Asymptotický zápis času vykonávania programu. Odhady zdola, zhora, asymptoticky presné

480 rubľov. | 150 UAH | 7,5 $, MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Dizertačná práca - 480 RUR, dodávka 10 minút 24 hodín denne, sedem dní v týždni a sviatky

Kolodzey Alexander Vladimirovič. Asymptotické vlastnosti kritériá dohody na testovanie hypotéz vo výberovej schéme bez vrátenia, založené na vypĺňaní buniek vo všeobecnej schéme umiestnenia: dizertačná práca... kandidát fyzikálnych a matematických vied: 01.01.05.- Moskva, 2006.- 110 s.: chor. RSL OD, 61 07-1/496

Úvod

1 Entropia a informačná vzdialenosť 36

1.1 Základné definície a označenia 36

1.2 Entropia diskrétnych rozdelení s obmedzeným matematickým očakávaním 39

1.3 Logaritmická zovšeobecnená metrika na množine diskrétnych rozdelení 43

1.4 Kompaktnosť funkcií s spočítateľnou množinou argumentov. 46

1.5 Spojitosť informačnej vzdialenosti Kullback - Leibler - Sanov 49

1.6 Závery 67

2 Pravdepodobnosť veľkých odchýlok 68

2.1 Pravdepodobnosti veľkých odchýlok funkcií od počtu buniek s danou náplňou 68

2.1.1 Lokálna limitná veta 68

2.1.2 Integrálna limitná veta 70

2.1.3 Informačná vzdialenosť a pravdepodobnosti veľkých odchýlok oddeliteľných štatistík 75

2.2 Pravdepodobnosti veľkých odchýlok separovateľných štatistík, ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku 81

2.3 Závery 90

3 Asymptotické vlastnosti kritérií dobrej zhody 92

3.1 Kritériá súhlasu pre výber bez návrhu vrátenia. 92

3.2 Asymptotická relatívna účinnosť kritérií dobrej zhody 94

3.3 Kritériá založené na počte buniek vo všeobecných rozloženiach 95

3.4 Závery 98

Záver 99

Literatúra 103

Úvod do práce

Predmet výskumu a relevantnosť témy. V teórii štatistickej analýzy diskrétnych sekvencií zaujímajú osobitné miesto kritériá dobrej zhody na testovanie prípadne komplexnej nulovej hypotézy, ktorá je taká, že pre náhodnú sekvenciu pQ)?=i

Хі Є Ім,і= 1,...,n, Ім = (о, і,..., M), pre ľubovoľné і = 1,..., n a pre ľubovoľné k Є їm pravdepodobnosť udalosti ( Хі = k) nezávisí od r. To znamená, že postupnosť (Хі)f =1 je v určitom zmysle stacionárna.

V počte aplikované problémy Za postupnosť (X() =1 považujeme postupnosť farieb loptičiek pri výbere bez návratu až do vyčerpania z urny obsahujúcej rik - 1 > 0 loptičiek farby k, k Є їm - množinu takýchto výberov označíme T(n 0 - 1, .. .,п/ - 1). Nech urna obsahuje celkom n - 1 loptičiek, m n-l= (n fc -l).

Označme r (k) _ r (fc) r (fc) postupnosť počtov guličiek farby k vo vzorke. Uvažujme postupnosť h« = (^,...,)). M fc) =ri fc) , ^ = ^-^ = 2,...,^-1, _ (fc)

Postupnosť h^ sa určí pomocou vzdialeností medzi miestami susedných guľôčok farby k tak, že *Ф = n.

Množina postupností h(fc) pre všetky k Є їм jednoznačne určuje postupnosť (Х()^ =1. Postupnosti h k pre rôzne k sú na sebe závislé. Najmä každá z nich je jednoznačne určená všetkými ostatnými. Ak je mohutnosť množiny 1m 2, tak postupnosť farieb guľôčok je jednoznačne určená postupnosťou h() vzdialeností medzi miestami susedných guľôčok rovnakej pevnej farby Nech je N - 1 guľôčok farby 0 v urne obsahujúcej n - 1 loptičiek dvoch rôznych farieb Môžeme stanoviť vzájomnú zhodu medzi množinou M(N-l,n - N) a množinou 9\ Пі m vektorov h(n, N) = (hi,..., /i#) s kladnými celými zložkami takými, že

Množina 9\n,m zodpovedá množine všetkých odlišných delení kladného celého čísla n do N usporiadaných členov.

Zadaním určitého rozdelenia pravdepodobnosti na množine vektorov 9R n d získame zodpovedajúce rozdelenie pravdepodobnosti na množine Wl(N - l,n - N). Množina V\n,y je podmnožinou množiny 2J n,iv vektorov s nezápornými celočíselnými zložkami, ktoré spĺňajú (0,1). V dizertačnej práci budú rozdelenia tvaru považované za rozdelenia pravdepodobnosti na množine vektorov

P(%, N) = (rb..., r N)) = P(& = r„, u = 1,..., N\ & = n), (0,2) kde 6 > , lg - nezávislé nezáporné celočíselné náhodné premenné.

Distribúcie tvaru (0,2) v /24/ sa nazývajú zovšeobecnené schémy umiestnenia n častíc do N buniek. Konkrétne, ak sú náhodné premenné b...,lr v (0.2) rozdelené podľa Poissonových zákonov s parametrami Ai,...,Alr, potom vektor h(n,N) má polynomické rozdelenie s pravdepodobnosti výsledkov

Ri = t--~t~> ^ = 1,---,^-

Li + ... + l^

Ak sú náhodné premenné i> >&v v (0.2) identicky rozdelené podľa geometrického zákona V(Zi = k)= P k - 1 (l-p),k=l,2,..., kde p je ľubovoľné v interval 0

Ako je uvedené v /14/,/38/, osobitné miesto pri testovaní hypotéz o distribúcii frekvenčných vektorov h(n, N) = (hi,..., h^) v zovšeobecnených schémach umiestnenia n častíc do N buniek je obsadené kritériami zostrojenými na základe štatistiky v tvare ad%,lo) = L(i (o.z)

Фк «%,%..;$, (0.4) kde /j/, v = 1,2,... a ф sú niektoré funkcie s reálnou hodnotou,

Mg = E1 (K = g), g = 0,1,... 1/=1

Množstvo // r v /27/ sa nazývalo počet buniek obsahujúcich presne r častíc.

Štatistiky tvaru (0,3) v /30/ sa nazývajú separovateľné (aditívne separovateľné) štatistiky. Ak funkcie /„ v (0.3) nezávisia od u, tak sa takáto štatistika volala v /31/ symetrickej separovateľnej štatistike.

Pre ľubovoľné r je štatistika /x r symetrická separovateľná štatistika. Z rovnosti

DM = DFg (0,5) z toho vyplýva, že trieda symetrickej separovateľnej štatistiky h u sa zhoduje s triedou lineárnych funkcií fi r. Trieda funkcií formulára (0,4) je navyše širšia ako trieda symetrickej separovateľnej štatistiky.

H 0 = (Rao(n,A0) je postupnosť jednoduchých nulových hypotéz, že rozdelenie vektora h(n,N) je (0,2), kde náhodné premenné i,...,ln a (0,2) sú identicky rozdelené a P(ti = k)=p k ,k = 0,l,2,..., parametre n, N sa menia v centrálnej oblasti.

Uvažujme nejaké P Є (0,1) a postupnosť, všeobecne povedané, komplexných alternatív n = (H(n,N)) tak, že existuje n

P(fm > OpAR)) >: 0-Hypotézu Hq(ti,N) zamietneme, ak fm > a s m((3). Ak existuje hranica jim ~1nP(0l > a n, N (P)) = ШН ), kde pravdepodobnosť pre každé N sa vypočíta podľa hypotézy #o(n,iV), potom sa hodnota j (fi,lcl) nazýva v /38/ indexe kritéria φ v bode (/?, N). Posledný limit vo všeobecnosti nemusí existovať. Preto sa v dizertačnej práci okrem indexu kritéria uvažuje aj hodnota lim (_IlnP(tor > a N (J3))) =if(P,P), ktorú autor dizertačnej práce analogicky nazývaný dolný index kritéria φ v bode (/3,H) . Tu a nižšie lim adg, lim а# jV-уо ЛГ-оо v tomto poradí znamenajú dolnú a hornú hranicu postupnosti (odg) pre N -> yu,

Ak existuje index kritéria, dolný index kritéria sa s ním zhoduje. Spodný index kritéria vždy existuje. Ako väčšiu hodnotu index kritéria (dolný index kritéria), tým lepšie je štatistické kritérium v posudzovanom zmysle. V /38/ problém zostavenia kritérií dohody pre zovšeobecnené dispozičné schémy s najvyššia hodnota index kritéria v triede kritérií, ktoré odmietajú hypotézu Ho(n,N) pre kde m > 0 je nejaká pevné číslo, postupnosť konštánt je vybraná na základe danej hodnoty mocniny kritéria pre postupnosť alternatív, ft t je reálna funkcia t + 1 argumentov.

Kritériové indexy sú určené pravdepodobnosťou veľkých odchýlok. Ako sa ukázalo v /38/, hrubá (až logaritmická ekvivalencia) asymptotika pravdepodobností veľkých odchýlok separovateľnej štatistiky pri splnení Cramerovej podmienky pre náhodnú premennú /() je určená zodpovedajúcim Kull-Bak-Leibler- Sanovova informačná vzdialenosť (náhodná premenná q spĺňa Cramerovu podmienku , ak pre nejaké # > 0 je moment generujúca funkcia Me f7? konečná v intervale \t\

Otázka pravdepodobnosti veľkých odchýlok štatistík od neobmedzeného počtu fi r, ako aj ľubovoľných separovateľných štatistík, ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku, zostala otvorená. To neumožnilo definitívne vyriešiť problém konštrukcie kritérií na testovanie hypotéz vo všeobecných schémach umiestnenia s najvyššou mierou tendencie k nule pravdepodobnosti chyby I. typu s približovaním sa alternatív v triede kritérií založených na štatistických údajoch forma (0,4). Relevantnosť dizertačného výskumu je daná potrebou dokončiť riešenie zadaného problému.

Cieľom dizertačnej práce je zostaviť kritériá zhody s najvyššou hodnotou indexu kritéria (dolný index kritéria) pre testovanie hypotéz vo výberovej schéme bez návratu v triede kritérií, ktoré odmietajú hypotézu U(n, N) pre 0(iv"iv"-""" o """)>CiV" (0" 7) kde φ je funkciou spočítateľného počtu argumentov a parametre n, N sa menia v centrálnej oblasti.

V súlade s účelom štúdie boli stanovené nasledovné úlohy: preskúmať vlastnosti entropie a informačnej vzdialenosti Kull-Bak - Leibler - Sanov pre diskrétne rozdelenia s počítateľným počtom výsledkov; študovať pravdepodobnosti veľkých odchýlok štatistiky formulára (0,4); študovať pravdepodobnosti veľkých odchýlok symetrických separovateľných štatistík (0,3), ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku; - nájsť takú štatistiku, že kritérium zhody skonštruované na jeho základe na testovanie hypotéz vo všeobecných schémach umiestnenia má najvyššiu hodnotu indexu v triede kritérií formulára (0,7).

Vedecká novinka: je daný koncept zovšeobecnenej metriky - funkcie, ktorá pripúšťa nekonečné hodnoty a spĺňa axiómy identity, symetrie a trojuholníkovej nerovnosti. Nájde sa zovšeobecnená metrika a indikujú sa množiny, na ktorých sú funkcie entropie a informačnej vzdialenosti, definované na skupine diskrétnych rozdelení s spočítateľným počtom výsledkov, v tejto metrike spojité; vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia bola nájdená hrubá (až logaritmická ekvivalencia) asymptotika pre pravdepodobnosti veľkých odchýlok štatistiky tvaru (0,4), ktoré spĺňajú zodpovedajúcu formu Cramerovej podmienky; vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia bola nájdená hrubá (až logaritmická ekvivalencia) asymptotika pre pravdepodobnosti veľkých odchýlok symetrickej separovateľnej štatistiky, ktorá nespĺňa Cramerovu podmienku; v triede kritérií formulára (0,7) sa zostrojí kritérium s najvyššou hodnotou indexu kritéria.

Vedecká a praktická hodnota. Práca rieši množstvo otázok o správaní pravdepodobností veľkých odchýlok v zovšeobecnených schémach umiestnenia. Získané výsledky je možné použiť v vzdelávací proces v odboroch matematická štatistika a teória informácie, pri štúdiu štatistických postupov na analýzu diskrétnych postupností a boli použité v /3/, /21/ pri zdôvodňovaní bezpečnosti jednej triedy informačných systémov. Ustanovenia na obranu: zníženie problému testovania hypotézy z jedinej sekvencie farieb loptičiek zo skutočnosti, že táto sekvencia je získaná ako výsledok voľby bez návratu až do vyčerpania loptičiek z urny obsahujúcej loptičky dvoch farieb a každá takáto voľba má rovnakú pravdepodobnosť, na konštrukciu kritérií zhody na testovanie hypotéz v zodpovedajúcom zovšeobecnenom usporiadaní; kontinuita entropických a Kullback-Leibler-Sanovových informačných vzdialenostných funkcií na nekonečne-rozmernom simplexe so zavedenou logaritmickou zovšeobecnenou metrikou; veta o hrubej (až logaritmickej ekvivalencii) asymptotike pravdepodobností veľkých odchýlok symetrickej separovateľnej štatistiky, ktorá nespĺňa Cramerovu podmienku vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia v semi-exponenciálnom prípade; veta o hrubých (až do logaritmickej ekvivalencie) asymptotike pravdepodobnosti veľkých odchýlok pre štatistiku tvaru (0,4); - vytvorenie kritéria vhodnosti pre testovanie hypotéz v zovšeobecnených usporiadaniach s najvyššou hodnotou indexu v triede kritérií formulára (0,7).

Schválenie práce. Výsledky boli prezentované na seminároch Katedry diskrétnej matematiky Matematického ústavu pomenovaného po ňom. V. A. Steklov RAS, oddelenie informačnej bezpečnosti ITM&VT pomenované po. S. A. Lebedev RAS a na: piatom celoruskom sympóziu o aplikovanej a priemyselnej matematike. Jarné zasadnutie, Kislovodsk, 2. - 8. máj 2004; šiesta medzinárodná Petrozavodská konferencia "Pravdepodobnostné metódy v diskrétnej matematike" 10. - 16. júna 2004; druhý Medzinárodná konferencia"Informačné systémy a technológie (IST" 2004)", Minsk, 8. - 10. november 2004;

Medzinárodná konferencia "Moderné problémy a nové trendy v teórii pravdepodobnosti", Chernivtsi, Ukrajina, 19. - 26. júna 2005.

Hlavné výsledky práce boli použité vo výskumnej práci „Apológia“, realizovanej ITMiVT RAS. S. A. Lebedev v záujme Federálnej služby pre technickú a exportnú kontrolu Ruskej federácie a boli zaradené do správy o realizácii etapy výskumu /21/. Niektoré výsledky dizertačnej práce boli zahrnuté do výskumnej správy „Vývoj matematických problémov kryptografie“ Akadémie kryptografie Ruskej federácie za rok 2004 /22/.

Autor vyjadruje hlbokú vďaku vedeckému školiteľovi, doktorovi fyzikálnych a matematických vied A. F. Ronzhinovi a vedeckému konzultantovi doktorovi fyzikálnych a matematických vied staršiemu výskumníkovi A. V. Knyazevovi. Autor vyjadruje vďaku doktorovi fyzikálnych a matematických vied profesorovi A. M. Zubkovovi a kandidátovi fyzikálnych a matematických vied Matematické vedy I. A. Kruglovovi za pozornosť, ktorú venoval práci a množstvo cenných pripomienok.

Štruktúra a obsah práce.

Prvá kapitola skúma vlastnosti entropie a informačnej vzdialenosti pre rozdelenia na množine nezáporných celých čísel.

V prvom odseku prvej kapitoly sú uvedené notácie a sú uvedené potrebné definície. Používajú sa najmä nasledujúce označenia: x = (:ro,i, ---) - nekonečnerozmerný vektor s počítateľným počtom komponentov;

Н(х) - -Ex^oXvlnx,; trunc m (x) = (x 0,x 1,...,x t,0,0,...); SI* = (x, x u > 0, u = 0,1,..., E~ o x„ 0,v = 0,1,...,E? =Q x v = 1); fi 7 = (x Є O, Lo vx v = 7); %] = (хЄП,Эо»х и

16 mі = e o ** v \ &c = Ue>1 | 5 є Q 7) o

Je jasné, že množina Vt zodpovedá rodine rozdelení pravdepodobnosti na množine nezáporných celých čísel, P 7 - rodine rozdelení pravdepodobnosti na množine nezáporných celých čísel s matematickým očakávaním 7 - Ak y Є Q, potom pre є > 0 bude množina označená O e (y)

Оє(у) - (х eO,x v

V druhom odseku prvej kapitoly je dokázaná veta o ohraničenosti entropie diskrétnych rozdelení s obmedzeným matematickým očakávaním.

Veta 1. O ohraničenosti entropie diskrétnych rozdelení s ohraničeným matematickým očakávaním. Pre akýkoľvek železobetón 7

Ak x Є fi 7 zodpovedá geometrickému rozdeleniu s matematickým rozdelením 7; to jest

7 x„ = (1- р)р\ v = 0,1,..., kde р = --,

1 + 7 potom platí rovnosť H(x) = F(1).

Tvrdenie vety možno považovať za výsledok formálnej aplikácie Lagrangeovej metódy podmienených multiplikátorov v prípade nekonečného počtu premenných. Veta, že jediné rozdelenie na množine (k, k + 1, k + 2,...) s daným matematickým očakávaním a maximálnou entropiou je geometrické rozdelenie s daným matematickým očakávaním je uvedené (bez dôkazu) v /47 /. Autor však podal prísny dôkaz.

V treťom odseku prvej kapitoly je uvedená definícia zovšeobecnenej metriky – metriky, ktorá umožňuje nekonečné hodnoty.

Pre x,y Є Гі je funkcia p(x,y) definovaná ako minimum є > O s vlastnosťou y v e~ e

Ak také є neexistuje, potom sa predpokladá, že p(x,y) = oo.

Je dokázané, že funkcia p(x,y) je zovšeobecnená metrika na rodine rozdelení na množine nezáporných celých čísel, ako aj na celej množine Ci*. Namiesto e v definícii metriky p(x,y) môžete použiť akékoľvek iné kladné číslo okrem 1. Výsledné metriky sa budú líšiť o multiplikatívnu konštantu. Označme J(x, y) informačnú vzdialenosť

Tu a nižšie sa predpokladá, že 0 In 0 = 0,01n ^ = 0. Informačná vzdialenosť je definovaná pre také x, y, že x v - 0 pre všetky a také, že y v = 0. Ak táto podmienka nie je splnená, potom budeme predpokladať J (S,y) = ko. Nechajte A C 1 $. Potom budeme označovať J(Ay)="mU(x,y).

Dajme J(Jb,y) = 00.

V štvrtom odseku prvej kapitoly je uvedená definícia kompaktnosti funkcií definovaných na množine P*. Kompaktnosť funkcie s spočítateľným počtom argumentov znamená, že s akýmkoľvek stupňom presnosti možno hodnotu funkcie aproximovať hodnotami tejto funkcie v bodoch, kde je len konečný počet argumentov nenulový. Je dokázaná kompaktnosť funkcií entropie a informačnej vzdialenosti.

Pre akúkoľvek 0

Ak pre nejakú 0 0 je funkcia \(x) = J(x,p) kompaktná na množine 7 ] P O g (p).

Piaty odsek prvej kapitoly rozoberá vlastnosti informačnej vzdialenosti definovanej v nekonečne-rozmernom priestore. V porovnaní s konečnorozmerným prípadom sa kvalitatívne mení situácia s kontinuitou funkcie informačnej vzdialenosti. Ukazuje sa, že funkcia informačnej vzdialenosti nie je spojitá na množine Г2 v žiadnej z metrík pi(,y)= E|z„-i/„|, (

00 \ 2 p 2 (x,y) = sup (x^-ij^.

Pre entropické funkcie H(x) a informačnú vzdialenosť J(x,p) je dokázaná platnosť nasledujúcich nerovníc:

1. Pre ľubovoľné x, x" Є fi \H(x) - H(x")\

2. Ak pre niektoré х,р є П existuje є > 0 také, že х є О є (р), potom pre ľubovoľné X і Є Q \J(x,p) - J(x",p)\

Z týchto nerovností, berúc do úvahy vetu 1, vyplýva, že funkcie entropie a informačnej vzdialenosti sú rovnomerne spojité na zodpovedajúcich podmnožinách fi v metrike p(x,y), a to:

Pre ľubovoľných 7 takých, že 0

Ak pre nejakých 7o, O

20 potom pre ľubovoľnú 0 0 je funkcia \p(x) = J(x t p) rovnomerne spojitá na množine 7 ] P O є (p) v metrike p(x,y).

Je uvedená definícia neextrémnej funkcie. Neextrémna podmienka znamená, že funkcia nemá lokálne extrémy, alebo funkcia nadobúda rovnaké hodnoty pri lokálnych minimách (lokálnych maximách). Neextrémny stav oslabuje požiadavku absencie lokálnych extrémov. Napríklad funkcia sin x na množine reálnych čísel má lokálne extrémy, ale spĺňa neextrémnu podmienku.

Nech pre nejaké 7 > 0 je oblasť A daná podmienkou

А = (хЄЇ1 1 ,ф(х) >а), (0,9) kde Ф(х) je funkcia skutočnej hodnoty, а je nejaká reálna konštanta, inf Ф(х)

A 3y, vyvstala otázka, n P „ za akých podmienok „a „ φ pre i_ „ara- q metrov n, N v centrálnej oblasti, ^ -> 7, pre všetky ich dostatočne veľké hodnoty budú takéto non -záporné celé čísla ko, k\, ..., k n, aké ko + hi + ... + k n = N,

21 k\ + 2/... + nk n - N

Kq k\ k n . ^"iv"-"iv" 0 " 0 "-")>a -

Je dokázané, že na to stačí vyžadovať, aby funkcia φ bola neextrémna, kompaktná a spojitá v metrike p(x,y), a aby aspoň pre jeden bod vyhovovalo x (0,9), pre niektoré є > 0 existuje konečný moment stupňa 1 + є Ml + = і 1+є x a 0 pre ľubovoľné u = 0,1,....

V druhej kapitole študujeme hrubú (až logaritmickú ekvivalenciu) asymptotiku pravdepodobnosti veľkých odchýlok funkcií od D = (fio,..., cn, 0,...) - počet buniek s daným vyplnenie centrálnej oblasti variácie parametrov N,n . Hrubá asymptotika pravdepodobnosti veľkých odchýlok postačuje na štúdium indexov kritérií dobrej zhody.

Nech sú náhodné premenné ^ v (0.2) identicky rozdelené a

Р(Сі = к)=рьк = 0,1,... > P(z) - generujúca funkcia náhodnej premennej i - konverguje v kruhu s polomerom 1

22 Označme p(.) = (p(ad = o),P№) = i),...).

Ak existuje riešenie z 1 rovnice

M(*) = 7, potom je jedinečný /38/. V nasledujúcom budeme predpokladať, že Pjfc>0,fc = 0,l,....

V prvom odseku prvého odseku druhej kapitoly je asymptotika logaritmov pravdepodobností tvaru -m^1nP(th) = ^,...,/ = K)-

Nasledujúca veta je dokázaná.

Veta 2. Hrubá lokálna veta o pravdepodobnosti veľkých odchýlok. Nech n, N -* ko také, že ->7>0

Výrok vety vyplýva priamo zo vzorca pre spoločné rozdelenie /do, A*b / v /26/ a nasledujúceho odhadu: ak nezáporné celočíselné hodnoty fii,fi2,/ spĺňajú podmienku /I1 + 2 // 2 + ... + 71/ = 71, potom počet nenulových hodnôt medzi nimi je 0 (l/n). Toto je hrubý odhad a netvrdí, že je nový. Počet nenulových τ v zovšeobecnených schémach usporiadania nepresahuje hodnotu maximálneho zaplnenia buniek, ktorá v centrálnej oblasti s pravdepodobnosťou klesajúcou k 1 nepresahuje hodnotu 0(\n) /25/, /27/. Napriek tomu je výsledný odhad 0(y/n) spokojný s pravdepodobnosťou 1 a je dostatočný na získanie hrubej asymptotiky.

V druhom odseku prvého odseku druhej kapitoly nájdeme hodnotu limity, kde adg je postupnosť reálnych čísel konvergujúcich k nejakému a Є R, φ(x) je funkcia s reálnou hodnotou. Nasledujúca veta je dokázaná.

Veta 3. Hrubá integrálna veta o pravdepodobnosti veľkých odchýlok. Nech sú splnené podmienky vety 2, pre nejaké r > 0, (> 0) je reálna funkcia φ(x) kompaktná a rovnomerne spojitá v metrike p na množine

A = 0 rH (p(r 1))nP bn] a spĺňa podmienku neextremality na množine Г2 7 . Ak pre nejakú konštantu a taká, že inf f(x)

24 je vektor p a fi 7 P 0 r (p(z 7)); také že

Ф(ra) > а J(( (x) >а,хЄ П 7 ),р(2; 7)) = J(p a ,p(^y)), mo pre ľubovoľnú postupnosť а^ konvergujúcu k а, ^ -^\nP(f(^,^,...)>a m) = Pr a,p(r,)). (0,11)

S dodatočnými obmedzeniami funkcie φ(x) možno informačnú vzdialenosť J(pa,P(zy)) v (2.3) vypočítať presnejšie. Totiž, nasledujúca veta je pravdivá. Veta 4. O informačnej vzdialenosti. Nechajte chvíľu 0

Či nejaké r > 0, C > 0, reálna funkcia φ(x) a jej parciálne derivácie prvého rádu sú kompaktné a rovnomerne spojité vo zovšeobecnenej metrike p(x, y) na množine

A = O g (p)PP bn] , existuje T > 0, R > 0 také, že pre všetky \t\ O p v v 1+ z u exp(i--ph(x))

0(p(gaL)) = a, / h X v \ Z, t) T, u = oX LJ (Z, t)

Potom p(za , t a) Є ft, u J((z Є Л,0(z) = а),р) = J(p(za ,ta),p) d _ 9 = 7111 + t a «-^ OFaL)) - V 2Wexp( a --0(p(g a,i a))). j/=0 CnEi/ ^_o CX(/

Ak je funkcia f(x) lineárna funkcia a funkcia fix) je definovaná pomocou rovnosti (0,5), potom sa podmienka (0,12) zmení na Cramerovu podmienku pre náhodnú premennú f(,(z)). Podmienka (0,13) je forma podmienky (0,10) a používa sa na preukázanie prítomnosti v doménach tvaru (x Є Г2, φ(x) > a) aspoň jedného bodu od 0 (n, N) pre všetky dostatočne veľké n, N.

Nech v ()(n,iV) = (/гі,...,/ijv) je frekvenčný vektor v zovšeobecnenom rozložení (0,2). Ako dôsledok vety 3 a 4 je formulovaná nasledujúca veta.

Veta 5. Hrubá integrálna veta o pravdepodobnosti veľkých odchýlok symetrickej separovateľnej štatistiky vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia.

Nech n, N -> co také, že jfr - 7» 0 0,R > 0 také, že pre všetky \t\ Potom pre ľubovoľnú postupnosť a# konvergujúcu k a, 1 iv =

Túto vetu prvýkrát dokázal A.F. Ronzhin v /38/ pomocou metódy sedlového bodu.

V druhom odseku druhej kapitoly sú študované pravdepodobnosti veľkých odchýlok separovateľných štatistík vo zovšeobecnenom umiestnení cxj^iax v prípade nesplnenia Cramerovej podmienky pre náhodnú premennú /((z)). Cramerova podmienka pre náhodnú premennú f(,(z)) nie je splnená, najmä ak (z) je Poissonova náhodná premenná a /(x) = x 2. Všimnite si, že Cramerova podmienka pre samotnú oddeliteľnú štatistiku vo všeobecných schémach prideľovania je vždy splnená, pretože pre akékoľvek pevné n, N je číslo možné výsledky v týchto schémach, samozrejme.

Ako je uvedené v /2/, ak Cramerova podmienka nie je splnená, potom nájsť asymptotiku pravdepodobnosti veľkých odchýlok súčtu identicky rozdelených náhodné premenné pre správnu zmenu rozloženia termínu je potrebné splniť ďalšie podmienky. Práca (uvažuje prípad zodpovedajúci splneniu podmienky (3) v /2/, teda sedemexponenciálny prípad. Nech P(i = k) > O pre všetky

28 k = 0,1,... a funkcia p(k) = -\nP(^ = k), môže pokračovať na funkciu spojitého argumentu - pravidelne sa meniacu funkciu rádu p, 0 oo P(tx) , r v P(t)

Nech je funkcia f(x) pre dostatočne veľké hodnoty argumentu kladná, prísne rastúca, pravidelne sa meniaca funkcia rádu d>1,^ Na zvyšku číselnej osi

Potom s. V. /(i) má momenty ľubovoľného rádu a nespĺňa Cramerovu podmienku, ip(x) = o(x) ako x -> oo a platí nasledujúca veta 6. Nech je funkcia ip(x) monotónne neklesajúca pre dostatočne veľké x funkcia ^p nerastie monotónne, n, N --> oo tak, že jf - A, 0 b(z\), kde b(z) = M/(1(2)), tam je limita l(n,lg)) > cN] = "(c ~ b(zx))l b""ї

Z vety b vyplýva, že ak Cramerova podmienka nie je splnená, limita (^ lim ~\nP(L N (h(n,N)) > cN) = 0, "" Dv

L/-too iV a ktorá dokazuje platnosť hypotézy vyjadrenej v /39/. Hodnota indexu kritéria zhody vo všeobecných schémach umiestnenia -^ keď nie je splnená Cramerova podmienka, je teda vždy rovná nule. V tomto prípade sa v triede kritérií, keď je splnená Cramerova podmienka, skonštruujú kritériá s nenulovou hodnotou indexu. Z toho môžeme vyvodiť záver, že použitie kritérií, ktorých štatistiky nespĺňajú Cramerovu podmienku, napríklad chí-kvadrát test v polynómovej schéme, na zostavenie testov dobrej zhody na testovanie hypotéz pre nekonvergujúce alternatívy v uvedenom zmysle. je asymptoticky neúčinný. K podobnému záveru došlo aj v /54/ na základe výsledkov porovnania štatistiky chí-kvadrát a maximálnej pravdepodobnosti v polynómovej schéme.

Tretia kapitola rieši problém konštrukcie kritérií dobrej zhody s najväčšou hodnotou indexu kritéria (najväčšia hodnota dolného indexu kritéria) na testovanie hypotéz vo všeobecných schémach umiestnenia. Na základe výsledkov prvej a druhej kapitoly o vlastnostiach entropických funkcií, informačnej vzdialenosti a pravdepodobnosti veľkých odchýlok je v tretej kapitole nájdená funkcia tvaru (0,4) tak, aby bolo skonštruované kritérium dobrej zhody na jeho základe má najväčšiu hodnotu presného dolného indexu v triede posudzovaných kritérií. Nasledujúca veta je dokázaná. Veta 7. O existencii indexu. Nech sú splnené podmienky vety 3, 0 ,... - postupnosť alternatívnych rozdelení, 0^(/3, iV) - maximálny počet, pre ktorý podľa hypotézy Н Р (hľa, nerovnosť

P(φ(^^,...)>a φ (P,M))>(3, existuje limita limjv-»oo o>φ(P, N) - a. Potom v bode (/3 , N) existuje kritérium indexu f

Zff,K) = 3((φ(x) >a,xe ZD.P^)).

V tomto prípade zf(0,th)N NP(e(2 7) = fc)"

Záver stanovuje dosiahnuté výsledky v ich vzťahu k všeobecnému cieľu a konkrétnym úlohám kladeným v dizertačnej práci, formuluje závery na základe výsledkov dizertačnej rešerše, naznačuje vedeckú novosť, teoretickú a praktickú hodnotu práce, ako aj konkrétne vedecké úlohy identifikované autorom a ktorých riešenie sa javí ako relevantné .

Krátka recenzia literatúru k výskumnej téme.

Práca sa zaoberá problémom konštrukcie kritérií zhody vo všeobecných schémach umiestnenia s najvyššou hodnotou indexu kritéria v triede funkcií formy (0,4) s nekonvergovanými alternatívami.

Zovšeobecnené schémy usporiadania zaviedol V.F.Kolchin v /24/. Veličiny fi r v polynómovej schéme sa nazývali počet buniek s r peletami a boli podrobne študované v monografii V. F. Kolchin, B. A. Sevastyanov, V. P. Chistyakov /27/. Hodnoty \i r v zovšeobecnených usporiadaniach študoval V.F. Kolchin v /25/, /26/. Štatistiky vo forme (0,3) prvýkrát uvažoval Yu.I. Medvedev v /30/ a nazývali sa separovateľná (aditívne separovateľná) štatistika. Ak funkcie /„ v (0.3) nezávisia od u, takáto štatistika sa volala v /31/ symetrickej separovateľnej štatistike. Asymptotické správanie momentov separovateľnej štatistiky v zovšeobecnených alokačných schémach získal G. I. Ivčenko v /9/. V /23/ boli uvažované aj limitné vety pre zovšeobecnenú schému usporiadania. Prehľady výsledkov limitných viet a kritérií zhody v diskrétnych pravdepodobnostných schémach typu (0,2) poskytli V. A. Ivanov, G. I. Ivčenko, Ju. I. Medvedev v /8/ a G. I. Ivčenko, Yu. I. Medvedev, A. F. Ronzhin v r. /14/. Kritériá dohody pre zovšeobecnené usporiadanie zvážil A.F. Ronzhin v /38/.

Porovnanie vlastností štatistických kritérií v týchto prácach bolo uskutočnené z hľadiska relatívnej asymptotickej účinnosti. Uvažoval sa prípad konvergujúcich (susedných) hypotéz - účinnosť v zmysle Pitmana a nekonvergujúcich hypotéz - účinnosť v zmysle Bahadur, Hodges - Lehman a Chernov. Spojenie medzi rôzne druhy o relatívnej účinnosti štatistických testov sa hovorí napríklad v /49/. Ako vyplýva z výsledkov Yu.I. Medvedeva v /31/ o rozdelení separovateľných štatistík v polynomickej schéme, kritérium založené na chí-kvadrát štatistike má najväčšiu asymptotickú silu pri konvergentných hypotézach v triede separovateľných štatistík na frekvencie výsledkov v polynómovej schéme. Tento výsledok zovšeobecnil A.F. Ronzhin pre obvody typu (0,2) v /38/. I. I. Viktorova a V. P. Chistyakov v /4/ skonštruovali optimálne kritérium pre polynómovú schému v triede lineárnych funkcií fi r. A.F. Ronzhin v /38/ skonštruoval kritérium, ktoré vzhľadom na postupnosť alternatív, ktoré nie sú blízke nulovej hypotéze, minimalizuje logaritmickú rýchlosť, pri ktorej má pravdepodobnosť chyby prvého druhu tendenciu k nule, v triede štatistiky formulár (0,6). Porovnanie relatívnej výkonnosti štatistiky chí-kvadrát a maximálnej pravdepodobnosti pri približujúcich sa a nepribližujúcich sa hypotézach bolo vykonané v /54/. Práca sa zaoberala prípadom nekonvergujúcich hypotéz. Štúdium relatívnej štatistickej účinnosti kritérií pri nekonvergujúcich hypotézach si vyžaduje štúdium pravdepodobnosti extrémne veľkých odchýlok - rádovo 0 (u/n). Prvýkrát takýto problém pre polynomické rozdelenie s pevným počtom výsledkov riešil I. N. Sanov v /40/. Asymptotická optimalita testov dobrej zhody na testovanie jednoduchých a zložitých hypotéz pre multinomické rozdelenie v prípade konečného počtu výsledkov s nekonvergovanými alternatívami bola uvažovaná v /48/. Vlastnosti informačnej vzdialenosti predtým uvažovali Kullback, Leibler /29/,/53/ a I. II. Sanov /40/, ako aj Hoeffding /48/. V týchto prácach sa kontinuita informačnej vzdialenosti zvažovala na konečne-rozmerných priestoroch v euklidovskej metrike. Viacerí autori uvažovali o postupnosti priestorov s narastajúcou dimenziou, napríklad v diele J. V. Prochorova /37/ alebo v diele V. I. Bogačeva, A. V. Kolesnikova /1/. Hrubé (až do logaritmickej ekvivalencie) teorémy o pravdepodobnosti veľkých odchýlok separovateľných štatistík vo všeobecných schémach umiestnenia za Cramerovej podmienky získal A.F. Roizhin v /38/. A. N. Timashev v /42/,/43/ získal presné (až do ekvivalencie) viacrozmerné integrálne a lokálne limitné vety o pravdepodobnosti veľkých odchýlok vektora fir^n, N),..., fi rs (n,N) , kde s, gi,..., r s sú pevné celé čísla,

Štatistickými problémami testovania hypotéz a odhadovania parametrov vo výberovej schéme bez návratnosti v trochu inej formulácii sa zaoberali G. I. Ivčenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, kde sa riešili úlohy odhadu pre konečnú populáciu, keď počet jeho prvkov je neznáma veličina, bola dokázaná asymptotická normalita multivariačnej S - štatistiky z nezávislých vzoriek s vo výberovej schéme bez reverzie. Problémom štúdia náhodných premenných spojených s opakovaniami v sekvenciách nezávislých pokusov sa zaoberali A. M. Zubkov, V. G. Michajlov, A. M. Shoitov v /6/, /7/, /32/, /33/, /34/. Analýza hlavných štatistických problémov odhadovania a testovania hypotéz v rámci všeobecný model Markova-Polya vykonali G.I.Ivčenko, Yu.I.Medvedev v /13/, pravdepodobnostný rozbor bol uvedený v /11/. Metódu určenia nejednotných mier pravdepodobnosti na množine kombinatorických objektov, ktorá nie je redukovateľná na zovšeobecnenú schému umiestnenia (0,2), opísali G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev /12/. Množstvo problémov v teórii pravdepodobnosti, na ktoré možno získať odpoveď ako výsledok výpočtov pomocou opakujúcich sa vzorcov, naznačuje A. M. Zubkov v /5/.

Nerovnice pre entropiu diskrétnych rozdelení boli získané v /50/ (citované z abstraktu A. M. Zubkova v RZhMat). Ak (p n )Lo je rozdelenie pravdepodobnosti,

Рп = Е Рк, к=п A = supp^Pn+i

I + (In -f-) (X Rn - R n+1)

Рп= (x f 1)n+v n>Q. (0,15)

Všimnite si, že extrémne rozdelenie (0,15) je geometrické rozdelenie s matematickým očakávaním A a funkcia F(X) parametra (0,14) sa zhoduje s funkciou matematického očakávania vo vete 1.

Entropia diskrétnych rozdelení s ohraničeným matematickým očakávaním

Ak existuje index kritéria, dolný index kritéria sa s ním zhoduje. Spodný index kritéria vždy existuje. Čím vyššia je hodnota indexu kritéria (dolný index kritéria), tým lepšie je štatistické kritérium v tomto zmysle. V /38/ sa riešil problém konštrukcie kritérií zhody pre zovšeobecnené rozloženia s najvyššou hodnotou indexu kritéria v triede kritérií, ktoré odmietajú hypotézu Ho(n,N) pre kde m 0 je nejaké pevné číslo, postupnosť konštantných jednotiek sa vyberá na základe danej hodnoty mocniny kritéria pre postupnosť alternatív, ft - reálna funkcia m + 1 argumentov.

Kritériové indexy sú určené pravdepodobnosťou veľkých odchýlok. Ako sa ukázalo v /38/, hrubá (až logaritmická ekvivalencia) asymptotika pravdepodobností veľkých odchýlok separovateľnej štatistiky pri splnení Cramerovej podmienky pre náhodnú premennú /() je určená zodpovedajúcim Kull-Bak-Leibler- Sanovova informačná vzdialenosť (náhodná premenná q spĺňa Cramerovu podmienku , ak pre nejaké # 0 je generujúca funkcia momentov Mef7? konečná v intervale \t\ H /28/).

Otázka pravdepodobnosti veľkých odchýlok štatistík od neobmedzeného počtu jedle, ako aj ľubovoľných oddeliteľných štatistík, ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku, zostala otvorená. To neumožnilo definitívne vyriešiť problém konštrukcie kritérií na testovanie hypotéz vo všeobecných schémach umiestnenia s najvyššou mierou tendencie k nule pravdepodobnosti chyby I. typu s približovaním sa alternatív v triede kritérií založených na štatistických údajoch forma (0,4). Relevantnosť dizertačného výskumu je daná potrebou dokončiť riešenie zadaného problému.

Cieľom dizertačnej práce je zostaviť kritériá zhody s najväčšou hodnotou indexu kritéria (dolný index kritéria) pre testovanie hypotéz vo výberovej schéme bez návratu v triede kritérií, ktoré odmietajú hypotézu U(n, N) pre kde φ je funkcia spočítateľného počtu argumentov a parametre n, N sa menia v centrálnej oblasti. V súlade so zámerom štúdie boli stanovené nasledovné úlohy: - študovať vlastnosti entropie a informačnej vzdialenosti Kull-Bak - Leibler - Sanov pre diskrétne rozdelenia s počítateľným počtom výsledkov; - študovať pravdepodobnosti veľkých odchýlok štatistiky formulára (0,4); - študovať pravdepodobnosti veľkých odchýlok symetrických separovateľných štatistík (0,3), ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku; - nájsť takú štatistiku, že kritérium zhody skonštruované na jeho základe na testovanie hypotéz vo všeobecných schémach umiestnenia má najvyššiu hodnotu indexu v triede kritérií formulára (0,7). Vedecká novinka: - je daný pojem zovšeobecnená metrika - funkcia, ktorá pripúšťa nekonečné hodnoty a spĺňa axiómy identity, symetrie a trojuholníkovej nerovnosti. Nájde sa zovšeobecnená metrika a indikujú sa množiny, na ktorých sú funkcie entropie a informačnej vzdialenosti, definované na skupine diskrétnych rozdelení s spočítateľným počtom výsledkov, v tejto metrike spojité; - vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia bola nájdená hrubá (až logaritmická ekvivalencia) asymptotika pre pravdepodobnosti veľkých odchýlok štatistiky tvaru (0,4), ktoré spĺňajú zodpovedajúcu formu Cramerovej podmienky; - vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia bola nájdená hrubá (až logaritmická ekvivalencia) asymptotika pre pravdepodobnosti veľkých odchýlok symetrických separovateľných štatistík, ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku; - v triede kritérií formulára (0,7) sa zostrojí kritérium s najvyššou hodnotou indexu kritéria. Vedecká a praktická hodnota. Práca rieši množstvo otázok o správaní pravdepodobností veľkých odchýlok v zovšeobecnených schémach umiestnenia. Získané výsledky je možné využiť vo vzdelávacom procese v odboroch matematická štatistika a teória informácie, pri štúdiu štatistických postupov pri analýze diskrétnych postupností a boli použité v /3/, /21/ na zdôvodnenie bezpečnosti jedného triedy informačných systémov. Opatrenia predložené na obhajobu: - zmenšenie problému testovania hypotézy z jedinej sekvencie farieb loptičiek z toho, že táto sekvencia je získaná ako výsledok výberu bez vrátenia až do vyčerpania loptičiek z urny obsahujúcej dve loptičky farby, a každý takýto výber má rovnakú pravdepodobnosť, ku konštrukcii zhody kritérií na testovanie hypotéz v príslušnom zovšeobecnenom usporiadaní; - spojitosť entropických a Kullback-Leibler-Sanovových informačných vzdialenostných funkcií na nekonečne-rozmernom simplexe so zavedenou logaritmickou zovšeobecnenou metrikou; - teorém o hrubej (až logaritmickej ekvivalencii) asymptotike pravdepodobnosti veľkých odchýlok symetrickej separovateľnej štatistiky, ktorá nespĺňa Cramerovu podmienku vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia v semi-exponenciálnom prípade;

Kontinuita informačnej vzdialenosti Kullback - Leibler - Sanov

Zovšeobecnené schémy usporiadania zaviedol V.F.Kolchin v /24/. Veličiny jedľa v polynomickej schéme sa nazývali počet buniek s r peliet a boli podrobne študované v monografii V. F. Kolchin, B. A. Sevastyanov, V. P. Chistyakov /27/. Hodnoty \іr v zovšeobecnených usporiadaniach študoval V.F. Kolchin v /25/,/26/. Štatistiky vo forme (0,3) prvýkrát uvažoval Yu.I. Medvedev v /30/ a nazývali sa separovateľná (aditívne separovateľná) štatistika. Ak funkcie /„ v (0.3) nezávisia od u, takáto štatistika sa volala v /31/ symetrickej separovateľnej štatistike. Asymptotické správanie momentov separovateľnej štatistiky v zovšeobecnených alokačných schémach získal G. I. Ivčenko v /9/. V /23/ boli uvažované aj limitné vety pre zovšeobecnenú schému usporiadania. Prehľady výsledkov limitných viet a kritérií zhody v diskrétnych pravdepodobnostných schémach typu (0,2) poskytli V. A. Ivanov, G. I. Ivčenko, Ju. I. Medvedev v /8/ a G. I. Ivčenko, Yu. I. Medvedev, A. F. Ronzhin v r. /14/. Kritériá dohody pre zovšeobecnené usporiadanie zvážil A.F. Ronzhin v /38/.

Porovnanie vlastností štatistických kritérií v týchto prácach bolo uskutočnené z hľadiska relatívnej asymptotickej účinnosti. Uvažoval sa prípad konvergujúcich (susedných) hypotéz - účinnosť v zmysle Pitmana a nekonvergujúcich hypotéz - účinnosť v zmysle Bahadur, Hodges - Lehman a Chernov. Vzťah medzi rôznymi typmi štatistických testov relatívneho výkonu je diskutovaný napríklad v /49/. Ako vyplýva z výsledkov Yu.I. Medvedeva v /31/ o distribúcii separovateľných štatistík v polynómovej schéme, najväčšiu asymptotickú mocnosť má podľa konvergentných hypotéz v triede separovateľnej štatistiky o frekvenciách výsledkov v polynomickej schéme kritérium založené na štatistike chí-kvadrát. Tento výsledok zovšeobecnil A.F. Ronzhin pre obvody typu (0,2) v /38/. I. I. Viktorova a V. P. Chistyakov v /4/ skonštruovali optimálne kritérium pre polynómovú schému v triede lineárnych funkcií jedle. A.F. Ronzhin v /38/ skonštruoval kritérium, ktoré vzhľadom na postupnosť alternatív, ktoré nie sú blízke nulovej hypotéze, minimalizuje logaritmickú rýchlosť, pri ktorej má pravdepodobnosť chyby prvého druhu tendenciu k nule, v triede štatistiky formulár (0,6). Porovnanie relatívnej výkonnosti štatistiky chí-kvadrát a maximálnej pravdepodobnosti pri približujúcich sa a nepribližujúcich sa hypotézach bolo vykonané v /54/. Práca sa zaoberala prípadom nekonvergujúcich hypotéz. Štúdium relatívnej štatistickej účinnosti kritérií pri nekonvergujúcich hypotézach si vyžaduje štúdium pravdepodobnosti extrémne veľkých odchýlok - rádovo 0 (u/n). Prvýkrát takýto problém pre polynomické rozdelenie s pevným počtom výsledkov riešil I. N. Sanov v /40/. Asymptotická optimalita testov dobrej zhody na testovanie jednoduchých a zložitých hypotéz pre multinomické rozdelenie v prípade konečného počtu výsledkov s nekonvergovanými alternatívami bola uvažovaná v /48/. Vlastnosti informačnej vzdialenosti predtým uvažovali Kullback, Leibler /29/,/53/ a I. II. Sanov /40/, ako aj Hoeffding /48/. V týchto prácach sa kontinuita informačnej vzdialenosti zvažovala na konečne-rozmerných priestoroch v euklidovskej metrike. Viacerí autori uvažovali o postupnosti priestorov s narastajúcou dimenziou, napríklad v diele J. V. Prochorova /37/ alebo v diele V. I. Bogačeva, A. V. Kolesnikova /1/. Hrubé (až do logaritmickej ekvivalencie) teorémy o pravdepodobnosti veľkých odchýlok oddeliteľných štatistík vo všeobecných schémach umiestnenia za Cramerovej podmienky získal A. F. Roizhin v /38/. A. N. Timashev v /42/,/43/ získal presné (až do ekvivalencie) viacrozmerné integrálne a lokálne limitné vety o pravdepodobnosti veľkých odchýlok vektora.

Štúdium pravdepodobností veľkých odchýlok pri nesplnení Cramerovej podmienky pre prípad nezávislých náhodných veličín sa realizovalo v prácach A. V. Nagaeva /35/. Spôsob konjugovaných distribúcií popisuje Feller /45/.

Štatistickými problémami testovania hypotéz a odhadovania parametrov vo výberovej schéme bez návratnosti v trochu inej formulácii sa zaoberali G. I. Ivčenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, kde sa riešili úlohy odhadu pre konečnú populáciu, keď počet jeho prvkov je neznáma veličina, bola dokázaná asymptotická normalita multivariačnej S - štatistiky z nezávislých vzoriek s vo výberovej schéme bez reverzie. Problémom štúdia náhodných premenných spojených s opakovaniami v sekvenciách nezávislých pokusov sa zaoberali A. M. Zubkov, V. G. Mikhailov, A. M. Shoitov v /6/, /7/, /32/, /33/, /34/ . Analýzu hlavných štatistických problémov odhadu a testovania hypotéz v rámci všeobecného Markov-Pólyovho modelu vykonali G. I. Ivčenko, Yu. I. Medvedev v /13/, ktorej pravdepodobnostnú analýzu podal /11. /. Metódu určenia nejednotných mier pravdepodobnosti na množine kombinatorických objektov, ktorá nie je redukovateľná na zovšeobecnenú schému umiestnenia (0,2), opísali G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev /12/. Množstvo problémov v teórii pravdepodobnosti, na ktoré možno získať odpoveď ako výsledok výpočtov pomocou opakujúcich sa vzorcov, naznačuje A. M. Zubkov v /5/.

Informačná vzdialenosť a pravdepodobnosti veľkých odchýlok separovateľných štatistík

Keď Cramerova podmienka nie je splnená, veľké odchýlky oddeliteľných štatistík vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia v uvažovanom sedemexponenciálnom prípade sú určené pravdepodobnosťou odchýlky jedného nezávislého člena. Keď je Cramerova podmienka splnená, nie je to tak, ako je zdôraznené v /39/. Poznámka 10. Funkcia φ(x) je taká, že matematické očakávanie Jej АН) je konečné pre 0 t 1 a nekonečné pre t 1. Poznámka 11. Pre separovateľné štatistiky, ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku, limita (2.14) sa rovná 0, čo dokazuje platnosť hypotézy vyjadrenej v /39/. Poznámka 12. Pre chí-kvadrát štatistiku v polynómovej schéme pre n, ./V - co tak, že - A, z vety okamžite vyplýva, že Tento výsledok bol získaný v /54/ priamo. V tejto kapitole, v centrálnej oblasti zmien parametrov zovšeobecnených schém umiestňovania častíc v bunkách, je hrubá (až do logaritmickej ekvivalencie) asymptotika pravdepodobností veľkých odchýlok aditívne separovateľných štatistík od počtu buniek a funkcií od počtu sa našli bunky s danou náplňou.

Ak je Cramerova podmienka splnená, potom hrubá asymptotika pravdepodobností veľkých odchýlok je určená hrubou asymptotikou pravdepodobností, že sa dostaneme do postupnosti bodov s racionálnymi súradnicami, konvergujúcich vo vyššie uvedenom zmysle k bodu, v ktorom sa nachádza extrém je dosiahnutá zodpovedajúca informačná vzdialenosť.

Uvažoval sa sedem exponenciálny prípad nesplnenia Cramerovej podmienky pre náhodné premenné f(i),..., f(n), kde b, kr sú nezávislé náhodné premenné generujúce zovšeobecnenú schému rozkladu (0,2), f (k) je funkcia v definícii symetrickej aditívne separovateľnej štatistiky v (0.3). To znamená, že sa predpokladalo, že funkcie p(k) = - lnP(i = k) a f(k) možno rozšíriť na pravidelne sa meniace funkcie spojitého argumentu rádu p 0 a q 0, a p q. Ukázalo sa, že hlavný príspevok k hrubej asymptotike pravdepodobnosti veľkých odchýlok separovateľnej štatistiky v schémach zovšeobecneného umiestnenia má podobne hrubá asymptotika pravdepodobnosti ionizácie v zodpovedajúcej postupnosti bodov. Je zaujímavé poznamenať, že predtým bola teoréma o pravdepodobnosti veľkých odchýlok pre oddeliteľnú štatistiku dokázaná pomocou metódy sedlového bodu, pričom hlavný prínos k asymptotike tvoril jeden sedlový bod. Prípad, keď nie je splnená Cramerova podmienka, nie je splnená podmienka 2 kN, zostáva nepreskúmaný.

Ak Cramerova podmienka nie je splnená, potom uvedená podmienka nemusí byť splnená iba v prípade p 1. Ako priamo vyplýva z logaritmu príslušných pravdepodobností, pre Poissonovo rozdelenie a geometrické rozdelenie p = 1. Z výsledku asymptotiky pravdepodobností veľkých odchýlok pri nesplnení Cramerovej podmienky môžeme usúdiť, že kritériá, ktorých štatistiky nespĺňajú Cramerovu podmienku, majú výrazne nižšiu mieru tendencie k nule pravdepodobnosti chýb druhý typ s pevnou pravdepodobnosťou chyby prvého druhu a nekonvergujúce alternatívy v porovnaní s kritériami, ktorých štatistiky spĺňajú Cramerovu podmienku. Nech sa uskutoční výber z urny obsahujúcej N - 1 1 bielych ip-JV 1 čiernych guľôčok bez návratu až do úplného vyčerpania. Miesta bielych guľôčok vo voľbe 1 i\ ... r -i n - 1 spojíme s postupnosťou vzdialeností medzi susednými bielymi guľami hi,..., h takto: Potom hv l,v =1,.. ,N,M EjLi i/ - n- Definujme rozdelenie pravdepodobnosti na množine vektorov h = (hi,...,Lg) nastavením V(hv = rv,v = l,...,N ) kde i,...,lg - nezávislé nezáporné celočíselné náhodné premenné (r.v.), teda uvažujme zovšeobecnenú schému prideľovania (0,2). Distribúcia vektora h závisí od n,N, ale príslušné indexy budú vynechané tam, kde je to možné, aby sa zjednodušil zápis. Poznámka 14. Ak je každému z (]) spôsobov výberu loptičiek z urny priradená rovnaká pravdepodobnosť ( \) mn pre ľubovoľné r i,..., rg tak, že r„ 1,u = l,...,N , T,v=\ru = n, pravdepodobnosť, že vzdialenosti medzi susednými bielymi guličkami vo výbere nadobudnú tieto hodnoty

Kritériá založené na počte buniek vo všeobecných rozloženiach

Cieľom dizertačnej práce bolo skonštruovať kritériá vhodnosti pre testovanie hypotéz vo výberovej schéme bez návratu z urny s guľôčkami 2 farieb. Autor sa rozhodol preštudovať štatistiku na základe frekvencií vzdialeností medzi loptičkami rovnakej farby. V tejto formulácii sa problém zredukoval na úlohu testovania hypotéz vo vhodnom zovšeobecnenom rozložení.

Dizertačná práca obsahovala: vlastnosti entropie a informačnej vzdialenosti diskrétnych rozdelení s neobmedzeným počtom výsledkov s obmedzeným matematickým očakávaním; - bola získaná hrubá (až do logaritmickej ekvivalencie) asymptotika pravdepodobnosti veľkých odchýlok širokej triedy štatistík v schéme zovšeobecneného umiestnenia; - na základe získaných výsledkov bola skonštruovaná kriteriálna funkcia s najvyššou logaritmickou mierou sklonu k nule pravdepodobnosti chyby prvého druhu s pevnou pravdepodobnosťou chyby druhého druhu a nekonvergujúcich alternatív; - bolo dokázané, že štatistiky, ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku, majú nižšiu mieru konvergencie k nule pravdepodobnosti veľkých odchýlok v porovnaní so štatistikami, ktoré túto podmienku spĺňajú. Vedecká novinka práce je nasledovná. - je daný pojem zovšeobecnená metrika - funkcia, ktorá pripúšťa nekonečné hodnoty a spĺňa axiómy identity, symetrie a trojuholníkovej nerovnosti. Nájde sa zovšeobecnená metrika a indikujú sa množiny, na ktorých sú funkcie entropie a informačnej vzdialenosti, definované na skupine diskrétnych rozdelení s spočítateľným počtom výsledkov, v tejto metrike spojité; - vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia bola nájdená hrubá (až logaritmická ekvivalencia) asymptotika pre pravdepodobnosti veľkých odchýlok štatistiky tvaru (0,4), ktoré spĺňajú zodpovedajúcu formu Cramerovej podmienky; - vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia bola nájdená hrubá (až logaritmická ekvivalencia) asymptotika pre pravdepodobnosti veľkých odchýlok symetrických separovateľných štatistík, ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku; - v triede kritérií formulára (0,7) sa zostrojí kritérium s najvyššou hodnotou indexu kritéria. Práca rieši množstvo otázok o správaní pravdepodobností veľkých odchýlok v zovšeobecnených schémach umiestnenia. Získané výsledky je možné využiť vo vzdelávacom procese v odboroch matematická štatistika a teória informácie, pri štúdiu štatistických postupov pri analýze diskrétnych postupností a boli použité v /3/, /21/ na zdôvodnenie bezpečnosti jedného triedy informačných systémov. Niekoľko otázok však zostáva otvorených. Autor sa obmedzil na uvažovanie o centrálnej zóne zmien parametre n,N zovšeobecnené schémy na umiestnenie n častíc do /V buniek. Ak nositeľom rozdelenia náhodných veličín generujúcich zovšeobecnenú schému usporiadania (0.2) nie je množina tvaru r, r 4-1, r + 2,..., potom pri dokazovaní spojitosti informačnej dištančnej funkcie resp. pri štúdiu pravdepodobnosti veľkých odchýlok je potrebné vziať do úvahy aritmetickú štruktúru takéhoto nosiča, ktorá nebola zohľadnená v práci autora. Pre praktickú aplikáciu kritérií zostavených na základe navrhovanej funkcie s maximálnou hodnotou indexu je potrebné študovať jej rozdelenie tak pri nulovej hypotéze, ako aj pri alternatívach, vrátane konvergujúcich. Je tiež zaujímavé preniesť vyvinuté metódy a zovšeobecniť získané výsledky do iných pravdepodobnostných schém iných ako sú zovšeobecnené schémy umiestnenia. Ak //1,/ 2,-.. sú frekvencie vzdialeností medzi číslami výsledku 0 v binomickej schéme s pravdepodobnosťou výsledkov roja 1 -POj, potom je možné ukázať, že v tomto prípade z analýzy vzorca pre spoločnú distribúciu hodnôt \іт v zovšeobecnenej schéme umiestnenia, preukázanej v /26/, vyplýva, že rozdelenie (3.3) vo všeobecnosti nemožno vo všeobecnom prípade reprezentovať ako spoločné rozdelenie hodnôt cg v akejkoľvek zovšeobecnenej schéme umiestňovania častíc do buniek. Toto rozdelenie je špeciálnym prípadom rozdelenia na množine kombinatorických objektov zavedených v /12/. Preniesť výsledky dizertačnej práce pre zovšeobecnené schémy umiestnenia do tohto prípadu, o ktorom sa hovorilo v /52/, sa javí ako naliehavá úloha.

Na opis asymptotických odhadov existuje systém zápisu:

§ Hovoria, že f(n)= O(g(n)), ak existuje konštanta c>0 a číslo n0 také, že podmienka 0≤f(n)≤c*g(n) je splnená pre všetky n≥n0. Formálnejšie:

(()) { () | 0, } 0 0 O g n= fn$c> $n"n> n£ fn£ cg n

O(g(n)) sa používa na označenie funkcií, ktoré nie sú viac ako konštantný počet krát väčší ako g(n), tento variant sa používa na opis horných hraníc (v zmysle „nie horšie ako“). Keď hovoríme o špecifickom algoritme na riešenie konkrétneho problému, cieľom analýzy časovej zložitosti tohto algoritmu je získať odhad času v najhoršom prípade alebo v priemere, zvyčajne asymptotický odhad vyššie O(g(n)), a ak je to možné, asymptoticky nižší odhad pre W(g(n)), a ešte lepšie, asymptoticky presný odhad pre Q(g(n)).

Otázkou však zostáva: mohli by existovať ešte lepšie algoritmy riešenia tohto problému? Táto otázka nastoľuje problém nájsť nižší odhad časovej zložitosti pre samotný problém (pre všetky možné algoritmy na jeho riešenie a nie pre niektorý zo známych algoritmov na jeho riešenie). Otázka získania netriviálnych dolných hraníc je veľmi ťažká. K dnešnému dňu nie je veľa takýchto výsledkov, ale netriviálne dolné hranice boli preukázané pre niektoré obmedzené počítačové modely a niektoré z nich zohrávajú dôležitú úlohu v praktickom programovaní. Jedným z problémov, pre ktorý je známa spodná hranica časovej zložitosti, je problém triedenia:

§ Daná postupnosť n prvkov a1,a2,... an, vybraných z množiny, na ktorej je zadané lineárne usporiadanie.

§ Je potrebné nájsť permutáciu p týchto n prvkov, ktorá bude danú postupnosť mapovať do neklesajúcej postupnosti ap(1),ap(2),... ap(n), t.j. ap(i)≤ap(i+1) pre 1≤i spôsob miešania . Majme dva problémy A a B, ktoré spolu súvisia takým spôsobom, že problém A možno vyriešiť takto:

1) Zdrojové údaje pre úlohu A sa skonvertujú na zodpovedajúce zdrojové údaje

údaje pre úlohu B.

2) Problém B sa rieši.

3) Výsledok riešenia úlohy B sa prevedie na správne riešenie úlohy A.__ V tomto prípade hovoríme, že úloha A redukovateľné na problém B. Ak vyššie uvedené kroky (1) a (3) môžu byť dokončené včas O(t(n)), kde, ako obvykle, n je 25 „objem“ úlohy A, potom hovoríme, že A t (n)-redukovateľné na B a napíšte to takto: A μt (n) B. Všeobecne povedané, redukovateľnosť nie je symetrický vzťah, v špeciálnom prípade, keď sú A a B vzájomne redukovateľné, nazývame ich ekvivalentné. Nasledujúce dve samozrejmé tvrdenia charakterizujú silu metódy redukcie za predpokladu, že táto redukcia zachováva poradie „rozsahu“ problému.

"O" veľké A "o" malé( a ) - matematické zápisy na porovnávanie asymptotického správania funkcií. Používajú sa v rôznych odvetviach matematiky, ale najaktívnejšie v matematickej analýze, teórii čísel a kombinatorike, ako aj v informatike a teórii algoritmov.

, « O malé z " znamená "nekonečne malé vzhľadom na " [, zanedbateľné množstvo, ak sa vezme do úvahy. Význam výrazu „O big“ závisí od oblasti jeho použitia, ale vždy nerastie rýchlejšie ako „ O veľký od "(presné definície sú uvedené nižšie).

Konkrétne:

Pokračovanie 7

fráza „zložitosť algoritmu je“ znamená, že so zvýšením parametra charakterizujúceho množstvo vstupných informácií algoritmu nemožno prevádzkový čas algoritmu obmedziť na hodnotu, ktorá rastie pomalšie ako n!;

fráza „funkcia je „približne“ malá od funkcie v okolí bodu“ znamená, že ako sa k približuje, klesá rýchlejšie ako (pomer smeruje k nule).

Pravidlo súčtu: Nech sa konečná množina M rozdelí na dve disjunktné podmnožiny M 1 a M 2 (v spojení dávame celú množinu M). Potom výkon |M| = |M 1 | + |M 2 |.

Produktové pravidlo: Nech je objekt a v určitej množine vybraný n spôsobmi a potom (teda po výbere objektu a) môže byť objekt b vybraný m spôsobmi. Potom objekt ab možno vybrať n*m spôsobmi.

Komentujte: Obe pravidlá umožňujú induktívne zovšeobecňovanie. Ak konečná množina M pripúšťa rozdelenie na r párovo disjunktných podmnožín M 1 , M 2 ,…,M r , potom mohutnosť |M| = |M 1 |+|M 2 |+…+|M r |. Ak objekt A 1 možno vybrať k 1 spôsobmi, potom (po výbere objektu A 1) možno objekt A 2 vybrať k 2 spôsobmi a tak ďalej a nakoniec, objekt AR možno vybrať k spôsobmi, potom objekt A 1 A 2 ... A r možno zvoliť k 1 k 2 …k r spôsobmi.

asymptoticky optimálne

- pojem, ktorý hovorí, že odhad je neskreslený v limite. Nech je postupnosť náhodných premenných na pravdepodobnostnom priestore, kde R je jednou z mier rodiny...
Matematická encyklopédia
- koncept, ktorý presadzuje nezaujatosť kritéria v limite...
Matematická encyklopédia
- riešenie diferenciálneho systému, ktorý je Ljapunov stabilný a priťahuje všetky ostatné riešenia s dostatočne blízkymi počiatočnými hodnotami...
Matematická encyklopédia
- koncept, ktorý rozširuje myšlienku efektívneho odhadu na prípad veľkých vzoriek. Jednoznačná definícia A. e. O. nemá. Napríklad v klasike možnosť hovoríme o asymptotickej...
Matematická encyklopédia
- žiaduce, účelné...
Referenčný komerčný slovník
- 1. najlepšie, najpriaznivejšie, najvhodnejšie pre určité podmienky a úlohy 2...
Veľký ekonomický slovník
- najvýhodnejšie, najlepšie možné...
Veľká sovietska encyklopédia
- najlepšie, najvhodnejšie pre určité podmienky a úlohy...
Moderná encyklopédia
- najlepšie, najvhodnejšie pre určité podmienky a úlohy...
Veľký encyklopedický slovník
- ...
- ...
Slovník pravopisu-príručka
- ...
Slovník pravopisu-príručka
- ...
Slovník pravopisu-príručka
- ...
Slovník pravopisu-príručka
- ...
Slovník pravopisu-príručka
- ...
Slovník pravopisu-príručka

„asymptoticky optimálne“ v knihách

Optimálny vizuálny kontrast (OVC)

Z knihy Farba a kontrast. Technológia a kreatívny výber autora Zheleznyakov Valentin Nikolajevič

Optimálny vizuálny kontrast (OVC) Predstavte si čierny oblek osvetlený slnkom a bielu košeľu osvetlenú mesiacom. Ak zmeriame ich jas prístrojom, ukáže sa, že za týchto podmienok je čierny oblek mnohonásobne jasnejší ako biela košeľa, a predsa vieme, že

Aká je optimálna mierka?

Z knihy Twitonomika. Všetko, čo potrebujete vedieť o ekonomike, stručne a k veci od Comptona Nicka

Aká je optimálna mierka? Autorom konceptu optimálnej mierky je nemecko-britský filozof Fritz Schumacher, autor knihy „Menej je lepšie: Ekonomika ako ľudská esencia.“ Povedal, že kapitalistický sklon k „gigantizmu“ nie je len

8.4.2. Optimálna dráha rastu

Z knihy Ekonomická teória: Učebnica autora Machoviková Galina Afanasjevna

8.4.2. Optimálna cesta rastu Predpokladajme, že ceny zdrojov zostanú nezmenené, zatiaľ čo podnikový rozpočet neustále rastie. Spojením dotyčnicových bodov izokvant s izokostami dostaneme čiaru 0G - „cesta vývoja“ (cesta rastu). Táto čiara ukazuje rýchlosť rastu pomeru

Najlepšia možnosť

Z knihy ZSSR: od skazy k svetovej veľmoci. Sovietsky prielom od Boffa Giuseppe

Optimálna možnosť V ohni bojov v roku 1928 sa zrodil prvý päťročný plán. Od roku 1926 dve inštitúcie, Gosplan a VSNKh, pripravovali rôzne návrhy plánov jeden po druhom. Ich vývoj bol sprevádzaný neustálymi diskusiami. Ako jedna schéma

OPTIMÁLNA MOŽNOSŤ

Z knihy Ruský rock. Malá encyklopédia autora Bushueva Svetlana

Optimálne

Z knihy Veľká sovietska encyklopédia (OP) od autora TSB

Optimálny poriadok

Z knihy CSS3 pre webdizajnérov od Siderholma Dana

Optimálne poradie Pri používaní prefixov prehliadača je dôležité mať na pamäti poradie, v ktorom sú vlastnosti uvedené. Môžete si všimnúť, že v predchádzajúcom príklade sú vlastnosti predpony zapísané ako prvé, potom nasleduje vlastnosť bez predpony.

Optimálny človek

Z knihy Computerra Magazine č.40 zo dňa 31.10.2006 autora časopis Computerra

Optimálny človek Autor: Vladimir Guriev Niektoré témy, ktoré boli populárne pred štyridsiatimi rokmi, sa dnes zdajú také okrajové, že sa o nich takmer vážne nehovorí. Zároveň - súdiac podľa tónu článkov v populárnych časopisoch - pôsobili relevantne a rovnomerne

Najlepšia možnosť

Z knihy Stalin's First Strike 1941 [Kolekcia] autor Kremlev Sergej

Optimálna možnosť Analýza možných scenárov vývoja udalostí nevyhnutne núti zamyslieť sa nad výberom optimálnej možnosti. Nedá sa povedať, že by rôzne „letné“ možnosti, teda alternatívy viazané na máj – jún – júl 1941, vzbudzovali optimizmus. Nie oni

Najlepšia možnosť

Z knihy Veľká vlastenecká alternatíva autora Isaev Alexej Valerijevič

Optimálna možnosť Analýza možných scenárov vývoja udalostí nevyhnutne núti zamyslieť sa nad výberom optimálnej možnosti. Nedá sa povedať, že by rôzne „letné“ varianty, teda alternatívy viazané na máj – jún – júl 1941, vzbudzovali optimizmus. Nie oni

Optimálna kontrola

Z knihy Sebaúcta u detí a dospievajúcich. Kniha pre rodičov od Eyestad Gyru

Optimálna kontrola Čo znamená držať sa primerane pevne? To si musíte určiť sami, na základe svojich vedomostí o vlastnom dieťati a podmienkach prostredia, v ktorom žijete. Vo väčšine prípadov sa rodičia tínedžerov snažia chrániť svoje deti pred fajčením, pitím alkoholu,

Optimálny spôsob

Z knihy Paradox perfekcionistov od Ben-Shahar Tal

Optimálna cesta Neustále sme bombardovaní dokonalosťou. Adonis zdobí obálku Men’s Health, Elena the Beautiful zdobí obálku Vogue; ženy a muži na obrovskom plátne za hodinu či dve vyriešia svoje konflikty, rozohrajú ideálnu zápletku, oddajú sa ideálnej láske. Všetci sme počuli

Optimálny prístup

Z knihy Odborník č.07 (2013) autorský odborný časopis

Optimálny prístup Sergey Kostyaev, kandidát politických vied, vedúci výskumník INION RAS Ministerstvo obrany USA minulo miliardu dolárov na nefunkčný počítačový program Foto: EPA Od 1. marca sa výdavky Pentagonu pravdepodobne znížia o 43 mld.

Najlepšia možnosť

Z knihy Dve ročné obdobia autor Arsenyev L

Optimálna možnosť – Povedzte mi, je rozumné hrať na viacerých frontoch naraz? - pýtali sa novinári Bazileviča a Lobanovského na samom začiatku sezóny 75. "Je to nerozumné, samozrejme," odpovedali. - Ale je to potrebné. Sme presvedčení, že je nevyhnutné rozlišovať význam

Optimálna kontrola

Z knihy Riadenie osobných (rodinných) financií. Systémový prístup autora Steinbock Michail

Optimálna kontrola >> Pri optimálnej kontrole rozdeľujeme všetky náklady na dve časti veľké skupiny: – „rutina“ – pravidelné výdavky, – jednorazové alebo neštandardné výdavky Optimálnu kontrolu je možné použiť až po niekoľkých mesiacoch podrobnej kontroly.

1 Entropia a informačná vzdialenosť

1.1 Základné definície a zápisy.

1.2 Entropia diskrétnych rozdelení s obmedzeným matematickým očakávaním.

1.3 Logaritmická zovšeobecnená metrika na množine diskrétnych rozdelení.

1.4 Kompaktnosť funkcií s spočítateľnou množinou argumentov

1.5 Spojitosť informácií vzdialenosť Kullback - Leibler - Sanov

1.6 Závery.

2 Pravdepodobnosti veľkých odchýlok

2.1 Pravdepodobnosti veľkých odchýlok funkcií od počtu buniek s danou náplňou.

2.1.1 Lokálna limitná veta.

2.1.2 Integrálna limitná veta.

2.1.3 Informačná vzdialenosť a pravdepodobnosti veľkých odchýlok separovateľných štatistík

2.2 Pravdepodobnosti veľkých odchýlok oddeliteľných štatistík, ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku.

2.3 Závery.

3 Asymptotické vlastnosti kritérií dobrej zhody

3.1 Kritériá súhlasu pre výber bez schémy vrátenia

3.2 Asymptotická relatívna účinnosť kritérií dobrej zhody.

3.3 Kritériá založené na počte buniek vo všeobecných rozloženiach.

3.4 Závery.

Odporúčaný zoznam dizertačných prác

Asymptotická účinnosť testov dobrej zhody na základe charakterizačných vlastností distribúcií 2011, kandidát fyzikálnych a matematických vied Volkova, Ksenia Yurievna
Veľké odchýlky a limitné vety pre niektoré funkcionály náhodnej chôdze 2011, kandidát fyzikálnych a matematických vied Shklyaev, Alexander Viktorovič
Limitné teorémy a veľké odchýlky pre náhodné prírastky chôdze 2004, kandidát fyzikálnych a matematických vied Kozlov, Andrey Michajlovič
O miere konvergencie štatistík testov dobrej zhody s mierami sily divergencie k rozdeleniu chí-kvadrát 2010, kandidát fyzikálnych a matematických vied Zubov, Vasilij Nikolajevič
Pravdepodobnosť veľkých odchýlok asymptoticky homogénnych ergodických Markovových reťazcov v priestore 2004, doktor fyzikálnych a matematických vied Korshunov, Dmitrij Alekseevič

Úvod dizertačnej práce (časť abstraktu) na tému „Asymptotické vlastnosti kritérií dobrej zhody na testovanie hypotéz vo výberovej schéme bez vrátenia, založené na vypĺňaní buniek vo všeobecnej schéme umiestnenia“

Predmet výskumu a relevantnosť témy. V teórii štatistickej analýzy diskrétnych sekvencií zaujímajú špeciálne miesto testy dobrej zhody na testovanie prípadne komplexnej nulovej hypotézy, ktorá je taká, že pre náhodnú sekvenciu

Xi e hi,i = 1, ,n, kde hi = (0,1,. ,M), pre ľubovoľné i = 1,.,n a pre ľubovoľné k £ 1m pravdepodobnosť udalosti

Xi = k) nezávisí od r. To znamená, že postupnosť je v určitom zmysle stacionárna.

V mnohých aplikovaných problémoch sa sekvencia (Xr-)™ = 1 považuje za sekvenciu farieb loptičiek pri výbere bez návratu až do vyčerpania z urny obsahujúcej n - 1 > 0 loptičiek farby k, k 1 mil. € - Množinu takýchto výberov budeme označovať O(n0 - 1, .,pm - 1). Nech je v urne spolu n - 1 loptičiek, m k=0

Označme r(k) (fc) Jk) rw - Г! , . . . , postupnosť čísel guľôčok farby A; vo vzorke. Zvážte postupnosť, kde k)

Kk-p-GPk1.

Postupnosť h^ je definovaná pomocou vzdialeností medzi polohami susedných guľôčok farby k takým spôsobom, že

Pk Kf = p 1 > = 1

Množina sekvencií h(fc) pre všetky k £ 1m jednoznačne určuje postupnosť.Sekvencie hk pre rôzne k sú na sebe závislé. Najmä každý z nich je jednoznačne určený všetkými ostatnými. Ak je mohutnosť množiny 1m 2, tak poradie farieb guľôčok je jednoznačne určené poradím vzdialeností medzi miestami susedných guličiek rovnakej pevnej farby. Nech je v urne N - 1 guľôčok farby 0, v ktorej je n - 1 guľôčok dvoch rôznych farieb. Môžeme stanoviť vzájomnú zhodu medzi množinou ffl(N-l,n - N) a množinou 9 \n,N vektorov h(n, N ) = (hi,., hjf) s kladnými celými zložkami tak, že K = P. (0,1)

Množina 9П)дг zodpovedá množine všetkých rôznych delení kladného celého čísla n na N usporiadaných členov.

Po zadaní určitého rozdelenia pravdepodobnosti na množine vektorov £Hn,dr dostaneme zodpovedajúce rozdelenie pravdepodobnosti na množine Wl(N - 1,n - N). Množina je podmnožinou množiny vektorov s nezápornými celočíselnými komponentmi, ktoré spĺňajú (0,1). Rozdelenia formulára budú v dizertačnej práci považované za rozdelenia pravdepodobnosti na množine vektorov

P(%,N) = (n,.,rN)) = P(£„ = ru,v = l,.,N\jr^ = n), (0,2) kde. ,£dr - nezávislé nezáporné celočíselné náhodné premenné.

Distribúcie tvaru (0,2) v /24/ sa nazývajú zovšeobecnené schémy umiestnenia n častíc do N buniek. Najmä ak náhodné premenné £b. ,£лг v (0.2) sú rozdelené podľa Poissonových zákonov s parametrami Ai,., Лдг, potom vektor h(n,N) má polynomické rozdelenie s pravdepodobnosťou výsledkov

Ri =. , L", V = \,., N.

L\ + . . . + AN

Ak sú náhodné premenné £ь >&v v (0-2) identicky rozdelené podľa geometrického zákona, kde p je ľubovoľné v intervale 0< р < 1, то, как отмечено в /25/,/26/, получающаяся обобщенная схема размещения соответствует равномерному распределению на множестве В силу взаимнооднозначного соответствия между множеством dft(N - 1 ,п - N) и множеством tRn,N получаем равномерное распределение на множестве выборов без возвращения. При этом, вектору расстояний между местами шаров одного цвета взаимно однозначно соответствует вектор частот в обобщенной схеме размещения, и, соответственно, числу расстояний длины г - число ячеек, содержащих ровно г частиц. Для проверки по единственной последовательности гипотезы о том, что она получена как результат выбора без возвращения, и каждая такая выборка имеет одну и ту же вероятность можно проверить гипотезу о том, что вектор расстояний между местами шаров цвета 0 распределен как вектор частот в соответствующей обобщенной схеме размещения п частиц по N ячейкам.

Ako je uvedené v /14/, /38/, špeciálne miesto pri testovaní hypotéz o distribúcii frekvenčných vektorov h(n, N) = (hi,., /gdr) v zovšeobecnených schémach umiestnenia n častíc do N buniek podľa kritérií založených na štatistických údajoch v tvare 1 m(N -l,n-N)\N

LN(h(n,N))=Zfv(hv)

Фн = Ф(-Т7, flQ Hi II-

0,4), kde fu, v = 1,2,. a φ - niektoré funkcie s reálnou hodnotou, N

Mr = E = r), r = 0,1,. 1/=1

Množstvo v /27/ sa nazývalo počet buniek obsahujúcich presne g častíc.

Pre ľubovoľné r je štatistika /xr symetrická separovateľná štatistika. Z rovnosti

E DM = E DFg (0,5) vyplýva, že trieda symetrickej separovateľnej štatistiky hv sa zhoduje s triedou lineárnych funkcií jedľa. Trieda funkcií formulára (0,4) je navyše širšia ako trieda symetrickej separovateľnej štatistiky.

Ale = (#o(n, N)) je postupnosť jednoduchých nulových hypotéz, že rozdelenie vektora h(n, N) je (0,2), kde náhodné premenné sú,. v (0.2) sú identicky rozdelené a k) = pk,k = 0,1,2,., sa parametre n, N menia v centrálnej oblasti.

Zvážte nejaké P £ (0,1) a postupnosť, všeobecne povedané, komplexných alternatív

H = (H(n, N)) také, ktoré existuje - maximálny počet, pre ktorý pre akúkoľvek jednoduchú hypotézu H\ € H(n, N) platí nerovnosť

РШ > an,N(P)) > Р

Zamietneme hypotézu Hq(ti,N), ak fm > asm((3). Ak existuje limit

Шп ~1пР(0н > an,N(P))=u(p,Н), kde pravdepodobnosť pre každé N sa vypočíta podľa hypotézy Нк(п, N), potom je hodnota ^(/З, Н) uvedené v /38/ indexe kritéria φ v bode (j3, H). Posledný limit vo všeobecnosti nemusí existovať. Preto sa v dizertačnej práci okrem indexu kritéria uvažuje aj hodnota

Ish (~1pP(fm > al(/?)))

JV->oo N-ooo znamená dolnú a hornú hranicu postupnosti (odg) pre N -> oo,

Ak existuje index kritéria, dolný index kritéria sa s ním zhoduje. Spodný index kritéria vždy existuje. Čím vyššia je hodnota indexu kritéria (dolný index kritéria), tým lepšie je štatistické kritérium v tomto zmysle. V /38/ problém konštrukcie kritérií dobrej zhody pre zovšeobecnené rozloženia s najvyššou hodnotou indexu kritéria v triede kritérií, ktoré odmietajú hypotézu Ho(n,N) pri /MO Ml Mt MS iV" iV. """"" ~yv" " bolo vyriešené ^ "kde m > 0 je nejaké pevné číslo, postupnosť konštantnej hrany sa vyberie na základe danej hodnoty mocniny kritéria pre postupnosť alternatív, ft je skutočná funkcia m + 1 argumentov.

Kritériové indexy sú určené pravdepodobnosťou veľkých odchýlok. Ako bolo ukázané v /38/, hrubá (až logaritmická ekvivalencia) asymptotika pravdepodobností veľkých odchýlok separovateľnej štatistiky pri splnení Cramerovej podmienky pre náhodnú premennú /(ξ) je určená zodpovedajúcim Kull-Bak-Leibler -Sanov informačná vzdialenosť (náhodná veličina rj spĺňa podmienku Cramer, ak pre nejaké R > 0 je generujúca funkcia momentov Metr] konečná v intervale \t\< Н /28/).

Otázka pravdepodobnosti veľkých odchýlok štatistík od neobmedzeného počtu jedle, ako aj ľubovoľných oddeliteľných štatistík, ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku, zostala otvorená. To nám neumožnilo definitívne vyriešiť problém konštrukcie kritérií na testovanie hypotéz vo všeobecných schémach umiestnenia s najvyššou mierou tendencie k nule pravdepodobnosti chyby prvého druhu s nepribližujúcimi sa alternatívami v triede kritérií založených na štatistika formulára (0,4). Relevantnosť dizertačného výskumu je daná potrebou dokončiť riešenie zadaného problému.

Cieľom dizertačnej práce je skonštruovať kritérium dobrej zhody s najvyššou hodnotou indexu kritéria (dolný index kritéria) pre testovanie hypotéz vo výberovej schéme bez návratu v triede kritérií, ktoré odmietajú hypotézu U(n). , N) za $.<>,■ ■)><*. (0-7) где ф - функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области.

V súlade s účelom štúdie boli stanovené tieto úlohy:

Preskúmajte vlastnosti entropie a informačnej vzdialenosti Kull-Bak - Leibler - Sanov pre diskrétne rozdelenia s počítateľným počtom výsledkov;

Preskúmajte pravdepodobnosti veľkých odchýlok štatistiky formulára (0,4);

Preskúmajte pravdepodobnosti veľkých odchýlok symetrických separovateľných štatistík (0,3), ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku;

Nájdite takú štatistiku, že kritérium vhodnosti zostavené na jeho základe na testovanie hypotéz vo všeobecných schémach umiestnenia má najvyššiu hodnotu indexu v triede kritérií formulára (0,7).

Vedecká novinka:

Vedecká a praktická hodnota. Práca rieši množstvo otázok o správaní pravdepodobností veľkých odchýlok v zovšeobecnených schémach umiestnenia. Získané výsledky je možné využiť vo vzdelávacom procese v odboroch matematická štatistika a teória informácie, pri štúdiu štatistických postupov pri analýze diskrétnych postupností a boli použité v /3/, /21/ na zdôvodnenie bezpečnosti jedného triedy informačných systémov. Ustanovenia na obranu:

Zníženie problému testovania založeného na jedinej sekvencii farieb loptičiek, hypotéza, že táto sekvencia je získaná ako výsledok voľby bez návratu, kým sa loptičky nevyčerpajú z urny obsahujúcej loptičky dvoch farieb a každá takáto voľba má rovnakej pravdepodobnosti, ku konštrukcii kritérií dobrej zhody na testovanie hypotéz v zodpovedajúcom zovšeobecnenom usporiadaní;

Funkcie kontinuity entropie a Kullback-Leibler-Sanovovej informačnej vzdialenosti na nekonečne-rozmernom simplexe so zavedenou logaritmickou zovšeobecnenou metrikou;

Veta o hrubej (až do logaritmickej ekvivalencie) asymptotike pravdepodobností veľkých odchýlok symetrickej separovateľnej štatistiky, ktorá nespĺňa Cramerovu podmienku vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia v semi-exponenciálnom prípade;

Veta o hrubej (až logaritmickej ekvivalencii) asymptotike pravdepodobnosti veľkých odchýlok pre štatistiku tvaru (0,4);

Konštrukcia kritéria vhodnosti na testovanie hypotéz v zovšeobecnených usporiadaniach s najvyššou hodnotou indexu v triede kritérií formulára (0,7).

Piate celoruské sympózium o aplikovanej a priemyselnej matematike. Jarné zasadnutie, Kislovodsk, 2. - 8. máj 2004;

Šiesta medzinárodná Petrozavodská konferencia "Pravdepodobnostné metódy v diskrétnej matematike" 10. - 16. júna 2004;

Druhá medzinárodná konferencia "Informačné systémy a technológie (IST" 2004)", Minsk, 8. - 10. novembra 2004;

Medzinárodná konferencia "Moderné problémy a nové trendy v teórii pravdepodobnosti", Chernivtsi, Ukrajina, 19. - 26. júna 2005.

Štruktúra a obsah práce.

Prvá kapitola skúma vlastnosti entropie a informačnej vzdialenosti pre rozdelenia na množine nezáporných celých čísel.

V prvom odseku prvej kapitoly sú uvedené notácie a sú uvedené potrebné definície. Používa sa najmä nasledujúci zápis: x = (xq,x\, . ) - nekonečnerozmerný vektor s počítateľným počtom komponentov;

H(x) - -Ex^oXvlnx,-, truncm(x) = (x0,x1,.,xm,0,0,.)] f2* = (x, xi > 0, zy = 0,1,. , Oh "< 1}; Q = {х, х, >0,u = 0,1, o xv = 1); = (x GO, ££ L0 = 7);

Ml = o Ue>1|5 € o< Ml - 7МГ1 < 00}. Понятно, что множество £1 соответствует семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел, П7 - семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел с математическим ожиданием 7.

Ak y 6E P, potom pre e > 0 bude množina označená Oe(y)

Oe(y) - (x^< уие£ для всех v = 0,1,.}.

V druhom odseku prvej kapitoly je dokázaná veta o ohraničenosti entropie diskrétnych rozdelení s obmedzeným matematickým očakávaním.

Veta 1. O ohraničenosti entropie diskrétnych rozdelení s ohraničeným matematickým očakávaním.

Pre akékoľvek 6 P7

H(x)

Ak x € lietať zodpovedá geometrickému rozdeleniu s matematickou definíciou 7, teda 7 x„ = (1- р)р\ v = 0,1,., kde р = --,

1 + 7 potom platí rovnosť

H(x) = F(<7).

Tvrdenie vety možno považovať za výsledok formálnej aplikácie Lagrangeovej metódy podmienených multiplikátorov v prípade nekonečného počtu premenných. V /47/ je uvedená (bez dôkazu) teoréma, že jediné rozdelenie na množine (k, k + 1, k + 2,.) s daným matematickým očakávaním a maximálnou entropiou je geometrické rozdelenie s daným matematickým očakávaním. Autor však podal prísny dôkaz.

V treťom odseku prvej kapitoly je uvedená definícia zovšeobecnenej metriky – metriky, ktorá umožňuje nekonečné hodnoty.

Pre x,y € Q je funkcia p(x,y) definovaná ako minimum e > O s vlastnosťou yie~£<хи< уиее для всех и = 0,1,. Если такого е не существует, то полагается, что р(х,у) = оо.

Je dokázané, že funkcia p(x,y) je zovšeobecnená metrika na rodine rozdelení na množine nezáporných celých čísel, ako aj na celej množine Cl*. Namiesto e v definícii metriky p(x,y) môžete použiť akékoľvek iné kladné číslo okrem 1. Výsledné metriky sa budú líšiť o multiplikatívnu konštantu. Označme J(x, y) informačnú vzdialenosť

00 £ J(x,y) = E In-.

Tu a nižšie sa predpokladá, že 0 In 0 = 0,0 In jj = 0. Informačná vzdialenosť je definovaná pre také x, y, že x„ = 0 pre všetky a také, že y = 0. Ak táto podmienka nie je splnená, potom bude predpokladať J(x,ij) = oo. Nechajte L SP. Potom označíme

J (A Y) = |nf J(x,y).

Štvrtý odsek prvej kapitoly uvádza definíciu kompaktnosti funkcií definovaných na množine Q*. Kompaktnosť funkcie s spočítateľným počtom argumentov znamená, že s akýmkoľvek stupňom presnosti možno hodnotu funkcie aproximovať hodnotami tejto funkcie v bodoch, kde je len konečný počet argumentov nenulový. Je dokázaná kompaktnosť funkcií entropie a informačnej vzdialenosti.

1. Pre ľubovoľnú 0< 7 < оо функция Н(х) компактна на

2. Ak pre nejaké 0< 70 < оо

R e potom pre ľubovoľnú 0<7<оо,г>0 funkcia x) = J(x,p) je na množine kompaktná

Pl&V) = E\Xi~Y»\, u=0

E (xv - Ui)2 v=Q

Рз(х,у) = 8Up\xu-yv\. v

Pre entropické funkcie H(x) a informačnú vzdialenosť J(x,p) je dokázaná platnosť nasledujúcich nerovníc:

1. Pre ľubovoľné x, x" € fi

N(x) - N(x")\< - 1){Н{х) + Н{х")).

2. Ak pre nejaké x,p e P existuje e > 0 tak, že x 6 0 £(p), potom pre ľubovoľné x" £ Q J(x,p) - J(x",p)|< (е"М - 1){Н{х) + Н{х") + ееН(р)).

Z týchto nerovností, berúc do úvahy vetu 1, vyplýva, že funkcie entropie a informačnej vzdialenosti sú rovnomerne spojité na zodpovedajúcich podmnožinách Q v metrike p(x,y)t, tj.

1. Pre ľubovoľnú 7 takú, že 0< 7 < оо, функция Н(х) равномерно непрерывна на Г2 в метрике р(ж,у);

2. Ak pre nejakých 70,0< 70 < оо

TO pre ľubovoľnú 0<7<оои£>Funkcia 0

L p(x) = J(x,p) je rovnomerne spojitá na množine Π Oe(p) v metrike p(x,y).

Nech pre nejaké 7 > 0 je oblasť A daná podmienkou

A = (x € VLv4>(x) > a), (0,9) kde φ(x) je funkcia skutočnej hodnoty, a je nejaká reálna konštanta, inf φ(x)< а < inf ф(х).

Bola skúmaná otázka, za akých podmienok na funkciu φ pri zmene parametrov n,N v centrálnej oblasti, ^ -; 7, pre všetky dostatočne veľké hodnoty existujú nezáporné celé čísla ko, k\,., kn také, že k0 + ki + . + kn = N, k\ + 2k2. + ovládací panel - N a

F(ko k\ kp

-£,0,0 ,.)>a.

Je dokázané, že na to stačí vyžadovať, aby funkcia φ bola neextrémna, kompaktná a spojitá v metrike p(x,y), a tiež, že aspoň pre jeden bod x vyhovuje (0,9), pre niektoré e > 0 existuje konečný moment stupňov 1 + e a x„ > 0 pre ľubovoľné v = 0,1.

V druhej kapitole študujeme hrubú (až logaritmickú ekvivalenciu) asymptotiku pravdepodobnosti veľkých odchýlok funkcií od D = (^0) ■ ) Ts "n, 0, .) - počet buniek s danou výplňou v centrálnej oblasti zmeny parametrov N, n Hrubý Na štúdium indexov kritérií zhody postačuje asymptotika pravdepodobnosti veľkých odchýlok.

Nech sú náhodné premenné ^ v (0.2) identicky rozdelené a

P(z) - generujúca funkcia náhodnej premennej - konverguje v kružnici s polomerom 1< R < оо. Следуя /38/, для 0 < z < R обозначим через £(z) случайную величину такую, что

Ml+£ = £ i1+ex„< 00.

0,10) k] = Pk, k = 0,1.

Označme

Ak existuje riešenie rovnice m Z(z) = ъ, potom je jednoznačné /38/. V nasledujúcom budeme predpokladať, že pk > O,A; = 0,1,.

Prvý odsek prvého odseku druhej kapitoly obsahuje asymptotiku logaritmov pravdepodobností tvaru

1pP(/x0 = ko,.,tsp = kp).

Nasledujúca veta je dokázaná.

Veta 2. Hrubá lokálna veta o pravdepodobnosti veľkých odchýlok. Nech n, N -» oo tak, že jj ->7,0<7 < оо, существует z7 - корень уравнения M£(z) = 7, с. в. £(г7) имеет положительную дисперсию. Тогда для любого k G Cl(n,N)

lnP(D = k) = JftpK)) + O(^lniV).

Výrok vety vyplýva priamo zo vzorca pre spoločné rozdelenie fii,. fin in /26/ a nasledujúci odhad: ak nezáporné celočíselné hodnoty, Нп spĺňa podmienku

Hi + 2d2 + + PNn = n, potom počet nenulových hodnôt medzi nimi je 0 (l / n). Toto je hrubý odhad a netvrdí, že je nový. Počet nenulových CG v zovšeobecnených schémach usporiadania nepresahuje hodnotu maximálneho zaplnenia buniek, ktorá v centrálnej oblasti s pravdepodobnosťou klesajúcou k 1 nepresahuje hodnotu O(lnn) /25/, / 27/. Napriek tomu je výsledný odhad 0(y/n) spokojný s pravdepodobnosťou 1 a je dostatočný na získanie hrubej asymptotiky.

V druhom odseku prvého odseku druhej kapitoly nájdeme hodnotu limity, kde adg je postupnosť reálnych čísel konvergujúcich k nejakému a G R, φ(x) je funkcia s reálnou hodnotou. Nasledujúca veta je dokázaná.

Veta 3. Hrubá integrálna veta o pravdepodobnosti veľkých odchýlok. Nech sú splnené podmienky vety 2, pre nejaké r > 0, C > 0 je reálna funkcia φ(x) kompaktná, rovnomerne spojitá v metrike p na množine

A = 0r+<;(p(z7)) П Ц7+с] и удовлетворяет условию неэкстремальности на множестве fly. Если для некоторой константы а такой, что inf ф(х) < а < sup ф(х). xeily существует вектор ра € fi7 П 0r(p(z7)); такой, что

Ф(ra) > a a j(( (x) >a,xe P7),p(2;7)) = 7(pa,p(*y)) mo pre ľubovoľnú postupnosť a^ konvergujúcu k,

Jim -vbPW%%,.)>aN) = J(pa,p(2h)). (0,11)

S dodatočnými obmedzeniami funkcie φ(x) možno informačnú vzdialenosť J(pa,p(z7)) v (2.3) vypočítať presnejšie. Totiž, nasledujúca veta je pravdivá. Veta 4. O informačnej vzdialenosti. Nechajte chvíľu 0< 7 < оо для некоторвх г >0, C > 0, reálna funkcia φ(x) a jej parciálne derivácie prvého rádu sú kompaktné a rovnomerne spojité vo zovšeobecnenej metrike p(x, y) na množine p G

A = Og(p) P %+c] existuje T > 0, R > 0 tak, že pre všetky \t\<Т,0 < z < R,x е А

E^exp^-f(x))< оо,

0(a;)exp(t-< со, i/=o oxv 0X1/ для некоторого е >O oo Q pvv1+£zu exp(t-ph(x))< оо, (0.13) и существует единственный вектор x(z,t), удовлетворяющий системе уравнений xv(z, t) = pvzv ехр {Ь-ф(х(г, t))}, v = 0,1,. функция ф(х) удовлетворяет на множестве А условию неэкстремальности, а - некоторая константа, ф(р) < а < sup ф(:x)(z,t),

0
00 vpv(za,ta) = 7, 1/=0

0(p(*aL)) = a, kde

Potom p(za, ta) € a

J((x e А,ф(х) = а),р) = J(p(za, ta),p)

00 d 00 d = l\nza + taYl ir- (x(za,ta)) – V E^r/exp(ta-z- (p(zatta))). j/=0 C^i/t^=0

Ak je funkcia f(x) lineárna funkcia a funkcia f(x) je definovaná pomocou rovnosti (0,5), potom sa podmienka (0,12) zmení na Cramerovu podmienku pre náhodnú premennú f(£(z)). Podmienka (0,13) je forma podmienky (0,10) a používa sa na preukázanie prítomnosti v doménach tvaru (x G f(x) > a) aspoň jedného bodu z 0(n, N) pre všetky dostatočne veľké n, N.

Nech ^)(n, N) = (hi,., /gdr) je frekvenčný vektor vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia (0,2). Ako dôsledok vety 3 a 4 je formulovaná nasledujúca veta.

Veta 5. Hrubá integrálna veta o pravdepodobnosti veľkých odchýlok symetrickej separovateľnej štatistiky vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia.

Nech n, N -» oo tak, že ^ - 7, 0< 7 < оо, существует z1 - корень уравнения М£(,г) = 7, с. в. £(27) имеет положительную дисперсию и максимальный шаг распределения 1, а - некоторая константа, f(x) - действительная функция, а < Mf(^(z1)), существуют Т >0,R > 0 tak, že pre všetky |t|<Т,0 < z < R,

00 oo, u=0 sú takí ta\
E vVi/("01 ta) = b, kde f(v)p"(za,ta) = a, 1/=0

Potom pre akúkoľvek sekvenciu adg konvergujúcu k a,

Jim - - InF»(- £ f(h„) > aN) = J(p(za,ta),p(z7))

00 7 V 2a + taa - V £ p^/e^M i/=0

Túto vetu prvýkrát dokázal A.F. Ronzhin v /38/ pomocou metódy sedlového bodu.

V druhom odseku druhej kapitoly sú študované pravdepodobnosti veľkých odchýlok separovateľných štatistík v zovšeobecnených umiestneniach cxj^iax v prípade nesplnenia Cramerovej podmienky pre náhodnú premennú f(€(z)). Cramerova podmienka pre náhodnú premennú f(£(z)) nie je splnená, najmä ak £(z) je Poissonova náhodná premenná a f(x) je x2. Všimnite si, že Cramerova podmienka pre samotnú separovateľnú štatistiku vo všeobecných alokačných schémach je vždy splnená, pretože pre akékoľvek pevné n, N je počet možných výsledkov v týchto schémach konečný.

Ako je uvedené v /2/, ak Cramerova podmienka nie je splnená, potom na nájdenie asymptotických pravdepodobností veľkých odchýlok súčtu identicky rozdelených náhodných premenných sú potrebné ďalšie. f

V a. . I podmienky správnej zmeny distribúcie termínu. Prebieha j

O, 5 sa považuje prípad zodpovedajúci splneniu podmienky (3) v /2/, teda sedemexponenciálny prípad. Nech P(£i = k) > 0 pre všetky k = 0,1. a funkcia p(k) = -\nP(^ = k), môže byť rozšírená na funkciu spojitého argumentu - pravidelne sa meniacu funkciu rádu p, 0< р < со /45/, то есть положительной функции такой, что при t ->oo p(tx) xr.

Nech je funkcia f(x) pre dostatočne veľké hodnoty argumentu kladná striktne rastúca, pravidelne sa meniaca funkcia poradia. Definujme funkciu cp(x) nastavením dostatočne veľkého x φ) = p(Γ\ X)).

Na zvyšku číselnej osi môže byť ip(x) špecifikovaný ľubovoľným obmedzeným merateľným spôsobom.

Potom s. V. /(£i) má momenty ľubovoľného rádu a nespĺňa Cramerovu podmienku, p(x) = o(x) ako x -> ω a platí nasledujúca veta 6. Nech je funkcia ip(x) monotónna neklesajúci pre dostatočne veľké x, fg^ction nerastie monotónne, n, N -> oo tak, že jj - A, 0< Л < оо; гд - единственный корень уравнения M^i(^) = Л, тогда для любого с >b(z\), kde b(z) = M/(£i(.z)), existuje limit CN) = -(c - b(z\))4.

Z vety b vyplýva, že ak nie je splnená Cramerova podmienka, limit lim 1 InP(LN(h(n, N)) > cN) = 0, ^ ^ iv-príliš iv, čo dokazuje platnosť hypotézy uvedenej v / 39/. Hodnota indexu kritéria dohody vo všeobecných schémach umiestnenia a nesplnení Cramerovej podmienky je teda vždy rovná nule. V tomto prípade sa v triede kritérií, keď je splnená Cramerova podmienka, skonštruujú kritériá s nenulovou hodnotou indexu. Z toho môžeme vyvodiť záver, že použitie kritérií, ktorých štatistiky nespĺňajú Cramerovu podmienku, napríklad chí-kvadrát test v polynómovej schéme, na zostavenie testov dobrej zhody na testovanie hypotéz pre nekonvergujúce alternatívy v uvedenom zmysle. je asymptoticky neúčinný. K podobnému záveru došlo aj v /54/ na základe výsledkov porovnania štatistiky chí-kvadrát a maximálnej pravdepodobnosti v polynómovej schéme.

Tretia kapitola rieši problém konštrukcie kritérií dobrej zhody s najväčšou hodnotou indexu kritéria (najväčšia hodnota dolného indexu kritéria) na testovanie hypotéz vo všeobecných schémach umiestnenia. Na základe výsledkov prvej a druhej kapitoly o vlastnostiach entropických funkcií, informačnej vzdialenosti a pravdepodobnosti veľkých odchýlok je v tretej kapitole nájdená funkcia tvaru (0,4) tak, aby bolo skonštruované kritérium dobrej zhody na jeho základe má najväčšiu hodnotu presného dolného indexu v triede posudzovaných kritérií. Nasledujúca veta je dokázaná.

Veta 7. O existencii indexu. Nech sú splnené podmienky vety 3: 0< /3 < 1, Н = Hp(i),Hp(2>,. je postupnosť alternatívnych rozdelení, а,ф((3, N) je maximálny počet, pre ktorý podľa hypotézy Нр<ло выполнено неравенство существует предел lim^-оо о>φ(P, N) - a. Potom v bode (/3, H) je index kritéria φ

Zff, H) = 3((φ(x) > a, x ^.PW).

hanblivý)<ШН)>kde w/fo fh h v^l ^

Záver stanovuje dosiahnuté výsledky v ich vzťahu k všeobecnému cieľu a konkrétnym úlohám kladeným v dizertačnej práci, formuluje závery na základe výsledkov dizertačnej rešerše, naznačuje vedeckú novosť, teoretickú a praktickú hodnotu práce, ako aj konkrétne vedecké úlohy identifikované autorom a ktorých riešenie sa javí ako relevantné .

Krátky prehľad literatúry k výskumnej téme. Práca sa zaoberá problémom konštrukcie kritérií zhody vo všeobecných schémach umiestnenia s najvyššou hodnotou indexu kritéria v triede funkcií formy (0,4) s nekonvergovanými alternatívami.

Zovšeobecnené schémy usporiadania zaviedol V.F.Kolchin v /24/. Veličiny v polynomickej schéme sa nazývali počet buniek s g pelety a boli podrobne študované v monografii V. F. Kolchin, B. A. Sevastyanov, V. P. Chistyakov /27/. Hodnoty jedle v zovšeobecnených pôdorysoch študoval V.F. Kolchin v /25/, /26/. Štatistiky vo forme (0,3) prvýkrát uvažoval Yu.I. Medvedev v /30/ a nazývali sa separovateľná (aditívne separovateľná) štatistika. Ak funkcie /„ v (0.3) nezávisia od u, takáto štatistika sa volala v /31/ symetrickej separovateľnej štatistike. Asymptotické správanie momentov separovateľnej štatistiky v zovšeobecnených alokačných schémach získal G. I. Ivčenko v /9/. V /23/ boli uvažované aj limitné vety pre zovšeobecnenú schému usporiadania. Prehľady výsledkov limitných viet a kritérií zhody v diskrétnych pravdepodobnostných schémach typu (0,2) poskytli V. A. Ivanov, G. I. Ivčenko, Ju. I. Medvedev v /8/ a G. I. Ivčenko, Yu. I. Medvedev, A. F. Ronzhin v r. /14/. Kritériá dohody pre zovšeobecnené usporiadanie zvážil A.F. Ronzhin v /38/.

Porovnanie vlastností štatistických kritérií v týchto prácach bolo uskutočnené z hľadiska relatívnej asymptotickej účinnosti. Uvažoval sa prípad konvergujúcich (susedných) hypotéz - účinnosť v zmysle Pitmana a nekonvergujúcich hypotéz - účinnosť v zmysle Bahadur, Hodges - Lehman a Chernov. Vzťah medzi rôznymi typmi štatistických testov relatívneho výkonu je diskutovaný napríklad v /49/. Ako vyplýva z výsledkov 10. I. Medvedeva v /31/ o distribúcii separovateľných štatistík v polynómovej schéme, najväčšiu asymptotickú mocnosť pri konvergentných hypotézach v triede separovateľnej štatistiky o frekvenciách výsledkov v polynomickej schéme má kritérium založené na štatistike chí-kvadrát. Tento výsledok zovšeobecnil A.F. Ronzhin pre obvody typu (0,2) v /38/. I. I. Viktorova a V. P. Chistyakov v /4/ skonštruovali optimálne kritérium pre polynómovú schému v triede lineárnych funkcií /xr. A.F. Ronzhin v /38/ skonštruoval kritérium, ktoré vzhľadom na postupnosť alternatív, ktoré nie sú blízke nulovej hypotéze, minimalizuje logaritmickú rýchlosť, pri ktorej má pravdepodobnosť chyby prvého druhu tendenciu k nule, v triede štatistiky formulár (0,6). Porovnanie relatívnej výkonnosti štatistiky chí-kvadrát a maximálnej pravdepodobnosti pri približujúcich sa a nepribližujúcich sa hypotézach bolo vykonané v /54/.

Práca sa zaoberala prípadom nekonvergujúcich hypotéz. Štúdium relatívnej štatistickej účinnosti kritérií pri nekonvergujúcich hypotézach si vyžaduje štúdium pravdepodobnosti extrémne veľkých odchýlok - rádovo 0(i/n). Prvýkrát takýto problém pre polynomické rozdelenie s pevným počtom výsledkov riešil I. N. Sanov v /40/. Asymptotická optimalita testov dobrej zhody na testovanie jednoduchých a zložitých hypotéz pre multinomické rozdelenie v prípade konečného počtu výsledkov s nekonvergovanými alternatívami bola uvažovaná v /48/. Vlastnosti informačnej vzdialenosti predtým uvažovali Kullback, Leibler /29/,/53/ a I. II. Sanov /40/, ako aj Hoeffding /48/. V týchto prácach sa kontinuita informačnej vzdialenosti zvažovala na konečne-rozmerných priestoroch v euklidovskej metrike. Viacerí autori uvažovali o postupnosti priestorov s narastajúcou dimenziou, napríklad v diele J. V. Prochorova /37/ alebo v diele V. I. Bogačeva, A. V. Kolesnikova /1/. Hrubé (až do logaritmickej ekvivalencie) teorémy o pravdepodobnosti veľkých odchýlok separovateľnej štatistiky v zovšeobecnených alokačných schémach za Cramerovej podmienky získal A.F. Ronzhin v /38/. A. N. Timashev v /42/,/43/ získal presné (až do ekvivalencie) viacrozmerné integrálne a lokálne limitné vety o pravdepodobnosti veľkých odchýlok vektora fir^n, N),., iir.(n,N), kde s, r\,., rs - pevné celé čísla,

O<П < .
Štúdium pravdepodobností veľkých odchýlok pri nesplnení Cramerovej podmienky pre prípad nezávislých náhodných veličín sa realizovalo v prácach A. V. Nagaeva /35/. Spôsob konjugovaných distribúcií popisuje Feller /45/.

Štatistickými problémami testovania hypotéz a odhadovania parametrov vo výberovej schéme bez návratnosti v trochu inej formulácii sa zaoberali G. I. Ivčenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, kde sa riešili úlohy odhadu pre konečnú populáciu, keď počet jeho prvkov je neznáma veličina, bola dokázaná asymptotická normalita multivariačnej S - štatistiky z nezávislých vzoriek s vo výberovej schéme bez reverzie. Problémom štúdia náhodných premenných spojených s opakovaniami v sekvenciách nezávislých pokusov sa zaoberali A. M. Zubkov, V. G. Mikhailov, A. M. Shoitov v /6/, /7/, /32/, /33/, /34/ . Analýzu hlavných štatistických problémov odhadu a testovania hypotéz v rámci všeobecného Markov-Pólyovho modelu vykonali G. I. Ivčenko, Yu. I. Medvedev v /13/, ktorej pravdepodobnostnú analýzu podal /11. /. Metódu určenia nejednotných mier pravdepodobnosti na množine kombinatorických objektov, ktorá nie je redukovateľná na zovšeobecnenú schému umiestnenia (0,2), opísali G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev /12/. Množstvo problémov v teórii pravdepodobnosti, na ktoré možno získať odpoveď ako výsledok výpočtov pomocou rekurentných vzorcov, naznačil A. M. Zubkov v /5/.

Nerovnice pre entropiu diskrétnych rozdelení boli získané v /50/ (citované z abstraktu A. M. Zubkova v RZhMat). Ak (pn)^Lo je rozdelenie pravdepodobnosti, oo

Рп = Е Рк, к=тг

A = supp^Pn+i< оо (0.14) п>0 a

F(x) = (x + 1) In (x + 1) - x In x, potom pre entropiu I tohto rozdelenia pravdepodobnosti

00 i = - 5Z Рк^Рк к=0 platia nerovnosti -L 1 00 00 Р

I + (In -f-) £ (Arn - Rn+1)< F(А) < Я + £ (АРп - P„+i)(ln

L D p=P -t p.4-1 a nerovnosti sa menia na rovnosti ak

Рп= (xf1)n+vn>Q. (0,15)

Všimnite si, že extrémne rozdelenie (0,15) je geometrické rozdelenie s matematickým očakávaním A a funkcia F(A) parametra (0,14) sa zhoduje s funkciou matematického očakávania vo vete 1.

Podobné dizertačné práce v odbore "Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika", 01.01.05 kód VAK

Asymptotická účinnosť exponenciálnych testov bez škálových parametrov 2005, kandidátka fyzikálnych a matematických vied Chirina, Anna Vladimirovna

Niektoré problémy v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike súvisiace s Laplaceovým rozdelením 2010, kandidát fyzikálnych a matematických vied Lyamin, Oleg Olegovich

Limitné teorémy v problémoch hustého vkladania a hustých radov v diskrétnych náhodných postupnostiach 2009, kandidátka fyzikálnych a matematických vied Mezhennaya, Natalya Mikhailovna

Limitné teorémy pre počet priesečníkov pásu náhodnými trajektóriami chôdze 2006, kandidátka fyzikálnych a matematických vied Orlová, Nina Gennadievna

Optimalizácia štruktúry momentových odhadov presnosti normálnej aproximácie pre rozdelenia súčtov nezávislých náhodných premenných 2013, doktorka fyzikálnych a matematických vied Shevtsova, Irina Gennadievna

Záver dizertačnej práce na tému „Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika“, Kolodzei, Alexander Vladimirovich

3.4. závery

V tejto kapitole sa na základe výsledkov predchádzajúcich kapitol podarilo skonštruovať kritérium dobrej zhody na testovanie hypotéz vo všeobecných schémach umiestnenia s najvyššou logaritmickou mierou sklonu k nulovým pravdepodobnostiam chýb prvého druhu, pričom pevná pravdepodobnosť chýb prvého druhu a nekonvergujúce alternatívy. ~"

Záver

Cieľom dizertačnej práce bolo skonštruovať kritériá vhodnosti pre testovanie hypotéz vo výberovej schéme bez návratu z urny s guľôčkami 2 farieb. Autor sa rozhodol preštudovať štatistiku na základe frekvencií vzdialeností medzi loptičkami rovnakej farby. V tejto formulácii sa problém zredukoval na úlohu testovania hypotéz vo vhodnom zovšeobecnenom rozložení.

Dizertačná práca zahŕňala

Študovali sa vlastnosti entropie a informačnej vzdialenosti diskrétnych rozdelení s neobmedzeným počtom výsledkov a obmedzeným matematickým očakávaním;

Získa sa hrubé (až do logaritmickej ekvivalencie) asymptotické správanie pravdepodobností veľkých odchýlok širokej triedy štatistík v schéme zovšeobecneného umiestnenia;

Na základe získaných výsledkov bola skonštruovaná kriteriálna funkcia s najvyššou logaritmickou mierou sklonu k nule z pravdepodobnosti chyby prvého typu s pevnou pravdepodobnosťou chyby druhého typu a nepribližujúcich sa alternatív;

Bolo dokázané, že štatistiky, ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku, majú nižšiu mieru konvergencie k nule pravdepodobnosti veľkých odchýlok v porovnaní so štatistikami, ktoré túto podmienku spĺňajú.

Vedecká novinka práce je nasledovná.

Je daný koncept zovšeobecnenej metriky - funkcia, ktorá pripúšťa nekonečné hodnoty a spĺňa axiómy identity, symetrie a trojuholníkovej nerovnosti. Nájde sa zovšeobecnená metrika a indikujú sa množiny, na ktorých sú funkcie entropie a informačnej vzdialenosti, definované na skupine diskrétnych rozdelení s spočítateľným počtom výsledkov, v tejto metrike spojité;

Vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia bola nájdená hrubá (až logaritmická ekvivalencia) asymptotika pre pravdepodobnosti veľkých odchýlok štatistiky tvaru (0,4), ktoré spĺňajú zodpovedajúcu formu Cramerovej podmienky;

Vo zovšeobecnenej schéme umiestnenia sa nachádza hrubá (až do logaritmickej ekvivalencie) asymptotika pre pravdepodobnosti veľkých odchýlok symetrických separovateľných štatistík, ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku;

V triede kritérií formulára (0,7) sa zostrojí kritérium s najvyššou hodnotou indexu kritéria.

Práca rieši množstvo otázok o správaní pravdepodobností veľkých odchýlok v zovšeobecnených schémach umiestnenia. Získané výsledky je možné využiť vo vzdelávacom procese v odboroch matematická štatistika a teória informácie, pri štúdiu štatistických postupov pri analýze diskrétnych postupností a boli použité v /3/, /21/ na zdôvodnenie bezpečnosti jedného triedy informačných systémov.

Niekoľko otázok však zostáva otvorených. Autor sa obmedzil na zváženie centrálnej zóny zmien parametrov n, N zovšeobecnených schém na umiestnenie n častíc do N buniek. Ak nositeľom rozdelenia náhodných veličín generujúcich zovšeobecnenú schému usporiadania (0.2) nie je množina tvaru r, r + 1, r + 2,., potom pri dokazovaní spojitosti informačnej dištančnej funkcie a štúdiu pravdepodobností veľkých odchýlok je potrebné vziať do úvahy aritmetickú štruktúru takého nosiča, s ktorou sa v práci autora neuvažovalo. Pre praktickú aplikáciu kritérií zostavených na základe navrhovanej funkcie s maximálnou hodnotou indexu je potrebné študovať jej rozdelenie tak pri nulovej hypotéze, ako aj pri alternatívach, vrátane konvergujúcich. Je tiež zaujímavé preniesť vyvinuté metódy a zovšeobecniť získané výsledky do iných pravdepodobnostných schém iných ako sú zovšeobecnené schémy umiestnenia.

Ak - frekvencie vzdialeností medzi číslami výsledkov 0 v binomickej schéme s pravdepodobnosťou výsledkov po > 1 - Po, potom možno ukázať, že v tomto prípade

Pb = kh.t fin = kn) = I(± iki = n)(kl + --, (3,3) v=\ K\ \ . Kn\ kde

O* = Po~1(1~Po),v=

Z analýzy vzorca pre spoločné rozdelenie hodnôt cg vo všeobecnom usporiadaní schémy, preukázanej v /26/, vyplýva, že rozdelenie (3.3) vo všeobecnosti nemožno reprezentovať vo všeobecnom prípade ako spoločné rozdelenie. hodnôt cg v akomkoľvek všeobecnom usporiadaní častíc podľa buniek. Toto rozdelenie je špeciálnym prípadom rozdelenia na množine kombinatorických objektov zavedených v /12/. Preniesť výsledky dizertačnej práce pre zovšeobecnené schémy umiestnenia do tohto prípadu, o ktorom sa hovorilo v /52/, sa javí ako naliehavá úloha.

Ak je počet výsledkov v schéme výberu bez návratu alebo polynómovej alokačnej schéme väčší ako dva, potom spoločné frekvenčné rozdelenie vzdialeností medzi susednými identickými výsledkami už nemôže byť reprezentované takým jednoduchým spôsobom. Zatiaľ je možné vypočítať len matematické očakávanie a rozptyl počtu takýchto vzdialeností /51/.

Zoznam odkazov na výskum dizertačnej práce Kandidát fyzikálnych a matematických vied Kolodzei, Alexander Vladimirovich, 2006

1. Bogachev V.I., Kolesnikov A.V. Nelineárne transformácie konvexných mier a entropie hustôt Radon-Nikodym // Správy Akadémie vied. - 2004. - T. 207. - 2. - S. 155 - 159.

2. Vidyakin V.V., Kolodzei A.V. Štatistická detekcia skrytých kanálov v sieťach na prenos údajov // Proc. správa II International conf. "Informačné systémy a technológie IST" 2004" (Minsk, 8. - 10. október 2004) Minsk: BSU, 2004. - Časť 1. - s. 116 - 117.

3. Viktorova I. I., Chistyakov V. P. Niektoré zovšeobecnenia kritéria prázdneho boxu // Teória pravdepodobnosti. a jeho aplikácií. - 1966. - T. XI. - 2. S. 306-313.

4. Zubkov A. M. Rekurentné vzorce na výpočet funkcionálov ods diskrétnych náhodných premenných // Review of Appl. a priemyselné matematika. 1996. - T. 3. - 4. - S. 567 - 573.

5. G. Zubkov A. M., Mikhailov V. G. Limitné distribúcie náhodných premenných spojených s dlhými opakovaniami v sekvencii nezávislých testov // Teória pravdepodobnosti. a jeho aplikácií. - 1974. - T. XIX. 1. - s. 173 - 181.

6. Zubkov A. M., Michajlov V. G. O opakovaniach s - reťazcov v postupnosti nezávislých veličín // Teória pravdepodobnosti. a jeho aplikácia - 1979. T. XXIV. - 2. - S. 267 - 273.

7. Ivanov V. A., Ivchenko G. I., Medvedev Yu. I. Diskrétne problémy v teórii pravdepodobnosti // Výsledky vedy a techniky. Ser. teória pravdepodobnosti, matematika. stat., teor. kybernetický. T. 23. - M.: VINITI, 1984. S. 3 -60.

8. Ivchenko G. I. O momentoch oddeliteľnej štatistiky v zovšeobecnenej schéme prideľovania // Mat. poznámky. 1986. - T. 39. - 2. - S. 284 - 293.

9. Ivchenko G. I., Levin V. V. Asymptotická normalita vo výberovej schéme bez návratu // Teória pravdepodobnosti. a aplikuje sa. - 1978.- T. XXIII. 1. - s. 97 - 108.

10. Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I. O schéme urn Markov-Polya: od roku 1917 do súčasnosti // Revízia bola použitá. a priemyselné matematika. - 1996.- T. 3. 4. - S. 484-511.

11. Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I. Náhodné kombinatorické objekty // Správy Akadémie vied. 2004. - T. 396. - 2. - S. 151 - 154.

12. Ivchenko G. I., Medvedev Yu. I. Štatistické problémy spojené s organizáciou kontroly nad procesmi generovania diskrétnych náhodných sekvencií // Diskretn. matematika. - 2000. - T. 12. - 2. S. 3 - 24.

13. Ivchenko G. I., Medvedev Yu. I., Ronzhin A. F. Oddeliteľná štatistika a kritériá dobrej zhody pre polynomiálne vzorky // Proceedings of Mathematics. Ústav Akadémie vied ZSSR. 1986. - T. 177. - S. 60 - 74.

14. Ivchenko G. I., Timonina E. E. O odhade pri výbere z konečnej populácie // Mat. poznámky. - 1980. - T. 28. - 4. - S. 623 - 633.

15. Kolodzei A. V. Veta o pravdepodobnostiach veľkých odchýlok pre separovateľné štatistiky, ktoré nespĺňajú Cramerovu podmienku // Diskretn. matematika. 2005. - T. 17. - 2. - S. 87 - 94.

16. Kolodzei A. V. Entropia diskrétnych rozdelení a pravdepodobnosť veľkých odchýlok funkcií od vyplnenia buniek v zovšeobecnených usporiadaniach // Review of Appl. a priemyselné matematika. - 2005. - T. 12. 2. - S. 248 - 252.

17. Kolodzey A. V. Štatistické kritériá na identifikáciu skrytých kanálov na základe zmeny poradia správ // Výskumná práca "Apológia": Správa / FSTEC Ruskej federácie, vedúci A. V. Knyazev. Inv. 7 drevotrieskových dosiek - M., 2004. - S. 96 - 128.

18. Kolodzei A.V., Ronzhin A.F. O niektorých štatistikách týkajúcich sa kontroly homogenity náhodných diskrétnych sekvencií // Výskumná práca "Vývoj matematických problémov kryptografie" N 4 2004.: Správa / AK RF, - M., 2004.

19. Kolchin A. V. Limitné vety pre zovšeobecnenú schému rozloženia // Diskretn. matematika. 2003. - T. 15. - 4. - S. 148 - 157.

20. Kolchin V.F. Jedna trieda limitných viet pre podmienené distribúcie // Lit. matematika. So. - 1968. - T. 8. - 1. - S. 111 - 126.

21. Kolchin V. F. Náhodné grafy. 2. vyd. - M.: FIZMATLIT, 2004. - 256 s.

22. Kolchin V. F. Náhodné zobrazenia. - M.: Nauka, 1984. - 208 s.

23. Kolchin V.F., Sevastyanov B.A., Chistyakov V.P. Náhodné umiestnenia. M.: Nauka, 1976. - 223 s.

24. Kramer G. // Uspekhi Matem. vedy. - 1944. - vysoká. 10. - s. 166 - 178.

25. Kulbak S. Teória informácie a štatistika. - M.: Nauka, 1967. - 408 s.

26. Medvedev Yu. I. Niektoré vety o asymptotickom rozdelení chí-kvadrát štatistiky // Dokl. Akadémie vied ZSSR. - 1970. - T. 192. 5. - S. 997 - 989.

27. Medvedev Yu I. Oddeliteľná štatistika v polynomickej schéme I; II. // Teória Prob. a jeho použitie. - 1977. - T. 22. - 1. - S. 3 - 17; 1977. T. 22. - 3. - S. 623 - 631.

28. Michajlov V. G. Limitné distribúcie náhodných premenných spojených s viacerými dlhými opakovaniami v sekvencii nezávislých testov // Teória Pravdepodobnosť. a jeho aplikácií. - 1974. T. 19. - 1. - S. 182 - 187.

29. Mikhailov V. G. Centrálna limitná veta pre počet neúplných dlhých opakovaní // Teória pravdepodobnosti. a jeho aplikácií. - 1975. - T. 20. 4. - S. 880 - 884.

30. Mikhailov V. G., Shoitov A. M. Štrukturálna ekvivalencia s - reťazcov v náhodných diskrétnych sekvenciách // Diskrétne. matematika. 2003. - T. 15, - 4. - S. 7 - 34.

31. Nagajev A.V. Integrálne limitné vety zohľadňujúce pravdepodobnosti veľkých odchýlok. I. // Teória Pravdepodobnosť. a aplikuje sa. -1969. T. 14. 1. - s. 51 - 63.

32. Petrov V. V. Súčty nezávislých náhodných premenných. - M.: Nauka, 1972. 416 s.

33. Prochorov Yu.V. Limitné vety pre sumy náhodných vektorov, ktorých rozmer má tendenciu k nekonečnu // Teória Pravdepodobnosť. a jeho aplikácií. 1990. - T. 35. - 4. - S. 751 - 753.

34. Ronzhin A.F. Kritériá pre zovšeobecnené schémy umiestňovania častíc // Teória Pravdepodobnosť. a jeho aplikácií. - 1988. - T. 33. - 1. - S. 94 - 104.

35. Ronzhin A.F. Veta o pravdepodobnostiach veľkých odchýlok pre separovateľnú štatistiku a jej štatistická aplikácia // Mat. poznámky. 1984. - T. 36. - 4. - S. 610 - 615.

36. Sanov I. N. O pravdepodobnostiach veľkých odchýlok náhodných premenných // Mat. So. 1957. - T. 42. - 1 (84). - S.I - 44.

37. Seneta E. Správne meniace funkcie. M.: Nauka, 1985. - 144 s.

38. Timashev A. N. Viacrozmerná integrálna veta o veľkých odchýlkach v schéme ekvipravdepodobného umiestnenia // Diskret, Mat. - 1992. T. 4. - 4. - S. 74 - 81.

39. Timashev A. N. Viacrozmerná lokálna veta o veľkých odchýlkach v schéme ekvipravdepodobného umiestnenia // Diskretn. matematika. - 1990. T. 2. - 2. - S. 143 - 149.

40. Fedoryuk M.V. Metóda odovzdania. M.: Nauka, 1977. 368 s.

41. Feller V. Úvod do teórie pravdepodobnosti a jej aplikácií. T. 2. - M.: Mir, 1984. 738 s.

42. Shannon K. Matematická teória komunikácie // Práce z teórie informácie a kybernetiky: Trans. z angličtiny / M., IL, 1963, s. 243 - 332.

43. Conrad K. Distribúcia pravdepodobnosti a maximálna entropia // http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/entropypost.pdf

44. Hoeffding W. Asymptoticky optimálne testy pre multinomické rozdelenie // Ann. Matematika. Statist. 1965. - T. 36. - s. 369 - 408.

45. Inglot T,. Rallenberg W. S. M., Ledwina T. Miznúci nedostatok a asymptotická relatívna účinnosť // Ann. Statist. - 2000. - T. 28. - S. 215 238.

46. Jurdas C., Pecaric J., Roki R., Sarapa N., O nerovnosti pre entropiu rozdelenia pravdepodobnosti // Math. Nerovný. a Appl. - 2001. T. 4. - 2. - S. 209 - 214. (RZhMat. - 2005. - 05.07-13B.16).

47. Kolodzey A. V., Ronzhin A. F., Goodness of Fit Tests for Random Combinatoric Objects // Proc. správa intl. conf. Moderné problémy a nové trendy v teórii pravdepodobnosti, (Černivci, 19. - 26. júna 2005) - Kyjev: Ústav matematiky, 2005. Časť 1. S. 122.

48. Kullback S. a Leibler R. A. O informáciách a dostatku // Ann. Matematika. Statist. 1951. - T. 22. - s. 79 - 86.

49. Quine M.P., Robinson J. Účinnosť chí-kvadrát a pravdepodobnostný pomer testov dobrej zhody // Ann. Statist. 1985. - T. 13. - 2. - S. 727 -742.

Vezmite prosím na vedomie vyššie uvedené vedeckých textov zverejnené na informačné účely a získané prostredníctvom rozpoznávania textu pôvodnej dizertačnej práce (OCR). Preto môžu obsahovať chyby spojené s nedokonalými rozpoznávacími algoritmami. V súboroch PDF dizertačných prác a abstraktov, ktoré dodávame, sa takéto chyby nevyskytujú.

Definícia. Smer určený nenulovým vektorom sa nazýva asymptotický smer vo vzťahu k riadku druhého rádu, ak akýkoľvek priamka tohto smeru (teda rovnobežná s vektorom) má buď najviac jeden spoločný bod s priamkou, alebo je v tejto priamke obsiahnutá.

? Koľko spoločných bodov môže mať priamka druhého rádu a priamka? asymptotický smer vzhľadom na túto čiaru?

Vo všeobecnej teórii línií druhého rádu je dokázané, že ak

Potom nenulový vektor ( určuje asymptotický smer vzhľadom na čiaru

(všeobecné kritérium pre asymptotický smer).

Pre linky druhého rádu

ak , potom neexistujú žiadne asymptotické smery,

ak potom existujú dva asymptotické smery,

ak potom existuje len jeden asymptotický smer.

Nasledujúca lemma sa ukazuje ako užitočná ( kritérium pre asymptotický smer priamky parabolického typu).

Lemma . Nech je priamka parabolického typu.

Nenulový vektor má asymptotický smer

pomerne . (5)

(Problém: Dokážte lemu.)

Definícia. Priama čiara asymptotického smeru sa nazýva asymptota čiara druhého rádu, ak táto čiara buď nepretína alebo je v nej obsiahnutá.

Veta . Ak má asymptotický smer vzhľadom na , potom je asymptota rovnobežná s vektorom určená rovnicou

Vyplňme tabuľku.

ÚLOHY.

1. Nájdite vektory asymptotických smerov pre nasledujúce čiary druhého rádu:

4 - hyperbolický typ dva asymptotické smery.

Použime kritérium asymptotického smeru:

Má asymptotický smer vzhľadom na túto čiaru 4.

Ak =0, potom =0, teda nula. Potom Divide by We get kvadratická rovnica: , kde t = . Riešime túto kvadratickú rovnicu a nájdeme dve riešenia: t = 4 a t = 1. Potom asymptotické smery priamky .

(Môžu sa zvážiť dve metódy, pretože čiara je parabolického typu.)

2. Zistite, či súradnicové osi majú asymptotické smery vo vzťahu k čiaram druhého rádu:

3. Napíšte všeobecnú rovnicu riadku druhého rádu, pre ktorý

a) os x má asymptotický smer;

b) Obe súradnicové osi majú asymptotické smery;

c) súradnicové osi majú asymptotické smery a O je stred priamky.

4. Napíšte rovnice asymptot pre riadky:

a) ng w:val="EN-US"/>r=0"> ;

5. Dokážte, že ak má priamka druhého rádu dve nerovnobežné asymptoty, ich priesečník je stredom tejto priamky.

Poznámka: Pretože existujú dve neparalelné asymptoty, existujú dva asymptotické smery, potom , a preto je čiara centrálna.

Napíšte rovnice asymptot v všeobecný pohľad a systém na nájdenie centra. Všetko je zrejmé.

6.(č. 920) Napíšte rovnicu hyperboly prechádzajúcej bodom A(0, -5) a majúcej asymptoty x – 1 = 0 a 2x – y + 1 = 0.

Poznámka. Použite výrok z predchádzajúceho problému.

Domáca úloha . , č. 915 (c, e, f), č. 916 (c, d, e), č. 920 (ak ste nemali čas);

Detské postieľky;

Silajev, Timošenko. Praktické úlohy v geometrii,

1. semester. S.67, otázky 1-8, s.70, otázky 1-3 (ústne).

PRIEMERY RADY DRUHÉHO OBJEDNÁVKY.

PRIPOJENÉ PRIEMERY.

Je daný afinný súradnicový systém.

Definícia. Priemer priamka druhého rádu konjugovaná s vektorom neasymptotického smeru vzhľadom na , je množina stredových bodov všetkých akordov priamky rovnobežnej s vektorom .

Počas prednášky bolo dokázané, že priemer je priamka a bola získaná jeho rovnica

Odporúčania: Ukážte (na elipse), ako je skonštruovaná (nastavíme neasymptotický smer; nakreslite [dve] priame čiary tohto smeru pretínajúce čiaru; nájdite stredy akordov, ktoré sa majú odrezať; nakreslite priamku cez stredy - toto je priemer).

Diskutujte:

1. Prečo sa pri určovaní priemeru berie vektor neasymptotického smeru. Ak nevedia odpovedať, požiadajte ich, aby zostrojili priemer, napríklad pre parabolu.

2. Má nejaká linka druhého rádu aspoň jeden priemer? prečo?

3. Počas prednášky bolo dokázané, že priemer je priamka. Stred ktorej tetivy je bod M na obrázku?

4. Pozrite sa na zátvorky v rovnici (7). Čo vám pripomínajú?

Záver: 1) každý stred patrí ku každému priemeru;

2) ak existuje línia stredov, potom existuje jeden priemer.

5. Aký smer majú priemery parabolickej priamky? (Asymptotické)

Dôkaz (pravdepodobne na prednáške).

Nech je priemer d daný rovnicou (7`) konjugovaný s vektorom neasymptotického smeru. Potom jeho smerový vektor

(-(), ). Ukážme, že tento vektor má asymptotický smer. Použime kritérium asymptotického smerového vektora pre priamku parabolického typu (pozri (5)). Nahraďte a presvedčte sa (nezabudnite na to .

6. Koľko priemerov má parabola? Ich relatívna pozícia? Koľko priemerov majú zvyšné parabolické čiary? prečo?

7. Ako zostrojiť celkový priemer niektorých párov priamok druhého rádu (pozri otázky 30, 31 nižšie).

8. Vyplníme tabuľku a určite urobíme výkresy.

1. Napíšte rovnicu pre množinu stredov všetkých akordov rovnobežných s vektorom

2. Napíšte rovnicu pre priemer d prechádzajúci bodom K(1,-2) pre priamku.

Kroky riešenia:

1. spôsob.

1. Určte typ (aby ste vedeli, ako sa správajú priemery tohto vlasca).

V tomto prípade je čiara stredová, potom všetky priemery prechádzajú stredom C.

2. Zostavíme rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma bodmi K a C. Toto je požadovaný priemer.

2. spôsob.

1. Rovnicu pre priemer d napíšeme v tvare (7`).

2. Dosadením súradníc bodu K do tejto rovnice nájdeme vzťah medzi súradnicami konjugátu vektora s priemerom d.

3. Tento vektor nastavíme s prihliadnutím na zistenú závislosť a zostavíme rovnicu pre priemer d.

V tomto probléme je jednoduchšie vypočítať pomocou druhej metódy.

3. Napíšte rovnicu pre priemer rovnobežný s osou x.

4. Nájdite stred akordu odrezaný čiarou

na priamke x + 3y – 12 =0.

Pokyny k riešeniu: Samozrejme, môžete nájsť priesečníky priamky a údajov čiary a potom stred výsledného segmentu. Túžba po tom sa vytratí, ak vezmeme napríklad priamku s rovnicou x +3y – 2009 =0.

Asymptotický zápis času vykonávania programu. Odhady zdola, zhora, asymptoticky presné

Entropia diskrétnych rozdelení s ohraničeným matematickým očakávaním

Kontinuita informačnej vzdialenosti Kullback - Leibler - Sanov

Informačná vzdialenosť a pravdepodobnosti veľkých odchýlok separovateľných štatistík

Kritériá založené na počte buniek vo všeobecných rozloženiach

„asymptoticky optimálne“ v knihách

Optimálny vizuálny kontrast (OVC)

Aká je optimálna mierka?

8.4.2. Optimálna dráha rastu

Najlepšia možnosť

OPTIMÁLNA MOŽNOSŤ

Optimálne

Optimálny poriadok

Optimálny človek

Najlepšia možnosť

Najlepšia možnosť

Optimálna kontrola

Optimálny spôsob

Optimálny prístup

Najlepšia možnosť

Optimálna kontrola

Odporúčaný zoznam dizertačných prác

Asymptotická účinnosť testov dobrej zhody na základe charakterizačných vlastností distribúcií 2011, kandidát fyzikálnych a matematických vied Volkova, Ksenia Yurievna

Veľké odchýlky a limitné vety pre niektoré funkcionály náhodnej chôdze 2011, kandidát fyzikálnych a matematických vied Shklyaev, Alexander Viktorovič

Limitné teorémy a veľké odchýlky pre náhodné prírastky chôdze 2004, kandidát fyzikálnych a matematických vied Kozlov, Andrey Michajlovič

O miere konvergencie štatistík testov dobrej zhody s mierami sily divergencie k rozdeleniu chí-kvadrát 2010, kandidát fyzikálnych a matematických vied Zubov, Vasilij Nikolajevič

Pravdepodobnosť veľkých odchýlok asymptoticky homogénnych ergodických Markovových reťazcov v priestore 2004, doktor fyzikálnych a matematických vied Korshunov, Dmitrij Alekseevič

Úvod dizertačnej práce (časť abstraktu) na tému „Asymptotické vlastnosti kritérií dobrej zhody na testovanie hypotéz vo výberovej schéme bez vrátenia, založené na vypĺňaní buniek vo všeobecnej schéme umiestnenia“

Podobné dizertačné práce v odbore "Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika", 01.01.05 kód VAK

Asymptotická účinnosť exponenciálnych testov bez škálových parametrov 2005, kandidátka fyzikálnych a matematických vied Chirina, Anna Vladimirovna

Niektoré problémy v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike súvisiace s Laplaceovým rozdelením 2010, kandidát fyzikálnych a matematických vied Lyamin, Oleg Olegovich

Limitné teorémy v problémoch hustého vkladania a hustých radov v diskrétnych náhodných postupnostiach 2009, kandidátka fyzikálnych a matematických vied Mezhennaya, Natalya Mikhailovna

Limitné teorémy pre počet priesečníkov pásu náhodnými trajektóriami chôdze 2006, kandidátka fyzikálnych a matematických vied Orlová, Nina Gennadievna

Optimalizácia štruktúry momentových odhadov presnosti normálnej aproximácie pre rozdelenia súčtov nezávislých náhodných premenných 2013, doktorka fyzikálnych a matematických vied Shevtsova, Irina Gennadievna

Záver dizertačnej práce na tému „Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika“, Kolodzei, Alexander Vladimirovich

Zoznam odkazov na výskum dizertačnej práce Kandidát fyzikálnych a matematických vied Kolodzei, Alexander Vladimirovich, 2006

Mohlo by vás zaujímať:

Kategórie

Najnovšie články

Reklama