Ներկայացում ութանիստի թեմայով. Դոդեկեդրոնի հատկությունները և հետաքրքիր փաստերը

Սահմանում.ուռուցիկ բազմանիստ կոչվում է
ճիշտ է, եթե նրա բոլոր երեսներն են
հավասար կանոնավոր բազմանկյուններ և
նրա գագաթներից յուրաքանչյուրը համընկնում է նույնը
նույնքան կողիկներ: Ճիշտ է
կա ընդամենը հինգ բազմաեդր՝ քառաեդրոն,
վեցանկյուն, ութանետրոն, տասներորդ, իկոսաեդրոն:

Տետրաեդրոն
Ութանիստ
Տետրաեդրոն - ամենապարզ բազմանիստը, դեմքերը
որոնք չորս եռանկյուններ են։ ժամը
քառաեդրոն՝ 4 երես, 4 գագաթ և 6 եզր։ քառաեդրոն, u
որոնց բոլոր դեմքերը հավասարակողմ են
եռանկյունները կոչվում են
ճիշտ. Ճիշտ արեք
տետրաեդրոն բոլոր երկնիշ անկյունները եզրերին և
Եռանկյուն գագաթի բոլոր անկյունները հավասար են:
Ութանիստ - ունի 8 եռանկյուն երես, 12 եզր, 6
գագաթները, յուրաքանչյուր գագաթին հանդիպում են 4 եզրեր:

Կանոնավոր պոլիեդրների օրինակներ.

իկոսաեդրոն
Cube
Icosahedron - կանոնավոր ուռուցիկ
բազմանիստ, քսանակողմ. 20-ից յուրաքանչյուրը
դեմքերն է
հավասարակողմ եռանկյուն. Ծայրերի թիվը կազմում է
30, գագաթների թիվը՝ 12. Իկոսաեդրոնն ունի
59 աստղային ձևեր.
Խորանարդը կանոնավոր բազմանիստ է, յուրաքանչյուր դեմք
որը քառակուսի է։ Գագաթներ -
8, եզրեր՝ 12, երեսակներ՝ 6։

Կանոնավոր պոլիեդրների օրինակներ.

Դոդեկաեդրոն
Դոդեկաեդրոն - կազմված է
տասներկու ճիշտ
հնգանկյուններ, որոնք իրենն են
դեմքեր.
Դոդեկեդրոնի յուրաքանչյուր գագաթ
երեք կանոնավորի գագաթն է
հնգանկյուններ. Այսպիսով,
տասներկու երես ունի 12 դեմք
(հնգանկյուն), 30 կողիկներ և 20
գագաթներ (յուրաքանչյուրում 3 եզր է համընկնում):

Բնութագրեր և բանաձևեր.

Կանոնավոր քառաեդրոնի համաչափության տարրեր.
Կանոնավոր քառաեդրոնը կենտրոն չունի
համաչափություն. Բայց այն ունի երեք առանցք
համաչափություն և վեց հարթություն
համաչափություն.

Կանոնավոր ութանիստի համաչափության տարրեր.

Կանոնավոր ութանիստն ունի կենտրոն
սիմետրիա - իր առանցքների հատման կետը
համաչափություն. 9 ինքնաթիռներից երեքը
քառաեդրոնի համաչափություններն անցնում են
մեջ ընկած ութանիստի յուրաքանչյուր 4 գագաթ
մեկ ինքնաթիռ. վեց ինքնաթիռ
համաչափություններն անցնում են երկու գագաթներով,
նույն դեմքին չպատկանող, և
Հակառակ կողերի միջին կետերը:

Կանոնավոր իկոսաեդրոնի համաչափության տարրեր.

Կանոնավոր իկոսաեդրոնն ունի 15 առանցք
համաչափություններ, որոնցից յուրաքանչյուրն անցնում է
հակառակի միջնակետերի միջով
զուգահեռ կողիկներ. Խաչմերուկի կետ
իկոսաեդրոնի համաչափության բոլոր առանցքներից է
նրա համաչափության կենտրոնը։ Ինքնաթիռներ
համաչափություն նույնպես 15. Հարթություններ
սիմետրիաներն անցնում են չորսով
գագաթները, որոնք գտնվում են նույն հարթության վրա, և
Հակառակ զուգահեռի միջնակետեր
կողիկներ.

Խորանարդի համաչափության տարրեր.

Խորանարդն ունի համաչափության մեկ կենտրոն.
նրա անկյունագծերի հատման կետը նույնպես
Համաչափության կենտրոնով անցնում է 9 առանցք
համաչափություն. Խորանարդի համաչափության հարթություններ
նաև 9 և նրանք կամ անցնում են
հակառակ կողիկներ.

Կանոնավոր դոդեկաեդրոնի համաչափության տարրեր.

Սովորական տասներկուանիստն ունի կենտրոն
համաչափություն և համաչափության 15 առանցք: Յուրաքանչյուրը
առանցքներից անցնում է մեջտեղով
հակառակ զուգահեռ եզրեր:
Դոդեկաեդրոնն ունի 15 ինքնաթիռ
համաչափություն. Ինքնաթիռներից որևէ մեկը
սիմետրիա անցնում է յուրաքանչյուր դեմքի վրա
վերևի և միջինի միջով
հակառակ կող.

Ամբողջ տեղեկատվությունը վերցված է.

http://licey102.k26.ru/
http://math4school.ru
wikipedia.org
Երկրաչափության դասագիրք 10-11-րդ դասարանների համար

Կանոնավոր պոլիեդրների մասին ամենահին հիշատակումներից մեկը Պլատոնի տրակտատում է (Ք.ա.) «Տիմաուս»: Ուստի կանոնավոր պոլիեդրաները կոչվում են նաև պլատոնական պինդ մարմիններ (չնայած դրանք հայտնի են եղել Պլատոնից շատ առաջ)։ Կանոնավոր պոլիեդրներից յուրաքանչյուրը, և ընդհանուր առմամբ կան հինգ: Պլատոնը կապված է չորս «երկրային» տարրերի հետ՝ երկիր (խորանարդ), ջուր (իկոսաեդրոն), կրակ (տետրաեդրոն), օդ (ութանիստ), ինչպես նաև «ոչ երկրային» տարրի՝ երկնքի (դոդեկաեդրոն) հետ։

Կանոնավոր բազմանիստը կամ Պլատոնական պինդը ուռուցիկ բազմաիդրոն է՝ հնարավոր ամենամեծ համաչափությամբ։ Բազմանկյունը կոչվում է կանոնավոր, եթե այն ուռուցիկ է, նրա բոլոր երեսները հավասար են կանոնավոր բազմանկյունները, որոնք համընկնում են նրա յուրաքանչյուր գագաթին: նույն թիվըդեմքերը, նրա բոլոր երկփեղկ անկյունները հավասար են

Հետաքրքիր փաստ ենք նշում՝ կապված վեցանկյունի (խորանարդի) և ութանիստի հետ։ Խորանարդն ունի 6 երես, 12 եզր և 8 գագաթ, իսկ ութանիստը՝ 8 դեմք, 12 եզր և 6 գագաթ։ Այսինքն՝ մի պոլիէդրոնի երեսների թիվը հավասար է մյուսի գագաթների թվին և հակառակը։ Ենթադրվում է, որ խորանարդը և վեցանկյունը միմյանց նկատմամբ երկակի են: Դա դրսևորվում է նաև նրանով, որ եթե վերցնում ես խորանարդը և կառուցում մի բազմանիստ, որի երեսների կենտրոններում գագաթներով, ապա, ինչպես հեշտությամբ տեսնում ես, ստանում ես ութանիստ։ Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ութանիստի երեսների կենտրոնները ծառայում են որպես խորանարդի գագաթներ։ Սա հենց ութանիստի և խորանարդի երկակիությունն է (նկ.): Հեշտ է պարզել, որ եթե վերցնենք կանոնավոր քառանիստի երեսների կենտրոնները, ապա նորից կստացվի կանոնավոր քառաեդրոն (նկ.): Այսպիսով քառաեդրոնն ինքնին երկակի է:

Հայտնի մաթեմատիկոս և աստղագետ Կեպլերը մոդել է կառուցել Արեգակնային համակարգորպես հաջորդաբար մակագրված և շրջագծված կանոնավոր բազմանիստ և գնդերի շարք։ Ո՞րն է Կեպլերի ստացած մոլորակների դասավորվածության կարգը (կանոնավոր պոլիեդրների «պահանջներին» համապատասխան։ Սատուրնի ուղեծրի ոլորտում խորանարդ էր գրված, իսկ Յուպիտերի ուղեծրի գունդը՝ դրանում; քառաեդրոն տեղավորվում է այս ոլորտում, դրա մեջ՝ Մարսի ուղեծրի ոլորտը. հետագա՝ դոդեկաեդրոն - Երկրի ուղեծրի ոլորտ - իկոսաեդրոն - Վեներայի ուղեծրի ոլորտ - օկտաեդրոն - Մերկուրիի ուղեծրի գունդ:

Ներկայացումների նախադիտումն օգտագործելու համար ստեղծեք հաշիվ ձեզ համար ( հաշիվ) Google և մուտք գործեք՝ https://accounts.google.com

Սլայդների ենթագրեր.

Բազմայրն այն մարմինն է, որի մակերեսը բաղկացած է վերջավոր թվով հարթ բազմանկյուններից։

Կանոնավոր պոլիեդրաներ

Քանի՞ կանոնավոր բազմանիստ կա: -Ինչպե՞ս են դրանք սահմանվում, ի՞նչ հատկություններ ունեն։ -Որտե՞ղ են հանդիպում, ունե՞ն գործնական կիրառություն։

Ուռուցիկ բազմանկյունը կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա բոլոր երեսները հավասար կանոնավոր բազմանկյուններ են և նույն թվով եզրեր են համընկնում նրա յուրաքանչյուր գագաթին:

«hedra» - դեմք «tetra» - չորս hexes «- վեց «octa» - ութ «dodeca» - տասներկու «icos» - քսան Այս պոլիեդրների անունները ծագել են. Հին Հունաստանև նրանք նշում են դեմքերի թիվը:

Կանոնավոր բազմանիստի անվանումը Դեմքի տեսակը Դեմքերի երեսների եզրերի գագաթների թիվը, որոնք համընկնում են մեկ գագաթին Քառանկյուն Կանոնավոր եռանկյուն 4 6 4 3 Ութանիստ Կանոնավոր եռանկյուն 6 12 8 4 Իկոզաեդրոն Կանոնավոր եռանկյուն 12 30 Քառակուսի 2085 Դոդեկաեդրոն Կանոնավոր հնգանկյուն 20 30 12 3 Տվյալներ կանոնավոր բազմանիստների մասին

Հարց (խնդիր). Քանի՞ կանոնավոր բազմանիստ կա: Ինչպե՞ս սահմանել դրանց թիվը:

α n = (180 °(n -2)): n Բազմեյդոնի յուրաքանչյուր գագաթ ունի առնվազն երեք հարթ անկյուն, և դրանց գումարը պետք է լինի 360 °-ից պակաս: Դեմքերի ձևը Դեմքերի թիվը մեկ գագաթի վրա Բազմանի գագաթի հարթ անկյունների գումարը Եզրակացություն բազմանիստի գոյության մասին α = 3 α = 4 α = 5 α = 6 α = 3 α = 4 α = 3 α. = 4 α = 3

Լ. Քերոլ

Հնության մեծ մաթեմատիկոս Արքիմեդ Էվկլիդես Պյութագորասը

Հին հույն գիտնական Պլատոնը մանրամասն նկարագրել է կանոնավոր պոլիեդրների հատկությունները։ Այդ իսկ պատճառով կանոնավոր պոլիեդրները կոչվում են պլատոնական պինդ մարմիններ։

քառաեդրոն - կրակի խորանարդ - երկրային ութանիստ - օդային իկոսաեդրոն - ջրային դոդեկաեդրոն - տիեզերք

Պոլիեդրաները տիեզերքի և երկրի գիտությունների մեջ

Յոհաննես Կեպլեր (1571-1630) գերմանացի աստղագետ և մաթեմատիկոս։ Ժամանակակից աստղագիտության հիմնադիրներից մեկը - հայտնաբերել է մոլորակների շարժման օրենքները (Կեպլերի օրենքներ)

Kepler Cup Space

«Էկոզաեդրոն - Երկրի տասներկուանիստ կառուցվածքը»

Պոլիեդրան արվեստի և ճարտարապետության մեջ

Ալբրեխտ Դյուրեր (1471-1528) «Մելանխոլիա»

Սալվադոր Դալի «Վերջին ընթրիք»

Ժամանակակից ճարտարապետական ​​կառույցներ պոլիէդրոնների տեսքով

Ալեքսանդրյան փարոս

Շվեյցարացի ճարտարապետի աղյուսե պոլիէդրոն

Ժամանակակից շենք Անգլիայում

Պոլիեդրա բնության մեջ

Պիրիտ (ծծմբային պիրիտներ) Կալիումի շիբի միաբյուրեղ Կարմիրի բյուրեղներ պղնձի հանքաքարԲՆԱԿԱՆ Բյուրեղներ

Սեղանի աղը բաղկացած է բյուրեղներից՝ խորանարդի տեսքով, սիլվին հանքանյութն ունի նաև բյուրեղյա վանդակ՝ խորանարդի տեսքով։ Ջրի մոլեկուլները քառաեդրոնի ձև ունեն։ Կուպրիտ հանքանյութը բյուրեղներ է առաջացնում ութանիստների տեսքով։ Պիրիտի բյուրեղները ունեն դոդեկաեդրոնի ձև

Ադամանդ Ադամանդը, նատրիումի քլորիդը, ֆտորիտը, օլիվինը և այլ նյութեր բյուրեղանում են ութանիստի տեսքով։

Պատմականորեն կտրվածքի առաջին ձևը, որը հայտնվեց XIV դարում, ութանիստն էր: Diamond Shah Diamond քաշը 88,7 կարատ

Առաջադրանք Բրիտանական թագուհիհրահանգներ է տվել ոսկե թելով կտրել ադամանդի եզրերը: Բայց կտրվածքը չի արվել, քանի որ ոսկերիչը չի կարողացել հաշվարկել առավելագույն երկարությունըոսկե թել, բայց ադամանդը իրեն ցույց չտվեցին։ Ոսկերչին տրվել են հետևյալ տվյալները՝ գագաթների քանակը B=54, երեսների քանակը G=48, ամենամեծ եզրի երկարությունը L=4 մմ։ Գտեք ոսկե թելի առավելագույն երկարությունը:

Կանոնավոր բազմանիստ Դեմքերի թիվը Գծեր եզրեր Չորեքէջ 4 4 6 Խորանարդ 6 8 12 Ութանիստ 8 6 12 Դոդեկաեդրոն 12 20 30 Իկոսաեդրոն 20 12 30 Հետազոտություն«Էյլերի բանաձևը»

Էյլերի թեորեմ. Ցանկացած ուռուցիկ բազմանկյունի համար В + Г - 2 = Р, որտեղ В-ն գագաթների թիվն է, Г-ը դեմքերի թիվը, Р-ն այս բազմանիստի եզրերի թիվն է:

ՖԻՍՄԻՆՈՒՏ!

Խնդիր Գտե՛ք անկյունը կանոնավոր ութանիստի երկու եզրերի միջև, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ, բայց միևնույն դեմքին չեն պատկանում:

Խնդիր Գտե՛ք 12 սմ եզրով կանոնավոր քառաեդրոնի բարձրությունը:

Բյուրեղն ունի ութանիստի ձև, որը բաղկացած է ընդհանուր հիմքով երկու կանոնավոր բուրգերից, բուրգի հիմքի եզրը 6 սմ է: Ութանիստի բարձրությունը 8 սմ է: Գտեք կողային մակերեսի մակերեսը: \u200bյուրեղը

Մակերեւույթի մակերեսը քառաեդրոն Իկոսաեդրոն Դոդեկաեդրոն Վեցանկյուն Ութաթեդրոն

Տնային առաջադրանք՝ mnogogranniki.ru Օգտագործելով մշակումները՝ պատրաստեք 1-ին կանոնավոր բազմանկյունի 15սմ կողմով, 1-ին կիսանորգ բազմանկյունի մոդելները։

Շնորհակալություն ձեր աշխատանքի համար:

Բազմանդրոնը բազմանկյուններից կազմված մակերես է և ընդգրկում է որոշ երկրաչափական մարմին: Բազմայրերը ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ բազմանկյուններ են.

Octahedron Octahedron (հունարեն οκτάεδρον, հունարեն οκτώ, «ութ» և հուն. έδρα «հիմք») հինգ ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստներից մեկն է, այսպես կոչված, պլատոնական պինդ մարմինները հունարենում։ կանոնավոր բազմանիստ Պլատոնական ութանիստն ունի 8 եռանկյուն երես, 12 եզր, 6 գագաթ, 4 եզր միաձուլվում է նրա յուրաքանչյուր գագաթին:

Icosahedron Icosahedron (հունարենից εικοσάς twenty; -εδρον դեմք, դեմք, հիմք) կանոնավոր ուռուցիկ բազմանիստ, քսանակողմ, պլատոնական պինդ մարմիններից մեկը։ 20 երեսներից յուրաքանչյուրը հավասարակողմ եռանկյուն է: Եզրերի թիվը 30 է, գագաթների թիվը՝ 12։ Սիկոզաեդրոնն ունի 59 աստղային ձև։

Դոդեկաեդրոն Դոդեկադրոն (հունարեն δώδεκα տասներկու և εδρον դեմքից), տասներկու կանոնավոր հնգանկյուններից կազմված կանոնավոր բազմանկյուն: Տասնյակի յուրաքանչյուր գագաթը երեք կանոնավոր հնգանկյունների գագաթն է Կանոնավոր հնգանկյունների հունական կանոնավոր բազմանկյուն գագաթ Այսպիսով, տասներկուանիստն ունի 12 երես (հնգանկյուն), 30 եզր և 20 գագաթ (յուրաքանչյուրում 3 եզրը համընկնում է): 20 գագաթներից յուրաքանչյուրի հարթ անկյունների գումարը 324° է

սլայդ 1

սլայդ 2

ՍԻՄԵՏՐԻԱ ՏԻԵԶԵՐՈՒԹՅԱՆ ՄԵՋ «Սիմետրիան այն գաղափարն է, որի միջոցով մարդը փորձել է ընկալել և ստեղծել կարգ, գեղեցկություն և կատարելություն» (Գ. Վեյլ) Համաչափությունը («համաչափությունը») համապատասխանություն է, անփոփոխություն (անփոփոխություն), որն արտահայտվում է ցանկացած փոխակերպումների ժամանակ։ Այսպիսով, օրինակ, մարմնի գնդաձև համաչափությունը նշանակում է, որ մարմնի տեսքը չի փոխվի, եթե այն պտտվի տարածության մեջ կամայական անկյուններով՝ տեղում պահելով մեկ կետ։ Լենարդո դա Վինչիի «Վիտրուվիական մարդը» (1490, Վենետիկ)

սլայդ 3

ՍԻՄԵՏՐԻԱ ՏԵՂԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆՈՒՄ A և A1 կետերը կոչվում են սիմետրիկ O կետի նկատմամբ (համաչափության կենտրոն), եթե O-ն AA1 հատվածի միջնակետն է։ O կետը համարվում է իր նկատմամբ սիմետրիկ: A A1

սլայդ 4

ՍԻՄԵՏՐՈՒԹՅՈՒՆ ՏԵՂԱԾՈՒԹՅԱՆ ՄԵՋ A և A1 կետերը կոչվում են սիմետրիկ ուղիղ գծի նկատմամբ (համաչափության առանցք), եթե ուղիղ գիծն անցնում է AA1 հատվածի միջով և ուղղահայաց է այս հատվածին։ a ուղիղի յուրաքանչյուր կետ համարվում է իր նկատմամբ սիմետրիկ։ Ա1

սլայդ 5

ՍԻՄԵՏՐԻԱ ՏԵՂԱԾՈՒԹՅԱՆ ՄԵՋ A և A1 կետերը կոչվում են սիմետրիկ հարթության նկատմամբ (սիմետրիայի հարթություն), եթե այս հարթությունն անցնում է AA1 հատվածի միջով և ուղղահայաց է այս հատվածին։ Ինքնաթիռի յուրաքանչյուր կետ համարվում է սիմետրիկ իր նկատմամբ:

սլայդ 6

ՍԻՄԵՏՐՈՒԹՅՈՒՆ ՏԱՐԱԾՈՒԹՅԱՆ ՄԵՋ Կետը (ուղիղ, հարթություն) կոչվում է պատկերի համաչափության կենտրոն (առանցք, հարթություն), եթե պատկերի յուրաքանչյուր կետ նրա նկատմամբ համաչափ է նույն պատկերի ինչ-որ կետի նկատմամբ։ Եթե ​​պատկերն ունի համաչափության կենտրոն (առանցք, հարթություն), ապա ասում են, որ այն ունի կենտրոնական (առանցքային, հայելային) համաչափություն.

Սլայդ 7

ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ՆԿԱՐՆԵՐԻ ՍԻՄԵՏՐՈՒԹՅԱՆ ՕՐԻՆՆԵՐ Զուգահեռագիծն ունի միայն կենտրոնական համաչափություն: Նրա համաչափության կենտրոնը անկյունագծերի հատման կետն է։Հավասարսուռ տրապիզը ունի միայն առանցքային համաչափություն։ Նրա համաչափության առանցքը ուղղահայաց է, որը գծված է տրապեզի հիմքերի միջնակետերի միջով։Ռոմբն ունի և՛ կենտրոնական, և՛ առանցքային համաչափություն։ Նրա սիմետրիայի առանցքը նրա ցանկացած անկյունագիծ է. սիմետրիայի կենտրոն - դրանց հատման կետը

Սլայդ 8

ԿԱՆՈՆԱԿԱՆ ԲԱԶԱՆԻՐՆԵՐ - 5 ՊԼԱՏՈՆԱԿԱՆ ՄԱՐՄԻՆՆԵՐ Նույնիսկ ամենահեռավոր գալակտիկայի բնակիչները չեն կարող մեզ անհայտ կանոնավոր ուռուցիկ բազմանիստ ձևով զառեր խաղալ: Մ. Գարդներ Ուռուցիկ բազմանկյունը կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա բոլոր երեսները հավասար կանոնավոր բազմանկյուններ են և նույն թվով եզրեր միանում են նրա յուրաքանչյուր գագաթին: Նաև կանոնավոր բազմանկյունի բոլոր եզրերը հավասար են, ինչպես և բոլոր երկանկյուն անկյունները, որոնք պարունակում են ընդհանուր եզրով երկու երես: Չկա կանոնավոր բազմանիստ, որի դեմքերը n-գոններ են n > կամ = 6-ի համար:

Սլայդ 9

ԿԱՆՈՆԱԿԱՆ ՏԵՏՐԵԴԵՐ Կազմված է չորս հավասարակողմ եռանկյուններից: Նրա յուրաքանչյուր գագաթը երեք եռանկյունների գագաթ է: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը ուղիղ 180° է: Համաչափության տարրեր. քառաեդրոնը չունի համաչափության կենտրոն, բայց ունի 3 համաչափության առանցք և 6 համաչափության հարթություն: S ընդհանուր ծավալի բարձրության գագաթներ – 4 դեմք – 6 եզր – 4

սլայդ 10

CUBE Կազմված է վեց քառակուսիներից: Խորանարդի յուրաքանչյուր գագաթը երեք քառակուսիների գագաթն է: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը ուղիղ 270° է: 6 երես, 8 գագաթ և 12 եզր Համաչափության տարրեր. խորանարդն ունի համաչափության կենտրոն՝ խորանարդի կենտրոն, 9 առանցք և համաչափության հարթություններ R opis: նախանձ. S լրիվ r տեղավորել նախանձ

սլայդ 11

ԿԱՆՈՆԱԿԱՆ ՈՒԹԱԵԴՐՈՆ Կազմված է ութ հավասարակողմ եռանկյուններից: Ութանիստի յուրաքանչյուր գագաթ չորս եռանկյունների գագաթ է: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 240° է։ Համաչափության տարրեր. Ութանիստն ունի համաչափության կենտրոն՝ ութանիստի կենտրոն, համաչափության 9 առանցք և համաչափության 9 հարթություն, 8 դեմք, 6 գագաթ, 12 եզր։