Ettekanne oktaeedri teemal. Dodekaeedri omadused ja huvitavad faktid

Definitsioon Kumerat hulktahukat nimetatakse
õige, kui kõik selle näod on
võrdsed korrapärased hulknurgad ja
iga selle tipp koondub ühtemoodi
sama palju ribisid. Õige
on ainult viis hulktahukat: tetraeedrit,
heksaeedr, oktaeedr, dodekaeeder, ikosaeedr.

Tetraeeder
Oktaeeder
Tetraeeder – kõige lihtsam hulktahukas, tahud
mis on neli kolmnurka. Kell
tetraeedril 4 tahku, 4 tippu ja 6 serva. tetraeeder, u
kelle kõik näod on võrdkülgsed
nimetatakse kolmnurkadeks
õige. Tehke õigesti
tetraeedri kõik kahetahulised nurgad servades ja
Kõik kolmnurga tipunurgad on võrdsed.
Oktaeedril on 8 kolmnurkset tahku, 12 serva, 6
tipud, igas tipus kohtuvad 4 serva.

Tavaliste hulktahukate näited:

ikosaeeder
Kuubik
Ikosaeeder – korrapärane kumer
mitmetahuline, kahekümnetahuline. Igaüks 20
näod on
Võrdkülgne kolmnurk. Servade arv on
30, tippude arv - 12. Ikosaeedril on
59 tähekuju.
Kuubik on tavaline hulktahukas, iga tahk
mis on ruut. Tipud -
8, servad - 12, tahud - 6.

Tavaliste hulktahukate näited:

Dodekaeeder
Dodekaeeder – koosneb
kaksteist õiget
viisnurgad, mis on tema
näod.
Dodekaeedri iga tipp
on kolme korrapärase tipp
viisnurgad. Seega
dodekaeedril on 12 tahku
(viisnurkne), 30 ribi ja 20
tipud (igas 3 serva koonduvad).

Karakteristikud ja valemid:

Korrapärase tetraeedri sümmeetria elemendid:
Tavalisel tetraeedril pole keskpunkti
sümmeetria. Kuid sellel on kolm telge
sümmeetria ja kuus tasapinda
sümmeetria.

Tavalise oktaeedri sümmeetria elemendid:

Tavalisel oktaeedril on keskpunkt
sümmeetria - selle telgede lõikepunkt
sümmeetria. Kolm 9 lennukist
tetraeedri sümmeetriad läbivad
iga 4 sisse jääva oktaeedri tippu
üks lennuk. kuus lennukit
sümmeetria läbib kahte tippu,
ei kuulu samasse nägu ja
vastassuunaliste ribide keskpunktid.

Korrapärase ikosaeedri sümmeetria elemendid:

Tavalisel ikosaeedril on 15 telge
sümmeetriad, millest igaüks möödub
läbi vastandi keskpunktide
paralleelsed ribid. Ristumispunkt
ikosaeedri kõigist sümmeetriatelgedest on
selle sümmeetriakeskus. Lennukid
sümmeetria ka 15. Tasapinnad
sümmeetriad läbivad nelja
tipud, mis asuvad samal tasapinnal, ja
vastassuunalise paralleeli keskpunktid
ribid.

Kuubiku sümmeetria elemendid:

Kuubil on üks sümmeetriakese -
samuti selle diagonaalide lõikepunkt
Sümmeetria keskpunkti läbib 9 telge
sümmeetria. Kuubi sümmeetriatasandid
ka 9 ja need kas läbivad
vastassuunalised ribid.

Tavalise dodekaeedri sümmeetria elemendid:

Tavalisel dodekaeedril on keskpunkt
sümmeetria ja 15 sümmeetriatelge. Iga
telgedest läbib keskelt
vastassuunalised paralleelsed servad.
Dodekaeedris on 15 tasapinda
sümmeetria. Ükskõik milline lennukitest
sümmeetria jookseb igas näos
läbi ülemise ja keskmise
vastasribi.

Kogu info võetud aadressilt:

http://licey102.k26.ru/
http://math4school.ru
wikipedia.org
Geomeetria õpik 10.-11. klassile

Üks vanimaid viiteid korrapärasetele hulktahukatele on Platoni traktaadis (eKr) "Timaus". Seetõttu nimetatakse korrapäraseid hulktahukaid ka platoonilisteks tahketeks aineteks (kuigi neid tunti juba ammu enne Platonit). Iga tavaline hulktahukas ja neid on kokku viis. Platon seostas nelja "maise" elemendiga: maa (kuubik), vesi (ikosaeeder), tuli (tetraeeder), õhk (oktaeedr), samuti "ebamaise" elemendiga - taevaga (dodekaeeder).

Regulaarne hulktahukas ehk platooniline tahkis on suurima võimaliku sümmeetriaga kumer hulktahukas. Hulktahukat nimetatakse regulaarseks, kui: ta on kumer, kõik selle tahud on võrdsed korrapärased hulknurgad koonduvad igas tipus sama number tahud, kõik selle kahetahulised nurgad on võrdsed

Märgime huvitavat fakti, mis on seotud heksaeedriga (kuubik) ja oktaeedriga. Kuubil on 6 tahku, 12 serva ja 8 tippu, oktaeedril aga 8 tahku, 12 serva ja 6 tippu. See tähendab, et ühe hulktahuka tahkude arv võrdub teise tippude arvuga ja vastupidi. Väidetavalt on kuubik ja heksaeedr teineteise suhtes kaksikud. See väljendub ka selles, et kui võtta kuubik ja ehitada selle tahkude keskpunktidesse tippudega hulktahukas, siis, nagu hästi näha, saad oktaeedri. Tõsi on ka vastupidine – oktaeedri tahkude keskpunktid toimivad kuubi tippudena. See on täpselt oktaeedri ja kuubi duaalsus (joon.). Lihtne on aru saada, et kui võtta tavalise tetraeedri tahkude keskpunktid, saame jällegi tavalise tetraeedri (joonis). Seega on tetraeeder iseendaga duaalne.

Kuulus matemaatik ja astronoom Kepler ehitas mudeli Päikesesüsteem järjestikuste sissekirjutatud ja piiritletud korrapäraste hulktahukate ja sfääride jaana. Mis on Kepleri poolt saadud planeetide paigutuse järjekord (vastavalt tavaliste hulktahukate "nõuetele")? Saturni orbiidi sfääri oli kirjutatud kuubik ja sellesse oli kirjutatud Jupiteri orbiidi sfäär; sellesse sfääri sobis tetraeeder, sellesse - Marsi orbiidi sfääri; edasi: dodekaeeder - Maa orbiidi sfäär - ikosaeeder - Veenuse orbiidi kera - oktaeedr - Merkuuri orbiidi kera.

Esitluste eelvaate kasutamiseks looge endale konto ( konto) Google'i ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidide pealdised:

Hulktahukas on keha, mille pind koosneb lõplikust arvust tasapinnalistest hulknurkadest.

Regulaarne hulktahukas

Mitu tavalist hulktahukat on? - Kuidas neid määratletakse, millised omadused neil on? -Kus nad kohtuvad, kas neil on praktilist rakendust?

Kumerat hulktahukat nimetatakse regulaarseks, kui selle kõik tahud on võrdsed korrapärased hulknurgad ja igas tipus koondub sama arv servi.

"hedra" - nägu "tetra" - neli kuusnurka "- kuus "okta" - kaheksa "dodeka" - kaksteist "icos" - kakskümmend Nende hulktahukate nimed pärinevad Vana-Kreeka ja need näitavad nägude arvu.

Korrapärase hulktahuka nimi Näo tüüp Ühes tipus koonduvate tahkude servade tippude arv Tetraeeder Korrapärane kolmnurk 4 6 4 3 Oktaeedr Korrapärane kolmnurk 6 12 8 4 Ikosaeeder Korrapärane kolmnurk 12 30 20 5 Kuup 6 Ruut 8 3 12 Dodekaeeder Korrapärane viisnurk 20 30 12 3 Andmed korrapärase hulktahuka kohta

Küsimus (probleem): Mitu regulaarset hulktahukat on? Kuidas nende numbrit määrata?

α n = (180 °(n -2)) : n Hulktahuka igal tipul on vähemalt kolm lamenurka ja nende summa peab olema väiksem kui 360 ° . Tahkude kuju Tahkude arv ühes tipus Tasapindade nurkade summa hulktahuka tipus Järeldus hulktahuka olemasolu kohta α = 3 α = 4 α = 5 α = 6 α = 3 α = 4 α = 3 α = 4 α = 3

L. Carroll

Antiikaja suured matemaatikud Archimedes Euclid Pythagoras

Vana-Kreeka teadlane Platon kirjeldas üksikasjalikult korrapäraste hulktahukate omadusi. Seetõttu nimetatakse tavalisi hulktahukaid platoonilisteks tahketeks aineteks.

tetraeeder - tulekuubik - maa oktaeeder - õhu ikosaeeder - vee dodekaeeder - universum

Polüheedrid kosmose- ja maateadustes

Johannes Kepler (1571-1630) Saksa astronoom ja matemaatik. Üks kaasaegse astronoomia rajajaid - avastas planeetide liikumise seadused (Kepleri seadused)

Kepleri tassi ruum

"Ökosaeeder - Maa dodekaeedri struktuur"

Polüeedrid kunstis ja arhitektuuris

Albrecht Dürer (1471-1528) "Melanhoolia"

Salvador Dali "Püha õhtusöök"

Kaasaegsed arhitektuursed struktuurid hulktahukate kujul

Aleksandria tuletorn

Šveitsi arhitekti tellistest hulktahukas

Kaasaegne hoone Inglismaal

Polüheedrid looduses

Püriit (väävelpüriidid) kaaliummaarja monokristall Punase kristallid vasemaak LOODUSLIKUD KRISTALLID

Lauasool koosneb kuubikukujulistest kristallidest Mineraalil sylviinil on ka kuubikujuline kristallvõre. Veemolekulid on tetraeedri kujulised. Mineraal kupriit moodustab kristalle oktaeedrite kujul. Püriidi kristallid on kujundatud dodekaeedri moodi

Teemant Teemant, naatriumkloriid, fluoriit, oliviin ja muud ained kristalliseeruvad oktaeedri kujul.

Ajalooliselt oli esimene lõikevorm, mis ilmus XIV sajandil, oktaeedrik. Diamond Shah Teemandi kaal 88,7 karaati

Ülesanne Briti kuninganna andis juhised lõigata mööda teemandi servi kuldniidiga. Kuid lõige jäi tegemata, kuna juveliiril ei õnnestunud arvutada maksimaalne pikkus kuldne niit, kuid teemanti ennast talle ei näidatud. Juveliirile anti järgmised andmed: tippude arv B=54, tahkude arv G=48, suurima serva pikkus L=4mm. Leidke kuldse niidi maksimaalne pikkus.

Korrapärane hulktahukas tahkude arv tipud servad tetraeeder 4 4 6 kuup 6 8 12 oktaeedr 8 6 12 dodekaeedr 12 20 30 ikosaeedr 20 12 30 Uurimine"Euleri valem"

Euleri teoreem. Iga kumera hulktahuka В + Г - 2 = Р korral, kus В on tippude arv, Г tahkude arv, Р on selle hulktahuka servade arv.

PHYSMINUTE!

Ülesanne Leia nurk korrapärase oktaeedri kahe serva vahel, millel on ühine tipp, kuid mis ei kuulu samasse tahku.

Ülesanne Leia korrapärase tetraeedri kõrgus, mille serv on 12 cm.

Kristall on oktaeedri kujuga, mis koosneb kahest korrapärasest püramiidist, millel on ühine alus, püramiidi aluse serv on 6 cm. Oktaeedri kõrgus on 8 cm. Leia külgpindala kristall

Pindala Tetraeeder Ikosaeeder Dodekaeeder Kuusaeeder Oktaeedr

Kodutöö: mnogogranniki.ru Tehke arenduste abil mudelid 1. korrapärasest hulktahukast küljega 15 cm, 1. poolregulaarsest hulktahukast

Täname teid tehtud töö eest!

Hulktahukas on hulknurkadest koosnev pind, mis ümbritseb mõnda geomeetrilist keha. Polüheedrid on kumerad ja mittekumerad hulknurgad Hulktahukat nimetatakse kumeraks, kui see asub oma pinnal iga hulknurga tasapinna ühel küljel

Oktaeedr Oktaeedr (kreeka οκτάεδρον, kreeka keelest οκτώ, “kaheksa” ja kreeka keeles έδρα “alus”) on üks viiest kumerast korrapärasest hulktahukast, kreeka keeles nn platoonilised tahked ained. korrapärane hulktahukas Platooni oktaeedril on 8 kolmnurkset tahku, 12 serva, 6 tippu, 4 serva koonduvad igas tipus.

Ikosaeeder Ikosaeeder (kreeka sõnast εικοσάς kakskümmend; -εδρον tahk, tahk, alus) korrapärane kumer hulktahukas, kahekümnetahuline, üks platoni tahketest ainetest. Kõik 20 tahku on võrdkülgne kolmnurk. Servade arv on 30, tippude arv 12. Ikosaeedris on 59 tähekuju.

Dodekaeeder Dodekaeeder (kreeka keelest δώδεκα kaksteist ja εδρον tahk), dodekaeedr on korrapärane hulktahukas, mis koosneb kaheteistkümnest korrapärasest viisnurgast. Dodekaeedri iga tipp on kolme korrapärase viisnurga tipp Kreeka korrapäraste viisnurkade korrapärane hulknurk tipp Seega on dodekaeedril 12 tahku (viisnurkne), 30 serva ja 20 tippu (igas 3 serva koonduvad). Tasapinna nurkade summa igas 20 tipus on 324° nurk

slaid 1

slaid 2

SÜMMETRIA RUUMIS “Sümmeetria on idee, mille kaudu inimene püüdis mõista ja luua korda, ilu ja täiuslikkust” (G. Weil) Sümmeetria (“proportsionaalsus”) on vastavus, muutumatus (invariantsus), mis avaldub mistahes transformatsioonide käigus. Nii näiteks tähendab keha sfääriline sümmeetria seda, et keha välimus ei muutu, kui seda ruumis suvaliste nurkade kaudu pöörata, hoides ühte punkti paigal. Lenardo Da Vinci "Vitruvian Man" (1490, Veneetsia)

slaid 3

SÜMMETRIA RUUMIS Punkte A ja A1 nimetatakse sümmeetrilisteks punkti O suhtes (sümmeetria keskpunkt), kui O on lõigu AA1 keskpunkt. Punkti O peetakse enda suhtes sümmeetriliseks. A A1

slaid 4

SÜMMETRIA RUUMIS Punkte A ja A1 nimetatakse sümmeetrilisteks sirge (sümmeetriatelje) suhtes, kui sirgjoon läbib lõigu AA1 keskosa ja on selle lõiguga risti. Sirge a iga punkti peetakse enda suhtes sümmeetriliseks. A1

slaid 5

SÜMMETRIA RUUMIS Punkte A ja A1 nimetatakse sümmeetrilisteks tasapinna (sümmeetriatasandi) suhtes, kui see tasapind läbib lõigu AA1 keskosa ja on selle lõiguga risti. Tasapinna iga punkti peetakse enda suhtes sümmeetriliseks.

slaid 6

SÜMMETRIA RUUMIS Punkti (joont, tasapinda) nimetatakse kujundi sümmeetria keskpunktiks (teljeks, tasapinnaks), kui kujundi iga punkt on selle suhtes sümmeetriline sama kujundi mõne punkti suhtes. Kui joonisel on sümmeetria kese (telg, tasapind), siis öeldakse, et sellel on keskne (telg, peegel) sümmeetria

Slaid 7

Tasapinnaliste jooniste SYMMETRIA NÄITEID Rööpkülikul on ainult keskne sümmeetria. Selle sümmeetriakese on diagonaalide lõikepunkt Võrdhaarsel trapetsil on ainult telgsümmeetria. Selle sümmeetriatelg on risti, mis on tõmmatud läbi trapetsi aluste keskpunktide.Rombil on nii kesk- kui ka telgsümmeetria. Selle sümmeetriatelg on mis tahes diagonaal; sümmeetriakeskus - nende ristumispunkt

Slaid 8

REGULAARSED POLÜEDRAALID – 5 PLATOONI KEHA Isegi kõige kaugema galaktika asukad ei suuda mängida täringuid, millel on meile tundmatu korrapärase kumera hulktahuka kuju. M. Gardner Kumerat hulktahukat nimetatakse regulaarseks, kui selle kõik tahud on võrdsed korrapärased hulknurgad ja igas tipus koondub sama arv servi. Samuti on tavalise hulknurga kõik servad võrdsed, nagu ka kõik kahetahulised nurgad, mis sisaldavad kahte ühise servaga tahku. Pole olemas regulaarset hulktahukat, mille tahud oleksid n-nurksed, kui n > või = 6!

Slaid 9

REGULAARNE TETRAEDER Koosneb neljast võrdkülgsest kolmnurgast. Iga selle tipp on kolmest kolmnurgast koosnev tipp. Tasapinna nurkade summa igas tipus on täpselt 180°. Sümmeetria elemendid: tetraeedril ei ole sümmeetriakeset, kuid sellel on 3 sümmeetriatelge ja 6 sümmeetriatasandit. S kogumahu kõrguse tipud – 4 tahku – 6 serva – 4

slaid 10

KUUBIK Koosneb kuuest ruudust. Iga kuubi tipp on kolme ruudu tipp. Tasapinna nurkade summa igas tipus on täpselt 270°. 6 tahku, 8 tippu ja 12 serva Sümmeetria elemendid: Kuubil on sümmeetriakese - kuubi kese, 9 telge ja sümmeetriatasapinda R opis. env. S täis r sobivad env

slaid 11

REGULAARNE OKTAEED Koosneb kaheksast võrdkülgsest kolmnurgast. Oktaeedri iga tipp on neljast kolmnurgast koosnev tipp. Tasapinna nurkade summa igas tipus on 240°. Sümmeetria elemendid: oktaeedril on sümmeetriakese - oktaeedri keskpunkt, 9 sümmeetriatelge ja 9 sümmeetriatasapinda 8 tahku 6 tippu 12 serva