Գործառույթների ասիմպտոտիկ վարքագիծ: անվերջ փոքր ֆունկցիաների համեմատություն
Ինչպես նշված է նախորդ բաժինը, դասական ալգորիթմների ուսումնասիրությունը շատ դեպքերում կարող է իրականացվել մաթեմատիկական վիճակագրության ասիմպտոտիկ մեթոդների կիրառմամբ, մասնավորապես՝ օգտագործելով CLT և կոնվերգենցիայի ժառանգականության մեթոդները։ Դասական մաթեմատիկական վիճակագրության տարանջատումը կիրառական հետազոտությունների կարիքներից դրսևորվեց, մասնավորապես, նրանով, որ հանրաճանաչ մենագրություններին բացակայում է մաթեմատիկական ապարատը, որն անհրաժեշտ է, մասնավորապես, երկու նմուշի վիճակագրության ուսումնասիրության համար: Ներքեւի տողն այն է, որ դուք պետք է գնաք սահմանին ոչ թե մեկ պարամետրով, այլ երկուով `երկու նմուշի ծավալներով: Ես պետք է մշակեի համապատասխան տեսություն՝ մեր մենագրության մեջ շարադրված սերտաճման ժառանգության տեսությունը։
Այնուամենայնիվ, նման ուսումնասիրության արդյունքները պետք է կիրառվեն վերջնական նմուշի չափերով: Նման անցման հետ կապված խնդիրների մի ամբողջ փունջ կա։ Դրանցից մի քանիսը քննարկվել են կոնկրետ բաշխումների նմուշներից կառուցված վիճակագրության հատկությունների ուսումնասիրության հետ կապված:
Այնուամենայնիվ, վիճակագրական ընթացակարգերի հատկությունների վրա նախնական ենթադրություններից շեղումների ազդեցությունը քննարկելիս լրացուցիչ խնդիրներ են առաջանում: Ի՞նչ շեղումներ են համարվում բնորոշ: Պետք է կենտրոնանալ առավել «վնասակար» շեղումների վրա, որոնք մեծ չափով աղավաղում են ալգորիթմների հատկությունները, թե՞ պետք է կենտրոնանալ «տիպիկ» շեղումների վրա։
Առաջին մոտեցմամբ մենք երաշխավորված արդյունք ենք ստանում, բայց այս արդյունքի «գինը» կարող է անհարկի բարձր լինել։ Որպես օրինակ, մենք մատնանշում ենք համընդհանուր Berry-Esseen անհավասարությունը CLT-ի սխալի համար: Միանգամայն իրավացիորեն ընդգծում է Ա.Ա. Բորովկովը, որ «իրական խնդիրներում մերձեցման տեմպերը, որպես կանոն, ավելի լավ են ստացվում»։
Երկրորդ մոտեցման դեպքում հարց է առաջանում, թե որ շեղումներն են համարվում «տիպիկ»։ Դուք կարող եք փորձել պատասխանել այս հարցին՝ վերլուծելով իրական տվյալների մեծ զանգվածներ: Միանգամայն բնական է, որ տարբեր հետազոտական խմբերի պատասխանները կտարբերվեն, ինչպես երևում է, օրինակ, հոդվածում ներկայացված արդյունքներից։
Կեղծ գաղափարներից մեկը միայն որևէ կոնկրետ պարամետրային ընտանիքի հնարավոր շեղումների վերլուծության մեջ օգտագործումն է՝ Վեյբուլ-Գնեդենկո բաշխումները, գամմա բաշխումների երեք պարամետր ընտանիքը և այլն: Դեռևս 1927 թ. ԽՍՀՄ ԳԱ Ս.Ն. Բերնշտեյնը քննարկեց բոլոր էմպիրիկ բաշխումները չորս պարամետրով Փիրսոնի ընտանիքին կրճատելու մեթոդաբանական սխալը: Այնուամենայնիվ, վիճակագրության պարամետրային մեթոդները դեռևս շատ տարածված են հատկապես կիրառական գիտնականների շրջանում, և այս սխալ ընկալման մեղքը հիմնականում վիճակագրական մեթոդների ուսուցիչներն են (տես ստորև, ինչպես նաև հոդվածը):
15. Որոշակի վարկածը ստուգելու բազմաթիվ չափանիշներից մեկի ընտրությունը
Շատ դեպքերում կոնկրետ գործնական խնդիր լուծելու համար մշակվել են բազմաթիվ մեթոդներ, և մաթեմատիկական հետազոտության մեթոդների մասնագետը բախվում է խնդրի՝ ո՞րը պետք է առաջարկել կիրառվող անձին կոնկրետ տվյալներ վերլուծելու համար:
Որպես օրինակ դիտարկենք երկու անկախ նմուշների միատարրությունը ստուգելու խնդիրը: Ինչպես գիտեք, դրա լուծման համար կարող եք առաջարկել բազմաթիվ չափանիշներ՝ Ուսանող, Կրամեր-Ուելչ, Լորդ, chi-square, Wilcoxon (Mann-Whitney), Van - der - Waerden, Savage, N.V. Smirnov, ինչպիսիք են օմեգա- քառակուսի (Lehmann -Rosenblatt), G.V. Martynova և ուրիշներ: Ո՞րն ընտրել:
«Քվեարկելու» գաղափարը, բնականաբար, գալիս է մտքում. փորձարկել բազմաթիվ չափանիշներով, իսկ հետո որոշել «ձայների մեծամասնությամբ»։ Վիճակագրական տեսության տեսանկյունից նման ընթացակարգը պարզապես հանգեցնում է մեկ այլ չափանիշի կառուցմանը, որն ապրիորի ոչ ավելի լավն է նախորդներից, բայց ավելի դժվար է ուսումնասիրել։ Մյուս կողմից, եթե լուծումները նույնն են բոլոր դիտարկված վիճակագրական չափանիշների համար, որոնք հիմնված են տարբեր սկզբունքների վրա, ապա, կայունության հայեցակարգին համապատասխան, դա մեծացնում է վստահությունը ստացված ընդհանուր լուծման նկատմամբ:
Տարածված է հատկապես մաթեմատիկոսների շրջանում կեղծ ու վնասակար կարծիքը օպտիմալ մեթոդների, լուծումների որոնման անհրաժեշտության մասին և այլն։ Փաստն այն է, որ օպտիմալությունը սովորաբար անհետանում է, երբ նախնական ենթադրություններից շեղում կա։ Այսպիսով, միջին թվաբանականը որպես մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում օպտիմալ է միայն այն դեպքում, երբ սկզբնական բաշխումը նորմալ է, մինչդեռ հետևողական գնահատումը միշտ է, եթե գոյություն ունի միայն մաթեմատիկական ակնկալիքը: Մյուս կողմից, վարկածների գնահատման կամ փորձարկման ցանկացած կամայական մեթոդի համար սովորաբար կարելի է օպտիմալության հայեցակարգը ձևակերպել այնպես, որ դիտարկվող մեթոդը դառնա օպտիմալ՝ այս հատուկ ընտրված տեսանկյունից: Որպես մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում, վերցրեք, օրինակ, մեդիանայի ընտրանքը: Այն, իհարկե, օպտիմալ է, թեև թվաբանական միջինից տարբեր իմաստով (օպտիմալ է նորմալ բաշխման համար): Մասնավորապես, Լապլասի բաշխման համար ընտրանքային մեդիանը առավելագույն հավանականության գնահատումն է և, հետևաբար, օպտիմալը (մենագրության մեջ նշված իմաստով):
Միատարրության չափանիշները վերլուծվել են մենագրության մեջ: Չափորոշիչների համեմատության մի քանի բնական մոտեցումներ կան՝ հիմնված ասիմպտոտիկ հարաբերական արդյունավետության վրա՝ ըստ Բահադուրի, Հոջես-Լեհմանի, Պիտմանի: Եվ պարզվեց, որ յուրաքանչյուր չափանիշ օպտիմալ է համապատասխան այլընտրանքով կամ համապատասխան բաշխմամբ այլընտրանքների բազմության վրա։ Միևնույն ժամանակ, մաթեմատիկական հաշվարկներում սովորաբար օգտագործվում է հերթափոխի այլընտրանքը, որը համեմատաբար հազվադեպ է իրական վիճակագրական տվյալների վերլուծության պրակտիկայում (Վիլքոքսոնի չափանիշի հետ կապված այս այլընտրանքը քննարկվել և քննադատվել է մեր կողմից): Արդյունքը տխուր է. փայլուն մաթեմատիկական տեխնիկան, որը ցուցադրվել է , թույլ չի տալիս մեզ առաջարկություններ տալ միատարրության թեստ ընտրելու համար իրական տվյալները վերլուծելիս: Այլ կերպ ասած, դիմումի աշխատողի տեսանկյունից, ի. կոնկրետ տվյալների վերլուծություն, մենագրությունն անօգուտ է։ Այս մենագրության հեղինակի ցուցաբերած մաթեմատիկայի փայլուն վարպետությունը և մեծ աշխատասիրությունը, ավաղ, գործնականում ոչինչ չբերեցին:
Իհարկե, գործնականում աշխատող յուրաքանչյուր վիճակագիր այս կամ այն կերպ իր համար լուծում է վիճակագրական չափանիշի ընտրության խնդիրը։ Մի շարք մեթոդաբանական նկատառումների հիման վրա մենք ընտրեցինք օմեգա-քառակուսի տիպի չափանիշը (Lehmann-Rosenblatt), որը համապատասխանում է ցանկացած այլընտրանքի: Սակայն այս ընտրության ոչ բավարար վավերականության պատճառով դժգոհության զգացում կա։
Սահմանում. Ոչ զրոյական վեկտորով սահմանված ուղղությունը կոչվում է ասիմպտոտիկ ուղղություն երկրորդ կարգի տողի համեմատ, եթե ցանկացած Այս ուղղության ուղիղը (այսինքն՝ վեկտորին զուգահեռ) կա՛մ ունի առավելագույնը մեկ ընդհանուր կետ ուղիղի հետ, կա՛մ պարունակվում է այս ուղղում:
? Քանի՞ ընդհանուր կետ կարող է ունենալ այս ուղղի նկատմամբ երկրորդ կարգի և ասիմպտոտական ուղղության ուղիղ գիծը:
Երկրորդ կարգի տողերի ընդհանուր տեսության մեջ ապացուցված է, որ եթե
Այնուհետև ոչ զրոյական վեկտորը ( սահմանում է ասիմպտոտիկ ուղղությունը գծի նկատմամբ
(Ասիմպտոտիկ ուղղության ընդհանուր չափանիշ).
Երկրորդ կարգի գծերի համար
եթե, ապա ասիմպտոտիկ ուղղություններ չկան,
եթե կա երկու ասիմպտոտիկ ուղղություն,
եթե ուրեմն կա միայն մեկ ասիմպտոտական ուղղություն.
Հետևյալ լեմման օգտակար է ( պարաբոլիկ տիպի գծի ասիմպտոտիկ ուղղության չափանիշ).
Լեմմա . Թող լինի պարաբոլիկ տիպի գիծ:
Ոչ զրոյական վեկտորն ունի ասիմպտոտիկ ուղղություն
համեմատաբար 
. (5)
(Խնդիր. Ապացուցեք լեմման):
Սահմանում. Ասիմպտոտիկ ուղղության ուղիղ գիծը կոչվում է ասիմպտոտ երկրորդ կարգի տողեր, եթե այս տողը կամ չի հատվում կամ պարունակվում է դրա մեջ։
Թեորեմ . Եթե ունի ասիմպտոտական ուղղություն ի նկատմամբ, ապա վեկտորին զուգահեռ ասիմպտոտը որոշվում է հավասարմամբ.
Մենք լրացնում ենք աղյուսակը.
ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ.
1. Գտե՛ք ասիմպտոտական ուղղության վեկտորները հետևյալ երկրորդ կարգի տողերի համար.
4 
- հիպերբոլիկ տիպ, երկու ասիմպտոտ ուղղություններ:
Եկեք օգտագործենք ասիմպտոտիկ ուղղության չափանիշը.
Տրված 4 տողի նկատմամբ ունի ասիմպտոտիկ ուղղություն։
Եթե =0, ապա =0, այսինքն՝ զրո: Այնուհետև բաժանեք ըստ ստացման քառակուսային հավասարում: 
, որտեղ t = . Մենք լուծում ենք այս քառակուսային հավասարումը և գտնում ենք երկու լուծում՝ t = 4 և t = 1: Այնուհետև ուղիղի ասիմպտոտական ուղղությունները 
.
(Կարելի է դիտարկել երկու ճանապարհ, քանի որ գիծը պարաբոլիկ տիպի է):
2. Պարզեք, արդյոք կոորդինատային առանցքներն ունեն ասիմպտոտական ուղղություններ երկրորդ կարգի գծերի նկատմամբ.
3. Գրի՛ր երկրորդ կարգի տողի ընդհանուր հավասարումը, որի համար
ա) աբսցիսայի առանցքն ունի ասիմպտոտիկ ուղղություն.
բ) երկու կոորդինատային առանցքներն ունեն ասիմպտոտական ուղղություններ.
գ) կոորդինատային առանցքներն ունեն ասիմպտոտիկ ուղղություններ, իսկ O-ն գծի կենտրոնն է:
4. Գրի՛ր տողերի ասիմպտոտային հավասարումները.
ա) ng w:val = "EN-AM"/>
5. Ապացուցեք, որ եթե երկրորդ կարգի ուղիղն ունի երկու ոչ զուգահեռ ասիմպտոտ, ապա դրանց հատման կետն այս ուղիղի կենտրոնն է:
Նշում:Քանի որ կան երկու ոչ զուգահեռ ասիմպտոտներ, կան երկու ասիմպտոտական ուղղություններ, ապա և, հետևաբար, գիծը կենտրոնական է:
Գրի՛ր ասիմպտոտային հավասարումները ընդհանուր տեսարանև կենտրոնը գտնելու համակարգ։ Ամեն ինչ ակնհայտ է.
6.(#920) Գրի՛ր A(0, -5) կետով անցնող հիպերբոլայի հավասարումը, որն ունի x - 1 = 0 և 2x - y + 1 = 0 ասիմպտոտներ:
ցուցում. Օգտագործեք նախորդ խնդրի հայտարարությունը:
Տնային աշխատանք . , No 915 (c, e, e), No. 916 (c, d, e), No 920 (եթե ժամանակ չունեիք);
Օրորոցներ;
Սիլաև, Տիմոշենկո. Գործնական առաջադրանքներըստ երկրաչափության,
1 կիսամյակ P.67, հարցեր 1-8, p.70, հարցեր 1-3 (բանավոր):
ԵՐԿՐՈՐԴ ԿԱՐԳԻ ԳԾԻ ՏՐԱՄԱԳՐԵՐ.
ՄԱՏՈՒՑՎԱԾ Տրամագծեր.
Տրված է աֆինային կոորդինատային համակարգ։
Սահմանում. տրամագիծը Երկրորդ կարգի տողը, որը կապված է ոչ ասիմպտոտական ուղղության վեկտորի հետ, վեկտորին զուգահեռ ուղղի բոլոր ակորդների միջնակետերի բազմությունն է:
Դասախոսության ժամանակ ապացուցվեց, որ տրամագիծը ուղիղ գիծ է, և ստացվեց դրա հավասարումը
ԱռաջարկություններՑույց տվեք (էլիպսի վրա), թե ինչպես է այն կառուցված (սահմանեք ոչ ասիմպտոտական ուղղություն; գծեք այս ուղղության [երկու] ուղիղ, որոնք հատում են գիծը, գտե՛ք կտրված ակորդների միջնակետերը; ուղիղ գիծ գծե՛ք միջնակետերի միջով. տրամագիծն է):
Քննարկել:
1. Ինչու է տրամագծի սահմանման մեջ վերցված ոչ ասիմպտոտական ուղղության վեկտորը: Եթե նրանք չեն կարող պատասխանել, ապա խնդրեք նրանց տրամագիծ կառուցել, օրինակ, պարաբոլայի համար:
2. Երկրորդ կարգի որևէ տող ունի՞ առնվազն մեկ տրամագիծ: Ինչո՞ւ։
3. Դասախոսության ժամանակ ապացուցվեց, որ տրամագիծը ուղիղ գիծ է։ Ո՞ր ակորդի միջնամասն է նկարում M կետը:
4. Նայեք (7) հավասարման փակագծերին: Ի՞նչ են հիշեցնում.
Եզրակացություն. 1) յուրաքանչյուր կենտրոն պատկանում է յուրաքանչյուր տրամագծի.
2) եթե կա կենտրոնների ուղիղ գիծ, ապա կա մեկ տրամագիծ:
5. Ո՞րն է պարաբոլիկ գծերի տրամագծերի ուղղությունը: (Ասիմպտոզ)
Ապացույց (հավանաբար դասախոսության մեջ):
Թող տրամագիծը (7`) հավասարմամբ տրված d լինի ոչ ասիմպտոտական ուղղության վեկտորի հետ: Այնուհետև դրա ուղղության վեկտորը
(-(
), 
) Եկեք ցույց տանք, որ այս վեկտորն ունի ասիմպտոտիկ ուղղություն։ Եկեք պարաբոլական գծի համար օգտագործենք ասիմպտոտիկ ուղղության վեկտորի չափանիշը (տես (5)): Մենք փոխարինում ենք և համոզվում (մի մոռացեք դա.
6. Քանի՞ տրամագիծ ունի պարաբոլան: Նրանց հարաբերական դիրքը. Քանի՞ տրամագիծ ունեն պարաբոլային մնացած գծերը: Ինչո՞ւ։
7. Ինչպես կառուցել երկրորդ կարգի որոշ զույգ գծերի ընդհանուր տրամագիծը (տես ստորև 30, 31 հարցերը):
8. Լրացնում ենք աղյուսակը, անպայման նկարներ արեք։
1. . Գրի՛ր վեկտորին զուգահեռ բոլոր ակորդների միջնակետերի բազմության հավասարումը
2. Գրի՛ր ուղիղի համար K(1,-2) կետով անցնող d տրամագծի հավասարումը:
Լուծման քայլեր:
1-ին ճանապարհ.
1. Որոշեք տեսակը (իմանալ, թե ինչպես են վարվում այս գծի տրամագծերը):
Այս դեպքում գիծը կենտրոնական է, ապա բոլոր տրամագծերն անցնում են C կենտրոնով։
2. Կազմում ենք K և C երկու կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը: Սա ցանկալի տրամագիծն է:
2-րդ ճանապարհ.
1. Դ տրամագծի հավասարումը գրում ենք (7`) տեսքով:
2. Այս հավասարման մեջ փոխարինելով K կետի կոորդինատները՝ մենք գտնում ենք վեկտորի խոնարհվածի կոորդինատների կապը d տրամագծի հետ։
3. Մենք սահմանում ենք այս վեկտորը՝ հաշվի առնելով գտնված կախվածությունը և կազմում d տրամագծի հավասարումը։
Այս խնդրի դեպքում ավելի հեշտ է հաշվարկել երկրորդ եղանակով։
3. . Գրի՛ր x առանցքին զուգահեռ տրամագծի հավասարումը:
4. Գտի՛ր տողով կտրված ակորդի կեսը
x + 3y գծի վրա – 12 =0:
Որոշման առաջարկԱնշուշտ, կարող եք գտնել տվյալ ուղիղի և ուղիղի հատման կետերը, իսկ հետո՝ ստացված հատվածի կեսը։ Դա անելու ցանկությունն անհետանում է, եթե վերցնենք, օրինակ, ուղիղ գիծ x + 3y - 2009 = 0 հավասարմամբ:
IN ժամանակակից պայմաններՏվյալների վերլուծության նկատմամբ հետաքրքրությունը մշտապես և ինտենսիվորեն աճում է բոլորովին այլ ոլորտներում, ինչպիսիք են կենսաբանությունը, լեզվաբանությունը, տնտեսագիտությունը և, իհարկե, ՏՏ-ն: Այս վերլուծության հիմքը վիճակագրական մեթոդներն են, և յուրաքանչյուր իրեն հարգող տվյալների հանքարդյունաբերության մասնագետ պետք է հասկանա դրանք:
Ցավոք սրտի, իսկապես լավ գրականությունը, որն ի վիճակի կլինի ապահովել ինչպես մաթեմատիկորեն խիստ ապացույցներ, այնպես էլ հասկանալի ինտուիտիվ բացատրություններ, այնքան էլ տարածված չէ: Եվ այս դասախոսությունները, իմ կարծիքով, անսովոր լավ են մաթեմատիկոսների համար, ովքեր հասկանում են հավանականությունների տեսությունը հենց այս պատճառով: Նրանք դասավանդվում են գերմանական Քրիստիան-Ալբրեխտի համալսարանի մագիստրոսներին «Մաթեմատիկա» և «Ֆինանսական մաթեմատիկա» ծրագրերով։ Իսկ նրանց համար, ովքեր հետաքրքրված են, թե ինչպես է այս առարկան դասավանդվում արտերկրում, ես թարգմանել եմ այս դասախոսությունները։ Ինձնից մի քանի ամիս պահանջվեց թարգմանելու համար, ես նոսրացրեցի դասախոսությունները նկարազարդումներով, վարժություններով և որոշ թեորեմների ծանոթագրություններով: Նշում եմ, որ ես պրոֆեսիոնալ թարգմանիչ չեմ, այլ պարզապես ալտրուիստ և սիրողական եմ այս ոլորտում, ուստի ցանկացած քննադատություն, եթե այն կառուցողական լինի, կընդունեմ։
Մի խոսքով, դասախոսությունները վերաբերում են. 
Պայմանական ակնկալիք
Այս գլուխը ուղղակիորեն չի առնչվում վիճակագրությանը, սակայն այն ուսումնասիրելու իդեալական մեկնարկային կետ է: Պայմանական ակնկալիքը լավագույն ընտրությունն է պատահական արդյունքի կանխատեսման համար՝ հիմնվելով արդեն իսկ ունեցած տեղեկատվության վրա: Եվ սա նույնպես պատահական է։ Այստեղ դիտարկվում են նրա տարբեր հատկությունները, ինչպիսիք են գծայինությունը, միապաղաղությունը, միատոն կոնվերգենցիան և այլն։Կետերի գնահատման հիմունքներ
Ինչպե՞ս գնահատել բաշխման պարամետրը: Ո՞րն է սրա չափանիշը։ Ինչ մեթոդներ պետք է օգտագործվեն դրա համար: Այս գլուխը թույլ է տալիս պատասխանել այս բոլոր հարցերին: Այստեղ ներկայացվում են անկողմնակալ գնահատիչ և միատեսակ անկողմնակալ գնահատող՝ նվազագույն շեղումով հասկացությունները: Բացատրում է, թե որտեղից են գալիս «chi-squared» բաշխումը և ուսանողի բաշխումը և ինչու են դրանք կարևոր նորմալ բաշխման պարամետրերը գնահատելու համար: Պատմվում է, թե որն է Ռաո-Կրամերի անհավասարությունը և Ֆիշերի տեղեկությունը։ Ներդրված է նաև էքսպոնենցիալ ընտանիքի հայեցակարգը, ինչը շատ անգամ հեշտացնում է լավ գնահատական ստանալը:Բայեսյան և Մինիմաքս պարամետրերի գնահատում
Այստեղ նկարագրված է գնահատման այլ փիլիսոփայական մոտեցում: Այս դեպքում պարամետրը համարվում է անհայտ, քանի որ դա ինչ-որ պատահական փոփոխականի իրականացում է՝ հայտնի (a priori) բաշխմամբ: Դիտարկելով փորձի արդյունքը՝ մենք հաշվարկում ենք պարամետրի այսպես կոչված հետին բաշխումը։ Ելնելով դրանից՝ մենք կարող ենք ստանալ Բայեսյան գնահատական, որտեղ չափանիշը միջին հաշվով նվազագույն կորուստն է կամ նվազագույն առավելագույն գնահատականը, որը նվազագույնի է հասցնում հնարավոր առավելագույն կորուստը։
Բավարարություն և ամբողջականություն
Այս գլուխը լուրջ գործնական նշանակություն ունի։ Բավարար վիճակագրությունը նմուշի ֆունկցիան է, այնպես, որ բավական է պահպանել միայն այս ֆունկցիայի արդյունքը՝ պարամետրը գնահատելու համար: Նման գործառույթները շատ են, և դրանց թվում են, այսպես կոչված, նվազագույն բավարար վիճակագրությունը։ Օրինակ, նորմալ բաշխման մեդիանը գնահատելու համար բավական է պահպանել միայն մեկ թիվ՝ միջին թվաբանականը ամբողջ նմուշի վրա: Արդյո՞ք սա աշխատում է նաև այլ բաշխումների համար, ինչպիսին է Cauchy բաշխումը: Ինչպե՞ս է բավարար վիճակագրությունն օգնում գնահատականներ ընտրելիս: Այստեղ դուք կարող եք գտնել այս հարցերի պատասխանները:Գնահատումների ասիմպտոտիկ հատկությունները
Թերևս գնահատման ամենակարևոր և անհրաժեշտ հատկությունը դրա հետևողականությունն է, այսինքն՝ ճշմարիտ պարամետրի միտումը՝ ընտրանքի չափի մեծացման հետ: Այս գլուխը նկարագրում է մեզ հայտնի գնահատումների հատկությունները, որոնք ստացվել են նախորդ գլուխներում նկարագրված վիճակագրական մեթոդներով: Ներկայացված են ասիմպտոտիկ անաչառություն, ասիմպտոտիկ արդյունավետություն և Կուլբեք-Լեյբլեր հեռավորություն հասկացությունները:Թեստավորման հիմունքներ
Ի հավելումն այն հարցին, թե ինչպես գնահատել մեզ անհայտ պարամետրը, մենք պետք է ինչ-որ կերպ ստուգենք, թե արդյոք այն բավարարում է պահանջվող հատկությունները: Օրինակ, փորձարկում է անցկացվում, որտեղ նոր դեղամիջոց է փորձարկվում։ Ինչպե՞ս կարող եք իմանալ, թե ավելի հավանական է, որ առողջանաք դրա հետ, քան հին դեղերի հետ: Այս գլուխը բացատրում է, թե ինչպես են կառուցվում նման թեստերը: Դուք կիմանաք, թե որն է միատեսակ ամենահզոր թեստը՝ Նեյման-Պիրսոնի թեստը, նշանակության մակարդակը, վստահության միջակայքը, ինչպես նաև որտեղից են գալիս տխրահռչակ Գաուսի թեստը և t-թեստը:Չափանիշների ասիմպտոտիկ հատկություններ
Ինչպես գնահատականները, չափանիշները պետք է բավարարեն որոշակի ասիմպտոտիկ հատկություններ: Երբեմն կարող են առաջանալ իրավիճակներ, երբ անհնար է կառուցել պահանջվող չափանիշը, սակայն, օգտագործելով հայտնի կենտրոնական սահմանային թեորեմը, մենք կառուցում ենք չափանիշ, որն ասիմպտոտիկորեն ձգտում է դեպի անհրաժեշտը: Այստեղ դուք կիմանաք, թե որն է ասիմպտոտիկ նշանակության մակարդակը, հավանականության հարաբերակցության մեթոդը և ինչպես են կառուցված Բարթլետի թեստը և «chi-square» անկախության թեստը:Գծային մոդել
Այս գլուխը կարելի է համարել հավելում, այն է՝ վիճակագրության կիրառում գծային ռեգրեսիայի դեպքում։ Կհասկանաք, թե ինչ գնահատականներ են լավը և ինչ պայմաններում։ Դուք կսովորեք, թե որտեղից է առաջացել նվազագույն քառակուսիների մեթոդը, ինչպես ստեղծել չափանիշներ և ինչու է ձեզ անհրաժեշտ F-բաշխում:Ֆունկցիայի ասիմպտոտիկ վարքագիծը (կամ ասիմպտոտիկ վարքագիծը) որոշակի a կետի մոտակայքում (վերջավոր կամ անսահման) հասկացվում է որպես ֆունկցիայի փոփոխության բնույթ, քանի որ նրա x փաստարկը ձգտում է դեպի այս կետը: Նրանք սովորաբար փորձում են այս վարքագիծը ներկայացնել մեկ այլ, ավելի պարզ և ուսումնասիրված ֆունկցիայի օգնությամբ, որը a կետի հարևանությամբ բավական ճշգրտությամբ նկարագրում է մեզ հետաքրքրող ֆունկցիայի փոփոխությունը կամ գնահատում է դրա վարքը մի կողմից կամ. ուրիշ. Սրա հետ կապված խնդիր է առաջանում համեմատել ա կետի հարեւանությամբ երկու ֆունկցիաների փոփոխության բնույթը, որը կապված է դրանց գործակիցի դիտարկման հետ։ Առանձնահատուկ հետաքրքրություն են ներկայացնում այն դեպքերը, երբ երկու ֆունկցիաները կամ անսահման փոքր են (in.m.) կամ անսահման մեծ (in.b.) x-ի և a-ի համար։ 10.1. Անվերջ փոքր ֆունկցիաների համեմատություն Բ.մ-ի համեմատության հիմնական նպատակը. Գործառույթները բաղկացած են համեմատելով դրանց մոտեցման բնույթը x a-ում զրոյի կամ զրոյի հակման արագության հետ: Թող բ.մ. x a-ի համար a(x) և P(x) ֆունկցիաները զրոյական չեն a կետի (a) ծակված հարևանությամբ, մինչդեռ a կետում դրանք հավասար են զրոյի կամ անորոշ: Սահմանում 10.1. a(x) և 0(x) ֆունկցիաները կոչվում են b.m. a-ի համար նույն կարգի և գրեք og (a:) = O-ով (/? («)) (O խորհրդանիշը կարդում է «Մեծ O»), եթե x-ի համար կա a (a) հարաբերակցության ոչ զրոյական վերջավոր սահման: x) / /? (i), այսինքն. Ակնհայտ է, որ այնուհետև, ըստ (7.24), Zm € R \ (0), և X ^ a0 [a (x)) նշումը օրինական է: O խորհրդանիշն ունի տրանզիտիվության հատկություն, այսինքն՝ եթե իսկապես, հաշվի առնելով 10.1 սահմանումը և ֆունկցիաների արտադրյալի հատկությունը (տես (7.23)), որոնք ունեն վերջավոր (այս դեպքում՝ ոչ հավասար) սահմաններ, մենք ստանում ենք ԱՍԻՄՊՏՈՏԱԿԱՆ ՎԱՐՔԸ։ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԸ. Անվերջ փոքր ֆունկցիաների համեմատություն Սահմանում 10.2. a(x) ֆունկցիան նրանք անվանում են b.m. փոքրության ավելի բարձր կարգի համեմատ (3 (x) (կամ հարաբերական / 3 (x)) x-ի համար և գրել) ( o խորհրդանիշը կարդացվում է io փոքր, եթե a հարաբերության սահմանը գոյություն ունի և հավասար է զրոյի: Այս դեպքում նաև ֆունկցիան ասվում է, որ bm փոքրության ավելի ցածր կարգի, քան a(x)-ը x a-ի համար, իսկ բառը. փոքրությունը սովորաբար բաց է թողնվում (ինչպես 10.2-ի սահմանման ավելի բարձր կարգի դեպքում): Սա նշանակում է, որ եթե lim (ապա /)(x) ֆունկցիան, ըստ 10.2 սահմանման, f.m. x a-ի և a(x)-ի համար a(x)-ի համեմատ ավելի բարձր կարգը b.m է: ցածր կարգ, քան /3(x) x a-ի համար, քանի որ այս դեպքում lijTi (fi(x)/ot(x)) . Այսպիսով, ըստ Թեորեմ 7.3-ի, մենք կարող ենք գրել ֆունկցիայի, նրա սահմանի և b.m. կապի մասին: ֆունկցիա (10.3)-ից հետևում է, որ ot)-ը ֆունկցիա է, b.m. ժամը. Հետևաբար a(x), այսինքն. արժեքներ |a(h)| x-ի համար a-ին մոտ, շատ ավելի քիչ արժեքներ\0(x)\. Այլ կերպ ասած, a(x) ֆունկցիան ձգտում է զրոյի ավելի արագ գործառույթ/?(X): Թեորեմ 10.1. Արտադրանքը ցանկացած բ.մ. x a ֆունկցիաների համար a(x) և P(x)), որոնք զրոյական չեն a կետի որոշ ծակված հարևանությամբ, կան b.m. Գործոններից յուրաքանչյուրի համեմատ ավելի բարձր կարգի ֆունկցիա: Իսկապես, ըստ սահմանման 10.2 բ.մ. ավելի բարձր կարգի (հաշվի առնելով ֆունկցիայի b.m. 7.10-ի սահմանումը) հավասարությունները նշանակում են թեորեմի պնդման հիմնավորվածություն։ O և o նշանները պարունակող հավասարումները երբեմն կոչվում են ասիմպտոտիկ գնահատումներ: Սահմանում 10.3. ot(x) և /3(x) ֆունկցիաները կոչվում են անհամեմատելի b.m. x -¥ a-ի համար, եթե չկա դրանց հարաբերակցության ոչ վերջավոր, ոչ էլ անվերջ սահման, այսինքն. եթե $ lim a(x)/0(x) (p £-ն նույնն է, ինչ $ lim 0(x)/a(x)): Օրինակ 10.1. Ա. a(x) = x և f(x) = sin2ar ֆունկցիաները, 10.1 սահմանման ուժով, b.m. նույն կարգի x 0-ով, քանի որ հաշվի առնելով (b. a (x) \u003d 1 - coss ֆունկցիան, ըստ սահմանման 10.2, - b. m. ավելի բարձր կարգի 0 (x) \u003d x x 0-ի համեմատ, քանի որ հաշվի առնելով c-ը: a(s) = \/x ֆունկցիան ավելի ցածր կարգի bm է՝ համեմատած fl(x) = x-ի հետ x 0-ի համար, քանի որ r. a(s) = x ֆունկցիաները ըստ սահմանման 10.3-ն անհամեմատելի է bm x 0-ում, քանի որ սահման չկա (ոչ վերջավոր, ոչ անսահման - տես օրինակ 7.5): x a b.m. ավելի բարձր կարգի xn~1-ի համեմատ), այսինքն. yapa \u003d ao (a: n "* 1), քանի որ lim (xL / xn" 1) \u003d Անհրաժեշտության դեպքում, ավելի ճշգրիտ համեմատական բնութագրերըվարքագիծ բ.մ. գործում է x-ում, և դրանցից մեկն ընտրվում է որպես ստանդարտ և այն անվանվում է հիմնական: Իհարկե, ընտրությունը հիմնական բ.մ. որոշ չափով կամայական (նրանք փորձում են ընտրել ավելի պարզ. x x-ի համար - * 0; x-1-ը x -41-ի համար; 1 / x x-ի համար -\u003e oo և այլն): 0k(x) աստիճաններից հիմնական բ.մ. f)(x) տարբեր ցուցիչներով ֆունկցիաները k > 0 (երբ k ^ 0 0k(x)-ը f.m չէ) համեմատական քնաբեր են կազմում ավելի բարդ f.m-ի գնահատման համար: a(z) ֆունկցիաները. Սահմանում 10.4. a(z) ֆունկցիան կոչվում է b.m. փոքրության k-րդ կարգը (3(x)-ի նկատմամբ x a-ի համար, իսկ k թիվը փոքրության կարգն է, եթե a(z) և /3k(x) ֆունկցիաները x a-ի համար նույն կարգի b.m են, այսինքն. եթե «փոքր» բառը սովորաբար բաց է թողնվում նաև այս դեպքում: Նշում. 1) մեկ b.m. ֆունկցիայի k կարգը մյուսի նկատմամբ կարող է լինել ցանկացած դրական թիվ, 2) եթե a(x) ֆունկցիայի կարգը հարաբերական է /ին: 3(x)-ը հավասար է k-ի, ապա P(x) ֆունկցիայի կարգը a(x)-ի նկատմամբ հավասար է 1/k-ի, 3) միշտ չէ, որ հնարավոր է bm-ի համար նշել k-ի որոշակի կարգ. a(x), նույնիսկ եթե այն համեմատելի է /?*(x) բոլոր հզորությունների հետ: Օրինակ 10.2.a. Cosx ֆունկցիան, ըստ 10.4 սահմանման, b.m է k = 2 կարգի 0(x) նկատմամբ: = x x 0-ում, քանի որ հաշվի առնելով բ. Դիտարկենք ֆունկցիաները: Մենք ցույց կտանք, որ ցանկացած Indeed-ի համար, համաձայն ( 7.32): Այսպիսով, a1/1 ֆունկցիան համեմատելի է xk-ի հետ ցանկացած k > 0-ի համար x ->-ի համար: 0, բայց այս ֆունկցիայի համար հնարավոր չէ նշել փոքրության կարգը x-ի նկատմամբ մյուսի նկատմամբ: Մենք կարող ենք խորհուրդ տալ հետևյալ ընթացակարգը. 1) սահմանային նշանի տակ գրել a(x) հարաբերակցությունը: ) / 0k(x)\ 2) վերլուծել գրված հարաբերակցությունը և փորձել պարզեցնել այն, k-ի արժեքը, որի դեպքում կլինի ոչ զրոյական վերջավոր սահման. 4) ստուգել ենթադրությունը՝ հաշվարկելով սահմանաչափը. Օրինակ 10.3. Որոշենք b.m-ի հերթականությունը. ֆունկցիաները tgx - sin x x-ի նկատմամբ x -» 0, այսինքն. եկեք գտնենք k > 0 այնպիսի թիվ, որ ունենանք ֆունկցիաների ԱՍԻՄՊՏՈՏԱԿԱՆ ՎԱՐՔԸ: Անսահման փոքր ֆունկցիաների համեմատություն. Այս փուլում, իմանալով, որ x 0-ում, ըստ (7.35) և (7.36), (sinx)/x 1 և cosx -> 1, և հաշվի առնելով (7.23) և (7.33), մենք կարող ենք որոշել այդ պայմանը ( 10.7) կբավարարվի k = 3-ի համար: Իրոք, k = 3-ի սահմանի ուղղակի հաշվարկը տալիս է A = 1/2 արժեքը: Նկատի ունեցեք, որ k > 3-ի համար մենք ստանում ենք անսահման սահման, իսկ , սահմանը կլինի հավասար է զրոյի:
480 ռուբ. | 150 UAH | $7,5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Թեզ - 480 ռուբլի, առաքում 10 րոպեՕրը 24 ժամ, շաբաթը յոթ օր և արձակուրդներ
Կոլոդզեյ Ալեքսանդր Վլադիմիրովիչ Հարմարավետության չափանիշների ասիմպտոտիկ հատկությունները հիպոթեզների փորձարկման համար ընտրության սխեմայում առանց փոխարինման, հիմնված բջիջների լրացման վրա ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում. ատենախոսություն ... ֆիզիկական և մաթեմատիկական գիտությունների թեկնածու. 01.01.05.- Մոսկվա, 2006 .- 110 էջ՝ հիվանդ. RSL OD, 61 07-1/496
Ներածություն
1 Էնտրոպիա և տեղեկատվական հեռավորություն 36
1.1 Հիմնական սահմանումներ և նշաններ 36
1.2 Սահմանափակ ակնկալիքով դիսկրետ բաշխումների էնտրոպիա 39
1.3 Լոգարիթմական ընդհանրացված մետրիկ դիսկրետ բաշխումների բազմության վրա 43
1.4 Փաստարկների հաշվելի բազմության ֆունկցիաների կոմպակտությունը: 46
1.5 Կուլբեք-Լեյբլեր-Սանով տեղեկատվական հեռավորության շարունակականություն 49
1.6 Եզրակացություններ 67
2 Մեծ շեղումների հավանականություններ 68
2.1 Գործառույթների մեծ շեղումների հավանականությունը տվյալ լցոնում ունեցող բջիջների քանակից 68
2.1.1 Տեղական սահմանային թեորեմ 68
2.1.2 Ինտեգրալ սահմանային թեորեմ 70
2.1.3 Տեղեկատվական հեռավորությունը և տարանջատելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունները 75
2.2 Բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունը, որը չի բավարարում Կրամերի պայմանը 81
2.3 Եզրակացություններ 90
3 Հարմարեցվածության թեստերի ասիմպտոտիկ հատկությունները 92
3.1 Անվերադարձ ընտրության սխեմայի ընդունման չափանիշները: 92
3.2 Հարմարավետության թեստերի ասիմպտոտ հարաբերական արդյունավետություն 94
3.3 Չափանիշներ, որոնք հիմնված են ընդհանրացված դասավորությունների բջիջների քանակի վրա 95
3.4 Եզրակացություններ 98
Եզրակացություն 99
Գրականություն 103
Աշխատանքի ներածություն
Հետազոտության առարկան և թեմայի արդիականությունը: Դիսկրետ հաջորդականությունների վիճակագրական վերլուծության տեսության մեջ հատուկ տեղ են գրավում համապատասխանության թեստերը՝ հնարավոր բարդ զրոյական վարկածի փորձարկման համար, որն այն է, որ պատահական հաջորդականության համար pQ)?=i այնպիսին է, որ
Хі Є Ім,і = 1,...,n, Ім = (о, і,..., M), ցանկացած i = 1,..., n, և ցանկացած kЄ їм-ի համար իրադարձության հավանականությունը (Хі = k) կախված չէ r-ից: Սա նշանակում է, որ (Xi)f = 1 հաջորդականությունը ինչ-որ առումով անշարժ է:
Մի շարքում կիրառական առաջադրանքներՈրպես հաջորդականություն (Х() =1, մենք հաշվի ենք առնում գնդիկների գույների հաջորդականությունը, երբ ընտրություն ենք կատարում առանց հյուծվածության rik պարունակող կարասից - 1 > 0 գունավոր k, k .,pd/ - 1) Թող urn-ը պարունակի n. - 1 գնդակ, m n-l= (n fc -l):
Նշեք r(k) _ r(fc) r(fc) նմուշի k գունավոր գնդիկների թվերի հաջորդականությունը: Դիտարկենք h հաջորդականությունը = (^,...,)): M fc) =ri fc) , ^ = ^-^ = 2,...,^-1, _ (fc)
h^ հաջորդականությունը սահմանվում է k գույնի հարակից գնդիկների տեղերի միջև եղած հեռավորությունների միջոցով այնպես, որ *Ф = n:
h(fc) հաջորդականությունների բազմությունը բոլոր k Є їm-ի համար եզակիորեն որոշում է հաջորդականությունը, գնդերի գույների հաջորդականությունը եզակիորեն որոշվում է նույն ֆիքսված գույնի հարևան գնդերի տեղերի միջև հեռավորությունների h() հաջորդականությամբ: Թող ուրան լինի: պարունակող n - 1 գնդիկ երկու տարբեր գույներով պարունակում է N - 1 0 գունավոր գնդիկներ: Կարելի է հաստատել մեկ առ մեկ համապատասխանություն M(N-l,n - N) բազմության և 9 \ Nі m վեկտորների h( n, N) = (hi,..., /i#) դրական ամբողջ թվային բաղադրիչներով, որպեսզի
9\n,m բազմությունը համապատասխանում է n-ի դրական ամբողջ թվի բոլոր հստակ բաժանումների բազմությանը N կարգավորված գումարումների մեջ:
Որոշակի հավանականության բաշխում տալով 9H n g վեկտորների բազմության վրա՝ մենք ստանում ենք համապատասխան հավանականության բաշխում Wl(N - l,n - N) բազմության վրա։ Y\n,s բազմությունը վեկտորների 2J n ,iv բազմության ենթաբազմություն է, որոնց ոչ բացասական ամբողջ բաղադրիչները բավարարում են (0.1): Որպես հավանականության բաշխումներ JZ p d վեկտորների բազմության վրա դիսերտացիոն աշխատանքում, ձևի բաշխումներ.
P(x, N) = (r t..., r N)) = P(& = rn, u = 1,..., N\ & = n), (0.2) որտեղ 6 > , n - անկախ ոչ բացասական ամբողջ թվով պատահական փոփոխականներ:
/24/-ում (0.2) ձևի բաշխումները կոչվում էին N բջիջներում n մասնիկ տեղադրելու ընդհանրացված սխեմաներ։ Մասնավորապես, եթե h..., n-ի (0.2) պատահական փոփոխականները բաշխված են Պուասոնի օրենքներով համապատասխանաբար Ai,...,Alg պարամետրերով, ապա h(n,N) վեկտորն ունի բազմանդամ բաշխում։ արդյունքների հավանականությունների հետ
Pu \u003d m--~t~\u003e ^ \u003d 1,---, ^-
Լի + ... + լ^
Եթե պատահական փոփոխականները i> >&v-ում (0.2) հավասարապես բաշխված են ըստ երկրաչափական օրենքի V(Zi = k)= P k - 1 (l-p),k=l,2,..., որտեղ p-ն ցանկացած է. միջակայքը 0
Ինչպես նշվեց /14/,/38/-ում, հատուկ տեղ է զբաղեցնում հաճախականության վեկտորների h(n, N) = (hi,..., h^) բաշխման վարկածների փորձարկման մեջ N բջիջներում n մասնիկներ տեղադրելու ընդհանրացված սխեմաներում: զբաղված է ձևի վիճակագրության հիման վրա կառուցված չափանիշներով
Фк "%,%..;$, (0.4) որտեղ /j/, v = 1,2,... և φ որոշ իրական արժեք ունեցող ֆունկցիաներ են,
Mg \u003d E 1 (K \u003d g), g \u003d 0.1, .... 1 / \u003d 1
/27/-ում //r մեծությունները կոչվում էին հենց r մասնիկներ պարունակող բջիջների քանակ։
/30/-ում (0.3) ձևի վիճակագրությունը կոչվում է բաժանելի (հավելյալ բաժանելի) վիճակագրություն։ Եթե (0.3)-ում /n ֆունկցիաները կախված չեն u-ից, ապա այդպիսի վիճակագրությունը կանչվել է /31/ սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրությունում։
Ցանկացած r-ի համար fx r վիճակագրությունը սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրություն է: Հավասարությունից
DM = DFg (0.5) հետևում է, որ h u-ում սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության դասը համընկնում է fi r-ում գծային ֆունկցիաների դասի հետ: Ընդ որում, ձևի ֆունկցիաների դասը (0.4) ավելի լայն է, քան սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության դասը։
H 0 = (R0(n, N0) պարզ զրոյական վարկածների հաջորդականություն է, որ h(n, N) վեկտորի բաշխումը (0.2) է, որտեղ պատահական փոփոխականները i,..., n և (0.2) են: նույնականորեն բաշխված են և P(ti = k)=p k ,k = 0,l,2,..., n, N պարամետրերը փոխվում են կենտրոնական շրջանում:
Դիտարկենք որոշ РЄ (0,1) և, ընդհանուր առմամբ, բարդ այլընտրանքների հաջորդականություն n = (H(n,N)) այնպիսին, որ գոյություն ունի n
P(Fm > OPAR)) >. 0-Մենք կմերժենք Hq(ti,N) վարկածը, եթե fm > a w m((3): Եթե գոյություն ունի սահման jim~1nP(0lg > a n, N (P)) = Sh ), որտեղ յուրաքանչյուր N-ի հավանականությունը հաշվարկվում է #o(n,iV) վարկածով, ապա j արժեքը (fi,lcl) կոչվում է /38/ չափանիշի ցուցիչ φ կետում (/?,Н) . Վերջին սահմանը, ընդհանուր առմամբ, կարող է գոյություն չունենալ: Ուստի ատենախոսական աշխատանքում, չափանիշի ցուցիչից բացի, դիտարկվում է lim (_IlnP(tor > a N (J3))) =іф(Р,П) արժեքը, որը, անալոգիայով, անվանել է հեղինակը. ատենախոսությունը աշխատում է f չափանիշի ստորին ցուցանիշը (/3,Н) կետում: Այստեղ և ստորև, lim adg, lim a# jV-yuo LG-yuo նշանակում են, համապատասխանաբար, հաջորդականության ստորին և վերին սահմանները (odr) որպես N -> syu,
Եթե չափանիշի ինդեքսը գոյություն ունի, ապա չափանիշի ցուցիչը համապատասխանում է դրան: Չափանիշի ենթատեքստը միշտ գոյություն ունի։ Ինչպես ավելի արժեքչափանիշի ինդեքս (ցածր չափանիշի ինդեքս), այնքան լավ է վիճակագրական չափանիշը դիտարկված իմաստով։ /38/-ում ընդհանրացված դասավորությունների համար հարմարության չափանիշների կառուցման խնդիրը ամենաբարձր արժեքըչափանիշի ինդեքս այն չափանիշների դասում, որոնք մերժում են Ho(n, N) վարկածը, որտեղ m > 0 որոշ չափով է: ֆիքսված համար, հաստատունների հաջորդականությունը, օրինակ, ընտրվում է այլընտրանքների հաջորդականությամբ չափանիշի հզորության տրված արժեքի հիման վրա, ft-ը m + 1 արգումենտների իրական ֆունկցիա է։
Չափանիշի ինդեքսները որոշվում են մեծ շեղումների հավանականությամբ։ Ինչպես ցույց է տրված /38/-ում, բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկան, երբ պատահական փոփոխականի համար Cramer պայմանը բավարարված է /(), որոշվում է համապատասխան Kullback-Leibler-Sanov տեղեկատվական հեռավորությամբ: (պատահական մ փոփոխականը բավարարում է Cramer պայմանը, եթե որոշ # > 0 համար Me f7? մոմենտ ստեղծող ֆունկցիան վերջավոր է \t\ միջակայքում։
Վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների հարցը անսահմանափակ թվից fi r-ից, ինչպես նաև կամայական բաժանելի վիճակագրության, որը չի բավարարում Կրամերի պայմանը, մնաց բաց: Սա հնարավորություն չտվեց վերջնականապես լուծել հիպոթեզների փորձարկման չափանիշների կառուցման խնդիրը զրոյական կոնվերգենցիայի ընդհանրացված սխեմաներում՝ չափանիշների դասի այլընտրանքների համընկնման դեպքում առաջին տեսակի սխալի հավանականության համար: ձևի վիճակագրության հիման վրա (0.4): Ատենախոսական հետազոտության արդիականությունը որոշվում է այս խնդրի լուծումն ավարտին հասցնելու անհրաժեշտությամբ:
Ատենախոսական աշխատանքի նպատակն է կառուցել համապատասխանության չափանիշներ՝ չափանիշի ինդեքսի ամենաբարձր արժեքով (չափանիշի ստորին ինդեքս)՝ ընտրության սխեմայում վարկածները ստուգելու համար՝ չվերադառնալով այն չափանիշների դասին, որոնք մերժում են վարկածը W( n, N) ժամը 0(iv"iv"-""" o """)>CiV "(0" 7), որտեղ φ-ը հաշվելի թվով արգումենտների ֆունկցիա է, իսկ n, N պարամետրերը փոխվում են կենտրոնականում: շրջան։
Հետազոտության նպատակին համապատասխան դրվել են հետևյալ խնդիրները. ուսումնասիրել Կուլբեք - Լեյբլեր - Սանով էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության հատկությունները հաշվելի թվով արդյունքներով դիսկրետ բաշխումների համար. ուսումնասիրել ձևի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունը (0.4); ուսումնասիրել սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության (0.3) մեծ շեղումների հավանականությունները, որոնք չեն բավարարում Կրամերի պայմանը. - գտնել այնպիսի վիճակագրություն, որ համաձայնության չափանիշը, որը կառուցված է դրա հիման վրա՝ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում վարկածների փորձարկման համար, ունի ամենամեծ ինդեքսային արժեքը ձևի չափանիշների դասում (0.7):
Գիտական նորություն. տրված է ընդհանրացված չափման հայեցակարգը՝ ֆունկցիա, որն ընդունում է անսահման արժեքներ և բավարարում նույնականության, համաչափության և եռանկյունի անհավասարության աքսիոմները։ Գտնվում է ընդհանրացված մետրիկ և նշվում են բազմություններ, որոնց վրա էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության գործառույթները, որոնք տրված են հաշվելի թվով արդյունքներով դիսկրետ բաշխումների ընտանիքի վրա, շարունակական են այս չափման մեջ. Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում հայտնաբերվում է կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա (0.4) ձևի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականության համար, որը բավարարում է Քրամերի պայմանի համապատասխան ձևը. Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում հայտնաբերվում է կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների համար, որոնք չեն բավարարում Կրամերի պայմանը. ձևի չափանիշների դասում (0.7) կառուցվում է չափանիշի ինդեքսի ամենամեծ արժեք ունեցող չափանիշը։
Գիտական և գործնական արժեք. Աշխատանքում լուծված են մի շարք հարցեր, որոնք վերաբերում են մեծ շեղումների հավանականությունների վարքագծին ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում։ Ստացված արդյունքները կարող են օգտագործվել ուսումնական գործընթացմաթեմատիկական վիճակագրության և տեղեկատվության տեսության մասնագիտություններում, դիսկրետ հաջորդականությունների վերլուծության վիճակագրական ընթացակարգերի ուսումնասիրության մեջ և օգտագործվել են /3/, /21/-ում՝ մեկ դասի տեղեկատվական համակարգերի անվտանգությունը հիմնավորելիս: Պաշտպանվող առաջարկներ՝ ստուգման խնդրի կրճատում, գնդիկների գույների մեկ հաջորդականության կիրառում, վարկած, որ այս հաջորդականությունը ստացվել է առանց փոխարինման ընտրության արդյունքում մինչև երկու գույնի գնդիկներ պարունակող կարասից գնդերի սպառումը, և յուրաքանչյուր այդպիսի ընտրություն ունի նույն հավանականությունը՝ համապատասխան ընդհանրացված դասավորության մեջ վարկածները փորձարկելու համար համապատասխանության չափանիշների կառուցման համար. Կուլբեք-Լեյբլեր-Սանով էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության գործառույթների շարունակականությունը անվերջ ծավալային սիմպլեքսի վրա՝ ներդրված լոգարիթմական ընդհանրացված մետրիկով. Սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքության) ասիմպտոտիկայի թեորեմ, որը չի բավարարում Կրամերի պայմանը յոթ էքսիոնցիոնալ դեպքում ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում. (0.4) ձևի վիճակագրության համար մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքության) ասիմպտոտիկայի թեորեմ. - Համաձայնության չափանիշի կառուցում` վարկածների փորձարկման ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում` ձևի չափանիշների դասում ամենամեծ ինդեքսային արժեքով (0.7):
Աշխատանքի հաստատում. Արդյունքները զեկուցվել են մաթեմատիկական ինստիտուտի դիսկրետ մաթեմատիկայի ամբիոնի սեմինարներին։ V. A. Steklov RAS, ITMiVT տեղեկատվական անվտանգության վարչություն: Ս.Ա. Լեբեդևի ՌԳԱ և ժամը՝ Կիրառական և արդյունաբերական մաթեմատիկայի հինգերորդ համառուսաստանյան սիմպոզիում: Գարնանային նստաշրջան, Կիսլովոդսկ, մայիսի 2 - 8, 2004 թ.; Պետրոզավոդսկի վեցերորդ միջազգային կոնֆերանս «Հավանական մեթոդներ դիսկրետ մաթեմատիկայի մեջ» հունիսի 10 - 16, 2004 թ. երկրորդ Միջազգային համաժողով«Տեղեկատվական համակարգեր և տեխնոլոգիաներ (IST» 2004 թ.), Մինսկ, նոյեմբերի 8 - 10, 2004 թ.
Միջազգային կոնֆերանս «Ժամանակակից խնդիրներ և հավանականության տեսության նոր միտումներ», Չեռնովցի, Ուկրաինա, 19 - 26 հունիսի, 2005 թ.
Աշխատանքի հիմնական արդյունքներն օգտագործվել են «Apologia» հետազոտական աշխատանքում, որն իրականացվել է ITMiVT RAS-ի կողմից: Ս. Ա. Լեբեդևը Ռուսաստանի Դաշնության Տեխնիկական և արտահանման վերահսկողության դաշնային ծառայության շահերից ելնելով և ներառվել են հետազոտության փուլի իրականացման զեկույցում /21/: Ատենախոսության առանձին արդյունքներ ներառվել են Ռուսաստանի Դաշնության Կրիպտոգրաֆիայի ակադեմիայի 2004թ. /22/ «Գաղտնագրության մաթեմատիկական խնդիրների մշակում» հետազոտական զեկույցում:
Հեղինակն իր խորին շնորհակալությունն է հայտնում գիտական խորհրդատու, ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր Ռոնժին Ա.Ֆ.-ին և գիտական խորհրդատու, ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր, ավագ գիտաշխատող Կնյազև Ա.Վ. Մաթեմատիկական գիտությունների գծով Ի. դիտողություններ.
Աշխատանքի կառուցվածքը և բովանդակությունը:
Առաջին գլուխը ուսումնասիրում է էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության հատկությունները ոչ բացասական ամբողջ թվերի բազմության վրա բաշխումների համար:
Առաջին գլխի առաջին պարբերությունում ներկայացվում է նշումը և տրվում են անհրաժեշտ սահմանումները։ Մասնավորապես, դրանք օգտագործվում են հետևյալ նշումը x = (:ro,i, ---) - անվերջ չափի վեկտոր՝ բաղադրիչների հաշվելի քանակով;
H(x) - -Ex^oXvlnx,; trunc m (x) = (x 0 ,x 1 ,...,x t,0,0,...); SI* = (x, x u > 0, u = 0,1,..., E~ o xn 0,v = 0,l,...,E? =Q x v = 1); fi 7 \u003d (x Є O, L 0 vx v \u003d 7); %] = (хЄП, Ео»х և
16 mі = e o ** v \ &c = Ue>1 | 5 є Q 7) o
Հասկանալի է, որ Vt բազմությունը համապատասխանում է ոչ բացասական ամբողջ թվերի բազմության վրա հավանականության բաշխումների ընտանիքին, P 7՝ ոչ բացասական ամբողջ թվերի բազմության հավանականության բաշխումների ընտանիքին մաթեմատիկական ակնկալիքով։
Оє(у) - (х eO,x v
Առաջին գլխի երկրորդ պարբերությունում մենք ապացուցում ենք սահմանափակ մաթեմատիկական ակնկալիքով դիսկրետ բաշխումների էնտրոպիայի սահմանայինության թեորեմը:
Թեորեմ 1. Սահմանափակված մաթեմատիկական ակնկալիքով դիսկրետ բաշխումների էնտրոպիայի սահմանի մասին։ Ցանկացած wbp 7-ի համար
Եթե x Є fi 7-ը համապատասխանում է մաթեմատիկական կանխատեսմամբ երկրաչափական բաշխմանը 7; այն է
7xn = (1-p)p\ v = 0,1,..., որտեղ p = --,
1 + 7, ապա գործում է H(x) = F(1) հավասարությունը:
Թեորեմի պնդումը կարելի է դիտել որպես անսահման թվով փոփոխականների դեպքում պայմանական Լագրանժի բազմապատկիչների մեթոդի պաշտոնական կիրառման արդյունք։ Այն թեորեմը, որ տրված մաթեմատիկական ակնկալիքով և առավելագույն էնտրոպիայով բազմության վրա միակ բաշխումը (k, k + 1, k + 2,...) տվյալ մաթեմատիկական ակնկալիքով երկրաչափական բաշխումն է, տրված է (առանց ապացույցի) /47-ում։ /. Հեղինակը, սակայն, տվել է խիստ ապացույց.
Առաջին գլխի երրորդ պարբերությունում տրված է ընդհանրացված չափման սահմանում` մետրիկ, որն ընդունում է անսահման արժեքներ:
x, y Є Гі-ի համար p(x, y) ֆունկցիան սահմանվում է որպես նվազագույն є > 0 y v e~ e հատկությամբ:
Եթե այդպիսի є չկա, ապա ենթադրվում է, որ p(x, y) = oo:
Ապացուցված է, որ p(x, y) ֆունկցիան ընդհանրացված մետրիկ է ոչ բացասական ամբողջ թվերի բազմության բաշխումների ընտանիքի, ինչպես նաև Ci* ամբողջ բազմության վրա։ P(x, y) մետրի սահմանման մեջ e-ի փոխարեն կարող եք օգտագործել ցանկացած այլ դրական թիվ, բացի 1-ից: Ստացված չափումները կտարբերվեն բազմապատկվող հաստատունով: J(x, y) նշեք տեղեկատվական հեռավորությունը
Այստեղ և ներքևում ենթադրվում է, որ 0 In 0 = 0,01n ^ = 0: Տեղեկատվական հեռավորությունը սահմանվում է այնպիսի x, y, որ x v - 0 բոլորի համար և այնպիսին, որ y v = 0: Եթե այս պայմանը չի բավարարվում, ապա մենք կընդունի J (S,y) = co. Թող A C $1. Այնուհետև կնշանակենք J(Ay)="mU(x,y):
Թող J(Jb,y) = 00:
Առաջին գլխի չորրորդ պարբերությունում տրվում է Պ* բազմության վրա սահմանված ֆունկցիաների կոմպակտության սահմանումը։ Հաշվելի թվով արգումենտներով ֆունկցիայի կոմպակտությունը նշանակում է, որ ցանկացած աստիճանի ճշտությամբ ֆունկցիայի արժեքը կարող է մոտավորվել այս ֆունկցիայի արժեքներով այն կետերում, որտեղ միայն վերջավոր թվով արգումենտներ չեն զրո: Ապացուցված է էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիաների կոմպակտությունը։
Ցանկացած 0-ի համար
Եթե որոշ 0 0-ի համար \(x) = J(x, p) ֆունկցիան կոմպակտ է ^ 7 ] P 0 r (p):
Առաջին գլխի հինգերորդ պարբերությունում դիտարկվում են անվերջ չափերի տարածության վրա տրված տեղեկատվական հեռավորության հատկությունները։ Վերջավոր ծավալային դեպքի համեմատ՝ տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիայի շարունակականության հետ կապված իրավիճակը որակապես փոխվում է։ Ցույց է տրվում, որ տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիան շարունակական չէ Г2 բազմության վրա pi(,y)= E|z„-i/„|, (
00 \ 2 p 2 (x, y) = sup (x^-ij^.
Ապացուցված է էնտրոպիայի H(x) և տեղեկատվական հեռավորության J(x,p) ֆունկցիաների հետևյալ անհավասարությունների վավերականությունը.
1. Ցանկացած x-ի համար x «Є fi \ H (x) - H (x») \
2. Եթե որոշ x, p є P գոյություն ունի є > 0 այնպիսին, որ x є O є (p), ապա ցանկացած X i Є Q \J(x,p) - J(x",p)\
Այս անհավասարություններից, հաշվի առնելով 1-ին թեորեմը, հետևում է, որ էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիաները միատեսակ շարունակական են p(x,y) մետրիկի համապատասխան fi ենթաբազմությունների վրա, այն է՝
Ցանկացած 7-ի համար, որ 0-ն է
Եթե որոշ 70-ի համար, 0
20 ապա ցանկացած 0 0-ի համար \p(x) = J(x t p) ֆունկցիան հավասարաչափ շարունակական է П 7 ] П О є (р) մետրիկական р(х,у) բազմության վրա:
Տրված է ֆունկցիայի ոչ ծայրահեղության սահմանումը։ Ոչ ծայրահեղության պայմանը նշանակում է, որ ֆունկցիան չունի տեղական ծայրահեղություններ, կամ ֆունկցիան ընդունում է նույն արժեքները տեղական նվազագույնում (տեղական առավելագույն): Ոչ ծայրահեղության վիճակը թուլացնում է տեղական ծայրահեղությունների բացակայության պահանջը: Օրինակ, իրական թվերի բազմության վրա sin x ֆունկցիան ունի տեղային ծայրահեղություններ, բայց բավարարում է ոչ ծայրահեղության պայմանը։
Թող որոշ 7 > 0, A տարածքը տրվում է պայմանով
А = (хЄЇ1 1 ,Ф(х) >а), (0.9) որտեղ Ф(х) իրական արժեք ունեցող ֆունկցիա է, a-ն իրական հաստատուն է, inf Ф(х)
Եվ 3y, հարց ծագեց, թե ինչ պայմաններում «a f» f u_ «n, N պարամետրերով կենտրոնական շրջանում, ^ -> 7, դրանց բոլոր բավական մեծ արժեքների համար կան այնպիսի ոչ բացասական ամբողջ թվեր ko, k. \, ..., k n, որը ko + hi + ... + k n = N,
21 k\ + 2/... + nk n - Ն
Kq k \ k n . ^"իվ"-"իվ" 0 " 0 "-")>ա -
Ապացուցված է, որ դրա համար բավական է պահանջել, որ φ ֆունկցիան լինի ոչ էքստրեմալ, կոմպակտ և շարունակական p(x, y) մետրիկում, ինչպես նաև, որ առնվազն մեկ կետի համար x բավարարի (0.9), որոշ є > 0 գոյություն ունի 1 աստիճանի վերջավոր պահ + є Ml + = і 1+є x և 0 ցանկացած u = 0.1,...
Երկրորդ գլխում ուսումնասիրում ենք D = (fio,..., n, 0,...) ֆունկցիաների մեծ շեղումների հավանականության կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտիկան՝ տրված բջիջների թիվը։ լրացնելով N,n պարամետրերի կենտրոնական շրջանը: Մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ ասիմպտոտիկաները բավարար են համապատասխանության թեստերի լավության ինդեքսներն ուսումնասիրելու համար։
Թող պատահական փոփոխականները ^-ում (0.2) լինեն նույնական բաշխված և
Р(Сі = k)=р b k = 0.1,... > P(z) - i պատահական փոփոխականի գեներացնող ֆունկցիա - զուգակցվում է 1 շառավղով շրջանագծի մեջ:
22 Նշեք p(.) = (p(ad = o), Pn) = i),...):
Եթե կա հավասարման z 1 լուծում
M(*) = 7, ապա այն եզակի է /38/: Ստորև ամենուր կենթադրենք, որ Pjfc>0,fc = 0,l,....
Երկրորդ գլխի առաջին պարբերության առաջին պարբերությունը պարունակում է ձևի հավանականությունների լոգարիթմների ասիմպտետիկան.
Ապացուցված է հետևյալ թեորեմը.
Թեորեմ 2. Տեղական կոպիտ թեորեմ մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ։ Թող n, N - * w այնպես, որ - -> 7> 0
Թեորեմի պնդումը ուղղակիորեն բխում է /26/-ում / դեպի, A*b / համատեղ բաշխման բանաձևից և հետևյալ գնահատականից. // 2 + ... + 71/ = 71, ապա դրանցից ոչ զրոյական արժեքների թիվը 0 (l/n) է: Սա մոտավոր գնահատական է, որը նորություն չի հավակնում: Ընդհանրացված դասավորություններում ոչ զրոյական r-ի թիվը չի գերազանցում բջիջների առավելագույն լրացման արժեքը, որը կենտրոնական շրջանում 1-ի հակված հավանականությամբ չի գերազանցում 0(\np) /25/,/27/ արժեքը: . Այնուամենայնիվ, ստացված 0(y/n) գնահատականը բավարարվում է 1-ով, և դա բավարար է կոպիտ ասիմպտոտիկա ստանալու համար:
Երկրորդ գլխի առաջին պարբերության երկրորդ պարբերությունում սահմանի արժեքը հայտնաբերված է, որտեղ adz-ը իրական թվերի հաջորդականությունն է, որը համընկնում է որոշ a Є R-ի հետ, φ(x) իրական արժեք ունեցող ֆունկցիա է: Ապացուցված է հետևյալ թեորեմը.
Թեորեմ 3. Կոպիտ ինտեգրալ թեորեմ մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ։ Թող 2-րդ թեորեմի պայմանները բավարարվեն, որոշ r > 0, (> 0) իրական ֆունկցիա φ(x) կոմպակտ է, միատեսակ շարունակական p մետրիկում բազմության վրա:
A = 0 rH (p(r 1))np n] և բավարարում է ոչ ծայրահեղության պայմանը r2 7 բազմության վրա: Եթե ինչ-որ հաստատունի համար այնպիսին է, որ inf φ(x)
24 կա վեկտոր p a fi 7 P 0 r (p(z 7)) ; այնպիսին է, որ
Ф(pa) > a J(( (x) >a, xЄ П 7 ),p(2; 7)) = J(p a ,p(^y)), mo ցանկացած a^ հաջորդականության համար, որը համընկնում է a, ^ -^\nP(φ(φ, ^,...)>a m) = Pr a,p(r,)). (0.11)
Φ(x) ֆունկցիայի լրացուցիչ սահմանափակումների դեպքում տեղեկատվության հեռավորությունը J(pa, P(zy)) (2.3)-ում կարելի է ավելի կոնկրետ հաշվարկել: Մասնավորապես, ճիշտ է հետևյալ թեորեմը. Թեորեմ 4. Տեղեկատվական հեռավորություն. Թողեք մի քանի 0
Արդյոք որոշ r > 0, C > 0 իրական φ(x) ֆունկցիան և նրա առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները կոմպակտ են և միատեսակ շարունակական բազմության ընդհանրացված մետրիկում p(x, y):
A = 0 r (p)PP bl], գոյություն ունի T > 0, R > 0 այնպես, որ բոլորի համար \t\ 0 p v v 1+ z u exp(i--φ(x))
0(p(gaL)) = a, / x X v \Z,t) T, u= oX LJ (Z,t)
Այնուհետև p(z a, t a) Є ft, u J ((z Є L, 0 (x) = a), p) = J (p (z a, t a), p) d _ 9 = 7111 + t a "-^ OFaL)) - 2Wexp-ում (a --0 (p(r a, i a))): j/=0 CnEi/ ^_o CX(/
Եթե φ(x) ֆունկցիան գծային ֆունկցիա է, և ֆունկցիայի ֆիքսումը սահմանվում է՝ օգտագործելով հավասարությունը (0.5), ապա պայմանը (0.12) դառնում է Cramer պայման f(,(z)) պատահական փոփոխականի համար։ Պայման (0.13) պայմանի ձև է (0.10) և օգտագործվում է ապացուցելու համար (x Є T2, φ(x) > a) 0(n, N) ձևի տիրույթներում առնվազն մեկ կետի առկայությունը բոլորի համար: բավականաչափ մեծ n, N.
Թող v ()(n,iV) = (/i,...,/ijv) լինի հաճախականության վեկտորը ընդհանրացված բաշխման սխեմայում (0.2): 3-րդ և 4-րդ թեորեմների արդյունքում ձևակերպվում է հետևյալ թեորեմը.
Թեորեմ 5. Սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների մասին կոպիտ ինտեգրալ թեորեմ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում:
Թող n, N -> w այնպես, որ jfr - 7» 0 0, R > 0 այնպես, որ բոլորի համար \t\ Այնուհետև a#-ին համընկնող ցանկացած հաջորդականության համար 1 i iv =
Այս թեորեմն առաջին անգամ ապացուցել է Ա.Ֆ. Ռոնժինը /38/-ում՝ օգտագործելով թամբի կետի մեթոդը։
Երկրորդ գլխի երկրորդ բաժնում մենք ուսումնասիրում ենք բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունները ընդհանրացված cxj^iax պայմանավորվածություններում՝ պատահական փոփոխականի համար Cramer պայմանի չկատարման դեպքում /((z)): F(,(z)) պատահական փոփոխականի համար Կրամերի պայմանը չի բավարարվում, մասնավորապես, եթե (z)-ը Պուասոնի պատահական փոփոխական է, և /(x) = x 2: Նկատի ունեցեք, որ Քրամերի պայմանը բաժանելի վիճակագրության համար ընդհանրացված բաշխման սխեմաներում միշտ բավարարված է, քանի որ ցանկացած ֆիքսված n, N համարը հնարավոր արդյունքներըայս գծապատկերներում, իհարկե:
Ինչպես նշվեց /2/-ում, եթե Կրամերի պայմանը բավարարված չէ, ապա գտնել նույնական բաշխված գումարների մեծ շեղումների հավանականությունների ասիմպտետիկան պատահական փոփոխականներԺամկետի բաշխման ճիշտ փոփոխության համար պահանջվում է լրացուցիչ զ պայմանների կատարում: Թուղթում (համարվում է այն դեպքը, որը համապատասխանում է /2/-ի (3) պայմանի կատարմանը, այսինքն՝ յոթ էքսպոնենցիալ դեպքին։ Թող P(i = k) > 0 բոլորի համար։
28 k = 0.1,... և p(k) = -\nP(t = k) ֆունկցիան կարող է տարածվել շարունակական արգումենտի ֆունկցիայի վրա՝ p, 0 oo P(tx) կարգի կանոնավոր փոփոխվող ֆունկցիա, r v P(t)
Թող արգումենտի բավականաչափ մեծ արժեքների համար f(x) ֆունկցիան լինի q > 1 կարգի դրական, խիստ աճող, կանոնավոր փոփոխվող ֆունկցիա, մնացած իրական առանցքի վրա:
Ապա ս. Վ. /(i) ունի ցանկացած կարգի մոմենտներ և չի բավարարում Կրամերի պայմանը, ip(x) = o(x) քանի որ x -> oo, և գործում է հետևյալ թեորեմը: ^p չի աճում միապաղաղ, n, N --> oo այնպես, որ jf - A, 0 b(z\), որտեղ b(z) = M/(1(2)), գոյություն ունի սահման l(n,l)) > cN] = "(c ~ b( zx))l b""ї
Թեորեմ 6-ից հետևում է, որ եթե Կրամերի պայմանը չի բավարարվում, սահմանը (^ lim ~\nP(L N (h(n,N)) > cN) = 0, "" Dv.
L/-too iV և դա ապացուցում է /39/-ում նշված վարկածի վավերականությունը: Այսպիսով, լավության չափանիշի ինդեքսի արժեքը ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում -^ երբ Քրամերի պայմանը բավարարված չէ, միշտ հավասար է զրոյի։ Այս դեպքում չափանիշների դասում, երբ բավարարվում է Կրամերի պայմանը, կառուցվում են ոչ զրոյական ինդեքսային արժեք ունեցող չափանիշներ։ Այստեղից մենք կարող ենք եզրակացնել, որ չափանիշների օգտագործումը, որոնց վիճակագրությունը չի բավարարում Կրամերի պայմանը, օրինակ, chi-square թեստը բազմանդամ սխեմայի մեջ, չմոտենալ այլընտրանքներով վարկածների փորձարկման համար պիտանիության թեստեր կառուցելը ասիմպտոտիկորեն անարդյունավետ է: այս իմաստը. Նմանատիպ եզրակացություն է արվել /54/-ում՝ հիմնվելով chi-square վիճակագրության և առավելագույն հավանականության հարաբերակցության համեմատության արդյունքների վրա բազմանդամ սխեմայում:
Երրորդ գլխում մենք լուծում ենք չափանիշի ինդեքսի ամենաբարձր արժեքով (չափանիշի ստորին ինդեքսի ամենամեծ արժեքը) պիտանիության չափանիշների կառուցման խնդիրը՝ ընդհանրացված դասավորություններում վարկածների փորձարկման համար: Էնտրոպիայի ֆունկցիաների հատկությունների, տեղեկատվական հեռավորության և մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ առաջին և երկրորդ գլուխների արդյունքների հիման վրա երրորդ գլխում գտնվել է (0.4) ձևի ֆունկցիան, որը համապատասխանում է համապատասխանության չափանիշին. կառուցված դրա հիման վրա ունի ճշգրիտ ցածր ցուցանիշի ամենամեծ արժեքը դիտարկվող չափանիշների դասում: Ապացուցված է հետևյալ թեորեմը. Թեորեմ 7. Ինդեքսի առկայության մասին. Թող 3-րդ թեորեմի պայմանները բավարարվեն, 0 ,... այլընտրանքային բաշխումների հաջորդականություն է, 0^(/3, iV) այն առավելագույն թիվն է, որի համար Н Р վարկածի համաձայն (այս անհավասարությունը.
P(φ(^^,...) > a φ (P, M)) > (3, կա սահման, կա f չափանիշի ինդեքս.
3ff,K) = 3((φ(x) >a,xe 3D.P^)).
Միևնույն ժամանակ, sph(0,th)N NP(e(2 7) = fc)"
Եզրակացությունը ուրվագծում է ձեռք բերված արդյունքները ատենախոսության մեջ դրված ընդհանուր նպատակի և կոնկրետ առաջադրանքների հետ, ձևակերպում է եզրակացություններ՝ հիմնվելով ատենախոսական հետազոտության արդյունքների վրա, մատնանշում է աշխատանքի գիտական նորությունը, տեսական և գործնական արժեքը, ինչպես նաև կոնկրետ գիտական: խնդիրներ, որոնք բացահայտվել են հեղինակի կողմից, և որոնց լուծումը տեղին է թվում:
Հետազոտության թեմայի վերաբերյալ գրականության համառոտ ակնարկ:
Ատենախոսական աշխատանքը դիտարկում է համապատասխանության չափանիշների կառուցման խնդիրը ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում չափանիշի ինդեքսի ամենամեծ արժեքով ձևի (0.4) ֆունկցիաների դասում՝ չմոտեցվող այլընտրանքներով:
Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաները ներդրվել են Վ.Ֆ. Կոլչինի կողմից /24/: Բազմանդամային սխեմայի fi r արժեքները կոչվում էին r կադրերով բջիջների քանակ և մանրամասն ուսումնասիրվել են Վ.Ֆ. Կոլչինի, Բ.Ա.Սևաստյանովի, Վ.Պ. Ընդհանրացված դասավորություններում \іr արժեքները ուսումնասիրվել են VF Kolchin-ի կողմից /25/,/26/-ում: (0.3) ձևի վիճակագրությունը առաջին անգամ դիտարկվել է Յու.Ի.Մեդվեդևի կողմից /30/ և կոչվել է բաժանելի (հավելյալ բաժանելի) վիճակագրություն։ Եթե /„-ում (0.3) ֆունկցիաները կախված չեն u-ից, ապա այդպիսի վիճակագրությունը կանչվել է /31/ սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրությունում: Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում բաժանելի վիճակագրության պահերի ասիմպտոտիկ վարքագիծը ստացել է Գ.Ի. Իվչենկոն /9/-ում: Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայի սահմանային թեորեմները նույնպես դիտարկվել են /23/-ում: Սահմանային թեորեմների և համապատասխանության լավության արդյունքների ակնարկներ տիպի դիսկրետ հավանականական սխեմաներում (0.2) տրվել են Վ.Ա.Իվանովի, Գ.Ի.Իվչենկոյի, Յու.Ի.Մեդվեդևի կողմից /8/ և Գ.Ի. /14/-ում։ Ընդհանրացված դասավորությունների հարմարության չափանիշները դիտարկվել են A.F. Ronzhin-ի կողմից /38/-ում:
Այս աշխատանքներում վիճակագրական թեստերի հատկությունների համեմատությունն իրականացվել է հարաբերական ասիմպտոտիկ արդյունավետության տեսանկյունից: Դիտարկվել են մոտեցող (հարազատ) վարկածների դեպքը` արդյունավետություն Պիտմանի իմաստով և ոչ համընկնող վարկածներ` արդյունավետություն Բահադուր, Հոջես` Լեհման և Չեռնով: Միացում միջեւ տարբեր տեսակներվիճակագրական չափանիշների հարաբերական արդյունավետությունը քննարկվում է, օրինակ, /49/-ում: Ինչպես հետևում է Յու. Ի. Մեդվեդևի /31/-ում քայքայվող վիճակագրության բազմանդամ սխեմայի բաշխման վերաբերյալ արդյունքներից, «chi-square» վիճակագրության վրա հիմնված թեստն ունի ամենաբարձր ասիմպտոտիկ հզորությունը համընկնող վարկածների ներքո՝ քայքայվող վիճակագրության դասում: արդյունքների հաճախականությունը բազմանդամ սխեմայի մեջ: Այս արդյունքը ընդհանրացվել է A.F. Ronzhin-ի կողմից (0.2) տիպի սխեմաների համար /38/-ում: II Վիկտորովան և Վ.Պ. Չիստյակովը /4/-ում կառուցեցին բազմանդամ սխեմայի օպտիմալ չափանիշ fi r-ի գծային ֆունկցիաների դասում: Ռոնժինը /38/-ում կառուցեց մի չափանիշ, որը այլընտրանքների հաջորդականության դեպքում, որը չի մոտենում զրոյական վարկածին, նվազագույնի է հասցնում առաջին տեսակի սխալի հավանականության լոգարիթմական դրույքաչափը, որը ձգտում է զրոյի ձևի վիճակագրության դասում: (0.6): Խի-քառակուսի վիճակագրության հարաբերական կատարողականի և համընկնող և չհամընկնող վարկածների առավելագույն հավանականության հարաբերակցության համեմատությունը կատարվել է /54/-ում: Ատենախոսական աշխատանքում դիտարկվել է չմոտենալու վարկածների դեպքը։ Չհամընկնող վարկածներով չափորոշիչների հարաբերական վիճակագրական արդյունավետության ուսումնասիրությունը պահանջում է գերխոշոր շեղումների հավանականությունների ուսումնասիրություն՝ 0(y/n) կարգի: Առաջին անգամ նման խնդիր ֆիքսված քանակով բազմանդամ բաշխման համար լուծվել է IN Sanov-ի կողմից /40/-ում: Հարմարավետության չափանիշների ասիմպտոտիկ օպտիմալությունը բազմանդամ բաշխման համար պարզ և բարդ վարկածների փորձարկման համար վերջավոր թվով արդյունքների դեպքում՝ չմոտենացող այլընտրանքներով, դիտարկվել է /48/-ում: Տեղեկատվական հեռավորության հատկությունները նախկինում դիտարկվել են Kullback, Leibler /29/,/53/ և I. II կողմից: Սանով /40/, ինչպես նաև Հեֆդինգ /48/: Այս փաստաթղթերում տեղեկատվական հեռավորության շարունակականությունը դիտարկվել է էվկլիդեսյան մետրիկայի վերջավոր չափերի տարածությունների վրա: Հեղինակը դիտարկել է նաև աճող հարթություն ունեցող տարածությունների հաջորդականություն, օրինակ՝ Յու.Վ.Պրոխորովի /37/ կամ Վ.Ի.Բոգաչևի, Ա.Վ.Կոլեսնիկովի /1/ աշխատության մեջ: Կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) թեորեմները բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ Կրամերի պայմանով ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում ստացվել են AF Roizhin-ի կողմից /38/: Ա. Ն. Տիմաշևը /42/,/43/-ում ստացել է ճշգրիտ (մինչև համարժեքություն) բազմաչափ ինտեգրալ և տեղային սահմանային թեորեմներ fir^n, N,..., fi rs (n,N) վեկտորի մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ: , որտեղ s, гі,..., r s - ֆիքսված ամբողջ թվեր,
Հիպոթեզների փորձարկման և պարամետրերի գնահատման վիճակագրական խնդիրները ընտրության սխեմայում առանց փոխարինման մի փոքր այլ ձևակերպմամբ դիտարկվել են G.I.Ivchenko, V.V.Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, որտեղ գնահատման խնդիրները լուծվել են վերջավոր բնակչության համար, երբ Դրա տարրերի թիվը անհայտ արժեք է, ապացուցվել է բազմաչափ S-վիճակագրության ասիմպտոտիկ նորմալությունը s անկախ նմուշներից ընտրության սխեմայում առանց փոխարինման: Անկախ փորձարկումների հաջորդականությամբ կրկնությունների հետ կապված պատահական փոփոխականների ուսումնասիրության խնդիրն ուսումնասիրել են Ա.Մ.Զուբկովը, Վ.Գ.Միխայլովը, Ա.Մ.Շոյտովը /6/, /7/, /32/, /33/, / 34/: Շրջանակում հիպոթեզների գնահատման և փորձարկման հիմնական վիճակագրական խնդիրների վերլուծություն ընդհանուր մոդելՄարկով-Պոյան իրականացրել են Գ.Ի.Իվչենկոն, Յու.Ի.Մեդվեդևը /13/, որի հավանականական վերլուծությունը տրվել է /11/-ում։ Մի շարք կոմբինատոր օբյեկտների վրա անհավանական չափումներ սահմանելու մեթոդ, որը չի կարող կրճատվել ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայի (0.2) նկարագրված է GI Ivchenko, Yu. I. Medvedev /12/: Հավանականությունների տեսության մի շարք խնդիրներ, որոնց պատասխանը կարելի է ստանալ ռեկուրսիվ բանաձևերի միջոցով հաշվարկների արդյունքում, Ա.Մ. Զուբկովը նշում է /5/-ում:
Դիսկրետ բաշխումների էնտրոպիայի անհավասարությունները ստացվել են /50/-ում (մեջբերված է Ա. Մ. Զուբկովի ռեֆերատում RZhMat-ում): Եթե (p n )Lo-ը հավանականության բաշխում է,
Pn = E Pk, k=n A = supp^Pn+i
I + (In -f-) (X Rp - P p + 1)
Рп= (x f 1)n+v n>Q. (0.15)
Նկատի ունեցեք, որ էքստրեմալ բաշխումը (0.15) երկրաչափական բաշխում է A ակնկալիքով, և (0.14) պարամետրի F(X) ֆունկցիան համընկնում է 1-ին թեորեմի ակնկալիքի ֆունկցիայի հետ։
Սահմանափակ ակնկալիքով դիսկրետ բաշխումների էնտրոպիա
Եթե չափանիշի ինդեքսը գոյություն ունի, ապա չափանիշի ցուցիչը համապատասխանում է դրան: Չափանիշի ենթատեքստը միշտ գոյություն ունի։ Որքան մեծ է չափանիշի ինդեքսի արժեքը (չափանիշի ցածր ինդեքսը), այնքան լավ է վիճակագրական չափանիշը դիտարկված իմաստով։ /38/-ում լուծվել է Ho(n,N) վարկածը մերժող չափանիշների դասի չափանիշի ինդեքսի ամենաբարձր արժեքով ընդհանրացված դասավորությունների համար համապատասխանության չափանիշների կառուցման խնդիրը, որտեղ m 0-ը որոշ ֆիքսված է: թիվը, հաստատունների հաջորդականությունը, օրինակ, ընտրվում է տրված արժեքի հիման վրա այլընտրանքների հաջորդականության չափանիշի հզորությունը, ft-ը m + 1 արգումենտների իրական ֆունկցիա է:
Չափանիշի ինդեքսները որոշվում են մեծ շեղումների հավանականությամբ։ Ինչպես ցույց է տրվել /38/-ում, բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկան, երբ պատահական փոփոխականի համար Cramer պայմանը բավարարված է /() որոշվում է համապատասխան Kullback-Leibler-Sanov տեղեկատվությամբ: հեռավորությունը (մ պատահական փոփոխականը բավարարում է Cramer պայմանը, եթե որոշ # 0-ի համար Mef7? մոմենտ ստեղծող ֆունկցիան վերջավոր է \t\ H /28/ միջակայքում):
Անսահմանափակ թվով եղևնիից վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների, ինչպես նաև Կրամերի պայմանը չբավարարող կամայական բաժանելի վիճակագրության հավանականության հարցը բաց մնաց։ Սա հնարավորություն չտվեց վերջնականապես լուծել հիպոթեզների փորձարկման չափանիշների կառուցման խնդիրը զրոյական կոնվերգենցիայի ընդհանրացված սխեմաներում՝ չափանիշների դասի այլընտրանքների համընկնման դեպքում առաջին տեսակի սխալի հավանականության համար: ձևի վիճակագրության հիման վրա (0.4): Ատենախոսական հետազոտության արդիականությունը որոշվում է այս խնդրի լուծումն ավարտին հասցնելու անհրաժեշտությամբ:
Ատենախոսական աշխատանքի նպատակն է կառուցել համապատասխանության չափորոշիչներ՝ չափանիշի ինդեքսի ամենաբարձր արժեքով (չափանիշի ստորին ինդեքս)՝ ընտրության սխեմայում վարկածները ստուգելու համար՝ առանց կրկնության այն չափանիշների դասում, որոնք մերժում են վարկածը W( n, N) այն դեպքում, որտեղ φ-ն արգումենտների հաշվելի թվի ֆունկցիա է, իսկ n, N պարամետրերը փոխվում են կենտրոնական շրջանում: Հետազոտության նպատակին համապատասխան դրվել են հետևյալ խնդիրները. - ուսումնասիրել ձևի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունը (0.4); - ուսումնասիրել սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության (0.3) մեծ շեղումների հավանականությունները, որոնք չեն բավարարում Կրամերի պայմանը. - գտնել այնպիսի վիճակագրություն, որ համաձայնության չափանիշը, որը կառուցված է դրա հիման վրա՝ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում վարկածների փորձարկման համար, ունի ամենամեծ ինդեքսային արժեքը ձևի չափանիշների դասում (0.7): Գիտական նորույթ. - տրված է ընդհանրացված չափման հայեցակարգը - ֆունկցիա, որն ընդունում է անսահման արժեքներ և բավարարում նույնականության, համաչափության և եռանկյունի անհավասարության աքսիոմները: Գտնվում է ընդհանրացված մետրիկ և նշվում են բազմություններ, որոնց վրա էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության գործառույթները, որոնք տրված են հաշվելի թվով արդյունքներով դիսկրետ բաշխումների ընտանիքի վրա, շարունակական են այս չափման մեջ. - ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում հայտնաբերվում է կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա (0.4) ձևի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականության համար, որը բավարարում է Կրամերի պայմանի համապատասխան ձևը. - ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում հայտնաբերվում է կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների համար, որոնք չեն բավարարում Կրամերի պայմանը. - ձևի չափանիշների դասում (0.7) կառուցվում է չափանիշի ինդեքսի ամենամեծ արժեք ունեցող չափանիշը. Գիտական և գործնական արժեք. Աշխատանքում լուծված են մի շարք հարցեր, որոնք վերաբերում են մեծ շեղումների հավանականությունների վարքագծին ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում։ Ստացված արդյունքները կարող են օգտագործվել ուսումնական գործընթացում մաթեմատիկական վիճակագրության և տեղեկատվության տեսության մասնագիտություններում, դիսկրետ հաջորդականությունների վերլուծության վիճակագրական ընթացակարգերի ուսումնասիրության մեջ և օգտագործվել /3/, /21/-ում՝ մեկ դասի անվտանգությունը հիմնավորելիս: տեղեկատվական համակարգերի. Պաշտպանության համար առաջադրված դրույթներ. - ստուգման խնդրի նվազեցում, օգտագործելով գնդակների գույների մեկ հաջորդականություն, վարկած, որ այս հաջորդականությունը ստացվել է առանց փոխարինման ընտրության արդյունքում մինչև երկու գնդակներ պարունակող կարասից գնդակների սպառումը: գույները, և յուրաքանչյուր այդպիսի ընտրություն ունի նույն հավանականությունը, որ չափորոշիչների համաձայնություն ստեղծվի՝ վարկածները համապատասխան ընդհանրացված դասավորության մեջ փորձարկելու համար. - էնտրոպիայի և Կուլբեք - Լեյբլեր - Սանով տեղեկատվական հեռավորության գործառույթների շարունակականությունը անվերջ ծավալային սիմպլեքսի վրա ներդրված լոգարիթմական ընդհանրացված մետրիկով. - սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքության) ասիմպտոտիկայի թեորեմ, որը չի բավարարում Կրամերի պայմանը յոթ էքսիոնցիոնալ դեպքում ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում.
Կուլբեք-Լեյբլեր-Սանով տեղեկատվական հեռավորության շարունակականությունը
Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաները ներդրվել են Վ.Ֆ. Կոլչինի կողմից /24/: Բազմանդամային սխեմայի եղևնի արժեքները կոչվում էին r կադրերով բջիջների քանակ և մանրամասն ուսումնասիրվել են Վ.Ֆ. Կոլչինի, Բ.Ա.Սևաստյանովի, Վ.Պ. Ընդհանրացված դասավորություններում \іr արժեքներն ուսումնասիրվել են Վ.Ֆ. Կոլչինի կողմից /25/,/26/: (0.3) ձևի վիճակագրությունը առաջին անգամ դիտարկվել է Յու.Ի.Մեդվեդևի կողմից /30/ և կոչվել է բաժանելի (հավելյալ բաժանելի) վիճակագրություն։ Եթե /„-ում (0.3) ֆունկցիաները կախված չեն u-ից, ապա այդպիսի վիճակագրությունը կանչվել է /31/ սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրությունում: Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում բաժանելի վիճակագրության պահերի ասիմպտոտիկ վարքագիծը ստացել է Գ.Ի. Իվչենկոն /9/-ում: Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայի սահմանային թեորեմները նույնպես դիտարկվել են /23/-ում: Սահմանային թեորեմների և համապատասխանության լավության արդյունքների ակնարկներ տիպի դիսկրետ հավանականական սխեմաներում (0.2) տրվել են Վ.Ա.Իվանովի, Գ.Ի.Իվչենկոյի, Յու.Ի.Մեդվեդևի կողմից /8/ և Գ.Ի. /14/-ում։ Ընդհանրացված դասավորությունների հարմարության չափանիշները դիտարկվել են A.F. Ronzhin-ի կողմից /38/-ում:
Այս աշխատանքներում վիճակագրական թեստերի հատկությունների համեմատությունն իրականացվել է հարաբերական ասիմպտոտիկ արդյունավետության տեսանկյունից: Դիտարկվել են մոտեցող (հարազատ) վարկածների դեպքը` արդյունավետություն Պիտմանի իմաստով և ոչ համընկնող վարկածներ` արդյունավետություն Բահադուր, Հոջես` Լեհման և Չեռնով: Վիճակագրական թեստերի հարաբերական կատարման տարբեր տեսակների միջև կապը քննարկվում է, օրինակ, /49/-ում: Ինչպես հետևում է Յու.Ի.Մեդվեդևի /31/-ի արդյունքներից՝ բազմանդամ սխեմայում բաժանելի վիճակագրության բաշխման վերաբերյալ, «chi-square» վիճակագրության վրա հիմնված թեստն ունի ամենաբարձր ասիմպտոտիկ ուժը համընկնող վարկածների ներքո՝ բաժանելի վիճակագրության դասում։ արդյունքների հաճախականությունը բազմանդամ սխեմայի մեջ: Այս արդյունքը ընդհանրացվել է A.F. Ronzhin-ի կողմից (0.2) տիպի սխեմաների համար /38/-ում: II Վիկտորովան և Վ.Պ. Չիստյակովը /4/-ում եղևնիի գծային ֆունկցիաների դասում կառուցեցին բազմանդամ սխեմայի օպտիմալ չափանիշ: Ռոնժինը /38/-ում կառուցեց մի չափանիշ, որը այլընտրանքների հաջորդականության դեպքում, որը չի մոտենում զրոյական վարկածին, նվազագույնի է հասցնում առաջին տեսակի սխալի հավանականության լոգարիթմական դրույքաչափը, որը ձգտում է զրոյի ձևի վիճակագրության դասում: (0.6): Խի-քառակուսի վիճակագրության հարաբերական կատարողականի և համընկնող և չհամընկնող վարկածների առավելագույն հավանականության հարաբերակցության համեմատությունը կատարվել է /54/-ում: Ատենախոսական աշխատանքում դիտարկվել է չմոտենալու վարկածների դեպքը։ Չհամընկնող վարկածներով չափորոշիչների հարաբերական վիճակագրական արդյունավետության ուսումնասիրությունը պահանջում է գերխոշոր շեղումների հավանականությունների ուսումնասիրություն՝ 0(y/n) կարգի: Առաջին անգամ նման խնդիր ֆիքսված քանակով բազմանդամ բաշխման համար լուծվել է IN Sanov-ի կողմից /40/-ում: Հարմարավետության չափանիշների ասիմպտոտիկ օպտիմալությունը բազմանդամ բաշխման համար պարզ և բարդ վարկածների փորձարկման համար վերջավոր թվով արդյունքների դեպքում՝ չմոտենացող այլընտրանքներով, դիտարկվել է /48/-ում: Տեղեկատվական հեռավորության հատկությունները նախկինում դիտարկվել են Kullback, Leibler /29/,/53/ և I. II կողմից: Սանով /40/, ինչպես նաև Հեֆդինգ /48/: Այս փաստաթղթերում տեղեկատվական հեռավորության շարունակականությունը դիտարկվել է էվկլիդեսյան մետրիկայի վերջավոր չափերի տարածությունների վրա: Հեղինակը դիտարկել է նաև աճող հարթություն ունեցող տարածությունների հաջորդականություն, օրինակ՝ Յու.Վ.Պրոխորովի /37/ կամ Վ.Ի.Բոգաչևի, Ա.Վ.Կոլեսնիկովի /1/ աշխատության մեջ: Կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) թեորեմները բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում Քրամերի պայմանով ստացվել են Ա. Ֆ.Ռոյժինը /38/. Ա. Ն. Տիմաշևը /42/,/43/-ում ստացել է ճշգրիտ (մինչև համարժեք) բազմաչափ ինտեգրալ և տեղային սահմանային թեորեմներ վեկտորի մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ:
Մեծ շեղումների հավանականությունների ուսումնասիրությունը, երբ Քրամերի պայմանը չի բավարարվում անկախ պատահական փոփոխականների դեպքում, իրականացվել է Ա.Վ. Նագաևի աշխատություններում /35/: Կոնյուգացիոն բաշխումների մեթոդը նկարագրված է Ֆելլերի կողմից /45/:
Հիպոթեզների փորձարկման և պարամետրերի գնահատման վիճակագրական խնդիրները ընտրության սխեմայում առանց փոխարինման մի փոքր այլ ձևակերպմամբ դիտարկվել են G.I.Ivchenko, V.V.Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, որտեղ գնահատման խնդիրները լուծվել են վերջավոր բնակչության համար, երբ Դրա տարրերի թիվը անհայտ արժեք է, ապացուցվել է բազմաչափ S-վիճակագրության ասիմպտոտիկ նորմալությունը s անկախ նմուշներից ընտրության սխեմայում առանց փոխարինման: Անկախ փորձարկումների հաջորդականությամբ կրկնությունների հետ կապված պատահական փոփոխականների ուսումնասիրության խնդիրն ուսումնասիրել են Ա.Մ.Զուբկովը, Վ.Գ.Միխայլովը, Ա.Մ.Շոյտովը /6/, /7/, /32/, /33/, /34/: Հիպոթեզների գնահատման և ստուգման հիմնական վիճակագրական խնդիրների վերլուծությունը Մարկով-Պոյայի ընդհանուր մոդելի շրջանակներում իրականացվել է Գ. Ի. Իվչենկոյի, Յու. Ի. Մեդվեդևի կողմից /13/, որի հավանականական վերլուծությունը տրվել է /11 թ. /. Մի շարք կոմբինատոր օբյեկտների վրա անհավանական չափումներ սահմանելու մեթոդ, որը չի կարող կրճատվել ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայի (0.2) նկարագրված է GI Ivchenko, Yu. I. Medvedev /12/: Հավանականությունների տեսության մի շարք խնդիրներ, որոնց պատասխանը կարելի է ստանալ ռեկուրսիվ բանաձևերի միջոցով հաշվարկների արդյունքում, Ա.Մ. Զուբկովը նշում է /5/-ում:
Տեղեկատվական հեռավորությունը և բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունները
Երբ Քրամերի պայմանը բավարարված չէ, բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումները դիտարկվող յոթ էքսպոնենցիալ դեպքում ընդհանուր բաշխման սխեմայում որոշվում են մեկ անկախ տերմինի շեղման հավանականությամբ: Երբ Քրամերի վիճակը բավարարվում է, դա, ինչպես ընդգծված է /39/-ում, այդպես չէ։ Դիտողություն 10. φ(x) ֆունկցիան այնպիսին է, որ Ee (A) մաթեմատիկական ակնկալիքը վերջավոր է 0 t 1-ում և անվերջ՝ t 1-ում: Դիտողություն 11. Բաժանելի վիճակագրության համար, որը չի բավարարում Կրամերի պայմանը, սահմանը (2.14) հավասար է 0-ի, որն ապացուցում է /39/-ով արտահայտված ենթադրության հիմնավորվածությունը։ Դիտողություն 12. n-ի բազմանդամային սխեմայում chi-square վիճակագրության համար ./V - co-ն այնպիսին է, որ - A, թեորեմից անմիջապես հետևում է, որ այս արդյունքը ստացվել է ուղղակիորեն /54/-ում: Այս գլխում, բջիջների վրա մասնիկների բաշխման ընդհանրացված սխեմաների պարամետրերի կենտրոնական տիրույթում, կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտիկան բջիջների լրացումից հավելյալ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականության ասիմպտոտիկա և բջիջների քանակի գործառույթներ. նշված լցոնումը հայտնաբերվել է.
Եթե Կրամերի պայմանը բավարարված է, ապա մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ ասիմպտոտիկան որոշվում է վերը նշված իմաստով ռացիոնալ կոորդինատներով կետերի հաջորդականության մեջ ընկնելու հավանականությունների կոպիտ ասիմպտոտիկայով: տեղեկատվական հեռավորությունը հասել է.
Դիտարկվել է f(i),..., f(x) պատահական փոփոխականների համար Կրամերի պայմանի չկատարման յոթ էքսպոնենցիալ դեպքը, որտեղ b, x-ը անկախ պատահական փոփոխականներ են, որոնք առաջացնում են բաժանման ընդհանրացված սխեման (0.2), f(k) ֆունկցիան է (0.3) սիմետրիկ հավելումով բաժանվող վիճակագրության սահմանման մեջ: Այսինքն՝ ենթադրվում էր, որ p(k) = - lnP(i = k) և f(k) ֆունկցիաները կարող են տարածվել p 0 և q 0 կարգի շարունակական արգումենտի կանոնավոր փոփոխվող ֆունկցիաների վրա, և p q . Պարզվեց, որ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ ասիմպտոտիկայի հիմնական ներդրումը նմանապես կատարում է միավորների համապատասխան հաջորդականության բաշխման հավանականության կոպիտ ասիմպտոտիկները: Հետաքրքիր է նշել, որ ավելի վաղ տարանջատելի վիճակագրության համար մեծ շեղումների հավանականությունների թեորեմն ապացուցվել է թամբի կետի մեթոդի կիրառմամբ, ընդ որում ասիմպտոտիկայի հիմնական ներդրումը կատարվել է մեկ թամբի կետով: Գործը մնաց չուսումնասիրված, երբ, եթե Cramer պայմանը չի բավարարվում, 2-kN պայմանը չի բավարարվում:
Եթե Կրամերի պայմանը բավարարված չէ, ապա նշված պայմանը կարող է չբավարարվել միայն p 1-ի դեպքում: Ինչպես ուղղակիորեն հետևում է հավանականության համապատասխան բաշխման լոգարիթմից, Պուասոնի բաշխման և երկրաչափական բաշխման համար p=1: Մեծ շեղումների հավանականությունների ասիմպտոտիկայի արդյունքից, երբ Կրամերի պայմանը բավարարված չէ, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ այն չափանիշները, որոնց վիճակագրությունը չի բավարարում Կրամերի պայմանը, ունեն զգալիորեն ցածր կոնվերգենցիայի արագություն մինչև երկրորդի սխալների հավանականությունների զրոյի: տեսակ առաջին տեսակի սխալի ֆիքսված հավանականության համար և ոչ մոտեցող այլընտրանքների համեմատ այն չափանիշների հետ, որոնց վիճակագրությունը բավարարում է Կրամերի պայմանը: Թող N - 1 1 սպիտակ un-JV 1 սև գնդիկներ պարունակող urn ընտրվի առանց փոխարինման, մինչև այն սպառվի: Կապենք սպիտակ գնդիկների դիրքերը 1 i\ ... r -i n - 1 ընտրության մեջ հարակից սպիտակ գնդիկների միջև հեռավորությունների հաջորդականությամբ hi,...,h հետևյալ կերպ. Ապա hv l,v =1,. .. ,N,M EjLi i/ - n- Սահմանենք հավանականության բաշխում h = (hi,..., λg) վեկտորների բազմության վրա՝ սահմանելով V(hv = rv,v = l,..., N) որտեղ i,... ,lg - անկախ ոչ բացասական ամբողջ թվով պատահական փոփոխականներ (r.v.), այսինքն՝ դիտարկենք ընդհանրացված բաշխման սխեման (0.2): h վեկտորի բաշխումը կախված է n,N-ից, սակայն համապատասխան ինդեքսները, որտեղ հնարավոր է, կբացակայվեն՝ նշելու հեշտության համար: Դիտողություն 14. Եթե urn-ից գնդակներ ընտրելու (]) եղանակներից յուրաքանչյուրին վերագրվում է նույն հավանականությունը (\) mn ցանկացած r i,..., rg-ի համար այնպես, որ rn 1,u = l,...,N , T,v=\ru = n, հավանականությունը, որ ընտրության մեջ հարակից սպիտակ գնդերի միջև եղած հեռավորությունները վերցնում են այս արժեքները
Ընդհանրացված դասավորություններում բջիջների քանակի վրա հիմնված չափանիշներ
Ատենախոսական աշխատանքի նպատակն էր կառուցել պիտանիության չափորոշիչներ՝ հիպոթեզների ստուգման համար ընտրության սխեմայում՝ առանց 2 գույնի գնդիկներ պարունակող urn-ից վերադառնալու: Հեղինակը որոշել է ուսումնասիրել վիճակագրությունը՝ հիմնվելով նույն գույնի գնդակների միջև հեռավորությունների հաճախականության վրա: Այս ձևակերպման մեջ խնդիրը կրճատվել է համապատասխան ընդհանրացված դասավորությամբ հիպոթեզների փորձարկման խնդրին:
Ատենախոսական աշխատանքում - ուսումնասիրվել են էնտրոպիայի հատկությունները և դիսկրետ բաշխումների տեղեկատվական հեռավորությունը՝ անսահմանափակ թվով արդյունքներով՝ սահմանափակ մաթեմատիկական ակնկալիքով; - ստացվել է ընդհանուր բաշխման սխեմայում վիճակագրության լայն դասի մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա. - ստացված արդյունքների հիման վրա կառուցվում է առաջին տեսակի սխալի հավանականության զրոյական կոնվերգենցիայի ամենաբարձր լոգարիթմական արագությամբ չափորոշիչ ֆունկցիա՝ երկրորդ տեսակի սխալի ֆիքսված հավանականության և չմոտեցվող այլընտրանքների համար. - Ապացուցված է, որ Քրամերի պայմանը չբավարարող վիճակագրությունը մեծ շեղումների հավանականության զրոյական միտում ունի՝ համեմատած նման պայմանը բավարարող վիճակագրության հետ: Աշխատության գիտական նորույթը հետեւյալն է. - տրված է ընդհանրացված չափման հայեցակարգը - ֆունկցիա, որն ընդունում է անսահման արժեքներ և բավարարում նույնականության, համաչափության և եռանկյունի անհավասարության աքսիոմները: Գտնվում է ընդհանրացված մետրիկ և նշվում են բազմություններ, որոնց վրա էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության գործառույթները, որոնք տրված են հաշվելի թվով արդյունքներով դիսկրետ բաշխումների ընտանիքի վրա, շարունակական են այս չափման մեջ. - ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում հայտնաբերվում է կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա (0.4) ձևի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականության համար, որը բավարարում է Կրամերի պայմանի համապատասխան ձևը. - ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում հայտնաբերվում է կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների համար, որոնք չեն բավարարում Կրամերի պայմանը. - ձևի չափանիշների դասում (0.7) կառուցվում է չափանիշի ինդեքսի ամենամեծ արժեք ունեցող չափանիշը. Աշխատանքում լուծված են մի շարք հարցեր, որոնք վերաբերում են մեծ շեղումների հավանականությունների վարքագծին ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում։ Ստացված արդյունքները կարող են օգտագործվել ուսումնական գործընթացում մաթեմատիկական վիճակագրության և տեղեկատվության տեսության մասնագիտություններում, դիսկրետ հաջորդականությունների վերլուծության վիճակագրական ընթացակարգերի ուսումնասիրության մեջ և օգտագործվել /3/, /21/-ում՝ մեկ դասի անվտանգությունը հիմնավորելիս: տեղեկատվական համակարգերի. Այնուամենայնիվ, մի շարք հարցեր բաց են մնում։ Հեղինակը սահմանափակվել է փոփոխության կենտրոնական գոտին դիտարկելով պարամետրեր n, NԸնդհանրացված սխեմաներ՝ n մասնիկ /V բջիջներում դասավորելու համար: Եթե ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեման (0.2) առաջացնող պատահական փոփոխականների բաշխման կրողը r, r 4-1, r + 2,... ձևի բազմություն չէ, ապա տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիայի շարունակականությունն ապացուցելիս և. ուսումնասիրելով մեծ շեղումների հավանականությունները՝ պահանջվում է հաշվի առնել նման կրիչի թվաբանական կառուցվածքը, որը հաշվի չի առնվել հեղինակի աշխատանքում։ Առաջարկվող ֆունկցիայի հիման վրա ինդեքսի առավելագույն արժեքով կառուցված չափանիշների գործնական կիրառման համար պահանջվում է ուսումնասիրել դրա բաշխումը և՛ զրոյական վարկածի, և՛ այլընտրանքների ներքո, այդ թվում՝ համընկնող: Հետաքրքիր է նաև մշակված մեթոդների փոխանցումը և ստացված արդյունքների ընդհանրացումը այլ հավանականական սխեմաների, բացի ընդհանրացված բաշխման սխեմաներից: Եթե //1,/ 2,-.. երկանդամ սխեմայի 0 արդյունքի թվերի միջև եղած հեռավորությունների հաճախականություններն են рї 1 -POj արդյունքների հավանականություններով, ապա կարելի է ցույց տալ, որ այս դեպքում ապացուցված է /26-ում: /, հետևում է, որ բաշխումը (3.3), ընդհանուր առմամբ, չի կարող ներկայացվել ընդհանուր դեպքում որպես z-ի արժեքների համատեղ բաշխում որևէ ընդհանրացված սխեմայում՝ մասնիկներ բջիջներում տեղադրելու համար: Այս բաշխումը /12/-ում ներկայացված կոմբինատոր օբյեկտների բազմության վրա բաշխումների հատուկ դեպք է: Կարծես հրատապ խնդիր է ընդհանրացված դասավորությունների համար ատենախոսական աշխատանքի արդյունքները տեղափոխել այս գործին, որը քննարկվել է /52/-ում։
Բեռնվում է...
