Funktsioonide asümptootiline käitumine. lõpmata väikeste funktsioonide võrdlus

Nagu märgitud eelmine jaotis, saab klassikaliste algoritmide uurimist paljudel juhtudel läbi viia matemaatilise statistika asümptootiliste meetodite abil, eriti kasutades CLT ja konvergentsi pärimise meetodeid. Klassikalise matemaatilise statistika eraldatus rakendusuuringute vajadustest avaldus eelkõige selles, et populaarsetes monograafiates puudub matemaatiline aparaat, mis on vajalik eelkõige kahevalimilise statistika uurimiseks. Põhimõte on see, et piirini peate minema mitte ühe parameetri, vaid kahe - kahe proovi mahu järgi. Pidin välja töötama sobiva teooria – konvergentsi pärilikkuse teooria, mis on välja toodud meie monograafias.

Sellise uuringu tulemusi tuleb siiski rakendada piiratud valimisuurusega. Sellise üleminekuga on seotud terve hulk probleeme. Mõnda neist arutati seoses konkreetsete jaotuste valimitest koostatud statistika omaduste uurimisega.

Kui aga arutleda esialgsetest eeldustest kõrvalekallete mõju üle statistiliste protseduuride omadustele, kerkivad esile lisaprobleemid. Milliseid kõrvalekaldeid peetakse tüüpilisteks? Kas keskenduda kõige "kahjulikematele" kõrvalekalletele, mis moonutavad algoritmide omadusi kõige enam, või tuleks keskenduda "tüüpilistele" kõrvalekalletele?

Esimese lähenemisega saame garanteeritud tulemuse, kuid selle tulemuse "hind" võib olla tarbetult kõrge. Näitena toome välja universaalse Berry-Esseeni ebavõrdsuse CLT vea puhul. Täiesti õigesti rõhutab A.A. Borovkov, et "tõeliste probleemide lähenemise määr osutub reeglina paremaks".

Teise lähenemise korral tekib küsimus, milliseid kõrvalekaldeid peetakse "tüüpilisteks". Võite proovida sellele küsimusele vastata, analüüsides suuri tegelike andmete massiive. On üsna loomulik, et erinevate uurimisrühmade vastused erinevad, nagu on näha näiteks artiklis toodud tulemustest.

Üks valedest ideedest on ainult mis tahes konkreetse parameetriperekonna – Weibull-Gnedenko jaotuste, gammajaotuste kolme parameetri perekonna jne – võimalike kõrvalekallete analüüsis kasutamine. Veel 1927. aastal, akad. NSVL Teaduste Akadeemia S.N. Bernstein arutas metodoloogilist viga kõigi empiiriliste jaotuste taandamiseks neljaparameetriliseks Pearsoni perekonnaks. Parameetrilised statistikameetodid on aga endiselt väga populaarsed, eriti rakendusteadlaste seas ja selles eksiarvamuses on süüdi eelkõige statistiliste meetodite õpetajad (vt allpool, samuti artikkel).

15. Konkreetse hüpoteesi kontrollimiseks ühe paljudest kriteeriumidest valimine

Konkreetse praktilise probleemi lahendamiseks on paljudel juhtudel välja töötatud palju meetodeid ning matemaatiliste uurimismeetodite spetsialist seisab silmitsi probleemiga: millist tuleks pakkuda rakendusinimesele konkreetsete andmete analüüsimiseks?

Vaatleme näiteks kahe sõltumatu proovi homogeensuse kontrollimise probleemi. Nagu teate, saate selle lahenduse jaoks pakkuda palju kriteeriume: Student, Cramer-Welch, Lord, hii-ruut, Wilcoxon (Mann-Whitney), Van - der - Waerden, Savage, N.V. Smirnov, näiteks omega- ruut (Lehmann -Rosenblatt), G.V. Martynova jt. Millist valida?

Loomulikult tuleb pähe mõte "hääletada": testida paljude kriteeriumide järgi ja seejärel otsustada "häälteenamusega". Statistikateooria seisukohalt viib selline protseduur lihtsalt teise kriteeriumi konstrueerimiseni, mis ei ole a priori eelmistest parem, kuid mida on raskem uurida. Teisest küljest, kui lahendused on kõigi vaadeldavate erinevatel põhimõtetel põhinevate statistiliste kriteeriumide puhul samad, siis stabiilsuse kontseptsiooni kohaselt suurendab see usaldust saadud üldlahenduse suhtes.

Eriti matemaatikute seas on levinud vale ja kahjulik arvamus vajadusest otsida optimaalseid meetodeid, lahendusi jne. Fakt on see, et optimaalsus kaob tavaliselt siis, kui esialgsetest eeldustest kõrvale kaldutakse. Seega on aritmeetiline keskmine kui matemaatilise ootuse hinnang optimaalne ainult siis, kui algne jaotus on normaalne, samas kui järjekindel hinnang on alati, kui eksisteerib ainult matemaatiline ootus. Teisest küljest võib iga suvalise hüpoteeside hindamise või kontrollimise meetodi puhul optimaalsuse mõiste tavaliselt sõnastada nii, et vaadeldav meetod muutub optimaalseks - sellest spetsiaalselt valitud vaatepunktist. Võtke näiteks valimi mediaan matemaatilise ootuse hinnanguna. See on loomulikult optimaalne, kuigi teises mõttes kui aritmeetiline keskmine (optimaalne normaaljaotuse jaoks). Nimelt on Laplace'i jaotuse puhul valimi mediaan maksimaalse tõenäosuse hinnang ja seega optimaalne (monograafias täpsustatud tähenduses).

Monograafias analüüsiti homogeensuse kriteeriume. Kriteeriumide võrdlemiseks on mitu loomulikku lähenemisviisi – põhinedes Bahaduri, Hodges-Lehmani, Pitmani asümptootilisel suhtelisel efektiivsusel. Ja selgus, et iga kriteerium on optimaalne vastava alternatiivi või sobiva jaotusega alternatiivide hulgal. Samas kasutatakse matemaatilistes arvutustes enamasti nihkealternatiivi, mis on reaalsete statistiliste andmete analüüsimise praktikas suhteliselt haruldane (seoses Wilcoxoni kriteeriumiga arutati ja kritiseeriti seda alternatiivi meil aastal). Tulemus on kurb – aastal demonstreeritud hiilgav matemaatiline tehnika ei võimalda reaalsete andmete analüüsimisel anda soovitusi homogeensuse testi valimiseks. Ehk siis rakendustöötaja seisukohalt, s.o. konkreetsete andmete analüüs, on monograafia kasutu. Selle monograafia autori suurepärane matemaatikaoskus ja suur töökus ei toonud kahjuks midagi praktikasse.

Muidugi lahendab iga praktiliselt töötav statistik ühel või teisel viisil enda jaoks statistilise kriteeriumi valiku probleemi. Tuginedes mitmetele metodoloogilistele kaalutlustele, valisime oomega-ruudu tüübi kriteeriumi (Lehmann-Rosenblatt), mis on kooskõlas kõigi alternatiividega. Selle valiku ebapiisava paikapidavuse tõttu tekib aga rahulolematus.

Definitsioon. Nullist erineva vektori poolt määratletud suunda nimetatakse asümptootiline suund teise järgu rea suhtes, kui ükskõik milline selle suuna sirgel (st paralleelsel vektoriga ) on joonega maksimaalselt üks ühine punkt või see sisaldub sellel sirgel.

? Mitu ühispunkti võib teist järku sirgel ja sirgel olla? asümptootiline suund selle liini kohta?

Teist järku ridade üldteoorias on tõestatud, et kui

Siis nullist erinev vektor ( määratleb joone asümptootilise suuna

(asümptootilise suuna üldkriteerium).

Teise järjekorra ridade jaoks

kui , siis asümptootilisi suundi pole,

kui siis on kaks asümptootilist suunda,

kui siis on ainult üks asümptootiline suund.

Järgmine lemma osutub kasulikuks ( paraboolset tüüpi joone asümptootilise suuna kriteerium).

Lemma . Laskma olema rida parabool tüüpi.

Nullist erineval vektoril on asümptootiline suund

suhteliselt . (5)

(Probleem. Tõesta lemma.)

Definitsioon. Asümptootilise suuna sirgjoont nimetatakse asümptoot teist järku read, kui see sirge kas ei ristu või sisaldub selles.

Teoreem . Kui sellel on asümptootiline suund suhtes, siis vektoriga paralleelne asümptoot määratakse võrrandiga

Täidame tabeli.

ÜLESANDED.

1. Leidke asümptootilised suunavektorid järgmistele teist järku ridadele:

4 - hüperboolne tüüp, kaks asümptootilist suunda.

Kasutame asümptootilise suuna kriteeriumi:

Omab antud joone suhtes asümptootilist suunda 4 .

Kui =0, siis =0, see tähendab null. Seejärel jagage hankimisega ruutvõrrand: , kus t = . Lahendame selle ruutvõrrandi ja leiame kaks lahendit: t = 4 ja t = 1. Siis sirge asümptootilised suunad .

(Võib kaaluda kahte võimalust, kuna joon on paraboolset tüüpi.)

2. Uurige, kas koordinaattelgedel on teist järku joonte suhtes asümptootilised suunad:

3. Kirjutage teise järku rea üldvõrrand, mille jaoks

a) abstsissteljel on asümptootiline suund;

b) Mõlemal koordinaatteljel on asümptootilised suunad;

c) koordinaattelgedel on asümptootilised suunad ja O on sirge keskpunkt.

4. Kirjutage ridade asümptootvõrrandid:

a) ng w:val="EN-US"/>y=0"> ;

5. Tõesta, et kui teist järku sirgel on kaks mitteparalleelset asümptooti, ​​siis on nende lõikepunkt selle sirge keskpunkt.

Märge: Kuna on kaks mitteparalleelset asümptooti, ​​on kaks asümptootilist suunda, siis , ja seetõttu on joon keskne.

Kirjutage asümptootvõrrandid üldine vaade ja süsteem keskuse leidmiseks. Kõik on ilmselge.

6.(№920) Kirjutage hüperbooli võrrand, mis läbib punkti A(0, -5) ja mille asümptoodid on x - 1 = 0 ja 2x - y + 1 = 0.

näidustus. Kasutage eelmise ülesande väidet.

Kodutöö . , nr 915 (c, e, e), nr 916 (c, d, e), nr 920 (kui teil polnud aega);

Hällid;

Silajev, Timošenko. Praktilised ülesanded geomeetria järgi,

1 semester Lk 67, küsimused 1-8, lk 70, küsimused 1-3 (suuline).

TEISE JÄRJUSE RIDA LÄBIMEETMED.

PARETUD LÄBIMEETMED.

Antakse afiinne koordinaatsüsteem.

Definitsioon. läbimõõt teist järku joon, mis on konjugeeritud vektori suhtes mitteasümptootilise suuna vektoriga, on vektoriga paralleelse sirge kõigi akordide keskpunktide kogum.

Loengul tõestati, et läbimõõt on sirge ja saadi selle võrrand

Soovitused: Näidake (ellipsil), kuidas see on konstrueeritud (seadke mitteasümptootiline suund; tõmmake [kaks] selle suuna sirgjoont, mis lõikuvad joonega; leidke äralõigatud kõõlude keskpunktid; tõmmake sirgjoon läbi keskpunktide - see on läbimõõt).

Arutage:

1. Miks on läbimõõdu definitsioonis võetud mitteasümptootilise suuna vektor. Kui nad ei oska vastata, paluge neil ehitada näiteks parabooli läbimõõt.

2. Kas mõnel teist järku real on vähemalt üks läbimõõt? Miks?

3. Loengul tõestati, et läbimõõt on sirge. Millise akordi keskpunkt on joonisel punkt M?

4. Vaadake võrrandis (7) olevaid sulgusid. Mida need meenutavad?

Järeldus: 1) iga keskpunkt kuulub igasse diameetrisse;

2) kui on tsentrite sirgjoon, siis on üks diameeter.

5. Mis on parabooljoonte läbimõõtude suund? (asümptootiline)

Tõestus (ilmselt loengus).

Olgu võrrandiga (7`) antud läbimõõt d konjugeeritud mitteasümptootilise suuna vektoriga. Siis selle suunavektor

(-(), ). Näitame, et sellel vektoril on asümptootiline suund. Kasutame parabooljoone jaoks asümptootilise suunavektori kriteeriumi (vt (5)). Asendame ja veendume (ärge unustage, et .

6. Mitu läbimõõtu on paraboolil? Nende suhteline positsioon? Mitu läbimõõtu on ülejäänud parabooljoontel? Miks?

7. Kuidas konstrueerida mõne teist järku joonepaari koguläbimõõt (vt allpool küsimusi 30, 31).

8. Täidame tabeli, teeme kindlasti joonised.

1. . Kirjutage kõigi vektoriga paralleelsete akordide keskpunktide hulga võrrand

2. Kirjutage sirge punkti K(1,-2) läbiva läbimõõdu d võrrand.

Lahenduse sammud:

1. viis.

1. Määrake tüüp (et teada saada, kuidas selle joone läbimõõdud käituvad).

Sel juhul on joon keskel, siis läbivad kõik läbimõõdud keskpunkti C.

2. Koostame kahte punkti K ja C läbiva sirge võrrandi. See on soovitud läbimõõt.

2. viis.

1. Kirjutame läbimõõdu d võrrandi kujul (7`).

2. Asendades selles võrrandis punkti K koordinaadid, leiame seose vektori konjugaadi koordinaatide ja läbimõõduga d vahel.

3. Seadistame selle vektori, võttes arvesse leitud sõltuvust, ja koostame läbimõõdu d võrrandi.

Selles ülesandes on lihtsam arvutada teisel viisil.

3. . Kirjutage x-teljega paralleelse läbimõõdu võrrand.

4. Leidke joonega ära lõigatud akordi keskkoht

real x + 3y – 12 =0.

Ettepanek otsuse tegemiseks: Loomulikult võite leida antud sirge ja sirge lõikepunktid ning seejärel - saadud lõigu keskkoha. Soov seda teha kaob, kui võtame näiteks sirge võrrandiga x + 3y – 2009 = 0.

IN kaasaegsed tingimused huvi andmeanalüüsi vastu kasvab pidevalt ja intensiivselt täiesti erinevates valdkondades, nagu bioloogia, keeleteadus, majandus ja loomulikult IT. Selle analüüsi aluseks on statistilised meetodid, millest peab aru saama iga endast lugupidav andmekaevespetsialist.

Kahjuks pole väga head kirjandust, mis suudaks pakkuda nii matemaatiliselt rangeid tõestusi kui ka arusaadavaid intuitiivseid selgitusi. Ja need loengud on minu meelest ebatavaliselt head matemaatikutele, kes mõistavad tõenäosusteooriat just sel põhjusel. Neid õpetatakse magistrantidele Saksa Christian-Albrechti ülikoolis programmides "Matemaatika" ja "Finantsmatemaatika". Ja neile, keda huvitab, kuidas seda ainet välismaal õpetatakse, olen need loengud tõlkinud. Tõlkimiseks kulus mitu kuud, lahjendasin loenguid illustratsioonide, harjutuste ja mõne teoreemi joonealuste märkustega. Märgin, et ma ei ole professionaalne tõlkija, vaid selles valdkonnas lihtsalt altruist ja amatöör, seega võtan vastu igasuguse kriitika, kui see on konstruktiivne.

Lühidalt, loengud on teemal:

Tingimuslik ootus

See peatükk ei käsitle otseselt statistikat, kuid on selle uurimise jaoks ideaalne lähtepunkt. Tingimuslik ootus on parim valik juhusliku tulemuse ennustamiseks juba olemasoleva teabe põhjal. Ja see on ka juhuslik. Siin võetakse arvesse selle erinevaid omadusi, nagu lineaarsus, monotoonsus, monotoonne lähenemine ja teised.

Punktide hindamise põhitõed

Kuidas hinnata jaotusparameetrit? Mis on selle kriteeriumiks? Milliseid meetodeid tuleks selleks kasutada? See peatükk võimaldab teil vastata kõigile neile küsimustele. Siin tutvustatakse kallutamata ja minimaalse dispersiooniga ühtlaselt kallutamata hindaja mõisteid. Selgitab, kust pärinevad hii-ruutjaotus ja Studenti jaotus ning miks need on normaaljaotuse parameetrite hindamisel olulised. Räägitakse, mis on Rao-Krameri ebavõrdsus ja Fisheri informatsioon. Tutvustatakse ka eksponentsiaalse perekonna mõistet, mis teeb hea hinnangu saamise kordades lihtsamaks.

Bayesi ja Minimax parameetrite hinnang

Siin kirjeldatakse teistsugust filosoofilist lähenemist hindamisele. Sel juhul loetakse parameetrit tundmatuks, kuna see on mingi teadaoleva (aprioorse) jaotusega juhusliku muutuja realisatsioon. Katse tulemust jälgides arvutame välja parameetri nn tagumise jaotuse. Selle põhjal saame Bayesi hinnangu, kus kriteeriumiks on keskmine minimaalne kadu või minimax hinnangu, mis minimeerib maksimaalse võimaliku kahju.

Piisav ja täielikkus

Sellel peatükil on tõsine praktiline tähtsus. Piisav statistika on valimi funktsioon, nii et parameetri hindamiseks piisab ainult selle funktsiooni tulemuse salvestamisest. Selliseid funktsioone on palju ja nende hulgas on ka nn minimaalne piisav statistika. Näiteks normaaljaotuse mediaani hindamiseks piisab, kui salvestada ainult üks arv – kogu valimi aritmeetiline keskmine. Kas see töötab ka teiste distributsioonide, näiteks Cauchy distributsiooni puhul? Kuidas aitab piisav statistika hinnangute valimisel? Siit leiate vastused neile küsimustele.

Hinnangute asümptootilised omadused

Võib-olla on hinnangu kõige olulisem ja vajalikum omadus selle järjepidevus, st kalduvus tõelisele parameetrile koos valimi suuruse suurenemisega. Selles peatükis kirjeldatakse meile teadaolevate hinnangute omadusi, mis on saadud eelmistes peatükkides kirjeldatud statistiliste meetoditega. Tutvustatakse asümptootilise erapooletuse, asümptootilise efektiivsuse ja Kullback-Leibleri kauguse mõisteid.

Testimise põhitõed

Lisaks küsimusele, kuidas hinnata meile tundmatut parameetrit, peame kuidagi kontrollima, kas see vastab nõutavatele omadustele. Näiteks viiakse läbi eksperiment, mille käigus testitakse uut ravimit. Kuidas sa tead, kas saad sellega suurema tõenäosusega terveks kui vanemate ravimitega? Selles peatükis selgitatakse, kuidas sellised testid koostatakse. Saate teada, mis on ühtlaselt kõige võimsam test, Neymani-Pearsoni test, olulisuse tase, usaldusvahemik ning kust pärinevad kurikuulus Gaussi test ja t-test.

Kriteeriumide asümptootilised omadused

Nagu hinnangud, peavad ka kriteeriumid vastama teatud asümptootilistele omadustele. Mõnikord võib ette tulla olukordi, kus vajaliku kriteeriumi konstrueerimine on võimatu, kuid tuntud keskse piiriteoreemi abil konstrueerime kriteeriumi, mis asümptootiliselt kaldub vajalikule. Siit saate teada, mis on asümptootiline olulisuse tase, tõenäosussuhte meetod ning kuidas koostatakse Bartletti test ja hii-ruut sõltumatuse test.

Lineaarne mudel

Seda peatükki võib pidada täienduseks, nimelt statistika rakendamist lineaarse regressiooni korral. Saate aru, millised hinded on head ja millistel tingimustel. Saate teada, kust tuli vähimruutude meetod, kuidas koostada kriteeriume ja miks on vaja F-jaotust.

Funktsiooni asümptootilist käitumist (või asümptootilist käitumist) teatud punkti a (lõplik või lõpmatu) läheduses mõistetakse funktsiooni muutuse olemusena, kuna selle argument x kaldub sellesse punkti. Tavaliselt püütakse seda käitumist kujutada mõne teise, lihtsama ja rohkem uuritud funktsiooni abil, mis punkti a naabruses kirjeldab piisava täpsusega meid huvitava funktsiooni muutumist või hindab selle käitumist ühelt poolt või teine. Seoses sellega tekib probleem kahe punkti a naabruses asuva funktsiooni muutumise olemuse võrdlemisel, mis on seotud nende jagatise arvestamisega. Eriti huvitavad on juhud, kui mõlemad funktsioonid on x ja a puhul kas lõpmatult väikesed (in.m.) või lõpmatult suured (in.b.). 10.1. Lõpmata väikeste funktsioonide võrdlus B.m. võrdlemise põhieesmärk. Funktsioonid seisnevad nende lähenemise olemuse võrdlemises nullile x a juures või nende nullile kaldumise kiiruse võrdlemises. Laske b.m. x a korral on funktsioonid a(x) ja P(x) nullist erinevad punkti a mingis punktsiooniga ümbruses (a), samas kui punktis a on need nulliga võrdsed või määratlemata. Definitsioon 10.1. Funktsioone a(x) ja 0(x) nimetatakse b.m. samas järjekorras a jaoks ja kirjutage og (a:) = in O (/? («)) (sümbol O on "Big O"), kui x a korral on suhte a ( nullist erinev lõplik piir x) / /? ( i), st on ilmne, et siis on vastavalt (7.24) Zm € R \ (0) ja tähis X ^ a0 [a (x)) seaduslik. Sümbolil O on transitiivsuse omadus, st kui - tõepoolest, võttes arvesse definitsiooni 10.1 ja funktsioonide (vt (7.23)) korrutise omadust, millel on lõplikud (antud juhul mitte nulliga võrdsed) piirid, saame ASYMPTOTILISE KÄITUMISE FUNKTSIOONID. Lõpmatult väikeste funktsioonide võrdlus. Definitsioon 10.2. Funktsioon a(x), mille nad kutsuvad, on suurema väiksuse astmega võrreldes (3 (x) (või / 3 (x) suhtes) x a ja kirjutamise korral) ( sümbol o loetakse io väikeseks, kui seose a piir on olemas ja on võrdne nulliga. Sel juhul öeldakse, et ka funktsioon on bm, mille väiksus on väiksem kui a(x) x a korral ja sõna väiksusest jäetakse tavaliselt välja (nagu kõrgemat järku definitsioonis 10.2.) See tähendab, et kui lim (siis funktsioon /)(x) on definitsiooni 10.2 järgi f.m. suurem järk võrreldes a(x)-ga x a ja a(x) puhul on b.m. madalamat järku kui /3(x) x a puhul, sest sel juhul lijTi (fi(x)/ot(x)) . Seega võime vastavalt teoreemile 7.3 kirjutada funktsiooni, selle piiri ja b.m vahelise seose kohta. funktsioon (10.3) järeldub, et ot) on funktsioon, b.m. juures. Seega a(x), st. väärtused|a(h)| x-i jaoks a lähedal, palju vähem väärtusi\0(x)\. Teisisõnu, funktsioon a(x) kipub olema null kiirem funktsioon/?(X). Teoreem 10.1. Toode mis tahes b.m. x a funktsioonide a(x) ja P(x)) jaoks, mis on punkti a mingis punkteeritud ümbruses nullist erinevad, on olemas b.m. iga teguriga võrreldes kõrgema järgu funktsioon. Tõepoolest, definitsiooni kohaselt 10,2 b.m. kõrgemat järku (arvestades funktsiooni b.m. definitsiooni 7.10), tähendavad võrdsused teoreemi väite kehtivust. Võrdseid, mis sisaldavad sümboleid O ja o, nimetatakse mõnikord asümptootilisteks hinnanguteks. Definitsioon 10.3. Funktsioone ot(x) ja /3(x) nimetatakse võrreldamatuteks b.m. x -¥ a korral, kui nende suhtel pole ei lõplikku ega lõpmatut piiri, s.t. kui $ lim a(x)/0(x) (p £ on täpselt nagu $ lim 0(x)/a(x)). Näide 10.1. A. Funktsioonid a(x) = x ja f(x) = sin2ar on definitsiooni 10.1 kohaselt b.m. samas suurusjärgus x 0 juures, kuna võttes arvesse (b. Funktsioon a (x) \u003d 1 - coss, definitsiooni järgi 10.2, - b. m. kõrgemat järku võrreldes 0 (x) \u003d x juures x 0, kuna c arvesse võttes on funktsioon a(s) = \/x madalamat järku bm võrreldes f(x) = x x 0 korral, kuna r. Funktsioonid a(s) = x definitsiooni järgi 10.3 on võrreldamatud bm punktis x 0, kuna puudub piir (ei lõplik ega lõpmatu – vt näide 7.5).x a b.m on kõrgemat järku võrreldes xn~1) st. yapa \u003d ao (a: n "* 1), kuna lim (xL / xn" 1) \u003d vajadusel täpsem võrdlevad omadused käitumine b.m. funktsioonid x juures - ja üks neist valitakse omamoodi standardiks ja nimetati seda peamiseks. Loomulikult on põhilise b.m. teatud määral meelevaldne (nad proovivad valida lihtsamat: x x jaoks - * 0; x-1 x -41 jaoks; 1 / x x -\u003e oo jne jaoks). Alates kraadidest 0k(x) on peamine b.m. funktsioonid f)(x) erinevate astendajatega k > 0 (kui k ^ 0 0k(x) ei ole f.m.) moodustavad võrdlusliigendi keerukama f.m. hindamiseks. funktsioonid a(z). Definitsioon 10.4. Funktsiooni a(z) nimetatakse b.m. k-s väiksusjärk (3(x) x a korral ja arv k on väiksusaste, kui funktsioonid a(z) ja /3k(x) on b.m samas suurusjärgus x a korral), s.o. if Sõna "väike" jäetakse tavaliselt ka sel juhul välja. Märkus: 1) ühe b.m.-funktsiooni järjekord k teise suhtes võib olla mis tahes positiivne arv; 2) kui funktsiooni a(x) järjekord funktsiooni / suhtes 3(x) on võrdne k-ga, siis funktsiooni P(x) järjekord a(x) suhtes on võrdne 1/k-ga, 3) bm-i jaoks ei ole alati võimalik näidata k teatud järjekorda funktsioon a(x), isegi kui see on võrreldav kõigi /?*(x) astmetega. Näide 10.2.a. Funktsioon cosx on definitsiooni 10.4 kohaselt b.m suurust k = 2 0(x) suhtes = x x 0 juures, kuna võttes arvesse b. Vaatleme funktsioone Näitame, et mis tahes Tõepoolest, vastavalt punktile ( 7.32). Seega on funktsioon a1/1 võrreldav funktsiooniga xk mis tahes k > 0 korral x -> 0, kuid selle funktsiooni jaoks ei ole võimalik näidata väiksuse järjekorda x suhtes. Teise suhtes ei ole alati lihtne. Soovitame järgmist protseduuri: 1) kirjuta piirmärgi alla suhe a(x ) / 0k(x)\ 2) analüüsige kirjalikku suhet ja proovige seda lihtsustada; k) väärtus, mille juures tekib nullist erinev lõplik piir; 4) kontrollige eeldust limiidi arvutamisega. Näide 10.3. Määrame b.m järjekorra. funktsioonid tgx - sin x x suhtes x -» 0, s.o. leiame sellise arvu k > 0, et meil on funktsioonide ASÜMPTOOTILINE KÄITUMINE. Lõpmatult väikeste funktsioonide võrdlus. Selles etapis, teades, et x 0, vastavalt (7.35) ja (7.36), (sinx)/x 1 ja cosx -> 1, ning võttes arvesse (7.23) ja (7.33), saame määrata selle tingimuse ( 10.7) on täidetud, kui k = 3. Tõepoolest, k = 3 piirmäära otsene arvutamine annab väärtuse A = 1/2: Pange tähele, et kui k > 3 saame lõpmatu piiri ja , on piirväärtus võrdne nulliga.

480 hõõruda. | 150 UAH | 7,5 $ ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC", BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Lõputöö - 480 rubla, saatmine 10 minutit 24 tundi ööpäevas, seitse päeva nädalas ja pühad

Kolodzei Aleksander Vladimirovitš Sobivuskriteeriumide asümptootilised omadused hüpoteeside kontrollimiseks valikuskeemis ilma asendamiseta, lahtrite täitmisel põhinevas üldistatud jaotusskeemis: väitekiri ... füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat: 01.01.05.- Moskva, 2006 .- 110 lk.: ill. RSL OD, 61 07-1/496

Sissejuhatus

1 Entroopia ja teabekaugus 36

1.1 Põhimõisted ja sümbolid 36

1.2 Piiratud ootusega diskreetsete jaotuste entroopia 39

1.3 Logaritmiline üldistatud mõõdik diskreetsete jaotuste hulgal 43

1.4 Loendatava argumentide komplekti funktsioonide kompaktsus. 46

1.5 Kullback-Leibler-Sanovi infokauguse järjepidevus 49

1.6 Järeldused 67

2 Suured kõrvalekalde tõenäosused 68

2.1 Funktsioonide suurte kõrvalekallete tõenäosus antud täidisega lahtrite arvust 68

2.1.1 Lokaalse piiri teoreem 68

2.1.2 Integraali piirteoreem 70

2.1.3 Eraldatava statistika teabekaugus ja suured hälbe tõenäosused 75

2.2 Eraldatava statistika suured hälbete tõenäosused, mis ei vasta Crameri tingimusele 81

2.3 Järeldused 90

3 Sobivuse testide asümptootilised omadused 92

3.1 Tagasisaatmiskeelu skeemi vastuvõtmise kriteeriumid. 92

3.2 Sobivuse testide asümptootiline suhteline efektiivsus 94

3.3 Üldiste paigutuste lahtrite arvul põhinevad kriteeriumid 95

3.4 Järeldused 98

Järeldus 99

Kirjandus 103

Töö tutvustus

Uurimisobjekt ja teema asjakohasus. Diskreetsete järjestuste statistilise analüüsi teoorias on eriline koht sobivuse testidel võimaliku keerulise nullhüpoteesi testimiseks, milleks on juhusliku järjestuse pQ)?=i selline, et

Хі Є Ім,і= 1,...,n, Ім = (o, i,..., M), mis tahes і = 1,..., n korral ja iga k Є їм korral sündmus (Хі = k) ei sõltu r-st See tähendab, et jada (Xi)f = 1 on mõnes mõttes statsionaarne.

Numbris rakendatud ülesanded jadana (Х() =1 vaatleme pallide värvide jada valimisel ilma kurnatuse juurde tagasi pöördumata rik sisaldavast urnist - 1 > 0 palli värvi k, k .,pd/ - 1) Olgu urn n - 1 kuul, m n-l= (n fc -l).

Tähistame r(k) _ r(fc) r(fc) proovis olevate k värvi kuulide arvude jada. Vaatleme jada h" = (^,...,)). M fc) =ri fc) , ^ = ^-^ = 2,...,^-1, _ (fc)

Jada h^ defineeritakse kõrvuti asetsevate värviga k pallide vahekauguste abil nii, et *Ф = n.

Jadade kogum h(fc) kõigi k Є їm jaoks määrab üheselt järjestuse pallide värvide jada määrab üheselt kindlaks sama fikseeritud värvi naaberpallide kohtade vahekauguste jada h(). Laske urn sisaldavad n - 1 kahe erineva värviga palli sisaldavad N - 1 palli värviga 0. Saab luua üks-ühele vastavuse hulga M(N-l,n - N) ja 9 \ Nі m vektorite hulga h( n, N) = (hi,..., /i#) positiivsete täisarvu komponentidega, nii et

Hulk 9\n,m vastab positiivse täisarvu n kõigi eristatavate partitsioonide hulgale N järjestatud liitmiks.

Olles andnud mingi tõenäosusjaotuse vektorite hulgal 9H n g, saame vastava tõenäosusjaotuse hulgal Wl(N - l,n - N). Hulk Y\n,s on vektorite hulga 2J n ,iv alamhulk, mille mittenegatiivsed täisarvulised komponendid vastavad (0,1). Tõenäosusjaotustena vektorite hulgal JZ p d lõputöös vormi jaotused

P(x, N) = (r t..., r N)) = P(& = rn, u = 1,..., N\ & = n), (0,2) kus 6 > , n - sõltumatu mittenegatiivsed täisarvulised juhuslikud muutujad.

Vormi (0,2) jaotusi /24/ nimetati üldistatud skeemideks n osakese paigutamiseks N rakkudesse. Eelkõige juhul, kui juhuslikud suurused h..., n in (0.2) on jaotatud vastavalt Poissoni seadustele parameetritega vastavalt Ai,...,Alg, siis vektor h(n,N) on polünoomjaotusega. tulemuste tõenäosusega

Pu \u003d m--~t~\u003e ^ \u003d 1,---, ^-

Li + ... + l^

Kui juhuslikud suurused i> >&v in (0.2) jaotuvad võrdselt vastavalt geomeetrilisele seadusele V(Zi = k)= P k - 1 (l-p),k=l,2,..., kus p on suvaline intervall 0

Nagu on märgitud /14/,/38/, eriline koht sagedusvektorite h(n, N) = (hi,..., h^) jaotuse hüpoteeside kontrollimisel üldistatud skeemides n osakese paigutamiseks N rakku. on hõivatud vormi statistika põhjal koostatud kriteeriumidega

Фк "%,%..;$, (0.4) kus /j/, v = 1,2,... ja φ on mõned reaalväärtuslikud funktsioonid,

Mg \u003d E 1 (K \u003d g), g = 0,1, .... 1 / \u003d 1

Koguseid //r /27/ nimetati täpselt r osakest sisaldavate rakkude arvuks.

Statistikat kujul (0,3) /30/ nimetatakse eraldatavaks (additiivselt eraldatavaks) statistikaks. Kui funktsioonid /„ in (0,3) ei sõltu u-st, siis nimetati sellist statistikat /31/ sümmeetriliseks eraldatavaks statistikaks.

Iga r korral on statistika fx r sümmeetriline eraldatav statistika. Võrdsusest

DM = DFg (0,5) järeldub, et sümmeetrilise eraldatava statistika klass h u-s langeb kokku lineaarfunktsioonide klassiga fi r . Veelgi enam, vormi (0,4) funktsioonide klass on laiem kui sümmeetrilise eraldatava statistika klass.

H 0 = (R0(n, L0) on lihtsate nullhüpoteeside jada, mille kohaselt vektori h(n, N) jaotus on (0,2), kus juhuslikud suurused i,..., n ja (0,2) on identselt jaotunud ja P(ti = k)=p k ,k = 0,l,2,..., parameetrid n, N muutuvad keskpiirkonnas.

Vaatleme mõnda РЄ (0,1) ja üldiselt keerukate alternatiivide jada n = (H(n,N)), nii et on olemas n

P(Fm > OpAR)) >: 0-Hüpoteesi Hq(ti,N) lükkame ümber, kui fm > a w m((3). Kui on olemas limiit jim ~1nP(0lg > a n, N (P)) = Sh ), kus iga N tõenäosus arvutatakse hüpoteesi #o(n,iV) alusel, siis nimetatakse väärtust j (fi,lcl) /38/ kriteeriumi indeksiks φ punktis (/?,Н) . Viimast piiri ei pruugi üldiselt olla. Seetõttu käsitletakse lõputöös lisaks kriteeriumiindeksile ka väärtust lim (_IlnP(tor > a N (J3))) =іф(Р,П), mille analoogia põhjal nimetas töö autor lõputöö töötab kriteeriumi f madalam indeks punktis (/3,Н) . Siin ja allpool tähistavad lim adg, lim a# jV-yuo LG-yuo vastavalt järjestuse (odr) alumist ja ülemist piiri kui N -> syu,

Kui kriteeriumi indeks on olemas, vastab kriteeriumi alaindeks sellele. Kriteeriumi alaindeks on alati olemas. Kuidas rohkem väärtust kriteeriumi indeks (madalam kriteeriumindeks), seda parem on statistiline kriteerium vaadeldavas mõttes. Artiklis /38/ koostatud üldistatud paigutuste sobivuskriteeriumide koostamise probleem kõrgeim väärtus kriteeriumi indeks kriteeriumide klassis, mis lükkavad ümber hüpoteesi Ho(n, N), kus m > 0 on mõni fikseeritud number, valitakse konstantide jada nt kriteeriumi astme antud väärtuse alusel alternatiivide jadaga, ft on m + 1 argumendi reaalfunktsioon.

Kriteeriumindeksid määratakse suurte kõrvalekallete tõenäosuste järgi. Nagu on näidatud /38/, määratakse eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste ligikaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika, kui Crameri tingimus juhusliku suuruse /() jaoks on täidetud, vastava Kullbacki-Leibleri-Sanovi teabekaugusega. (juhuslik suurus μ rahuldab Crameri tingimust , kui mingi # > 0 korral on hetke genereeriv funktsioon Me f7? intervallis \t\ lõplik

Avatuks jäi küsimus statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta piiramata arvust fi r , samuti suvalise eraldatava statistika kohta, mis ei rahulda Crameri tingimust. See ei võimaldanud lõplikult lahendada kriteeriumide klassis koonduvate alternatiivide puhul esimest tüüpi vea tõenäosuse nullini konvergentsi üldistes jaotusskeemides hüpoteeside kontrollimise kriteeriumide konstrueerimise probleemi. vormi (0,4) statistika põhjal. Lõputöö uurimistöö asjakohasuse määrab vajadus selle probleemi lahendus lõpuni viia.

Lõputöö eesmärk on konstrueerida kriteeriumi indeksi kõrgeima väärtusega sobivuse kriteeriumid (kriteeriumi madalam indeks) hüpoteeside kontrollimiseks valikuskeemis ilma hüpoteesi ümberlükkavate kriteeriumide klassi tagasi pöördumata W( n, N) 0(iv"iv"-""" o """)>CiV "(0" 7) kus φ on loendatava arvu argumentide funktsioon ja parameetrid n, N muutuvad keskses piirkond.

Vastavalt uuringu eesmärgile püstitati järgmised ülesanded: uurida Kullback - Leibler - Sanovi entroopia ja informatsioonilise kauguse omadusi diskreetsete jaotuste jaoks loendatava arvu tulemustega; uurima vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosust; uurida sümmeetrilise eraldatava statistika (0,3) suurte kõrvalekallete tõenäosusi, mis ei rahulda Crameri tingimust; - leida selline statistika, et selle alusel üles ehitatud kokkuleppekriteerium hüpoteeside kontrollimiseks üldistatud jaotusskeemides on vormi kriteeriumiklassis suurima indeksi väärtusega (0,7).

Teaduslik uudsus: antakse üldistatud meetrika mõiste - funktsioon, mis lubab lõpmatuid väärtusi ja rahuldab identiteedi, sümmeetria ja kolmnurga ebavõrdsuse aksioome. Leitakse üldistatud mõõdik ja näidatakse hulgad, millel entroopia ja teabekauguse funktsioonid, mis on antud loendatava arvu tulemustega diskreetsete jaotuste perekonnal, on selles mõõdikus pidevad; üldistatud jaotusskeemis leitakse Crameri tingimuse vastavat vormi rahuldava vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosustele umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika; üldistatud jaotusskeemis leitakse umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika sümmeetrilise eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosustele, mis ei rahulda Crameri tingimust; vormi (0,7) kriteeriumide klassis konstrueeritakse kriteeriumi indeksi suurima väärtusega kriteerium.

Teaduslik ja praktiline väärtus. Töös on lahendatud rida küsimusi suurte kõrvalekallete tõenäosuste käitumise kohta üldistatud jaotusskeemides. Saadud tulemusi saab kasutada haridusprotsess matemaatilise statistika ja infoteooria erialadel, diskreetsete jadade analüüsi statistiliste protseduuride uurimisel ja kasutati /3/, /21/ ühe infosüsteemide klassi turvalisuse põhjendamisel. Kaitstavad ettepanekud: kontrollimise probleemi vähendamine, kasutades ühte pallivärvide jada, hüpotees, et see jada saadi ilma asendamiseta valiku tulemusel kuni kahevärvilisi palle sisaldava urni pallide ammendumiseni, ja igal sellisel valikul on sama tõenäosus sobivuse kriteeriumide koostamiseks hüpoteeside testimiseks vastavas üldistatud paigutuses; Kullback-Leibler-Sanovi entroopia ja infokauguse funktsioonide järjepidevus lõpmatumõõtmelisel simpleksil sissetoodud logaritmilise üldistatud meetrikaga; teoreem Crameri tingimusele mittevastava sümmeetrilise eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosuste umbkaudse (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika kohta seitsme eksistentsiaalse juhtumi korral; teoreem vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosuste umbkaudse (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika kohta; - kokkuleppekriteeriumi konstrueerimine hüpoteeside kontrollimiseks vormi kriteeriumide klassis suurima indeksi väärtusega üldistes jaotusskeemides (0,7).

Töö aprobeerimine. Tulemustest teatati matemaatikainstituudi diskreetse matemaatika osakonna seminaridel. V. A. Steklov RAS, infoturbe osakond ITMiVT neid. S. A. Lebedev RAS ja: viies ülevenemaaline rakendus- ja tööstusmatemaatika sümpoosion. Kevadistung, Kislovodsk, 2.–8. mai 2004; kuues rahvusvaheline Petroskoi konverents "Tõenäosuslikud meetodid diskreetses matemaatikas" 10. - 16. juunil 2004; teiseks Rahvusvaheline konverents"Informatsioonisüsteemid ja -tehnoloogiad (IST" 2004), Minsk, 8.-10. november 2004;

Rahvusvaheline konverents "Modern Problems and new Trends in Probability Theory", Chernivtsi, Ukraina, 19.-26.06.2005.

Töö põhitulemusi kasutati uurimistöös "Apologia", mille viis läbi ITMiVT RAS. S. A. Lebedev Vene Föderatsiooni tehnilise ja ekspordikontrolli föderaalse talituse huvides ning lisati uurimisetapi rakendamise aruandesse /21/. Eraldi lõputöö tulemused sisaldusid Vene Föderatsiooni Krüptograafia Akadeemia 2004. aasta uurimisaruandes "Krüptograafia matemaatiliste probleemide arendamine" /22/.

Autor avaldab sügavat tänu teaduslikule nõunikule, füüsika- ja matemaatikateaduste doktorile Ronzhin A.F.-le ja teaduskonsultandile, füüsika- ja matemaatikateaduste doktorile, vanemteadurile Knyazev A.V. matemaatikateadustele I. A. Kruglovile tööle osutatud tähelepanu ja paljude väärtuslike asjade eest. märkused.

Töö ülesehitus ja sisu.

Esimeses peatükis uuritakse mittenegatiivsete täisarvude hulga jaotuste entroopia ja teabekauguse omadusi.

Esimese peatüki esimeses lõigus tutvustatakse tähistust ja antakse vajalikud definitsioonid. Eelkõige kasutatakse neid järgmine märge: x = (:ro,i, ---) - loendatava arvu komponentidega lõpmatu mõõtmega vektor;

H(x) - -Ex^oXvlnx,; trunc m (x) = (x 0,x 1,...,x t,0,0,...); SI* = (x, x u > 0, u = 0,1,..., E~ o xn 0,v = 0,l,...,E? =Q x v = 1); fi 7 \u003d (x Є O, L 0 vx v \u003d 7); %] = (хЄП, Ео»х ja

16 mі = e o ** v \ &c = Ue>1 | 5 × Q 7) o

On selge, et hulk Vt vastab mittenegatiivsete täisarvude hulga tõenäosusjaotuste perekonnale, P 7 - mittenegatiivsete täisarvude hulga tõenäosusjaotuste perekonnale matemaatilise ootusega.

Оє(у) - (х eO,x v

Esimese peatüki teises lõigus tõestame teoreemi diskreetsete jaotuste entroopia piirituse kohta piiratud matemaatilise ootusega.

Teoreem 1. Piiratud matemaatilise ootusega diskreetsete jaotuste entroopia piiritusest. Mis tahes wbp 7 jaoks

Kui x Є fi 7 vastab geomeetrilisele jaotusele matemaatilise ennustusega 7 ; see on

7xn = (1-p)p\ v = 0,1,..., kus p = --,

1 + 7, siis kehtib võrdus H(x) = F(1).

Teoreemi väidet võib vaadelda kui tingimuslike Lagrange'i kordajate meetodi formaalse rakendamise tulemust lõpmatu arvu muutujate korral. Teoreem, et ainuke jaotus hulgal (k, k + 1, k + 2,...) antud matemaatilise ootuse ja maksimaalse entroopiaga on antud matemaatilise ootusega geomeetriline jaotus, on antud (ilma tõestuseta) /47 /. Autor esitas aga karmi tõendi.

Esimese peatüki kolmandas lõigus on toodud üldistatud mõõdiku definitsioon – lõpmatuid väärtusi lubav mõõdik.

Funktsiooni x, y Є Гі korral on funktsioon p(x, y) defineeritud kui miinimum є > 0 omadusega y v e~ e

Kui sellist є ei ole, siis eeldatakse, et p(x, y) = oo.

On tõestatud, et funktsioon p(x, y) on mittenegatiivsete täisarvude hulga jaotuste perekonna, aga ka kogu hulga Ci* üldistatud mõõdik. Mõõdiku p(x, y) definitsioonis oleva e asemel võite kasutada mis tahes muud positiivset arvu peale 1. Saadud mõõdikud erinevad korduva konstandi võrra. Tähistame J(x, y) teabekaugust

Siin ja allpool eeldatakse, et 0 In 0 = 0,01n ^ = 0. Teabekaugus on määratletud sellise x, y jaoks, et x v - 0 kõigi jaoks ja nii, et y v = 0. Kui see tingimus ei ole täidetud, siis me eeldab, et J (S,y) = co. Olgu A C $ 1. Seejärel tähistame J(Ay)="mU(x,y).

Olgu J(Jb,y) = 00.

Esimese peatüki neljandas lõigus on antud hulgal Π* defineeritud funktsioonide kompaktsus. Funktsiooni kompaktsus loendatava arvu argumentidega tähendab, et funktsiooni väärtust saab mis tahes täpsusega lähendada selle funktsiooni väärtustega punktides, kus ainult piiratud arv argumente on nullist erinevad. Tõestatud on entroopia ja infokauguse funktsioonide kompaktsus.

Iga 0 jaoks

Kui mõne 0 0 korral on funktsioon \(x) = J(x, p) komplektis ^ 7 ] P 0 r (p) kompaktne.

Esimese peatüki viiendas lõigus vaadeldakse lõpmatumõõtmelisel ruumil antud infokauguse omadusi. Võrreldes lõpliku mõõtmega juhtumiga muutub olukord infokaugusfunktsiooni järjepidevusega kvalitatiivselt. On näidatud, et teabe kauguse funktsioon ei ole pidev hulk Г2 üheski mõõdikus pi(,y)= E|z„-i/„|, (

00 \ 2 p 2 (x, y) = sup (x^-ij^.

Järgmiste võrratuste kehtivus entroopia H(x) ja infokauguse J(x,p) funktsioonide jaoks on tõestatud:

1. Iga x puhul x "Є fi \ H (x) - H (x") \

2. Kui mõne x, p є P korral on olemas є > 0, nii et x є O є (p), siis mis tahes X i Є Q \J(x,p) - J(x,p)\

Nendest ebavõrdsustest, võttes arvesse teoreemi 1, järeldub, et entroopia ja teabe kauguse funktsioonid on ühtlaselt pidevad p(x,y) meetrika vastavatel alamhulkadel fi, nimelt

Iga 7 jaoks, nii et 0

Kui mõne 70, 0

20, siis suvalise 0 0 korral on funktsioon \p(x) = J(x t p) ühtlaselt pidev hulgal П 7 ] П О є (р) meetrikas р(х,у).

Antakse funktsiooni mitteäärmuslikkuse definitsioon. Mitteäärmuslikkuse tingimus tähendab, et funktsioonil ei ole lokaalseid äärmusi või funktsioon võtab samad väärtused kohalikes miinimumides (kohalikud maksimumid). Mitteäärmuslik seisund nõrgendab nõuet, et lokaalseid äärmusi ei esine. Näiteks reaalarvude hulga funktsioonil sin x on lokaalne ekstreemsus, kuid see rahuldab mitteäärmuslikkuse tingimust.

Olgu mingi 7 > 0 puhul pindala A antud tingimusega

А = (хЄЇ1 1 ,Ф(х) >а), (0.9) kus Ф(х) on reaalväärtusega funktsioon, a on mingi reaalkonstant, inf Ф(х)

Ja 3y, tekkis küsimus, millistel tingimustel „a f „ f u_ „ parameetritega n, N keskpiirkonnas, ^ -> 7, nende kõigi piisavalt suurte väärtuste jaoks on sellised mittenegatiivsed täisarvud ko, k \, ..., k n, mis on ko + hi + ... + k n = N,

21 k\ + 2/... + nk n - N

Kq k \ k n . ^"iv"-"iv" 0 " 0 "-")>a -

On tõestatud, et selleks piisab, kui nõuda, et funktsioon φ oleks meetrikas p(x, y) mitteäärmuslik, kompaktne ja pidev, ning ka sellest, et vähemalt ühe punkti x puhul on rahuldav (0,9), mõne є > 0 on olemas piiratud moment astmega 1 + є Ml + = і 1+є x ja 0 iga u = 0,1,....

Teises peatükis uurime umbkaudset (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) funktsioonide suurte kõrvalekallete tõenäosuse asümptootikat D = (fio,..., n, 0,...) - antud rakkude arvust. parameetrite N,n keskpiirkonna täitmine. Suurte kõrvalekallete tõenäosuste umbkaudne asümptootika on piisav, et uurida sobivustestide headuse indekseid.

Olgu juhuslikud suurused ^ in (0.2) jaotunud identselt ja

Р(Сі = k)=р b k = 0,1,... > P(z) - juhusliku suuruse i genereeriv funktsioon - koondub raadiusega 1 ringi

22 Tähistage p(.) = (p(ad = o), Pn) = i),...).

Kui on olemas võrrandi lahend z 1

M(*) = 7, siis on see kordumatu /38/. Kõikjal allpool eeldame, et Pjfc>0,fc = 0,l,....

Teise peatüki esimese lõigu esimeses lõigus on vormi tõenäosuste logaritmide asümptootika

Tõestatakse järgmine teoreem.

Teoreem 2. Ligikaudne lokaalne teoreem suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta. Olgu n, N - * w nii, et - -> 7> 0

Teoreemi väide tuleneb otseselt liitjaotuse /to, A*b / /26/ valemist ja järgmisest hinnangust: kui mittenegatiivsed täisarvud fii,fi2,/ täidavad tingimust /І1 + 2 // 2 + ... + 71/ = 71, siis on nullist erinevate väärtuste arv nende hulgas 0 (l/n). See on ligikaudne hinnang, mis ei pretendeeri uuele. Nullist erineva r arv üldistatud paigutustes ei ületa lahtrite maksimaalse täituvuse väärtust, mis keskpiirkonnas 1-ni kalduva tõenäosusega ei ületa väärtust 0(\np) /25/,/27/ . Sellest hoolimata on saadud hinnang 0 (y/n) rahul tõenäosusega 1 ja see on piisav, et saada ligikaudne asümptootika.

Teise peatüki esimese lõigu teises lõigus leitakse piirväärtus, kus adz on reaalarvude jada, mis koondub mõnele a Є R, φ(x) on reaalväärtuslik funktsioon. Tõestatakse järgmine teoreem.

Teoreem 3. Ligikaudne integraaliteoreem suurte hälvete tõenäosuste kohta. Olgu teoreemi 2 tingimused täidetud, mõne r > 0 korral (> 0 reaalfunktsioon φ(x) on kompaktne, ühtlaselt pidev hulga meetrikas p

A = 0 rH (p(r 1))np n] ja rahuldab hulgal r2 7 mitteäärmuslikkuse tingimust. Kui mõne konstandi puhul on selline, et inf φ(x)

24 on vektor p a fi 7 P 0 r (p(z 7)) ; selline, et

Ф(pа) > a J(( (x) >а,хЄ П 7 ),р(2; 7)) = J(p a ,p(^y)), mo mis tahes jada a^ korral, mis läheneb a-le, ^ -^\nP(φ(φ, ^,...)>a m) = Pr a,p(r,)). (0,11)

Funktsiooni φ(x) täiendavate piirangute korral saab täpsemini arvutada teabekaugust J(pa, P(zy)) punktis (2.3). Nimelt on järgnev teoreem tõene. Teoreem 4. Infokaugus. Laske mõneks 0

Kas mõni r > 0, C > 0, reaalfunktsioon φ(x) ja selle esimest järku osatuletised on komplektis üldistatud meetrikas p(x, y) kompaktsed ja ühtlaselt pidevad

A = 0 r (p)PP bl] , on olemas T > 0, R > 0, nii et kõigi \t\ 0 p v v 1+ z u exp(i--φ(x))

0(p(gaL)) = a, / x X v \Z,t) T, u = oX LJ (Z,t)

Siis p(z a, t a) Є ft, u J ((z Є L, 0 (x) = a), p) = J (p (z a , t a), p) d _ 9 = 7111 + t a "-^ OFaL)) – 2Wexp( a --0(p(r a, i a))). j/=0 CnEi/ ^_o CX(/

Kui funktsioon φ(x) on lineaarne funktsioon ja funktsiooni fix) defineeritakse võrdsuse (0.5) abil, saab tingimusest (0.12) juhusliku suuruse f(,(z)) Crameri tingimus. Tingimus (0,13) on tingimuse (0,10) vorm ja seda kasutatakse vormi (x Є T2, φ(x) > a) domeenides vähemalt ühe punkti olemasolu 0(n, N) kõigi puhul. piisavalt suur n, N.

Olgu v ()(n,iV) = (/i,...,/ijv) sagedusvektor üldises jaotusskeemis (0.2). Lause 3 ja 4 tulemusena formuleeritakse järgmine teoreem.

Teoreem 5. Ligikaudne integraalteoreem sümmeetrilise eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosuste kohta üldistatud jaotusskeemis.

Olgu n, N -> w nii, et jfr - 7» 0 0, R > 0 nii, et kõigi \t\ korral siis mis tahes jada a# korral, mis läheneb a-le, 1 i iv =

Seda teoreemi tõestas esmakordselt AF Ronzhin /38/ sadulapunkti meetodil.

Teise peatüki teises osas uurime eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosusi üldistatud cxj^iax paigutustes juhusliku suuruse /((z)) Crameri tingimuse mittetäitumisel. Crameri tingimus juhusliku suuruse f(,(z)) jaoks ei ole täidetud, eriti kui (z) on Poissoni juhuslik suurus ja /(x) = x 2 . Pange tähele, et Crameri tingimus eraldatava statistika enda jaoks üldistatud jaotusskeemides on alati täidetud, kuna iga fikseeritud n, N korral on arv võimalikud tulemused muidugi nendes edetabelites.

Nagu on märgitud /2/, kui Crameri tingimus ei ole täidetud, siis leida identselt jaotatud summade suurte kõrvalekallete tõenäosuste asümptootika. juhuslikud muutujad tähtaja jaotuse korrektseks muutmiseks on vajalik f lisatingimuste täitmine. Töös (arvestatakse juhtumit, mis vastab tingimuse (3) täitmisele /2/-s, st seitsmeeksponentsiaalne juhtum. Olgu P(i = k) > 0 kõigi jaoks

28 k = 0,1,... ja funktsiooni p(k) = -\nP(t = k), saab laiendada pideva argumendi funktsiooniks - korrapäraselt muutuvale funktsioonile järku p, 0 oo P(tx) , r v P(t )

Olgu funktsioon f(x) argumendi piisavalt suurte väärtuste korral positiivne, rangelt kasvav, korrapäraselt muutuv funktsioon suurusjärgus q > 1 ülejäänud reaalteljel

Siis s. V. /(i) omab mis tahes järjestust momente ja ei rahulda Crameri tingimust, ip(x) = o(x) kui x -> oo ja kehtib järgmine teoreem ^p ei suurene monotoonselt, n, N --> oo nii et jf - A, 0 b(z\), kus b(z) = M/(1(2)), on olemas piir l(n,l)) > cN] = "(c ~ b( zx))l b""ї

Teoreemist 6 järeldub, et kui Crameri tingimus ei ole täidetud, siis piir (^ lim ~\nP(L N (h(n,N)) > cN) = 0, "" Dv

L/-liiga iV ja see tõestab /39/ püstitatud hüpoteesi paikapidavust. Seega on sobivuse kriteeriumi indeksi väärtus üldistatud jaotusskeemides -^ kui Crameri tingimus ei ole täidetud, on alati võrdne nulliga. Sel juhul koostatakse kriteeriumide klassis, kui Crameri tingimus on täidetud, nullist erineva indeksi väärtusega kriteeriumid. Sellest võime järeldada, et selliste kriteeriumide kasutamine, mille statistika Crameri tingimust ei rahulda, näiteks hii-ruut test polünoomilises skeemis, on sobivuse testide konstrueerimine hüpoteeside kontrollimiseks mittelähenevate alternatiividega, on asümptootiliselt ebaefektiivne. see tunne. Sarnane järeldus tehti ka /54/, tuginedes polünoomilises skeemis hii-ruut statistika ja maksimaalse tõenäosuse suhte võrdlemise tulemustele.

Kolmandas peatükis lahendame hüpoteeside testimiseks üldistatud paigutustes sobivuse kriteeriumide konstrueerimise ülesande kriteeriumi indeksi kõrgeima väärtusega (kriteeriumi madalama indeksi suurim väärtus). Tuginedes entroopiafunktsioonide omadusi, infokaugust ja suurte hälvete tõenäosusi käsitleva esimese ja teise peatüki tulemustele, leitakse kolmandas peatükis vormi funktsioon (0,4) selline, et sobivuse kriteerium on sobiv. selle alusel ehitatud omab vaadeldava kriteeriumi klassis täpselt madalama indeksi suurimat väärtust. Tõestatakse järgmine teoreem. Teoreem 7. Indeksi olemasolust. Olgu teoreemi 3 tingimused täidetud, 0 ,... on alternatiivsete jaotuste jada, 0^(/3, iV) on maksimaalne arv, mille puhul hüpoteesi Н Р (lo, ebavõrdsus)

P(φ(^^,...) > a φ (P, M)) > (3, on olemas piir, kriteeriumi f indeks on olemas

3ff,K) = 3((φ(x) >a,xe 3D.P^)).

Samal ajal sph(0,th)N NP(e(2 7) = fc)"

Kokkuvõte toob välja saadud tulemused seoses lõputöös püstitatud üldeesmärgi ja konkreetsete ülesannetega, sõnastab lõputöö tulemuste põhjal järeldused, osutab töö teaduslikule uudsusele, teoreetilisele ja praktilisele väärtusele, samuti konkreetsetele teaduslikele eesmärkidele. probleemid, mille autor on tuvastanud ja mille lahendus tundub asjakohane.

Lühiülevaade uurimisteemat käsitlevast kirjandusest.

Lõputöös käsitletakse sobivuskriteeriumide headuse konstrueerimise probleemi vormi (0,4) funktsioonide klassis kõige suurema kriteeriumi indeksi väärtusega üldistatud jaotusskeemides mittelähenevate alternatiividega.

Üldised jaotusskeemid tutvustas VF Kolchin aastal /24/. Polünoomilise skeemi fi r väärtusi nimetati r-kaadriga rakkude arvuks ja neid uurisid üksikasjalikult V. F. Kolchini, B. A. Sevastjanovi, V. P. Chistyakovi monograafias /27/. Väärtusi \і r üldistatud paigutustes uuris VF Kolchin /25/,/26/. Vormi (0,3) statistikat käsitles esmakordselt Yu. I. Medvedev dokumendis /30/ ja seda nimetati eraldatavaks (additiivselt eraldatavaks) statistikaks. Kui funktsioonid /„ in (0.3) ei sõltu u-st, kutsuti sellist statistikat /31/ sümmeetriliseks eraldatavaks statistikaks. Eraldatava statistika hetkede asümptootilise käitumise üldistatud jaotusskeemides sai GI Ivchenko dokumendis /9/. Üldise jaotusskeemi piirteoreeme käsitleti ka /23/. Ülevaateid piiriteoreemide tulemuste ja sobivuse headuse kohta diskreetsete tõenäosusskeemide puhul (0,2) andsid V. A. Ivanov, G. I. Ivtšenko, Yu. I. Medvedev /8/ ja G. I. Ivtšenko, Yu. I. Medvedev, A. F. Ronžin aastal /14/. Üldiste paigutuste sobivuse kriteeriume käsitles A.F. Ronzhin dokumendis /38/.

Nende tööde statistiliste testide omaduste võrdlus viidi läbi suhtelise asümptootilise efektiivsuse seisukohalt. Käsitleti lähenevate (külgnevate) hüpoteeside juhtumit - tõhusus Pitmani tähenduses ja mittekonvergeerivad hüpoteesid - tõhusus Bahaduri, Hodgesi - Lehmani ja Tšernovi tähenduses. Ühendus vahel erinevat tüüpi statistiliste kriteeriumide suhtelisest efektiivsusest on juttu näiteks /49/. Nagu tuleneb Yu. I. Medvedevi tulemustest dokumendis /31/ lagundatava statistika jaotuse kohta polünoomilises skeemis, on hii-ruutstatistil põhineval testil suurim asümptootiline võimsus konvergeerivate hüpoteeside korral laguneva statistika klassis tulemuste sagedused polünoomilises skeemis. Selle tulemuse üldistas A. F. Ronzhin 0,2 tüüpi skeemide jaoks dokumendis /38/. II Viktorova ja VP Chistyakov koostasid /4/ optimaalse kriteeriumi fi r lineaarfunktsioonide klassi polünoomskeemile. A. F. Ronzhin konstrueeris /38/ kriteeriumi, mis nullhüpoteesile mittelähenevate alternatiivide jada korral minimeerib esimest tüüpi vea tõenäosuse logaritmilise määra, mis kaldub nullini sellise vormi statistika klassis. (0,6). Hii-ruutstatistika suhtelise jõudluse ja koonduvate ja mittekonvergeerivate hüpoteeside maksimaalse tõenäosuse suhte võrdlus tehti /54/. Lõputöös käsitleti mittelähenevate hüpoteeside juhtumit. Kriteeriumide suhtelise statistilise efektiivsuse uurimine mittekonvergeerivate hüpoteeside korral nõuab ülisuurte kõrvalekallete tõenäosuste uurimist - suurusjärgus 0(y/n). Esimest korda lahendas IN Sanov sellise kindla arvu tulemustega polünoomjaotuse probleemi /40/. Sobivuskriteeriumide asümptootilist optimaalsust polünoomjaotuse lihtsate ja keeruliste hüpoteeside testimiseks mittelähenevate alternatiividega piiratud arvu tulemuste korral vaadeldi /48/. Infokauguse omadusi käsitlesid varem Kullback, Leibler /29/,/53/ ja I. II. Sanov /40/, samuti Heffding /48/. Nendes paberites käsitleti teabekauguse järjepidevust eukleidilise meetrika lõplike mõõtmetega ruumides. Autor käsitles ka kasvava mõõtmega ruumide jada, näiteks Yu. V. Prohhorovi /37/ või V. I. Bogatšovi, A. V. Kolesnikovi /1/ töödes. Ligikaudsed (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) teoreemid eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta üldistatud jaotusskeemides Crameri tingimusel sai AF Roizhin dokumendis /38/. A. N. Timašev /42/,/43/ sai täpsed (kuni ekvivalentsuseni) mitmemõõtmelised integraali- ja lokaalsed piirteoreemid vektori fir^n, N),..., fi rs (n,N) suurte hälvete tõenäosuste kohta , kus s, гі,..., r s - fikseeritud täisarvud,

Asenduseta valikuskeemi hüpoteeside kontrollimise ja parameetrite hindamise statistilisi probleeme veidi erinevas sõnastuses käsitlesid G. I. Ivchenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, kus lahendati hinnanguülesandeid lõpliku üldkogumi jaoks, kui selle elementide arv on tundmatu väärtus, tõestati mitme muutujaga S-statistika asümptootiline normaalsus s sõltumatutest valimitest selektsiooniskeemis ilma asendamiseta. Sõltumatute katsete jadades kordustega seotud juhuslike muutujate uurimise probleemi uurisid A. M. Zubkov, V. G. Mihhailov, A. M. Shoitov artiklites /6/, /7/, /32/, /33/, / 34/. Põhiliste statistiliste probleemide analüüs hüpoteeside hindamisel ja kontrollimisel raamistikus üldine mudel Markov-Poya viisid läbi G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev aastal /13/, mille tõenäosusanalüüs on antud /11/. Meetodit ebatõenäoliste mõõtmete määramiseks kombinatoorsete objektide kogumil, mis ei ole taandatav üldisele jaotusskeemile (0,2), kirjeldas GI Ivchenko, Yu. I. Medvedev /12/. Mitmele tõenäosusteooria ülesandele, millele vastuse saab rekursiivsete valemite abil tehtavate arvutuste tulemusena, osutab AM Zubkov dokumendis /5/.

Diskreetsete jaotuste entroopia ebavõrdsused saadi /50/ (tsiteeritud A. M. Zubkovi referaadis RZhMatis). Kui (p n )Lo on tõenäosusjaotus,

Pn = E Pk, k=n A = supp^Pn+i

I + (In -f-) (X Rp - P p + 1)

Рп= (x f 1)n+v n>Q. (0,15)

Pange tähele, et ekstreemjaotus (0,15) on geomeetriline jaotus ootusega A ja parameetri (0,14) funktsioon F(X) langeb kokku 1. teoreemi ootuse funktsiooniga.

Piiratud ootusega diskreetsete jaotuste entroopia

Kui kriteeriumi indeks on olemas, vastab kriteeriumi alaindeks sellele. Kriteeriumi alaindeks on alati olemas. Mida suurem on kriteeriumi indeksi väärtus (kriteeriumi madalam indeks), seda parem on statistiline kriteerium vaadeldavas mõttes. /38/ lahendati sobivuse kriteeriumide konstrueerimine üldistatud paigutustele, mille kriteeriumi indeks on kõrgeima väärtusega kriteeriumide klassis, mis lükkavad ümber hüpoteesi Ho(n,N), kus m 0 on mingi fikseeritud. arv, konstantide jada nt valitakse antud väärtuse alusel alternatiivide jada kriteeriumi võimsus, ft on m + 1 argumendi reaalfunktsioon.

Kriteeriumindeksid määratakse suurte kõrvalekallete tõenäosuste järgi. Nagu on näidatud /38/, määratakse eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste ligikaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika, kui Crameri tingimus juhusliku suuruse /() jaoks on täidetud, vastava Kullbacki-Leibleri-Sanovi teabekaugusega. (juhuslik suurus μ rahuldab Crameri tingimust , kui mingi # 0 korral on hetke genereeriv funktsioon Mef7? intervallis \t\ H /28/ lõplik).

Lahtiseks jäi küsimus statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta piiramata arvu kuusest, aga ka suvalise eraldatava statistika kohta, mis Crameri tingimust ei rahulda. See ei võimaldanud lõplikult lahendada kriteeriumide klassis koonduvate alternatiivide puhul esimest tüüpi vea tõenäosuse nullini konvergentsi üldistes jaotusskeemides hüpoteeside kontrollimise kriteeriumide konstrueerimise probleemi. vormi (0,4) statistika põhjal. Lõputöö uurimistöö asjakohasuse määrab vajadus selle probleemi lahendus lõpuni viia.

Lõputöö eesmärgiks on konstrueerida kriteeriumi indeksi kõrgeima väärtusega (kriteeriumi madalam indeks) sobivuse kriteeriumid hüpoteeside kontrollimiseks valikuskeemis ilma kordumiseta kriteeriumide klassis, mis lükkavad ümber hüpoteesi W( n, N), kus φ on loendatava arvu argumentide funktsioon ja parameetrid n, N muutuvad keskpiirkonnas. Vastavalt uuringu eesmärgile püstitati järgmised ülesanded: - uurida entroopia omadusi ja Kullbacki - Leibleri - Sanovi infokaugust diskreetsete jaotuste jaoks loendatava arvu tulemustega; - uurida vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosust; - uurida sümmeetrilise eraldatava statistika (0,3) suurte kõrvalekallete tõenäosust, mis ei rahulda Crameri tingimust; - leida selline statistika, et selle alusel üles ehitatud kokkuleppekriteerium hüpoteeside kontrollimiseks üldistatud jaotusskeemides on vormi kriteeriumiklassis suurima indeksi väärtusega (0,7). Teaduslik uudsus: - antakse üldistatud meetrika mõiste - funktsioon, mis lubab lõpmatuid väärtusi ja rahuldab identiteedi, sümmeetria ja kolmnurga ebavõrdsuse aksioome. Leitakse üldistatud mõõdik ja näidatakse hulgad, millel entroopia ja teabekauguse funktsioonid, mis on antud loendatava arvu tulemustega diskreetsete jaotuste perekonnal, on selles mõõdikus pidevad; - üldistatud jaotusskeemis leitakse Crameri tingimuse vastavat vormi rahuldava vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosustele ligikaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika; - üldistatud jaotusskeemis leitakse umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika sümmeetrilise eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosustele, mis ei rahulda Crameri tingimust; - vormi (0,7) kriteeriumide klassis ehitatakse üles kriteeriumi indeksi suurima väärtusega kriteerium. Teaduslik ja praktiline väärtus. Töös on lahendatud rida küsimusi suurte kõrvalekallete tõenäosuste käitumise kohta üldistatud jaotusskeemides. Saadud tulemusi saab kasutada õppeprotsessis matemaatilise statistika ja infoteooria erialadel, statistiliste protseduuride uurimisel diskreetsete jadade analüüsiks ning neid kasutati /3/, /21/ ühe klassi turvalisuse põhjendamisel. infosüsteemidest. Kaitseks esitatud sätted: - kontrollimise probleemi vähendamine, kasutades ühte pallivärvide jada, hüpotees, et see jada saadi valiku tulemusel ilma asendamiseta kuni pallide ammendumiseni kahe palliga urnist. värvid ja igal sellisel valikul on sama tõenäosus, et kriteeriumide koostamisel nõustutakse hüpoteeside testimisega vastavas üldistatud paigutuses; - entroopia ja Kullbacki funktsioonide järjepidevus - Leibler - Sanovi infokaugus lõpmatumõõtmelisel simpleksil kasutusele võetud logaritmilise üldistatud meetrikaga; - teoreem Crameri tingimusele mittevastava sümmeetrilise eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste umbkaudse (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika kohta seitsme eksistentsiaalse juhtumi korral;

Kullback-Leibler-Sanovi teabekauguse järjepidevus

Üldised jaotusskeemid tutvustas VF Kolchin aastal /24/. Polünoomskeemis olevaid väärtusi kuus nimetati r-kaadriga rakkude arvuks ja neid uurisid üksikasjalikult monograafias V. F. Kolchin, B. A. Sevastyanov, V. P. Chistyakov /27/. Väärtusi üldistatud paigutustes uuris VF Kolchin /25/,/26/. Vormi (0,3) statistikat käsitles esmakordselt Yu. I. Medvedev dokumendis /30/ ja seda nimetati eraldatavaks (additiivselt eraldatavaks) statistikaks. Kui funktsioonid /„ in (0.3) ei sõltu u-st, kutsuti sellist statistikat /31/ sümmeetriliseks eraldatavaks statistikaks. Eraldatava statistika hetkede asümptootilise käitumise üldistatud jaotusskeemides sai GI Ivchenko dokumendis /9/. Üldise jaotusskeemi piirteoreeme käsitleti ka /23/. Ülevaateid piiriteoreemide tulemuste ja sobivuse headuse kohta diskreetsete tõenäosusskeemide puhul (0,2) andsid V. A. Ivanov, G. I. Ivtšenko, Yu. I. Medvedev /8/ ja G. I. Ivtšenko, Yu. I. Medvedev, A. F. Ronžin aastal /14/. Üldiste paigutuste sobivuse kriteeriume käsitles A.F. Ronzhin dokumendis /38/.

Nende tööde statistiliste testide omaduste võrdlus viidi läbi suhtelise asümptootilise efektiivsuse seisukohalt. Käsitleti lähenevate (külgnevate) hüpoteeside juhtumit - tõhusus Pitmani tähenduses ja mittekonvergeerivad hüpoteesid - tõhusus Bahaduri, Hodgesi - Lehmani ja Tšernovi tähenduses. Erinevat tüüpi statistiliste testide suhtelise jõudluse vahelist seost on käsitletud näiteks /49/. Nagu tuleneb Yu. I. Medvedevi tulemustest /31/ eraldatava statistika jaotuse kohta polünoomilises skeemis, on hii-ruutstatistil põhineval testil suurim asümptootiline võimsus konvergeerivate hüpoteeside korral eraldatava statistika klassis tulemuste sagedused polünoomilises skeemis. Selle tulemuse üldistas A. F. Ronzhin 0,2 tüüpi skeemide jaoks dokumendis /38/. II Viktorova ja VP Chistyakov koostasid /4/ polünoomskeemi optimaalse kriteeriumi kuuse lineaarfunktsioonide klassis. A. F. Ronzhin konstrueeris /38/ kriteeriumi, mis nullhüpoteesile mittelähenevate alternatiivide jada korral minimeerib esimest tüüpi vea tõenäosuse logaritmilise määra, mis kaldub nullini sellise vormi statistika klassis. (0,6). Hii-ruutstatistika suhtelise jõudluse ja koonduvate ja mittekonvergeerivate hüpoteeside maksimaalse tõenäosuse suhte võrdlus tehti /54/. Lõputöös käsitleti mittelähenevate hüpoteeside juhtumit. Kriteeriumide suhtelise statistilise efektiivsuse uurimine mittekonvergeerivate hüpoteeside korral nõuab ülisuurte kõrvalekallete tõenäosuste uurimist - suurusjärgus 0(y/n). Esimest korda lahendas IN Sanov sellise kindla arvu tulemustega polünoomjaotuse probleemi /40/. Sobivuskriteeriumide asümptootilist optimaalsust polünoomjaotuse lihtsate ja keeruliste hüpoteeside testimiseks mittelähenevate alternatiividega piiratud arvu tulemuste korral vaadeldi /48/. Infokauguse omadusi käsitlesid varem Kullback, Leibler /29/,/53/ ja I. II. Sanov /40/, samuti Heffding /48/. Nendes paberites käsitleti teabekauguse järjepidevust eukleidilise meetrika lõplike mõõtmetega ruumides. Autor käsitles ka kasvava mõõtmega ruumide jada, näiteks Yu. V. Prohhorovi /37/ või V. I. Bogatšovi, A. V. Kolesnikovi /1/ töödes. Ligikaudsed (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) teoreemid eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta üldistatud jaotusskeemides Crameri tingimusel sai A. F. Roizhin aastal /38/. A. N. Timašev sai /42/,/43/ täpsed (kuni ekvivalentsuseni) mitmemõõtmelised integraali- ja lokaalsed piirteoreemid vektori suurte hälvete tõenäosuste kohta

Suurte kõrvalekallete tõenäosuste uurimine sõltumatute juhuslike suuruste puhul, kui Crameri tingimus ei ole täidetud, viidi läbi A. V. Nagajevi töödes /35/. Konjugeeritud jaotuste meetodit kirjeldab Feller /45/.

Asenduseta valikuskeemi hüpoteeside kontrollimise ja parameetrite hindamise statistilisi probleeme veidi erinevas sõnastuses käsitlesid G. I. Ivchenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, kus hinnanguülesanded lahendati lõpliku üldkogumi jaoks, kui selle elementide arv on tundmatu väärtus, tõestati s sõltumatute valimite mitme muutujaga S-statistika asümptootiline normaalsus selektsiooniskeemis ilma asendamiseta. Sõltumatute katsete jadades kordustega seotud juhuslike muutujate uurimise probleemi uurisid A. M. Zubkov, V. G. Mihhailov, A. M. Shoitov artiklites /6/, /7/, /32/, /33/, /34/ . Hüpoteeside hindamise ja kontrollimise põhiliste statistiliste probleemide analüüsi Markov-Poya üldmudeli raames viisid läbi G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev /13/, mille tõenäosusanalüüs on toodud /11. /. Meetodit ebatõenäoliste mõõtmete määramiseks kombinatoorsete objektide kogumil, mis ei ole taandatav üldisele jaotusskeemile (0,2), kirjeldas GI Ivchenko, Yu. I. Medvedev /12/. Mitmele tõenäosusteooria ülesandele, millele vastuse saab rekursiivsete valemite abil tehtavate arvutuste tulemusena, osutab AM Zubkov dokumendis /5/.

Eraldatava statistika teabekaugus ja suurte kõrvalekallete tõenäosus

Kui Crameri tingimus ei ole täidetud, määratakse eraldatava statistika suured kõrvalekalded üldistatud jaotusskeemis vaadeldaval seitsmeeksponentsiaalsel juhul ühe sõltumatu liikme hälbe tõenäosusega. Kui Crameri tingimus on täidetud, ei ole see nii, nagu on rõhutatud /39/. Märkus 10. Funktsioon φ(x) on selline, et matemaatiline ootus Ee (A) on lõplik 0 t 1 juures ja lõpmatu t 1 juures. Märkus 11. Eraldatava statistika jaoks, mis ei rahulda Crameri tingimust, on piirväärtus (2.14). on võrdne 0-ga, mis tõestab /39/ väljendatud oletuse paikapidavust. Märkus 12. Hii-ruutstatistika jaoks polünoomi skeemis n, ./V - co nii, et - A, tuleneb lausest otse, et See tulemus saadi otse /54/. Selles peatükis on osakeste üle rakkude jaotamise üldiste skeemide parameetrite keskses vahemikus umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) aditiivselt eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste asümptootika lahtrite täitmisest ja rakkude arvu funktsioonidest. antud täidis leiti.

Kui Crameri tingimus on täidetud, määrab suurte kõrvalekallete tõenäosuste umbkaudne asümptootika tõenäosuste umbkaudse asümptootikaga langeda punktide jadasse, mille ratsionaalsed koordinaadid koonduvad ülaltoodud tähenduses punktini, kus vastava äärmuse ekstreemum. infokaugus on saavutatud.

Arvestati Crameri tingimuse mittetäitumise seitsme eksponentsiaalse juhtumiga juhuslike suuruste f(i),..., f(x) puhul, kus b, x on sõltumatud juhuslikud muutujad, mis genereerivad üldistatud jaotusskeemi (0,2), f(k) on funktsioon sümmeetrilise aditiivselt eraldatava statistika määratluses punktis (0.3). See tähendab, et eeldati, et funktsioone p(k) = - lnP(i = k) ja f(k) saab laiendada pideva argumendi korrapäraselt muutuvatele funktsioonidele suurusjärgus p 0 ja q 0 ning p q . Selgus, et peamise panuse eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosuste umbkaudsesse asümptootikasse üldistatud jaotusskeemides annab sarnaselt jaotustõenäosuse umbkaudne asümptootika vastavale punktijadale. Huvitav on märkida, et varem tõestati eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosuste teoreem sadulapunkti meetodil, kusjuures peamise panuse asümptootikasse andis üks sadulapunkt. Juhtum jäi uurimata, kui kui Crameri tingimus ei ole täidetud, ei ole 2-kN tingimus täidetud.

Kui Crameri tingimus ei ole täidetud, siis ei pruugi näidatud tingimus olla täidetud ainult p 1 korral. Nagu järeldub otse vastava tõenäosusjaotuse logaritmist, Poissoni jaotuse ja geomeetrilise jaotuse p=1 puhul. Suurte kõrvalekallete tõenäosuste asümptootika tulemusest, kui Crameri tingimus ei ole täidetud, võime järeldada, et kriteeriumidel, mille statistika Crameri tingimust ei rahulda, on teise vigade tõenäosuste nullile lähenemise määr oluliselt väiksem. tüüpi fikseeritud esimest tüüpi vea tõenäosuse ja mittelähenevate alternatiivide jaoks võrreldes kriteeriumidega, mille statistika vastab Crameri tingimusele. N - 1 1 valget un-JV 1 musta palli sisaldav urn olgu valitud ilma asendamiseta, kuni see on ammendatud. Seotame valgete pallide asukohad valikus 1 i\ ... r -i n - 1 kõrvuti asetsevate valgete pallide vahekauguste hi,..., h jadaga järgmiselt: Siis hv l,v =1, ... ,N,M EjLi i/ - n- Määratleme vektorite hulgal h = (hi,..., λg) tõenäosusjaotuse V(hv = rv,v = l,... ,N) kus i,... ,lg - sõltumatud mittenegatiivsed täisarvulised juhuslikud muutujad (r.v.), st vaatleme üldistatud jaotusskeemi (0,2). Vektori h jaotus sõltub n,N-st, kuid vastavad indeksid jäetakse märgistamise hõlbustamiseks võimaluse korral välja. Märkus 14. Kui igale (]) urnist pallide valimise viisile omistatakse iga r i,..., rg jaoks sama tõenäosus (\) mn, nii et rn 1,u = l,...,N , T,v=\ru = n, tõenäosus, et valikus külgnevate valgete pallide vahelised kaugused võtavad need väärtused

Üldiste paigutuste lahtrite arvul põhinevad kriteeriumid

Lõputöö eesmärgiks oli konstrueerida sobivuse kriteeriumid hüpoteeside kontrollimiseks valikuskeemis ilma 2 värvi kuuli sisaldavast urnist naasmata. Autor otsustas uurida statistikat sama värvi pallide vahekauguste sageduse põhjal. Selles sõnastuses taandus probleem hüpoteeside kontrollimise probleemiks sobivas üldistatud paigutuses.

Lõputöös - uuriti piiramatu arvu tulemustega diskreetsete jaotuste entroopia ja infokauguse omadusi piiratud matemaatilise ootusega; - on saadud laia statistikaklassi suurte kõrvalekallete tõenäosuste umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika üldistatud jaotusskeemis; - saadud tulemuste põhjal konstrueeritakse teist tüüpi vea fikseeritud tõenäosuse ja mittelähenevate alternatiivide jaoks kriteeriumfunktsioon, mille konvergents on kõrgeima logaritmilise kiirusega esimest tüüpi vea tõenäosuse nullile; - On tõestatud, et statistikal, mis Crameri tingimust ei rahulda, on suurte kõrvalekallete tõenäosuste tõenäosus nullida väiksem kui sellist tingimust rahuldava statistikaga. Töö teaduslik uudsus on järgmine. - antakse üldistatud meetrika mõiste - funktsioon, mis lubab lõpmatuid väärtusi ja rahuldab identiteedi, sümmeetria ja kolmnurga ebavõrdsuse aksioome. Leitakse üldistatud mõõdik ja näidatakse hulgad, millel entroopia ja teabekauguse funktsioonid, mis on antud loendatava arvu tulemustega diskreetsete jaotuste perekonnal, on selles mõõdikus pidevad; - üldistatud jaotusskeemis leitakse Crameri tingimuse vastavat vormi rahuldava vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosustele ligikaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika; - üldistatud jaotusskeemis leitakse umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika sümmeetrilise eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosustele, mis ei rahulda Crameri tingimust; - vormi (0,7) kriteeriumide klassis ehitatakse üles kriteeriumi indeksi suurima väärtusega kriteerium. Töös on lahendatud rida küsimusi suurte kõrvalekallete tõenäosuste käitumise kohta üldistatud jaotusskeemides. Saadud tulemusi saab kasutada õppeprotsessis matemaatilise statistika ja infoteooria erialadel, statistiliste protseduuride uurimisel diskreetsete jadade analüüsiks ning neid kasutati /3/, /21/ ühe klassi turvalisuse põhjendamisel. infosüsteemidest. Siiski jääb lahtiseks hulk küsimusi. Autor piirdus muutuste keskse tsooni käsitlemisega parameetrid n, Nüldistatud skeemid n osakese paigutamiseks /V rakkudes. Kui üldistatud jaotusskeemi (0,2) genereeriva juhuslike suuruste jaotuse kandja ei ole hulk kujul r, r 4-1, r + 2,..., siis infokaugusfunktsiooni pidevuse tõestamisel ja suurte kõrvalekallete tõenäosusi uurides tuleb arvestada sellise kandja aritmeetilist struktuuri, mida autori töös ei käsitletud. Indeksi maksimaalse väärtusega pakutud funktsiooni alusel üles ehitatud kriteeriumite praktiliseks rakendamiseks on vaja uurida selle jaotust nii nullhüpoteesi kui ka alternatiivide, sealhulgas koonduvate, alusel. Samuti pakub huvi väljatöötatud meetodite ülekandmine ja saadud tulemuste üldistamine muudele tõenäosusskeemidele peale üldistatud jaotusskeemide. Kui //1,/ 2,-.. on tulemuse 0 arvude vahekauguste sagedused binoomskeemil tulemuste tõenäosustega рї 1 -POj, siis saab näidata, et antud juhul on tõestatud /26 /, järeldub, et jaotust (3.3) ei saa üldiselt esitada z väärtuste ühisjaotusena üheski osakeste rakkudesse paigutamise üldistatud skeemis. See jaotus on jaotuste erijuhtum kombinatoorsete objektide hulgal, mis tutvustati /12/. Kiireloomulise ülesandena näib olevat üldistatud küljenduste lõputöö tulemuste ülekandmine käesolevasse juhtumisse, millest oli juttu /52/.