչառ գնահատում ստանալու համար ընտրեք

ցրվածությունը բազմապատկվում է n - 1 ուղղմամբ (սա բխում է ձևավորումից

2 _ 2 պ Պ -1 «n -1

վերևում գտնվող հավասարումը. n):

Այսպիսով, փոքր նմուշի դեպքում շեղումը հավասար է.

2 Tx, - ~) 2 ՊԵ (x և - ~) 2

sg in= x - = -.

p p - 1 p -1

Մաս (Պ- 1) կոչվում է Բեսելի ուղղում: Մաթեմատիկոս Բեսելն առաջինն էր, ով հաստատեց, որ ընտրանքի շեղումը ընդհանուր շեղումների կանխակալ գնահատումն է և կիրառեց նշված ուղղումը շտկելու համար:

վարկանիշները. Փոքր նմուշների համար ուղղումը (n - 1) զգալիորեն տարբերվում է 1-ից: Դիտորդական միավորների քանակի աճի հետ այն արագ մոտենում է 1-ին: n-ի համար<>50 գնահատականների տարբերությունը վերանում է, այսինքն

° ~ "- .Վերոնշյալ բոլորից հետևում են անաչառության պահանջների հետևյալ սահմանումները.

Անաչառվիճակագրական գնահատական ​​է, որի մաթեմատիկական ակնկալիքը ցանկացած ընտրանքի չափի համար հավասար է արժեքին

բնակչության պարամետրը, այսինքն, m (^) = 9; m(x) = x.

Հավանականությունների տեսություն դասընթացում ուսումնասիրվում է «մաթեմատիկական ակնկալիք» կատեգորիան։ Սա պատահական փոփոխականի թվային բնութագիր է: Մաթեմատիկական ակնկալիքը մոտավորապես հավասար է պատահական փոփոխականի միջին արժեքին: Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքնրա բոլոր հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների արտադրյալների գումարն է: Ենթադրենք, կատարվել է n ուսումնասիրություն, որտեղ պատահական փոփոխական է Xվերցրեց w 1 անգամ w-ի արժեքը 2 անգամ Sh-ի արժեքից և բազմապատիկ X k-ի արժեքին: Այս դեպքում Sh 1 + Sh 2 + Sh 3 + ... + Sh k = n Այնուհետև բոլոր արժեքների գումարը ընդունված x, հավասար է

x 1 w 1 + x 2 w 2 + x 3 w 3 + ... + x k w k

Այս արժեքների միջին թվաբանականը կլինի.

X 1 w 1 + x 2 w 2 + x 3 w 3 + ... + x k w k - w 1^ w 2 ^ w 3 ^ ^ w k

Պկամ 1 p 2 p 3 p 1 p.

Քանի որ n-ը հարաբերական հաճախականության ^ արժեքն է X ^ Պ- x 2 արժեքի հարաբերական հաճախականությունը և այլն, վերը նշված հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.

X = X 1 No 1 + X 2 No 2 + X 3 No 3 + ... + X to H> to

Ընտրանքային մեծ թվով դիտարկումների դեպքում հարաբերական հաճախականությունը մոտավորապես հավասար է իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությանը, այսինքն.

u>1 = L; ^ 2 = Ш = ™ к = Рк և հետևաբար x 2 x 1 r 1 + x 2 r 2 + X 3 g. 3 + ... + X KRK: Հետո

x~ մ(x) ստացված հաշվարկի արդյունքի հավանականական իմաստն այն է, որ մաթեմատիկական ակնկալիքը մոտավորապես հավասար է (որքան ավելի ճշգրիտ, այնքան մեծ է նմուշը) ​​պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականին [M (x -) = ~ 1.

Անաչառ չափանիշը երաշխավորում է բնակչության պարամետրերի գնահատման համակարգված սխալների բացակայությունը:

Նկատի ունեցեք, որ նմուշի գնահատումը (^) պատահական փոփոխական է, որի արժեքը կարող է տարբեր լինել մի նմուշից մյուսը: Պոպուլյացիայի # պարամետրի մաթեմատիկական ակնկալիքի շուրջ դրա տատանումների (ցրվածության) չափը բնութագրվում է st2 (^) դիսպերսիայով։

Թող մեջ ևներս -- ^ պարամետրի երկու անաչառ գնահատական, այսինքն Մ (մ«) = 6 և M (d,) = v. Նրանց շեղումները Վ 1 (Վ -) Եվ ՎԳզ -). Երկու 0 այս nok-ով Արտաուդում նախապատվությունը տվեք նրան, որն ավելի քիչ ցրվածություն ունի գնահատված պարամետրի շուրջ: Եթե ​​գնահատականի շեղումը ^" փոքր է շեղումից

գնահատում է Cn-ը, այնուհետև առաջին գնահատականը, այսինքն՝ ^ «, վերցվում է որպես գնահատում &.

Անաչառ գնահատիչը ^, որն ունի ամենափոքր շեղումը ^ պարամետրի բոլոր հնարավոր անկողմնակալ գնահատողների միջև, որոնք հաշվարկված են նույն չափի նմուշներից, կոչվում է արդյունավետ գնահատող: Սա բնակչության պարամետրերի վիճակագրական գնահատումների երկրորդ հատկությունն է (պահանջը): Պետք է հիշել, որ ընդհանուր բնակչության պարամետրի արդյունավետ գնահատումը, որը ենթակա է որոշակի բաշխման օրենքի, չի համընկնում երկրորդ բաժնի պարամետրի արդյունավետ գնահատման հետ:

Մեծ նմուշներ դիտարկելիս վիճակագրական գնահատականները պետք է ունենան կարողության հատկություն: Գնահատումը կարող է (նաև կոչվում է «համապատասխան» կամ «հետևողական»), ինչը նշանակում է, որ որքան մեծ է ընտրանքի չափը, այնքան մեծ է հավանականությունը, որ գնահատման սխալը չի ​​գերազանցի կամայականորեն փոքր դրականը:

թիվ E. ^ 6-րդ պարամետրի գնահատականը կոչվում է հետևողական, եթե այն ենթարկվում է մեծ թվերի օրենքին, այսինքն՝ գործում է հետևյալ հավասարությունը.

/ շգ | Գ in-in <Е} = 1.

Ինչպես տեսնում ենք, վիճակագրական գնահատականը կոչվում է ընդունակ, եթե n-ի համար այն մոտենում է պարամետրի գնահատման հավանականությանը: Այլ կերպ ասած, սա նմուշից ստացված ցուցիչի արժեքն է և մոտենում է (հավանականությամբ համընկնում է) մեծ թվերի օրենքի շնորհիվ՝ ընտրանքի չափը մեծացնելով իր մաթեմատիկական ակնկալիքներին: Օրինակ, եթե անկողմնակալ գնահատականի շեղումը ձգտում է զրոյի՝ որպես n, ապա այդպիսի գնահատականը պարզվում է, որ համահունչ է, քանի որ այն ունի ամենափոքր հնարավոր շեղումը (տվյալ ընտրանքի չափի համար):

Հնարավոր գնահատականներն են.

1) հատկանիշի մասնաբաժինը ընտրանքի պոպուլյացիայի մեջ, այսինքն՝ հաճախականությունը՝ որպես ընդհանուր պոպուլյացիայի մեջ հատկանիշի մասնաբաժնի գնահատում.

2) ընտրանքի միջինը` որպես ընդհանուր միջինի գնահատում.

3) ընտրանքի շեղումը որպես ընդհանուր շեղման գնահատում.

4) անհամաչափության և կուրտոզի ընտրանքային գործակիցները՝ որպես ընդհանուր գործակիցների գնահատում.

Չգիտես ինչու, մաթեմատիկական վիճակագրության գրականության մեջ միշտ չէ, որ հնարավոր է գտնել վիճակագրական գնահատումների չորրորդ հատկության՝ բավարարության նկարագրությունը։ Դասարան բավարար(կամ սպառիչ) այն գնահատումն է, որն ապահովում է (ապահովում է) ամբողջ ընտրանքային տեղեկատվության ամբողջականությունը ընդհանուր բնակչության անհայտ պարամետրի վերաբերյալ: Այսպիսով, բավարար գնահատականը ներառում է ուսումնասիրվող բնակչության վիճակագրական բնութագրերի վերաբերյալ ընտրանքում պարունակվող ողջ տեղեկատվությունը: Նախկինում դիտարկված երեք գնահատականներից և ոչ մեկը չի կարող տրամադրել անհրաժեշտ լրացուցիչ տեղեկատվություն ուսումնասիրվող պարամետրի վերաբերյալ՝ որպես բավարար վիճակագրական գնահատական:

Հետևաբար, թվաբանական նմուշի միջին ~-ը թվաբանական պոպուլյացիայի միջին x-ի անաչառ գնահատականն է: Այս գնահատման անաչառ գործոնը ցույց է տալիս, որ եթե դուք վերցնում եք մեծ թվով պատահական նմուշներ ընդհանուր բնակչությունից, ապա դրանց միջինները *<отличались бы от генеральной средней в большую и меньшую сторону одинаково, то есть, свойство несмещенности хорошей оценки также показывает, что среднее значение бесконечно большого числа выборочных средних равно значению генеральной средней.

Սիմետրիկ շարքի բաշխման դեպքում մեդիանը ընդհանուր միջինի անաչառ գնահատումն է: Եվ պայմանով, որ ընտրանքի պոպուլյացիայի չափը մոտենում է ընդհանուր բնակչությանը (P ~ * N), մեդիանը կարող է լինել այդպիսի շարքերում և ընդհանուր միջինի համահունչ գնահատում: Ինչ վերաբերում է արդյունավետության չափանիշին մեդիանայի նկատմամբ, որպես գնահատում. ընդհանուր բնակչության թվաբանական միջինը, կարելի է ապացուցել, որ մեծ ծավալի նմուշներում միջին քառակուսի սխալի արմատը (Sme) հավասար է ընտրանքի միջին քառակուսի սխալի 1,2533-ին։

) Այսինքն՝ Ստմե *։ Հետևաբար, մեդիանը չի կարող լինել թվաբանական բնակչության միջինի արդյունավետ գնահատում, քանի որ դրա միջին քառակուսի սխալն ավելի մեծ է, քան ընտրանքի միջին թվաբանականի միջին քառակուսի սխալը: Բացի այդ, միջին թվաբանականը բավարարում է անաչառության և կարողության պայմանները և, հետևաբար, լավագույն գնահատականն է։

Նման պարամետրը նույնպես հնարավոր է: Կարո՞ղ է ընտրանքի միջին թվաբանականը լինել մեդիանայի անկողմնակալ գնահատականը սիմետրիկ բնակչության բաշխումներում, որոնց համար միջինը և միջինը նույնն են: Եվ արդյո՞ք ընտրանքային միջինը կլինի բնակչության միջին ցուցանիշի հետևողական գնահատում: Երկու դեպքում էլ պատասխանը կլինի այո։ Պոպուլյացիայի մեդիանայի համար (սիմետրիկ բաշխումով) ընտրանքի միջին թվաբանականը անաչառ և հետևողական գնահատող է:

Հիշելով, որ Sme ~ 1.2533st, մենք գալիս ենք եզրակացության. ընտրանքի միջին թվաբանականը, այլ ոչ թե մեդիանը, ավելի արդյունավետ գնահատում է ուսումնասիրվող պոպուլյացիայի մեդիանը:

Յուրաքանչյուր ընտրանքի բնութագիր պարտադիր չէ, որ լինի համապատասխան պոպուլյացիայի բնութագրիչի լավագույն գնահատականը: Գնահատումների հատկությունների իմացությունը թույլ է տալիս լուծել ոչ միայն գնահատականների ընտրության, այլև դրանք կատարելագործելու հարցը։ Որպես օրինակ, մենք կարող ենք դիտարկել այն դեպքը, երբ հաշվարկները ցույց են տալիս, որ նույն պոպուլյացիայից մի քանի նմուշների ստանդարտ շեղումների արժեքները բոլոր դեպքերում ավելի քիչ են, քան ընդհանուր բնակչության ստանդարտ շեղումը, և որոշվում է տարբերության մեծությունը: ընտրանքի չափով: Բազմապատկելով նմուշի ստանդարտ շեղումը ուղղման գործակցով, մենք ստանում ենք բնակչության ստանդարտ շեղման բարելավված գնահատական: Նման ուղղման գործոնի համար օգտագործվում է Բեսելի ուղղումը

Պա I Պ

(P - 1), այսինքն՝ կողմնակալությունը վերացնելու համար գնահատականներ են ստացվում «Պ- 1. Այս թվային արտահայտությունը ցույց է տալիս, որ նմուշի ստանդարտ շեղումը, որն օգտագործվում է որպես գնահատում, տալիս է բնակչության պարամետրի թերագնահատված արժեքը:

Ինչպես հայտնի է, ընտրանքային բնակչության վիճակագրական բնութագրերը ընդհանուր բնակչության անհայտ պարամետրերի մոտավոր գնահատականներն են: Հաշիվն ինքնին կարող է լինել մեկ թվի կամ կոնկրետ միավորի տեսքով: Գնահատումը, որը որոշվում է մեկ թվով, կոչվում է կետային գնահատում: Այսպիսով, ընտրանքի միջինը (~) ընդհանուր միջինի անկողմնակալ և լավագույն կատարող միավորի գնահատումն է, իսկ ընտրանքի շեղումը) ընդհանուր միջինի (x) կողմնակալ գնահատականն է:

շեղում ().Եթե մենք նշում ենք ընտրանքի միջին սխալը Տ <>ապա ընդհանուր միջինի կետային գնահատականը կարելի է գրել x ± m °: Սա նշանակում է, որ ~-ը x-ի ընդհանուր միջինի գնահատումն է m-ին հավասար սխալմամբ: Պարզ է, որ x-ի և o-ի կետային վիճակագրական գնահատումները չպետք է ունենան համակարգված սխալ:

ooo~~o<в 2

գնահատված պարամետրերի գերագնահատման կամ թերագնահատման կողմը x և. Ինչպես նշվեց ավելի վաղ, նման պայմանը բավարարող գնահատականները կոչվում են

չտեղահանված. Ի՞նչ է պարամետրի սխալը: Դա շատ կոնկրետ սխալների միջինն է.

Պոպուլյացիայի պարամետրի կետային գնահատումն այն է, որ տարբեր հնարավոր ընտրանքային գնահատումներից սկզբում ընտրվում է օպտիմալ հատկություններ ունեցողը, այնուհետև հաշվարկվում է այս գնահատման արժեքը: Վերջինիս արդյունքում ստացված հաշվարկային արժեքը համարվում է բնակչության պարամետրի անհայտ իրական արժեքի լավագույն մոտարկումը: Գնահատման հնարավոր սխալի որոշման հետ կապված լրացուցիչ հաշվարկները միշտ չէ, որ պարտադիր են (կախված գնահատման կոնկրետ առաջադրանքներից), բայց, որպես կանոն, գրեթե միշտ իրականացվում են:

Դիտարկենք ուսումնասիրվող բնութագրերի միջինի և բնակչության մեջ դրանց մասնաբաժնի համար կետային գնահատականի որոշման օրինակներ:

Օրինակ.Մարզի հացահատիկային մշակաբույսերը կազմում են 20000 հա։ Տարածքների 10% ընտրանքային հետազոտությամբ ստացվել են հետևյալ ընտրանքային բնութագրերը՝ միջին բերքատվությունը՝ հեկտարից 30 ց, բերքատվության դիսպերսիա՝ 4, բարձր բերքատու մշակաբույսերով ցանքատարածություն՝ 1200 հա։

Ի՞նչ պետք է իմանալ տարածաշրջանում հացահատիկային մշակաբույսերի միջին բերքատվության արժեքի մասին և ո՞րն է ուսումնասիրվող հացահատիկային մշակաբույսերի ընդհանուր տարածքում բարձր բերքատվություն ունեցող մշակաբույսերի մասնաբաժնի (տեսակարար կշռի) ցուցանիշի թվային արժեքը:

մարզ? Այսինքն՝ անհրաժեշտ է գնահատել անվանված պարամետրերը (x, z) ընդհանուր բնակչության մեջ։ Գնահատումները հաշվարկելու համար մենք ունենք.

N = 20000; - = 20000 x 0.1 = 2000; ~ = 30;<т = л / 4; № 2000,

Ինչպես հայտնի է, ընտրովի թվաբանական միջինը արդյունավետ գնահատական ​​է

ընդհանուր թվաբանական միջին. Այսպիսով, կարելի է ընդունել, որ

ընդհանուր պարամետրի (^) լավագույն գնահատականը 30 է. աստիճանը որոշելու համար

գնահատման ճշգրտությունը, անհրաժեշտ է գտնել դրա միջին (ստանդարտ) սխալը.

իա. p ~ IԱպրիլ 2000 ժ PPL

t = L - (1--) = - (1--) = 0,04

v n Ն i2000 2000 ^

Ստացված սխալի արժեքը ցույց է տալիս գնահատման բարձր ճշգրտությունը: m-ի արժեքն այստեղ նշանակում է, որ եթե նման նմուշները բազմիցս կրկնվեն, պարամետրի գնահատման սխալը միջինում կկազմի 0,04: Այսինքն՝ կետից դուրս

Ենթադրվում է, որ տարածաշրջանի գյուղացիական տնտեսությունների միջին բերքատվությունը կկազմի x = 30 - 0,04 c 1 հեկտարի համար:

Հացահատիկի ընդհանուր տարածքում բարձր բերքատվություն ունեցող հացահատիկային մշակաբույսերի մասնաբաժնի կետային գնահատական ​​ստանալու համար լավագույն գնահատականը կարելի է ընդունել որպես ընտրանքի մասնաբաժինը ¥ = 0,6: Այսպիսով, կարելի է ասել, որ դիտարկումների արդյունքների հիման վրա ցանկալի կառուցվածքի ցուցանիշի լավագույն գնահատականը կլինի 0,6 թիվը։ Հաշվարկները պարզաբանելու համար դուք պետք է հաշվարկեք այս գնահատման միջին սխալը. Տ Եվ (1 _ p) և 0.6 (1 - 0.b) (1 = 0.01

v ՊՆվ 2000 2000 Ա

Ինչպես տեսնում ենք, ընդհանուր բնութագրերի գնահատման միջին սխալը 0,01 է։

Ստացված արդյունքը նշանակում է, որ եթե 2000 հեկտար հացահատիկի ծավալով նմուշը բազմիցս կրկնվել է, ապա ձեռնարկությունների հացահատիկային մշակաբույսերի տարածքում բարձր բերքատվություն ունեցող մշակաբույսերի մասնաբաժնի (տեսակարար կշռի) ընդունված գնահատականի միջին սխալը. տարածաշրջանում կլինի ± 0,01: Այս դեպքում P = 0.6 ± 0.01: Տարածաշրջանի հացահատիկի ընդհանուր տարածքում բարձր բերքատվություն ունեցող մշակաբույսերի տեսակարար կշիռը տոկոսային առումով կկազմի միջինը 60 ± I:

Հաշվարկները ցույց են տալիս, որ կոնկրետ դեպքի համար ցանկալի կառուցվածքի ցուցիչի լավագույն գնահատականը կլինի 0,6 թիվը, իսկ գնահատման միջին սխալն այս կամ այն ​​ուղղությամբ մոտավորապես հավասար կլինի 0,01-ի: Ինչպես տեսնում ենք, գնահատականը բավականին ճշգրիտ է։

Կան ստանդարտ շեղման կետային գնահատման մի քանի եղանակներ, երբ նմուշը վերցված է նորմալ բաշխվածությամբ միավորների պոպուլյացիայից և b պարամետրը անհայտ է: Պարզ (ամենահեշտ հաշվարկվող) գնահատականը նմուշի տատանումների միջակայքն է (և °)՝ բազմապատկված ստանդարտ աղյուսակներից վերցված ուղղիչ գործակցով և որը կախված է ընտրանքի չափից (փոքր նմուշների համար): Բնակչության ստանդարտ շեղման պարամետրը կարելի է գնահատել՝ օգտագործելով հաշվարկված ընտրանքի շեղումը, հաշվի առնելով ազատության աստիճանների քանակը: Այս շեղման քառակուսի արմատը տալիս է այն արժեքը, որը կօգտագործվի որպես ընդհանուր ստանդարտ շեղման գնահատում):

Օգտագործելով պարամետրի արժեքը «հաշվիր միջին սխալը ընդհանուր միջինը (x») գնահատելիս վերը քննարկված եղանակով։

Ինչպես նշվեց ավելի վաղ, ըստ կարողության պահանջի, միավորի գնահատման ճշգրտության նկատմամբ վստահությունը մեծանում է, քանի որ ընտրանքի չափը մեծանում է: Որոշ չափով դժվար է ցույց տալ այս տեսական դիրքորոշումը, օգտագործելով կետային գնահատականը որպես օրինակ: Նմուշի չափի ազդեցությունը գնահատման ճշգրտության վրա ակնհայտ է միջակայքային գնահատումները հաշվարկելիս: Դրանք կքննարկվեն ստորև:

Աղյուսակ 39-ը ցույց է տալիս բնակչության պարամետրերի առավել հաճախ օգտագործվող կետային գնահատումները:

Աղյուսակ 39

Հիմնական կետերի գնահատումներ _

Տարբեր մեթոդներով հաշվարկված գնահատման արժեքները կարող են նույնը չլինել մեծությամբ: Այս առումով, գործնական հաշվարկներում չպետք է զբաղվել հնարավոր տարբերակների հաջորդական հաշվարկով, այլ տարբեր գնահատականների հատկությունների հիման վրա ընտրել դրանցից մեկը:

Դիտորդական միավորների փոքր թվով միավորների գնահատումը հիմնականում պատահական է և, հետևաբար, այնքան էլ հուսալի չէ: Հետևաբար, փոքր նմուշներում այն ​​կարող է մեծապես տարբերվել ընդհանուր բնակչության գնահատված բնութագրից: Այս իրավիճակը հանգեցնում է եզրակացությունների կոպիտ սխալների, որոնք տարածվում են ընտրանքի արդյունքների հիման վրա ընդհանուր բնակչության վրա: Այդ պատճառով փոքր նմուշների համար օգտագործվում են միջակայքային գնահատականներ:

Ի տարբերություն կետային գնահատման, ինտերվալային գնահատումը տալիս է մի շարք կետեր, որոնցում պետք է տեղակայվի բնակչության պարամետրը: Բացի այդ, միջակայքի գնահատումը ցույց է տալիս հավանականությունը և, հետևաբար, կարևոր է վիճակագրական վերլուծության մեջ:

Ինտերվալը գնահատական ​​է, որը բնութագրվում է երկու թվերով՝ այն ինտերվալի սահմանները, որը ծածկում է (ծածկում) գնահատվող պարամետրը: Նման գնահատումը ներկայացնում է որոշակի միջակայք, որում ցանկալի պարամետրը գտնվում է տվյալ հավանականությամբ: Ընդմիջման կենտրոնը վերցվում է որպես ընտրանքային կետի գնահատում:

Այսպիսով, միջակայքային գնահատումները կետային գնահատման հետագա զարգացումն են, երբ նման գնահատումն անարդյունավետ է փոքր ընտրանքի չափով:

Ընդհանրապես ինտերվալների գնահատման խնդիրը կարող է ձևակերպվել հետևյալ կերպ. դիտարկման նմուշի տվյալների հիման վրա անհրաժեշտ է կառուցել թվային ինտերվալ, որի առնչությամբ, օգտագործելով նախկինում ընտրված հավանականության մակարդակը, կարելի է ասել, որ գնահատված պարամետրը գտնվում է սահմաններում. այս միջակայքը:

Եթե ​​վերցնենք բավականաչափ մեծ թվով նմուշառման միավորներ, ապա, օգտագործելով Լյապունովի թեորեմը, կարող ենք ապացուցել հավանականությունը, որ նմուշառման սխալը չի ​​գերազանցի որոշակի սահմանված a արժեքը, այսինքն.

Եվ ~ "*!" Ա կամ ես Ոչ «ՅԱ.

Մասնավորապես, այս թեորեմը հնարավորություն է տալիս գնահատել մոտավոր հավասարումների սխալները.

- «R (p և -հաճախականություն) x" x. p

Եթե ​​^ * 2X3..., x-ը ~ անկախ պատահական փոփոխականներ են և n, ապա դրանց միջինի (x) հավանականությունը գտնվում է a-ից մինչև 6-ի միջակայքում և կարող է որոշվել հավասարումներով.

p(a(X (ե) 1 և 2 Սրանք,

_Ա- E (x); _ մեջ - E (x) DE ° a

P հավանականությունը կոչվում է վստահության հավանականություն:

Այսպիսով, ընտրանքային գնահատման հիման վրա ընդհանուր պարամետրի գնահատման վստահության հավանականությունը (հուսալիությունը) անհավասարությունների իրականացման հավանականությունն է.

| ~ X | <а; | и, ориентир | <д

որտեղ a-ն գնահատման առավելագույն սխալն է՝ ըստ միջինի և մասնաբաժնի:

Այն սահմանները, որոնցում ընդհանուր բնութագիրը կարող է տեղակայվել այս տրված հավանականությամբ, կոչվում են վստահության միջակայքեր (վստահության սահմաններ): Եվ այս միջակայքի սահմանները կոչվում են վստահության սահմաններ:

Վստահության (կամ հանդուրժողականության) սահմանները այն սահմաններն են, որոնցից այն կողմ պատահական տատանումների պատճառով տրված հատկանիշը աննշան հավանականություն ունի (A ^ 0.5; p 2<0,01; Л <0,001). Понятие "доверительный интервал" введено Дж.Нейман и К.Пирсоном (1950 г.). Это установленный по выборочным данным интервал, который с заданной вероятностью (доверительной вероятностью) охватывает (покрывает) настоящее, но неизвестно для нас значение параметра. Если уровня доверительной вероятности принять значения 0,95, то эта вероятность свидетельствует о том, что при частых приложениях данного способа (метода) вычислений доверительный интервал примерно в 95% случаев будет покрывать параметр. Доверительный интервал генеральной средней и генеральной доли определяется на основе приведенных выше неравенств, из которых

հետևում է, որ ~ _A - x - ~ + A; No _A - g. - No + A.

Մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ որոշակի պարամետրի հուսալիությունը գնահատվում է հավանականության հետևյալ երեք մակարդակների արժեքով (երբեմն կոչվում են «հավանականության շեմեր»). անտեսված, այսինքն Ա 1 = 0,05; ա 2 = 0,01; «3 = 0.001 կոչվում են նշանակալիության մակարդակներ կամ էականության մակարդակներ։ Տրված մակարդակներից հավաստի եզրակացություններ են ապահովվում P հավանականությամբ։ 3 = 0,999: Վստահության հավանականության յուրաքանչյուր մակարդակ համապատասխանում է նորմալացված շեղման որոշակի արժեքին (տես Աղյուսակ 27): Եթե ​​չկա հավանականության միջակայքի արժեքների ստանդարտ աղյուսակներ, ապա այս հավանականությունը կարող է հաշվարկվել որոշակի աստիճանի մոտավորությամբ՝ օգտագործելով բանաձևը.

R (<) = - = ^ = 1 e "~ yi.

Նկար 11-ում ընդհանուր տարածքի այն հատվածները, որոնք սահմանափակված են նորմալ կորով և x առանցքով, որոնք համապատասխանում են արժեքին, ստվերված են: <= ± 1;<= ± 2; <= и 3 и для которых вероятности равны 0,6287, 0,9545; 0,9973. При точечном оценке рассчитывается, как уже известно, средняя ошибка выборки, при интервальном - предельная.

Կախված միավորների ընտրության սկզբունքներից (կրկնվող կամ առանց կրկնության) նմուշառման սխալների հաշվարկման կառուցվածքային բանաձևեր.

տարբերվում են ուղղման մեծությամբ (N):

Բրինձ. 11. Նորմալ հավանականության բաշխման կորը

Աղյուսակ 40-ում ներկայացված են ընդհանուր պարամետրի գնահատման սխալների հաշվարկման բանաձևերը:

Դիտարկենք ընտրանքային դիտարկման տվյալների հիման վրա ընդհանուր բնակչության պարամետրերի ինտերվալային գնահատման կոնկրետ դեպքը:

Օրինակ.Տարածաշրջանի գյուղացիական տնտեսությունների ընտրանքային հետազոտության ժամանակ պարզվել է, որ կովերի միջին օրական կաթնատվությունը (x) կազմում է 10 կգ: Մաքուր ցեղատեսակի խոշոր եղջերավոր անասունների մասնաբաժինը ընդհանուր անասնագլխաքանակում կազմում է 80%: P = 0,954 վստահության հավանականությամբ նմուշառման սխալը հավասար է 0,2 կգ-ի; մասնավոր ցեղատեսակի անասունների համար 1%:

Այսպիսով, այն սահմանները, որոնցում կարող է լինել ընդհանուր միջինը

կատարումը կլինի 9.8<х <10,2; для генеральной доли скота -79 <Р <81.

Եզրակացություն՝ 0,954 հավանականությամբ կարելի է փաստել, որ կովերի ընտրովի միջին արտադրողականության և ընդհանուր արտադրողականության միջև տարբերությունը 0,2 կգ է։ Միջին օրական կաթնատվությունը 9,8 և 10,2 կգ է։ Տարածաշրջանի ձեռնարկություններում մաքուր ցեղատեսակի խոշոր եղջերավոր անասունների տեսակարար կշիռը (տեսակարար կշիռը) տատանվում է 79-81%-ի սահմաններում, գնահատման սխալը չի ​​գերազանցում 1%-ը։

Աղյուսակ 40

Կետային և միջակայքային նմուշառման սխալների հաշվարկ

Նմուշը կազմակերպելիս կարևոր է որոշել նմուշի պահանջվող չափը (n): Վերջինս կախված է հետազոտվող բնակչության միավորների տատանումներից: Որքան մեծ է բազմազանությունը, այնքան մեծ պետք է լինի ընտրանքի չափը: Հակադարձ կապ ընտրանքի չափի և դրա սահմանային սխալի միջև: Ավելի փոքր սխալ ստանալու ցանկությունը պահանջում է մեծացնել ընտրանքի պոպուլյացիայի չափը:

Նմուշի պահանջվող չափը որոշվում է նմուշառման առավելագույն սխալի (d) բանաձևերի հիման վրա՝ հավանականության տվյալ մակարդակով (P): Մաթեմատիկական փոխակերպումների միջոցով ստացվում են նմուշի չափի հաշվարկման բանաձևեր (Աղյուսակ 41):

Աղյուսակ 41

Պահանջվող նմուշի չափի հաշվարկ _

Հարկ է նշել, որ վիճակագրական գնահատումների առնչությամբ նշված ամեն ինչ հիմնված է այն ենթադրության վրա, որ ընտրանքային պոպուլյացիան, որի պարամետրերն օգտագործվում են գնահատման մեջ, ստացվում է ընտրության մեթոդի (մեթոդի) միջոցով, որն ապահովում է ընտրանքի հավանականությունները:

Միևնույն ժամանակ, գնահատման վստահության հավանականությունն ընտրելիս պետք է առաջնորդվել այն սկզբունքով, որ դրա մակարդակի ընտրությունը մաթեմատիկական խնդիր չէ, այլ որոշվում է հատուկ լուծվող խնդրով։ Սա հաստատելու համար դիտարկենք մի օրինակ.

Օրինակ.Ենթադրենք, որ երկու ձեռնարկություններում պատրաստի (բարձրորակ) արտադրանքի արտադրության հավանականությունը P = 0,999 է, այսինքն, թերի արտադրանք ստանալու հավանականությունը կլինի a = 0,001: Հնարավո՞ր է մաթեմատիկական նկատառումների շրջանակներում, առանց ապրանքի բնույթով հետաքրքրվելու, լուծել այն հարցը, թե արդյոք կար պակասի մեծ հավանականություն a = 0,001: Ասենք, մի ձեռնարկությունն արտադրում է սերմնացաններ, իսկ երկրորդը՝ մշակաբույսերի մշակման համար նախատեսված ինքնաթիռներ։ Եթե ​​1000 սերմնացաններից մեկը թերի է, ապա դա կարելի է հանդուրժել, քանի որ սերմնացանների 0,1%-ի հալումն ավելի էժան է, քան տեխնոլոգիական գործընթացի վերակառուցումը։ Եթե ​​1000 օդանավից լինի մեկ անսարք ինքնաթիռ, դա, անշուշտ, կբերի լուրջ հետեւանքների դրա շահագործման ընթացքում։ Այսպիսով, առաջին դեպքում՝ ամուսնանալու հավանականությունը Ա = 0,001 կարելի է ընդունել, երկրորդ դեպքում՝ ոչ։ Այդ իսկ պատճառով, ընդհանուր առմամբ հաշվարկներում և մասնավորապես գնահատումները հաշվարկելիս վստահության հավանականության ընտրությունը պետք է իրականացվի հիմնվելով խնդրի կոնկրետ պայմանների վրա:

Կախված ուսումնասիրության նպատակներից, կարող է անհրաժեշտ լինել հաշվարկել մեկ կամ երկու վստահության սահման: Եթե ​​լուծվող խնդրի առանձնահատկությունները պահանջում են սահմաններից միայն մեկը դնել՝ վերին կամ ստորին, կարող եք համոզվել, որ հավանականությունը, որով սահմանվում է այս սահմանը, կլինի ավելի բարձր, քան վստահության գործակից 1-ի նույն արժեքի համար երկու սահմանները նշելիս։

Թող վստահության սահմանները սահմանվեն P = 0,95 հավանականությամբ, այսինքն.

95% դեպքերում ընդհանուր միջինը (x) կլինի ցածրից ոչ պակաս

վստահության միջակայքը x ™ - x «m և ոչ ավելի, քան վերին վստահությունը

ինտերվալ Xup - = x + Այս դեպքում միայն a = 0,05 (կամ 5%) հավանականությամբ ընդհանուր միջինը կարող է դուրս գալ նշված սահմաններից: Քանի որ X-ի բաշխումը սիմետրիկ է, ապա այս մակարդակի կեսը

հավանականությունը, այսինքն՝ 2,5%-ը տեղի կունենա այն դեպքում, երբ x (x ™ - իսկ երկրորդ կեսը՝ այն դեպքում, երբ, x ^ x "^ -: Սրանից հետևում է, որ հավանականությունը, որ ընդհանուր միջինը կարող է փոքր լինել, քան վերին արժեք

Hvei-ի վստահության սահմանը «- հավասար է 0,975-ի (այսինքն՝ 0,95 +0,025): Հետևաբար, պայմաններ են ստեղծվում, երբ երկու վստահության սահմաններով մենք անտեսում ենք.

x-ի արժեքը և՛ x ""*.-ից փոքր է, և՛ ավելի մեծ կամ Heerx: Անվանում

միայն մեկ վստահության սահման, օրինակ՝ Xup., մենք անտեսում ենք միայն այս սահմանը գերազանցողներին։ Վստահության X գործակցի նույն արժեքի համար a նշանակության մակարդակն այստեղ երկու անգամ պակաս է ստացվում։

Եթե ​​միայն բնորոշ արժեքները, որոնք գերազանցում են

(կամ հակառակը մի գերազանցեք) ցանկալի x պարամետրի արժեքը, վստահության միջակայքը կոչվում է միակողմանի: Եթե ​​դիտարկվող արժեքները սահմանափակ են երկու կողմից, ապա վստահության միջակայքը կոչվում է երկկողմանի: Վերոնշյալից հետևում է, որ վարկածները և մի շարք չափանիշներ, մասնավորապես X-Student թեստը պետք է դիտարկել որպես միակողմանի և երկկողմանի: Հետևաբար, երկկողմանի հիպոթեզով X-ի նույն արժեքի նշանակության մակարդակը երկու անգամ ավելի մեծ կլինի միակողմանիից: Եթե ​​միակողմանի հիպոթեզի դեպքում ուզում ենք նշանակության մակարդակը (և վստահության մակարդակը) թողնել նույնը, ինչ երկկողմանի վարկածի դեպքում, ապա X-ի արժեքը պետք է ավելի քիչ վերցնել: Այս հատկանիշը հաշվի է առնվել X-Student չափանիշների ստանդարտ աղյուսակները կազմելիս (Հավելված 1):

Հայտնի է, որ գործնական տեսանկյունից հաճախ հետաքրքրություն է առաջացնում ոչ այնքան ընդհանուր միջինի հնարավոր արժեքի վստահության միջակայքերը, այլ այն առավելագույն և նվազագույն արժեքները, որոնց ընդհանուր միջինը չի կարող լինել ավելի կամ պակաս: քան տրված (վստահության) հավանականությամբ։ Մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ դրանք կոչվում են երաշխավորված առավելագույն և միջինի երաշխավորված նվազագույն։ Նշանակած պարամետրերը նշելով

համապատասխանաբար, x ™-ի միջոցով մենք կարող ենք գրել՝ ХШ ™ = x +; xship = x ~.

Ընդհանուր միջինի երաշխավորված առավելագույն և նվազագույն արժեքները հաշվարկելիս, որպես վերը նշված բանաձևերում միակողմանի վստահության միջակայքի սահմաններ, արժեքը. 1 ընդունվում է որպես միակողմանի չափանիշ։

Օրինակ. 20 նմուշային հողամասերի համար շաքարի ճակնդեղի միջին բերքատվությունը կազմել է 300 ն/հա: Այս նմուշի միջինը բնութագրում է համապատասխանը

բնակչության պարամետր (x) 10 ն/հա սխալով: Ըստ գնահատումների ընտրողականության՝ ընդհանուր միջին եկամտաբերությունը կարող է լինել կամ ավելի մեծ, կամ փոքր, քան ընտրանքի միջինը x = 300: P = 0.95 հավանականությամբ կարելի է ասել, որ ցանկալի պարամետրը չի լինի XIII «= 300 +1.73-ից մեծ: x10 = 317,3 կգ / հա:

1 արժեքը վերցված է ազատության աստիճանների քանակի համար ^ = 20-1 միակողմանի կրիտիկական շրջանով և նշանակության մակարդակով Ա = 0,05 (Հավելված 1): Այսպիսով, P = 0,95 հավանականության դեպքում ընդհանուր միջին բերքատվության երաշխավորված առավելագույն հնարավոր մակարդակը գնահատվում է 317 ն/հա, այսինքն՝ բարենպաստ պայմաններում շաքարի ճակնդեղի միջին բերքատվությունը չի գերազանցում նշված արժեքը։

Գիտելիքների որոշ ճյուղերում (օրինակ՝ բնական գիտություններում) գնահատման տեսությունը զիջում է վիճակագրական վարկածների ստուգման տեսությանը։ Տնտեսագիտության մեջ վիճակագրական գնահատման մեթոդները շատ կարևոր դեր են խաղում հետազոտության արդյունքների հավաստիությունը ստուգելու, ինչպես նաև տարբեր տեսակի գործնական հաշվարկներում: Առաջին հերթին դա վերաբերում է ուսումնասիրվող վիճակագրական պոպուլյացիաների կետային գնահատականի օգտագործմանը: Հնարավոր լավագույն գնահատական ​​ընտրելը կետային գնահատման հիմնական խնդիրն է: Նման ընտրության հնարավորությունը որոշվում է վիճակագրական գնահատումների հիմնական հատկությունների (պահանջների) իմացությամբ:

Թող անհրաժեշտ լինի ուսումնասիրել ընդհանուր բնակչության քանակական բնութագիրը: Ենթադրենք, որ տեսական նկատառումներից ելնելով մենք կարողացել ենք ճշգրիտ որոշել, թե ինչ բաշխում ունի հատկանիշը: Խնդիրն առաջանում է գնահատելու այն պարամետրերը, որոնք որոշում են այս բաշխումը: Օրինակ, եթե նախապես հայտնի է, որ ուսումնասիրվող բնութագիրը սովորական օրենքի համաձայն բաշխված է ընդհանուր բնակչության մեջ, ապա անհրաժեշտ է գնահատել մաթեմատիկական ակնկալիքը և ստանդարտ շեղումը, քանի որ այս երկու պարամետրերը լիովին որոշում են նորմալ բաշխումը: Եթե ​​հիմքեր կան ենթադրելու, որ հատկանիշն ունի Պուասոնի բաշխում, ապա անհրաժեշտ է գնահատել այն պարամետրը, որով որոշվում է այս բաշխումը: Որպես կանոն, առկա են միայն դիտարկումներից ստացված նմուշային տվյալներ՝ , , ... , . Գնահատված պարամետրը արտահայտվում է այս տվյալների միջոցով: Հաշվի առնելով , , ... որպես անկախ պատահական փոփոխականների արժեքներ , ... , , կարող ենք ասել, որ տեսական բաշխման անհայտ պարամետրի վիճակագրական գնահատում գտնելը նշանակում է գտնել դիտարկված պատահական փոփոխականների ֆունկցիա, որը տալիս է մոտավոր գնահատված պարամետրի արժեքը.

Այսպիսով, վիճակագրական գնահատումՏեսական բաշխման անհայտ պարամետրը կոչվում է դիտարկվող պատահական փոփոխականների ֆունկցիա։ Կոչվում է մեկ թվի օգտագործմամբ անհայտ պոպուլյացիայի պարամետրի վիճակագրական գնահատում կետ. Դիտարկվում են հետևյալ կետերի գնահատումները՝ կողմնակալ և անկողմնակալ, արդյունավետ և հետևողական:

Որպեսզի վիճակագրական գնահատումները գնահատված պարամետրերի լավ մոտարկումներ ապահովեն, դրանք պետք է բավարարեն որոշակի պահանջներ: Եկեք նշենք այս պահանջները: Թող լինի տեսական բաշխման անհայտ պարամետրի վիճակագրական գնահատում: Ենթադրենք, որ հաշվարկ է հայտնաբերվել ծավալի նմուշից։ Կրկնենք փորձը, այսինքն՝ կհանենք նույն չափի ևս մեկ նմուշ նրանց ընդհանուր պոպուլյացիայից և, օգտագործելով դրա տվյալները, կգտնենք գնահատական ​​և այլն։ Մենք կստանանք թվեր, , ..., որոնք տարբեր կլինեն յուրաքանչյուրից։ այլ. Այսպիսով, գնահատումը կարելի է դիտարկել որպես պատահական փոփոխական, իսկ , , ... թվերը՝ որպես դրա հնարավոր արժեքներ։

Եթե ​​գնահատումը տալիս է մոտավոր արժեք՝ ավելցուկով, ապա ընտրանքի տվյալներից հայտնաբերված թիվը ( ) ավելի մեծ կլինի, քան իրական արժեքը: Հետևաբար, պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը (միջին արժեքը) ավելի մեծ կլինի, քան, այսինքն. Եթե ​​այն տալիս է մոտավոր արժեք թերության հետ, ապա .

Այսպիսով, օգտագործելով վիճակագրական գնահատականը, որի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար չէ գնահատվող պարամետրին, կհանգեցնի համակարգային սխալների: Հետևաբար, անհրաժեշտ է պահանջել, որ գնահատման մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար լինի գնահատված պարամետրին: Պահանջին համապատասխանելը վերացնում է համակարգված սխալները:

Անաչառկոչվում է վիճակագրական գնահատում, որի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է գնահատված պարամետրին, այսինքն.

Տեղահանվածկոչվում է վիճակագրական գնահատում, որի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար չէ գնահատված պարամետրին։

Այնուամենայնիվ, սխալ է ենթադրել, որ անաչառ գնահատականը միշտ տալիս է գնահատված պարամետրի լավ մոտարկում: Իրոք, հնարավոր արժեքները կարող են լայնորեն ցրված լինել իրենց միջին արժեքի շուրջ, այսինքն, արժեքի ցրվածությունը կարող է նշանակալի լինել: Այս դեպքում, օրինակ, մեկ նմուշի տվյալներից հայտնաբերված գնահատականը կարող է շատ հեռու լինել դրա միջին արժեքից և, հետևաբար, հենց գնահատված պարամետրից: Եթե ​​որպես մոտավոր արժեք վերցնեինք, մեծ սխալ կգործեինք։ Եթե ​​դուք պահանջում եք, որ քանակի շեղումը փոքր լինի, ապա մեծ սխալ թույլ տալու հնարավորությունը կվերանա: Հետևաբար, վիճակագրական գնահատումը ենթակա է արդյունավետության պահանջներին:

Արդյունավետվիճակագրական գնահատական ​​է, որը (տվյալ ընտրանքի չափի համար) ունի ամենափոքր հնարավոր շեղումը: Մեծ նմուշներ դիտարկելիս վիճակագրական գնահատականները պետք է լինեն հետևողական:

Հարուստկոչվում է վիճակագրական գնահատում, որը հակված է գնահատված պարամետրին: Օրինակ, եթե անկողմնակալ գնահատականի շեղումը միտված է զրոյի, ապա այդպիսի գնահատումը պարզվում է, որ համահունչ է:

Եկեք քննարկենք այն հարցը, թե որ ընտրանքի բնութագրիչները լավագույնս են գնահատում ընդհանուր միջինը և շեղումը անաչառության, արդյունավետության և հետևողականության տեսանկյունից:

Եկեք ուսումնասիրենք դիսկրետ ընդհանուր պոպուլյացիան՝ կապված քանակական բնութագրի հետ: Ընդհանուր միջնակարգկոչվում է ընդհանուր բնակչության բնորոշ արժեքների թվաբանական միջին: Այն կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևեր կամ որտեղ են ընդհանուր ծավալի բնակչության բնութագրիչի արժեքները, համապատասխան հաճախականություններն են և.

Թող քանակական բնութագրի անկախ դիտարկումների արդյունքում ընդհանուր բնակչությունից հանվի բնորոշ արժեքներով ծավալի նմուշ . Նմուշի միջինըկոչվում է ընտրանքային բնակչության թվաբանական միջին: Այն կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևեր կամ , որտեղ են բնութագրիչի արժեքները ծավալի ընտրանքային պոպուլյացիայի մեջ, համապատասխան հաճախականություններն են և.

Եթե ​​ընդհանուր միջինը անհայտ է, և պահանջվում է այն գնահատել՝ օգտագործելով ընտրանքային տվյալները, ապա ընտրանքի միջինը, որն անաչառ և հետևողական գնահատական ​​է, ընդունվում է որպես ընդհանուր միջինի գնահատում: Սրանից հետևում է, որ եթե ընտրանքային միջոցները հայտնաբերվեն միևնույն ընդհանուր պոպուլյացիայի բավական մեծ չափի մի քանի նմուշներից, ապա դրանք մոտավորապես հավասար կլինեն միմյանց: Սա սեփականությունն է նմուշի միջոցների կայունությունը.

Նկատի ունեցեք, որ եթե երկու պոպուլյացիաների շեղումները նույնն են, ապա ընտրանքային միջոցների մոտությունը ընդհանուր միջինին կախված չէ ընտրանքի չափի և ընդհանուր բնակչության չափի հարաբերակցությունից: Դա կախված է ընտրանքի չափից. որքան մեծ է ընտրանքի չափը, այնքան քիչ է ընտրանքի միջինը տարբերվում ընդհանուր միջինից:

Պոպուլյացիայի քանակական բնութագրիչի արժեքների ցրվածությունը միջին արժեքի շուրջ բնութագրելու համար ներկայացվում է ամփոփ բնութագիր՝ ընդհանուր դիսպերսիա։ Ընդհանուր շեղումկոչվում է բնակչության բնութագրի արժեքների քառակուսի շեղումների միջին թվաբանական միջին արժեքից, որը հաշվարկվում է բանաձևերով. , կամ .

Նմուշի քանակական բնութագրի դիտարկված արժեքների ցրվածությունը միջին արժեքի շուրջը բնութագրելու համար ներկայացվում է ամփոփ բնութագիր՝ նմուշի շեղում: Նմուշի շեղումկոչվում է դիտված արժեքների քառակուսի շեղումների թվաբանական միջին թվաբանական միջին արժեքից, որը հաշվարկվում է բանաձևերով. , կամ .

Բացի ցրումից, ընդհանուր (նմուշի) բնակչության բնութագրիչի արժեքների ցրումը դրա միջին արժեքի շուրջ բնութագրելու համար օգտագործվում է ամփոփ բնութագիր՝ ստանդարտ շեղում: Ընդհանուր ստանդարտ շեղումկոչվում է ընդհանուր շեղման քառակուսի արմատ. Նմուշի ստանդարտ շեղումկոչվում է օրինակելի շեղումների քառակուսի արմատ.

Թող քանակական բնութագրի անկախ դիտարկումների արդյունքում ընդհանուր բնակչությունից հանվի ծավալի նմուշ: Պահանջվում է գնահատել անհայտ ընդհանուր շեղումը ընտրանքի տվյալների հիման վրա: Եթե ​​մենք վերցնենք ընտրանքի շեղումը որպես ընդհանուր շեղումների գնահատում, ապա այս գնահատումը կհանգեցնի համակարգված սխալների՝ տալով ընդհանուր շեղումների թերագնահատված արժեքը: Սա բացատրվում է նրանով, որ ընտրանքային տարբերությունը կողմնակալ գնահատական ​​է. այլ կերպ ասած, ընտրանքի շեղման մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար չէ գնահատված ընդհանուր շեղմանը, այլ հավասար է. .

Հեշտ է շտկել ընտրանքի շեղումը, որպեսզի դրա ակնկալվող արժեքը հավասար լինի բնակչության շեղմանը: Դա անելու համար բավական է բազմապատկել կոտորակով: Արդյունքում մենք ստանում ենք շտկված շեղումը, որը սովորաբար նշվում է . Ուղղված շեղումը կլինի բնակչության շեղումների անաչառ գնահատականը. .

2. Ինտերվալների գնահատումներ.

Կետային գնահատման հետ մեկտեղ պարամետրերի գնահատման վիճակագրական տեսությունը զբաղվում է ինտերվալների գնահատման հարցերով։ Ինտերվալների գնահատման խնդիրը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. ընտրանքային տվյալների հիման վրա կառուցեք թվային չեզոք, որի համեմատ, նախապես ընտրված հավանականությամբ, կարող ենք ասել, որ գնահատված պարամետրը գտնվում է այս միջակայքում: Ինտերվալների գնահատումը հատկապես անհրաժեշտ է փոքր թվով դիտարկումների դեպքում, երբ կետային գնահատումը հիմնականում պատահական է և, հետևաբար, ոչ այնքան հուսալի:

Վստահության միջակայքպարամետրի համար կոչվում է այնպիսի միջակայք, որի համեմատ հնարավոր է, միասնությանը մոտ նախապես ընտրված հավանականությամբ, պնդել, որ այն պարունակում է պարամետրի անհայտ արժեք, այսինքն. . Որքան փոքր է ընտրված հավանականության թիվը, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի անհայտ պարամետրի գնահատումը: Ընդհակառակը, եթե այս թիվը մեծ է, ապա այս միջակայքի օգտագործմամբ կատարված գնահատականը գործնականում քիչ օգտակար է: Քանի որ վստահության միջակայքի ծայրերը կախված են նմուշի տարրերից, նմուշների արժեքները և կարող են տարբեր լինել: Հավանականությունը սովորաբար կոչվում է վստահության հավանականություն (հուսալիություն): Որպես կանոն, գնահատման հուսալիությունը նախապես նշվում է, և որպես արժեք ընդունվում է մեկին մոտ թիվը: Վստահության հավանականության ընտրությունը մաթեմատիկական խնդիր չէ, այլ որոշվում է կոնկրետ լուծվող խնդրով։ Առավել հաճախ սահմանված հուսալիությունը հավասար է. ; .

Եկեք առանց ածանցման ներկայացնենք ստանդարտ շեղման հայտնի արժեքի ընդհանուր միջինի վստահության միջակայքը, պայմանով, որ պատահական փոփոխականը (քանակական բնութագիրը) սովորաբար բաշխված է.

որտեղ մեկին մոտ է կանխորոշված ​​թիվ, և ֆունկցիայի արժեքները տրված են Հավելված 2-ում:

Այս հարաբերությունների իմաստը հետևյալն է. կարելի է հավաստիորեն ասել, որ վստահության միջակայքը ( ) ծածկում է անհայտ պարամետրը, գնահատման ճշգրտությունը հավասար է . Թիվը որոշվում է հավասարությունից կամ . Օգտագործելով աղյուսակը (Հավելված 2) գտե՛ք այն արգումենտը, որին համապատասխանում է Լապլասի ֆունկցիայի արժեքը՝ հավասար .

Օրինակ 1. Պատահական փոփոխականն ունի նորմալ բաշխում՝ հայտնի ստանդարտ շեղումով: Գտեք վստահության միջակայքերը անհայտ ընդհանուր միջինը գնահատելու համար՝ ելնելով ընտրանքի միջինից, եթե տրված են ընտրանքի չափը և գնահատման հավաստիությունը:

Լուծում. Եկեք գտնենք այն: Հարաբերություններից մենք ստանում ենք դա: Օգտագործելով աղյուսակը (Հավելված 2) մենք գտնում ենք. Գտնենք գնահատման ճշգրտությունը . Վստահության միջակայքերը կլինեն. . Օրինակ, եթե , ապա վստահության միջակայքն ունի հետևյալ վստահության սահմանները. . Այսպիսով, անհայտ պարամետրի արժեքները, որոնք համահունչ են ընտրանքի տվյալներին, բավարարում են անհավասարությունը .

Ստանդարտ շեղման անհայտ արժեք ունեցող հատկանիշի նորմալ բաշխման ընդհանուր միջինի վստահության միջակայքը տրված է արտահայտությամբ. .

Դրանից բխում է, որ կարելի է հավաստիորեն ասել, որ վստահության միջակայքը ծածկում է անհայտ պարամետրը:

Կան պատրաստի աղյուսակներ (հավելված 4), որոնցից օգտվելով տրվածներից կարելի է գտնել հավանականությունը, և հակառակը, տրվածներով՝ գտնել։

Օրինակ 2. Բնակչության քանակական բնութագիրը սովորաբար բաշխված է։ Ծավալի նմուշի հիման վրա հայտնաբերվել է ընտրանքի միջինը և շտկված ստանդարտ շեղումը: Գնահատեք անհայտ ընդհանուր միջինը, օգտագործելով վստահության միջակայքը հուսալիությամբ:

Լուծում. Եկեք գտնենք այն: Օգտագործելով աղյուսակը (Հավելված 4) մենք գտնում ենք. Եկեք գտնենք վստահության սահմանները.

Այսպիսով, հուսալիության դեպքում անհայտ պարամետրը պարունակվում է վստահության միջակայքում:

3. Վիճակագրական վարկածի հայեցակարգը. Հիպոթեզի փորձարկման խնդրի ընդհանուր ձևակերպում.

Վիճակագրական վարկածների փորձարկումը սերտորեն կապված է պարամետրերի գնահատման տեսության հետ: Բնական գիտության, տեխնիկայի և տնտեսագիտության մեջ այս կամ այն ​​պատահական փաստը պարզաբանելու համար նրանք հաճախ դիմում են վարկածներ արտահայտելու, որոնք կարելի է ստուգել վիճակագրորեն, այսինքն՝ հիմնվելով պատահական նմուշի դիտարկումների արդյունքների վրա։ Տակ վիճակագրական վարկածներենթադրվում են վարկածներ, որոնք վերաբերում են պատահական փոփոխականի բաշխման կամ տեսակին կամ առանձին պարամետրերին: Այսպիսով, օրինակ, վիճակագրական վարկածն այն է, որ նույն պայմաններում նույն աշխատանքը կատարող աշխատողների աշխատանքի արտադրողականության բաշխումն ունի նորմալ բաշխման օրենք։ Վիճակագրական կլինի նաև այն վարկածը, որ զուգահեռ աշխատող մեքենաների վրա արտադրվող մասերի միջին չափերը չեն տարբերվում միմյանցից։

Վիճակագրական վարկածը կոչվում է պարզ, եթե այն եզակիորեն որոշում է պատահական փոփոխականի բաշխումը, հակառակ դեպքում վարկածը կոչվում է համալիր.Օրինակ, պարզ վարկածն այն ենթադրությունն է, որ պատահական փոփոխականը սովորաբար բաշխվում է զրոյի հավասար մաթեմատիկական ակնկալիքով և մեկին հավասար շեղումով: Եթե ​​ենթադրվում է, որ պատահական փոփոխականն ունի նորմալ բաշխում՝ մեկին հավասար շեղումով, իսկ մաթեմատիկական ակնկալիքը միջակայքից մի թիվ է, ապա սա բարդ վարկած է։ Բարդ վարկածի մեկ այլ օրինակ է այն ենթադրությունը, որ շարունակական պատահական փոփոխականը, ամենայն հավանականությամբ, կվերցնի արժեք միջակայքից, որի դեպքում պատահական փոփոխականի բաշխումը կարող է լինել շարունակական բաշխումների դասերից որևէ մեկը:

Հաճախ մեծության բաշխումը հայտնի է, և անհրաժեշտ է ստուգել այս բաշխման պարամետրերի արժեքի վերաբերյալ ենթադրությունները՝ օգտագործելով դիտարկումների նմուշը: Նման վարկածները կոչվում են պարամետրային.

Փորձարկվող վարկածը կոչվում է զրոյական վարկածև նշանակված է. Վարկածի հետ մեկտեղ դիտարկվում է այլընտրանքային (մրցակցող) վարկածներից մեկը։ Օրինակ, եթե փորձարկվում է այն վարկածը, որ պարամետրը հավասար է որոշակի արժեքի, այսինքն՝ , ապա հետևյալ վարկածներից մեկը կարող է դիտարկվել որպես այլընտրանքային վարկած. : : , որտեղ է նշված արժեքը, . Այլընտրանքային վարկածի ընտրությունը որոշվում է խնդրի կոնկրետ ձևակերպմամբ։

Կանոնը, որով որոշում է կայացվում վարկածն ընդունելու կամ մերժելու մասին, կոչվում է չափանիշ. Քանի որ որոշումն ընդունվում է պատահական փոփոխականի դիտարկումների նմուշի հիման վրա, անհրաժեշտ է ընտրել համապատասխան վիճակագրություն, որն այս դեպքում կոչվում է թեստային վիճակագրություն։ Պարզ պարամետրային վարկածը ստուգելիս՝ որպես չափանիշ վիճակագրություն ընտրվում է նույն վիճակագրությունը, ինչ պարամետրը գնահատելու համար:

Վիճակագրական հիպոթեզների փորձարկումը հիմնված է այն սկզբունքի վրա, որ ցածր հավանականության իրադարձությունները համարվում են անհնար, իսկ մեծ հավանականություն ունեցող իրադարձությունները՝ հուսալի: Այս սկզբունքը կարող է իրականացվել հետևյալ կերպ. Նախքան նմուշը վերլուծելը ամրագրվում է որոշակի փոքր հավանականություն, որը կոչվում է նշանակության մակարդակը. Թող լինի վիճակագրական արժեքների մի շարք և թող լինի այնպիսի ենթաբազմություն, որ եթե վարկածը ճիշտ է, չափանիշի վիճակագրության մեջ ընկնելու հավանականությունը հավասար է, այսինքն. .

Նշենք վիճակագրության նմուշային արժեքով, որը հաշվարկվում է դիտարկումների նմուշից։ Չափանիշը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. մերժել վարկածը, եթե. ընդունել վարկածը, եթե. Նախապես որոշված ​​նշանակության մակարդակի կիրառման վրա հիմնված չափանիշը կոչվում է նշանակության չափանիշ. Չափանիշի վիճակագրության բոլոր արժեքների ամբողջությունը, որի դեպքում որոշում է կայացվում մերժել վարկածը, կոչվում է. կրիտիկական տարածք; տարածքը կոչվում է որդեգրման տարածքըվարկածներ.

Նշանակության մակարդակը որոշում է կրիտիկական շրջանի չափը: Վիճակագրական արժեքների բազմության վրա կրիտիկական շրջանի դիրքը կախված է այլընտրանքային վարկածի ձևակերպումից: Օրինակ, եթե վարկածը փորձարկվում է. , իսկ այլընտրանքային վարկածը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ. (), որտեղ և կան այն վիճակագրական արժեքները, որոնք ընդունվում են համապատասխանաբար հավանականություններով և պայմանով, որ վարկածը ճշմարիտ է: Այս դեպքում չափանիշը կոչվում է միակողմանի, համապատասխանաբար աջլիկ եւ ձախլիկ։ Եթե ​​այլընտրանքային վարկածը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. այս դեպքում չափանիշը կոչվում է երկկողմանի.

Նկ. Նկար 30-ը ցույց է տալիս տարբեր այլընտրանքային վարկածների համար կրիտիկական շրջանի գտնվելու վայրը: Ահա չափանիշի վիճակագրության բաշխման խտությունը, պայմանով, որ վարկածը ճշմարիտ է, վարկածի ընդունման տարածքն է, .

Այսպիսով, պարամետրային վիճակագրական վարկածի փորձարկումը նշանակալիության թեստի միջոցով կարելի է բաժանել հետևյալ փուլերի.

1) ձևակերպել ստուգելի () և այլընտրանքային () վարկածներ.

2) նշանակել նշանակության մակարդակ. քանի որ անհամապատասխան է դիտարկումների արդյունքներին. եթե , ապա ընդունեք վարկածը, այսինքն՝ ենթադրեք, որ վարկածը չի հակասում դիտարկման արդյունքներին:

Սովորաբար, 4-ից 7-րդ քայլերն իրականացնելիս օգտագործվում է վիճակագրություն, որի քվենտիլները աղյուսակավորված են՝ վիճակագրություն նորմալ բաշխմամբ, Ուսանողների վիճակագրություն, Ֆիշերի վիճակագրություն:

Օրինակ 3. Ըստ մեքենայի շարժիչի անձնագրային տվյալների՝ վառելիքի ծախսը մեկ 100 կմվազքը է 10 լ. Շարժիչի դիզայնի փոփոխության արդյունքում ակնկալվում է վառելիքի սպառման նվազում։ Ստուգելու համար կատարվում են թեստեր 25 պատահականորեն ընտրված ավտոմեքենաներ՝ արդիականացված շարժիչով, վառելիքի սպառման միջին նմուշով 100 կմվազքը ըստ թեստի արդյունքների եղել է 9,3 լ. Ենթադրենք, որ վառելիքի սպառման նմուշը վերցված է նորմալ բաշխված պոպուլյացիայից՝ միջին և շեղումներով: Պայմանով, որ նախնական վիճակագրության համար կրիտիկական շրջանի վարկածը ճիշտ է, այսինքն՝ հավասար է նշանակության մակարդակին: Գտեք առաջին և երկրորդ տիպի սխալների հավանականությունը նման կրիտիկական շրջան ունեցող չափանիշի համար: ունի նորմալ բաշխում, որի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է և հավասար է շեղումը: Մենք գտնում ենք երկրորդ տիպի սխալի հավանականությունը՝ օգտագործելով բանաձևը (11.2).

Ուստի, ընդունված չափանիշի համաձայն, վառելիքի ծախս ունեցող մեքենաների 13.6%-ը 9 լվրա 100 կմվազքը դասակարգվում է որպես վառելիքի ծախս ունեցող տրանսպորտային միջոցներ 10 լ.

4. Տեսական և էմպիրիկ հաճախականություններ: Համաձայնության չափանիշներ.

Էմպիրիկ հաճախականություններ- փորձի (դիտարկման) արդյունքում ստացված հաճախականություններ. Տեսական հաճախականություններհաշվարկվում են բանաձևերի միջոցով: Բաշխման նորմալ օրենքի համար դրանք կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

, (11.3)

Դասախոսության ուրվագիծը.

Գնահատման հայեցակարգ

Վիճակագրական գնահատումների հատկությունները

Կետերի գնահատականները գտնելու մեթոդներ

Ինտերվալի պարամետրի գնահատում

Վստահության միջակայքը մաթեմատիկական ակնկալիքի համար՝ նորմալ բաշխված բնակչության հայտնի շեղումով:

Chi-square բաշխում և Student's t-բաշխում:

Վստահության միջակայքը պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքի համար, որն ունի նորմալ բաշխում անհայտ շեղումով:

Վստահության միջակայքը նորմալ բաշխման ստանդարտ շեղման համար:

Մատենագիտություն:

Վենցել, Է.Ս. Հավանականությունների տեսություն [Text] / E.S. Վենցել. – Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 2006. – 575 էջ.

Գմուրման, Վ.Է. Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն [Text] / V.E. Գմուրման. - Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 2007. - 480 էջ.

Կրեմերը, Ն.Շ. Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն [Տեքստ] / Ն.Շ. Kremer - M: Միասնություն, 2002. – 543 p.

P.1. Գնահատման հայեցակարգ

Բաշխումները, ինչպիսիք են երկանդամը, էքսպոնենցիալը և նորմալը, բաշխումների ընտանիքներ են, որոնք կախված են մեկ կամ մի քանի պարամետրերից: Օրինակ, հավանականության խտությամբ էքսպոնենցիալ բաշխումը կախված է մեկ պարամետրից λ՝ նորմալ բաշխում
- երկու պարամետրերից մեւ ս. Ուսումնասիրվող խնդրի պայմաններից սովորաբար պարզ է դառնում, թե բաշխումների որ ընտանիքի մասին է խոսքը։ Այնուամենայնիվ, այս բաշխման պարամետրերի հատուկ արժեքները, որոնք ներառված են մեզ հետաքրքրող բաշխման բնութագրերի արտահայտություններում, մնում են անհայտ: Ուստի անհրաժեշտ է իմանալ այդ քանակությունների գոնե մոտավոր արժեքը։

Թող ընդհանուր բնակչության բաշխման օրենքը որոշվի մինչև դրա բաշխման մեջ ներառված պարամետրերի արժեքները
, որոնցից մի քանիսը կարող են հայտնի լինել: Մաթեմատիկական վիճակագրության խնդիրներից մեկը դիտարկումների նմուշից անհայտ պարամետրերի գնահատականներ գտնելն է
ընդհանուր բնակչությունից։ Անհայտ պարամետրերի գնահատումը բաղկացած է ֆունկցիայի կառուցումից
պատահական նմուշից այնպես, որ այս ֆունկցիայի արժեքը մոտավորապես հավասար է գնահատված անհայտ պարամետրին θ . Գործառույթ կանչեց վիճակագրությունպարամետր θ .

Վիճակագրական գնահատում(ապագայում պարզապես գնահատում) պարամետր θ Տեսական բաշխումը կոչվում է դրա մոտավոր արժեք՝ կախված ընտրության տվյալներից։

Դասարան պատահական փոփոխական է, քանի որ անկախ պատահական փոփոխականների ֆունկցիա է
; Եթե ​​դուք պատրաստեք մեկ այլ նմուշ, ապա ֆունկցիան, ընդհանուր առմամբ, այլ արժեք կունենա:

Գոյություն ունեն երկու տեսակի գնահատումներ՝ կետ և միջակայք:

Բիծկոչվում է մեկ թվով որոշված ​​միավոր: Փոքր թվով դիտարկումների դեպքում այս գնահատումները կարող են հանգեցնել կոպիտ սխալների: Դրանցից խուսափելու համար օգտագործվում են միջակայքային գնահատականներ:

ԻնտերվալԳնահատում է, որը որոշվում է երկու թվերով՝ այն միջակայքի ծայրերը, որոնցում գնահատված արժեքը պարունակվում է տվյալ հավանականությամբ։ θ .

P. 2 Վիճակագրական գնահատումների հատկությունները

Չափը
կանչեց գնահատման ճշգրտությունը. Որքան քիչ
, որքան լավ է, այնքան ավելի ճշգրիտ է որոշվում անհայտ պարամետրը։

Ցանկացած պարամետրի գնահատումը ենթակա է մի շարք պահանջների, որոնք այն պետք է բավարարի պարամետրի իրական արժեքին «մոտ» լինելու համար, այսինքն. ինչ-որ իմաստով լինել «բարորակ» գնահատական: Գնահատման որակը որոշվում է՝ ստուգելով, թե արդյոք այն ունի անկողմնակալության, արդյունավետության և հետևողականության հատկություններ:

Դասարան պարամետր θ կանչեց չտեղահանված(առանց համակարգված սխալների), եթե գնահատման մաթեմատիկական ակնկալիքը համընկնում է իրական արժեքի հետ θ :

. (1)

Եթե ​​(1) հավասարությունը չի պահպանվում, ապա գնահատումը կանչեց տեղահանված(սիստեմատիկ սխալներով): Այս կողմնակալությունը կարող է պայմանավորված լինել չափման սխալներով, հաշվելու սխալներով կամ նմուշի ոչ պատահական բնույթով: Համակարգային սխալները հանգեցնում են գերագնահատման կամ թերագնահատման:

Մաթեմատիկական վիճակագրության որոշ խնդիրների դեպքում կարող են լինել մի քանի անաչառ գնահատականներ: Սովորաբար նախապատվությունը տրվում է նվազագույն ցրվածություն (ցրվածություն) ունեցողին։

Դասարան կանչեց արդյունավետ, եթե այն ունի ամենափոքր շեղումը պարամետրի բոլոր հնարավոր անաչառ գնահատականների միջև θ .

Թող Դ() նվազագույն շեղումն է, և
– ցանկացած այլ անաչառ գնահատականի շեղում պարամետր θ . Այնուհետեւ գնահատման արդյունավետությունը հավասար է

. (2)

Պարզ է, որ
. Որքան ավելի մոտ
1-ին, այնքան ավելի արդյունավետ կլինի գնահատումը . Եթե
ժամը
, ապա հաշվարկը կոչվում է ասիմպտոտիկ արդյունավետ.

ՄեկնաբանությունԵթե ​​հաշիվը կողմնակալ է, ապա դրա շեղման փոքրությունը չի ցույց տալիս իր սխալի փոքրությունը: Ընդունելով, օրինակ, որպես պարամետրի գնահատում θ ինչ-որ թիվ , մենք ստանում ենք գնահատական ​​նույնիսկ զրոյական շեղումով։ Այնուամենայնիվ, այս դեպքում սխալը (սխալը)
կարող է լինել այնքան մեծ, որքան ցանկանում եք:

Դասարան կանչեց հարուստեթե ընտրանքի չափը մեծանում է (
) գնահատականը հակված է պարամետրի ճշգրիտ արժեքին θ , այսինքն. եթե որևէ մեկի համար

. (3)

Գնահատման վավերականությունը պարամետր θ նշանակում է, որ աճի հետ nնմուշի չափի գնահատման որակը բարելավվում է.

Թեորեմ 1. Ընտրանքային միջինը մաթեմատիկական ակնկալիքի անաչառ և հետևողական գնահատումն է:

Թեորեմ 2. Ուղղված ընտրանքի շեղումը շեղման անաչառ և հետևողական գնահատումն է:

Թեորեմ 3. Նմուշի էմպիրիկ բաշխման ֆունկցիան պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիայի անաչառ և հետևողական գնահատումն է: