Առանց վերադարձի ընտրության սխեմայում հիպոթեզների փորձարկման լավության չափանիշների ասիմպտոտիկ հատկությունները, որոնք հիմնված են հորերի տեղադրման ընդհանուր սխեմայի բջիջների լրացման վրա Ալեքսանդր Վլադիմիրովիչ: Գործառույթների ասիմպտոտիկ վարքագիծ

Սահմանում. Ոչ զրոյական վեկտորով որոշված ​​ուղղությունը կոչվում է ասիմպտոտիկ ուղղություն երկրորդ կարգի տողի համեմատ, եթե ցանկացած Այս ուղղության ուղիղ գիծը (այսինքն՝ վեկտորին զուգահեռ) կամ ունի առավելագույնը մեկ ընդհանուր կետ ուղիղի հետ, կամ պարունակվում է այս ուղղում։

? Քանի՞ ընդհանուր կետ կարող է ունենալ երկրորդ կարգի ուղիղը: ասիմպտոտիկ ուղղությունայս տողի համեմատ:

Երկրորդ կարգի տողերի ընդհանուր տեսության մեջ ապացուցված է, որ եթե

Այնուհետև ոչ զրոյական վեկտորը (նշում է ասիմպտոտիկ ուղղությունը գծի նկատմամբ

(Ասիմպտոտիկ ուղղության ընդհանուր չափանիշ).

Երկրորդ կարգի գծերի համար

եթե, ապա ասիմպտոտիկ ուղղություններ չկան,

եթե կա երկու ասիմպտոտիկ ուղղություն,

եթե ուրեմն կա միայն մեկ ասիմպտոտական ​​ուղղություն.

Հետևյալ լեմման օգտակար է ( պարաբոլիկ տիպի գծի ասիմպտոտիկ ուղղության չափանիշ).

Լեմմա . Թող լինի պարաբոլիկ տիպի գիծ:

Ոչ զրոյական վեկտորն ունի ասիմպտոտիկ ուղղություն

համեմատաբար . (5)

(Խնդիր. Ապացուցեք լեմման):

Սահմանում. Ասիմպտոտական ​​ուղղության ուղիղ գիծը կոչվում է ասիմպտոտ երկրորդ կարգի տող, եթե այս տողը կամ չի հատվում կամ պարունակվում է դրանում։

Թեորեմ . Եթե ​​այն ունի ասիմպտոտական ​​ուղղություն , ապա վեկտորին զուգահեռ ասիմպտոտը որոշվում է հավասարմամբ.

Եկեք լրացնենք աղյուսակը.

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ.

1. Գտե՛ք ասիմպտոտական ​​ուղղությունների վեկտորները հետևյալ երկրորդ կարգի տողերի համար.

4 - հիպերբոլիկ տիպի երկու ասիմպտոտ ուղղություններ.

Եկեք օգտագործենք ասիմպտոտական ​​ուղղության չափանիշը.

Այս 4-րդ գծի նկատմամբ ունի ասիմպտոտիկ ուղղություն:

Եթե ​​=0, ապա =0, այսինքն՝ զրո: Այնուհետև բաժանել ըստ մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարում: , որտեղ t = . Մենք լուծում ենք այս քառակուսային հավասարումը և գտնում ենք երկու լուծում՝ t = 4 և t = 1: Այնուհետև ուղիղի ասիմպտոտական ​​ուղղությունները .

(Կարելի է դիտարկել երկու մեթոդ, քանի որ գիծը պարաբոլիկ տիպի է):

2. Պարզեք, արդյոք կոորդինատային առանցքներն ունեն ասիմպտոտական ​​ուղղություններ երկրորդ կարգի գծերի նկատմամբ.

3. Գրի՛ր երկրորդ կարգի տողի ընդհանուր հավասարումը, որի համար

ա) x-առանցքն ունի ասիմպտոտիկ ուղղություն.

բ) երկու կոորդինատային առանցքներն ունեն ասիմպտոտական ​​ուղղություններ.

գ) կոորդինատային առանցքներն ունեն ասիմպտոտիկ ուղղություններ, իսկ O-ն գծի կենտրոնն է:

4. Գրի՛ր տողերի ասիմպտոտների հավասարումները.

ա) ng w:val = "EN-AM"/>y=0"> ;

5. Ապացուցեք, որ եթե երկրորդ կարգի ուղիղն ունի երկու ոչ զուգահեռ ասիմպտոտ, ապա դրանց հատման կետն այս ուղիղի կենտրոնն է:

Նշում:Քանի որ կան երկու ոչ զուգահեռ ասիմպտոտներ, կան երկու ասիմպտոտական ​​ուղղություններ, ապա և, հետևաբար, գիծը կենտրոնական է:

Գրի՛ր ասիմպտոտների հավասարումները ընդհանուր տեսարանև կենտրոնը գտնելու համակարգ։ Ամեն ինչ ակնհայտ է.

6.(թիվ 920) Գրի՛ր A(0, -5) կետով անցնող և x – 1 = 0 և 2x – y + 1 = 0 ասիմպտոտներ ունեցող հիպերբոլայի հավասարումը։

Նշում. Օգտագործեք նախորդ խնդրի հայտարարությունը:

Տնային աշխատանք . , No 915 (c, e, f), No. 916 (c, d, e), No 920 (եթե ժամանակ չունեիք);

Օրորոցներ;

Սիլաև, Տիմոշենկո. Գործնական առաջադրանքներերկրաչափության մեջ,

1-ին կիսամյակ. P.67, հարցեր 1-8, p.70, հարցեր 1-3 (բանավոր):

ԵՐԿՐՈՐԴ ԿԱՐԳԻ ԳԾԵՐԻ Տրամագծերը.

ՄԻԱՑՎԱԾ Տրամագծեր.

Տրված է աֆինային կոորդինատային համակարգ։

Սահմանում. Տրամագիծը երկրորդ կարգի տող, որը կապված է ոչ ասիմպտոտական ​​ուղղության վեկտորի հետ, վեկտորին զուգահեռ գծի բոլոր ակորդների միջնակետերի բազմությունն է:

Դասախոսության ընթացքում ապացուցվեց, որ տրամագիծը ուղիղ գիծ է, և ստացվեց դրա հավասարումը

ԱռաջարկություններՑույց տվեք (էլիպսի վրա), թե ինչպես է այն կառուցված (մենք սահմանում ենք ոչ ասիմպտոտիկ ուղղություն; գծում ենք այս ուղղության [երկու] ուղիղ, որոնք հատում են գիծը, գտե՛ք կտրվող ակորդների միջնակետերը, ուղիղ գիծ գծում ենք գծի միջով։ միջնակետեր - սա տրամագիծն է):

Քննարկել:

1. Ինչու տրամագիծը որոշելիս վերցված է ոչ ասիմպտոտական ​​ուղղության վեկտոր: Եթե ​​նրանք չեն կարող պատասխանել, ապա խնդրեք նրանց կառուցել տրամագիծը, օրինակ, պարաբոլայի համար:

2. Արդյո՞ք երկրորդ կարգի որևէ գիծ ունի առնվազն մեկ տրամագիծ: Ինչո՞ւ։

3. Դասախոսության ժամանակ ապացուցվեց, որ տրամագիծը ուղիղ գիծ է։ Ո՞ր ակորդի միջնակետն է նկարում M կետը:

4. Դիտե՛ք (7) հավասարման փակագծերը: Ի՞նչ են նրանք ձեզ հիշեցնում:

Եզրակացություն. 1) յուրաքանչյուր կենտրոն պատկանում է յուրաքանչյուր տրամագծի.

2) եթե կա կենտրոնների գիծ, ​​ապա կա մեկ տրամագիծ:

5. Ի՞նչ ուղղություն ունեն պարաբոլիկ ուղիղի տրամագծերը: (Ասիմպտոզ)

Ապացույց (հավանաբար դասախոսության մեջ):

Թող տրամագիծը d, որը տրված է (7`) հավասարմամբ, զուգակցված լինի ոչ ասիմպտոտական ​​ուղղության վեկտորի հետ: Այնուհետև դրա ուղղության վեկտորը

(-(), ) Եկեք ցույց տանք, որ այս վեկտորն ունի ասիմպտոտիկ ուղղություն։ Եկեք օգտագործենք ասիմպտոտիկ ուղղության վեկտորի չափանիշը պարաբոլիկ տիպի գծի համար (տես (5)): Եկեք փոխարինենք և համոզվենք (մի մոռացեք դա.

6. Քանի՞ տրամագիծ ունի պարաբոլան: Նրանց հարաբերական դիրքը. Քանի՞ տրամագիծ ունեն մնացած պարաբոլիկ գծերը: Ինչո՞ւ։

7. Ինչպես կառուցել երկրորդ կարգի որոշ զույգ գծերի ընդհանուր տրամագիծը (տես ստորև 30, 31 հարցերը):

8. Լրացնում ենք աղյուսակը և անպայման նկարներ ենք անում։

1. . Գրի՛ր վեկտորին զուգահեռ բոլոր ակորդների միջնակետերի բազմության հավասարումը

2. Գրի՛ր ուղիղի համար K(1,-2) կետով անցնող d տրամագծի հավասարումը:

Լուծման քայլեր:

1-ին մեթոդ.

1. Որոշեք տեսակը (իմանալ, թե ինչպես են վարվում այս գծի տրամագծերը):

Այս դեպքում գիծը կենտրոնական է, ապա բոլոր տրամագծերը անցնում են C կենտրոնով:

2. Կազմում ենք K և C երկու կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը: Սա ցանկալի տրամագիծն է:

2-րդ մեթոդ.

1. Դ տրամագծի հավասարումը գրում ենք (7`) տեսքով:

2. Այս հավասարման մեջ փոխարինելով K կետի կոորդինատները՝ մենք գտնում ենք վեկտորի խոնարհվածի կոորդինատների կապը d տրամագծի հետ։

3. Այս վեկտորը սահմանում ենք՝ հաշվի առնելով գտնված կախվածությունը, և կազմում ենք d տրամագծի հավասարում։

Այս խնդրի դեպքում ավելի հեշտ է հաշվարկել երկրորդ մեթոդով:

3. . Գրի՛ր x-ի առանցքին զուգահեռ տրամագծի հավասարումը:

4. Գտի՛ր տողով կտրված ակորդի միջնակետը

ուղիղ գծի վրա x + 3y – 12 =0.

Լուծման ուղղություններԱնշուշտ, դուք կարող եք գտնել ուղիղ և գծային տվյալների հատման կետերը, իսկ հետո ստացված հատվածի կեսը: Դա անելու ցանկությունը վերանում է, եթե վերցնենք, օրինակ, ուղիղ գիծ x +3y – 2009 =0 հավասարմամբ:

480 ռուբ. | 150 UAH | $7,5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Ատենախոսություն - 480 RUR, առաքում 10 րոպե, շուրջօրյա, շաբաթը յոթ օր և արձակուրդներ

Կոլոդզեյ Ալեքսանդր Վլադիմիրովիչ. Առանց վերադարձի ընտրության սխեմայում հիպոթեզների փորձարկման համաձայնության չափանիշների ասիմպտոտիկ հատկությունները, հիմնված բջիջների լրացման վրա ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում. ատենախոսություն... Ֆիզիկա և մաթեմատիկական գիտությունների թեկնածու: 01.01.05.- Մոսկվա, 2006.- 110 pp. հիվանդ. RSL OD, 61 07-1/496

Ներածություն

1 Էնտրոպիա և տեղեկատվական հեռավորություն 36

1.1 Հիմնական սահմանումներ և նշումներ 36

1.2 Դիսկրետ բաշխումների էնտրոպիա՝ սահմանափակ մաթեմատիկական ակնկալիքով 39

1.3 Լոգարիթմական ընդհանրացված մետրիկ դիսկրետ բաշխումների բազմության վրա 43

1.4 Գործառույթների կոմպակտությունը արգումենտների հաշվելի հավաքածուով: 46

1.5 Տեղեկատվական հեռավորության շարունակականություն Kullback - Leibler - Sanov 49

1.6 Եզրակացություններ 67

2 Մեծ շեղումների հավանականությունը 68

2.1 Գործառույթների մեծ շեղումների հավանականությունը տվյալ լցոնում ունեցող բջիջների քանակից 68

2.1.1 Տեղական սահմանային թեորեմ 68

2.1.2 Ինտեգրալ սահմանային թեորեմ 70

2.1.3 Տեղեկատվական հեռավորությունը և բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունները 75

2.2 Բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունը, որը չի բավարարում Կրամերի պայմանը 81

2.3 Եզրակացություններ 90

3 Հարմարեցվածության չափանիշների ասիմպտոտիկ հատկությունները 92

3.1 Առանց վերադարձի դիզայնի ընտրության համաձայնության չափանիշները: 92

3.2 Համապատասխանության չափանիշների ասիմպտոտիկ հարաբերական արդյունավետություն 94

3.3 Չափանիշներ, որոնք հիմնված են ընդհանրացված դասավորությունների բջիջների քանակի վրա 95

3.4 Եզրակացություններ 98

Եզրակացություն 99

Գրականություն 103

Աշխատանքի ներածություն

Հետազոտության օբյեկտ և թեմայի արդիականություն: Դիսկրետ հաջորդականությունների վիճակագրական վերլուծության տեսության մեջ առանձնահատուկ տեղ են գրավում համապատասխանության չափանիշները՝ հնարավոր բարդ զրոյական վարկածի փորձարկման համար, որն այն է, որ պատահական հաջորդականության համար pQ)?=i այնպիսին է, որ

Хі Є Ім,і= 1,...,n, Ім = (о, і,..., M), ցանկացած і = 1,..., n, և ցանկացած k Є їm իրադարձության հավանականության համար ( Хі = k) կախված չէ r-ից Սա նշանակում է, որ (Хі)f =1 հաջորդականությունը ինչ-որ առումով անշարժ է:

Մի շարքում կիրառական խնդիրներՈրպես հաջորդականություն (X() =1, մենք առանց վերադարձի ընտրելիս հաշվի ենք առնում գնդիկների գույների հաջորդականությունը, մինչև rik պարունակող կարասից սպառվելը - 1 > 0 գունավոր k, k Є їm - կնշանակենք նման ընտրանքների բազմությունը: T(n 0 - 1, .. .,п/ - 1) Թող մուրճը պարունակի n - 1 գնդիկ ընդհանուր առմամբ, m n-l= (n fc -l):

r (k) _ r (fc) r (fc)-ով նշանակենք նմուշի k գունավոր գնդիկների թվերի հաջորդականությունը: Դիտարկենք h« = (^,...,) հաջորդականությունը։ M fc) =ri fc) , ^ = ^-^ = 2,...,^-1, _ (fc)

h^ հաջորդականությունը որոշվում է՝ օգտագործելով k գույնի հարևան գնդիկների տեղերի միջև եղած հեռավորությունները այնպես, որ *Ф = n:

h(fc) հաջորդականությունների բազմությունը բոլոր k Є їм-ի համար եզակիորեն որոշում է (Х()^ =1 հաջորդականությունը: h k հաջորդականությունները տարբեր k-ի համար կախված են միմյանցից: Մասնավորապես, դրանցից որևէ մեկը եզակիորեն որոշվում է բոլոր մյուսներով: Եթե ​​1մ հավաքածուի կարդինալությունը 2 է, ապա գնդակների գույների հաջորդականությունը եզակիորեն որոշվում է նույն ֆիքսված գույնի հարևան գնդիկների տեղերի միջև հեռավորությունների h() հաջորդականությամբ: Թող լինի N - 1 գունավոր 0 գնդիկ: երկու տարբեր գույների n - 1 գնդիկ պարունակող սափորում: Մենք կարող ենք մեկ առ մեկ համապատասխանություն հաստատել M(N-l,n - N) բազմության և 9\ Пі m վեկտորների մի շարք h(n, N) = (hi,..., /i#) դրական ամբողջ թվային բաղադրիչներով այնպիսին, որ

9\n,m բազմությունը համապատասխանում է n-ի դրական ամբողջ թվի բոլոր հստակ բաժանումների բազմությանը N կարգավորված տերմինների:

Որոշակի հավանականության բաշխում նշելով 9R n d վեկտորների բազմության վրա՝ մենք ստանում ենք հավանականության համապատասխան բաշխում Wl(N - l,n - N) բազմության վրա։ V\n,y բազմությունը վեկտորների 2J n,iv բազմության ենթաբազմություն է, որոնց ոչ բացասական ամբողջ բաղադրիչները բավարարում են (0.1): Ատենախոսական աշխատանքում ձևի բաշխումները կդիտարկվեն որպես հավանականության բաշխումներ վեկտորների բազմության վրա.

P(%, N) = (r b..., r N)) = P(& = r„, u = 1,..., N\ & = n), (0.2) որտեղ 6 > , lg - անկախ ոչ բացասական ամբողջ թվով պատահական փոփոխականներ:

(0.2) ձևի բաշխումները /24/-ում կոչվում են N բջիջներում n մասնիկ տեղադրելու ընդհանրացված սխեմաներ։ Մասնավորապես, եթե (0.2) b...,lr պատահական փոփոխականները բաշխված են Պուասոնի օրենքներով համապատասխանաբար Ai,...,Alr պարամետրերով, ապա h(n,N) վեկտորն ունի բազմանդամ բաշխում. արդյունքների հավանականությունները

Ri = t--~t~> ^ = 1,---,^-

Լի + ... + լ^

Եթե ​​i> >&v (0.2) պատահական փոփոխականները նույնականորեն բաշխված են ըստ երկրաչափական օրենքի V(Zi = k)= P k - 1 (l-p),k=l,2,..., որտեղ p-ն ցանկացած է. միջակայքը 0

Ինչպես նշվեց /14/,/38/-ում, հատուկ տեղ է զբաղեցնում հաճախականության վեկտորների h(n, N) = (hi,..., h^) բաշխման վարկածների փորձարկման մեջ N բջիջներում n մասնիկներ տեղադրելու ընդհանրացված սխեմաներում: զբաղված է ad%,lo) = L(i (o.z) ձևի վիճակագրության հիման վրա կառուցված չափորոշիչներով։

Фк «%,%..;$, (0.4), որտեղ /j/, v = 1,2,... և ф որոշ իրական արժեք ունեցող ֆունկցիաներ են,

Mg = E 1(K = g), g = 0.1,.... 1/=1

// r մեծությունները /27/-ում կոչվում էին հենց r մասնիկներ պարունակող բջիջների քանակ։

/30/-ում (0.3) ձևի վիճակագրությունը կոչվում է բաժանելի (հավելյալ բաժանելի) վիճակագրություն։ Եթե ​​/„-ում (0.3) ֆունկցիաները կախված չեն u-ից, ապա այդպիսի վիճակագրությունը կոչվել է /31/ սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրությունում:

Ցանկացած r-ի համար /x r վիճակագրությունը սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրություն է: Հավասարությունից

DM = DFg (0.5) հետևում է, որ h u-ի սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության դասը համընկնում է fi r-ի գծային ֆունկցիաների դասի հետ։ Ընդ որում, ձևի ֆունկցիաների դասը (0.4) ավելի լայն է, քան սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության դասը։

H 0 = (Rao(n,A0) պարզ զրոյական վարկածների հաջորդականություն է, որ h(n,N) վեկտորի բաշխումը (0.2) է, որտեղ i,...,ln և (0.2) պատահական փոփոխականները. նույնականորեն բաշխված և P(ti = k)=p k ,k = 0,l,2,..., n, N պարամետրերը փոխվում են կենտրոնական շրջանում:

Դիտարկենք որոշ P Є (0,1) և, ընդհանուր առմամբ, բարդ այլընտրանքների n = (H(n,N)) հաջորդականություն, որպեսզի գոյություն ունենա n

P(fm > OPAR)) >: 0-Մենք կմերժենք Hq(ti,N) վարկածը, եթե fm > a s m((3): Եթե կա սահման jim ~1nP(0l > a n, N (P)) = ШН ), որտեղ յուրաքանչյուր N-ի հավանականությունը հաշվարկվում է #o(n,iV) վարկածով, ապա j արժեքը (fi,lcl) կոչվում է /38/ չափանիշի φ կետում (/?, N). Վերջին սահմանը, ընդհանուր առմամբ, կարող է գոյություն չունենալ: Ուստի, ատենախոսական աշխատանքում, չափանիշի ինդեքսից բացի, դիտարկվում է lim (_IlnP(tor > a N (J3))) =if(P,P) արժեքը, որը ատենախոսական աշխատանքի հեղինակը, անալոգիայով. կոչվում է φ չափանիշի ենթակետը (/3,H) կետում: Այստեղ և ներքևում lim adg, lim а# jV-уо ЛГ-оо նշանակում են, համապատասխանաբար, հաջորդականության (odg) ստորին և վերին սահմանները N -> yu-ի համար,

Եթե ​​չափանիշի ինդեքսը գոյություն ունի, ապա չափանիշի ինդեքսը համընկնում է դրա հետ: Չափանիշի ստորին ցուցանիշը միշտ էլ կա։ Ինչպես ավելի մեծ արժեքչափանիշի ինդեքս (չափանիշի ենթակետ), այնքան լավ է վիճակագրական չափանիշը դիտարկվող իմաստով։ /38/-ում ընդհանրացված դասավորության սխեմաների համաձայնագրի չափանիշների կառուցման խնդիրը ամենաբարձր արժեքըչափանիշի ինդեքս այն չափանիշների դասում, որոնք մերժում են Ho(n,N) վարկածը, որտեղ m > 0 որոշ չափով է. ֆիքսված համար, հաստատունների հաջորդականությունը ընտրվում է՝ ելնելով այլընտրանքների հաջորդականության չափանիշի հզորության տրված արժեքից, ft t-ը t + 1 արգումենտների իրական ֆունկցիա է։

Չափանիշի ցուցանիշները որոշվում են մեծ շեղումների հավանականությամբ։ Ինչպես ցույց է տրվել /38/-ում, բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա, երբ Քրամերի պայմանը բավարարված է. պատահական փոփոխական/() որոշվում է համապատասխան Kull-Bak - Leibler - Sanov տեղեկատվական հեռավորությամբ (պատահական q փոփոխականը բավարարում է Cramer պայմանը, եթե որոշ # > 0 համար Me f7? մոմենտների գեներացնող ֆունկցիան վերջավոր է \t\ միջակայքում:

Վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականության հարցը անսահմանափակ թվով fi r-ից, ինչպես նաև կամայական բաժանելի վիճակագրության, որը չի բավարարում Կրամերի պայմանը, մնաց բաց: Սա թույլ չտվեց վերջնականապես լուծել վարկածների փորձարկման չափանիշների կառուցման խնդիրը I տիպի սխալի հավանականության զրոյին ձգտելու ամենաբարձր մակարդակով, որը հիմնված է վիճակագրության վրա հիմնված չափանիշների դասի այլընտրանքների հետ: ձևը (0.4): Ատենախոսական հետազոտության արդիականությունը որոշվում է նշված խնդրի լուծումն ավարտելու անհրաժեշտությամբ:

Ատենախոսական աշխատանքի նպատակն է կառուցել համաձայնության չափանիշներ՝ չափանիշի ինդեքսի (չափանիշի ենթակետի) ամենաբարձր արժեքով` առանց վերադարձի ընտրության սխեմայում հիպոթեզները ստուգելու համար չափանիշների դասում, որոնք մերժում են U(n, N) վարկածը: 0(iv"iv"-""" o """)>CiV " (0 " 7) որտեղ φ արգումենտների հաշվելի թվի ֆունկցիա է, իսկ n, N պարամետրերը փոխվում են կենտրոնական շրջանում։

Հետազոտության նպատակին համապատասխան դրվել են հետևյալ խնդիրները. ուսումնասիրել Կուլ-Բակ-Լեյբլեր-Սանով-ի էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության հատկությունները հաշվելի թվով արդյունքներով դիսկրետ բաշխումների համար. ուսումնասիրել ձևի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունը (0.4); ուսումնասիրել սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության (0.3) մեծ շեղումների հավանականությունները, որոնք չեն բավարարում Կրամերի պայմանը. - գտնել այնպիսի վիճակագրություն, որ համաձայնության չափանիշը, որը կառուցված է դրա հիման վրա՝ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում վարկածների փորձարկման համար, ունի ամենաբարձր ինդեքսային արժեքը ձևի չափանիշների դասում (0.7):

Գիտական ​​նորություն. տրված է ընդհանրացված չափման հայեցակարգը՝ ֆունկցիա, որն ընդունում է անսահման արժեքներ և բավարարում նույնականության, համաչափության և եռանկյունի անհավասարության աքսիոմները։ Գտնվում է ընդհանրացված մետրիկ, և նշվում են բազմություններ, որոնց վրա էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիաները, որոնք սահմանված են հաշվելի թվով արդյունքներով դիսկրետ բաշխումների ընտանիքի վրա, շարունակական են այս չափման մեջ. Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում հայտնաբերվել է կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա (0.4) ձևի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականության համար, որը բավարարում է Կրամերի պայմանի համապատասխան ձևը. Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում հայտնաբերվել է կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների համար, որոնք չեն բավարարում Կրամերի պայմանը. ձևի չափանիշների դասում (0.7) կառուցվում է չափանիշի ինդեքսի ամենաբարձր արժեք ունեցող չափանիշ։

Գիտական ​​և գործնական արժեք. Աշխատանքը լուծում է մի շարք հարցեր՝ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում մեծ շեղումների հավանականությունների վարքագծի վերաբերյալ։ Ստացված արդյունքները կարող են օգտագործվել ուսումնական գործընթացմաթեմատիկական վիճակագրության և տեղեկատվության տեսության մասնագիտություններում, դիսկրետ հաջորդականությունների վերլուծության վիճակագրական ընթացակարգերի ուսումնասիրության մեջ և օգտագործվել են /3/, /21/-ում՝ մեկ դասի տեղեկատվական համակարգերի անվտանգությունը հիմնավորելու համար։ Պաշտպանության համար առաջադրված դրույթներ. նվազեցնելով գնդերի գույների մեկ հաջորդականությունից վարկածի փորձարկման խնդիրը այն փաստից, որ այս հաջորդականությունը ստացվել է ընտրության արդյունքում՝ առանց վերադառնալու մինչև երկու գույնի գնդիկներ պարունակող ուրցից գնդակների սպառումը: , և յուրաքանչյուր այդպիսի ընտրություն ունի նույն հավանականությունը, որ համաձայնեցված չափանիշների կառուցման համար վարկածները փորձարկվեն համապատասխան ընդհանրացված դասավորությամբ. էնտրոպիայի շարունակականությունը և Կուլբեք-Լեյբլեր-Սանով տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիաները անվերջ ծավալային սիմպլեքսի վրա ներդրված լոգարիթմական ընդհանրացված մետրիկով. Սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքության) ասիմպտոտիկայի թեորեմ, որոնք չեն բավարարում Կրամերի պայմանը կիսաէքսպոնենցիալ դեպքում ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում. թեորեմ կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) մեծ շեղումների հավանականությունների ասիմպտոտիկայի վերաբերյալ (0.4) ձևի վիճակագրության համար. - պիտանիության չափանիշի կառուցում` ընդհանրացված դասավորություններում հիպոթեզների փորձարկման համար` ձևի չափանիշների դասում ամենաբարձր ցուցանիշով (0.7):

Աշխատանքի հաստատում. Արդյունքները ներկայացվել են մաթեմատիկական ինստիտուտի դիսկրետ մաթեմատիկայի ամբիոնի սեմինարներին։ V. A. Steklov RAS, ITM&VT տեղեկատվական անվտանգության բաժին, անվ. Ս.Ա. Լեբեդևի ՌԳԱ և ժամը՝ Կիրառական և արդյունաբերական մաթեմատիկայի հինգերորդ համառուսաստանյան սիմպոզիում: Գարնանային նստաշրջան, Կիսլովոդսկ, մայիսի 2 - 8, 2004 թ.; Պետրոզավոդսկի վեցերորդ միջազգային կոնֆերանս «Հավանական մեթոդներ դիսկրետ մաթեմատիկայում» հունիսի 10 - 16, 2004 թ. երկրորդ Միջազգային համաժողով«Տեղեկատվական համակարգեր և տեխնոլոգիաներ (IST» 2004 թ.), Մինսկ, նոյեմբերի 8 - 10, 2004 թ.;

Միջազգային կոնֆերանս «Ժամանակակից խնդիրներ և հավանականության տեսության նոր միտումներ», Չեռնովցի, Ուկրաինա, 19 - 26 հունիսի, 2005 թ.

Աշխատանքի հիմնական արդյունքներն օգտագործվել են «Ներողություն» հետազոտական ​​աշխատանքում, որն իրականացվել է ITMiVT RAS-ի կողմից: Ս. Ա. Լեբեդևը Ռուսաստանի Դաշնության Տեխնիկական և արտահանման վերահսկողության դաշնային ծառայության շահերից ելնելով և ներառվել են հետազոտության փուլի իրականացման զեկույցում /21/: Ատենախոսության որոշ արդյունքներ ներառվել են Ռուսաստանի Դաշնության Գաղտնագրության ակադեմիայի 2004թ. /22/ «Գաղտնագրության մաթեմատիկական խնդիրների մշակում» հետազոտական ​​զեկույցում:

Հեղինակը խորին շնորհակալություն է հայտնում գիտական ​​ղեկավար, ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր Ա.Ֆ.Ռոնժինին և գիտական ​​խորհրդատու, ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր, ավագ գիտաշխատող Ա.Վ.Կնյազևին: և ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների մաթեմատիկական գիտությունների թեկնածու Ի.Ա. Կրուգլովը աշխատանքի նկատմամբ ցուցաբերած ուշադրության և մի շարք արժեքավոր մեկնաբանությունների համար:

Աշխատանքի կառուցվածքը և բովանդակությունը:

Առաջին գլխում ուսումնասիրվում են էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության հատկությունները ոչ բացասական ամբողջ թվերի բազմության վրա բաշխումների համար:

Առաջին գլխի առաջին պարբերությունում ներկայացվում են նշումներ և տրվում են անհրաժեշտ սահմանումներ։ Մասնավորապես, դրանք օգտագործվում են հետևյալ նշանակումները x = (:ro,i, ---) - անվերջ ծավալային վեկտոր՝ բաղադրիչների հաշվելի քանակով;

Н(х) - -Ex^oXvlnx,; trunc m (x) = (x 0,x 1,...,x t,0,0,...); SI* = (x, x u > 0, u = 0.1,..., E~ o x„ 0,v = 0,l,...,E? =Q x v = 1); fi 7 = (x Є O, L 0 vx v = 7); %] = (хЄП,Эо»х и

16 mі = e o ** v \ &c = Ue>1 | 5 є Q 7) o

Հասկանալի է, որ Vt բազմությունը համապատասխանում է ոչ բացասական ամբողջ թվերի բազմության վրա հավանականության բաշխումների ընտանիքին, P 7 - ոչ բացասական ամբողջ թվերի բազմության հավանականության բաշխումների ընտանիքին մաթեմատիկական ակնկալիքով 7 - Եթե y Є Q, ապա є > 0-ի համար բազմությունը կնշանակվի O e (y)-ով:

Оє(у) - (х eO,x v

Առաջին գլխի երկրորդ պարբերությունում ապացուցված է սահմանափակ մաթեմատիկական ակնկալիքով դիսկրետ բաշխումների էնտրոպիայի սահմանայինության թեորեմը։

Թեորեմ 1. Սահմանափակված մաթեմատիկական ակնկալիքով դիսկրետ բաշխումների էնտրոպիայի սահմանի մասին։ Ցանկացած երկաթբետոնի համար 7

Եթե ​​x Є fi 7-ը համապատասխանում է 7 մաթեմատիկական բաշխման երկրաչափական բաշխմանը; այն է

7 x„ = (1- р)р\ v = 0.1,..., որտեղ р = --,

1 + 7, ապա գործում է H(x) = F(1) հավասարությունը:

Թեորեմի պնդումը կարելի է դիտել որպես Լագրանժի պայմանական բազմապատկիչների մեթոդի պաշտոնական կիրառման արդյունք անսահման թվով փոփոխականների դեպքում։ Այն թեորեմը, որ տրված մաթեմատիկական ակնկալիքով և առավելագույն էնտրոպիայով բազմության վրա միակ բաշխումը (k, k + 1, k + 2,...) տվյալ մաթեմատիկական ակնկալիքով երկրաչափական բաշխումն է, տրված է (առանց ապացույցի) /47-ում։ /. Հեղինակը, սակայն, տվել է խիստ ապացույց.

Առաջին գլխի երրորդ պարբերությունը տալիս է ընդհանրացված չափման սահմանումը` մետրիկ, որը թույլ է տալիս անսահման արժեքներ:

x,y Є Гі-ի համար p(x,y) ֆունկցիան սահմանվում է որպես նվազագույն є > O y v e~ e հատկությամբ:

Եթե ​​այդպիսի є գոյություն չունի, ապա ենթադրվում է, որ p(x,y) = oo։

Ապացուցված է, որ p(x,y) ֆունկցիան ընդհանրացված մետրիկ է ոչ բացասական ամբողջ թվերի բազմության բաշխումների ընտանիքի, ինչպես նաև Ci* ամբողջ բազմության վրա։ P(x,y) մետրի սահմանման մեջ e-ի փոխարեն կարող եք օգտագործել ցանկացած այլ դրական թիվ, բացի 1-ից: Ստացված չափումները կտարբերվեն բազմապատկվող հաստատունով: J(x, y)-ով նշանակենք տեղեկատվական հեռավորությունը

Այստեղ և ներքևում ենթադրվում է, որ 0 In 0 = 0.01n ^ = 0: Տեղեկատվական հեռավորությունը սահմանվում է այնպիսի x-ի համար, y, որ x v - 0 բոլորի համար և այնպիսին, որ y v = 0: Եթե այս պայմանը չկատարվի, ապա մենք ենթադրենք J (S,y) = co. Թող A C $1. Այնուհետև կնշանակենք J(Ay)="mU(x,y):

Դնենք J(Jb,y) = 00:

Առաջին գլխի չորրորդ պարբերությունում տրված է P* բազմության վրա սահմանված ֆունկցիաների կոմպակտության սահմանումը։ Հաշվելի թվով արգումենտներով ֆունկցիայի կոմպակտությունը նշանակում է, որ ցանկացած աստիճանի ճշգրտությամբ ֆունկցիայի արժեքը կարող է մոտավորվել այս ֆունկցիայի արժեքներով այն կետերում, որտեղ միայն սահմանափակ թվով արգումենտներ զրոյական չեն: Ապացուցված է էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիաների կոմպակտությունը։

Ցանկացած 0-ի համար

Եթե ​​որոշ 0 0 ֆունկցիան \(x) = J(x,p) կոմպակտ է բազմության վրա 7 ] P O g (p):

Առաջին գլխի հինգերորդ պարբերությունը քննարկում է անվերջ չափերի տարածության վրա սահմանված տեղեկատվական հեռավորության հատկությունները: Վերջավոր ծավալային դեպքի համեմատ՝ տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիայի շարունակականության հետ կապված իրավիճակը որակապես փոխվում է։ Ցույց է տրվում, որ տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիան շարունակական չէ Г2 բազմության վրա pi(,y)= E|z„-i/„|, (

00 \ 2 p 2 (x,y) = sup (x^-ij^.

Հետևյալ անհավասարությունների վավերականությունն ապացուցված է H(x) էնտրոպիայի ֆունկցիաների և J(x,p) տեղեկատվական հեռավորության համար.

1. Ցանկացած x-ի համար x" Є fi \H(x) - H(x")\

2. Եթե որոշ х,р є П կա є > 0 այնպիսին, որ х є О є (р), ապա ցանկացած X і Є Q \J(x,p) - J(x",p)\:

Այս անհավասարություններից, հաշվի առնելով 1-ին թեորեմը, հետևում է, որ էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիաները միատեսակ շարունակական են p(x,y) մետրիկի համապատասխան fi ենթաբազմությունների վրա, այն է՝

Ցանկացած 7-ի համար, որ 0-ն է

Եթե ​​որոշ 7o, Օ

20 ապա ցանկացած 0 0-ի համար \p(x) = J(x t p) ֆունկցիան հավասարաչափ շարունակական է 7 ] P O є (p) մետրային p(x,y) բազմության վրա:

Տրված է ոչ էքստրեմալ ֆունկցիայի սահմանում։ Ոչ էքստրեմալ պայմանը նշանակում է, որ ֆունկցիան չունի տեղական ծայրահեղություններ, կամ ֆունկցիան ընդունում է նույն արժեքները տեղական նվազագույնում (տեղական առավելագույն): Ոչ ծայրահեղ վիճակը թուլացնում է տեղային ծայրահեղությունների բացակայության պահանջը։ Օրինակ, իրական թվերի բազմության վրա sin x ֆունկցիան ունի տեղական ծայրահեղություններ, բայց բավարարում է ոչ էքստրեմալ պայմանը։

Որոշ 7 > 0-ի համար A տարածքը տրվում է պայմանով

А = (хЄЇ1 1 ,ф(х) >а), (0.9), որտեղ Ф(х) իրական արժեք ունեցող ֆունկցիա է, a-ն իրական հաստատուն է, inf Ф(х)

Եվ 3y, հարց առաջացավ, n P «ինչ պայմաններում «a» φ համար i_ «ara-q մետր n, N կենտրոնական շրջանում, ^ -> 7, նրանց բոլոր բավական մեծ արժեքների համար կլինեն այդպիսի ոչ. -բացասական ամբողջ թվեր ko, k\, ..., k n, ինչ ko + hi + ... + k n = N,

21 k\ + 2/... + nk n - Ն

Kq k\ k n . ^"իվ"-"իվ" 0 " 0 "-")>ա -

Ապացուցված է, որ դրա համար բավական է պահանջել, որ φ ֆունկցիան լինի ոչ էքստրեմալ, կոմպակտ և շարունակական p(x,y) մետրիկում, ինչպես նաև գոնե մեկ կետի համար x բավարարող (0.9), որոշ є-ի համար։ > 0 կա ​​վերջավոր պահ 1 + є Ml + = і 1+є x և 0 ցանկացած u = 0.1,....

Երկրորդ գլխում մենք ուսումնասիրում ենք D = (fio,..., cn, 0,...) ֆունկցիաների մեծ շեղումների հավանականության կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտիկան՝ տրված բջիջների թիվը։ լրացնելով N,n պարամետրերի տատանումների կենտրոնական շրջանը: Մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ ասիմպտիկաները բավարար են հարմարության չափանիշների ինդեքսներն ուսումնասիրելու համար:

Թող պատահական փոփոխականները ^-ում (0.2) լինեն նույնական բաշխված և

Р(Сі = к)=рьк = 0.1,... > P(z) - i պատահական փոփոխականի գեներացնող ֆունկցիա - զուգակցվում է 1 շառավղով շրջանագծի մեջ:

22 Նշանակենք p(.) = (p(ad = o),P№) = i),...):

Եթե ​​կա հավասարման z 1 լուծում

M(*) = 7, ապա այն եզակի է /38/: Հետևյալի ողջ ընթացքում մենք կենթադրենք, որ Pjfc>0,fc = 0,l,....

Երկրորդ գլխի առաջին պարբերության առաջին պարբերությունում կա -m^1nP(th) = ^,...,/ = K)- ձևի հավանականությունների լոգարիթմների ասիմպտոտիկա.

Ապացուցված է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 2. Տեղական կոպիտ թեորեմ մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ։ Թող n, N -* co այնպես, որ - ->7>0

Թեորեմի պնդումը ուղղակիորեն բխում է /26/-ում A*b/ համատեղ բաշխման բանաձևից և հետևյալ գնահատականից. // 2 + ... + 71/ = 71, ապա դրանցից ոչ զրոյական արժեքների թիվը 0 (l/n) է: Սա մոտավոր գնահատական ​​է և չի հավակնում նոր լինել: Ընդհանրացված դասավորության սխեմաներում ոչ զրոյական τ-երի թիվը չի գերազանցում բջիջների առավելագույն լրացման արժեքը, որը կենտրոնական շրջանում, 1-ի միտումով, չի գերազանցում 0(\n) /25/ արժեքը, /27/. Այնուամենայնիվ, ստացված 0(y/n) գնահատականը բավարարվում է 1-ով և բավարար է կոպիտ ասիմպտոտիկներ ստանալու համար:

Երկրորդ գլխի առաջին պարբերության երկրորդ պարբերությունում սահմանի արժեքը հայտնաբերվում է, որտեղ adg-ը իրական թվերի հաջորդականությունն է, որը համընկնում է որոշ a Є R-ի հետ, φ(x)-ը իրական արժեք ունեցող ֆունկցիա է: Ապացուցված է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 3. Կոպիտ ինտեգրալ թեորեմ մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ։ Թող 2-րդ թեորեմի պայմանները բավարարվեն, որոշ r > 0, (> 0) իրական ֆունկցիա φ(x) կոմպակտ է և միատեսակ շարունակական p մետրիկում բազմության վրա:

A = 0 rH (p(r 1))nP bn] և բավարարում է ոչ ծայրահեղության պայմանը Г2 7 բազմության վրա: Եթե ​​ինչ-որ հաստատունի համար այնպիսին է, որ inf (x)

24 կա վեկտոր p a fi 7 P 0 r (p(z 7)); այնպիսին է, որ

Ф(ra) > а J(( (x) >а,хЄ П 7 ),р(2; 7)) = J(p a ,p(^y)), mo ցանկացած ա^ հաջորդականության համար, որը համընկնում է ա, ^ -^\nP(f(^,^,...)>a m) = Pr a,p(r,)): (0.11)

Φ(x) ֆունկցիայի լրացուցիչ սահմանափակումներով, J(pa,P(zy)) տեղեկատվության հեռավորությունը (2.3)-ում կարելի է ավելի կոնկրետ հաշվարկել: Մասնավորապես, ճիշտ է հետևյալ թեորեմը. Թեորեմ 4. Տեղեկատվական հեռավորության մասին. Թողեք մի քանի 0

Արդյոք որոշ r > 0, C > 0, իրական φ(x) ֆունկցիան և նրա առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները կոմպակտ են և միատեսակ շարունակական բազմության ընդհանրացված մետրիկում p(x, y):

A = O g (p)PP bn], գոյություն ունի T > 0, R > 0 այնպես, որ բոլորի համար \t\ O p v v 1+ z u exp(i--ph(x))

0(p(gaL)) = a, / h X v \Z,t) T, u= oX LJ (Z,t)

Ապա p(z a , t a) Є ft, u J((z Є Л,0(z) = а),р) = J(p(z a ,t a),p) d _ 9 = 7111 + t a «-^ OFaL)) - 2Wexp-ում (a --0(p(g a,i a))): j/=0 CnEi/ ^_o CX(/

Եթե ​​f(x) ֆունկցիան գծային ֆունկցիա է, և ֆունկցիան fix) սահմանվում է հավասարության միջոցով (0.5), ապա պայմանը (0.12) վերածվում է Cramer պայմանի f(,(z)) պատահական փոփոխականի համար։ Պայման (0.13) պայմանի ձև է (0.10) և օգտագործվում է ապացուցելու համար (x Є Г2, φ(x) > a) 0(n, N) ձևի տիրույթներում առնվազն մեկ կետի առկայությունը բոլորի համար: բավականաչափ մեծ n, N.

Թող v ()(n,iV) = (/гі,...,/ijv) լինի ընդհանրացված դասավորության հաճախականության վեկտորը (0.2): Որպես 3 և 4 թեորեմների հետևանք՝ ձևակերպված է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 5. Կոպիտ ինտեգրալ թեորեմ սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում:

Թող n, N -> co այնպես, որ jfr - 7» 0 0,R > 0 այնպես, որ բոլորի համար \t\ Այնուհետև a#-ին համընկնող ցանկացած հաջորդականության համար 1 iv =

Այս թեորեմն առաջին անգամ ապացուցել է A.F. Ronzhin-ը /38/-ում՝ օգտագործելով թամբի կետի մեթոդը:

Երկրորդ գլխի երկրորդ պարբերությունում ուսումնասիրվում են բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունները ընդհանրացված cxj^iax տեղակայման դեպքում պատահական փոփոխականի համար Cramer պայմանը չբավարարելու դեպքում /((z)): F(,(z)) պատահական փոփոխականի համար Կրամերի պայմանը չի բավարարվում, մասնավորապես, եթե (z)-ը Պուասոնի պատահական փոփոխական է, և /(x) = x 2: Նկատի ունեցեք, որ Քրամերի պայմանը բաժանելի վիճակագրության համար ընդհանրացված բաշխման սխեմաներում միշտ բավարարված է, քանի որ ցանկացած ֆիքսված n, N համարը հնարավոր արդյունքներըայս սխեմաներում, իհարկե:

Ինչպես նշվեց /2/-ում, եթե Կրամերի պայմանը բավարարված չէ, ապա նույնականորեն բաշխված պատահական փոփոխականների գումարների մեծ շեղումների հավանականությունների ասիմպտիկան գտնելու համար անհրաժեշտ է կատարել լրացուցիչ պայմաններ բաշխման ճիշտ փոփոխության համար: ժամկետի։ Աշխատանքը (համարում է /2/-ում (3) պայմանի կատարմանը համապատասխան դեպք, այսինքն՝ յոթ էքսպոնենցիալ դեպք։ Թող P(i = k) > O բոլորի համար։

28 k = 0.1,... և p(k) = -\nP(^ = k) ֆունկցիան կարելի է շարունակել շարունակական արգումենտի ֆունկցիայի մեջ՝ p, 0 oo P(tx) կարգի կանոնավոր փոփոխվող ֆունկցիա, r v P(t)

Թող արգումենտի բավական մեծ արժեքների համար f(x) ֆունկցիան լինի դրական, խիստ աճող, կանոնավոր փոփոխվող d>1, ^ թվային առանցքի մնացած մասում:

Ապա ս. Վ. /(i) ունի ցանկացած կարգի պահեր և չի բավարարում Կրամերի պայմանը, ip(x) = o(x) որպես x -> oo, և վավեր է հետևյալ թեորեմ 6. Թող ip(x) ֆունկցիան միապաղաղորեն չնվազող լինի: բավականաչափ մեծ x-ի դեպքում ^p ֆունկցիան միապաղաղ չի աճում, n, N --> oo այնպես, որ jf - A, 0 b(z\), որտեղ b(z) = M/(1(2)), այնտեղ սահման է l(n,lg)) > cN] = "(c ~ b(zx))l b""ї

Բ թեորեմից հետևում է, որ եթե Կրամերի պայմանը չի բավարարվում, սահմանը (^ lim ~\nP(L N (h(n,N)) > cN) = 0, "" Dv.

L/-too iV և որն ապացուցում է /39/-ում արտահայտված վարկածի հիմնավորվածությունը։ Այսպիսով, համաձայնության չափանիշի ինդեքսի արժեքը տեղաբաշխման ընդհանրացված սխեմաներում -^ երբ Cramer պայմանը չի բավարարվում, միշտ հավասար է զրոյի։ Այս դեպքում չափանիշների դասում, երբ Քրամերի պայմանը բավարարված է, կառուցվում են ոչ զրոյական ինդեքսային արժեք ունեցող չափանիշներ։ Այստեղից մենք կարող ենք եզրակացնել, որ օգտագործելով այն չափանիշները, որոնց վիճակագրությունը չի բավարարում Կրամերի պայմանը, օրինակ, chi-square թեստը բազմանդամ սխեմայի մեջ, կառուցել համապատասխանության թեստեր՝ նշված իմաստով չհամընկնող այլընտրանքների համար վարկածների փորձարկման համար: ասիմպտոտիկ անարդյունավետ է: Նմանատիպ եզրակացություն է արվել /54/-ում` հիմնվելով բազմանդամ սխեմայում chi-square-ի և առավելագույն հավանականության հարաբերակցության վիճակագրության համեմատության արդյունքների վրա:

Երրորդ գլուխը լուծում է հարմարության չափանիշների կառուցման խնդիրը չափանիշի ինդեքսի ամենամեծ արժեքով (չափանիշի ստորաբաժանման ամենամեծ արժեքը)՝ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում վարկածները ստուգելու համար: Էնտրոպիայի ֆունկցիաների հատկությունների, տեղեկատվական հեռավորության և մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ առաջին և երկրորդ գլուխների արդյունքների հիման վրա երրորդ գլխում հայտնաբերվել է (0.4) ձևի ֆունկցիան, որով կառուցվել է համապատասխանության չափանիշը. դրա հիման վրա ունի ստույգ ստորաբաժանման ամենամեծ արժեքը դիտարկվող չափանիշների դասում: Ապացուցված է հետևյալ թեորեմը. Թեորեմ 7. Ինդեքսի առկայության մասին. Թող 3-րդ թեորեմի պայմանները բավարարվեն, 0 ,... - այլընտրանքային բաշխումների հաջորդականություն, 0^(/3, iV) - առավելագույն թիվը, որի համար, Н Р վարկածի ներքո ( ահա, անհավասարությունը.

P(φ(^^,...)>a φ (P,M))>(3, կա սահման limjv-»oo o>φ(P, N) - ա Այնուհետև (/3) կետում. , N) կա չափանիշի ցուցանիշ զ

Zff,K) = 3((φ(x) >a,xe ZD.P^)).

Այս դեպքում zf(0,th)N NP(e(2 7) = fc)"

Եզրակացությունը սահմանում է ստացված արդյունքները ատենախոսության մեջ դրված ընդհանուր նպատակի և կոնկրետ առաջադրանքների հետ կապված, եզրակացություններ է ձևակերպում ատենախոսական հետազոտության արդյունքների հիման վրա, ցույց է տալիս աշխատանքի գիտական ​​նորությունը, տեսական և գործնական արժեքը, ինչպես նաև կոնկրետ. հեղինակի կողմից բացահայտված գիտական ​​առաջադրանքներ և որոնց լուծումը տեղին է թվում:

Հետազոտության թեմայի վերաբերյալ գրականության համառոտ ակնարկ:

Թեզը քննում է համաձայնության չափորոշիչների կառուցման խնդիրը չհամընկնող այլընտրանքներով (0.4) ձևի ֆունկցիաների դասի չափանիշի ինդեքսի ամենաբարձր արժեք ունեցող տեղաբաշխման ընդհանրացված սխեմաներում:

Ընդհանրացված դասավորության սխեմաները ներկայացվել են Վ.Ֆ.Կոլչինի կողմից /24/-ում: Բազմանդամային սխեմայի fi r մեծությունները կոչվել են r գնդիկներով բջիջների քանակ և մանրամասն ուսումնասիրվել են Վ.Ֆ.Կոլչինի, Բ.Ա.Սևաստյանովի, Վ.Պ.Չիստյակովի /27/ մենագրության մեջ։ \i r-ի արժեքները ընդհանրացված դասավորություններում ուսումնասիրվել են Վ.Ֆ. Կոլչինի կողմից /25/, /26/-ում: (0.3) ձևի վիճակագրությունը առաջին անգամ դիտարկվել է Յու.Ի.Մեդվեդևի կողմից /30/ և կոչվել է բաժանելի (հավելյալ բաժանելի) վիճակագրություն։ Եթե ​​/„-ում (0.3) ֆունկցիաները կախված չեն u-ից, ապա այդպիսի վիճակագրությունը կանչվել է /31/ սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրությունում: Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում բաժանելի վիճակագրության պահերի ասիմպտոտիկ վարքագիծը ստացվել է Գ. Ի. Իվչենկոյի կողմից /9/-ում: Ընդհանրացված դասավորության սխեմայի սահմանային թեորեմները նույնպես դիտարկվել են /23/-ում: Սահմանային թեորեմների և համաձայնության չափանիշների արդյունքների ակնարկները տիպի (0.2) դիսկրետ հավանականական սխեմաներում տրվել են Վ. Ա. Իվանովի, Գ. Ի. Իվչենկոյի, Յու. Ի. Մեդվեդևի կողմից /8/ և Գ. Ի. /14/. Ընդհանրացված դասավորությունների համաձայնագրի չափանիշները դիտարկվել են A.F. Ronzhin-ի կողմից /38/-ում:

Այս աշխատանքներում վիճակագրական չափանիշների հատկությունների համեմատությունն իրականացվել է հարաբերական ասիմպտոտիկ արդյունավետության տեսանկյունից: Դիտարկվել է համընկնող (հարակից) վարկածների դեպքը` արդյունավետություն Պիտմանի իմաստով և ոչ համընկնող վարկածներ` արդյունավետություն` Բահադուր, Հոջես` Լեհման և Չեռնով: Միացում միջեւ տարբեր տեսակներվիճակագրական թեստերի հարաբերական արդյունավետությունը քննարկվում է, օրինակ, /49/-ում: Ինչպես հետևում է Յու.Ի.Մեդվեդևի /31/-ի արդյունքներից՝ բազմանդամ սխեմայով բաժանելի վիճակագրության բաշխման վերաբերյալ, «chi-square» վիճակագրության վրա հիմնված չափանիշն ունի ամենամեծ ասիմպտոտիկ ուժը կոնվերգենտ հիպոթեզների դեպքում՝ բաժանելի վիճակագրության դասում: արդյունքների հաճախականությունը բազմանդամ սխեմայի մեջ: Այս արդյունքը ընդհանրացվել է A.F. Ronzhin-ի կողմից (0.2) տիպի սխեմաների համար /38/-ում: Ի.Ի.Վիկտորովան և Վ.Պ.Չիստյակովը /4/-ում կառուցեցին բազմանդամ սխեմայի օպտիմալ չափանիշ fi r-ի գծային ֆունկցիաների դասում։ A.F. Ronzhin-ը /38/-ում կառուցեց չափանիշ, որը, հաշվի առնելով այլընտրանքների հաջորդականությունը, որոնք մոտ չեն զրո վարկածին, նվազագույնի է հասցնում լոգարիթմական արագությունը, որի դեպքում առաջին տեսակի սխալի հավանականությունը զրոյի է ձգտում, վիճակագրության դասում: ձևը (0.6): Հի-քառակուսի և առավելագույն հավանականության հարաբերակցության վիճակագրության հարաբերական կատարողականի համեմատությունը մոտեցող և չմոտավորվող վարկածներով իրականացվել է /54/: Թեզը դիտարկել է ոչ համընկնող վարկածների դեպքը։ Չհամընկնող վարկածներով չափորոշիչների հարաբերական վիճակագրական արդյունավետության ուսումնասիրությունը պահանջում է ուսումնասիրել չափազանց մեծ շեղումների հավանականությունը՝ 0(u/n) կարգի: Առաջին անգամ ֆիքսված թվով արդյունքներով բազմանդամ բաշխման նման խնդիր լուծվեց Ի. Ն. Սանովի կողմից /40/-ում: Հարմարեցվածության թեստերի ասիմպտոտիկ օպտիմալությունը բազմանդամ բաշխման համար պարզ և բարդ վարկածների փորձարկման համար վերջավոր թվով արդյունքների դեպքում ոչ համընկնող այլընտրանքներով դիտարկվել է /48/-ում: Տեղեկատվական հեռավորության հատկությունները նախկինում դիտարկվել են Kullback, Leibler /29/,/53/ և I. II-ի կողմից: Սանով /40/, ինչպես նաև Հոֆդինգ /48/: Այս աշխատություններում տեղեկատվական հեռավորության շարունակականությունը դիտարկվել է էվկլիդեսյան մետրիկայի վերջավոր չափերի տարածությունների վրա։ Մի շարք հեղինակներ դիտարկել են աճող հարթություններով տարածությունների հաջորդականություն, օրինակ՝ Յու.Վ.Պրոխորովի /37/ կամ Վ.Ի.Բոգաչևի, Ա.Վ.Կոլեսնիկովի /1/ աշխատության մեջ: Կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) թեորեմները բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում Կրամերի պայմանով ստացվել են A.F. Roizhin-ի կողմից /38/: Ա. Ն. Տիմաշևը /42/,/43/-ում ստացել է ճշգրիտ (մինչև համարժեքություն) բազմաչափ ինտեգրալ և տեղային սահմանային թեորեմներ fir^n, N,..., fi rs (n,N) վեկտորի մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ: , որտեղ s, gi,..., r s-ն ֆիքսված ամբողջ թվեր են,

Առանց վերադարձի ընտրության սխեմայում հիպոթեզների փորձարկման վիճակագրական խնդիրները դիտարկվել են G.I.Ivchenko, V.V.Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, որտեղ գնահատման խնդիրները լուծվել են վերջավոր բնակչության համար, երբ Դրա տարրերի թիվը անհայտ մեծություն է, ապացուցվել է բազմաչափ S-ի ասիմպտոտիկ նորմալությունը սելեկցիոն սխեմայով անկախ նմուշներից առանց հետադարձման: Անկախ փորձարկումների հաջորդականությամբ կրկնությունների հետ կապված պատահական փոփոխականների ուսումնասիրության խնդիրն ուսումնասիրել են Ա.Մ.Զուբկովը, Վ.Գ.Միխայլովը, Ա.Մ.Շոյտովը /6/, /7/, /32/, /33/, / 34/: շրջանակներում հիպոթեզների գնահատման և փորձարկման հիմնական վիճակագրական խնդիրների վերլուծություն ընդհանուր մոդելՄարկովա-Պոլյան իրականացրել են Գ.Ի.Իվչենկոն, Յու.Ի.Մեդվեդևը /13/, որի հավանականական վերլուծությունը տրվել է /11/-ում: Մի շարք կոմբինատոր օբյեկտների վրա հավանականության ոչ միատեսակ չափումներ սահմանելու մեթոդ, որը չի կրճատվում տեղաբաշխման ընդհանրացված սխեմայով (0.2), նկարագրված է Գ. Ի. Իվչենկո, Յու. Ի. Մեդվեդև /12/: Հավանականությունների տեսության մի շարք խնդիրներ, որոնց պատասխանը կարելի է ստանալ կրկնվող բանաձևերի օգտագործմամբ հաշվարկների արդյունքում, նշված են Ա.Մ.Զուբկովի կողմից /5/-ում:

Դիսկրետ բաշխումների էնտրոպիայի անհավասարությունները ստացվել են /50/-ում (մեջբերված է Ա. Մ. Զուբկովի ռեֆերատից RZhMat-ում): Եթե ​​(p n)Lo-ը հավանականության բաշխում է,

Рп = Е Рк, к=п A = supp^Pn+i

I + (In -f-) (X Rn - R n+1)

Рп= (x f 1)n+v n>Q. (0.15)

Նկատի ունեցեք, որ էքստրեմալ բաշխումը (0.15) երկրաչափական բաշխում է՝ A մաթեմատիկական ակնկալիքով, և (0.14) պարամետրի F(X) ֆունկցիան համընկնում է 1-ին թեորեմի մաթեմատիկական ակնկալիքի ֆունկցիայի հետ։

Սահմանափակ մաթեմատիկական ակնկալիքով դիսկրետ բաշխումների էնտրոպիա

Եթե ​​չափանիշի ինդեքսը գոյություն ունի, ապա չափանիշի ինդեքսը համընկնում է դրա հետ: Չափանիշի ստորին ցուցանիշը միշտ էլ կա։ Որքան մեծ է չափանիշի ինդեքսի արժեքը (չափանիշի ենթակետը), այնքան լավ է վիճակագրական չափանիշն այս առումով։ /38/-ում լուծվել է Ho(n,N) վարկածը մերժող չափանիշների դասի չափանիշների ամենաբարձր արժեք ունեցող ընդհանրացված դասավորությունների համար համաձայնության չափանիշների կառուցման խնդիրը, որտեղ m 0-ը որոշակի ֆիքսված թիվ է, հաջորդականությունը: հաստատուն միավորներն ընտրվում են այլընտրանքների հաջորդականության չափանիշի տրված արժեքային հզորության հիման վրա, ft - m + 1 արգումենտների իրական ֆունկցիա:

Չափանիշի ցուցանիշները որոշվում են մեծ շեղումների հավանականությամբ։ Ինչպես ցույց է տրվել /38/-ում, բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկան, երբ պատահական փոփոխականի համար Cramer պայմանը բավարարված է /() որոշվում է համապատասխան Kull-Bak-Leibler-ով: Sanov տեղեկատվական հեռավորությունը (պատահական q փոփոխականը բավարարում է Cramer պայմանը, եթե որոշ # 0-ի համար Mef7? մոմենտների գեներացնող ֆունկցիան վերջավոր է \t\ H /28/ միջակայքում):

Անսահմանափակ թվով եղևնիներից վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականության հարցը, ինչպես նաև կամայական բաժանելի վիճակագրությունը, որը չի բավարարում Կրամերի պայմանը, մնաց բաց։ Սա թույլ չտվեց վերջնականապես լուծել վարկածների փորձարկման չափանիշների կառուցման խնդիրը I տիպի սխալի հավանականության զրոյին ձգտելու ամենաբարձր մակարդակով, որը հիմնված է վիճակագրության վրա հիմնված չափանիշների դասի այլընտրանքների հետ: ձևը (0.4): Ատենախոսական հետազոտության արդիականությունը որոշվում է նշված խնդրի լուծումն ավարտելու անհրաժեշտությամբ:

Ատենախոսական աշխատանքի նպատակն է կառուցել համաձայնության չափանիշներ՝ չափանիշի ինդեքսի (չափանիշի ենթակետի) ամենամեծ արժեքով` առանց վերադարձի ընտրության սխեմայում հիպոթեզները ստուգելու համար այն չափանիշների դասում, որոնք մերժում են U(n, N) վարկածը: որտեղ φ-ը արգումենտների հաշվելի թվի ֆունկցիա է, և n, N պարամետրերը փոխվում են կենտրոնական շրջանում: Հետազոտության նպատակին համապատասխան դրվել են հետևյալ խնդիրները. - ուսումնասիրել Կուլ-Բակ - Լեյբլեր - Սանով էնտրոպիայի հատկությունները և տեղեկատվական հեռավորությունը՝ հաշվելի թվով արդյունքներով դիսկրետ բաշխումների համար. - ուսումնասիրել ձևի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունը (0.4); - ուսումնասիրել սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության (0.3) մեծ շեղումների հավանականությունները, որոնք չեն բավարարում Կրամերի պայմանը. - գտնել այնպիսի վիճակագրություն, որ համաձայնության չափանիշը, որը կառուցված է դրա հիման վրա՝ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում վարկածների փորձարկման համար, ունի ամենաբարձր ինդեքսային արժեքը ձևի չափանիշների դասում (0.7): Գիտական ​​նորույթ. - տրված է ընդհանրացված չափման հայեցակարգը - ֆունկցիա, որն ընդունում է անսահման արժեքներ և բավարարում նույնականության, համաչափության և եռանկյունի անհավասարության աքսիոմները: Գտնվում է ընդհանրացված մետրիկ, և նշվում են բազմություններ, որոնց վրա էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիաները, որոնք սահմանված են հաշվելի թվով արդյունքներով դիսկրետ բաշխումների ընտանիքի վրա, շարունակական են այս չափման մեջ. - տեղաբաշխման ընդհանրացված սխեմայում հայտնաբերվել է կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա (0.4) ձևի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականության համար, որը բավարարում է Կրամերի պայմանի համապատասխան ձևը. - տեղաբաշխման ընդհանրացված սխեմայում հայտնաբերվել է կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների համար, որոնք չեն բավարարում Կրամերի պայմանը. - ձևի չափորոշիչների դասում (0.7) կառուցվում է չափանիշի ինդեքսի ամենաբարձր արժեք ունեցող չափանիշ: Գիտական ​​և գործնական արժեք. Աշխատանքը լուծում է մի շարք հարցեր՝ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում մեծ շեղումների հավանականությունների վարքագծի վերաբերյալ։ Ստացված արդյունքները կարող են օգտագործվել ուսումնական գործընթացում մաթեմատիկական վիճակագրության և տեղեկատվության տեսության մասնագիտություններում, դիսկրետ հաջորդականությունների վերլուծության վիճակագրական ընթացակարգերի ուսումնասիրության մեջ և օգտագործվել /3/, /21/-ում՝ հիմնավորելու մեկի անվտանգությունը: տեղեկատվական համակարգերի դաս. Պաշտպանության համար ներկայացված դրույթներ. - գնդիկների գույների մեկ հաջորդականությունից վարկածի փորձարկման խնդրի նվազեցում այն ​​փաստից, որ այս հաջորդականությունը ստացվել է ընտրության արդյունքում՝ առանց վերադարձի, մինչև երկու գնդակ պարունակող կարասից գնդակների սպառումը: գույները, և յուրաքանչյուր նման ընտրություն ունի նույն հավանականությունը, որ չափորոշիչների համաձայնություն ստեղծվի՝ վարկածները համապատասխան ընդհանրացված դասավորությամբ փորձարկելու համար. - էնտրոպիայի և Կուլբեք-Լեյբլեր-Սանով տեղեկատվական հեռավորության գործառույթների շարունակականությունը անվերջ ծավալային սիմպլեքսի վրա՝ ներդրված լոգարիթմական ընդհանրացված մետրիկով. - սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքության) ասիմպտոտիկայի թեորեմ, որը չի բավարարում Կրամերի պայմանը կիսաէքսպոնենցիալ դեպքում ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում.

Kullback - Leibler - Sanov տեղեկատվական հեռավորության շարունակականությունը

Ընդհանրացված դասավորության սխեմաները ներկայացվել են Վ.Ֆ.Կոլչինի կողմից /24/-ում: Բազմանդամ սխեմայի եղևնիների քանակները կոչվել են r գնդիկներով բջիջների քանակ և մանրամասն ուսումնասիրվել են Վ.Ֆ.Կոլչինի, Բ.Ա.Սևաստյանովի, Վ.Պ.Չիստյակովի /27/ մենագրության մեջ։ \іr-ի արժեքները ընդհանրացված դասավորություններում ուսումնասիրվել են Վ.Ֆ. Կոլչինի կողմից /25/,/26/-ում: (0.3) ձևի վիճակագրությունը առաջին անգամ դիտարկվել է Յու.Ի.Մեդվեդևի կողմից /30/ և կոչվել է բաժանելի (հավելյալ բաժանելի) վիճակագրություն։ Եթե ​​/„-ում (0.3) ֆունկցիաները կախված չեն u-ից, ապա այդպիսի վիճակագրությունը կանչվել է /31/ սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրությունում: Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում բաժանելի վիճակագրության պահերի ասիմպտոտիկ վարքագիծը ստացվել է Գ. Ի. Իվչենկոյի կողմից /9/-ում: Ընդհանրացված դասավորության սխեմայի սահմանային թեորեմները նույնպես դիտարկվել են /23/-ում: Սահմանային թեորեմների և համաձայնության չափանիշների արդյունքների ակնարկները տիպի (0.2) դիսկրետ հավանականական սխեմաներում տրվել են Վ. Ա. Իվանովի, Գ. Ի. Իվչենկոյի, Յու. Ի. Մեդվեդևի կողմից /8/ և Գ. Ի. /14/. Ընդհանրացված դասավորությունների համաձայնագրի չափանիշները դիտարկվել են A.F. Ronzhin-ի կողմից /38/-ում:

Այս աշխատանքներում վիճակագրական չափանիշների հատկությունների համեմատությունն իրականացվել է հարաբերական ասիմպտոտիկ արդյունավետության տեսանկյունից: Դիտարկվել է համընկնող (հարակից) վարկածների դեպքը` արդյունավետություն Պիտմանի իմաստով և ոչ համընկնող վարկածներ` արդյունավետություն` Բահադուր, Հոջես` Լեհման և Չեռնով: Հարաբերական կատարողականի վիճակագրական թեստերի տարբեր տեսակների միջև կապը քննարկվում է, օրինակ, /49/-ում: Ինչպես հետևում է Յու.Ի.Մեդվեդևի /31/-ի արդյունքներից՝ բազմանդամ սխեմայում բաժանելի վիճակագրության բաշխման վերաբերյալ, բազմանդամ սխեմայի արդյունքների հաճախականությունների վերաբերյալ բաժանելի վիճակագրության դասի կոնվերգենտ հիպոթեզների ներքո ամենամեծ ասիմպտոտիկ հզորությունը ունի Չափանիշ՝ հիմնված chi-square վիճակագրության վրա: Այս արդյունքը ընդհանրացվել է A.F. Ronzhin-ի կողմից (0.2) տիպի սխեմաների համար /38/-ում: Ի.Ի.Վիկտորովան և Վ.Պ.Չիստյակովը /4/-ում կառուցեցին եղևնիի գծային ֆունկցիաների դասի բազմանդամ սխեմայի օպտիմալ չափանիշ: A.F. Ronzhin-ը /38/-ում կառուցեց չափանիշ, որը, հաշվի առնելով այլընտրանքների հաջորդականությունը, որոնք մոտ չեն զրո վարկածին, նվազագույնի է հասցնում լոգարիթմական արագությունը, որի դեպքում առաջին տեսակի սխալի հավանականությունը զրոյի է ձգտում, վիճակագրության դասում: ձևը (0.6): Հի-քառակուսի և առավելագույն հավանականության հարաբերակցության վիճակագրության հարաբերական կատարողականի համեմատությունը մոտեցող և չմոտավորվող վարկածներով իրականացվել է /54/: Թեզը դիտարկել է ոչ համընկնող վարկածների դեպքը։ Չհամընկնող վարկածներով չափորոշիչների հարաբերական վիճակագրական արդյունավետության ուսումնասիրությունը պահանջում է ուսումնասիրել չափազանց մեծ շեղումների հավանականությունը՝ 0(u/n) կարգի: Առաջին անգամ ֆիքսված թվով արդյունքներով բազմանդամ բաշխման նման խնդիր լուծվեց Ի. Ն. Սանովի կողմից /40/-ում: Հարմարեցվածության թեստերի ասիմպտոտիկ օպտիմալությունը բազմանդամ բաշխման համար պարզ և բարդ վարկածների փորձարկման համար վերջավոր թվով արդյունքների դեպքում ոչ համընկնող այլընտրանքներով դիտարկվել է /48/-ում: Տեղեկատվական հեռավորության հատկությունները նախկինում դիտարկվել են Kullback, Leibler /29/,/53/ և I. II-ի կողմից: Սանով /40/, ինչպես նաև Հոֆդինգ /48/: Այս աշխատություններում տեղեկատվական հեռավորության շարունակականությունը դիտարկվել է էվկլիդեսյան մետրիկայի վերջավոր չափերի տարածությունների վրա։ Մի շարք հեղինակներ դիտարկել են աճող հարթություններով տարածությունների հաջորդականություն, օրինակ՝ Յու.Վ.Պրոխորովի /37/ կամ Վ.Ի.Բոգաչևի, Ա.Վ.Կոլեսնիկովի /1/ աշխատության մեջ: Կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) թեորեմները բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում Քրամերի պայմանով ստացվել են Ա. Ֆ.Ռոյժինը /38/. Ա. Ն. Տիմաշևը /42/,/43/-ում ստացել է ճշգրիտ (մինչև համարժեք) բազմաչափ ինտեգրալ և տեղային սահմանային թեորեմներ վեկտորի մեծ շեղումների հավանականությունների վերաբերյալ:

Մեծ շեղումների հավանականությունների ուսումնասիրությունը, երբ Cramer պայմանը չի բավարարվում անկախ պատահական փոփոխականների դեպքում, իրականացվել է A. V. Nagaev /35/ աշխատություններում: Կոնյուգացիոն բաշխումների մեթոդը նկարագրված է Ֆելլերի կողմից /45/:

Առանց վերադարձի ընտրության սխեմայում հիպոթեզների փորձարկման վիճակագրական խնդիրները դիտարկվել են G.I.Ivchenko, V.V.Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, որտեղ գնահատման խնդիրները լուծվել են վերջավոր բնակչության համար, երբ Դրա տարրերի թիվը անհայտ մեծություն է, ապացուցվել է բազմաչափ S-ի ասիմպտոտիկ նորմալությունը սելեկցիոն սխեմայով անկախ նմուշներից առանց հետադարձման: Անկախ փորձարկումների հաջորդականությամբ կրկնությունների հետ կապված պատահական փոփոխականների ուսումնասիրության խնդիրն ուսումնասիրել են Ա.Մ.Զուբկովը, Վ.Գ.Միխայլովը, Ա.Մ.Շոյտովը /6/, /7/, /32/, /33/, /34/: Ընդհանուր Մարկով-Պոլյա մոդելի շրջանակներում հիպոթեզների գնահատման և փորձարկման հիմնական վիճակագրական խնդիրների վերլուծությունն իրականացվել է Գ. Իվչենկոյի, Յու. Ի. Մեդվեդևի կողմից /13/, որի հավանականական վերլուծությունը տրվել է /11 թ. /. Մի շարք կոմբինատոր օբյեկտների վրա հավանականության ոչ միատեսակ չափումներ սահմանելու մեթոդ, որը չի կրճատվում տեղաբաշխման ընդհանրացված սխեմայով (0.2), նկարագրված է Գ. Ի. Իվչենկո, Յու. Ի. Մեդվեդև /12/: Հավանականությունների տեսության մի շարք խնդիրներ, որոնց պատասխանը կարելի է ստանալ կրկնվող բանաձևերի օգտագործմամբ հաշվարկների արդյունքում, նշված են Ա.Մ.Զուբկովի կողմից /5/-ում:

Տեղեկատվական հեռավորությունը և բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղման հավանականությունները

Երբ Քրամերի պայմանը բավարարված չէ, բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումները դիտարկվող յոթ էքսպոնենցիալ դեպքում տեղաբաշխման ընդհանրացված սխեմայում որոշվում են մեկ անկախ տերմինի շեղման հավանականությամբ: Երբ Քրամերի վիճակը բավարարվում է, դա, ինչպես ընդգծված է /39/-ում, այդպես չէ։ Դիտողություն 10. φ(x) ֆունկցիան այնպիսին է, որ Նրա АН) մաթեմատիկական ակնկալիքը վերջավոր է 0 t 1-ի համար և անվերջ՝ t 1-ի համար: Դիտողություն 11. Բաժանելի վիճակագրության համար, որը չի բավարարում Կրամերի պայմանը, սահմանը (2.14) հավասար է 0-ի, որն ապացուցում է /39/-ով արտահայտված վարկածի վավերականությունը: Դիտողություն 12. Չի քառակուսի վիճակագրության համար բազմանդամ սխեմայում n, ./V - co-ի համար, որպեսզի - A, թեորեմից անմիջապես բխում է, որ այս արդյունքը ստացվել է ուղղակիորեն /54/-ում: Այս գլխում, բջիջներում մասնիկների տեղաբաշխման ընդհանրացված սխեմաների պարամետրերի փոփոխությունների կենտրոնական տարածաշրջանում, կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա հավելյալ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականության բջիջների քանակից և ֆունկցիաների քանակից: հայտնաբերվել են տվյալ լցոնմամբ բջիջներ.

Եթե ​​Կրամերի պայմանը բավարարված է, ապա մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ ասիմպտոտիկան որոշվում է ռացիոնալ կոորդինատներով կետերի հաջորդականության մեջ մտնելու հավանականության կոպիտ ասիմպտոտիկայով, որը վերը նշված իմաստով զուգակցվում է այն կետին, որտեղ ծայրամասային է. ձեռք է բերվել համապատասխան տեղեկատվական հեռավորություն:

Դիտարկվել է f(i),..., f(n) պատահական փոփոխականների համար Կրամերի պայմանի չկատարման յոթ էքսպոնենցիալ դեպքը, որտեղ b, kr-ն անկախ պատահական փոփոխականներ են, որոնք առաջացնում են ընդհանրացված տարրալուծման սխեման (0.2), f. ժա) ֆունկցիան է (0.3) սիմետրիկ հավելումներով բաժանելի վիճակագրության սահմանման մեջ: Այսինքն, ենթադրվում էր, որ p(k) = - lnP(i = k) և f(k) ֆունկցիաները կարող են տարածվել p 0 և q 0 կարգի շարունակական արգումենտի կանոնավոր փոփոխվող ֆունկցիաների վրա, և p. ք. Պարզվեց, որ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ ասիմպտոտիկայի հիմնական ներդրումը նմանապես կատարում է կետերի համապատասխան հաջորդականությամբ իոնացման հավանականության կոպիտ ասիմպտոտիկները: Հետաքրքիր է նշել, որ նախկինում բաժանելի վիճակագրության համար մեծ շեղումների հավանականությունների թեորեմն ապացուցվել է թամբի կետային մեթոդի միջոցով, ընդ որում ասիմպտոտիկայի հիմնական ներդրումը կատարվել է մեկ թամբի կետով: Այն դեպքը, երբ Կրամերի պայմանը չի բավարարվում, 2-kN պայմանը չի բավարարվում, մնում է չուսումնասիրված:

Եթե ​​Կրամերի պայմանը բավարարված չէ, ապա նշված պայմանը կարող է չբավարարվել միայն p 1-ի դեպքում: Ինչպես ուղղակիորեն հետևում է համապատասխան հավանականությունների լոգարիթմից, Պուասոնի բաշխման և երկրաչափական բաշխման համար p=1: Մեծ շեղումների հավանականությունների ասիմպտոտիկայի արդյունքից, երբ Կրամերի պայմանը չի բավարարվում, կարող ենք եզրակացնել, որ այն չափանիշները, որոնց վիճակագրությունը չի բավարարում Կրամերի պայմանը, ունեն զգալիորեն ավելի ցածր հակում դեպի զրոյի սխալների հավանականությունը։ երկրորդ տեսակ՝ առաջին տեսակի սխալի ֆիքսված հավանականությամբ և ոչ համընկնող այլընտրանքների համեմատ այն չափանիշների հետ, որոնց վիճակագրությունը բավարարում է Կրամերի պայմանը։ Թող ընտրություն կատարվի N - 1 1 սպիտակ ip-JV 1 սև գնդակներ պարունակող urn-ից՝ առանց վերադառնալու մինչև լրիվ սպառվելը: Սպիտակ գնդիկների տեղերը 1 i\ ... r -i n - 1 ընտրության մեջ կապում ենք հարևան սպիտակ գնդիկների միջև հեռավորությունների հաջորդականությամբ hi,..., h հետևյալ կերպ. Ապա hv l,v =1,.. ,N,M EjLi i/ - n- Սահմանենք հավանականության բաշխում h = (hi,...,Lg) վեկտորների բազմության վրա՝ սահմանելով V(hv = rv,v = l,...,N): ) որտեղ i,...,lg - անկախ ոչ բացասական ամբողջ թվով պատահական փոփոխականներ (r.v.), այսինքն՝ դիտարկենք ընդհանրացված բաշխման սխեման (0.2): h վեկտորի բաշխումը կախված է n,N-ից, սակայն համապատասխան ինդեքսները կբացառվեն, որտեղ հնարավոր է պարզեցնել նշումը: Դիտողություն 14. Եթե urn-ից գնդակներ ընտրելու (]) եղանակներից յուրաքանչյուրին վերագրվում է նույն հավանականությունը ( \) mn ցանկացած r i,..., rg-ի համար այնպես, որ r„ 1,u = l,...,N , T,v=\ru = n, հավանականությունը, որ ընտրության մեջ հարակից սպիտակ գնդերի միջև եղած հեռավորությունները կվերցնեն այս արժեքները

Ընդհանուր դասավորություններում բջիջների քանակի վրա հիմնված չափանիշներ

Ատենախոսական աշխատանքի նպատակն էր կառուցել պիտանիության չափորոշիչներ՝ հիպոթեզների ստուգման համար ընտրության սխեմայում՝ առանց 2 գույնի գնդիկներ պարունակող urn-ից վերադառնալու: Հեղինակը որոշել է ուսումնասիրել վիճակագրությունը՝ հիմնվելով նույն գույնի գնդակների միջև տարածությունների հաճախականությունների վրա։ Այս ձևակերպման մեջ խնդիրը կրճատվել է համապատասխան ընդհանրացված դասավորությամբ հիպոթեզների փորձարկման առաջադրանքով:

Ատենախոսական աշխատանքը ներառում էր՝ էնտրոպիայի հատկությունները և դիսկրետ բաշխումների տեղեկատվական հեռավորությունը՝ անսահմանափակ թվով արդյունքներով՝ սահմանափակ մաթեմատիկական ակնկալիքով; - ստացվել է ընդհանուր տեղաբաշխման սխեմայում վիճակագրության լայն դասի մեծ շեղումների հավանականությունների կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա. - ստացված արդյունքների հիման վրա կառուցվել է առաջին տեսակի սխալի հավանականության զրոյին ձգվող ամենաբարձր լոգարիթմական արագությամբ չափորոշիչ ֆունկցիա՝ երկրորդ տեսակի սխալի ֆիքսված հավանականությամբ և ոչ կոնվերգացիոն այլընտրանքներով. - Ապացուցված է, որ այն վիճակագրությունը, որը չի բավարարում Կրամերի պայմանը, ունի ավելի ցածր կոնվերգենցիայի արագություն մեծ շեղումների հավանականությունների զրոյին համեմատած վիճակագրության հետ, որը բավարարում է այս պայմանը: Աշխատության գիտական ​​նորույթը հետեւյալն է. - տրված է ընդհանրացված չափման հայեցակարգը - ֆունկցիա, որն ընդունում է անսահման արժեքներ և բավարարում նույնականության, համաչափության և եռանկյունի անհավասարության աքսիոմները: Գտնվում է ընդհանրացված մետրիկ, և նշվում են բազմություններ, որոնց վրա էնտրոպիայի և տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիաները, որոնք սահմանված են հաշվելի թվով արդյունքներով դիսկրետ բաշխումների ընտանիքի վրա, շարունակական են այս չափման մեջ. - տեղաբաշխման ընդհանրացված սխեմայում հայտնաբերվել է կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա (0.4) ձևի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականության համար, որը բավարարում է Կրամերի պայմանի համապատասխան ձևը. - տեղաբաշխման ընդհանրացված սխեմայում հայտնաբերվել է կոպիտ (մինչև լոգարիթմական համարժեքություն) ասիմպտոտիկա սիմետրիկ բաժանելի վիճակագրության մեծ շեղումների հավանականությունների համար, որոնք չեն բավարարում Կրամերի պայմանը. - ձևի չափորոշիչների դասում (0.7) կառուցվում է չափանիշի ինդեքսի ամենաբարձր արժեք ունեցող չափանիշ: Աշխատանքը լուծում է մի շարք հարցեր՝ ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմաներում մեծ շեղումների հավանականությունների վարքագծի վերաբերյալ։ Ստացված արդյունքները կարող են օգտագործվել ուսումնական գործընթացում մաթեմատիկական վիճակագրության և տեղեկատվության տեսության մասնագիտություններում, դիսկրետ հաջորդականությունների վերլուծության վիճակագրական ընթացակարգերի ուսումնասիրության մեջ և օգտագործվել /3/, /21/-ում՝ հիմնավորելու մեկի անվտանգությունը: տեղեկատվական համակարգերի դաս. Այնուամենայնիվ, մի շարք հարցեր բաց են մնում։ Հեղինակը սահմանափակվել է փոփոխության կենտրոնական գոտին դիտարկելով պարամետրեր n, N/V բջիջներում n մասնիկ տեղադրելու ընդհանրացված սխեմաներ: Եթե ​​ընդհանրացված դասավորվածության սխեման (0.2) առաջացնող պատահական փոփոխականների բաշխման կրողը r, r 4-1, r + 2,... ձևի բազմություն չէ, ապա տեղեկատվական հեռավորության ֆունկցիայի շարունակականությունն ապացուցելիս և Ուսումնասիրելով մեծ շեղումների հավանականությունը, անհրաժեշտ է հաշվի առնել նման կրիչի թվաբանական կառուցվածքը, որը հաշվի չի առնվել հեղինակի աշխատանքում: Առաջարկվող ֆունկցիայի հիման վրա կառուցված չափանիշների պրակտիկ կիրառման համար առավելագույն ինդեքսի արժեքով անհրաժեշտ է ուսումնասիրել դրա բաշխվածությունը և՛ զրոյական վարկածի, և՛ այլընտրանքների ներքո, այդ թվում՝ համընկնող: Հետաքրքիր է նաև մշակված մեթոդների փոխանցումը և ստացված արդյունքների ընդհանրացումը այլ հավանականական սխեմաների վրա, բացի ընդհանուր տեղաբաշխման սխեմաներից: Եթե ​​//1,/ 2,-.. 0 արդյունքի թվերի միջև հեռավորությունների հաճախականություններն են երկանդամ սխեմայով ելքերի հավանականություններով 1 -POj, ապա կարելի է ցույց տալ, որ այս դեպքում վերլուծությունից Ընդհանրացված տեղաբաշխման սխեմայում արժեքների համատեղ բաշխման բանաձևը, որն ապացուցված է /26/-ում, հետևում է, որ բաշխումը (3.3), ընդհանուր առմամբ, չի կարող ներկայացվել ընդհանուր դեպքում որպես արժեքների համատեղ բաշխում. cg ցանկացած ընդհանրացված սխեմայում՝ մասնիկները բջիջներում տեղադրելու համար: Այս բաշխումը /12/-ում ներկայացված կոմբինատոր օբյեկտների բազմության վրա բաշխումների հատուկ դեպք է: Թվում է, թե հրատապ խնդիր է ատենախոսական աշխատանքի արդյունքները տեղաբաշխման ընդհանրացված սխեմաների համար փոխանցել այս գործին, որը քննարկվել է /52/-ում:

Exact Tests-ը տրամադրում է երկու լրացուցիչ մեթոդ՝ վիճակագրության համար կարևորության մակարդակները հաշվարկելու համար, որոնք հասանելի են Crosstabs և Nonparametric Tests ընթացակարգերի միջոցով: Այս մեթոդները, ճշգրիտ և Մոնտե Կառլոյի մեթոդները, ապահովում են ճշգրիտ արդյունքներ ստանալու միջոց, երբ ձեր տվյալները չեն համապատասխանում ստանդարտ ասիմպտոտիկ մեթոդի օգտագործմամբ հուսալի արդյունքների համար անհրաժեշտ հիմքում ընկած ենթադրություններից որևէ մեկին: Հասանելի է միայն այն դեպքում, եթե դուք գնել եք ճշգրիտ թեստերի ընտրանքները:

Օրինակ.Փոքր տվյալների հավաքածուներից կամ նոսր կամ անհավասարակշիռ աղյուսակներից ստացված ասիմպտոտիկ արդյունքները կարող են ապակողմնորոշիչ լինել: Ճշգրիտ թեստերը թույլ են տալիս ստանալ ճշգրիտ նշանակության մակարդակ՝ առանց հենվելու ենթադրությունների վրա, որոնք կարող են չբավարարվել ձեր տվյալների կողմից: Օրինակ, փոքր քաղաքում 20 հրշեջների ընդունելության քննության արդյունքները ցույց են տալիս, որ բոլոր հինգ սպիտակամորթ դիմորդները ստացել են անցած արդյունք, մինչդեռ սև, ասիացի և իսպանախոս դիմորդների արդյունքները խառն են: Pearson chi-square-ը, որը ստուգում է զրոյական վարկածը, որ արդյունքները անկախ են ռասայից, արտադրում է ասիմպտոտիկ նշանակության մակարդակ՝ 0,07: Այս արդյունքը հանգեցնում է այն եզրակացության, որ քննության արդյունքները անկախ են քննվողի մրցավազքից: Այնուամենայնիվ, քանի որ տվյալները պարունակում են ընդամենը 20 դեպք, և բջիջները ակնկալում էին 5-ից պակաս հաճախականություն, այս արդյունքը վստահելի չէ: Pearson chi-square-ի ճշգրիտ նշանակությունը 0,04 է, ինչը հանգեցնում է հակառակ եզրակացության։ Ելնելով ստույգ նշանակությունից՝ դուք կարող եք եզրակացնել, որ քննության արդյունքները և քննվողի մրցավազքը փոխկապակցված են: Սա ցույց է տալիս ճշգրիտ արդյունքներ ստանալու կարևորությունը, երբ ասիմպտոտիկ մեթոդի ենթադրությունները չեն կարող բավարարվել: Ճշգրիտ նշանակությունը միշտ հուսալի է՝ անկախ տվյալների չափից, բաշխվածությունից, նոսրությունից կամ հավասարակշռությունից:

Վիճակագրություն.Ասիմպտոտիկ նշանակություն. Մոնտե Կառլոյի մոտարկում վստահության մակարդակով կամ ճշգրիտ նշանակությամբ:

• Ասիմպտոտիկ. Թեստային վիճակագրության ասիմպտոտիկ բաշխման վրա հիմնված նշանակալիության մակարդակը: Որպես կանոն, 0,05-ից պակաս արժեքը համարվում է նշանակալի: Ասիմպտոտիկ նշանակությունը հիմնված է այն ենթադրության վրա, որ տվյալների հավաքածուն մեծ է: Եթե ​​տվյալների հավաքածուն փոքր է կամ վատ է բաշխված, դա կարող է նշանակության լավ ցուցիչ չլինել:
• Մոնտե Կառլոյի գնահատում. Ճշգրիտ նշանակության մակարդակի անաչառ գնահատում, որը հաշվարկվում է աղյուսակների բազմակի նմուշառման միջոցով, որոնք ունեն նույն չափերը և տողերի ու սյունակների լուսանցքները, ինչ դիտարկված աղյուսակը: Մոնտե Կառլոյի մեթոդը թույլ է տալիս գնահատել ճշգրիտ նշանակությունը՝ առանց հենվելու ասիմպտոտիկ մեթոդի համար պահանջվող ենթադրությունների վրա: Այս մեթոդը առավել օգտակար է, երբ տվյալների հավաքածուն չափազանց մեծ է ճշգրիտ նշանակությունը հաշվարկելու համար, սակայն տվյալները չեն համապատասխանում ասիմպտոտիկ մեթոդի ենթադրություններին:
• Ճշգրիտ. Դիտարկվող արդյունքի կամ ավելի ծայրահեղ արդյունքի հավանականությունը հաշվարկվում է ճշգրիտ: 0,05-ից ցածր նշանակության մակարդակը համարվում է նշանակալի, ինչը ցույց է տալիս, որ սովորաբար որոշակի կապ կա տողի և սյունակի փոփոխականների միջև:

IN ժամանակակից պայմաններՏվյալների վերլուծության նկատմամբ հետաքրքրությունը մշտապես և ինտենսիվորեն աճում է բոլորովին այլ ոլորտներում՝ կենսաբանություն, լեզվաբանություն, տնտեսագիտություն և, իհարկե, ՏՏ: Այս վերլուծության հիմքը վիճակագրական մեթոդներն են, և յուրաքանչյուր իրեն հարգող տվյալների հանքարդյունաբերության մասնագետ պետք է հասկանա դրանք:

Ցավոք սրտի, իսկապես լավ գրականությունը, այն տեսակը, որը կարող է ապահովել և՛ մաթեմատիկորեն խիստ ապացույցներ, և՛ հստակ ինտուիտիվ բացատրություններ, այնքան էլ տարածված չէ: Եվ այս դասախոսությունները, իմ կարծիքով, անսովոր լավ են մաթեմատիկոսների համար, ովքեր հասկանում են հավանականությունների տեսությունը հենց այս պատճառով: Նրանք դասավանդվում են գերմանական Քրիստիան-Ալբրեխտի համալսարանի մագիստրոսներին Մաթեմատիկա և Ֆինանսական մաթեմատիկա ծրագրերով: Իսկ նրանց համար, ովքեր հետաքրքրված են, թե ինչպես է այս առարկան դասավանդվում արտերկրում, ես թարգմանեցի այս դասախոսությունները։ Ինձնից մի քանի ամիս պահանջվեց թարգմանելու համար, ես նոսրացրեցի դասախոսությունները նկարազարդումներով, վարժություններով և որոշ թեորեմների ծանոթագրություններով։ Նշում եմ, որ ես պրոֆեսիոնալ թարգմանիչ չեմ, այլ պարզապես ալտրուիստ և սիրողական եմ այս ոլորտում, ուստի ցանկացած քննադատություն, եթե այն կառուցողական լինի, կընդունեմ։

Մի խոսքով, դասախոսությունները սա են.

Պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիք

Այս գլուխը ուղղակիորեն չի վերաբերում վիճակագրությանը, այնուամենայնիվ, այն իդեալական է այն ուսումնասիրել սկսելու համար: Պայմանական ակնկալիքը լավագույն ընտրությունն է՝ արդեն հասանելի տեղեկատվության հիման վրա պատահական արդյունքի կանխատեսման համար: Եվ սա նաև պատահական փոփոխական է: Այստեղ մենք դիտարկում ենք նրա տարբեր հատկությունները, ինչպիսիք են գծայինությունը, միապաղաղությունը, միատոն կոնվերգենցիան և այլն:

Կետերի գնահատման հիմունքներ

Ինչպե՞ս գնահատել բաշխման պարամետրը: Ի՞նչ չափանիշ պետք է ընտրեմ դրա համար: Ինչ մեթոդներ պետք է օգտագործեմ: Այս գլուխը օգնում է պատասխանել այս բոլոր հարցերին: Այստեղ մենք ներկայացնում ենք անաչառ գնահատիչ և միատեսակ անկողմնակալ նվազագույն շեղումների գնահատիչ հասկացությունները: Բացատրում է, թե որտեղից են գալիս chi-square-ը և t-բաշխումները և ինչու են դրանք կարևոր նորմալ բաշխման պարամետրերը գնահատելու համար: Բացատրում է, թե որն է Ռաո-Կրամերի անհավասարությունը և Ֆիշերի տեղեկատվությունը: Ներկայացված է նաև էքսպոնենցիալ ընտանիքի հայեցակարգը, որը մեծապես նպաստում է լավ գնահատական ​​ստանալուն:

Բայեսյան և մինիմաքս պարամետրերի գնահատում

Այստեղ նկարագրված է գնահատման այլ փիլիսոփայական մոտեցում: Այս դեպքում պարամետրը համարվում է անհայտ, քանի որ այն որոշակի պատահական փոփոխականի իրականացում է՝ հայտնի (a priori) բաշխմամբ։ Դիտարկելով փորձի արդյունքը՝ մենք հաշվարկում ենք պարամետրի այսպես կոչված հետին բաշխումը։ Ելնելով դրանից՝ մենք կարող ենք ձեռք բերել Բայեսյան գնահատիչ, որտեղ չափանիշը միջին հաշվով նվազագույն կորուստն է, կամ նվազագույնի առավելագույն գնահատիչը, որը նվազագույնի է հասցնում հնարավոր առավելագույն կորուստը։

Բավարարություն և ամբողջականություն

Այս գլուխը լուրջ գործնական նշանակություն ունի։ Բավարար վիճակագրությունը նմուշի այնպիսի ֆունկցիա է, որ պարամետրը գնահատելու համար բավական է պահպանել միայն այս ֆունկցիայի արդյունքը: Նման գործառույթները շատ են, և դրանց թվում են, այսպես կոչված, նվազագույն բավարար վիճակագրությունը։ Օրինակ, նորմալ բաշխման մեդիանը գնահատելու համար բավական է պահպանել միայն մեկ թիվ՝ միջին թվաբանականը ամբողջ նմուշի վրա: Արդյո՞ք սա աշխատում է նաև այլ բաշխումների համար, ինչպիսին է Cauchy բաշխումը: Ինչպե՞ս է բավարար վիճակագրությունն օգնում գնահատականներ ընտրելիս: Այստեղ դուք կարող եք գտնել այս հարցերի պատասխանները:

Գնահատումների ասիմպտոտիկ հատկությունները

Գնահատման ամենակարևոր և անհրաժեշտ հատկությունը, հավանաբար, դրա հետևողականությունն է, այսինքն՝ ընտրանքի չափի մեծացման հետ մեկտեղ ճշմարիտ պարամետրի միտումը: Այս գլուխը նկարագրում է, թե ինչ հատկություններ ունեն նախորդ գլուխներում նկարագրված վիճակագրական մեթոդներով ստացված գնահատականները: Ներկայացված են ասիմպտոտիկ անաչառություն, ասիմպտոտիկ արդյունավետություն և Կուլբեք-Լեյբլեր հեռավորություն հասկացությունները:

Թեստավորման հիմունքներ

Ի լրումն այն հարցի, թե ինչպես կարելի է գնահատել մեզ անհայտ պարամետրը, մենք պետք է ինչ-որ կերպ ստուգենք, թե արդյոք այն բավարարում է պահանջվող հատկությունները: Օրինակ, փորձ է կատարվում նոր դեղամիջոցի փորձարկման համար։ Ինչպե՞ս կարող եք իմանալ, թե արդյոք դրա հետ վերականգնման հավանականությունն ավելի մեծ է, քան հին դեղամիջոցների օգտագործումը: Այս գլուխը բացատրում է, թե ինչպես են կառուցվում նման թեստերը: Դուք կիմանաք, թե որն է միատեսակ ամենահզոր թեստը՝ Նեյման-Պիրսոնի թեստը, նշանակության մակարդակը, վստահության միջակայքը և որտեղից են գալիս հայտնի Գաուսի թեստը և t-թեստը։

Չափանիշների ասիմպտոտիկ հատկություններ

Ինչպես գնահատումները, չափանիշները պետք է բավարարեն որոշակի ասիմպտոտիկ հատկություններ: Երբեմն կարող են առաջանալ իրավիճակներ, երբ անհնար է կառուցել պահանջվող չափանիշը, սակայն, օգտագործելով հայտնի կենտրոնական սահմանային թեորեմը, մենք կառուցում ենք չափանիշ, որն ասիմպտոտիկորեն ձգտում է դեպի անհրաժեշտը: Այստեղ դուք կիմանաք, թե որն է ասիմպտոտիկ նշանակության մակարդակը, հավանականության հարաբերակցության մեթոդը և ինչպես են կառուցված Բարթլետի թեստը և անկախության chi-square թեստը:

Գծային մոդել

Այս գլուխը կարող է դիտվել որպես լրացում, մասնավորապես վիճակագրության կիրառում գծային ռեգրեսիայի դեպքում: Կհասկանաք, թե ինչ գնահատականներ են լավը և ինչ պայմաններում։ Դուք կիմանաք, թե որտեղից է առաջացել նվազագույն քառակուսիների մեթոդը, ինչպես կառուցել թեստեր և ինչու է անհրաժեշտ F-բաշխումը:

Ինչպես նշված է նախորդ բաժինը, դասական ալգորիթմների ուսումնասիրությունը շատ դեպքերում կարող է իրականացվել մաթեմատիկական վիճակագրության ասիմպտոտիկ մեթոդների կիրառմամբ, մասնավորապես՝ օգտագործելով CLT-ը և կոնվերգենցիայի ժառանգականության մեթոդները։ Դասական մաթեմատիկական վիճակագրության տարանջատումը կիրառական հետազոտությունների կարիքներից դրսևորվում է, մասնավորապես, նրանով, որ լայն տարածում գտած մենագրություններում բացակայում է մաթեմատիկական ապարատը, որն անհրաժեշտ է, մասնավորապես, երկընտրանքային վիճակագրության ուսումնասիրության համար։ Բանն այն է, որ սահմանին պետք է գնալ ոչ թե մեկ պարամետրով, այլ երկուսով՝ երկու նմուշի ծավալներով։ Մենք պետք է մշակեինք համապատասխան տեսություն՝ մեր մենագրության մեջ շարադրված սերտաճման ժառանգության տեսությունը։

Այնուամենայնիվ, նման ուսումնասիրության արդյունքները պետք է կիրառվեն վերջնական նմուշի չափերի վրա: Նման անցման հետ կապված խնդիրների մի ամբողջ փունջ է առաջանում։ Դրանցից մի քանիսը քննարկվել են կոնկրետ բաշխումների նմուշներից կառուցված վիճակագրության հատկությունների ուսումնասիրության հետ կապված:

Այնուամենայնիվ, նախնական ենթադրություններից շեղումների ազդեցությունը վիճակագրական ընթացակարգերի հատկությունների վրա քննարկելիս լրացուցիչ խնդիրներ են առաջանում: Ի՞նչ շեղումներ են համարվում բնորոշ: Արդյո՞ք մենք պետք է կենտրոնանանք առավել «վնասակար» շեղումների վրա, որոնք ամենաշատը աղավաղում են ալգորիթմների հատկությունները, թե՞ պետք է կենտրոնանանք «տիպիկ» շեղումների վրա:

Առաջին մոտեցմամբ մենք ստանում ենք երաշխավորված արդյունք, սակայն այս արդյունքի «գինը» կարող է չափազանց բարձր լինել։ Որպես օրինակ, եկեք մատնանշենք համընդհանուր Berry-Esseen անհավասարությունը CLT-ի սխալի համար: Միանգամայն իրավացիորեն ընդգծում է Ա.Ա. Բորովկովը, որ «իրական խնդիրների մերձեցման արագությունը, որպես կանոն, ավելի լավ է ստացվում»։

Երկրորդ մոտեցմամբ հարց է առաջանում, թե որ շեղումները են համարվում «տիպիկ»։ Դուք կարող եք փորձել պատասխանել այս հարցին՝ վերլուծելով մեծ քանակությամբ իրական տվյալներ: Միանգամայն բնական է, որ տարբեր հետազոտական ​​խմբերի պատասխանները կտարբերվեն, ինչպես երևում է, օրինակ, հոդվածում տրված արդյունքներից։

Կեղծ գաղափարներից մեկն այն է, որ հնարավոր շեղումները վերլուծելիս օգտագործել միայն որոշակի պարամետրային ընտանիք՝ Վեյբուլ-Գնեդենկո բաշխումները, գամմա բաշխումների երեք պարամետր ընտանիքը և այլն: Դեռ 1927թ. ԽՍՀՄ ԳԱ Ս.Ն. Բերնշտեյնը քննարկեց բոլոր էմպիրիկ բաշխումները Պիրսոնի չորս պարամետրերի ընտանիքին կրճատելու մեթոդաբանական սխալը: Այնուամենայնիվ, վիճակագրության պարամետրային մեթոդները դեռևս շատ տարածված են, հատկապես կիրառական գիտնականների շրջանում, և այս սխալ ընկալման մեղավորը հիմնականում վիճակագրական մեթոդների ուսուցիչներն են (տես ստորև, ինչպես նաև հոդվածը):

15. Բազմաթիվ չափանիշներից մեկի ընտրությունը կոնկրետ վարկածը ստուգելու համար

Շատ դեպքերում կոնկրետ գործնական խնդիր լուծելու համար մշակվել են բազմաթիվ մեթոդներ, և մաթեմատիկական հետազոտության մեթոդների մասնագետը բախվում է խնդրին. ո՞րը պետք է առաջարկել կիրառական գիտնականին կոնկրետ տվյալներ վերլուծելու համար:

Որպես օրինակ՝ դիտարկենք երկու անկախ նմուշների միատարրության փորձարկման խնդիրը: Ինչպես գիտեք, այն լուծելու համար կարող եք առաջարկել բազմաթիվ չափանիշներ՝ Ուսանող, Կրամեր-Ուելչ, Լորդ, չի-քառակուսի, Ուիլքոքսոն (Մեն-Ուիթնի), Վան դեր Վաերդեն, Սավիջ, Ն.Վ. Սմիրնով, օմեգա-քառակուսի տիպ (Լեհման): -Rozenblatt), G.V. Martynov և այլն: Ո՞րն ընտրել:

«Քվեարկելու» գաղափարը, բնականաբար, գալիս է մտքում. ստուգել բազմաթիվ չափանիշների դեմ, իսկ հետո որոշում կայացնել «ձայների մեծամասնությամբ»: Վիճակագրական տեսության տեսանկյունից նման ընթացակարգը պարզապես հանգեցնում է մեկ այլ չափանիշի կառուցմանը, որն ապրիորի ոչ ավելի լավն է, քան նախորդները, բայց ավելի դժվար է ուսումնասիրել։ Մյուս կողմից, եթե լուծումները համընկնում են ըստ տարբեր սկզբունքների վրա հիմնված բոլոր դիտարկված վիճակագրական չափանիշների, ապա, կայունության հայեցակարգին համապատասխան, դա մեծացնում է վստահությունը ստացված ընդհանուր լուծման նկատմամբ:

Տարածված է հատկապես մաթեմատիկոսների շրջանում կեղծ ու վնասակար կարծիքը օպտիմալ մեթոդների, լուծումների որոնման անհրաժեշտության մասին և այլն։ Փաստն այն է, որ օպտիմալությունը սովորաբար անհետանում է, երբ դուք շեղվում եք նախնական պայմաններից: Այսպիսով, միջին թվաբանականը որպես մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում օպտիմալ է միայն այն դեպքում, երբ նախնական բաշխումը նորմալ է, մինչդեռ այն միշտ վավեր գնահատական ​​է, քանի դեռ գոյություն ունի մաթեմատիկական ակնկալիքը: Մյուս կողմից, վարկածների գնահատման կամ փորձարկման կամայականորեն ընտրված ցանկացած մեթոդի համար սովորաբար հնարավոր է օպտիմալության հայեցակարգը ձևակերպել այնպես, որ տվյալ մեթոդը դառնա օպտիմալ՝ այս հատուկ ընտրված տեսանկյունից: Որպես մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում, վերցնենք, օրինակ, ընտրանքային մեդիանը: Այն, իհարկե, օպտիմալ է, թեև թվաբանական միջինից տարբեր իմաստով (օպտիմալ է նորմալ բաշխման համար): Մասնավորապես, Լապլասի բաշխման համար ընտրանքային մեդիանը առավելագույն հավանականության գնահատումն է և, հետևաբար, օպտիմալը (մենագրության մեջ նշված իմաստով):

Մենագրության մեջ վերլուծվել են միատարրության չափանիշները։ Չափորոշիչների համեմատության մի քանի բնական մոտեցումներ կան՝ հիմնված ասիմպտոտիկ հարաբերական արդյունավետության վրա՝ ըստ Բահադուրի, Հոջես-Լեհմանի, Փիթմանի: Եվ պարզվեց, որ յուրաքանչյուր չափանիշ օպտիմալ է` հաշվի առնելով այլընտրանքների հավաքածուի համապատասխան այլընտրանքը կամ համապատասխան բաշխումը: Այս դեպքում մաթեմատիկական հաշվարկներում սովորաբար օգտագործվում է հերթափոխի այլընտրանքը, որը համեմատաբար հազվադեպ է իրական վիճակագրական տվյալների վերլուծության պրակտիկայում (Վիլքոքսոնի թեստի հետ կապված այս այլընտրանքը քննարկվել և քննադատվել է մեր կողմից): Արդյունքը տխուր է. ցուցադրված փայլուն մաթեմատիկական տեխնիկան թույլ չի տալիս մեզ առաջարկություններ տալ իրական տվյալների վերլուծության ժամանակ միատարրությունը ստուգելու չափանիշ ընտրելու համար: Այլ կերպ ասած, հավելվածի աշխատողի աշխատանքի տեսանկյունից, այսինքն. կոնկրետ տվյալների վերլուծություն, մենագրությունն անօգուտ է։ Մաթեմատիկայի փայլուն վարպետությունը և այս մենագրության հեղինակի ցուցաբերած հսկայական աշխատասիրությունը, ավաղ, գործնականում ոչինչ չբերեցին:

Իհարկե, գործնականում աշխատող յուրաքանչյուր վիճակագիր, այս կամ այն ​​կերպ, իր համար լուծում է վիճակագրական չափանիշի ընտրության խնդիրը։ Ելնելով մի շարք մեթոդաբանական նկատառումներից՝ մենք ընտրեցինք օմեգա քառակուսի (Lehman-Rosenblatt) չափանիշը, որը համապատասխանում է ցանկացած այլընտրանքի: Այդուհանդերձ, մնում է դժգոհության զգացում այս ընտրության հիմնավորման բացակայության պատճառով։