Lineaarvõrrandite lahendamine näidetega. Lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamine Lineaarvõrrandite lahendamine

Võrrand ühe tundmatuga, mis pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite vähendamist saab kuju

ax + b = 0, kus a ja b on suvalised arvud, kutsutakse lineaarvõrrand ühe tundmatuga. Täna selgitame välja, kuidas neid lineaarseid võrrandeid lahendada.

Näiteks kõik võrrandid:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineaarne.

Nimetatakse tundmatu väärtust, mis muudab võrrandi tõeliseks võrdsuseks otsus või võrrandi juur .

Näiteks kui võrrandis 3x + 7 \u003d 13 asendame tundmatu x asemel arvu 2, siis saame õige võrrandi 3 2 + 7 \u003d 13. Seega on väärtus x \u003d 2 lahendus või võrrandi juur.

Ja väärtus x \u003d 3 ei muuda võrrandit 3x + 7 \u003d 13 tõeliseks võrduseks, kuna 3 2 + 7 ≠ 13. Seetõttu ei ole väärtus x \u003d 3 võrrandi lahendus ega juur.

Mis tahes lineaarvõrrandi lahendus taandatakse vormi võrrandite lahendiks

ax + b = 0.

Kanname vaba liikme võrrandi vasakult poolelt paremale, muutes samal ajal b ees olevat märki vastupidiseks, saame

Kui a ≠ 0, siis x = – b/a .

Näide 1 Lahendage võrrand 3x + 2 =11.

Viime 2 võrrandi vasakult küljelt paremale, muutes samal ajal 2 ees olevat märki vastupidiseks, saame
3x \u003d 11–2.

Teeme siis lahutamise
3x = 9.

x leidmiseks tuleb korrutis jagada teadaoleva teguriga, st
x = 9:3.

Seega on väärtus x = 3 võrrandi lahend või juur.

Vastus: x = 3.

Kui a = 0 ja b = 0, siis saame võrrandi 0x \u003d 0. Sellel võrrandil on lõpmatult palju lahendeid, kuna suvalise arvu korrutamisel 0-ga saame 0, kuid b on ka 0. Selle võrrandi lahendus on suvaline arv.

Näide 2 Lahendage võrrand 5 (x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Laiendame sulgusid:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Siin on sarnased liikmed:
0x = 0.

Vastus: x on suvaline arv.

Kui a = 0 ja b ≠ 0, siis saame võrrandi 0x = - b. Sellel võrrandil pole lahendeid, kuna mis tahes arvu korrutamisel 0-ga saame 0, kuid b ≠ 0.

Näide 3 Lahendage võrrand x + 8 = x + 5.

Rühmitame tundmatuid sisaldavad terminid vasakule ja vabad terminid paremale:
x - x \u003d 5 - 8.

Siin on sarnased liikmed:
0x = -3.

Vastus: lahendusi pole.

Peal Joonis 1 on näidatud lineaarvõrrandi lahendamise skeem

Koostame ühe muutujaga võrrandite lahendamise üldskeem. Mõelge näite 4 lahendusele.

Näide 4 Lahendame võrrandi

1) Korrutage kõik võrrandi liikmed nimetajate väikseima ühiskordsega, mis on võrdne 12-ga.

2) Pärast redutseerimist saame
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Tundmatuid ja vabu liikmeid sisaldavate liikmete eraldamiseks avage sulud:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Rühmitame ühte ossa tundmatuid sisaldavad terminid ja teise - vabad terminid:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Siin on sarnased liikmed:
- 22x = -154.

6) Jagage - 22-ga, saame
x = 7.

Nagu näete, on võrrandi juur seitse.

Üldiselt selline võrrandeid saab lahendada järgmiselt:

a) viige võrrand täisarvu kujule;

b) avatud sulgudes;

c) rühmitage võrrandi ühes osas tundmatut sisaldavad ja teises vabad liikmed;

d) tuua sarnaseid liikmeid;

e) lahendage võrrand kujul aх = b, mis saadi pärast sarnaste liikmete toomist.

Seda skeemi pole aga iga võrrandi jaoks vaja. Paljude lihtsamate võrrandite lahendamisel tuleb alustada mitte esimesest, vaid teisest ( Näide. 2), kolmas ( Näide. 13) ja isegi viiendast etapist, nagu näites 5.

Näide 5 Lahendage võrrand 2x = 1/4.

Leiame tundmatu x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Mõelge mõne põhiriigieksamil esinenud lineaarvõrrandi lahendusele.

Näide 6 Lahendage võrrand 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5-6

Vastus: - 0,125

Näide 7 Lahendage võrrand - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = -7 +30

Vastus: 2.3

Näide 8 Lahenda võrrand

3 (3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Näide 9 Leidke f(6), kui f (x + 2) = 3 7-d

Lahendus

Kuna me peame leidma f(6) ja me teame f (x + 2),
siis x + 2 = 6.

Lahendame lineaarvõrrandi x + 2 = 6,
saame x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Kui x = 4, siis
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Vastus: 27.

Kui on veel küsimusi, on soov võrrandite lahendamisega põhjalikumalt tegeleda, siis registreeru minu tundidesse AJAKAVAS. Aitan teid hea meelega!

TutorOnline soovitab vaadata ka meie juhendaja Olga Aleksandrovna uut videoõpetust, mis aitab mõista nii lineaarvõrrandeid kui ka muid.

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Lineaarvõrrandid. Lahendus, näited.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Lineaarvõrrandid.

Lineaarvõrrandid pole koolimatemaatika kõige keerulisem teema. Kuid seal on mõned nipid, mis võivad isegi koolitatud õpilast mõistatada. Kas mõtleme selle välja?)

Lineaarvõrrandit määratletakse tavaliselt järgmisel kujul:

kirves + b = 0 Kus a ja b- mis tahes numbrid.

2x + 7 = 0. Siin a = 2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 siin a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Siin a = 12, b = 1/2

Pole midagi keerulist, eks? Eriti kui te ei märka sõnu: "kus a ja b on suvalised arvud"... Ja kui märkad, aga hooletult mõtled?) Lõppude lõpuks, kui a=0, b = 0(kõik numbrid on võimalikud?), siis saame naljaka väljendi:

Kuid see pole veel kõik! Kui ütleme, a=0, A b = 5, selgub midagi üsna absurdset:

Mis kurnab ja õõnestab usaldust matemaatika vastu, jah ...) Eriti eksamitel. Aga nendest kummalistest väljenditest tuleb leida ka X! Mida pole üldse olemas. Ja üllataval kombel on seda X-i väga lihtne leida. Õpime, kuidas seda teha. Selles õppetükis.

Kuidas lineaarvõrrandit välimuselt ära tunda? Oleneb mida välimus.) Nipp seisneb selles, et lineaarvõrrandeid ei nimetata ainult vormivõrranditeks kirves + b = 0 , aga ka kõik võrrandid, mis on teisenduste ja lihtsustustega taandatud sellele kujule. Ja kes teab, kas seda vähendatakse või mitte?)

Lineaarvõrrandi saab mõnel juhul selgelt ära tunda. Ütle, et kui meil on võrrand, milles on ainult esimese astme tundmatuid, siis jah arvud. Ja võrrand seda ei tee murrud jagatud teadmata , see on tähtis! Ja jagamine number, või murdosa - see on kõik! Näiteks:

See on lineaarne võrrand. Siin on murrud, aga ruudus, kuubis jne pole x-e ja nimetajates pole x-i, st. Ei jagamine x-ga. Ja siin on võrrand

lineaarseks nimetada ei saa. Siin on x-id kõik esimesel astmel, kuid on olemas jagamine avaldisega x-iga. Pärast lihtsustusi ja teisendusi saate lineaarvõrrandi, ruutvõrrandi ja kõike, mis teile meeldib.

Selgub, et mõnes keerulises näites on lineaarvõrrandi leidmine võimatu enne, kui olete selle peaaegu lahendanud. See on häiriv. Kuid ülesannetes reeglina ei küsita võrrandi vormi kohta, eks? Ülesannetes on võrrandid järjestatud otsustama. See teeb mind õnnelikuks.)

Lineaarvõrrandite lahendus. Näited.

Kogu lineaarvõrrandite lahendus koosneb võrrandite identsetest teisendustest. Muide, need teisendused (koguni kaks!) on lahenduste aluseks kõik matemaatika võrrandid. Teisisõnu, otsus ükskõik milline Võrrand algab samade teisendustega. Lineaarvõrrandite puhul lõpeb see (lahendus) nendel teisendustel täisväärtusliku vastusega. Mõttekas on jälgida linki, eks?) Pealegi on ka näiteid lineaarvõrrandite lahendamisest.

Alustame kõige lihtsama näitega. Ilma igasuguste lõksudeta. Oletame, et peame lahendama järgmise võrrandi.

x - 3 = 2 - 4x

See on lineaarne võrrand. X-id on kõik esimesel astmel, X-ga jagamist pole. Kuid tegelikult meid ei huvita, mis võrrand on. Peame selle lahendama. Siinne skeem on lihtne. Koguge võrrandi vasakpoolses servas kõik, millel on x-id, paremal pool kõik ilma x-ideta (numbriteta).

Selleks peate üle kandma - 4x vasakule poole, märgivahetusega muidugi, aga - 3 - paremale. Muide, see on võrrandite esimene identne teisendus.üllatunud? Niisiis, nad ei järginud linki, kuid asjata ...) Saame:

x + 4x = 2 + 3

Anname sarnaseid, arvestame:

Mida me vajame, et olla täiesti õnnelikud? Jah, et vasakul oleks puhas X! Viis jääb teele. Viiest lahti saada võrrandite teine ​​identne teisendus. Nimelt jagame mõlemad võrrandi osad 5-ga. Saame valmis vastuse:

Elementaarne näide muidugi. See on soojenduseks.) Ei ole väga selge, miks ma siin identseid teisendusi meenutasin? OKEI. Võtame härjal sarvist.) Otsustame midagi muljetavaldavamat.

Näiteks siin on see võrrand:

Kust me alustame? X-ga - vasakule, ilma X-ga - paremale? Võiks nii olla. Väikesed sammud pikal teel. Ja saate kohe, universaalsel ja võimsal viisil. Kui teie arsenalis pole muidugi identseid võrrandite teisendusi.

Esitan teile võtmeküsimuse: Mis sulle selle võrrandi juures kõige rohkem ei meeldi?

95 inimest 100-st vastavad: fraktsioonid ! Vastus on õige. Nii et laseme neist lahti. Nii et alustame kohe teine ​​identne teisendus. Mida on vaja vasakpoolse murru korrutamiseks, et nimetaja täielikult väheneks? See on õige, 3. Ja paremal? 4-ga. Kuid matemaatika võimaldab meil mõlemad pooled korrutada sama number. Kuidas me välja saame? Korrutame mõlemad pooled 12-ga! Need. ühisele nimetajale. Siis vähendatakse kolme ja nelja. Ärge unustage, et peate iga osa korrutama täielikult. Esimene samm näeb välja järgmine:

Sulgude laiendamine:

Märge! Lugeja (x+2) Võtsin sulgudesse! Seda seetõttu, et murdude korrutamisel korrutatakse lugeja tervega, täielikult! Ja nüüd saate murde vähendada ja vähendada:

Ülejäänud sulgude avamine:

Mitte näide, vaid puhas rõõm!) Nüüd tuletame meelde loitsu madalamatest klassidest: x-iga - vasakule, ilma x-ga - paremale! Ja rakendage seda teisendust:

Siin on mõned nagu:

Ja jagame mõlemad osad 25-ga, st. rakendage teist teisendust uuesti:

See on kõik. Vastus: X=0,16

Pange tähele: algse segase võrrandi meeldivaks muutmiseks kasutasime kahte (ainult kahte!) identsed teisendused- tõlkimine vasakule-paremale koos märgi muutmise ja võrrandi sama arvuga korrutamise-jagamisega. See on universaalne viis! Me töötame sel viisil ükskõik milline võrrandid! Absoluutselt ükskõik milline. Seetõttu kordan neid identseid teisendusi kogu aeg.)

Nagu näete, on lineaarvõrrandite lahendamise põhimõte lihtne. Võtame võrrandi ja lihtsustame seda identsete teisenduste abil, kuni saame vastuse. Peamised probleemid on siin arvutustes, mitte lahenduse põhimõttes.

Aga ... Kõige elementaarsemate lineaarvõrrandite lahendamise protsessis on niisuguseid üllatusi, et need võivad ajada tugevasse stuuporisse...) Õnneks saab selliseid üllatusi olla ainult kaks. Nimetagem neid erijuhtumiteks.

Erijuhud lineaarvõrrandite lahendamisel.

Üllatus kõigepealt.

Oletame, et kohtate elementaarvõrrandit, näiteks:

2x+3=5x+5 - 3x -2

Pisut igavledes kanname X-ga üle vasakule, ilma X-ga - paremale ... Märgivahetusega on kõik lõug-chinar ... Saame:

2x-5x+3x=5-2-3

Me usume ja ... oh imet! Saame:

Iseenesest pole see võrdsus taunitav. Null on tõesti null. Aga X on kadunud! Ja me peame vastusesse kirjutama, millega x on võrdne. Muidu lahendus ei loe, jah...) Ummik?

Rahune! Sellistel kahtlastel juhtudel päästavad kõige üldisemad reeglid. Kuidas võrrandeid lahendada? Mida tähendab võrrandi lahendamine? See tähendab, leidke kõik x väärtused, mis algsesse võrrandisse asendatuna annavad meile õige võrdsuse.

Kuid meil on õige võrdsus juba juhtus! 0=0, kus tegelikult?! Jääb üle välja mõelda, milliste x-dega see saadakse. Milliste x väärtustega saab asendada esialgne võrrand, kui need x-id ikka kahaneb nullini? Ole nüüd?)

Jah!!! X-e saab asendada ükskõik milline! Mida sa tahad. Vähemalt 5, vähemalt 0,05, vähemalt -220. Need kahanevad ikkagi. Kui te mind ei usu, saate seda kontrollida.) Asendage suvalised x väärtused esialgne võrrand ja arvutada. Kogu aeg saadakse puhas tõde: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 ja nii edasi.

Siin on teie vastus: x on suvaline arv.

Vastuse saab kirjutada erinevate matemaatiliste sümbolitega, olemus ei muutu. See on täiesti õige ja täielik vastus.

Teiseks üllatus.

Võtame sama elementaarlineaarvõrrandi ja muudame selles ainult ühte arvu. Selle otsustame:

2x+1=5x+5–3x–2

Pärast samu identseid teisendusi saame midagi intrigeerivat:

Nagu nii. Lahendas lineaarvõrrandi, sai kummalise võrrandi. Matemaatiliselt öeldes on meil vale võrdsus. Ja rääkides selge keel, see ei ole tõsi. Märatsema. Kuid sellegipoolest on see jama võrrandi õigeks lahendamiseks üsna hea põhjus.)

Jällegi, me mõtleme alates üldreeglid. Mida x meile algsesse võrrandisse asendades annab õige võrdsus? Jah, mitte ühtegi! Selliseid xe pole olemas. Mida iganes asendate, kõik väheneb, jama jääb alles.)

Siin on teie vastus: lahendusi pole.

See on ka täiesti õige vastus. Matemaatikas tuleb selliseid vastuseid sageli ette.

Nagu nii. Nüüd ma loodan, et X-de kadumine mis tahes (mitte ainult lineaarse) võrrandi lahendamisel ei häiri teid üldse. Asi on tuttav.)

Nüüd, kui oleme käsitlenud kõiki lineaarvõrrandite lõkse, on mõttekas need lahendada.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Tagaseljaotsuse võib lisaks seaduses sätestatud erandlikele otsustusviisidele tühistada sama kohus asja sisulise läbivaatamise jätkamisega kostja taotlusel, kui ta suudab tõendada, et tema kohtuistungile ilmumata jätmine oli tingitud mõjuvatest põhjustest.

Sõlminud poole otsusega on võimalik tutvuda juriidilist jõudu kassatsioonimenetluses, kui kohus ennistas mõjuval põhjusel mööda lastud kassatsiooniperioodi.

eksklusiivsus:

Ainuõigus on samade poolte või nende õigusjärglaste vahelises asjas samade poolte või nende õigusjärglaste vahelises kohtuasjas uuesti kohtusse pöördumise võimatus (nõude põhjendused) kui on olemas jõustunud otsus.

Kui pärast kostjalt perioodiliste maksete sissenõudmise otsuse jõustumist muutuvad maksete suuruse või nende kestuse määramist mõjutavad asjaolud, siis on kummalgi poolel õigus uue nõude esitamisega nõuda väljamaksete suuruse määramist või nende kestust mõjutavat asjaolu. maksete summa ja aja muutmine.

Sel juhul muutuvad uued nõuded kohtus arutusele, tehakse uus otsus, mis jõustub üldreeglite kohaselt.

Samuti ei ole aktsepteeritav identse tasutaotluse esitamine, kui esialgsel läbivaatamisel lahendati lõplikult pooltevaheline vaidlus kokkuleppemenetluse kinnitamise või kaebaja nõuetest loobumise määrusega. Menetluse lõpetamise korral ei ole teisene edasikaebamine kohtusse lubatud.

Nõutav vara:

Siduvus tähendab, et riigiorganid, ametiisikud, organisatsioonid ja kodanikud on kohustatud allutama oma tegevuse otsuse sisule.

Tsiviilkohtumenetluse seadustik rõhutab, et otsus on siduv kogu Vene Föderatsiooni territooriumil ning seaduses sätestatud juhtudel võivad Vene Föderatsiooni kohtud pöörduda otsuste täitmise nõudega välisriikide kohtutesse.

Samuti on riigiorganitel ja ametiisikutel kohustus teha vajalikke toiminguid jõustunud kohtulahendiga kehtestatud õiguste vormistamiseks ja registreerimiseks.

Kohtuotsuse pärast jõustumist peavad kohustatud isikud täitma vabatahtlikult, vajadusel sunniviisiliselt täitevorganite poolt.

Otsuses ette nähtud toimingute elluviimise vajadust nimetatakse otsuste teostatavuseks.

See on osa kohustusest. Kohustuse mõiste on laiem kui teostatavus, see hõlmab ka kõigi isikute ja organisatsioonide kohustust, kellel antud juhul otsest vastutust ei ole. seaduslik huvi austada kohtuotsuse autoriteeti ja aidata kaasa selle täitmisele.

Otsused on kõikidel juhtudel siduvad, kuid kõiki neid ei pea täitma, kuna neid ei saa täita. Näiteks ei pea tunnustamisnõuete kohta tehtud otsused kostja poolt vaidlustatud õiguse kaitsmiseks võtma konkreetseid meetmeid. Nende sidumiseks piisab, kui kohus tunnustab teatud asjaolusid või õigussuhteid (näiteks: isaduse tuvastamine, autorõiguse tunnustamine jne).

Tunnustamistaotluste kohta tehtud otsustel võib olla hüvitise taotlust kahjustav mõju. Näiteks isaduse tuvastamise otsusel on kohtueelne tähendus alimentide sissenõudmise nõude menetlemisel. Samuti on autoriõiguse tunnustamise otsus kohtule kohustuslik kirjastuselt autoritasu sissenõudmise korral.

Vene Föderatsiooni perekonnaseadustik sisaldab lisaks perekonnaõiguse küsimustele mitmeid menetlusreegleid, mis käsitlevad kohtu toiminguid (kohustusi) pärast otsuse tegemist. Näiteks märgib Ühendkuningriik, et kohus on kohustatud kolme päeva jooksul alates abielulahutuse kohtuotsuse jõustumisest saatma selle otsuse väljavõtte abielu riikliku registreerimise koha perekonnaseisuametitele. .

Perekonnaõigus kohustab kohut tegema otsuse täitmiseks teatud toiminguid. Pärast jõustumist omandavad kohtulahendid õigusjõu olemusest, eelarvamuse kvaliteedist (ettemääratlusest) tulenevad omadused.

Eelarvamus tähendab, et kohtu tuvastatud ja otsusega fikseeritud seoseid ja fakte ei saa kohtu- ja haldusorganite teisese läbivaatamise käigus ümber lükata.

Eelarvamused taanduvad reeglitele:

1. Kohus, haldusorganid, kes tegutsevad kohtualluvuse organina, analüüsides täielikult või osaliselt uuesti asjaolusid ja suhteid, mille sisu kohus on tuvastanud jõustunud lahendis, on kohustatud tuginema oma otsused nende asjaolude ja suhete kohta samas vormis, milles need tuvastati, st kohtulahendis juba tuvastatud asjaolusid ei tõendata uuesti.

2. Pool, kes tugineb oma nõuetes õigussuhetele, mis olid täielikult või osaliselt jõustunud kohtulahendi esemeks, ei tohi korduvalt tõendada nende õigussuhete olemasolu, nende koostisosade sisu, samuti kui poolte nõuete aluseks olevad juriidilised faktid.

Seosed ja faktid loetakse kehtivateks, tõendamisele ei kuulu otsuse juriidilise jõu kehtivuse ajal, st kuni otsuse tühistamiseni. Kaebaja nõudele vastu vaieldav teine ​​pool ei saa esitada tõendeid, mis lükkaksid ümber kohtu poolt varem tuvastatud faktid ja asjaolud, samuti nõuda kohtult nende uurimist ja asjale lisamist.

3. Kui uurimuse objektiks on suhe, mille sisu on tuvastatud, jõustunud otsus, siis kehtib õigussuhtele selle mis tahes osas täies ulatuses ettemääratus, see tähendab eelarvamus sellisel kujul, nagu see oli õigusuuringu teema.

Jõustunud otsusel on kriminaalasja arutamisel kohtueelne tähendus. Jõustunud kohtuotsus kriminaalasjas on tsiviilasja arutavale kohtule siduv. õiguslikud tagajärjed isiku tegevus, kelle suhtes tehti kohtuotsus küsimustes, kas see tegu toimus ja kas selle pani toime see isik.

Selles videos analüüsime tervet rida lineaarvõrrandeid, mis lahendatakse sama algoritmi abil – seepärast nimetatakse neid ka kõige lihtsamateks.

Alustuseks defineerime: mis on lineaarvõrrand ja millist neist tuleks nimetada kõige lihtsamaks?

Lineaarvõrrand on selline, milles on ainult üks muutuja ja ainult esimesel astmel.

Lihtsaim võrrand tähendab konstruktsiooni:

Kõik muud lineaarsed võrrandid taandatakse algoritmi abil kõige lihtsamateks:

1. Avatud sulgud, kui need on olemas;
2. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrdusmärgi ühele küljele ja ilma muutujata terminid teisele poole;
3. Tooge sarnased terminid võrdusmärgist vasakule ja paremale;
4. Jagage saadud võrrand muutuja $x$ koefitsiendiga.

Loomulikult ei aita see algoritm alati. Fakt on see, et mõnikord osutub pärast kõiki neid mahhinatsioone muutuja $x$ koefitsient võrdseks nulliga. Sel juhul on kaks võimalust:

1. Võrrandil pole üldse lahendeid. Näiteks kui saate midagi sellist nagu $0\cdot x=8$, st. vasakul on null ja paremal on nullist erinev arv. Allolevas videos vaatleme mitmeid põhjuseid, miks selline olukord on võimalik.
2. Lahenduseks on kõik numbrid. Ainus juhtum, kui see on võimalik, on siis, kui võrrand on taandatud konstruktsioonile $0\cdot x=0$. On täiesti loogiline, et ükskõik, millise $x$ me asendame, selgub ikkagi “null võrdub nulliga”, s.t. õige arvuline võrdsus.

Ja nüüd vaatame tegelike probleemide näitel, kuidas see kõik toimib.

Näited võrrandite lahendamisest

Tänapäeval käsitleme lineaarseid võrrandeid ja ainult kõige lihtsamaid. Üldiselt tähendab lineaarvõrrand mis tahes võrdsust, mis sisaldab täpselt ühte muutujat, ja see läheb ainult esimese astmeni.

Sellised konstruktsioonid lahendatakse ligikaudu samal viisil:

1. Kõigepealt peate avama sulud, kui need on olemas (nagu meie viimases näites);
2. Seejärel tooge sarnased
3. Lõpuks isoleeri muutuja, st. kõik, mis on muutujaga seotud - terminid, milles see sisaldub - kantakse üle ühele poole ja kõik, mis jääb ilma, kandub teisele poole.

Seejärel peate reeglina saadud võrdsuse mõlemale küljele tooma sarnased ja pärast seda jääb üle vaid jagada koefitsiendiga "x" ja saame lõpliku vastuse.

Teoreetiliselt tundub see kena ja lihtne, kuid praktikas võivad isegi kogenud keskkooliõpilased üsna lihtsates lineaarvõrrandites solvavaid vigu teha. Tavaliselt tehakse vigu kas sulgude avamisel või "plusside" ja "miinuste" lugemisel.

Lisaks juhtub, et lineaarvõrrandil pole lahendeid üldse või nii, et lahendiks on terve arvsirge, s.t. suvaline number. Analüüsime neid peensusi tänases õppetükis. Kuid nagu te juba aru saite, alustame kõige lihtsamate ülesannetega.

Lihtsate lineaarvõrrandite lahendamise skeem

Alustuseks lubage mul veel kord kirjutada kogu skeem kõige lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. Laiendage sulgusid, kui neid on.
2. Eraldage muutujad, st. kõik, mis sisaldab "x", kantakse ühele poole ja ilma "x"ta - teisele poole.
3. Esitame sarnased terminid.
4. Jagame kõik koefitsiendiga "x".

Muidugi ei tööta see skeem alati, sellel on teatud peensused ja nipid ning nüüd õpime neid tundma.

Lihtsate lineaarvõrrandite reaalsete näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Esimeses etapis peame avama sulgud. Kuid need pole selles näites, seega jätame selle sammu vahele. Teises etapis peame muutujad isoleerima. Pange tähele: me räägime ainult üksikutest terminitest. Kirjutame:

Anname sarnased terminid vasakul ja paremal, kuid seda on siin juba tehtud. Seetõttu jätkame neljanda sammuga: jagage teguriga:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Siit saime vastuse.

Ülesanne nr 2

Selles ülesandes saame jälgida sulgusid, seega laiendame neid:

Nii vasakul kui ka paremal näeme ligikaudu sama konstruktsiooni, kuid tegutseme algoritmi järgi, s.t. sekvesteeri muutujad:

Siin on mõned nagu:

Millistel juurtel see toimib? Vastus: igale. Seetõttu võime kirjutada, et $x$ on suvaline arv.

Ülesanne nr 3

Kolmas lineaarvõrrand on juba huvitavam:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Siin on mitu sulgu, kuid neid ei korruta mitte millegagi, vaid neil on erinevad märgid ees. Jagame need lahti:

Teostame meile juba teadaoleva teise sammu:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Arvutame:

Viime läbi viimase sammu - jagame kõik koefitsiendiga "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Asjad, mida lineaarvõrrandite lahendamisel meeles pidada

Kui ignoreerime liiga lihtsaid ülesandeid, siis tahaksin öelda järgmist:

• Nagu ma eespool ütlesin, ei ole igal lineaarvõrrandil lahendust – mõnikord pole lihtsalt juuri;
• Isegi kui juured on, võib nende sekka null sisse pääseda - selles pole midagi halba.

Null on sama number kui ülejäänud, te ei tohiks seda kuidagi eristada ega eeldada, et kui saate nulli, siis tegite midagi valesti.

Teine omadus on seotud sulgude laiendamisega. Pange tähele: kui nende ees on "miinus", eemaldame selle, kuid sulgudes muudame märgid vastupidine. Ja siis saame selle avada standardsete algoritmide järgi: saame selle, mida nägime ülaltoodud arvutustes.

Selle lihtsa fakti mõistmine aitab vältida rumalaid ja haiget tekitavaid vigu keskkoolis, kui selliseid tegusid peetakse iseenesestmõistetavaks.

Keeruliste lineaarvõrrandite lahendamine

Liigume edasi keerukamate võrrandite juurde. Nüüd muutuvad konstruktsioonid keerulisemaks ja erinevate teisenduste tegemisel tekib ruutfunktsioon. Seda ei tasu aga karta, sest kui autori kavatsuse kohaselt lahendame lineaarvõrrandi, siis teisendusprotsessis redutseeritakse tingimata kõik ruutfunktsiooni sisaldavad monomid.

Näide nr 1

Ilmselt on esimene samm sulgude avamine. Teeme seda väga hoolikalt:

Võtame nüüd privaatsuse:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi, seega kirjutame vastuses järgmiselt:

\[\variety \]

või pole juuri.

Näide nr 2

Teeme samu samme. Esimene samm:

Liigutame kõik muutujaga vasakule ja ilma selleta paremale:

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel lineaarsel võrrandil lahendust, seega kirjutame selle järgmiselt:

\[\varnothing\],

või pole juuri.

Lahenduse nüansid

Mõlemad võrrandid on täielikult lahendatud. Nende kahe avaldise näitel veendusime veel kord, et isegi kõige lihtsamates lineaarvõrrandites ei saa kõik olla nii lihtne: neid võib olla kas üks või mitte ükski või lõpmatult palju. Meie puhul käsitlesime kahte võrrandit, mõlemas lihtsalt pole juuri.

Kuid juhin teie tähelepanu veel ühele asjaolule: kuidas töötada sulgudega ja kuidas neid laiendada, kui nende ees on miinusmärk. Mõelge sellele väljendile:

Enne avamist peate kõik korrutama "x-ga". Pange tähele: korrutage iga üksiku terminiga. Sees on kaks terminit - vastavalt kaks terminit ja korrutatakse.

Ja alles pärast seda, kui need esmapilgul elementaarsed, kuid väga olulised ja ohtlikud transformatsioonid on lõpule viidud, saab sulgu avada sellest vaatenurgast, et selle järel on miinusmärk. Jah, jah: alles nüüd, kui teisendused on tehtud, meenub, et sulgude ees on miinusmärk, mis tähendab, et kõik allpool lihtsalt muudab märke. Samal ajal kaovad klambrid ise ja mis kõige tähtsam, kaob ka eesmine "miinus".

Teeme sama teise võrrandiga:

Pole juhus, et pööran neile väikestele, pealtnäha tähtsusetutele faktidele tähelepanu. Sest võrrandite lahendamine on alati elementaarsete teisenduste jada, kus suutmatus lihtsaid toiminguid selgelt ja asjatundlikult sooritada viib selleni, et minu juurde tulevad gümnasistid ja õpivad nii lihtsaid võrrandeid uuesti lahendama.

Muidugi tuleb päev, mil lihvite need oskused automatiseerimiseks. Te ei pea enam iga kord nii palju teisendusi sooritama, kirjutate kõik ühele reale. Kuid õppimise ajal peate iga toimingu eraldi kirjutama.

Veelgi keerukamate lineaarvõrrandite lahendamine

Seda, mida me praegu lahendame, võib vaevalt nimetada kõige lihtsamaks ülesandeks, kuid tähendus jääb samaks.

Ülesanne nr 1

\[\vasak(7x+1 \parem)\vasak(3x-1 \parem)-21((x)^(2))=3\]

Korrutame kõik esimeses osas olevad elemendid:

Teeme retriiti:

Siin on mõned nagu:

Teeme viimase sammu:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Siin on meie lõplik vastus. Ja hoolimata asjaolust, et lahendamise käigus olid meil ruutfunktsiooniga koefitsiendid, tühistasid need siiski vastastikku, mis muudab võrrandi täpselt lineaarseks, mitte ruudukujuliseks.

Ülesanne nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Teeme esimese sammu ettevaatlikult: korrutage kõik esimeses sulus olevad elemendid iga teise elemendiga. Kokku tuleks pärast teisendusi saada neli uut terminit:

Ja nüüd tehke hoolikalt iga liikme korrutamine:

Liigutame terminid "x"-ga vasakule ja ilma - paremale:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Siin on sarnased terminid:

Oleme saanud lõpliku vastuse.

Lahenduse nüansid

Kõige olulisem märkus nende kahe võrrandi kohta on järgmine: niipea kui hakkame korrutama sulgusid, milles on rohkem kui liiget, tehakse seda järgmise reegli järgi: võtame esimese liikme esimesest ja korrutame iga elemendiga. teisest; siis võtame esimesest teise elemendi ja korrutame samamoodi iga teise elemendiga. Selle tulemusena saame neli terminit.

Algebralise summa kohta

Viimase näitega tahaksin õpilastele meelde tuletada, mis on algebraline summa. Klassikalises matemaatikas peame $1-7$ all silmas lihtsat konstruktsiooni: lahutame ühest seitse. Algebras peame selle all silmas järgmist: arvule "üks" lisame teise arvu, nimelt "miinus seitse". See algebraline summa erineb tavalisest aritmeetilisest summast.

Niipea, kui kõigi teisenduste, iga liitmise ja korrutamise sooritamisel hakkate nägema ülalkirjeldatutega sarnaseid konstruktsioone, pole polünoomide ja võrranditega töötamisel algebras probleeme.

Kokkuvõtteks vaatame veel paari näidet, mis on veelgi keerulisemad kui need, mida just vaatlesime, ja nende lahendamiseks peame oma standardset algoritmi veidi laiendama.

Võrrandite lahendamine murdosaga

Selliste ülesannete lahendamiseks tuleb meie algoritmile lisada veel üks samm. Kuid kõigepealt tuletan meelde meie algoritmi:

1. Avage sulgud.
2. Eraldi muutujad.
3. Too sarnased.
4. Jaga teguriga.

Kahjuks pole see suurepärane algoritm kogu oma tõhususe juures täiesti sobiv, kui meie ees on murded. Ja selles, mida me allpool näeme, on mõlemas võrrandis vasakul ja paremal murdosa.

Kuidas sel juhul töötada? Jah, see on väga lihtne! Selleks peate algoritmile lisama veel ühe sammu, mida saab teha nii enne esimest toimingut kui ka pärast seda, nimelt murdudest vabanemiseks. Seega on algoritm järgmine:

1. Vabane murdosadest.
2. Avage sulgud.
3. Eraldi muutujad.
4. Too sarnased.
5. Jaga teguriga.

Mida tähendab "murdudest vabanemine"? Ja miks on seda võimalik teha nii pärast kui ka enne esimest standardset sammu? Tegelikult on meie puhul kõik murrud nimetaja poolest numbrilised, st. kõikjal on nimetaja vaid arv. Seega, kui me korrutame mõlemad võrrandi osad selle arvuga, siis vabaneme murdudest.

Näide nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vabaneme selle võrrandi murdudest:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pange tähele: kõik korrutatakse “neljaga” üks kord, st. see, et teil on kaks sulud, ei tähenda, et peate need kõik korrutama "neljaga". Kirjutame:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nüüd avame selle:

Teostame muutuja eraldamise:

Vähendame sarnaseid termineid:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Oleme saanud lõpplahenduse, liigume teise võrrandi juurde.

Näide nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Siin teostame kõik samad toimingud:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem lahendatud.

See on tegelikult kõik, mida ma täna öelda tahtsin.

Võtmepunktid

Peamised leiud on järgmised:

• Teadma lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi.
• Sulgude avamise võimalus.
• Ärge muretsege, kui teil on kuskil ruutfunktsioone, tõenäoliselt vähendatakse neid edasiste teisenduste käigus.
• Lineaarvõrrandite juured, isegi kõige lihtsamad, on kolme tüüpi: üks juur, kogu arvurida on juur, juuri pole üldse.

Loodan, et see õppetund aitab teil omandada lihtsa, kuid väga olulise teema kogu matemaatika edasiseks mõistmiseks. Kui midagi pole selge, minge saidile, lahendage seal esitatud näited. Püsige lainel, teid ootab veel palju huvitavat!