Intervalli sattumise tõenäosus. Tavalise jaotusega juhusliku suuruse sattumise tõenäosus antud intervalli
Tavalise juhusliku suuruse teatud intervalli sattumise tõenäosus
On juba teada, et kui juhuslik suurus X on antud jaotustihedusega f (x), siis tõenäosus, et X võtab mingi intervalli (a, b) kuuluva väärtuse, on järgmine:
Olgu juhuslik suurus X jaotunud normaalseaduse järgi. Siis on tõenäosus, et X võtab vahemikku (a,b) kuuluva väärtuse, võrdne
Teisendame selle valemi nii, et saaksite kasutada valmis tabeleid. Toome sisse uue muutuja z = (x-a)/--s. Seega x = sz+a, dx = sdz . Leidkem integratsioonile uued piirid. Kui x= a, siis z=(a-a)/--s; kui x \u003d b, siis z \u003d (b-a) / - s.
Seega on meil
Laplace'i funktsiooni kasutamine
lõpuks saame
Juhusliku sündmuse tõenäosuse arvutamine
14-osalises partiis on 2 mittestandardset osa. Juhuslikult valitakse 3 eset. Koostage juhusliku suuruse X jaotusseadus - standardosade arv valitud osade hulgas. Leia arvkarakteristikud, . Lahendus ilmselgelt...
Calico ribade tõmbetugevuse uuring
Nad ütlesid...
Tundmatute jaotusparameetrite hindamise meetodid
Kui juhuslik suurus X on antud jaotustihedusega, siis tõenäosus, et X võtab intervallile kuuluva väärtuse, on järgmine: Olgu juhuslik suurus X jaotunud normaalseaduse järgi. Siis tõenäosus, et X võtab väärtuse...
Pidev juhuslik muutuja
Juhusliku suuruse X tõenäosusjaotusfunktsioon F(x) punktis x on tõenäosus, et eksperimendi tulemusena saab juhuslik suurus väärtuse, mis on väiksem kui x, s.o. F(x)=P(X< х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0...
Pidevad juhuslikud muutujad. Normaaljaotuse seadus
Teades jaotustihedust, saame arvutada tõenäosuse, et pidev juhuslik muutuja saab väärtuse, mis kuulub antud intervalli. Arvutamine põhineb järgmisel teoreemil. Teoreem. Tõenäosus, et...
Lõplik matemaatiline ootus mx=5 Standardhälve yx=3 Valimi suurus n=335 Usaldusvõime r=0,95 Olulisuse tase Valimi väärtuste arv‐N=13 Juhusliku suuruse simulatsioon...
Staatilise süsteemi modelleerimine
Staatilise süsteemi modelleerimine
3. Juhusliku protsessi statistiliste tunnuste hindamine Ülesanded määratakse vastavalt jaotistele ...
Staatilise süsteemi modelleerimine
Jaotus: f(x)=b(3-x), b>0 Jaotuspiirid 1 Staatilise süsteemi modelleerimine Mis on juhuslik muutuja juhusliku suuruse tõenäosusteooria Eeltoodud juhusliku suuruse jaotuse reeglid kehtivad ainult diskreetsete suuruste suhtes, kuna ... Tõenäosusteooria elemendid Vaatleme olulist probleemi praktilise rakendamise seisukohalt. Olgu pidev jaotustihedusega juhuslik suurus. Meid huvitab seosega seotud suuruse jaotustiheduse leidmise probleem: ... PIDEVATE JUHUSLIKUTE MUUTUJATE JAOTUSSEADUSE MÄÄRAMISE VORMI DISKREETSETE JUHUSLIKUTE MUUTUJATE JAOTAMISE SEADUSE MÄÄRAMISE VORMID 1). Jaotuse tabel (rida).
- diskreetsete juhuslike suuruste jaotusseaduse seadmise lihtsaim vorm. Kuna tabelis on loetletud kõik juhusliku muutuja võimalikud väärtused. 2). Jaotuspolügoon
. Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis jaotusseeria graafilises esituses on kõik võimalikud juhusliku suuruse väärtused joonistatud piki abstsisstellge ja vastavad tõenäosused piki ordinaattelge. Seejärel rakendatakse punktid ja ühendatakse need sirgjooneliste segmentidega. Saadud joonis – jaotuse hulknurk – on ühtlasi ka diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduse täpsustamise vorm. 3). jaotusfunktsioon
- tõenäosus, et juhuslik suurus X saab väärtuse, mis on väiksem kui mõni antud x, st. Geomeetrilisest vaatenurgast võib seda pidada juhusliku punkti tabamise tõenäosuseks X fikseeritud punktist vasakul asuvale arvtelje lõigule X. 2)
;
; Ülesanne 2.1. Juhuslik väärtus X- tabamuste arv märklauale 3 lasuga (vt ülesanne 1.5). Koostage jaotusseeria, jaotuspolügoon, arvutage jaotusfunktsiooni väärtused ja koostage selle graafik. Lahendus: 1) Juhusliku suuruse jaotuse jada X esitatud tabelis Joonistamine piki väärtuse abstsissi X, ja piki y-telge - väärtused ja valides teatud skaala, saame jaotusfunktsiooni graafiku (joonis 2.2). Diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioonil on hüppeid (katkestusi) nendes punktides, kus juhuslik suurus X võtab jaotustabelis määratud konkreetsed väärtused. Kõigi jaotusfunktsiooni hüpete summa on võrdne ühega. Riis. 2.2 – Diskreetsete väärtuste jaotusfunktsioon 1). jaotusfunktsioon
. Pideva juhusliku suuruse korral on jaotusfunktsiooni graafik (joonis 2.3) sujuva kõvera kujuga. Jaotusfunktsiooni omadused: c) kui . Riis. 2.3 – Pideva väärtuse jaotusfunktsioon 2). Jaotustihedus
defineeritud kui jaotusfunktsiooni tuletis, s.o. Juhusliku suuruse jaotustihedust kujutav kõver, kutsutakse jaotuskõver
(joonis 2.4). Tiheduse omadused: ja need. tihedus on mittenegatiivne funktsioon; b), st. ala piiratud jaotuskõver
ja x-telg on alati 1. Kui kõik juhusliku suuruse võimalikud väärtused X sisse suletud a enne b, siis on teine tihedusomadus järgmine: Riis. 2.4 - jaotuskõver Praktikas on sageli vaja teada tõenäosust, et juhuslik suurus X võtab väärtuse mingis vahemikus, näiteks a-st b-ni. Soovitud tõenäosus diskreetne juhuslik suurus
X määratakse valemiga kuna pideva juhusliku suuruse mis tahes üksiku väärtuse tõenäosus on võrdne nulliga: . Pideva juhusliku suuruse tabamise tõenäosus X intervallil (a,b) määratakse samuti avaldis: Ülesanne 2.3. Juhuslik väärtus X jaotusfunktsiooni poolt antud
Leia tihedus , samuti tõenäosus, et katse tulemusena juhuslik suurus X võtab intervalliga suletud väärtuse. Lahendus: 2. Juhusliku suuruse tabamise tõenäosus X intervall määratakse valemiga. Võttes ja, leiame
Kuidas sisestada saidile matemaatilisi valemeid? Kui teil on kunagi vaja veebilehele lisada üks või kaks matemaatilist valemit, on lihtsaim viis seda teha artiklis kirjeldatud viisil: matemaatilised valemid sisestatakse saidile hõlpsalt piltide kujul, mille Wolfram Alpha automaatselt genereerib. Lisaks lihtsusele aitab see universaalne meetod parandada saidi nähtavust otsingumootorites. See on töötanud pikka aega (ja ma arvan, et see töötab igavesti), kuid see on moraalselt vananenud. Kui kasutate oma saidil pidevalt matemaatilisi valemeid, soovitan teil kasutada MathJaxi, spetsiaalset JavaScripti teeki, mis kuvab MathML-i, LaTeX-i või ASCIIMathML-i märgistust kasutavates veebibrauserites matemaatilisi tähistusi. MathJaxi kasutamise alustamiseks on kaks võimalust: (1) lihtsa koodi abil saate kiiresti oma saidiga ühendada MathJaxi skripti, mis laaditakse õigel ajal automaatselt kaugserverist (serverite loend); (2) laadige MathJaxi skript kaugserverist oma serverisse ja ühendage see oma saidi kõigi lehtedega. Teine meetod on keerulisem ja aeganõudvam ning võimaldab kiirendada saidi lehtede laadimist ning kui MathJaxi emaserver muutub mingil põhjusel ajutiselt kättesaamatuks, ei mõjuta see teie saiti kuidagi. Vaatamata nendele eelistele valisin esimese meetodi, kuna see on lihtsam, kiirem ja ei nõua tehnilisi oskusi. Järgige minu eeskuju ja 5 minuti jooksul saate oma saidil kasutada kõiki MathJaxi funktsioone. Saate ühendada MathJaxi teegi skripti kaugserverist, kasutades kahte MathJaxi põhiveebisaidilt või dokumentatsioonilehelt võetud koodivalikut:
Üks neist koodivalikutest tuleb kopeerida ja kleepida oma veebilehe koodi, eelistatavalt siltide vahele .
Kell ,
Kell ,
Kell ,
Kell
juures .
.
Lihtsaim viis MathJaxi ühendamiseks on Bloggeris või WordPressis: lisage saidi juhtpaneelile vidin, mis on mõeldud kolmanda osapoole JavaScripti koodi sisestamiseks, kopeerige sellesse ülaltoodud laadimiskoodi esimene või teine versioon ja asetage vidin sellele lähemale. malli algus (muide, see pole üldse vajalik, kuna MathJaxi skript laaditakse asünkroonselt). See on kõik. Õppige nüüd MathML-i, LaTeX-i ja ASCIIMathML-i märgistuse süntaksit ning olete valmis matemaatilisi valemeid oma veebilehtedele manustama.
Iga fraktal on ehitatud kindla reegli järgi, mida rakendatakse järjekindlalt piiramatu arv kordi. Iga sellist aega nimetatakse iteratsiooniks.
Mengeri käsna konstrueerimise iteratiivne algoritm on üsna lihtne: algne kuubik küljega 1 jagatakse selle tahkudega paralleelsete tasapindade abil 27 võrdseks kuubiks. Sellest eemaldatakse üks keskne kuubik ja 6 selle külge külgnevat kuubikut. Selgub komplekt, mis koosneb 20 ülejäänud väiksemast kuubikust. Tehes sama iga kuubikuga, saame komplekti, mis koosneb 400 väiksemast kuubikust. Jätkates seda protsessi lõputult, saame Mengeri käsna.
Leidke juhusliku suuruse jaotusfunktsioon X, vastavalt tavalevitusseadusele:
muudame integraali ja viime selle vormi:
.
Integraalne ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu, vaid seda saab arvutada läbi erifunktsiooni, mis väljendab avaldise või kindlat integraali. Me väljendame funktsiooni Laplace'i funktsiooni Ф(х) kaudu:
.
Juhusliku muutuja X tabamise tõenäosust saidil (α, β) väljendatakse valemiga:
.
Kasutades viimast valemit, saab hinnata normaalse juhusliku suuruse kõrvalekaldumise tõenäosust selle matemaatilisest ootusest ettemääratud, suvaliselt väikese positiivse väärtuse ε võrra:
.
Laske siis ja . Kell t=3 saame , st. juhtum, et normaaljaotusega juhusliku suuruse kõrvalekalle matemaatilisest ootusest on väiksem kui , on praktiliselt kindel.
See on mis kolme sigma reegel: kui juhuslik suurus on normaalselt jaotatud, siis selle väärtuste kõrvalekalde absoluutväärtus matemaatilisest ootusest ei ületa kolmekordset standardhälvet.
Ülesanne. Olgu töökojas valmistatud detaili läbimõõt normaalselt jaotatud juhuslik suurus, m = 4,5 cm, cm Leia tõenäosus, et juhuslikult võetud detaili läbimõõdu suurus erineb selle matemaatilisest ootusest mitte rohkem kui 1 mm.
Lahendus. Seda probleemi iseloomustavad järgmised parameetrite väärtused, mis määravad soovitud tõenäosuse: , 
, F(0,2)=0,0793,
Kontrollküsimused
1. Millist tõenäosusjaotust nimetatakse ühtlaseks?
2. Mis kuju on intervallil [ ühtlaselt jaotunud juhusliku suuruse jaotusfunktsioon A; b]?
3. Kuidas arvutada ühtlaselt jaotatud juhusliku muutuja väärtuste tabamise tõenäosust antud intervallis?
4. Kuidas määratakse juhusliku suuruse eksponentsiaalne jaotus?
5. Mis on eksponentsiaalseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse jaotusfunktsioon?
6. Millist tõenäosusjaotust nimetatakse normaalseks?
7. Millised omadused on normaaljaotuse tihedusel? Kuidas mõjutavad normaaljaotuse parameetrid normaaljaotuse tihedusgraafiku väljanägemist?
8. Kuidas arvutada tõenäosust, et normaalse jaotusega juhusliku suuruse väärtused langevad antud intervallisse?
9. Kuidas arvutada normaalse jaotusega juhusliku suuruse väärtuste kõrvalekalde tõenäosust selle matemaatilisest ootusest?
10. Sõnasta "kolme sigma" reegel?
11. Millised on ühtse seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse matemaatilised ootused, dispersioon ja standardhälve intervallil [ A; b]?
12. Millised on parameetriga λ eksponentsiaalseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse matemaatilised ootused, dispersioon ja standardhälve?
13. Millised on parameetritega normaalseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse matemaatilised ootused, dispersioon ja standardhälve m Ja ?
Kontrollülesanded
1. Juhuslik muutuja X jaotunud ühtlaselt intervallile [−3, 5]. Leidke jaotustihedus ja jaotusfunktsioon X. Joonistage mõlema funktsiooni graafikud. Leidke tõenäosused ja . Arvutage matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve X.
2. Liini nr 21 bussid sõidavad regulaarselt 10-minutilise intervalliga. Reisija lahkub suvalisel ajal peatuses. Me käsitleme juhuslikku muutujat X− bussireisija ooteaeg (minutites). Leidke jaotustihedus ja jaotusfunktsioon X. Joonistage mõlema funktsiooni graafikud. Leidke tõenäosus, et reisija ei pea bussi ootama rohkem kui viis minutit. Leia keskmine bussi ooteaeg ja bussi ooteaja dispersioon.
3. On kindlaks tehtud, et videomaki remondiaeg (päevades) on juhuslik suurus X, jaotatud vastavalt eksponentsiaalseadusele. Videomaki keskmine remondiaeg on 10 päeva. Leidke jaotustihedus ja jaotusfunktsioon X. Joonistage mõlema funktsiooni graafikud. Leidke tõenäosus, et videomaki parandamiseks kulub vähemalt 11 päeva.
4. Joonistage juhusliku suuruse tihedus- ja jaotusfunktsioonid X, mis on jaotatud normaalseaduse järgi parameetritega m= = − 2 ja = 0,2.
Paljude normaaljaotusega juhuslike suurustega seotud probleemide puhul on vaja kindlaks määrata tõenäosus, et juhuslik suurus , järgides parameetritega normaalseadust, langeb intervalli alates kuni . Selle tõenäosuse arvutamiseks kasutame üldist valemit
kus on suuruse jaotusfunktsioon .
Leiame normaalseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni parameetritega . Väärtuse jaotustihedus on:
.
(6.3.2)
Siit leiame jaotusfunktsiooni
. (6.3.3)
Teeme muutuja muudatuse integraalis (6.3.3)
ja viige see vormile:
(6.3.4)
Integraali (6.3.4) ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu, kuid seda saab arvutada erifunktsiooni abil, mis väljendab avaldise või (nn tõenäosusintegraali) kindlat integraali, mille kohta tabelid koostatakse . Selliseid funktsioone on palju erinevaid, näiteks:
;
jne. Millist neist funktsioonidest kasutada, on maitse asi. Valime sellise funktsioonina
. (6.3.5)
On lihtne mõista, et see funktsioon pole midagi muud kui jaotusfunktsioon parameetritega normaalse jaotusega juhusliku muutuja jaoks.
Oleme nõus nimetama funktsiooni normaaljaotuse funktsiooniks. Lisas (tabel 1) on toodud funktsiooni väärtuste tabelid.
Avaldame suuruse jaotusfunktsiooni (6.3.3) parameetritega ja normaaljaotuse funktsiooni kaudu . Ilmselgelt
.
(6.3.6)
Nüüd leiame tõenäosuse tabada juhuslikku suurust segmendil vahemikus kuni . Vastavalt valemile (6.3.1)
Seega oleme väljendanud tõenäosust, et juhuslik suurus , mis on jaotatud normaalseaduse järgi mis tahes parameetritega, langeb graafikule standardjaotusfunktsiooni järgi, mis vastab lihtsaimale normaalseadusele parameetritega 0.1. Pange tähele, et funktsiooni argumendid valemis (6.3.7) on väga lihtsa tähendusega: lõigu parempoolsest otsast kuni hajutuse keskpunktini on kaugus, mida väljendatakse standardhälbetes; - sama vahemaa lõigu vasakpoolse otsa jaoks ja seda kaugust loetakse positiivseks, kui ots asub dispersioonikeskusest paremal, ja negatiivseks, kui see asub vasakul.
Nagu igal jaotusfunktsioonil, on sellel funktsioonil järgmised omadused:
3. - mittekahanev funktsioon.
Lisaks järeldub normaaljaotuse sümmeetriast lähtekoha parameetritega, et
Seda omadust kasutades oleks tegelikult võimalik funktsioonitabeleid piirata ainult argumendi positiivsete väärtustega, kuid tarbetu toimingu (ühest lahutamise) vältimiseks on lisa tabelis 1 toodud väärtused nii positiivseid kui ka negatiivseid argumente.
Praktikas puututakse sageli kokku probleemiga arvutada tõenäosus, et normaalse jaotusega juhuslik suurus langeb alale, mis on hajutuse keskpunkti suhtes sümmeetriline. Mõelge sellisele pikkusele (joonis 6.3.1). Arvutame selle saidi tabamise tõenäosuse valemi (6.3.7) abil:
Võttes arvesse funktsiooni omadust (6.3.8) ja andes valemi (6.3.9) vasakule poolele kompaktsema kuju, saame valemi, mis näitab tõenäosuse, et normaalseaduse järgi jaotatud juhuslik suurus langeb hajumiskeskme suhtes sümmeetriline lõik:
.
(6.3.10)
Lahendame järgmise probleemi. Jätame kõrvale järjestikused pikkusega lõigud hajuskeskmest (joonis 6.3.2) ja arvutame tõenäosuse, et igasse neist satub juhuslik suurus. Kuna normaalseaduse kõver on sümmeetriline, siis piisab selliste lõikude edasilükkamisest ainult ühes suunas.
Valemi (6.3.7) järgi leiame:
(6.3.11)
Nagu nendest andmetest näha, on iga järgmise segmendi (viies, kuues jne) tabamise tõenäosus täpsusega 0,001 nulliga.
Segmentide tabamise tõenäosuse ümardamisel 0,01-ni (kuni 1%) saame kolm numbrit, mida on lihtne meeles pidada:
0,34; 0,14; 0,02.
Nende kolme väärtuse summa on 0,5. See tähendab, et normaalse jaotusega juhusliku muutuja korral mahuvad kõik dispersioonid (kuni protsendi osadeni) sektsiooni .
See võimaldab, teades juhusliku suuruse standardhälvet ja matemaatilist ootust, ligikaudselt näidata selle praktiliselt võimalike väärtuste vahemikku. Seda juhusliku suuruse võimalike väärtuste vahemiku hindamise meetodit tuntakse matemaatilises statistikas kui "kolme sigma reeglit". Kolme sigma reegel eeldab ka ligikaudset meetodit juhusliku suuruse standardhälbe määramiseks: nad võtavad maksimaalse praktiliselt võimaliku hälbe keskmisest ja jagavad selle kolmega. Muidugi saab seda ligikaudset meetodit soovitada ainult siis, kui pole muid täpsemaid määramisviise.
Näide 1. Tavaseaduse järgi jaotatud juhuslik suurus on teatud vahemaa mõõtmise viga. Mõõtmisel on lubatud süstemaatiline viga 1,2 (m) võrra ülehindamise suunas; mõõtevea standardhälve on 0,8 (m). Leidke tõenäosus, et mõõdetud väärtuse hälve tegelikust väärtusest ei ületa absoluutväärtuses 1,6 (m).
Lahendus. Mõõtmisviga on juhuslik suurus, mis järgib normaalseadust parameetritega ja . Peame leidma tõenäosuse, et see suurus langeb intervallile alates kuni . Valemiga (6.3.7) on meil:
Funktsioonitabeleid (lisa, tabel 1) kasutades leiame:
;
,
Näide 2. Leia sama tõenäosus, mis eelmises näites, kuid tingimusel, et pole süstemaatilist viga.
Lahendus. Valemi (6.3.10) abil, eeldades , leiame:
.
Näide 3. Sihtmärgil, mis näeb välja nagu riba (kiirtee), mille laius on 20 m, lastakse kiirteega risti. Sihtimine toimub mööda maantee keskjoont. Laskesuuna standardhälve on võrdne m Laskesuunas on süstemaatiline viga: alavõre on 3 m Leia ühe lasuga kiirteele tabamise tõenäosus.
Laadimine...
