Doğrusal denklemlerin örneklerle çözülmesi. Basit doğrusal denklemleri çözme Doğrusal denklemleri çözme

Parantez açılıp benzer terimler getirildikten sonra şu şekli alan, bir bilinmeyenli denklem

balta + b = 0 a ve b'nin keyfi sayılar olduğu yere denir Doğrusal Denklem bilinmeyen biriyle. Bugün bu doğrusal denklemleri nasıl çözeceğimizi bulacağız.

Örneğin, tüm denklemler:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - doğrusal.

Denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren bilinmeyenin değerine denir. karar veya denklemin kökü .

Örneğin, 3x + 7 = 13 denkleminde bilinmeyen x yerine 2 sayısını yazarsak, doğru eşitlik olan 3 2 +7 = 13'ü elde ederiz. Bu, x = 2 değerinin çözüm veya kök olduğu anlamına gelir. denklemin.

Ve x = 3 değeri, 3x + 7 = 13 denklemini gerçek bir eşitliğe dönüştürmez çünkü 3 2 +7 ≠ 13. Bu, x = 3 değerinin denklemin bir çözümü veya kökü olmadığı anlamına gelir.

Herhangi bir doğrusal denklemin çözülmesi, formdaki denklemlerin çözülmesine indirgenir

balta + b = 0.

Serbest terimi denklemin sol tarafından sağa taşıyalım, b'nin önündeki işareti tersine çevirelim, şunu elde ederiz:

a ≠ 0 ise x = ‒ b/a .

Örnek 1. 3x + 2 =11 denklemini çözün.

2'yi denklemin sol tarafından sağa doğru hareket ettirelim, 2'nin önündeki işareti ters tarafa çevirelim, şunu elde ederiz:
3x = 11 – 2.

O zaman çıkarma işlemini yapalım
3x = 9.

X'i bulmak için ürünü bilinen bir faktöre bölmeniz gerekir;
x = 9:3.

Bu, x = 3 değerinin denklemin çözümü veya kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap: x = 3.

a = 0 ve b = 0 ise 0x = 0 denklemini elde ederiz. Bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır, çünkü herhangi bir sayıyı 0 ile çarptığımızda 0 elde ederiz, ancak b de 0'a eşittir. Bu denklemin çözümü herhangi bir sayıdır.

Örnek 2. 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 denklemini çözün.

Parantezleri genişletelim:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x – 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

İşte bazı benzer terimler:
0x = 0.

Cevap: x - herhangi bir sayı.

a = 0 ve b ≠ 0 ise 0x = - b denklemini elde ederiz. Bu denklemin hiçbir çözümü yoktur, çünkü herhangi bir sayıyı 0 ile çarptığımızda 0 elde ederiz, ancak b ≠ 0 olur.

Örnek 3. x + 8 = x + 5 denklemini çözün.

Bilinmeyen içeren terimleri sol tarafta, serbest terimleri ise sağ tarafta gruplayalım:
x – x = 5 – 8.

İşte bazı benzer terimler:
0х = ‒ 3.

Cevap: Çözüm yok.

Açık Şekil 1 doğrusal bir denklemin çözümü için bir diyagram gösterir

Tek değişkenli denklemleri çözmek için genel bir şema çizelim. Örnek 4'ün çözümünü ele alalım.

Örnek 4. Diyelim ki denklemi çözmemiz gerekiyor

1) Denklemin tüm terimlerini paydaların en küçük ortak katı olan 12 ile çarpın.

2) İndirgemeden sonra şunu elde ederiz:
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Bilinmeyen ve serbest terimler içeren terimleri ayırmak için parantezleri açın:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Bir bölümde bilinmeyenleri içeren terimleri, diğer bölümde ise serbest terimleri gruplayalım:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Benzer terimleri sunalım:
- 22х = - 154.

6) – 22'ye bölersek, şunu elde ederiz:
x = 7.

Gördüğünüz gibi denklemin kökü yedidir.

Genellikle böyle denklemler aşağıdaki şema kullanılarak çözülebilir:

a) denklemi tamsayı formuna getirin;

b) braketleri açın;

c) bilinmeyeni içeren terimleri denklemin bir kısmında, serbest terimleri ise diğer kısmında gruplandırın;

d) benzer üyeleri getirmek;

e) Benzer terimlerin getirilmesinden sonra elde edilen aх = b formundaki bir denklemi çözün.

Ancak bu şema her denklem için gerekli değildir. Birçok basit denklemi çözerken, birinciden değil ikinciden başlamalısınız ( Örnek. 2), üçüncü ( Örnek. 13) ve hatta örnek 5'teki gibi beşinci aşamadan itibaren.

Örnek 5. 2x = 1/4 denklemini çözün.

Bilinmeyeni bulun x = 1/4:2,
x = 1/8 .

Ana durum sınavında bulunan bazı doğrusal denklemlerin çözümüne bakalım.

Örnek 6. 2 (x + 3) = 5 – 6x denklemini çözün.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Cevap: - 0,125

Örnek 7. Denklemi çözün – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Cevap: 2.3

Örnek 8. Denklemi çözün

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Örnek 9. f(x + 2) = 3 7 ise f(6)'yı bulun

Çözüm

f(6)'yı bulmamız gerektiğinden ve f(x + 2)'yi bildiğimizden,
o zaman x + 2 = 6.

Doğrusal denklem x + 2 = 6'yı çözüyoruz,
x = 6 – 2, x = 4 elde ederiz.

Eğer x = 4 ise
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Cevap: 27.

Hala sorularınız varsa veya denklem çözmeyi daha detaylı anlamak istiyorsanız PROGRAM'daki derslerime kaydolun. Sana yardım etmekten memnun olacağım!

TutorOnline ayrıca eğitmenimiz Olga Alexandrovna'nın hem doğrusal denklemleri hem de diğerlerini anlamanıza yardımcı olacak yeni bir video dersini izlemenizi önerir.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Doğrusal denklemler. Çözüm, örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Doğrusal denklemler.

Doğrusal denklemler okul matematiğindeki en zor konu değildir. Ancak burada eğitimli bir öğrenciyi bile şaşırtabilecek bazı hileler var. Hadi çözelim mi?)

Tipik olarak doğrusal bir denklem aşağıdaki formun bir denklemi olarak tanımlanır:

balta + B = 0 Nerede a ve B– herhangi bir sayı.

2x + 7 = 0. Burada a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Burada a=0,1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Burada a=12, b=1/2

Karmaşık bir şey yok, değil mi? Özellikle şu kelimeleri fark etmezseniz: "burada a ve b herhangi bir sayıdır"... Ve bunu fark edip dikkatsizce düşünürseniz?) Sonuçta, eğer a=0, b=0(herhangi bir sayı mümkün mü?), o zaman komik bir ifadeyle karşılaşıyoruz:

Ama hepsi bu değil! Eğer, diyelim ki, a=0, A b=5, Bunun tamamen sıra dışı bir şey olduğu ortaya çıkıyor:

Bu sinir bozucu ve matematiğe olan güveni sarsıyor, evet...) Özellikle sınavlarda. Ancak bu tuhaf ifadelerden X'i de bulmanız gerekiyor! Bu hiç mevcut değil. Ve şaşırtıcı bir şekilde bu X'i bulmak çok kolaydır. Bunu yapmayı öğreneceğiz. Bu derste.

Doğrusal bir denklem görünümünden nasıl tanınır? Neye bağlı dış görünüş.) İşin püf noktası, yalnızca formdaki denklemlere doğrusal denklemler denilmemesidir. balta + B = 0 , aynı zamanda dönüşümler ve basitleştirmeler yoluyla bu forma indirgenebilecek tüm denklemler. Ve düşüp düşmeyeceğini kim bilebilir?)

Bazı durumlarda doğrusal bir denklem açıkça tanınabilir. Diyelim ki elimizde sadece birinci dereceye kadar bilinmeyenlerin ve sayıların olduğu bir denklem var. Ve denklemde yok kesirler bölünür Bilinmeyen , bu önemli! Ve bölme sayı, veya sayısal bir kesir - bu hoş karşılanır! Örneğin:

Bu doğrusal bir denklemdir. Burada kesirler var ama karede, küpte vb. x yok, paydada da x yok, yani. HAYIR x'e bölme. Ve işte denklem

doğrusal olarak adlandırılamaz. Burada X'lerin hepsi birinci derecededir, ancak x ile ifadeye göre bölme. Sadeleştirmeler ve dönüşümlerden sonra doğrusal bir denklem, ikinci dereceden bir denklem veya istediğiniz herhangi bir şeyi elde edebilirsiniz.

Bazı karmaşık örneklerde doğrusal denklemi neredeyse çözene kadar tanımanın imkansız olduğu ortaya çıktı. Bu çok üzücü. Ancak ödevlerde kural olarak denklemin biçimi sorulmuyor, değil mi? Ödevler denklem istiyor karar vermek. Bu beni mutlu ediyor.)

Doğrusal denklemlerin çözümü. Örnekler.

Doğrusal denklemlerin tüm çözümü, denklemlerin özdeş dönüşümlerinden oluşur. Bu arada, bu dönüşümler (ikisi!) çözümlerin temelini oluşturuyor matematiğin tüm denklemleri. Başka bir deyişle çözüm herhangi denklem tam da bu dönüşümlerle başlar. Doğrusal denklemlerde çözüm bu dönüşümlere dayanır ve tam cevapla biter. Bağlantıyı takip etmek mantıklı değil mi?) Üstelik orada doğrusal denklem çözme örnekleri de var.

Öncelikle en basit örneğe bakalım. Hiçbir tuzak olmadan. Bu denklemi çözmemiz gerektiğini varsayalım.

x - 3 = 2 - 4x

Bu doğrusal bir denklemdir. X'lerin hepsi birinci kuvvettedir, X'lere bölünme yoktur. Ama aslında bunun nasıl bir denklem olduğu bizim için önemli değil. Bunu çözmemiz gerekiyor. Buradaki şema basittir. X olan her şeyi denklemin sol tarafında, X (sayılar) olmayan her şeyi ise sağ tarafta toplayın.

Bunu yapmak için aktarmanız gerekir - Elbette işaret değişikliğiyle sol tarafa 4x ve - 3 - Sağa. Bu arada, bu Denklemlerin ilk özdeş dönüşümü.Şaşırmış? Bu, bağlantıyı takip etmediğiniz, ancak boşuna olduğu anlamına gelir...) Şunu elde ederiz:

x + 4x = 2 + 3

İşte benzerlerini düşünüyoruz:

Tam mutluluk için neye ihtiyacımız var? Evet, böylece solda saf bir X var! Beşi yolda. Yardımla beşten kurtulmak denklemlerin ikinci özdeş dönüşümü. Yani denklemin her iki tarafını da 5'e bölüyoruz. Hazır bir cevap alıyoruz:

Temel bir örnek elbette. Bu ısınmak için.) Burada neden aynı dönüşümleri hatırladığım çok açık değil mi? TAMAM. Boğayı boynuzlarından tutalım.) Daha sağlam bir şeye karar verelim.

Örneğin, işte denklem:

Nereden başlayalım? X'lerle - sola mı, X'ler olmadan - sağa mı? Öyle olabilir. Uzun bir yol boyunca küçük adımlar. Veya bunu evrensel ve güçlü bir şekilde hemen yapabilirsiniz. Elbette cephanenizde aynı denklem dönüşümleri varsa.

Size önemli bir soru soruyorum: Bu denklemin en sevmediğiniz yanı nedir?

100 kişiden 95'i cevap verecek: kesirler ! Cevap doğru. Öyleyse onlardan kurtulalım. Bu nedenle hemen başlıyoruz ikinci kimlik dönüşümü. Paydanın tamamen azalması için soldaki kesri neyle çarpmanız gerekir? Doğru, saat 3'te. Peki sağda mı? 4'e kadar. Ama matematik her iki tarafı da çarpmamıza izin veriyor aynı numara. Nasıl dışarı çıkabiliriz? Her iki tarafı da 12 ile çarpalım! Onlar. ortak bir paydaya. Sonra hem üç hem de dört azalacak. Her parçayı çarpmanız gerektiğini unutmayın Baştan sona. İşte ilk adım şöyle görünüyor:

Parantezleri genişletiyoruz:

Not! Pay (x+2) Parantez içine aldım! Bunun nedeni kesirleri çarparken payın tamamının çarpılmasıdır! Artık kesirleri azaltabilirsiniz:

Kalan parantezleri genişletin:

Örnek değil, saf zevk!) Şimdi büyüyü hatırlayalım. genç sınıfları: X ile - sola, X olmadan - sağa! Ve bu dönüşümü uygulayın:

İşte benzerlerinden bazıları:

Ve her iki parçayı da 25'e bölün, yani. ikinci dönüşümü tekrar uygulayın:

Bu kadar. Cevap: X=0,16

Lütfen unutmayın: Orijinal kafa karıştırıcı denklemi güzel bir forma getirmek için iki (sadece iki!) kimlik dönüşümleri– bir denklemin işaret değişikliği ile sola-sağa çevrilmesi ve aynı sayı ile çarpma-bölme. Bu evrensel bir yöntemdir! Bu şekilde çalışacağız herhangi denklemler! Kesinlikle herhangi biri. Bu yüzden bu özdeş dönüşümleri her zaman bıkkınlıkla tekrar ediyorum.)

Gördüğünüz gibi doğrusal denklemleri çözme prensibi basittir. Denklemi alıyoruz ve cevabı alana kadar aynı dönüşümleri kullanarak basitleştiriyoruz. Buradaki asıl problem çözüm prensibinde değil, hesaplamalardadır.

Ama... En temel doğrusal denklemleri çözme sürecinde öyle sürprizler vardır ki, sizi büyük bir şaşkınlığa sürükleyebilirler...) Neyse ki, bu türden yalnızca iki sürpriz olabilir. Bunlara özel durumlar diyelim.

Doğrusal denklemlerin çözümünde özel durumlar.

İlk sürpriz.

Diyelim ki çok basit bir denklemle karşılaştınız:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Biraz sıkıldık, onu X ile sola, X olmadan - sağa hareket ettiriyoruz... İşaret değişikliğiyle her şey mükemmel... Anlıyoruz:

2x-5x+3x=5-2-3

Sayıyoruz ve... ah!!! Şunu elde ederiz:

Bu eşitliğe kendi başına itiraz edilemez. Sıfır aslında sıfırdır. Ama X kayıp! Ve cevaba şunu yazmalıyız: x neye eşittir? Aksi takdirde çözüm sayılmaz, değil mi...) Kilitlenme?

Sakinlik! Bu gibi şüpheli durumlarda en genel kurallar sizi kurtaracaktır. Denklemler nasıl çözülür? Bir denklemi çözmek ne anlama gelir? Bu şu anlama gelir, Orijinal denklemde yerine konulduğunda bize doğru eşitliği verecek olan x'in tüm değerlerini bulun.

Ama gerçek eşitliğimiz var çoktan olmuş! 0=0, ne kadar daha doğru?! Geriye bunun hangi x'te olacağını bulmak kalıyor. X'in hangi değerleri yerine konulabilir? orijinal denklem eğer bu x'ler yine de sıfıra indirilecekler mi? Hadi?)

Evet!!! X'ler değiştirilebilir herhangi! Hangisini istiyorsun? En az 5, en az 0,05, en az -220. Hala küçülecekler. Bana inanmıyorsanız kontrol edebilirsiniz.) X'in herhangi bir değerini yerine koyun orijinal denklemi kurun ve hesaplayın. Her zaman saf gerçeği elde edeceksiniz: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 vb.

İşte cevabınız: x - herhangi bir sayı.

Cevap farklı matematiksel sembollerle yazılabilir, özü değişmez. Bu tamamen doğru ve eksiksiz bir cevaptır.

İkinci sürpriz.

Aynı temel doğrusal denklemi alalım ve içindeki yalnızca bir sayıyı değiştirelim. Buna karar vereceğiz:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Aynı özdeş dönüşümlerden sonra ilgi çekici bir şey elde ederiz:

Bunun gibi. Doğrusal bir denklem çözdük ve garip bir eşitlik elde ettik. Matematiksel açıdan şunu elde ettik: sahte eşitlik. Ve konuşuyorum basit bir dille, Bu doğru değil. Çılgın. Ancak yine de bu saçmalık, denklemin doğru çözümü için çok iyi bir nedendir.)

Yine buna dayanarak düşünüyoruz Genel kurallar. Orijinal denklemde yerine konulduğunda x'ler bize ne verir? doğru eşitlik mi? Evet, hiçbiri! Böyle bir X yok. Ne koyarsanız koyun her şey azalacak, sadece saçmalık kalacak.)

İşte cevabınız: hiçbir çözüm yok.

Bu aynı zamanda tamamen eksiksiz bir cevaptır. Matematikte bu tür yanıtlara sıklıkla rastlanır.

Bunun gibi. Şimdi, umarım herhangi bir (sadece doğrusal değil) denklemin çözümü sırasında X'lerin ortadan kaybolması kafanızı hiç karıştırmaz. Bu zaten tanıdık bir konudur.)

Artık doğrusal denklemlerdeki tüm tuzakları ele aldığımıza göre, bunları çözmek mantıklı olacaktır.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Gıyabında verilen bir karar, kanunun öngördüğü istisnai karar verme yöntemlerine ek olarak, davalının talebi üzerine davanın esasa ilişkin olarak yeniden değerlendirilmesi ile aynı mahkeme tarafından iptal edilebilir. duruşmaya katılmamak geçerli sebeplerden kaynaklanmıştır.

Verilen kararın yeniden gözden geçirilmesi mümkün yasal güç Temyiz prosedüründe, mahkemenin geçerli bir nedenden dolayı kaçırılan temyiz süresini yeniden belirlemesi durumunda.

Ayrıcalıklılık özelliği:

Münhasırlık özelliği, aynı taraflar veya onların kanuni halefleri arasında açılan, aynı konu ve aynı koşullara (dava gerekçelerine) dayanan bir davada, bir iddia, şikâyet, beyanla mahkemeye yeniden başvurulmasının imkânsızlığıdır. Yasal olarak yürürlüğe girmiş bir karar varsa.

Davalıdan periyodik ödemelerin tahsil edilmesine ilişkin kararın yürürlüğe girmesinden sonra, ödeme tutarının belirlenmesini veya sürelerinin belirlenmesini etkileyen koşullar değişirse, o zaman taraflardan her biri yeni bir talepte bulunarak tazminat talebinde bulunma hakkına sahiptir. ödemelerin miktarında ve zamanlamasında değişiklik.

Bu durumda, yeni talepler mahkeme tarafından değerlendirmeye alınır, genel kurallara göre yasal olarak yürürlüğe giren yeni bir karar verilir.

Aynı başvurunun değerlendirilmek üzere sunulması, ilk değerlendirme sırasında taraflar arasındaki anlaşmazlığın nihai olarak bir uzlaşma anlaşmasının onaylanması veya başvuru sahibinin taleplerini reddetmesi üzerine bir kararla çözülmesi durumunda da kabul edilemez. Yargılamanın sona ermesi halinde mahkemeye ikinci bir itiraz yapılmasına izin verilmez.

Zorunlu özellik:

Zorunluluk, hükümet organlarının, yetkililerinin, kuruluşlarının ve vatandaşların faaliyetlerini kararın içeriğine tabi kılmak zorunda oldukları anlamına gelir.

Hukuk Muhakemeleri Kanunu, kararın Rusya Federasyonu toprakları genelinde bağlayıcı olduğunu ve yasaların öngördüğü durumlarda, Rusya Federasyonu mahkemelerinin kararların icrası talebiyle yabancı mahkemelere başvurabileceğini vurgulamaktadır.

Devlet organları ve yetkilileri, yasal olarak yürürlüğe giren bir mahkeme kararıyla belirlenen hakları resmileştirmek ve tescil ettirmek için gerekli önlemleri almakla yükümlüdür.

Mahkeme kararı, yasal olarak yürürlüğe girdikten sonra yükümlü kişiler tarafından gönüllü olarak ve gerekli durumlarda yürütme organları tarafından zorla yerine getirilmelidir.

Kararda öngörülen eylemlerin uygulanması ihtiyacına kararların uygulanabilirliği denir.

Bu, yükümlülüğün ayrılmaz bir parçasıdır. Borç kavramı icra edilebilirlikten daha geniş olup, konuyla doğrudan ilgisi olmayan tüm kişi ve kuruluşların borcunu da kapsamaktadır. yasal faiz, mahkeme kararının yetkisini dikkate alır ve uygulanmasına katkıda bulunur.

Her durumda kararlar bağlayıcıdır, ancak icra edilemedikleri için hepsinin infaz edilmesi gerekmez. Örneğin, tanınma taleplerine ilişkin kararlar, davalının itiraz ettiği hakkın korunmasına yönelik özel eylemler gerektirmez. Bunların bağlayıcı olması için mahkemenin belirli durumları veya hukuki ilişkileri tanıması yeterlidir (örneğin: babalığın tespiti, eser sahipliği hakkının tanınması vb.).

Tanınma taleplerine ilişkin kararlar, ödül talebine ilişkin bir davada zarar verici etki yaratabilir. Örneğin, babalığın tespit edilmesi kararı, nafakanın geri alınmasına ilişkin bir talep söz konusu olduğunda sakıncalıdır. Ayrıca yayınevinden telif ücreti alınması halinde mahkemenin yazarlık hakkını tanıma kararı vermesi zorunludur.

Rusya Federasyonu Aile Kanunu, aile hukuku konularına ek olarak, karar verildikten sonra mahkemenin eylemlerine (sorumluluklarına) ilişkin çeşitli usul kuralları getirmektedir. Örneğin, IC, mahkemenin, boşanmaya ilişkin mahkeme kararının yasal olarak yürürlüğe girdiği tarihten itibaren 3 gün içinde, bu kararın bir özetini, boşanmanın devlet tescili yerindeki nüfus dairesine göndermesi gerektiğini belirtmektedir. evlilik.

Aile hukuku, mahkemenin kararın uygulanması için belirli eylemlerde bulunmasını gerektirir. Mahkeme kararları, yasal olarak yürürlüğe girdikten sonra, yasal gücün özünden, önyargı niteliğinden (ön karar) türetilen özellikler kazanır.

Önyargı, mahkemece kurulan ve kararla kayıt altına alınan ilişki ve olguların, adli ve idari makamlar tarafından ikincil olarak incelenmesi sırasında çürütülmemesi anlamına gelir.

Önyargı kurallara bağlıdır:

1. Mahkeme, yargı organı olarak hareket eden idari organlar, içeriği mahkeme tarafından yasal olarak yürürlüğe giren bir kararla belirlenen olguları ve ilişkileri kısmen veya tamamen yeniden analiz ederek, bunları esas almakla yükümlüdür. bu olgulara ve ilişkilere ilişkin kararları, kurulduğu şekliyle, yani mahkeme kararında yer alan olgular bir daha ispatlanmamıştır.

2. İddialarını tamamen veya kısmen yasal olarak yürürlüğe girmiş bir mahkeme kararına konu olan hukuki ilişkilere dayandıran taraf, bu hukuki ilişkilerin varlığını, bileşenlerinin unsurlarının içeriğini tekrar tekrar kanıtlamak zorunda değildir, ve tarafların iddialarının altında yatan hukuki gerçekler.

Kararın hukuki geçerliliği devam ettiği sürece, yani karar iptal edilinceye kadar ilişkiler ve olgular geçerli kabul edilir ve ispata tabi değildir. Başvurucunun talebine itiraz eden diğer taraf, mahkemece önceden belirlenen olay ve koşulları çürütecek deliller sunamayacağı gibi, mahkemeden bunları inceleyerek davaya eklemesini de talep edemez.

3. Çalışmanın konusu, içeriği hukuki olarak yürürlüğe girmiş bir kararla belirlenen bir ilişki ise, önceden tespit yani önyargı, hukuki ilişkilerin herhangi bir bölümünde tam olarak ortaya çıktığı biçimde uygulanır. Adli araştırmaya konu oldu.

Yasal olarak yürürlüğe giren bir karar, bir ceza davasının değerlendirilmesinde zarar verici öneme sahiptir. Yasal olarak yürürlüğe giren bir ceza davasında verilen karar, bir hukuk davasını gören mahkeme için zorunludur. hukuki sonuçları hakkında mahkeme kararı verilen bir kişinin eylemlerinin bu eylemin gerçekleşip gerçekleşmediği ve bu kişi tarafından gerçekleştirilip gerçekleştirilmediğine ilişkin sorular.

Bu videoda aynı algoritma kullanılarak çözülen bir dizi doğrusal denklemi analiz edeceğiz; bu yüzden bunlara en basit denir.

Öncelikle şunu tanımlayalım: Doğrusal denklem nedir ve hangisine en basit denir?

Doğrusal bir denklem, yalnızca bir değişkenin ve yalnızca birinci dereceden olduğu bir denklemdir.

En basit denklem inşaat anlamına gelir:

Diğer tüm doğrusal denklemler algoritma kullanılarak en basit düzeye indirgenir:

1. Varsa parantezleri genişletin;
2. Değişken içeren terimleri eşittir işaretinin bir tarafına, değişken olmayan terimleri ise diğer tarafına taşıyın;
3. Eşittir işaretinin soluna ve sağına benzer terimler verin;
4. Ortaya çıkan denklemi $x$ değişkeninin katsayısına bölün.

Elbette bu algoritma her zaman yardımcı olmuyor. Gerçek şu ki, bazen tüm bu entrikalardan sonra $x$ değişkeninin katsayısının sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor. Bu durumda iki seçenek mümkündür:

1. Denklemin hiçbir çözümü yoktur. Örneğin, $0\cdot x=8$ gibi bir şey ortaya çıktığında, yani. solda sıfır, sağda ise sıfırdan farklı bir sayı var. Aşağıdaki videoda bu durumun mümkün olmasının çeşitli nedenlerine bakacağız.
2. Çözüm tüm sayılardır. Bunun mümkün olduğu tek durum, denklemin $0\cdot x=0$ yapısına indirgenmiş olmasıdır. Hangi $x$'ı değiştirirsek değiştirelim, yine de "sıfır sıfıra eşittir" sonucunun ortaya çıkması oldukça mantıklıdır, yani. Doğru sayısal eşitlik.

Şimdi gerçek hayattan örnekler kullanarak tüm bunların nasıl çalıştığını görelim.

Denklem çözme örnekleri

Bugün doğrusal denklemlerle ilgileniyoruz ve yalnızca en basitleriyle. Genel olarak doğrusal denklem, tam olarak bir değişken içeren herhangi bir eşitlik anlamına gelir ve yalnızca birinci dereceye kadar gider.

Bu tür yapılar yaklaşık olarak aynı şekilde çözülür:

1. Öncelikle varsa parantezleri genişletmeniz gerekiyor (son örneğimizde olduğu gibi);
2. Daha sonra benzerlerini birleştirin
3. Son olarak değişkeni izole edin, yani. Değişkenle bağlantılı olan her şeyi (içinde bulunduğu terimleri) bir tarafa, onsuz kalan her şeyi ise diğer tarafa taşıyın.

Daha sonra, kural olarak, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafına da benzerlerini getirmeniz gerekir ve bundan sonra geriye kalan tek şey "x" katsayısına bölmek ve son cevabı alacağız.

Teorik olarak bu hoş ve basit görünüyor, ancak pratikte deneyimli lise öğrencileri bile oldukça basit doğrusal denklemlerde rahatsız edici hatalar yapabilir. Tipik olarak, parantez açılırken veya "artılar" ve "eksiler" hesaplanırken hatalar yapılır.

Ek olarak, doğrusal bir denklemin hiçbir çözümü olmadığı veya çözümün sayı doğrusunun tamamı olduğu durumlar da vardır; herhangi bir numara. Bugünkü dersimizde bu inceliklere bakacağız. Ancak zaten anladığınız gibi en basit görevlerle başlayacağız.

Basit doğrusal denklemleri çözme şeması

İlk olarak, en basit doğrusal denklemleri çözmek için şemanın tamamını bir kez daha yazayım:

1. Varsa parantezleri genişletin.
2. Değişkenleri izole ediyoruz, yani. Üzerinde “X” olan her şeyi bir tarafa, “X” içermeyen her şeyi diğer tarafa taşıyoruz.
3. Benzer terimleri sunuyoruz.
4. Her şeyi “x” katsayısına bölüyoruz.

Elbette bu şema her zaman işe yaramıyor, içinde bazı incelikler ve püf noktaları var ve şimdi bunları tanıyacağız.

Basit doğrusal denklemlerin gerçek örneklerini çözme

Görev No.1

İlk adım parantezleri açmamızı gerektiriyor. Ancak bu örnekte bunlar yok, dolayısıyla bu adımı atlıyoruz. İkinci adımda değişkenleri izole etmemiz gerekiyor. Lütfen unutmayın: yalnızca bireysel terimlerden bahsediyoruz. Bunu yazalım:

Solda ve sağda benzer terimleri sunuyoruz, ancak bu burada zaten yapıldı. Bu nedenle dördüncü adıma geçiyoruz: katsayıya bölelim:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Böylece cevabı aldık.

Görev No.2

Bu problemde parantezleri görebiliyoruz, hadi onları genişletelim:

Hem solda hem de sağda yaklaşık olarak aynı tasarımı görüyoruz ama hadi algoritmaya göre hareket edelim yani. değişkenleri ayırmak:

İşte benzerlerinden bazıları:

Bu hangi köklerde işe yarıyor? Cevap: herhangi biri için. Bu nedenle $x$'ın herhangi bir sayı olduğunu yazabiliriz.

Görev No.3

Üçüncü doğrusal denklem daha ilginçtir:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Burada birkaç parantez var, ancak hiçbir şeyle çarpılmıyorlar, sadece önlerinde farklı işaretler var. Bunları parçalayalım:

Zaten bildiğimiz ikinci adımı gerçekleştiriyoruz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hadi matematik yapalım:

Son adımı gerçekleştiriyoruz - her şeyi "x" katsayısına bölüyoruz:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Doğrusal Denklemleri Çözerken Hatırlanması Gerekenler

Çok basit görevleri göz ardı edersek şunu söylemek isterim:

• Yukarıda söylediğim gibi, her doğrusal denklemin bir çözümü yoktur; bazen kökler yoktur;
• Kökler olsa bile aralarında sıfır olabilir - bunda yanlış bir şey yok.

Sıfır diğerleriyle aynı sayıdır, hiçbir şekilde ayrımcılık yapmamalı, sıfır alırsanız yanlış yaptığınızı varsaymamalısınız.

Bir diğer özellik ise braketlerin açılmasıyla ilgilidir. Lütfen dikkat: Önlerinde bir “eksi” olduğunda onu kaldırırız, ancak parantez içindeki işaretleri şu şekilde değiştiririz: zıt. Ve sonra onu standart algoritmalar kullanarak açabiliriz: yukarıdaki hesaplamalarda gördüklerimizi elde edeceğiz.

Bu basit gerçeği anlamak, lisede böyle şeyler yapmanın olağan karşılandığı aptalca ve incitici hatalar yapmaktan kaçınmanıza yardımcı olacaktır.

Karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Daha karmaşık denklemlere geçelim. Artık yapılar daha karmaşık hale gelecek ve çeşitli dönüşümler gerçekleştirilirken ikinci dereceden bir fonksiyon ortaya çıkacak. Ancak bundan korkmamalıyız, çünkü yazarın planına göre doğrusal bir denklem çözüyorsak, dönüşüm süreci sırasında ikinci dereceden bir fonksiyon içeren tüm monomlar kesinlikle iptal edilecektir.

Örnek No.1

Açıkçası, ilk adım parantezleri açmaktır. Bunu çok dikkatli yapalım:

Şimdi gizliliğe bir göz atalım:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

İşte benzerlerinden bazıları:

Açıkçası bu denklemin çözümü yok, bu yüzden cevaba şunu yazacağız:

\[\varhiçbir şey\]

ya da kökleri yoktur.

Örnek No.2

Aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz. İlk adım:

Değişken olan her şeyi sola ve değişken olmadan sağa taşıyalım:

İşte benzerlerinden bazıları:

Açıkçası, bu doğrusal denklemin çözümü yok, bu yüzden onu şu şekilde yazacağız:

\[\varhiçbir şey\],

ya da kökleri yoktur.

Çözümün nüansları

Her iki denklem de tamamen çözülmüştür. Bu iki ifadeyi örnek olarak kullanarak, en basit doğrusal denklemlerde bile her şeyin bu kadar basit olmayabileceğine bir kez daha ikna olduk: ya bir olabilir, ya hiç olmayabilir ya da sonsuz sayıda kök olabilir. Bizim durumumuzda, her ikisinin de kökü olmayan iki denklemi ele aldık.

Ancak bir başka gerçeğe dikkatinizi çekmek istiyorum: parantezlerle nasıl çalışılır ve önlerinde eksi işareti varsa nasıl açılır. Bu ifadeyi düşünün:

Açmadan önce her şeyi “X” ile çarpmanız gerekir. Lütfen dikkat: çoğalır her bir terim. İçinde iki terim vardır - sırasıyla iki terim ve çarpılır.

Ve ancak bu görünüşte basit ama çok önemli ve tehlikeli dönüşümler tamamlandıktan sonra, parantezi kendisinden sonra bir eksi işareti olduğu gerçeği açısından açabilirsiniz. Evet, evet: ancak şimdi, dönüşümler tamamlandığında, parantezlerin önünde bir eksi işareti olduğunu hatırlıyoruz, bu da aşağıdaki her şeyin yalnızca işaret değiştirdiği anlamına geliyor. Aynı zamanda parantezlerin kendisi de kaybolur ve en önemlisi öndeki "eksi" de kaybolur.

Aynısını ikinci denklem için de yapıyoruz:

Bu küçük, görünüşte önemsiz gerçeklere dikkat etmem tesadüf değil. Denklem çözmek her zaman bir dizi temel dönüşüm olduğundan, basit eylemleri net ve yetkin bir şekilde gerçekleştirememe, lise öğrencilerinin bana gelip bu kadar basit denklemleri çözmeyi yeniden öğrenmelerine yol açar.

Elbette bu becerileri otomatiklik noktasına kadar bileyeceğiniz gün gelecek. Artık her seferinde bu kadar çok dönüşüm yapmanıza gerek kalmayacak; her şeyi tek satıra yazacaksınız. Ancak henüz öğrenirken her eylemi ayrı ayrı yazmanız gerekir.

Daha da karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Şimdi çözeceğimiz şeyin en basit görev olduğu söylenemez, ancak anlamı aynı kalıyor.

Görev No.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

İlk kısımdaki tüm elemanları çarpalım:

Biraz gizlilik yapalım:

İşte benzerlerinden bazıları:

Son adımı tamamlayalım:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

İşte son cevabımız. Ve çözme sürecinde ikinci dereceden fonksiyona sahip katsayılarımız olmasına rağmen, bunlar birbirini iptal etti, bu da denklemi ikinci dereceden değil doğrusal hale getiriyor.

Görev No.2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

İlk adımı dikkatli bir şekilde gerçekleştirelim: ilk parantezdeki her elemanı ikinci parantezdeki her elemanla çarpalım. Dönüşümlerden sonra toplam dört yeni terim bulunmalıdır:

Şimdi her terimde çarpma işlemini dikkatli bir şekilde yapalım:

Üzerinde “X” olan terimleri sola, olmayanları ise sağa taşıyalım:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

İşte benzer terimler:

Son cevabı bir kez daha aldık.

Çözümün nüansları

Bu iki denklemle ilgili en önemli not şudur: Birden fazla terim içeren parantezleri çarpmaya başladığımızda, bunu şu kurala göre yaparız: İlk terimden ilk terimi alırız ve her elemanla çarparız. ikinci; daha sonra birinciden ikinci elemanı alırız ve benzer şekilde ikinciden gelen her elemanla çarparız. Sonuç olarak dört dönemimiz olacak.

Cebirsel toplam hakkında

Bu son örnekle öğrencilere cebirsel toplamın ne olduğunu hatırlatmak istiyorum. Klasik matematikte $1-7$ ile basit bir yapıyı kastediyoruz: birden yediyi çıkarın. Cebirde bununla şunu kastediyoruz: “bir” sayısına başka bir sayı yani “eksi yedi” ekliyoruz. Cebirsel bir toplamın sıradan bir aritmetik toplamdan farkı budur.

Tüm dönüşümleri, her toplama ve çarpma işlemini gerçekleştirirken, yukarıda açıklananlara benzer yapılar görmeye başladığınız anda, polinomlar ve denklemlerle çalışırken cebirde herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.

Son olarak, az önce incelediklerimizden daha karmaşık olacak birkaç örneğe daha bakalım ve bunları çözmek için standart algoritmamızı biraz genişletmemiz gerekecek.

Kesirli Denklem Çözme

Bu tür görevleri çözmek için algoritmamıza bir adım daha eklememiz gerekecek. Ama önce size algoritmamızı hatırlatmama izin verin:

1. Parentezleri aç.
2. Ayrı değişkenler.
3. Benzerlerini getirin.
4. Orana bölün.

Ne yazık ki, bu harika algoritma, tüm etkinliğine rağmen, önümüzde kesirler varken pek de uygun olmadığı ortaya çıkıyor. Aşağıda göreceğimiz gibi, her iki denklemde de hem solda hem de sağda bir kesirimiz var.

Bu durumda nasıl çalışılır? Evet, çok basit! Bunu yapmak için algoritmaya, ilk eylemden önce ve sonra yapılabilecek, yani kesirlerden kurtulmaya bir adım daha eklemeniz gerekir. Yani algoritma aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Kesirlerden kurtulun.
2. Parentezleri aç.
3. Ayrı değişkenler.
4. Benzerlerini getirin.
5. Orana bölün.

“Kesirlerden kurtulmak” ne anlama geliyor? Peki bu neden ilk standart adımdan hem sonra hem de önce yapılabiliyor? Aslında bizim durumumuzda tüm kesirler paydalarında sayısaldır, yani. Her yerde payda sadece bir sayıdır. Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da bu sayıyla çarparsak kesirlerden kurtuluruz.

Örnek No.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Bu denklemdeki kesirlerden kurtulalım:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Lütfen dikkat: her şey bir kez “dört” ile çarpılır, yani. iki parantezinizin olması her birini "dört" ile çarpmanız gerektiği anlamına gelmez. Hadi yazalım:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Şimdi genişletelim:

Değişkeni ayırıyoruz:

Benzer terimlerin azaltılmasını gerçekleştiriyoruz:

\[-4x=-1\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nihai çözümü bulduk, ikinci denkleme geçelim.

Örnek No.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Burada aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem çözüldü.

Aslında bugün sana söylemek istediğim tek şey buydu.

Anahtar noktaları

Temel bulgular şunlardır:

• Doğrusal denklemlerin çözüm algoritmasını bilir.
• Parantez açma yeteneği.
• Bir yerlerde ikinci dereceden fonksiyonlarınız varsa endişelenmeyin; büyük ihtimalle sonraki dönüşümler sürecinde bunlar azalacaktır.
• Doğrusal denklemlerde üç tür kök vardır, en basitleri bile: tek bir kök, sayı doğrusunun tamamı bir köktür ve hiç kökü yoktur.

Umarım bu ders, tüm matematiğin daha iyi anlaşılması için basit ama çok önemli bir konuda uzmanlaşmanıza yardımcı olur. Bir şey net değilse siteye gidin ve orada sunulan örnekleri çözün. Bizi izlemeye devam edin, daha birçok ilginç şey sizi bekliyor!