Конспект безперервного дробу обчислення за формулою брауна. Безперервні дроби

НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ.Послідовність, кожен член якої є звичайним дробом, породжує безперервний (або ланцюговий) дріб, якщо його другий член додати до першого, а кожен дріб, починаючи з третього, додати до знаменника попереднього дробу.

Наприклад, послідовність 1, 1/2, 2/3, 3/4,..., n/(n+ 1),... породжує безперервний дріб

де крапка в кінці вказує на те, що процес триває нескінченно. У свою чергу безперервний дріб породжує іншу послідовність дробів, які називаються відповідними. У нашому прикладі перший, другий, третій і четвертий відповідні дроби рівні

Їх можна побудувати за простому правилуз послідовності неповних приватних 1, 1/2, 2/3, 3/4,.... Насамперед випишемо першу і другу відповідні дроби 1/1 і 3/2. Третій відповідний дріб дорівнює (2Ч 1 + 3Ч 3)/(2Ч 1 + 3Ч 2) або 11/8, його чисельник дорівнює сумі творів чисельників першого і другого відповідних дробів, помножених відповідно на чисельник і знаменник третього неповного приватного, а знаменник дорівнює сумі творів знаменників першого та другого неповних приватних, помножених відповідно на чисельник та знаменник третього неповного приватного. Четвертий відповідний дріб виходить аналогічно з четвертого неповного приватного 3/4 і другого і третього відповідних дробів: (3Ч 3 + 4Ч 11)/(3Ч 2 + 4Ч 8) або 53/38. Дотримуючись цього правила, знаходимо перші сім відповідних дробів: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 та 16687/11986. Запишемо їх у вигляді десяткових дробів (із шістьма знаками після коми): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 та 1,392208. Значенням нашого безперервного дробу буде число x, перші цифри якого 1,3922. Відповідні дроби є найкращим наближенням числа x. Причому вони по черзі виявляються то меншими, то більшими від числа x(непарні – більше x, а парні – менше).

Щоб уявити ставлення двох позитивних цілих чисел у вигляді кінцевого безперервного дробу, потрібно скористатися методом знаходження найбільшого спільного дільника. Наприклад, візьмемо відношення 50/11. Оскільки 50 = 4Ч 11 + 6 чи 11/50 = 1/(4 + 6/11), і, аналогічно, 6/11 = 1/(1 + 5/6) чи 5/6 = 1/(1 + 1/5), отримуємо:

Безперервні дроби використовуються для наближення ірраціональних чисел раціональними. Припустимо, що x- Ірраціональне число (тобто непредставно у вигляді відношення двох цілих чисел). Тоді, якщо n 0 – найбільше ціле число, яке менше x, то x = n 0 + (x – n 0), де x – n 0 - позитивне число менше 1, тому зворотне йому число x 1 більше 1 і x = n 0 + 1/x 1 . Якщо n 1 – найбільше ціле число, яке менше x 1 , то x 1 = n 1 + (x 1 – n 1), де x 1 – n 1 - позитивне число, яке менше 1, тому зворотне йому число x 2 більше 1, та x 1 = n 1 + 1/x 2 . Якщо n 2 – найбільше ціле число, яке менше x 2 , то x 2 = n 2 + 1/x 3 , де x 3 більше 1, і т.д. В результаті ми крок за кроком знаходимо послідовність неповних приватних n 0 , 1/n 1 , 1/n 2 ,... безперервного дробу, що є наближеннями x.

Пояснимо сказане з прикладу. Припустимо, що тоді

Перші 6 відповідних дробів дорівнюють 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записані як десяткових дробів вони дають такі наближені значення : 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Безперервний дріб має неповні приватні 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1,.... Ірраціональне число є коренем квадратного рівнянняз цілими коефіцієнтами в тому і тільки в тому випадку, якщо неповні приватні його розкладання в безперервний дріб періодичні.

Безперервні дроби тісно пов'язані з багатьма розділами математики, наприклад з теорією функцій, рядами, що розходяться, проблемою моментів, диференціальними рівняннями і нескінченними матрицями. Якщо x– радіальний захід гострого кута, то тангенс кута x x/1, - x 2 /3, - x 2 /7, - x 2/9, ..., а якщо x- Позитивне число, то натуральний логарифм від 1 + xдорівнює значенню безперервного дробу з неповними приватними 0, x/1, 1 2 x/2, 1 2 x/3, 2 2 x/4, 2 2 x/5, 3 2 x/6,... . Формальним розв'язком диференціального рівняння x 2 dy/dx + y = 1 + xу вигляді статечного ряду є розбіжний статечний ряд 1 + x – 1!x 2 + 2!x 3 – 3!x 4 +.... Цей статечний ряд можна перетворити на безперервний дріб з неповними приватними 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1,..., а її у свою чергу використовуватиме отримання рішення диференціального рівняння x 2 dy/dx + y = 1 + x.

НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ

Послідовність, кожен член якої є звичайним дробом, породжує безперервний (або ланцюговий) дріб, якщо його другий член додати до першого, а кожен дріб, починаючи з третього, додати до знаменника попереднього дробу. Наприклад, послідовність 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... породжує безперервний дріб

Їх можна побудувати за простим правилом із послідовності неповних приватних 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... . Насамперед випишемо першу і другу відповідні дроби 1/1 та 3/2. Третій відповідний дріб дорівнює (2?1 + 3?3)/(2?1 + 3?2) або 11/8, його чисельник дорівнює сумі творів чисельників першого і другого відповідних дробів, помножених відповідно на чисельник і знаменник третього неповного приватного, а знаменник дорівнює сумі творів знаменників першого та другого неповних приватних, помножених відповідно на чисельник та знаменник третього неповного приватного. Четвертий відповідний дріб виходить аналогічно з четвертого неповного приватного 3/4 і другого і третього відповідних дробів: (3?3 + 4?11)/(3?2 + 4?8) або 53/38. Дотримуючись цього правила, знаходимо перші сім відповідних дробів: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 та 16687/11986. Запишемо їх у вигляді десяткових дробів (із шістьма знаками після коми): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 та 1,392208. Значення нашого безперервного дробу буде число x, перші цифри якого 1,3922. Відповідні дроби є найкращим наближенням числа x. Причому вони по черзі виявляються то меншими, то більшими за число x (непарні - більше x, а парні - менше).

Щоб уявити відношення двох позитивних цілих чисел у вигляді кінцевого безперервного дробу, потрібно скористатися методом знаходження найбільшого спільного дільника. Наприклад, візьмемо відношення 50/11. Оскільки 50 = 4?11 + 6 чи 11/50 = 1/(4 + 6/11), і, аналогічно, 6/11 = 1/(1 + 5/6) чи 5/6 = 1/(1 + 1/5), отримуємо:

Безперервні дроби використовуються для наближення ірраціональних чисел раціональними. Припустимо, що x - ірраціональне число (тобто непредставно у вигляді відношення двох цілих чисел). Тоді, якщо n0 - найбільше ціле число, яке менше x, то x = n0 + (x - n0), де x - n0 - позитивне число менше 1, тому зворотне число x1 більше 1 і x = n0 + 1/x1. Якщо n1 - найбільше ціле число, яке менше x1, то x1 = n1 + (x1 - n1), де x1 - n1 - позитивне число, яке менше 1, тому зворотне число x2 більше 1, і x1 = n1 + 1/x2 . Якщо n2 - найбільше ціле число, яке менше x2, то x2 = n2 + 1/x3 де x3 більше 1 і т.д. В результаті ми крок за кроком знаходимо послідовність неповних приватних n0, 1/n1, 1/n2, ... безперервного дробу, що є наближенням x.

Пояснимо сказане з прикладу. Припустимо, що тоді

Перші 6 відповідних дробів дорівнюють 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записані як десяткових дробів вони дають такі наближені значення: 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Безперервна дріб має неповні приватні 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... . Ірраціональне число є коренем квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами в тому і тільки в тому випадку, якщо неповні приватні його розкладання в безперервний дріб періодичні.

Безперервні дроби тісно пов'язані з багатьма розділами математики, наприклад з теорією функцій, рядами, що розходяться, проблемою моментів, диференціальними рівняннями і нескінченними матрицями. Якщо x - радіанна міра гострого кута, то тангенс кута x дорівнює значенню безперервного дробу з неповними приватними 0, x/1, x2/3, x2/7, x2/9, ..., а якщо x - позитивне число , то натуральний логарифм від 1 + x дорівнює значенню безперервного дробу з неповними приватними 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4, 22x/5, 32x/6, ... . Формальним рішенням диференціального рівняння x2dy/dx + y = 1 + x у вигляді статечного ряду є розбіжний статечний ряд 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Цей статечний ряд можна перетворити на безперервний дріб з неповними приватними 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., а його у свою чергу використовувати для отримання рішення диференціального рівняння x2dy/dx + y = 1 + x.

Кольєр. Словник Кольєра. 2012

Дивіться ще тлумачення, синоніми, значення слова і що таке НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ в російській мові в словниках, енциклопедіях та довідниках:

ДРОБИ
Якщо ділиться якесь ціле число а на інше ціле число b, тобто шукається число x, що задовольняє умові bx=а, то …
ОСТРІВ КАУАЇ у Довіднику Чудес, незвичайних явищ, НЛО та інше:
найсиріше місце на Землі, розташоване в Гавайському архіпелазі Тихому океаніде йдуть практично безперервні зливи. Середньорічна кількість …
СТАЛКЕР (ФІЛЬМ) у Цитатнику Wiki.
РОСІЯ, РОЗД. МАТЕМАТИКА в Короткій біографічній енциклопедії:
Рпоха писемних пам'яток застає у Росії вживання десяткової системи числення не більше 1 - 10000 (темрява) і дробів двійкової системи …
ДРОБИ у Великому енциклопедичному словнику:
Якобіан
функціональний визначник -aik-1n з елементами, де yi fi (X1, ..., Xn), l £ i £ …
ФУНКЦІОНАЛЬНИЙ АНАЛІЗ (МАТЕМАТ.) у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
аналіз, частина сучасної математики, головним завданням якої є вивчення нескінченномірних просторів та їх відображення. Найбільш вивчені лінійні простори та лінійні …
ФУНКЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
рівняння, дуже загальний класрівнянь, у яких шуканою є певна функція. До Ф. в. сутнісно відносяться диференціальні рівняння, …
РІВНІ ЕНЕРГІЇ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
енергії, можливі значення енергії квантових систем, т. е. систем, які з мікрочастинок (електронів, протонів та інших. елементарних частинок, атомних ядер, …
ТОПОЛОГІЯ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
(Від грец. tоpos - місце і - логія) - частина геометрії, присвячена вивченню феномену безперервності (який виражається, наприклад, у понятті …).
ТЕРМОДИНАМІКА НЕРАВНОВЕСНИХ ПРОЦЕСІВ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
нерівноважних процесів, загальна теорія макроскопічного опису нерівноважних процесів. Вона називається також нерівноважною термодинамікою або термодинамікою незворотних процесів. Класична термодинаміка.
ТЕРМІЧНА ПЕЧ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
піч, промислова піч для проведення різних операцій термічної чи хіміко-термічної обробки металевих виробів. Т. п. класифікують за методом роботи: періодичні …
СРСР. ТЕХНІЧНІ НАУКИ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
Авіаційна наука і техніка У дореволюційній Росії було побудовано ряд літаків оригінальної конструкції. Свої літаки створили (1909–1914) Я. М. …
РАЦІОНАЛЬНА ФУНКЦІЯ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
функція, функція, що у результаті кінцевого числа арифметичних операцій (складання, множення і поділу) над змінним х і довільними числами. Р. …
ПРОКАТНИЙ СТАН у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
стан, машина для обробки тиском металу та ін. матеріалів між валками, що обертаються, тобто для здійснення процесу прокатки, в …
ПОЛІМЕРИ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
(від грец. polymeres - що складається з багатьох частин, різноманітний), хімічні сполуки з високою молекулярною масою (від кількох тисяч до багатьох …
ПЕРІОДИЧНА ДРОБІЛЬ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
дріб, нескінченний десятковий дріб, в якому, починаючи з деякого місця, стоїть лише певна група цифр, що періодично повторюється. Наприклад, 1,3181818...; коротше …
НЕПРЕРИВНА ДРОБІЛЬ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
дріб, ланцюговий дріб, один із найважливіших способів представлення чисел та функцій. Н. д. є вираз виду де a 0 - …
НЕПРЕРИВНА ГРУПА у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
група, математичне поняття, як і поняття звичайної групи, що виникає під час розгляду перетворень. Нехай М - безліч елементів будь-якого …
МАРОККО у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
Королівство Марокко (араб. – Аль-Мамляка аль-Магрібія, або Магріб аль-Акса, буквально – далекий захід). I. Загальні відомостіМ. – держава на …
ЛІНІЯ (ГЕОМЕТРИЧ. ПОНЯТТЯ) у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
(Від лат. linea), геометричне поняття, точне і в той же час досить загальне визначення якого становить значні труднощі та здійснюється …
КІЛЬКІСТЬ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
категорія, що виражає зовнішнє, формальне взаємовідносини предметів чи його частин, і навіть властивостей, зв'язків: їх величину, число, ступінь прояви того чи …
Кібернетика у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
(від грецьк. kybernetice - мистецтво управління, від kybernao - правлю кермом, керую), наука про управління, зв'язок та переробку інформації. …
ЗОЛОТІ СПЛАВИ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
сплави, сплави, найважливішим компонентом яких є золото (Au). Сплавлення Au з ін. металами (лігатурами) має на меті підвищення міцності.
ЗАГОТУВАЛЬНИЙ СТАН у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
стан, прокатний стан, призначений для прокатки блюмів або злитків у заготовки квадратного або круглого перерізуз метою їх подальшої обробки.
ДРОБОВЕ БУРІННЯ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
буріння, вид обертального буріння із застосуванням дробу як стираючого матеріалу. Запропоновано в США в 1899 році для проходження свердловин у …
ДІЙСНЕ ЧИСЛО у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
число, речове число, будь-яке позитивне число, негативне число або нуль. Д. ч. поділяються на раціональні та ірраціональні. Перші представні як …
ГЕОМЕТРІЯ у Великій радянській енциклопедії, БСЕ:
(грец. geometria, від ge – Земля і metroo – мірю), розділ математики, що вивчає просторові відносини та форми, а також інші …
ГАЛЬМО
РУЧНА Вогнепальна зброя в Енциклопедичному словнику Брокгауза та Євфрона:
характеризується тим, що вимагає для бойового вживання зусиль лише однієї людини. Первообраз (XIII, XIV століття) його - ручна бомбарда (bomba...
РОСІЯ. РОСІЙСЬКА НАУКА: МАТЕМАТИКА в Енциклопедичному словнику Брокгауза та Євфрона:
Епоха писемних пам'яток застає у Росії вживання десяткової системи числення не більше 1—10000 (темрява) і дробів двійкової системи разом із …
РОЗЧИНИ в Енциклопедичному словнику Брокгауза та Євфрона.
ПРИСТРІЛКА МИСЛИВСЬКОЇ РУЖКИ в Енциклопедичному словнику Брокгауза та Євфрона:
має завданням як вивчення бою його, так і визначення меж кучності, різкості та дальності бою різними номерами дробу. Бій кожного …
ПЕРЕДВИЖЕННЯ ОРГАНІВ РОСЛИН в Енциклопедичному словнику Брокгауза та Євфрона.
МАТЕМАТИКА в Енциклопедичному словнику Брокгауза та Євфрона:
Слово "математика" походить від грецької?????? (наука, вчення), у свою чергу, що відбувається, разом з словом, що має одне з ним значення …
КІСТКИ в Енциклопедичному словнику Брокгауза та Євфрона:
тверді частини, з'єднання яких складає скелет або кістяк тіла хребетних і які характеризуються великою твердістю, значним вмістом мінеральних речовин та …
ДРОБЛЯ ДЛЯ СТРІЛЬБИ в Енциклопедичному словнику Брокгауза та Євфрона.
ЦИФРОВЕ у Великому російському енциклопедичному словнику:
ЦИФРОВЕ ТЕЛЕБАЧЕННЯ, система телевізійного мовлення, в якій безперервні в часі телевіз. сигнали під час передачі перетворюються на дискретні і передаються …
ГАЛЬМО*
РУЧНА Вогнепальна зброя *
? характеризується тим, що вимагає для бойового вживання зусиль лише однієї людини. Першообраз (XIII, XIV століття) його? ручна бомбарда.
РОЗЧИНИ* в Енциклопедії Брокгауза та Єфрона.
ПРИСТРІЛКА МИСЛИВСЬКОЇ РУЖКИ в Енциклопедії Брокгауза та Єфрона:
? має завданням як вивчення бою його, так і визначення меж кучності, різкості та дальності бою різними номерами дробу. Бій ...
ПЕРЕДВИЖЕННЯ ОРГАНІВ РОСЛИН* в Енциклопедії Брокгауза та Єфрона.
МУКОМОЛЬНЕ ВИРОБНИЦТВО* в Енциклопедії Брокгауза та Єфрона.
МАТЕМАТИКА в Енциклопедії Брокгауза та Єфрона:
? Слово "математика" походить від грецької?????? (наука, вчення), у свою чергу, що відбувається, разом з значенням, що має одне з ним.
КІСТКИ в Енциклопедії Брокгауза та Єфрона:
? тверді частини, з'єднання яких складає скелет або кістяк тіла хребетних і які характеризуються великою твердістю, значним вмістом мінеральних речовин.
ЦИФРИ І СИСТЕМИ ЗЛІЧЕННЯ: ПОЗНАЧЕННЯ ЧИСЕЛ у Словнику Кольєра:
До статті ЦИФРИ І СИСТЕМИ ЗЛІЧЕННЯ Стародавній Єгипет. Розшифрування системи числення, створеної в Єгипті за часів першої династії (бл. 2850 р.).
ФУНКЦІЙ ТЕОРІЯ: ФУНКЦІЇ ДІЙСНОГО ЗМІННОГО у Словнику Кольєра:
До статті ФУНКЦІЙ ТЕОРІЯ Функції, які у елементарному аналізі, задаються формулами. Їхні графіки зазвичай можна накреслити, не відриваючи олівець від …
ДЕРЕВО: ОСНОВНІ ЧАСТИНИ ДЕРЕВА у Словнику Кольєра:
До статті ДЕРЕВО Дерева, за винятком деревоподібних папоротей, - насіннєві рослини, що складаються з коренів, стебла, листя та репродуктивних (статевих) органів, …

Дробинка у Повній акцентуйованій парадигмі щодо Залізняка:
дробинка, дробинки, дробинки, дробинок, дробинки, дробинки, дробинки, дробинки, дробинки, дробинки, дробинки, дробинки, …
ДРОБІНА у Повній акцентуйованій парадигмі щодо Залізняка:
дроби"на, дроби"ни, дроби"ни, дроби"н, дроби"не, дроби"нам, дроби"ну, дроби"ни, дроби"ної, дроби"ною, дроби"нами, дроби"не, …
ДРОБИЛЬНИК у Повній акцентуйованій парадигмі щодо Залізняка:
дроби"льщики, дроби"льщики, дроби"льщика, дроби"льщиків, дроби"льщику, дроби"льщикам, дроби"льщика, дроби"льщиків, дроби"льщиком, дроби"льщиками, дроби"льщику, …
ДРОБИЛЬНИЙ у Повній акцентуйованій парадигмі щодо Залізняка:
дроби"льний, дроби"льня, дроби"льне, дроби"льні, дроби"льної, дроби"льної, дроби"льної, дроби"льної, дроби"льної, дроби"льної, дроби"льної, дроби"льної, дроби" льний, дроби"льне, дроби"льне, дроби"льне, дроби"льне, дроби"льне, дроби"льне, дроби"льне, …
ДРОБИЛО у Повній акцентуйованій парадигмі щодо Залізняка:
дроби"ло, дроби"ла, дроби"ла, дроби"л, дроби"лу, дроби"лам, дроби"ло, дроби"ла, дроби"лам, дроби"лам, дроби"ле, …
Дробилка у Повній акцентуйованій парадигмі щодо Залізняка:
дроби "лка, дроби" лки, дроби " лки, дроби " лок, дроби " лке, дроби " лкам, дроби " лку, дроби " лкі, дроби " лкой, дроби " лкою, дроби " лками, дроби " лке, …
ДРОБИ в Сучасному тлумачному словнику, Вікіпедія:
в арифметиці - число, складене з цілого числа часток одиниці. Дроб виражається ставленням двох цілих чисел m/n, де n - …
безперервний в Тлумачному словникуросійської мови Ушакова:
безперервна, безперервна; безперервний, безперервний, безперервний. 1. Не має перерв, промелсутков, що тягнеться суцільним рядом, лінією. Безперервний ланцюг. Безперервний ряд. Безперервний потік. …

План:

1 Розкладання в ланцюговий дріб
2 Відповідні дроби
3 Наближення дійсних чисел раціональними
- 3.1 Приклади
4 Властивості та приклади
5 Додатки ланцюгових дробів
- 5.1 Теорія календаря
- 5.2 Рішення порівнянь першого ступеня
- 5.3 Інші програми
  - 5.3.1 Властивості золотого перерізу
6 Історична довідка
7 Мотивація

Вступ

Ланцюговий дріб(або безперервний дріб) - це математичний вираз виду

де a 0 є ціле число і всі інші a nнатуральні числа (тобто невід'ємні цілі). Будь-яке речове число можна подати у вигляді ланцюгового дробу (кінцевого або нескінченного). Число представляється кінцевим ланцюговим дробом і тоді, коли воно раціонально. Число представляється періодичним ланцюговим дробом тоді і лише тоді, коли воно є квадратичною ірраціональністю.

1. Розкладання в ланцюговий дріб

Будь-яке речове число xможе бути представлено (кінцевим або нескінченним) ланцюговим дробом , де

де позначає цілу частину числа x .

Для раціонального числа xце розкладання обірветься після досягнення нульового x nдля деякого n. В цьому випадку xпредставляється кінцевим ланцюговим дробом.

Для ірраціонального xвсі величини x nбудуть ненульовими та процес розкладання можна продовжувати нескінченно. В цьому випадку xпредставляється нескінченним ланцюговим дробом.

p align="justify"> Для раціональних чисел може бути використаний алгоритм Евкліда для швидкого отримання розкладання в ланцюговий дріб.

2. Відповідні дроби

n-ой відповідним дробомдля ланцюгового дробу, називається кінцевий ланцюговий дріб, значення якого дорівнює деякому раціональному числу. Відповідні дроби з парними номерами утворюють зростаючу послідовність, межа якої дорівнює x. Аналогічно, відповідні дроби з непарними номерами утворюють спадну послідовність, межа якої також дорівнює x .

Ейлер вивів рекурентні формули для обчислення чисельників та знаменників відповідних дробів:

Таким чином, величини p nі q nвидаються значеннями континуант:

Послідовності і є зростаючими.

Чисельники та знаменники сусідніх відповідних дробів пов'язані співвідношенням:

p n q n - 1 - q n p n - 1 = (- 1) n - 1 ,

(1)

яке можна переписати у вигляді

Звідки випливає, що

3. Наближення дійсних чисел раціональними

Ланцюгові дроби дозволяють ефективно знаходити хороші раціональні наближення дійсних чисел. А саме, якщо речове число xрозкласти в ланцюговий дріб, то його відповідні дроби задовольнятимуть нерівності

Звідси, зокрема, випливає:

3.1. Приклади

Розкладемо число ?

Другий дріб (22/7) – це відоме архімедове наближення. Четверта (355/113) була вперше отримана у Стародавньому Китаї.

4. Властивості та приклади

Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді кінцевого ланцюгового дробу двома способами, наприклад:

Теорема Лагранжа: Число представляється у вигляді нескінченного періодичного ланцюгового дробу тоді і тільки тоді, коли воно є ірраціональним рішенням квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.

Наприклад: Золотий перетин e − 1 =

для числа

У числа пі простої закономірності не видно:

π =

Теорема Гауса - Кузьміна: Майже для всіх (крім безлічі міри нуль) дійсних чисел існує середнє геометричне коефіцієнтів відповідних їм ланцюгових дробів, і воно одно постійної Хінчина.
Теорема Маршалла Холла. Якщо у розкладанні числа xв безперервний дріб, починаючи з другого елемента, не зустрічаються числа великі n, то кажуть, що число xвідноситься до класу F(n). Будь-яке речове число може бути представлене у вигляді суми двох чисел з класу F(4) та у вигляді добутку двох чисел із класу F(4). Надалі було показано, що будь-яке речове число може бути представлене у вигляді суми 3 чисел з класу F(3) та у вигляді суми 4 чисел із класу F(2). Кількість необхідних доданків у цій теоремі не може бути зменшено - для представлення деяких чисел вказаним чином меншої кількості доданків недостатньо.

5. Додатки ланцюгових дробів

5.1. Теорія календаря

При розробці сонячного календаря необхідно знайти раціональне наближення для числа днів у році, що дорівнює 365,2421988.

Перший дріб означає, що раз на 4 роки треба додавати зайвий день; цей принцип ліг основою юліанського календаря. При цьому помилка на 1 день накопичується за 128 років. Друге значення (7/29) ніколи не використовувалося. Третій дріб (8/33), тобто 8 високосних років за період у 33 роки, був запропонований Омаром Хайямом у XI столітті і започаткував перський календар, у якому помилка в день накопичується за 4500 років (у григоріанському - за 3280 років). Дуже точний варіант з четвертим дробом (31/128, помилка на добу накопичується лише за 100 000 років) пропагував німецький астроном Йоганн фон Медлер (1864), проте великого інтересу він не викликав.

5.2. Рішення порівнянь першого ступеня

Розглянемо порівняння: , де відомі, причому вважатимуться, що aвзаємно просто з m. Треба знайти x .

Розкладемо в безперервний дріб. Вона буде кінцевою, і останній відповідний дріб. Підставимо у формулу (1):

mq n − 1 − ap n − 1 = (− 1) n − 1

Звідси випливає:

, або:

Висновок: клас відрахувань є рішенням вихідного порівняння.

5.3. Інші програми

5.3.1. Властивості золотого перерізу

Цікавий результат, які випливає з того факту, що вираз безперервного дробу для φ не використовує цілих чисел більше ніж 1, полягає в тому, що φ є одним із "найважчих" дійсних чисел для наближення за допомогою раціональних чисел. Одна теорема (Теорема Гурвіца) стверджує, що будь-яке дійсне число kможе бути наближено дробом m/nза допомогою

Тоді коли практично всі дійсні числа kмають в кінцевому рахунку нескінченно багато наближень m/n, які знаходяться на значно меншій відстані від k, ніж ця межа, наближення для φ (тобто числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, і т.д.) послідовно "стосуються кордону", утримуючи відстань на майже точно відстані від φ , цим ніколи не створюючи наближення настільки ж значні як, наприклад, 355/113 для π. Може бути показано, що будь-яке дійсне число форми ( a + bφ)/( c + dφ) – де a, b, cі dє цілими числами, такими як ad − bc= ±1 – мають таку ж властивість як золотий переріз φ; а також, що всі інші дійсні числа можуть бути наближені набагато краще.

6. Історична довідка

Античні математики вміли представляти відносини несумірних величин у вигляді ланцюжка послідовних відповідних відносин, отримуючи цей ланцюжок за допомогою алгоритму Евкліда. Очевидно, саме таким шляхом Архімед отримав наближення - це 12-й відповідний дріб для або від 4-го відповідного дробу для .

У V столітті індійський математик Аріабхата застосовував аналогічний метод подрібнення для вирішення невизначених рівнянь першого і другого ступеня. За допомогою цієї техніки було, ймовірно, отримано відоме наближення для числа π (355/113). У XVI столітті Рафаель Бомбеллі витягував за допомогою ланцюгових дробів квадратне коріння (див. його алгоритм).

початок сучасної теоріїланцюгових дробів поклав у 1613 році П'єтро Антоніо Катальді. Він відзначив основну їхню властивість (становище між відповідними дробами) і ввів позначення, що нагадує сучасне. Пізніше його теорію розширив Джон Валліс, який запропонував термін «безперервний дріб». Еквівалентний термін « ланцюговий дріб» з'явився наприкінці XVIII ст.

Застосовувалися ці дроби насамперед для оптимального наближення дійсних чисел; наприклад, Християн Гюйгенс використав їх для проектування зубчастих коліс свого планетарію. Гюйгенс вже знав, що відповідні дроби завжди нескорочені і що вони є найкращим раціональним наближенням.

У XVIII столітті теорію ланцюгових дробів загалом завершили Леонард Ейлер і Жозеф Луї Лагранж.

7. Мотивація

Безперервні дроби є "математично природними" уявленнями речових чисел.

Більшість людей знайомі з десятковим поданням дійсних чисел, яке може бути визначене як

де a 0 може бути будь-яким цілим числом, а наступні a i є одним із елементів (0,1,2,…,9). У цьому вся уявлення, число π, наприклад, то, можливо представлено як послідовність цілих чисел .

Це десяткове уявлення має кілька проблем. Одна з них, багато раціональних чисел не має кінцевого уявлення в цій системі. Наприклад, число 1/3 представимо нескінченною послідовністю (0,3,3,3,3,…). Інша проблема полягає в тому, що константа 10 є по суті довільним вибором, який надає перевагу числам, які будь-як відносяться до цілого числа 10. Наприклад, 137/1600 має кінцеве десяткове уявлення, тоді як 1/3 не має, не тому , Що 137/1600 простіше ніж 1/3, а лише тому, що 1600 ділить ступінь 10 (10 6 = 1600 × 625). Запис як ланцюговий дріб є уявленням речових чисел, що не має цих проблем.

Давайте розглянемо, як ми можемо описати число, таке як 415/93, яке приблизно дорівнює 4,4624. Це приблизно 4. Взагалі це трохи більше ніж 4, близько 4 + 1/2. Але 2 у знаменнику не зовсім точно; там має бути число трохи більше ніж 2, приблизно 2+1/6. Таким чином, 415/93 приблизно дорівнює 4+1/(2+1/6). Але 6 у знаменнику не вірно; реальне значення трохи більше 6, 6+1/7. Таким чином, 415/93 є 4+1/(2+1/(6+1/7). Це точне значення).

Опускаючи деякі обов'язкові частини у виразі 4+1/(2+1/(6+1/7)) ми отримаємо коротку нотацію. (Зауважте, що загальноприйнято замінювати тільки першу кому крапкою з комою).

Подання як безперервний дріб речовинного числа може бути визначений таким чином. Вона має кілька бажаних властивостей:

Подання як безперервний дріб звичайно тоді і тільки тоді, коли число є раціональним.

Кожне раціональне число має по суті єдине уявлення як безперервний дріб. Кожне раціональне число можна у точності двома способами, т.к. [ a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n ] = [a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n− 1, 1]. Математики воліють мати взаємно-однозначну відповідність між раціональними числами та ланцюговими дробами; Перша, більш коротка нотація обрана як канонічне уявлення.

Подання як безперервний дріб ірраціонального числа однин.

Ланцюговий дріб є періодичним і тоді, коли число є квадратичною ірраціональністю, тобто. має форму

для цілих a, b, c, d; де bі dне нуль і c>1 та cне є точним квадратом.

Наприклад, періодичний безперервний дріб є золотим перетином, а періодичний безперервний дріб є квадратним коренем з 2.

Раннє усічення уявлення числа x у вигляді ланцюгового дробу призводить до раціонального наближення x, який у певному сенсі є "найкращим" раціональним наближенням.

Остання властивість надзвичайно важлива. У десяткового уявлення числа його немає. Усічення десяткового уявлення числа призводить до раціонального наближення числа, але зазвичай до не дуже хорошого наближення. Наприклад, усічення 1/7 = 0.142857… у різних місцях призводить до наближенням таким як 142/1000, 14/100 та 1/10. Але очевидно найкращим раціональним наближенням буде саме число "1/7". Обриваючи десяткову виставу π ми отримуємо наближення такі як 31415/10000 та 314/100. Ланцюговий дріб π починається. Усяка це уявлення ми отримуємо відмінні раціональні наближення 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …. Знаменники 314/100 та 333/106 майже однакові, але помилка у наближенні 314/100 у дев'ятнадцять разів більша за помилку, ніж у наближенні 333/106. Як наближення π, більш ніж сто разів точніше наближення 3,1416.

, Дроби , Дроби (математика) , Правильний дріб .

Де крапка в кінці вказує на те, що процес триває нескінченно. У свою чергу безперервний дріб породжує іншу послідовність дробів, які називаються відповідними. У нашому прикладі перший, другий, третій і четвертий відповідні дроби рівні

Їх можна побудувати за простим правилом із послідовності неповних приватних 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... . Насамперед випишемо першу і другу відповідні дроби 1/1 та 3/2. Третій відповідний дріб дорівнює (2*1 + 3*3)/(2*1 + 3*2) або 11/8, його чисельник дорівнює сумі творів чисельників першого і другого відповідних дробів, помножених відповідно на чисельник і знаменник третього неповного приватного, а знаменник дорівнює сумі творів знаменників першого та другого неповних приватних, помножених відповідно на чисельник та знаменник третього неповного приватного. Четвертий відповідний дріб виходить аналогічно з четвертого неповного приватного 3/4 і другого і третього відповідних дробів: (3*3 + 4*11)/(3*2 + 4*8) або 53/38. Дотримуючись цього правила, знаходимо перші сім відповідних дробів: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 та 16687/11986. Запишемо їх у вигляді десяткових дробів (із шістьма знаками після коми): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 та 1,392208. Значення нашого безперервного дробу буде число x, перші цифри якого 1,3922. Відповідні дроби є найкращим наближенням числа x. Причому вони по черзі виявляються то меншими, то більшими за число x (непарні - більше x, а парні - менше). Щоб уявити відношення двох позитивних цілих чисел у вигляді кінцевого безперервного дробу, потрібно скористатися методом знаходження найбільшого спільного дільника. Наприклад, візьмемо відношення 50/11. Оскільки 50 = 4Ч11 + 6 чи 11/50 = 1/(4 + 6/11), і, аналогічно, 6/11 = 1/(1 + 5/6) чи 5/6 = 1/(1 + 1 /5), отримуємо:

Https:="">
">

тоді

Перші 6 відповідних дробів дорівнюють 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записані у вигляді десяткових дробів вони дають такі наближені значення
: 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Безперервний дріб для
має неповні приватні 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... . Ірраціональне число є коренем квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами в тому і тільки в тому випадку, якщо неповні приватні його розкладання в безперервний дріб періодичні. Безперервні дроби тісно пов'язані з багатьма розділами математики, наприклад з теорією функцій, рядами, що розходяться, проблемою моментів, диференціальними рівняннями і нескінченними матрицями. Якщо x - радіанний захід гострого кута, то тангенс кута x дорівнює значенню безперервного дробу з неповними приватними 0, x/1, -x2/3, -x2/7, -x2/9, ..., а якщо x - позитивне число , то натуральний логарифм від 1 + x дорівнює значенню безперервного дробу з неповними приватними 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4, 22x/5, 32x/6, ... . Формальним рішенням диференціального рівняння x2dy/dx + y = 1 + x у вигляді статечного ряду є розбіжний статечний ряд 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Цей статечний ряд можна перетворити на безперервний дріб з неповними приватними 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., а його у свою чергу використовувати для отримання рішення диференціального рівняння x2dy/dx + y = 1 + x.

- Відношення двох чисел, розділених одне на інше, виду а / в; наприклад, 3/4. У цьому вся виразі а - чисельник, а - знаменник. Якщо й у - цілі числа, то приватне - простий дріб. Якщо ж менше в, то дріб правильний.
Науково-технічний енциклопедичний словник
- практика виплат комісійних зареєстрованим представникам після того, як вони припинили діяльність як брокерів/дилерів або спадкоємцям після смерті зареєстрованого представника...
Великий економічний словник
- нарахування відсотка, чи дисконтування, майбутніх надходжень на постійному базисі. За річної ставки 100 r, через N років сума позики зросте в N разів у порівнянні з початковою сумою...
Економічний словник
- Рухін, 1961, - ритми, не розділені витриманими перервами в осадонакопиченні і обов'язково мають регресивну частину.
Геологічна енциклопедія
- Середовища, в яких швидкість поширення пружних хвиль безперервно зростає з глибиною. Вивчення їх у сейсморозвідці відіграє велику роль.
Геологічна енциклопедія
- див. Дні послідовно-обчислювані...
Морський словник
- У теоретичних фінансових розрахунках - відсотки, що нараховуються за нескінченно малі проміжки часу. Синоніми: Безперервне нарахуванняДив. також: Вартість кредиту ...
Фінансовий словник
- Див.
- Див.
Енциклопедичний словникБрокгауза та Євфрона
- Числа або функції, що виникають при обриві безперервного дробу.
Велика Радянська Енциклопедія
- 1. Арх., Орл., Сіб. Танцювати, уривчасто пристукуючи ногами об землю. СРНГ 8, 189; СОГ 1989, 75; ФСС,12. 2. Волг. Пристукувати ногами від холоду. Глухів 1988, 3...
- Сиб. Те ж, що бити дроби 1. ФСС, 53...
Великий словникросійських приказок
- Завалювати/завалити на дробах когось. Жарг. студ. Відкидати, відхиляти когось. з несуттєвої причини. НРЛ-82; Мокієнка 2003, 26...
Великий словник російських приказок
- дод., у синонімів: 1 цілий...
Словник синонімів

"НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ" у книгах

Безперервні вибори Путіна

З книги автора

Безперервні вибори Путіна Для підтримки персональної популярності Путіна у народі його команда негайно реагує на найменшу зміну ситуації. «Перманентні вибори» набули додаткового значення на початку нульових, коли низка «кольорових революцій» смілива

Безперервні та радикальні інновації

З книги Невагоме багатство. Визначте вартість вашої компанії в економіці нематеріальних активів автора Тіссен Рене

Безперервні та радикальні інновації Сьогодні всім уже відома теорія кривої зростання. Багато років вона була (і продовжує залишатися) одним із інструментів, що дозволяють визначити становище компанії на будь-якому етапі її розвитку. У кожного товару та послуги власний цикл

4. 5. Безперервні потоки

З книги Основи кібернетики підприємства автора Форрестер Джей

4. 5. Безперервні потоки При побудові моделі промислово-збутової системи ми припускаємо, що її основою - принаймні спочатку - безперервні потоки і взаємодії змінних. Дискретність подій може бути врахована при аналізі інформаційних систем з

Безперервні інновації та стійкий успіх – ось приз переможцю

З книги У здоровому бізнесі здоровий дух. Як великі компанії виробляють імунітет до криз автора Карлгаард Річ

Тепер, коли ви отримали уявлення про кожну з трьох сторін трикутника успіху, я складу їх разом. Якщо ваша мета полягає в тому, щоб створити компанію, здатну постійно вигадувати та впроваджувати

Безперервні погрози

З книги У сибірських таборах. Спогади німецького полоненого. 1945-1946 автора Герлах Хорст

Безперервні погрози Усю ту ніч ми перебували у росіян на мушці. Вони замкнули нас, а потім підійшли інші і лаялися, що двері зачинені. Навколо не припинявся якийсь рух, усі речі перетрусювалися і переглядалися: скрині, ящики, коробки. Їхній вміст викидався

Глава I. Неперервні конфлікти і ненадійні ПЕРЕМІРІЯ

З книги Релігійні війни автора Ліві Жорж

Глава I. Неперервні конфлікти і ненадійні переміри У 1559 р. удар списа Монтгомері, який вбив короля Генріха II, «змінює обличчя Франції». Чи зможе спадкоємець трону Франциск II приборкати сили, які готові розбушуватися при найменшому ослабленні королівської влади? З одного боку,

Відповідні дроби

З книги Велика Радянська Енциклопедія(ПЗ) автора Вікіпедія

3.2.1. Двійкові дроби

автора Григор'єв А. Б.

3.2.1. Двійкові дроби Для початку – трохи математики. У школі ми проходимо два види дробів прості та десяткові. Десяткові дроби, по суті, є розкладання числа за ступенями десяти. Так, запис 13,6704 означає число, що дорівнює 1?101 + 3?100 + 6?10-1 + 7?10-2 + 0?10-3 + 4?10-4. Але

3.2.5. Нескінченні дроби

З книги Про що не пишуть у книгах з Delphi автора Григор'єв А. Б.

3.2.5. Нескінченні дроби Зі школи ми всі пам'ятаємо, що не кожне число може бути записане кінцевим десятковим дробом. Нескінченні дроби бувають двох видів: періодичні та неперіодичні. Прикладом неперіодичної дробу є число?, Періодичної - число? або будь-яка інша

Що можуть дати тривалі, безперервні зусилля

Із книги Правила. Закони досягнення успіху автора Кенфілд Джек

Що можуть дати тривалі, безперервні зусилля Чи коштувала шкурка вичинки? О так! Книга зрештою розійшлася в 8 мільйонах екземплярів 39 мовами. Чи сталося це миттєво? О ні! До списку бестселерів ми потрапили через рік після виходу книги у світ – через

Дроби

З книги 50 найкращих головоломок для розвитку лівої та правої півкулі мозку автора Філліпс Чарльз

Дроби «Дроби» – це нова агенція, яка пропонує уроки математики. Дизайнер Фредді Матісс представив варіанти логотипу для агентства у вигляді загадки: A перетворюється на Б за допомогою простого перетворення; якщо ви виконаєте таке ж перетворення для п'ятикутника

Шоста особливість: рухи пов'язані та безперервні з утворенням єдиної ци

З книги Секретні техніки Тайцзі-цюань стилю Чень автора Цзячжень Чень

Шоста особливість: рухи пов'язані та безперервні з утворенням єдиної ци У трактатах про гімнастики наведені такі вимоги.1) Рухи туди і назад повинні мати злам і зміну. Наступ і відступ повинні мати переворот.2) Підібравши, відразу відпускають,

Безперервні інновації

автора Телліс Джерард

Безперервні інновації Ринки та технології постійно змінюються і колись успішні товари виходять із вжитку. Позиції навіть найсильніших компаній дуже вразливі через технологічні та ринкові зміни. Тому для утримання ринкового лідерства компаніям

Безперервні інновації: зворотний зв'язок

З книги Воля та бачення. Як ті, хто приходить пізніше за інших, в результаті заправляють ринками автора Телліс Джерард

Безперервні інновації: зворотний зв'язок Досвід Intel показує, що постійні інновації не лише стримують конкурентів, а й генерують прибуток нових інновацій. Ринок мікропроцесорів значно динамічніший за ринок бритвенних систем. Малюнок 7–3 ілюструє тенденції

1.4. Дискретні та безперервні системи

Із книги Феномен науки. Кібернетичний підхід до еволюції автора Турчин Валентин Федорович

1.4. Дискретні та безперервні системи Стан системи визначається через сукупність станів всіх її підсистем, тобто в кінцевому рахунку елементарних підсистем. Елементарні підсистеми бувають двох типів: з кінцевим та нескінченним числом можливих станів. Підсистеми

- 88.50 Кб

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНСТВО ЛІСОВОГО ГОСПОДАРСТВА РФ

ФБОУ СПО «ДИВНОГІРСЬКИЙ ЛІСГОСП – ТЕХНІКУМ»

КАБІНЕТ МАТЕМАТИКИ

ЗВІТ

З ДОСЛІДНОЇ РОБОТИ №

ПО ТЕМІ «НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ»

Виконав:

Студент 1 курсу грн. 11Б-Л Кардапольцев А.О.

Перевірив:

Викладач: Коновалова Є.Г.

Оцінка:

Введення - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

Безперервний дріб - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Розкладання в ланцюговий дріб - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Наближення дійсних чисел раціональними - - 6

Історична довідка - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Висновок - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Бібліографічний список - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9

Вступ

Метою моєю дослідницької роботиє дослідження теорії ланцюгових дробів. У ній я спробую розкрити властивості відповідних дробів, особливості розкладання дійсних чисел у неправильні дроби, похибки, що виникають внаслідок цього розкладання, та застосування теорії ланцюгових дробів для вирішення низки алгебраїчних завдань.

Ланцюгові дроби були введені в 1572 італійським математиком Бомбеллі. Сучасне позначення безперервних дробів зустрічається в італійського математика Катальді у 1613 році. Найбільший математик XVIII століття Леонардо Ейлер перший виклав теорію ланцюгових дробів, поставив питання про їх використання для вирішення диференціальних рівнянь, застосував їх до розкладання функцій, представлення нескінченних творів, дав важливе їхнє узагальнення.

Роботи Ейлера з теорії ланцюгових дробів продовжили М. Софроновим (1729-1760), академіком В.М. Багато важливих результатів цієї теорії належать французькому математику Лагранжу, який знайшов метод наближеного рішення за допомогою ланцюгових дробів диференціальних рівнянь.

Безперервний дріб

Ланцюговий дріб(або безперервний дріб) - це математичний вираз виду

де a 0 є ціле число і всі інші a n натуральні числа (тобто невід'ємні цілі). Будь-яке речове число можна подати у вигляді ланцюгового дробу (кінцевого або нескінченного). Число представляється кінцевим ланцюговим дробом і тоді, коли воно раціонально. Число представляється періодичним ланцюговим дробом тоді і лише тоді, коли воно є квадратичною ірраціональністю.

Розкладання в ланцюговий дріб

Будь-яке речове числоx може бути представлено (кінцевим або нескінченним) ланцюговим дробом де

де позначає цілу частину числаx .

Для раціонального числаx це розкладання обірветься після досягнення нульовогоx n для деякого n. В цьому випадку x представляється кінцевим ланцюговим дробом

Для ірраціональногоxвсі величини x n будуть ненульовими та процес розкладання можна продовжувати нескінченно. В цьому випадкуx представляється нескінченним ланцюговим дробом

Наближення дійсних чисел раціональними

Ланцюгові дроби дозволяють ефективно знаходити хороші раціональні наближення дійсних чисел. А саме, якщо речове числоx розкласти в ланцюгову дріб, то її відповідні дроби задовольнятимуть нерівності:

Звідси, зокрема, випливає:

1) відповідний дрібє найкращим наближенням

для x серед усіх дробів, знаменник яких не перевищуєq n ;

2) міра ірраціональності будь-якого ірраціонального числа не менше 2.

Приклади

1) Розкладемо числоπ =3,14159265… в безперервний дріб і підрахуємо його відповідні дроби: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Другий дріб (22/7) – це відоме Архімедове наближення. Четверта (355/113) була вперше отримана у Стародавньому Китаї.

2) Теоретично музики потрібно знайти оптимальне наближення для

Третій відповідний дріб: 7/12 дозволяє обґрунтувати класичний поділ октави на 12 півтонів..

Історична довідка

Це 12-й відповідний дріб для

Або від 4-го відповідного дробу для.

У V столітті індійський математик Аріабхата застосовував аналогічний метод подрібнення для вирішення невизначених рівнянь першого і другого ступеня. За допомогою цієї техніки було, ймовірно, отримано відоме наближення для числаπ (355/113). У XVI столітті Рафаель Бомбеллі витягував за допомогою ланцюгових дробів квадратне коріння (див. його алгоритм).

Початок сучасної теорії ланцюгових дробів поклав у 1613 П'єтро Антоніо Катальді. Він відзначив основну їхню властивість (становище між відповідними дробами) і ввів позначення, що нагадує сучасне. Пізніше його теорію розширив Джон Валліс, який запропонував термін «безперервний дріб». Еквівалентний термін « ланцюговий дріб» з'явився наприкінці XVIII ст.

У XVIII столітті теорію ланцюгових дробів загалом завершили Леонард Ейлер і Жозеф Луї Лагранж.

Висновок

Ця робота показує значення ланцюгових дробів у математиці.

Їх можна успішно застосувати до розв'язання невизначених рівнянь виду

ax+by=c.

Основна складність при вирішенні таких рівнянь полягає в тому, щоб знайти якесь його приватне рішення. Так ось, за допомогою ланцюгових дробів можна вказати алгоритм розшуку такого приватного рішення.

Ланцюгові дроби можна застосувати і до розв'язання складніших невизначених рівнянь, наприклад, так званого рівняння Пелля:

().

Нескінченні ланцюгові дроби можуть бути використані для вирішення рівнянь алгебри та трансцендентних, для швидкого обчислення значень окремих функцій.

Нині ланцюгові дроби знаходять дедалі більше застосування обчислювальної техніки, бо дозволяють будувати ефективні алгоритми на вирішення низки завдань на ЕОМ.

Бібліографічний список:

http://ua.wikipedia.org

Алгебра та теорія чисел. За редакцією Н.Я. Віленкіна, М, "Освіта", 84.
І.М. Виноградів. Основи теорії чисел. М, "Наука", 72.
А.А. Кочів. Задачник-практикум з алгебри та теорії чисел. М, "Освіта", 84.
Л.Я. Куликов, А.І. Москаленко, О.О. Фомін. Збірник завдань з алгебри та теорії чисел. М, "Освіта", 93.

О.С. Ляпін, А.Є. Євсєєв. Алгебра та теорія чисел. М, "Освіта",

Опис роботи

Метою моєї дослідницької роботи є дослідження теорії ланцюгових дробів. У ній я спробую розкрити властивості відповідних дробів, особливості розкладання дійсних чисел у неправильні дроби, похибки, що виникають внаслідок цього розкладання, та застосування теорії ланцюгових дробів для вирішення низки алгебраїчних завдань.

Безперервний дріб - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Розкладання в ланцюговий дріб - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Наближення дійсних чисел раціональними - - 6

Історична довідка - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Висновок - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

бібліографічний список - - - - - - - - - - - - - - -

Конспект безперервного дробу обчислення за формулою брауна. Безперервні дроби

Дивіться ще тлумачення, синоніми, значення слова і що таке НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ в російській мові в словниках, енциклопедіях та довідниках:

План:

Вступ

1. Розкладання в ланцюговий дріб

2. Відповідні дроби

3. Наближення дійсних чисел раціональними

3.1. Приклади

4. Властивості та приклади

5. Додатки ланцюгових дробів

5.1. Теорія календаря

5.2. Рішення порівнянь першого ступеня

5.3. Інші програми

5.3.1. Властивості золотого перерізу

6. Історична довідка

7. Мотивація

"НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ" у книгах

Безперервні вибори Путіна

Безперервні та радикальні інновації

4. 5. Безперервні потоки

Безперервні інновації та стійкий успіх – ось приз переможцю

Безперервні погрози

Глава I. Неперервні конфлікти і ненадійні ПЕРЕМІРІЯ

Відповідні дроби

3.2.1. Двійкові дроби

3.2.5. Нескінченні дроби

Що можуть дати тривалі, безперервні зусилля

Дроби

Шоста особливість: рухи пов'язані та безперервні з утворенням єдиної ци

Безперервні інновації

Безперервні інновації: зворотний зв'язок

1.4. Дискретні та безперервні системи

Безперервний дріб

Розкладання в ланцюговий дріб

Наближення дійсних чисел раціональними

Приклади

Історична довідка

Можливо вам буде цікаво:

Категорії

Останні статті

Реклама