Programmide täitmisaja asümptootiline tähistus. Alumine, ülemine, asümptootiliselt täpsed hinnangud

480 hõõruda. | 150 UAH | 7,5 $ ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC", BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Lõputöö - 480 rubla, saatmine 10 minutit 24 tundi ööpäevas, seitse päeva nädalas ja pühad

Kolodzei Aleksander Vladimirovitš Asümptootilised omadused sobivuse kriteeriumid hüpoteeside kontrollimiseks valikuskeemis ilma asendamiseta, mis põhinevad lahtrite täitmisel üldistatud jaotusskeemis: väitekiri ... füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat: 01.01.05.- Moskva, 2006.- 110 tablett. RSL OD, 61 07-1/496

Sissejuhatus

1 Entroopia ja teabekaugus 36

1.1 Põhimõisted ja sümbolid 36

1.2 Piiratud ootustega diskreetsete jaotuste entroopia 39

1.3 Logaritmiline üldistatud mõõdik diskreetsete jaotuste hulgal 43

1.4 Loendatava argumentide komplekti funktsioonide kompaktsus. 46

1.5 Kullback-Leibler-Sanovi infokauguse järjepidevus 49

1.6 Järeldused 67

2 Suured kõrvalekalde tõenäosused 68

2.1 Funktsioonide suurte kõrvalekallete tõenäosus antud täidisega lahtrite arvust 68

2.1.1 Lokaalse piiri teoreem 68

2.1.2 Integraali piirteoreem 70

2.1.3 Eraldatava statistika teabekaugus ja suured hälbe tõenäosused 75

2.2 Eraldatava statistika suured hälbete tõenäosused, mis ei vasta Crameri tingimusele 81

2.3 Järeldused 90

3 Sobivuse testide asümptootilised omadused 92

3.1 Tagasisaatmiskeelu skeemi vastuvõtmise kriteeriumid. 92

3.2 Sobivuse testide asümptootiline suhteline efektiivsus 94

3.3 Üldiste paigutuste lahtrite arvul põhinevad kriteeriumid 95

3.4 Järeldused 98

Järeldus 99

Kirjandus 103

Töö tutvustus

Uurimisobjekt ja teema asjakohasus. Diskreetsete järjestuste statistilise analüüsi teoorias on eriline koht sobivuse testidel võimaliku keerulise nullhüpoteesi testimiseks, milleks on juhusliku järjestuse pQ)?=i selline, et

Хі Є Ім,і= 1,...,n, Ім = (o, i,..., M), mis tahes і = 1,..., n korral ja iga k Є їм korral sündmus (Хі = k) ei sõltu r-st See tähendab, et jada (Xi)f = 1 on mõnes mõttes statsionaarne.

Numbris rakendatud ülesanded jadana (Х() =1 vaatleme pallide värvide jada valimisel ilma kurnatuse juurde tagasi pöördumata rik sisaldavast urnist - 1 > 0 palli värvi k, k .,pd/ - 1) Olgu urn n - 1 kuul, m n-l= (n fc -l).

Tähistame r(k) _ r(fc) r(fc) proovis olevate k värvi kuulide arvude jada. Vaatleme jada h" = (^,...,)). M fc) =ri fc) , ^ = ^-^ = 2,...,^-1, _ (fc)

Jada h^ defineeritakse kõrvuti asetsevate värviga k pallide vahekauguste abil nii, et *Ф = n.

Jadade kogum h(fc) kõigi k Є їm jaoks määrab üheselt järjestuse pallide värvide jada määrab üheselt kindlaks sama fikseeritud värvi naaberpallide kohtade vahekauguste jada h(). Laske urn sisaldavad n - 1 kahe erineva värviga palli sisaldavad N - 1 palli värviga 0. Saab luua üks-ühele vastavuse hulga M(N-l,n - N) ja 9 \ Nі m vektorite hulga h( n, N) = (hi,..., /i#) positiivsete täisarvu komponentidega, nii et

Hulk 9\n,m vastab positiivse täisarvu n kõigi eristatavate partitsioonide hulgale N järjestatud liitmiks.

Olles andnud mingi tõenäosusjaotuse vektorite hulgal 9H n g, saame vastava tõenäosusjaotuse hulgal Wl(N - l,n - N). Hulk Y\n,s on vektorite hulga 2J n ,iv alamhulk, mille mittenegatiivsed täisarvulised komponendid vastavad (0,1). Tõenäosusjaotustena vektorite hulgal JZ p d lõputöös vormi jaotused

P(x, N) = (r t..., r N)) = P(& = rn, u = 1,..., N\ & = n), (0,2) kus 6 > , n - sõltumatu mittenegatiivsed täisarvulised juhuslikud muutujad.

Vormi (0,2) jaotusi /24/ nimetati üldistatud skeemideks n osakese paigutamiseks N rakkudesse. Eelkõige juhul, kui juhuslikud suurused h..., n in (0.2) on jaotatud vastavalt Poissoni seadustele parameetritega vastavalt Ai,...,Alg, siis vektor h(n,N) on polünoomjaotusega. tulemuste tõenäosusega

Pu \u003d m--~t~\u003e ^ \u003d 1,---, ^-

Li + ... + l^

Kui juhuslikud suurused i> >&v in (0.2) jaotuvad võrdselt vastavalt geomeetrilisele seadusele V(Zi = k)= P k - 1 (l-p),k=l,2,..., kus p on suvaline intervall 0

Nagu on märgitud /14/,/38/, eriline koht sagedusvektorite h(n, N) = (hi,..., h^) jaotuse hüpoteeside kontrollimisel üldistatud skeemides n osakese paigutamiseks N rakku. on hõivatud vormi statistika põhjal koostatud kriteeriumidega

Фк "%,%..;$, (0.4) kus /j/, v = 1,2,... ja φ on mõned reaalväärtuslikud funktsioonid,

Mg \u003d E 1 (K \u003d g), g = 0,1, .... 1 / \u003d 1

Koguseid //r /27/ nimetati täpselt r osakest sisaldavate rakkude arvuks.

Statistikat kujul (0,3) /30/ nimetatakse eraldatavaks (additiivselt eraldatavaks) statistikaks. Kui funktsioonid /„ in (0,3) ei sõltu u-st, siis nimetati sellist statistikat /31/ sümmeetriliseks eraldatavaks statistikaks.

Iga r korral on statistika fx r sümmeetriline eraldatav statistika. Võrdsusest

DM = DFg (0,5) järeldub, et sümmeetrilise eraldatava statistika klass h u-s langeb kokku lineaarfunktsioonide klassiga fi r . Veelgi enam, vormi (0,4) funktsioonide klass on laiem kui sümmeetrilise eraldatava statistika klass.

H 0 = (R0(n, L0) on lihtsate nullhüpoteeside jada, mille kohaselt vektori h(n, N) jaotus on (0,2), kus juhuslikud suurused i,..., n ja (0,2) on identselt jaotunud ja P(ti = k)=p k ,k = 0,l,2,..., parameetrid n, N muutuvad keskpiirkonnas.

Vaatleme mõnda РЄ (0,1) ja üldiselt keerukate alternatiivide jada n = (H(n,N)), nii et on olemas n

P(Fm > OpAR)) >: 0-Hüpoteesi Hq(ti,N) lükkame ümber, kui fm > a w m((3). Kui on olemas limiit jim ~1nP(0lg > a n, N (P)) = Sh ), kus iga N tõenäosus arvutatakse hüpoteesi #o(n,iV) alusel, siis nimetatakse väärtust j (fi,lcl) /38/ kriteeriumi indeksiks φ punktis (/?,Н) . Viimast piiri ei pruugi üldiselt olla. Seetõttu käsitletakse lõputöös lisaks kriteeriumiindeksile ka väärtust lim (_IlnP(tor > a N (J3))) =іф(Р,П), mille analoogia põhjal nimetas töö autor lõputöö töötab kriteeriumi f madalam indeks punktis (/3,Н) . Siin ja allpool tähistavad lim adg, lim a# jV-yuo LG-yuo vastavalt järjestuse (odr) alumist ja ülemist piiri kui N -> syu,

Kui kriteeriumi indeks on olemas, vastab kriteeriumi alaindeks sellele. Kriteeriumi alaindeks on alati olemas. Kuidas rohkem väärtust kriteeriumi indeks (madalam kriteeriumindeks), seda parem on statistiline kriteerium vaadeldavas mõttes. /38/ -ga üldistatud paigutuste sobivuse kriteeriumide koostamise probleem kõrgeim väärtus kriteeriumi indeks kriteeriumide klassis, mis lükkavad ümber hüpoteesi Ho(n, N), kus m > 0 on mõni fikseeritud number, valitakse konstantide jada nt kriteeriumi astme antud väärtuse alusel alternatiivide jadaga, ft on m + 1 argumendi reaalfunktsioon.

Kriteeriumindeksid määratakse suurte kõrvalekallete tõenäosuste järgi. Nagu on näidatud /38/, määratakse eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste ligikaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika, kui Crameri tingimus juhusliku suuruse /() jaoks on täidetud, vastava Kullbacki-Leibleri-Sanovi teabekaugusega. (juhuslik suurus μ rahuldab Crameri tingimust , kui mingi # > 0 korral on hetke genereeriv funktsioon Me f7? intervallis \t\ lõplik

Avatuks jäi küsimus statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta piiramata arvust fi r , samuti suvalise eraldatava statistika kohta, mis ei rahulda Crameri tingimust. See ei võimaldanud lõplikult lahendada kriteeriumide klassis koonduvate alternatiivide puhul esimest tüüpi vea tõenäosuse nullini konvergentsi üldistes jaotusskeemides hüpoteeside kontrollimise kriteeriumide konstrueerimise probleemi. vormi statistika põhjal (0,4). Lõputöö uurimistöö asjakohasuse määrab vajadus selle probleemi lahendus lõpuni viia.

Lõputöö eesmärk on konstrueerida kriteeriumi indeksi kõrgeima väärtusega sobivuse kriteeriumid (kriteeriumi madalam indeks) hüpoteeside kontrollimiseks valikuskeemis ilma hüpoteesi ümberlükkavate kriteeriumide klassi tagasi pöördumata W( n, N) 0(iv"iv"-""" o """)>CiV "(0" 7) kus φ on loendatava arvu argumentide funktsioon ja parameetrid n, N muutuvad keskses piirkond.

Vastavalt uuringu eesmärgile püstitati järgmised ülesanded: uurida Kullback - Leibler - Sanovi entroopia ja informatsioonilise kauguse omadusi diskreetsete jaotuste jaoks loendatava arvu tulemustega; uurima vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosust; uurida sümmeetrilise eraldatava statistika (0,3) suurte kõrvalekallete tõenäosusi, mis ei rahulda Crameri tingimust; - leida selline statistika, et selle alusel üles ehitatud kokkuleppekriteerium hüpoteeside kontrollimiseks üldistatud jaotusskeemides on vormi kriteeriumiklassis suurima indeksi väärtusega (0,7).

Teaduslik uudsus: antakse üldistatud meetrika mõiste - funktsioon, mis lubab lõpmatuid väärtusi ja rahuldab identiteedi, sümmeetria ja kolmnurga ebavõrdsuse aksioome. Leitakse üldistatud mõõdik ja näidatakse hulgad, millel entroopia ja teabekauguse funktsioonid, mis on antud loendatava arvu tulemustega diskreetsete jaotuste perekonnal, on selles mõõdikus pidevad; üldistatud jaotusskeemis leitakse Crameri tingimuse vastavat vormi rahuldava vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosustele umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika; üldistatud jaotusskeemis leitakse umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika sümmeetrilise eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosustele, mis ei rahulda Crameri tingimust; vormi (0,7) kriteeriumide klassis konstrueeritakse kriteeriumi indeksi suurima väärtusega kriteerium.

Teaduslik ja praktiline väärtus. Töös on lahendatud rida küsimusi suurte kõrvalekallete tõenäosuste käitumise kohta üldistatud jaotusskeemides. Saadud tulemusi saab kasutada õppeprotsessis matemaatilise statistika ja infoteooria erialadel, statistiliste protseduuride uurimisel diskreetsete jadade analüüsiks ning neid kasutati /3/, /21/ ühe klassi turvalisuse põhjendamisel. infosüsteemidest. Kaitstavad ettepanekud: kontrollimise probleemi vähendamine, kasutades ühte pallivärvide jada, hüpotees, et see jada saadi ilma asendamiseta valiku tulemusel kuni kahevärvilisi palle sisaldava urni pallide ammendumiseni, ja igal sellisel valikul on sama tõenäosus sobivuse kriteeriumide koostamiseks hüpoteeside testimiseks vastavas üldistatud paigutuses; Kullback-Leibler-Sanovi entroopia ja infokauguse funktsioonide järjepidevus lõpmatul dimensioonilisel simpleksil kasutusele võetud logaritmilise üldistatud meetrikaga; teoreem Crameri tingimusele mittevastava sümmeetrilise eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosuste umbkaudse (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika kohta seitsme eksistentsiaalse juhtumi korral; teoreem vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosuste umbkaudse (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika kohta; - kokkuleppekriteeriumi konstrueerimine hüpoteeside kontrollimiseks vormi kriteeriumide klassis suurima indeksi väärtusega üldistes jaotusskeemides (0,7).

Töö aprobeerimine. Tulemustest teatati matemaatikainstituudi diskreetse matemaatika osakonna seminaridel. V. A. Steklov RAS, infoturbe osakond ITMiVT neid. S. A. Lebedev RAS ja: viies ülevenemaaline rakendus- ja tööstusmatemaatika sümpoosion. Kevadistung, Kislovodsk, 2.–8. mai 2004; kuues rahvusvaheline Petroskoi konverents "Tõenäosuslikud meetodid diskreetses matemaatikas" 10. - 16. juunil 2004; teiseks Rahvusvaheline konverents"Informatsioonisüsteemid ja -tehnoloogiad (IST" 2004), Minsk, 8.-10. november 2004;

Rahvusvaheline konverents "Modern Problems and new Trends in Probability Theory", Chernivtsi, Ukraina, 19.-26.06.2005.

Töö põhitulemusi kasutati uurimistöös "Apologia", mille viis läbi ITMiVT RAS. S. A. Lebedev Vene Föderatsiooni tehnilise ja ekspordikontrolli föderaalse talituse huvides ning lisati uurimisetapi rakendamise aruandesse /21/. Eraldi lõputöö tulemused sisaldusid Vene Föderatsiooni Krüptograafia Akadeemia 2004. aasta uurimisaruandes "Krüptograafia matemaatiliste probleemide arendamine" /22/.

Autor avaldab sügavat tänu teaduslikule nõunikule, füüsika- ja matemaatikateaduste doktorile Ronzhin A.F.-le ja teaduskonsultandile, füüsika- ja matemaatikateaduste doktorile, vanemteadurile Knyazev A.V. matemaatikateadustele I. A. Kruglovile tööle osutatud tähelepanu ja paljude väärtuslike asjade eest. märkused.

Töö ülesehitus ja sisu.

Esimeses peatükis uuritakse mittenegatiivsete täisarvude hulga jaotuste entroopia ja teabekauguse omadusi.

Esimese peatüki esimeses lõigus tutvustatakse tähistust ja antakse vajalikud definitsioonid. Eelkõige kasutatakse neid järgmine märge: x = (:ro,i, ---) - loendatava arvu komponentidega lõpmatu mõõtmega vektor;

H(x) - -Ex^oXvlnx,; trunc m (x) = (x 0,x 1,...,x t,0,0,...); SI* = (x, x u > 0, u = 0,1,..., E~ o xn 0,v = 0,l,...,E? =Q x v = 1); fi 7 \u003d (x Є O, L 0 vx v \u003d 7); %] = (хЄП, Ео»х ja

16 mі = e o ** v \ &c = Ue>1 | 5 × Q 7) o

On selge, et hulk Vt vastab mittenegatiivsete täisarvude hulga tõenäosusjaotuste perekonnale, P 7 - mittenegatiivsete täisarvude hulga tõenäosusjaotuste perekonnale matemaatilise ootusega.

Оє(у) - (х eO,x v

Esimese peatüki teises lõigus tõestame teoreemi diskreetsete jaotuste entroopia piirituse kohta piiratud matemaatilise ootusega.

Teoreem 1. Piiratud matemaatilise ootusega diskreetsete jaotuste entroopia piiritusest. Mis tahes wbp 7 jaoks

Kui x Є fi 7 vastab geomeetrilisele jaotusele matemaatilise ennustusega 7 ; see on

7xn = (1-p)p\ v = 0,1,..., kus p = --,

1 + 7, siis kehtib võrdus H(x) = F(1).

Teoreemi väidet võib vaadelda kui tingimuslike Lagrange'i kordajate meetodi formaalse rakendamise tulemust lõpmatu arvu muutujate korral. Teoreem, et ainuke jaotus hulgal (k, k + 1, k + 2,...) antud matemaatilise ootuse ja maksimaalse entroopiaga on antud matemaatilise ootusega geomeetriline jaotus, on antud (ilma tõestuseta) /47 /. Autor esitas aga karmi tõendi.

Esimese peatüki kolmandas lõigus on toodud üldistatud mõõdiku definitsioon – lõpmatuid väärtusi lubav mõõdik.

Funktsiooni x, y Є Гі korral on funktsioon p(x, y) defineeritud kui miinimum є > 0 omadusega y v e~ e

Kui sellist є ei ole, siis eeldatakse, et p(x, y) = oo.

On tõestatud, et funktsioon p(x, y) on mittenegatiivsete täisarvude hulga jaotuste perekonna, aga ka kogu hulga Ci* üldistatud mõõdik. Mõõdiku p(x, y) definitsioonis oleva e asemel võite kasutada mis tahes muud positiivset arvu peale 1. Saadud mõõdikud erinevad korduva konstandi võrra. Tähistame J(x, y) teabekaugust

Siin ja allpool eeldatakse, et 0 In 0 = 0,01n ^ = 0. Teabekaugus on määratletud sellise x, y jaoks, et x v - 0 kõigi jaoks ja nii, et y v = 0. Kui see tingimus ei ole täidetud, siis me eeldab, et J (S,y) = co. Olgu A C $ 1. Seejärel tähistame J(Ay)="mU(x,y).

Olgu J(Jb,y) = 00.

Esimese peatüki neljandas lõigus on antud hulgal Π* defineeritud funktsioonide kompaktsus. Funktsiooni kompaktsus loendatava arvu argumentidega tähendab, et funktsiooni väärtust saab mis tahes täpsusega lähendada selle funktsiooni väärtustega punktides, kus ainult piiratud arv argumente on nullist erinevad. Tõestatud on entroopia ja infokauguse funktsioonide kompaktsus.

Iga 0 jaoks

Kui mõne 0 0 korral on funktsioon \(x) = J(x, p) komplektis ^ 7 ] P 0 r (p) kompaktne.

Esimese peatüki viiendas lõigus vaadeldakse lõpmatumõõtmelisel ruumil antud infokauguse omadusi. Võrreldes lõpliku mõõtmega juhtumiga muutub olukord infokaugusfunktsiooni järjepidevusega kvalitatiivselt. On näidatud, et teabe kauguse funktsioon ei ole pidev hulk Г2 üheski mõõdikus pi(,y)= E|z„-i/„|, (

00 \ 2 p 2 (x, y) = sup (x^-ij^.

Järgmiste võrratuste kehtivus entroopia H(x) ja infokauguse J(x,p) funktsioonide jaoks on tõestatud:

1. Iga x puhul x "Є fi \ H (x) - H (x") \

2. Kui mõne x, p є P korral on olemas є > 0, nii et x є O є (p), siis mis tahes X i Є Q \J(x,p) - J(x,p)\

Nendest ebavõrdsustest, võttes arvesse teoreemi 1, järeldub, et entroopia ja teabe kauguse funktsioonid on ühtlaselt pidevad p(x,y) meetrika vastavatel alamhulkadel fi, nimelt

Iga 7 jaoks, nii et 0

Kui mõne 70, 0

20, siis suvalise 0 0 korral on funktsioon \p(x) = J(x t p) ühtlaselt pidev hulgal П 7 ] П О є (р) meetrikas р(х,у).

Antakse funktsiooni mitteäärmuslikkuse definitsioon. Mitteäärmuslikkuse tingimus tähendab, et funktsioonil ei ole lokaalseid äärmusi või funktsioon võtab samad väärtused kohalikes miinimumides (kohalikud maksimumid). Mitteäärmuslik seisund nõrgendab nõuet, et lokaalseid äärmusi ei esine. Näiteks reaalarvude hulga funktsioonil sin x on lokaalne ekstreemsus, kuid see rahuldab mitteäärmuslikkuse tingimust.

Olgu mingi 7 > 0 puhul pindala A antud tingimusega

А = (хЄЇ1 1 ,Ф(х) >а), (0.9) kus Ф(х) on reaalväärtusega funktsioon, a on mingi reaalkonstant, inf Ф(х)

Ja 3y, tekkis küsimus, millistel tingimustel „a f „ f u_ „ parameetritega n, N keskpiirkonnas, ^ -> 7, nende kõigi piisavalt suurte väärtuste jaoks on sellised mittenegatiivsed täisarvud ko, k \, ..., k n, mis on ko + hi + ... + k n = N,

21 k\ + 2/... + nk n - N

Kq k \ k n . ^"iv"-"iv" 0 " 0 "-")>a -

On tõestatud, et selleks piisab, kui nõuda, et funktsioon φ oleks meetrikas p(x, y) mitteäärmuslik, kompaktne ja pidev, ning ka sellest, et vähemalt ühe punkti x puhul on rahuldav (0,9), mõne є > 0 on olemas piiratud moment astmega 1 + є Ml + = і 1+є x ja 0 iga u = 0,1,....

Teises peatükis uurime umbkaudset (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) funktsioonide suurte kõrvalekallete tõenäosuse asümptootikat D = (fio,..., n, 0,...) - antud rakkude arvust. parameetrite N,n keskpiirkonna täitmine. Suurte kõrvalekallete tõenäosuste umbkaudne asümptootika on piisav, et uurida sobivustestide headuse indekseid.

Olgu juhuslikud suurused ^ in (0.2) jaotunud identselt ja

Р(Сі = k)=р b k = 0,1,... > P(z) - juhusliku suuruse i genereeriv funktsioon - koondub raadiusega 1 ringi

22 Tähistage p(.) = (p(ad = o), Pn) = i),...).

Kui on olemas võrrandi lahend z 1

M(*) = 7, siis on see kordumatu /38/. Kõikjal allpool eeldame, et Pjfc>0,fc = 0,l,....

Teise peatüki esimese lõigu esimeses lõigus on vormi tõenäosuste logaritmide asümptootika

Tõestatakse järgmine teoreem.

Teoreem 2. Ligikaudne lokaalne teoreem suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta. Olgu n, N - * w nii, et - -> 7> 0

Teoreemi väide tuleneb otseselt liitjaotuse /to, A*b / in /26/ valemist ja järgmisest hinnangust: kui mittenegatiivsed täisarvud fii,fi2,/ täidavad tingimust /І1 + 2 // 2 + ... + 71/ = 71, siis on nullist erinevate väärtuste arv nende hulgas 0 (l/n). See on ligikaudne hinnang, mis ei pretendeeri uuele. Nullist erineva r arv üldistatud paigutustes ei ületa lahtrite maksimaalse täituvuse väärtust, mis keskpiirkonnas 1-ni kalduva tõenäosusega ei ületa väärtust 0(\np) /25/,/27/ . Sellest hoolimata on saadud hinnang 0 (y/n) rahul tõenäosusega 1 ja see on piisav, et saada ligikaudne asümptootika.

Teise peatüki esimese lõigu teises lõigus leitakse piirväärtus, kus adz on reaalarvude jada, mis koondub mõnele a Є R, φ(x) on reaalväärtuslik funktsioon. Tõestatakse järgmine teoreem.

Teoreem 3. Ligikaudne integraaliteoreem suurte hälvete tõenäosuste kohta. Olgu teoreemi 2 tingimused täidetud, mõne r > 0 korral (> 0 reaalfunktsioon φ(x) on kompaktne, ühtlaselt pidev hulga meetrikas p

A = 0 rH (p(r 1))np n] ja rahuldab hulgal r2 7 mitteäärmuslikkuse tingimust. Kui mõne konstandi puhul on selline, et inf φ(x)

24 on vektor p a fi 7 P 0 r (p(z 7)) ; selline, et

Ф(pа) > a J(( (x) >а,хЄ П 7 ),р(2; 7)) = J(p a ,p(^y)), mo mis tahes jada a^ korral, mis läheneb a-le, ^ -^\nP(φ(φ, ^,...)>a m) = Pr a,p(r,)). (0,11)

Funktsiooni φ(x) täiendavate piirangute korral saab täpsemini arvutada teabekaugust J(pa, P(zy)) punktis (2.3). Nimelt on järgnev teoreem tõene. Teoreem 4. Infokaugus. Laske mõneks 0

Kas mõni r > 0, C > 0, reaalfunktsioon φ(x) ja selle esimest järku osatuletised on komplektis üldistatud meetrikas p(x, y) kompaktsed ja ühtlaselt pidevad

A = 0 r (p)PP bl] , on olemas T > 0, R > 0, nii et kõigi \t\ 0 p v v 1+ z u exp(i--φ(x))

0(p(gaL)) = a, / x X v \Z,t) T, u = oX LJ (Z,t)

Siis p(z a, t a) Є ft, u J ((z Є L, 0 (x) = a), p) = J (p (z a , t a), p) d _ 9 = 7111 + t a "-^ OFaL)) – 2Wexp( a --0(p(r a, i a))). j/=0 CnEi/ ^_o CX(/

Kui funktsioon φ(x) on lineaarne funktsioon ja funktsiooni fix) defineeritakse võrdsuse (0.5) abil, saab tingimusest (0.12) juhusliku suuruse f(,(z)) Crameri tingimus. Tingimus (0,13) on tingimuse (0,10) vorm ja seda kasutatakse vormi (x Є T2, φ(x) > a) domeenides vähemalt ühe punkti olemasolu 0(n, N) kõigi puhul. piisavalt suur n, N.

Olgu v ()(n,iV) = (/i,...,/ijv) sagedusvektor üldises jaotusskeemis (0.2). Lause 3 ja 4 tulemusena formuleeritakse järgmine teoreem.

Teoreem 5. Ligikaudne integraalteoreem sümmeetrilise eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosuste kohta üldistatud jaotusskeemis.

Olgu n, N -> w nii, et jfr - 7» 0 0, R > 0 nii, et kõigi \t\ korral siis mis tahes jada a# korral, mis läheneb a-le, 1 i iv =

Seda teoreemi tõestas esmakordselt AF Ronzhin /38/ sadulapunkti meetodil.

Teise peatüki teises osas uurime eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosusi üldistatud cxj^iax paigutustes juhusliku suuruse /((z)) Crameri tingimuse mittetäitumisel. Crameri tingimus juhusliku suuruse f(,(z)) jaoks ei ole täidetud, eriti kui (z) on Poissoni juhuslik suurus ja /(x) = x 2 . Pange tähele, et Crameri tingimus eraldatava statistika enda jaoks üldistatud jaotusskeemides on alati täidetud, kuna iga fikseeritud n, N korral on arv võimalikud tulemused muidugi nendes edetabelites.

Nagu on märgitud /2/, kui Crameri tingimus ei ole täidetud, siis leida identselt jaotatud summade suurte kõrvalekallete tõenäosuste asümptootika. juhuslikud muutujad tähtaja jaotuse korrektseks muutmiseks on vajalik f lisatingimuste täitmine. Töös (arvestatakse juhtumit, mis vastab tingimuse (3) täitmisele /2/-s, st seitsmeeksponentsiaalne juhtum. Olgu P(i = k) > 0 kõigi jaoks

28 k = 0,1,... ja funktsiooni p(k) = -\nP(t = k), saab laiendada pideva argumendi funktsiooniks - korrapäraselt muutuvale funktsioonile järku p, 0 oo P(tx) , r v P(t )

Olgu funktsioon f(x) argumendi piisavalt suurte väärtuste korral positiivne, rangelt kasvav, korrapäraselt muutuv funktsioon suurusjärgus q > 1 ülejäänud reaalteljel

Siis s. V. /(i) omab mis tahes järjestust momente ja ei rahulda Crameri tingimust, ip(x) = o(x) kui x -> oo ja kehtib järgmine teoreem ^p ei suurene monotoonselt, n, N --> oo nii et jf - A, 0 b(z\), kus b(z) = M/(1(2)), on olemas piir l(n,l)) > cN] = "(c ~ b( zx))l b""ї

Teoreemist 6 järeldub, et kui Crameri tingimus ei ole täidetud, siis piir (^ lim ~\nP(L N (h(n,N)) > cN) = 0, "" Dv

L/-liiga iV ja see tõestab /39/ püstitatud hüpoteesi paikapidavust. Seega on sobivuse kriteeriumi indeksi väärtus üldistatud jaotusskeemides -^ kui Crameri tingimus ei ole täidetud, on alati võrdne nulliga. Sel juhul koostatakse kriteeriumide klassis, kui Crameri tingimus on täidetud, nullist erineva indeksi väärtusega kriteeriumid. Sellest võime järeldada, et selliste kriteeriumide kasutamine, mille statistika Crameri tingimust ei rahulda, näiteks hii-ruut test polünoomilises skeemis, on sobivuse testide konstrueerimine hüpoteeside kontrollimiseks mittelähenevate alternatiividega, on asümptootiliselt ebaefektiivne. see tunne. Sarnane järeldus tehti ka /54/, tuginedes polünoomilises skeemis hii-ruut statistika ja maksimaalse tõenäosuse suhte võrdlemise tulemustele.

Kolmandas peatükis lahendame hüpoteeside testimiseks üldistatud paigutustes sobivuse kriteeriumide konstrueerimise ülesande kriteeriumi indeksi kõrgeima väärtusega (kriteeriumi madalama indeksi suurim väärtus). Tuginedes entroopiafunktsioonide omadusi, infokaugust ja suurte hälvete tõenäosusi käsitleva esimese ja teise peatüki tulemustele, leitakse kolmandas peatükis vormi funktsioon (0,4) selline, et sobivuse kriteerium on sobiv. selle alusel ehitatud omab vaadeldava kriteeriumi klassis täpselt madalama indeksi suurimat väärtust. Tõestatakse järgmine teoreem. Teoreem 7. Indeksi olemasolust. Olgu teoreemi 3 tingimused täidetud, 0 ,... on alternatiivsete jaotuste jada, 0^(/3, iV) on maksimaalne arv, mille puhul hüpoteesi Н Р (lo, ebavõrdsus)

P(φ(^^,...) > a φ (P, M)) > (3, on olemas piir, kriteeriumi f indeks on olemas

3ff,K) = 3((φ(x) >a,xe 3D.P^)).

Samal ajal sph(0,th)N NP(e(2 7) = fc)"

Kokkuvõte toob välja saadud tulemused seoses lõputöös püstitatud üldeesmärgi ja konkreetsete ülesannetega, sõnastab lõputöö tulemuste põhjal järeldused, osutab töö teaduslikule uudsusele, teoreetilisele ja praktilisele väärtusele, samuti konkreetsetele teaduslikele eesmärkidele. probleemid, mille autor on tuvastanud ja mille lahendus tundub asjakohane.

Lühiülevaade uurimisteemalist kirjandust.

Lõputöös käsitletakse sobivuskriteeriumide headuse konstrueerimise probleemi vormi (0,4) funktsioonide klassis kõige suurema kriteeriumi indeksi väärtusega üldistatud jaotusskeemides mittelähenevate alternatiividega.

Üldised jaotusskeemid tutvustas VF Kolchin aastal /24/. Polünoomilise skeemi fi r väärtusi nimetati r-kaadriga rakkude arvuks ja neid uurisid üksikasjalikult V. F. Kolchini, B. A. Sevastjanovi, V. P. Chistyakovi monograafias /27/. Väärtusi \і r üldistatud paigutustes uuris VF Kolchin /25/,/26/. Vormi (0,3) statistikat käsitles esmakordselt Yu. I. Medvedev dokumendis /30/ ja seda nimetati eraldatavaks (additiivselt eraldatavaks) statistikaks. Kui funktsioonid /„ in (0.3) ei sõltu u-st, kutsuti sellist statistikat /31/ sümmeetriliseks eraldatavaks statistikaks. Eraldatava statistika hetkede asümptootilise käitumise üldistatud jaotusskeemides sai GI Ivchenko dokumendis /9/. Üldise jaotusskeemi piirteoreeme käsitleti ka /23/. Ülevaateid piiriteoreemide tulemuste ja sobivuse headuse kohta diskreetsete tõenäosusskeemide puhul (0,2) andsid V. A. Ivanov, G. I. Ivtšenko, Yu. I. Medvedev /8/ ja G. I. Ivtšenko, Yu. I. Medvedev, A. F. Ronžin aastal /14/. Üldiste paigutuste sobivuse kriteeriume käsitles A.F. Ronzhin dokumendis /38/.

Nende tööde statistiliste testide omaduste võrdlus viidi läbi suhtelise asümptootilise efektiivsuse seisukohalt. Käsitleti lähenevate (külgnevate) hüpoteeside juhtumit - tõhusus Pitmani tähenduses ja mittekonvergeerivad hüpoteesid - tõhusus Bahaduri, Hodgesi - Lehmani ja Tšernovi tähenduses. Ühendus vahel erinevat tüüpi statistiliste kriteeriumide suhtelisest efektiivsusest on juttu näiteks /49/. Nagu tuleneb Yu. I. Medvedevi tulemustest dokumendis /31/ lagundatava statistika jaotuse kohta polünoomilises skeemis, on hii-ruutstatistil põhineval testil suurim asümptootiline võimsus konvergeerivate hüpoteeside korral laguneva statistika klassis tulemuste sagedused polünoomilises skeemis. Selle tulemuse üldistas A. F. Ronzhin 0,2 tüüpi skeemide jaoks dokumendis /38/. II Viktorova ja VP Chistyakov koostasid /4/ optimaalse kriteeriumi fi r lineaarfunktsioonide klassi polünoomskeemile. A. F. Ronzhin konstrueeris /38/ kriteeriumi, mis nullhüpoteesile mittelähenevate alternatiivide jada korral minimeerib esimest tüüpi vea tõenäosuse logaritmilise määra, mis kaldub nullini sellise vormi statistika klassis. (0,6). Hii-ruutstatistika suhtelise jõudluse ja koonduvate ja mittekonvergeerivate hüpoteeside maksimaalse tõenäosuse suhte võrdlus tehti /54/. Lõputöös käsitleti mittelähenevate hüpoteeside juhtumit. Kriteeriumide suhtelise statistilise efektiivsuse uurimine mittekonvergeerivate hüpoteeside korral nõuab ülisuurte kõrvalekallete tõenäosuste uurimist - suurusjärgus 0(y/n). Esimest korda lahendas IN Sanov sellise kindla arvu tulemustega polünoomjaotuse probleemi /40/. Sobivuskriteeriumide asümptootilist optimaalsust polünoomjaotuse lihtsate ja keeruliste hüpoteeside testimiseks mittelähenevate alternatiividega piiratud arvu tulemuste korral vaadeldi /48/. Infokauguse omadusi käsitlesid varem Kullback, Leibler /29/,/53/ ja I. II. Sanov /40/, samuti Heffding /48/. Nendes paberites käsitleti teabekauguse järjepidevust eukleidilise meetrika lõplike mõõtmetega ruumides. Autor käsitles ka kasvava mõõtmega ruumide jada, näiteks Yu. V. Prohhorovi /37/ või V. I. Bogatšovi, A. V. Kolesnikovi /1/ töödes. Ligikaudsed (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) teoreemid eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta üldistatud jaotusskeemides Crameri tingimusel sai AF Roizhin dokumendis /38/. A. N. Timašev /42/,/43/ sai täpsed (kuni ekvivalentsuseni) mitmemõõtmelised integraali- ja lokaalsed piirteoreemid vektori fir^n, N),..., fi rs (n,N) suurte hälvete tõenäosuste kohta , kus s, гі,..., r s - fikseeritud täisarvud,

Asenduseta valikuskeemi hüpoteeside kontrollimise ja parameetrite hindamise statistilisi probleeme veidi erinevas sõnastuses käsitlesid G. I. Ivchenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, kus hinnanguülesanded lahendati lõpliku üldkogumi jaoks, kui selle elementide arv on tundmatu väärtus, tõestati s sõltumatute valimite mitme muutujaga S-statistika asümptootiline normaalsus selektsiooniskeemis ilma asendamiseta. Sõltumatute katsete jadades kordustega seotud juhuslike muutujate uurimise probleemi uurisid A. M. Zubkov, V. G. Mihhailov, A. M. Shoitov artiklites /6/, /7/, /32/, /33/, / 34/. Põhiliste statistiliste probleemide analüüs hüpoteeside hindamisel ja kontrollimisel raamistikus üldine mudel Markov-Poya viisid läbi G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev aastal /13/, mille tõenäosusanalüüs on antud /11/. Meetodit ebatõenäoliste mõõtmete määramiseks kombinatoorsete objektide kogumil, mis ei ole taandatav üldisele jaotusskeemile (0,2), kirjeldas GI Ivchenko, Yu. I. Medvedev /12/. Mitmele tõenäosusteooria ülesandele, millele vastuse saab rekursiivsete valemite abil tehtavate arvutuste tulemusena, osutab AM Zubkov dokumendis /5/.

Diskreetsete jaotuste entroopia ebavõrdsused saadi /50/ (tsiteeritud A. M. Zubkovi referaadis RZhMatis). Kui (p n )Lo on tõenäosusjaotus,

Pn = E Pk, k=n A = supp^Pn+i

I + (In -f-) (X Rp - P p + 1)

Рп= (x f 1)n+v n>Q. (0,15)

Pange tähele, et ekstreemjaotus (0,15) on geomeetriline jaotus ootusega A ja parameetri (0,14) funktsioon F(X) langeb kokku 1. teoreemi ootuse funktsiooniga.

Piiratud ootusega diskreetsete jaotuste entroopia

Kui kriteeriumi indeks on olemas, vastab kriteeriumi alaindeks sellele. Kriteeriumi alaindeks on alati olemas. Mida suurem on kriteeriumi indeksi väärtus (kriteeriumi madalam indeks), seda parem on statistiline kriteerium vaadeldavas mõttes. /38/ lahendati sobivuse kriteeriumide konstrueerimine üldistatud paigutustele, mille kriteeriumi indeks on kõrgeima väärtusega kriteeriumide klassis, mis lükkavad ümber hüpoteesi Ho(n,N), kus m 0 on mingi fikseeritud. arv, konstantide jada nt valitakse antud väärtuse alusel alternatiivide jada kriteeriumi võimsus, ft on m + 1 argumendi reaalfunktsioon.

Kriteeriumindeksid määratakse suurte kõrvalekallete tõenäosuste järgi. Nagu on näidatud /38/, määratakse eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste ligikaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika, kui Crameri tingimus juhusliku suuruse /() jaoks on täidetud, vastava Kullbacki-Leibleri-Sanovi teabekaugusega. (juhuslik suurus μ rahuldab Crameri tingimust , kui mingi # 0 korral on hetke genereeriv funktsioon Mef7? intervallis \t\ H /28/ lõplik).

Lahtiseks jäi küsimus statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta piiramata arvu kuusest, aga ka suvalise eraldatava statistika kohta, mis Crameri tingimust ei rahulda. See ei võimaldanud lõplikult lahendada kriteeriumide klassis koonduvate alternatiivide puhul esimest tüüpi vea tõenäosuse nullini konvergentsi üldistes jaotusskeemides hüpoteeside kontrollimise kriteeriumide konstrueerimise probleemi. vormi statistika põhjal (0,4). Lõputöö uurimistöö asjakohasuse määrab vajadus selle probleemi lahendus lõpuni viia.

Lõputöö eesmärgiks on konstrueerida kriteeriumi indeksi kõrgeima väärtusega (kriteeriumi madalam indeks) sobivuse kriteeriumid hüpoteeside kontrollimiseks valikuskeemis ilma kordumiseta kriteeriumide klassis, mis lükkavad ümber hüpoteesi W( n, N), kus φ on loendatava arvu argumentide funktsioon ja parameetrid n, N muutuvad keskpiirkonnas. Vastavalt uuringu eesmärgile püstitati järgmised ülesanded: - uurida entroopia omadusi ja Kullbacki - Leibleri - Sanovi infokaugust diskreetsete jaotuste jaoks loendatava arvu tulemustega; - uurida vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosust; - uurida sümmeetrilise eraldatava statistika (0,3) suurte kõrvalekallete tõenäosust, mis ei rahulda Crameri tingimust; - leida selline statistika, et selle alusel üles ehitatud kokkuleppekriteerium hüpoteeside kontrollimiseks üldistatud jaotusskeemides on vormi kriteeriumiklassis suurima indeksi väärtusega (0,7). Teaduslik uudsus: - antakse üldistatud meetrika mõiste - funktsioon, mis lubab lõpmatuid väärtusi ja rahuldab identiteedi, sümmeetria ja kolmnurga ebavõrdsuse aksioome. Leitakse üldistatud mõõdik ja näidatakse hulgad, millel entroopia ja teabekauguse funktsioonid, mis on antud loendatava arvu tulemustega diskreetsete jaotuste perekonnal, on selles mõõdikus pidevad; - üldistatud jaotusskeemis leitakse Crameri tingimuse vastavat vormi rahuldava vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosustele umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika; - üldistatud jaotusskeemis leitakse umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika sümmeetrilise eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosustele, mis ei rahulda Crameri tingimust; - vormi (0,7) kriteeriumide klassis ehitatakse üles kriteeriumi indeksi suurima väärtusega kriteerium. Teaduslik ja praktiline väärtus. Töös on lahendatud rida küsimusi suurte kõrvalekallete tõenäosuste käitumise kohta üldistatud jaotusskeemides. Saadud tulemusi saab kasutada õppeprotsessis matemaatilise statistika ja infoteooria erialadel, statistiliste protseduuride uurimisel diskreetsete jadade analüüsiks ning neid kasutati /3/, /21/ ühe klassi turvalisuse põhjendamisel. infosüsteemidest. Kaitseks esitatud sätted: - kontrollimise probleemi vähendamine, kasutades ühte pallivärvide jada, hüpotees, et see jada saadi valiku tulemusel ilma asendamiseta kuni pallide ammendumiseni kahe palliga urnist. värvid ja igal sellisel valikul on sama tõenäosus, et kriteeriumide koostamisel nõustutakse hüpoteeside testimisega vastavas üldistatud paigutuses; - entroopia ja Kullbacki funktsioonide järjepidevus - Leibler - Sanovi infokaugus lõpmatumõõtmelisel simpleksil kasutusele võetud logaritmilise üldistatud meetrikaga; - teoreem Crameri tingimusele mittevastava sümmeetrilise eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste umbkaudse (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika kohta seitsme eksistentsiaalse juhtumi korral;

Kullback-Leibler-Sanovi teabekauguse järjepidevus

Üldised jaotusskeemid tutvustas VF Kolchin aastal /24/. Polünoomskeemis olevaid väärtusi kuus nimetati r-kaadriga rakkude arvuks ja neid uurisid üksikasjalikult monograafias V. F. Kolchin, B. A. Sevastyanov, V. P. Chistyakov /27/. Väärtusi üldistatud paigutustes uuris VF Kolchin /25/,/26/. Vormi (0,3) statistikat käsitles esmakordselt Yu. I. Medvedev dokumendis /30/ ja seda nimetati eraldatavaks (additiivselt eraldatavaks) statistikaks. Kui funktsioonid /„ in (0.3) ei sõltu u-st, kutsuti sellist statistikat /31/ sümmeetriliseks eraldatavaks statistikaks. Eraldatava statistika hetkede asümptootilise käitumise üldistatud jaotusskeemides sai GI Ivchenko dokumendis /9/. Üldise jaotusskeemi piirteoreeme käsitleti ka /23/. Ülevaateid piiriteoreemide tulemuste ja sobivuse headuse kohta diskreetsete tõenäosusskeemide puhul (0,2) andsid V. A. Ivanov, G. I. Ivtšenko, Yu. I. Medvedev /8/ ja G. I. Ivtšenko, Yu. I. Medvedev, A. F. Ronžin aastal /14/. Üldiste paigutuste sobivuse kriteeriume käsitles A.F. Ronzhin dokumendis /38/.

Nende tööde statistiliste testide omaduste võrdlus viidi läbi suhtelise asümptootilise efektiivsuse seisukohalt. Käsitleti lähenevate (külgnevate) hüpoteeside juhtumit - tõhusus Pitmani tähenduses ja mittekonvergeerivad hüpoteesid - tõhusus Bahaduri, Hodgesi - Lehmani ja Tšernovi tähenduses. Erinevat tüüpi statistiliste testide suhtelise jõudluse vahelist seost on käsitletud näiteks /49/. Nagu ilmneb Yu. I. Medvedevi tulemustest /31/ eraldatava statistika jaotuse kohta polünoomilises skeemis, on hii-ruutstatistil põhineval testil suurim asümptootiline võimsus konvergeerivate hüpoteeside korral eraldatava statistika klassis tulemuste sagedused polünoomilises skeemis. Selle tulemuse üldistas A. F. Ronzhin 0,2 tüüpi skeemide jaoks dokumendis /38/. II Viktorova ja VP Chistyakov koostasid /4/ polünoomskeemi optimaalse kriteeriumi kuuse lineaarfunktsioonide klassis. A. F. Ronzhin konstrueeris /38/ kriteeriumi, mis nullhüpoteesile mittelähenevate alternatiivide jada korral minimeerib esimest tüüpi vea tõenäosuse logaritmilise määra, mis kaldub nullini sellise vormi statistika klassis. (0,6). Hii-ruutstatistika suhtelise jõudluse ja koonduvate ja mittekonvergeerivate hüpoteeside maksimaalse tõenäosuse suhte võrdlus tehti /54/. Lõputöös käsitleti mittelähenevate hüpoteeside juhtumit. Kriteeriumide suhtelise statistilise efektiivsuse uurimine mittekonvergeerivate hüpoteeside korral nõuab ülisuurte kõrvalekallete tõenäosuste uurimist - suurusjärgus 0(y/n). Esimest korda lahendas IN Sanov sellise kindla arvu tulemustega polünoomjaotuse probleemi /40/. Sobivuskriteeriumide asümptootilist optimaalsust polünoomjaotuse lihtsate ja keeruliste hüpoteeside testimiseks mittelähenevate alternatiividega piiratud arvu tulemuste korral vaadeldi /48/. Infokauguse omadusi käsitlesid varem Kullback, Leibler /29/,/53/ ja I. II. Sanov /40/, samuti Heffding /48/. Nendes paberites käsitleti teabekauguse järjepidevust eukleidilise meetrika lõplike mõõtmetega ruumides. Autor käsitles ka kasvava mõõtmega ruumide jada, näiteks Yu. V. Prohhorovi /37/ või V. I. Bogatšovi, A. V. Kolesnikovi /1/ töödes. Ligikaudsed (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) teoreemid eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta üldistatud jaotusskeemides Crameri tingimusel sai A. F. Roizhin aastal /38/. A. N. Timašev sai /42/,/43/ täpsed (kuni ekvivalentsuseni) mitmemõõtmelised integraali- ja lokaalsed piirteoreemid vektori suurte hälvete tõenäosuste kohta

Suurte kõrvalekallete tõenäosuste uurimine sõltumatute juhuslike suuruste puhul, kui Crameri tingimus ei ole täidetud, viidi läbi A. V. Nagajevi töödes /35/. Konjugeeritud jaotuste meetodit kirjeldab Feller /45/.

Asenduseta valikuskeemi hüpoteeside kontrollimise ja parameetrite hindamise statistilisi probleeme veidi erinevas sõnastuses käsitlesid G. I. Ivchenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, kus hinnanguülesanded lahendati lõpliku üldkogumi jaoks, kui selle elementide arv on tundmatu väärtus, tõestati s sõltumatute valimite mitme muutujaga S-statistika asümptootiline normaalsus selektsiooniskeemis ilma asendamiseta. Sõltumatute katsete jadades kordustega seotud juhuslike muutujate uurimise probleemi uurisid A. M. Zubkov, V. G. Mihhailov, A. M. Shoitov artiklites /6/, /7/, /32/, /33/, /34/ . Hüpoteeside hindamise ja kontrollimise põhiliste statistiliste probleemide analüüsi Markov-Poya üldmudeli raames viisid läbi G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev /13/, mille tõenäosusanalüüs on toodud /11. /. Meetodit ebatõenäoliste mõõtmete määramiseks kombinatoorsete objektide kogumil, mis ei ole taandatav üldisele jaotusskeemile (0,2), kirjeldas GI Ivchenko, Yu. I. Medvedev /12/. Mitmele tõenäosusteooria ülesandele, millele vastuse saab rekursiivsete valemite abil tehtavate arvutuste tulemusena, osutab AM Zubkov dokumendis /5/.

Eraldatava statistika teabekaugus ja suurte kõrvalekallete tõenäosus

Kui Crameri tingimus ei ole täidetud, määratakse eraldatava statistika suured kõrvalekalded üldistatud jaotusskeemis vaadeldaval seitsmeeksponentsiaalsel juhul ühe sõltumatu liikme hälbe tõenäosusega. Kui Crameri tingimus on täidetud, ei ole see nii, nagu on rõhutatud /39/. Märkus 10. Funktsioon φ(x) on selline, et matemaatiline ootus Ee (A) on lõplik 0 t 1 juures ja lõpmatu t 1 juures. Märkus 11. Eraldatava statistika jaoks, mis ei rahulda Crameri tingimust, on piirväärtus (2.14). on võrdne 0-ga, mis tõestab /39/ väljendatud oletuse paikapidavust. Märkus 12. Hii-ruutstatistika jaoks polünoomi skeemis n, ./V - co nii, et - A, tuleneb lausest otse, et See tulemus saadi otse /54/. Selles peatükis on osakeste üle rakkude jaotamise üldiste skeemide parameetrite keskses vahemikus umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) aditiivselt eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste asümptootika lahtrite täitmisest ja rakkude arvu funktsioonidest. antud täidis leiti.

Kui Crameri tingimus on täidetud, määrab suurte kõrvalekallete tõenäosuste umbkaudne asümptootika tõenäosuste umbkaudse asümptootikaga langeda punktide jadasse, mille ratsionaalsed koordinaadid koonduvad ülaltoodud tähenduses punktini, kus vastava äärmuse ekstreemum. infokaugus on saavutatud.

Arvestati Crameri tingimuse mittetäitumise seitsme eksponentsiaalse juhtumiga juhuslike suuruste f(i),..., f(x) puhul, kus b, x on sõltumatud juhuslikud muutujad, mis genereerivad üldistatud jaotusskeemi (0,2), f(k) on funktsioon sümmeetrilise aditiivselt eraldatava statistika määratluses punktis (0.3). See tähendab, et eeldati, et funktsioone p(k) = - lnP(i = k) ja f(k) saab laiendada pideva argumendi korrapäraselt muutuvatele funktsioonidele suurusjärgus p 0 ja q 0 ning p q . Selgus, et peamise panuse eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosuste umbkaudsesse asümptootikasse üldistatud jaotusskeemides annab sarnaselt jaotustõenäosuse umbkaudne asümptootika vastavale punktijadale. Huvitav on märkida, et varem tõestati eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosuste teoreem sadulapunkti meetodil, kusjuures peamise panuse asümptootikasse andis üks sadulapunkt. Juhtum jäi uurimata, kui kui Crameri tingimus ei ole täidetud, ei ole 2-kN tingimus täidetud.

Kui Crameri tingimus ei ole täidetud, siis ei pruugi näidatud tingimus olla täidetud ainult p 1 korral. Nagu järeldub otse vastava tõenäosusjaotuse logaritmist, Poissoni jaotuse ja geomeetrilise jaotuse p=1 puhul. Suurte kõrvalekallete tõenäosuste asümptootika tulemusest, kui Crameri tingimus ei ole täidetud, võime järeldada, et kriteeriumidel, mille statistika Crameri tingimust ei rahulda, on teise vigade tõenäosuste nullile lähenemise määr oluliselt väiksem. tüüpi fikseeritud esimest tüüpi vea tõenäosuse ja mittelähenevate alternatiivide jaoks võrreldes kriteeriumidega, mille statistika vastab Crameri tingimusele. N - 1 1 valget un-JV 1 musta palli sisaldav urn olgu valitud ilma asendamiseta, kuni see on ammendatud. Seotame valgete pallide asukohad valikus 1 i\ ... r -i n - 1 kõrvuti asetsevate valgete pallide vahekauguste hi,..., h jadaga järgmiselt: Siis hv l,v =1, ... ,N,M EjLi i/ - n- Määratleme vektorite hulgal h = (hi,..., λg) tõenäosusjaotuse V(hv = rv,v = l,... ,N) kus i,... ,lg - sõltumatud mittenegatiivsed täisarvulised juhuslikud muutujad (r.v.), st vaatleme üldistatud jaotusskeemi (0,2). Vektori h jaotus sõltub n,N-st, kuid vastavad indeksid jäetakse märgistamise hõlbustamiseks võimaluse korral välja. Märkus 14. Kui igale (]) urnist pallide valimise viisile omistatakse iga r i,..., rg jaoks sama tõenäosus (\) mn, nii et rn 1,u = l,...,N , T,v=\ru = n, tõenäosus, et valikus külgnevate valgete pallide vahelised kaugused võtavad need väärtused

Üldiste paigutuste lahtrite arvul põhinevad kriteeriumid

Lõputöö eesmärgiks oli konstrueerida sobivuse kriteeriumid hüpoteeside kontrollimiseks valikuskeemis ilma 2 värvi kuuli sisaldavast urnist naasmata. Autor otsustas uurida statistikat sama värvi pallide vahekauguste sageduse põhjal. Selles sõnastuses taandus probleem hüpoteeside kontrollimise probleemiks sobivas üldistatud paigutuses.

Lõputöös - uuriti piiramatu arvu tulemustega diskreetsete jaotuste entroopia ja infokauguse omadusi piiratud matemaatilise ootusega; - on saadud laia statistikaklassi suurte kõrvalekallete tõenäosuste umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika üldistatud jaotusskeemis; - saadud tulemuste põhjal konstrueeritakse teist tüüpi vea fikseeritud tõenäosuse ja mittelähenevate alternatiivide jaoks kriteeriumfunktsioon, mille konvergents on kõrgeima logaritmilise kiirusega esimest tüüpi vea tõenäosuse nullile; - On tõestatud, et statistikal, mis Crameri tingimust ei rahulda, on suurte kõrvalekallete tõenäosuste tõenäosus nullida väiksem kui sellist tingimust rahuldava statistikaga. Töö teaduslik uudsus on järgmine. - antakse üldistatud meetrika mõiste - funktsioon, mis lubab lõpmatuid väärtusi ja rahuldab identiteedi, sümmeetria ja kolmnurga ebavõrdsuse aksioome. Leitakse üldistatud mõõdik ja näidatakse hulgad, millel entroopia ja teabekauguse funktsioonid, mis on antud loendatava arvu tulemustega diskreetsete jaotuste perekonnal, on selles mõõdikus pidevad; - üldistatud jaotusskeemis leitakse Crameri tingimuse vastavat vormi rahuldava vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosustele umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika; - üldistatud jaotusskeemis leitakse umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika sümmeetrilise eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosustele, mis ei rahulda Crameri tingimust; - vormi (0,7) kriteeriumide klassis ehitatakse üles kriteeriumi indeksi suurima väärtusega kriteerium. Töös on lahendatud rida küsimusi suurte kõrvalekallete tõenäosuste käitumise kohta üldistatud jaotusskeemides. Saadud tulemusi saab kasutada õppeprotsessis matemaatilise statistika ja infoteooria erialadel, statistiliste protseduuride uurimisel diskreetsete jadade analüüsiks ning neid kasutati /3/, /21/ ühe klassi turvalisuse põhjendamisel. infosüsteemidest. Siiski jääb lahtiseks hulk küsimusi. Autor piirdus muutuste keskse tsooni käsitlemisega parameetrid n, Nüldistatud skeemid n osakese paigutamiseks /V rakkudes. Kui üldistatud jaotusskeemi (0,2) genereeriva juhuslike suuruste jaotuse kandja ei ole hulk kujul r, r 4-1, r + 2,..., siis infokaugusfunktsiooni pidevuse tõestamisel ja suurte kõrvalekallete tõenäosusi uurides tuleb arvestada sellise kandja aritmeetilist struktuuri, mida autori töös ei käsitletud. Indeksi maksimaalse väärtusega pakutud funktsiooni alusel üles ehitatud kriteeriumite praktiliseks rakendamiseks on vaja uurida selle jaotust nii nullhüpoteesi kui ka alternatiivide, sealhulgas koonduvate, alusel. Samuti pakub huvi väljatöötatud meetodite ülekandmine ja saadud tulemuste üldistamine muudele tõenäosusskeemidele peale üldistatud jaotusskeemide. Kui //1,/ 2,-.. on tulemuse 0 arvude vahekauguste sagedused binoomskeemil tulemuste tõenäosustega рї 1 -POj, siis saab näidata, et antud juhul on tõestatud /26 /, järeldub, et jaotust (3.3) ei saa üldiselt esitada z väärtuste ühisjaotusena üheski osakeste rakkudesse paigutamise üldistatud skeemis. See jaotus on jaotuste erijuhtum kombinatoorsete objektide hulgal, mis tutvustati /12/. Kiireloomulise ülesandena näib olevat üldistatud küljenduste lõputöö tulemuste ülekandmine käesolevasse juhtumisse, millest oli juttu /52/.

Asümptootiliste hinnangute kirjeldamiseks on olemas märgete süsteem:

§ Nad ütlevad, et f(n)= O(g(n)), kui on olemas konstant c>0 ja arv n0, nii et tingimus 0≤f(n)≤c*g(n) on täidetud kõigi n≥n0 puhul. Ametlikumalt:

(()) { () | 0, } 0 0 O g n= f n$c> $n"n> n£ f n£ cg n

O(g(n)) kasutatakse funktsioonide tähistamiseks, mis ei ole rohkem kui konstantne arv kordi suuremad kui g(n), seda varianti kasutatakse ülemiste piiride kirjeldamiseks (tähenduses "mitte halvem kui"). Kui tegemist on konkreetse probleemi lahendamise konkreetse algoritmiga, on selle algoritmi ajalise keerukuse analüüsi eesmärk saada hinnang halvima või keskmise aja kohta, tavaliselt asümptootiline ülemine hinnang. O(g(n)), kui võimalik, ja asümptootilist alampiiri W(g(n)) ja veelgi parem, asümptootiliselt täpne hinnang Q(g(n)).

Kuid samas jääb õhku küsimus – kas sellele probleemile saab olla veel paremaid lahendusalgoritme? See küsimus seab probleemi enda jaoks väiksema ajalise keerukuse hinnangu leidmise (kõigi võimalike selle lahendamise algoritmide, mitte ühe tuntud lahendusalgoritmi jaoks). Mittetriviaalsete alampiiride saamise probleem on väga keeruline. Praeguseks pole selliseid tulemusi palju, kuid mõnede piiratud kalkulaatorite mudelite puhul on tõestatud mittetriviaalsed alampiirid ja mõned neist mängivad praktilises programmeerimises olulist rolli. Üks probleemidest, mille puhul on teada ajalise keerukuse alumine piir, on sortimisprobleem:

§ Antud n elemendist koosnev jada a1,a2,... hulgast valitud, millele on antud lineaarne järjekord.

§ Nendest n-st elemendist on vaja leida permutatsioon p, mis kaardistab antud jada mittekahanevaks jadaks ap(1),ap(2),... ap(n), s.o. ap(i)≤ap(i+1) 1≤i jaoks vähendamise meetod . Oletame, et meil on kaks ülesannet A ja B, mis on omavahel seotud, nii et ülesande A saab lahendada järgmiselt:

1) Ülesande A sisendandmed teisendatakse vastavaks sisendiks

andmed ülesande B jaoks.

2) Ülesanne B on lahendatud.

3) Ülesande B lahenduse tulemus teisendatakse ülesande A õigeks lahenduseks .__ Sel juhul ütleme, et ülesanne A taandati probleemiks B. Kui ülaltoodud teabe etapid (1) ja (3) saab õigeks ajaks lõpule viia O(t(n)), kus, nagu tavaliselt, n – 25 on ülesande A “maht”, siis ütleme, et A t (n)- taandatav B ja kirjutage see järgmiselt: A μt (n) B. Üldiselt ei ole taandatavus sümmeetriline seos, konkreetsel juhul, kui A ja B on vastastikku redutseeritavad, nimetame neid ekvivalentseteks. Järgmised kaks enesestmõistetavat väidet iseloomustavad redutseerimismeetodi jõudu eeldusel, et see reduktsioon säilitab probleemi "mahu" järjekorra.

"O" suur Ja "o" väike( ja ) on matemaatilised tähistused funktsioonide asümptootilise käitumise võrdlemiseks. Neid kasutatakse erinevates matemaatikaharudes, kuid kõige aktiivsemalt - matemaatilises analüüsis, arvuteoorias ja kombinatoorikas, samuti arvutiteaduses ja algoritmide teoorias.

, « O small of " tähendab "lõpmatult väikest" [ , kaalumisel tühine. Mõiste "Big O" tähendus sõltub selle rakendusalast, kuid ei kasva alati kiiremini kui " O suur "(täpsed määratlused on toodud allpool).

Eriti:

Järg 7

fraas "algoritmi keerukus on" tähendab, et algoritmi sisendinfo hulka iseloomustava parameetri suurenemisega ei saa algoritmi tööaega piirata väärtusega, mis kasvab aeglasemalt kui n!;

fraas "funktsioon on" o "väike funktsioonist punkti läheduses" tähendab, et k-le lähenedes väheneb see kiiremini kui (suhe kipub olema null).

Summereegel: Jagagu lõplik hulk M kaheks mittelõikuvaks alamhulgaks M 1 ja M 2 (kogu hulga M andjate ühenduses). Siis kardinaalsus |M| = |M 1 | + |M 2 |.

toote reegel: Olgu mõnes komplektis objekti a valida n viisil ja pärast seda (st pärast objekti a valimist) saab objekti b valida m viisil. Siis saab objekti ab valida n*m viisil.

Kommenteeri: Mõlemad reeglid võimaldavad induktiivset üldistust. Kui lõplik hulk M lubab jaotust r paarikaupa disjunkteeritud alamhulka M 1 , M 2 ,…,M r , siis |M| = |M 1 |+|M 2 |+…+|M r |. Kui objekti A 1 saab valida k 1 viisil, siis (pärast objekti A 1 valimist) saab objekti A 2 valida k 2 viisil ja nii edasi ning lõpuks saab objekti AR valida kr viisil, siis objekti A 1 A 2 ... Ja r saab valida k 1 k 2 …k r viisil.

asümptootiliselt optimaalne

- kontseptsioon, mis kinnitab hinnangu erapooletust limiidis. Olgu juhuslike muutujate jada tõenäosusruumis, kus Pm on üks perekonna mõõte...
Matemaatiline entsüklopeedia
- kontseptsioon, mis kinnitab piirangu kriteeriumi erapooletust ...
Matemaatiline entsüklopeedia
- diferentsiaalsüsteemi lahendus, mis on Ljapunovi mõttes stabiilne ja meelitab kõiki teisi piisavalt lähedaste algväärtustega lahendusi ...
Matemaatiline entsüklopeedia
- kontseptsioon, mis laiendab tõhusa hindamise ideed suurte valimite korral. A. e. üheselt mõistetav määratlus. O. ei oma. Näiteks klassikas variant, me räägime asümptootilisest ...
Matemaatiline entsüklopeedia
- soovitav, otstarbekas ...
Kaubandussõnastiku viide
- 1. parim, soodsaim, teatud tingimuste ja ülesannete jaoks sobivaim 2 ...
Suur majandussõnastik
- kõige soodsam, parim võimalik ...
Suur Nõukogude entsüklopeedia
- parim, teatud tingimuste ja ülesannete jaoks sobivaim ...
Kaasaegne entsüklopeedia
- parim, teatud tingimuste ja ülesannete jaoks sobivaim ...
Suur entsüklopeediline sõnastik
- ...
- ...
Õigekirjasõnastik
- ...
Õigekirjasõnastik
- ...
Õigekirjasõnastik
- ...
Õigekirjasõnastik
- ...
Õigekirjasõnastik
- ...
Õigekirjasõnastik

"asümptootiliselt optimaalne" raamatutes

Optimaalne visuaalne kontrast (OVC)

Raamatust Värv ja kontrast. Tehnoloogia ja loominguline valik autor Železnjakov Valentin Nikolajevitš

Optimaalne visuaalne kontrast (HVAC) Kujutage ette musta ülikonda, mida valgustab päike ja valget särki, mida valgustab kuu. Kui mõõta nende heledust instrumendiga, siis selgub, et sellistes tingimustes on must ülikond mitu korda heledam kui valge särk ja ometi teame, et

Mis on optimaalne skaala?

Raamatust Twitonomics. Kõik, mida pead teadma majanduse kohta, lühike ja konkreetne autor Compton Nick

Mis on optimaalne skaala? Optimaalse mastaabi kontseptsiooni autor on Saksa-Briti filosoof Fritz Schumacher, raamatu "Vähem on parem: majandus kui inimene" autor. Ta rääkis tõsiasjast, et kapitalistlik tendents "gigantismile" ei piirdu mitte ainult.

8.4.2. Optimaalne kasvutee

Raamatust Majandusteooria: õpik autor Makhovikova Galina Afanasjevna

8.4.2. Optimaalne kasvutee Eeldage, et ressursihinnad jäävad samaks, kui ettevõtte eelarve pidevalt kasvab. Ühendades isokvantide kokkupuutepunktid isokostidega, saame joone 0G - “arengutee” (kasvutee). See rida näitab suhte kasvutempot

Parim variant

NSV Liidu raamatust: hävingust maailmavõimuni. Nõukogude läbimurre autor Boff Giuseppe

Optimaalne variant 1928. aasta lahingute tules sündis esimene viie aasta plaan. Alates 1926. aastast koostati kahes asutuses, riiklikus plaanikomisjonis ja ülemmajandusnõukogus, üksteise järel erinevaid kavandeid. Nende arenguga kaasnesid pidevad arutelud. Ühe skeemina

PARIM VARIANT

Raamatust Vene rokk. Väike entsüklopeedia autor Bushueva Svetlana

Optimaalne

Autori raamatust Suur nõukogude entsüklopeedia (OP). TSB

Optimaalne järjekord

CSS3 raamatust veebidisaineritele Siderholm Dan

Optimaalne järjestus Brauseri eesliidete kasutamisel on oluline meeles pidada omaduste loendi järjekorda. Võite märgata, et eelmises näites kirjutatakse kõigepealt eesliitega atribuudid, millele järgneb eesliiteta atribuut.

Inimene on optimaalne

31.10.2006 raamatust Computerra Magazine nr 40 autor Ajakiri Computerra

Optimaalne mees Autor: Vladimir GurievMõned teemad, mis olid populaarsed umbes nelikümmend aastat tagasi, tunduvad tänapäeval nii marginaalsed, et neid ei käsitleta tõsiselt. Samal ajal – populaarsete ajakirjade artiklite tooni järgi otsustades – tundusid need asjakohased ja ühtlased

Parim variant

Raamatust Stalini esimene löök 1941 [kogumik] autor Kremlev Sergei

Optimaalne variant Sündmuste arengu võimalike stsenaariumide analüüs sunnib paratamatult mõtlema optimaalse variandi valikule. Ei saa öelda, et erinevad "suvised" variandid ehk 1941. aasta mai-juuni-juuliga seotud alternatiivid sisendavad optimismi. Ei nemad

Parim variant

Raamatust Suur Isamaaline alternatiiv autor Isaev Aleksei Valerijevitš

Optimaalne variant Sündmuste arengu võimalike stsenaariumide analüüs sunnib paratamatult mõtlema optimaalse variandi valikule. Ei saa öelda, et erinevad "suvised" variandid, s.o alternatiivid, mis on seotud 1941. aasta mai-juuni-juuliga, sisendavad optimismi. Ei nemad

Optimaalne kontroll

Raamatust Enesehinnang lastel ja noorukitel. Raamat vanematele autor Eyestad Guru

Optimaalne kontroll Mida tähendab mõõdukalt pingul hoidmine? Peate selle ise kindlaks määrama, lähtudes oma lapse teadmistest ja teie elukeskkonna tingimustest. Enamasti püüavad teismeliste vanemad kaitsta oma lapsi suitsetamise, alkoholi joomise,

Optimaalne viis

Raamatust Perfektsionisti paradoks autor Ben-Shahar Tal

Optimaalne tee täiuslikkus ründab meid pidevalt. Men's Healthi kaant kaunistab Adonis, Vogue'i kaant Elena Prekrasnaja; naised ja mehed suurel ekraanil tunni või paariga lahendavad oma konfliktid, mängivad välja ideaalse süžee, alistuvad ideaalsele armastusele. Me kõik kuulsime

Optimaalne lähenemine

Raamatust Ekspert nr 07 (2013) autor Expert Magazine

Optimaalne lähenemine Sergei Kostjajev, Ph.D.

Parim variant

Raamatust Kaks aastaaega autor Arseniev L

Parim variant - Öelge, kas on mõistlik mängida mitmel rindel korraga? - küsisid ajakirjanikud Bazilevitšilt ja Lobanovskilt juba 75. hooaja alguses. - Muidugi, põhjendamatu, - vastasid nad. - Aga see on vajalik. Usume, et tähtsust on vaja eristada

Optimaalne kontroll

Raamatust Isiklike (perekonna) rahanduse juhtimine. Süsteemne lähenemine autor Steinbock Mihhail

Optimaalne juhtimine >> Optimaalse juhtimisega jagame kõik kulud kaheks suured rühmad:- "tavaline" - regulaarsed kulud, - ühekordsed või mittestandardsed kulud Optimaalset kontrolli saab kasutada alles pärast mitmekuulist üksikasjalikku kontrolli.

1 Entroopia ja infokaugus

1.1 Põhimõisted ja tähistus.

1.2 Piiratud ootustega diskreetsete jaotuste entroopia.

1.3 Logaritmiline üldistatud mõõdik diskreetsete jaotuste hulgal.

1.4 Loendatava argumentide komplekti funktsioonide kompaktsus

1.5 Kullback-Leibler-Sanovi infokauguse järjepidevus

1.6 Järeldused.

2 Suurte kõrvalekallete tõenäosus

2.1 Funktsioonide suurte kõrvalekallete tõenäosus antud täidisega lahtrite arvust.

2.1.1 Lokaalse piiri teoreem.

2.1.2 Integraali piirteoreem.

2.1.3 Eraldatava statistika teabekaugus ja suured kõrvalekalde tõenäosused

2.2 Eraldatava statistika suured hälbe tõenäosused, mis ei vasta Crameri tingimusele.

2.3 Järeldused.

3 Sobivuskriteeriumide asümptootilised omadused

3.1 Firmaväärtuse kriteeriumid tuluvaba valikuskeemi jaoks

3.2 Sobivuskatsete asümptootiline suhteline efektiivsus.

3.3 Üldiste paigutuste lahtrite arvul põhinevad kriteeriumid.

3.4 Järeldused.

Soovitatav lõputööde loetelu

Jaotuste iseloomustusomadustel põhinevate sobivuse testide asümptootiline efektiivsus 2011, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Volkova, Ksenia Jurjevna
Suured kõrvalekalded ja piirteoreemid mõne juhusliku kõnni funktsionaali puhul 2011, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Škljajev, Aleksander Viktorovitš
Juhusliku kõnni sammude piirteoreemid ja suured kõrvalekalded 2004, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Kozlov, Andrei Mihhailovitš
Sobivuse testide ja astmeseaduse lahknemise mõõtmete hii-ruutjaotuse statistika konvergentsi kiiruse kohta 2010, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Zubov, Vassili Nikolajevitš
Ruumiasümptootiliselt homogeensete ergoodiliste Markovi ahelate suurte kõrvalekallete tõenäosus 2004, füüsika- ja matemaatikateaduste doktor Koršunov, Dmitri Aleksejevitš

Sissejuhatus lõputöösse (osa referaadist) teemal "Sobivuskriteeriumide asümptootilised omadused hüpoteeside testimiseks valikuskeemis ilma asendamiseta, lahtrite täitmisel põhinevas üldistatud jaotusskeemis"

Uurimisobjekt ja teema asjakohasus. Diskreetsete jadade statistilise analüüsi teoorias on eriline koht sobivuse testidel võimaliku keerulise nullhüpoteesi testimiseks, st juhusliku jada puhul,

Xi e hi,i = 1, ,n, kus hi = (0,1,. ,M), mis tahes i = 1,., n korral ja mis tahes k £ 1m korral sündmuse tõenäosus

Xi = k) ei sõltu r-st See tähendab, et jada on mõnes mõttes statsionaarne.

Paljude rakendusülesannete puhul loetakse järjestust (Xr-)™=1 pallide värvide jadaks, kui valitakse urnist, mis sisaldab u - 1 > 0 palli värvi k, k € 1m- ilma kurnatuseta. 1, .,pm - 1). Olgu urnis n - 1 kuuli, m k=0

Tähistame r(k) (fc) Jk) rw - Г! , . . . , A-värvi kuulide arvujada; proovis. Vaatleme järjestust, kus k)

Kk-p-GPk1.

Jada h^ on defineeritud kasutades kõrvuti asetsevate värviga k pallide vahekaugusi nii, et

Pk Kf \u003d lk 1> \u003d 1

Jadade hulk h(fc) kõigi k £ 1m jaoks määrab jada üheselt. Erinevate k jadad hk on üksteisest sõltuvad. Eelkõige on ükskõik milline neist üheselt määratud kõigi teiste poolt. Kui komplekti 1m kardinaalsus on võrdne 2-ga, määrab pallide värvide jada üheselt kindlaks kõrvuti asetsevate sama fikseeritud värvi kuulide kohtade vahelise kauguse jadaga. Olgu urnis, mis sisaldab n - 1 kahe erineva värviga palli, N - 1 palli värviga 0. Hulga ffl(N - l,n - N) ja komplekti 9 vahel saab luua üks-ühele vastavuse. ,N vektorite h(n, N ) = (hi,., hjf) positiivsete täisarvu komponentidega, nii et K = P. (0,1)

Hulk 9p)dz vastab positiivse täisarvu n kõikide erinevate partitsioonide hulgale N järjestatud liitmiks.

Olles andnud mingi tõenäosusjaotuse vektorite hulgal £Hn,dz, saame vastava tõenäosusjaotuse hulgal Wl(N - 1,n - N). Hulk on vektorite hulga alamhulk, mille mittenegatiivsed täisarvulised komponendid vastavad (0,1). Tõenäosusjaotustena vektorite hulgal lõputöös vormi jaotused

P(t,N) = (n,.,rN)) = P(tn = ru,v = l,.,N\jr^ = n), (0,2) kus. , £dz - sõltumatud mittenegatiivsed täisarvulised juhuslikud muutujad.

Vormi (0,2) jaotusi /24/ nimetatakse üldistatud skeemideks n osakese paigutamiseks N lahtrisse. Eelkõige juhul, kui juhuslikud suurused £b. , £n in (0.2) jaotatakse vastavalt Poissoni seadustele parameetritega Ai,., λ, siis vektoril h(n,N) on polünoomjaotus tulemuste tõenäosustega

Ri = . , A" ,V = \,.,N.

L\+. . . +AN

Kui juhuslikud suurused £b >&v (0-2) on võrdselt jaotunud vastavalt geomeetrilisele seadusele kus p on suvaline intervallis 0< р < 1, то, как отмечено в /25/,/26/, получающаяся обобщенная схема размещения соответствует равномерному распределению на множестве В силу взаимнооднозначного соответствия между множеством dft(N - 1 ,п - N) и множеством tRn,N получаем равномерное распределение на множестве выборов без возвращения. При этом, вектору расстояний между местами шаров одного цвета взаимно однозначно соответствует вектор частот в обобщенной схеме размещения, и, соответственно, числу расстояний длины г - число ячеек, содержащих ровно г частиц. Для проверки по единственной последовательности гипотезы о том, что она получена как результат выбора без возвращения, и каждая такая выборка имеет одну и ту же вероятность можно проверить гипотезу о том, что вектор расстояний между местами шаров цвета 0 распределен как вектор частот в соответствующей обобщенной схеме размещения п частиц по N ячейкам.

Nagu märgitud /14/,/38/, on eriline koht sagedusvektorite h(n, N) = (hi,., /rz) jaotuse hüpoteeside kontrollimisel üldistes skeemides n osakese paigutamiseks N rakku. 1 m(N -l,n-N)\ N statistikale tuginevate kriteeriumide järgi

LN(h(n,N))=Zfv(hv)

Fn \u003d F (-T7, flQ Hi II-

0,4) kus fu, v = 1,2,. ja φ on mõned reaalväärtusega funktsioonid, N

Mr = E = r), r = 0,1,. 1/=1

Väärtusi /27/ nimetati täpselt r osakest sisaldavate rakkude arvuks.

Iga r korral on statistika /xr sümmeetriline eraldatav statistika. Võrdsusest

E DM = E DFg (0,5) järeldub, et sümmeetrilise eraldatava statistika klass hv-s langeb kokku fir lineaarfunktsioonide klassiga. Veelgi enam, vormi (0,4) funktsioonide klass on laiem kui sümmeetrilise eraldatava statistika klass.

Aga = (#o(n, N)) on lihtsate nullhüpoteeside jada, mille kohaselt vektori h(n,N) jaotus on (0,2), kus juhuslikud muutujad,. (0.2) on identselt jaotunud ja k) = pk,k = 0,1,2,., parameetrid n ja N varieeruvad keskpiirkonnas.

Vaatleme mõnda Р £ (0,1) ja üldiselt keerukate alternatiivide jada

H = (H(n, N)) on maksimaalne arv, mille korral mis tahes lihtsa hüpoteesi H\ ∈ H(n, N) korral on ebavõrdsus

РШ > an,N(P)) > Р

Hüpoteesi Hq(ti,N) lükkame tagasi, kui fm > awm((3). Kui piir on olemas

Wn ~1nP(0lg > an,N(P))=u(p,Н), kus iga N tõenäosus arvutatakse hüpoteesi Нц(п, N) alusel, siis ^(/З, Н) nimetatakse /38/ kriteeriumi indeksis φ punktis (j3, H). Viimast piiri ei pruugi üldiselt olla. Seetõttu on lõputöös lisaks kriteeriumiindeksile ka väärtus

Ish (~1pR(fm > al(/?)))

JV->oo N-oo tähendab vastavalt jada alumist ja ülemist piiri (odr), kui N -> oo,

Kui kriteeriumi indeks on olemas, vastab kriteeriumi alaindeks sellele. Kriteeriumi alaindeks on alati olemas. Mida suurem on kriteeriumi indeksi väärtus (kriteeriumi madalam indeks), seda parem on statistiline kriteerium vaadeldavas mõttes. Dokumendis /38/ lahendati /MO Ml Mf HF iV jaoks hüpoteesi Ho(n,N) ümber lükkavate kriteeriumide klassis kõrgeima kriteeriumiindeksi väärtusega üldistatud paigutuste sobivuskriteeriumide konstrueerimise probleem. " iV""""" ~yv" " ^ "kus m > 0 on mingi fikseeritud arv, konstantide jada nt valitakse kriteeriumi astme antud väärtuse alusel koos alternatiivide jadaga, ft on reaalne m + 1 argumentide funktsioon.

Kriteeriumindeksid määratakse suurte kõrvalekallete tõenäosuste järgi. Nagu on näidatud /38/, määrab eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosuse ligikaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika, kui juhusliku suuruse f(t) Crameri tingimus on täidetud, vastava Kullback-Leibler-Sanov. infokaugus (juhuslik suurus rj rahuldab tingimust Cramer, kui mingi λ > 0 korral on hetke genereeriv funktsioon Metr] intervallis \t\< Н /28/).

Avatuks jäi küsimus statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta piiramatust arvust kuuskedest, aga ka suvalisest eraldatavast statistikast, mis Crameri tingimust ei rahulda. See ei võimaldanud lõplikult lahendada hüpoteeside kontrollimise kriteeriumide konstrueerimise probleemi üldiste jaotusskeemide puhul, mille esimest tüüpi vea tõenäosus nullile lähenes kõige kõrgemal tasemel lähenevate alternatiividega kriteeriumide klassis, mis põhineb statistikal. vorm (0,4). Lõputöö uurimistöö asjakohasuse määrab vajadus selle probleemi lahendus lõpuni viia.

Lõputöö eesmärk on konstrueerida kriteeriumi indeksi kõrgeima väärtusega (kriteeriumi madalam indeks) sobivuse kriteeriumid hüpoteeside kontrollimiseks valikuskeemis ilma kordumiseta kriteeriumide klassis, mis lükkavad ümber hüpoteesi W( n, N) $ juures.<>,■ ■)><*. (0-7) где ф - функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области.

Vastavalt uuringu eesmärgile püstitati järgmised ülesanded:

Uurida entroopia ja Kullback - Leibler - Sanovi teabekauguse omadusi diskreetsete jaotuste jaoks loendatava arvu tulemustega;

Uurige vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosust;

Uurige sümmeetrilise eraldatava statistika (0,3) suurte kõrvalekallete tõenäosust, mis ei rahulda Crameri tingimust;

Leidke selline statistika, et selle alusel konstrueeritud sobivuskriteerium hüpoteeside kontrollimiseks üldistatud jaotusskeemides on vormi (0,7) kriteeriumiklassi suurima indeksi väärtusega.

Teaduslik uudsus:

Kontrollimise probleemi vähendamine hüpoteesi pallide ühe värvijada abil, alates asjaolust, et see jada saadi ilma asendamiseta valiku tulemusel kuni kahevärvilisi palle sisaldava urni pallide ammendumiseni, ja igal sellisel valikul on sama tõenäosus, et konstrueeritakse sobivuse kriteeriumid hüpoteeside testimiseks vastavas üldistatud paigutusskeemis;

Entroopia funktsioonide ja Kullback - Leibler - Sanovi infokauguse järjepidevus lõpmatumõõtmelisel simpleksil kasutusele võetud logaritmilise üldistatud meetrikaga;

Teoreem sümmeetrilise eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosuste umbkaudse (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika kohta, mis ei rahulda Crameri tingimust üldistatud jaotusskeemis seitsme eksistentsiaalse juhtumi korral;

Teoreem suurte hälvete tõenäosuste umbkaudse (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika kohta vormi (0,4) statistika jaoks;

Sobivuskriteeriumi konstrueerimine hüpoteeside testimiseks üldistatud paigutustes, mille indeksi väärtus on vormi kriteeriumide klassis (0,7).

Töö aprobeerimine. Tulemustest teatati matemaatikainstituudi diskreetse matemaatika osakonna seminaridel. V. A. Steklov RAS, infoturbe osakond ITMiVT neid. S. A. Lebedev RAS ja aadressil:

Viies ülevenemaaline rakendus- ja tööstusmatemaatika sümpoosion. Kevadistung, Kislovodsk, 2.–8. mai 2004;

Kuues rahvusvaheline Petroskoi konverents "Tõenäosuslikud meetodid diskreetses matemaatikas" 10. - 16. juuni 2004;

Teine rahvusvaheline konverents "Informatsioonisüsteemid ja -tehnoloogiad (IST"2004), Minsk, 8.-10. november 2004;

Rahvusvaheline konverents "Modern Problems and new Trends in Probability Theory", Chernivtsi, Ukraina, 19.-26.06.2005.

Töö ülesehitus ja sisu.

Esimeses peatükis uuritakse mittenegatiivsete täisarvude hulga jaotuste entroopia ja teabekauguse omadusi.

Esimese peatüki esimeses lõigus tutvustatakse tähistust ja antakse vajalikud definitsioonid. Eelkõige kasutatakse järgmist tähistust: x = (xq, x\, . ) on lõpmatu mõõtmega vektor loendatava arvu komponentidega;

H(x) - -Ex^oXvlnx,-, truncm(x) = (x0,x1,.,xm,0,0,.)] f2* = (x, xi > 0, zy = 0,1,. , Oh"< 1}; Q = {х, х, >0,u = 0,1,., o xv = 1); = (x G 0, £ £ L0 = 7);

Ml = o Ue>1|5 € o< Ml - 7МГ1 < 00}. Понятно, что множество £1 соответствует семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел, П7 - семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел с математическим ожиданием 7.

Kui y 6 E Π, siis e korral > 0 Oe(y) tähistab hulka

Oe(y) – (x ^< уие£ для всех v = 0,1,.}.

Esimese peatüki teises lõigus tõestame teoreemi diskreetsete jaotuste entroopia piirituse kohta piiratud matemaatilise ootusega.

Teoreem 1. Piiratud matemaatilise ootusega diskreetsete jaotuste entroopia piiritusest.

Mis tahes f 6 P7 jaoks

H(x)

Kui x € lend vastab geomeetrilisele jaotusele matemaatilise määratlusega 7, see tähendab 7

1 + 7 siis võrdsus

H(x) = F(<7).

Teoreemi väidet võib vaadelda kui tingimuslike Lagrange'i kordajate meetodi formaalse rakendamise tulemust lõpmatu arvu muutujate korral. Teoreem, et ainuke jaotus hulgal (k, k + 1, k + 2,.) antud matemaatilise ootuse ja maksimaalse entroopiaga on antud matemaatilise ootusega geomeetriline jaotus, on antud (ilma tõestuseta) /47/. Autor esitas aga karmi tõendi.

Esimese peatüki kolmandas lõigus on toodud üldistatud mõõdiku definitsioon – lõpmatuid väärtusi lubav mõõdik.

Funktsiooni x, y ∈ Q korral on funktsioon p(x, y) defineeritud kui minimaalne e > 0 omadusega<хи< уиее для всех и = 0,1,. Если такого е не существует, то полагается, что р(х,у) = оо.

On tõestatud, et funktsioon p(x, y) on mittenegatiivsete täisarvude hulga jaotuste perekonna, aga ka kogu hulga Cl* üldistatud mõõdik. Mõõdiku p(x, y) definitsioonis oleva e asemel võite kasutada mis tahes muud positiivset arvu peale 1. Saadud mõõdikud erinevad korduva konstandi võrra. Tähistame J(x, y) teabekaugust

00 £ J(x, y) = E In-.

Siin ja allpool eeldatakse, et 0 In 0 = 0,0 In jj = 0. Teabekaugus on määratletud sellise x, y jaoks, et xn = 0 kõigi jaoks ja nii, et yi = 0. Kui see tingimus ei ole täidetud, siis me paneb J(x,ij) = oo. Olgu L SP. Siis tähistame

J (A Y) = |nf J(x, y).

Esimese peatüki neljandas osas on antud hulgal Q* defineeritud funktsioonide kompaktsus. Funktsiooni kompaktsus loendatava arvu argumentidega tähendab, et funktsiooni väärtust saab mis tahes täpsusega lähendada selle funktsiooni väärtustega punktides, kus ainult piiratud arv argumente on nullist erinevad. Tõestatud on entroopia ja infokauguse funktsioonide kompaktsus.

1. Iga 0 jaoks< 7 < оо функция Н(х) компактна на

2. Kui mõne 0 jaoks< 70 < оо

P e siis mis tahes 0 jaoks<7<оо,г>0 funktsioon χ) = J(x, p) on kompaktselt sisse lülitatud

Pl&V) = E\Xu~Y"\, u = 0

E (xv - Yi) 2 v \u003d Q

Pz(x, y) = 8Up\xu-yv\. v

Järgmiste võrratuste kehtivus entroopia H(x) ja infokauguse J(x,p) funktsioonide jaoks on tõestatud:

1. Iga x puhul x" € fi

H(x) - H(x")\< - 1){Н{х) + Н{х")).

2. Kui mõne x, p e Π korral on olemas e > 0, nii et x 6 0 £(p), siis mis tahes x" £ Q korral J(x, p) - J(x", p)|< (е"М - 1){Н{х) + Н{х") + ееН(р)).

Nendest ebavõrdsustest, võttes arvesse teoreemi 1, järeldub, et entroopia ja teabekauguse funktsioonid on meetrika p(x,y)t vastavatel alamhulkadel Q ühtlaselt pidevad, nimelt

1. Iga 7 jaoks, nii et 0< 7 < оо, функция Н(х) равномерно непрерывна на Г2 в метрике р(ж,у);

2. Kui mõne 70, 0< 70 < оо

TO mis tahes 0 jaoks<7<оои£>0 funktsioon

A p(x) = J(x, p) on ühtlaselt pidev hulgal Π Oe(p) meetrikas p(x, y).

Olgu mingi 7 > 0 puhul pindala A antud tingimusega

A = (x € VLv4>(x) > a), (0.9) kus φ(x) on reaalväärtusega funktsioon, a on mingi reaalkonstant, inf φ(x)< а < inf ф(х).

Uuriti küsimust, millistel tingimustel funktsioonil φ parameetrite n, N muutmisel keskpiirkonnas, ^ -; 7, kõigi nende piisavalt suurte väärtuste jaoks on olemas mittenegatiivsed täisarvud ko, k\,., kn nii, et k0 + ki + . + kn = N, k\ + 2k2. + pkp - N ja

F (ko k \ kp

-£,0,0,.)>a.

On tõestatud, et selleks piisab, kui nõuda, et funktsioon φ ei oleks äärmuslik, kompaktne ja pidev meetrikas p(x, y) ning vähemalt ühe punkti x puhul, mis rahuldaks (0,9) mõne e > 0 korral. mis tahes v = 0,1 korral on olemas piiratud momendi aste 1 + e ja xn > 0.

Teises peatükis uurime umbkaudset (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootikat funktsioonide suurte kõrvalekallete tõenäosuse kohta D = (^0) ■ ) T"n, 0, .) - antud täidisega lahtrite arvust parameetrite keskpiirkonnas N, n Kare Sobivustestide headuse indeksite uurimiseks piisab suurte hälvete tõenäosuste asümptootikast.

Olgu juhuslikud suurused ^ in (0.2) jaotunud identselt ja

P(z) - juhusliku suuruse genereeriv funktsioon - koondub raadiusega 1 ringi< R < оо. Следуя /38/, для 0 < z < R обозначим через £(z) случайную величину такую, что

Ml+£ = £ i1+ex„< 00.

0,10) k] = Pk, k = 0,1,.

Tähistage

Kui võrrandi m Z(z) = ъ lahend on olemas, siis on see kordumatu /38/. Kõikjal allpool eeldame, et pk > 0,A; = 0,1,.

Teise peatüki esimese lõigu esimeses lõigus on vormi tõenäosuste logaritmide asümptootika

npP(/x0 = ko,., cp = kn).

Tõestatakse järgmine teoreem.

Teoreem 2. Ligikaudne lokaalne teoreem suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta. Olgu n, N -» oo nii, et jj -> 7,0<7 < оо, существует z7 - корень уравнения M£(z) = 7, с. в. £(г7) имеет положительную дисперсию. Тогда для любого k G Cl(n,N)

lnP(A = k) = JftpK)) + O(^lniV).

Teoreemi väide tuleneb otseselt ühisjaotuse fii valemist,. fin in /26/ ja järgmine hinnang: kui mittenegatiivsed täisarvud, Нп vastab tingimusele

Hi + 2d2 + + PNp = n, siis nullist erinevate väärtuste arv nende hulgas on 0 (l/n). See on ligikaudne hinnang, mis ei pretendeeri uuele. Nullist erineva zg arv üldistatud paigutustes ei ületa lahtrite maksimaalse täituvuse väärtust, mis keskpiirkonnas 1-ni kalduva tõenäosusega ei ületa väärtust O(lnn) /25/,/27/. Sellest hoolimata on saadud hinnang 0 (y/n) rahul tõenäosusega 1 ja see on piisav, et saada ligikaudne asümptootika.

Teise peatüki esimese lõigu teises lõigus leitakse piirväärtus, kus adz on reaalarvude jada, mis koondub mõnele G R, φ(x) on reaalväärtuslik funktsioon. Tõestatakse järgmine teoreem.

Teoreem 3. Ligikaudne integraaliteoreem suurte hälvete tõenäosuste kohta. Olgu teoreemi 2 tingimused täidetud, mõne r > 0, C > 0 korral on reaalfunktsioon φ(x) kompaktne, ühtlaselt pidev hulgal meetrikas p

A = 0r+<;(p(z7)) П Ц7+с] и удовлетворяет условию неэкстремальности на множестве fly. Если для некоторой константы а такой, что inf ф(х) < а < sup ф(х). xeily существует вектор ра € fi7 П 0r(p(z7)); такой, что

Ф(ra) > a ja j(( (x) >a,xe n7),p(2;7)) = 7(pa,p(*y)) mo iga jada a^ korral, mis koondub a-le,

Jim -vbPW%%,.)>aN) = J(pa,p(2h)). (0,11)

Funktsiooni φ(x) täiendavate piirangute korral saab täpsemini arvutada teabekaugust J(pa,p(z7)) punktis (2.3). Nimelt on järgnev teoreem tõene. Teoreem 4. Infokaugus. Laske mõneks 0< 7 < оо для некоторвх г >0, C > 0, reaalfunktsioon φ(x) ja selle esimest järku osatuletised on kompaktsed ja ühtlaselt pidevad üldistatud meetrikas p(x, y) hulgal p G

A = Or(p) n + c] on olemas T > 0, R > 0, nii et kõigi \t\<Т,0 < z < R,x е А

E^exp^-f(x))< оо,

0(a;)exp(t-< со, i/=o oxv 0X1/ для некоторого е >0 oo Q pvv1+£zu exp(t-φ(x))< оо, (0.13) и существует единственный вектор x(z,t), удовлетворяющий системе уравнений xv(z, t) = pvzv ехр {Ь-ф(х(г, t))}, v = 0,1,. функция ф(х) удовлетворяет на множестве А условию неэкстремальности, а - некоторая константа, ф(р) < а < sup ф(:x)(z,t),

0
00 vpv(za,ta) = 7, 1/=0

0(p(*aL)) = a, kus

Siis p(za, ta) € ja

J((x e A, f(x) = a), p) = J(p(za, ta), p)

00 d 00 d \u003d l\nza + taYl ir- (x(za,ta)) – E^z/exp(ta-z- (p(zatta))). j/=0 C^i/t^=0

Kui funktsioon φ(x) on lineaarne funktsioon ja funktsioon f(x) on defineeritud võrdsuse (0,5) abil, saab tingimusest (0,12) juhusliku suuruse f(ζ(z)) Crameri tingimus. Tingimus (0,13) on tingimuse (0,10) vorm ja seda kasutatakse vormi (x ∈ φ(x) > a) domeenides vähemalt ühe punkti olemasolu kohta 0(n, N) kõigi piisavalt suurte puhul. n, N.

Olgu ^)(n, N) = (hi,., /r) sagedusvektor üldises jaotusskeemis (0.2). Lause 3 ja 4 tulemusena formuleeritakse järgmine teoreem.

Teoreem 5. Ligikaudne integraalteoreem sümmeetrilise eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosuste kohta üldistatud jaotusskeemis.

Olgu n, N -» oo nii, et ^ - 7, 0< 7 < оо, существует z1 - корень уравнения М£(,г) = 7, с. в. £(27) имеет положительную дисперсию и максимальный шаг распределения 1, а - некоторая константа, f(x) - действительная функция, а < Mf(^(z1)), существуют Т >0,R > 0 nii, et kõigi |t|<Т,0 < z < R,

00 oo, u=0 on selliseid ta\
E vVi/("01 ta) = b kus f(v)p"(za,ta) = a, 1/=0

Seejärel iga järjestuse adj puhul, mis koondub a-le,

Jim - - InF"(- £ f(hn) > aN) = J(p(za,ta),p(z7))

00 7 In 2a + taa – In £ p^/e^M i/=0

Seda teoreemi tõestas esmakordselt AF Ronzhin /38/ sadulapunkti meetodil.

Teise peatüki teises osas uurime eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosusi üldistatud cxj^iax paigutustes juhusliku suuruse f(€(z)) Crameri tingimuse mittetäitumisel. Crameri tingimus juhusliku suuruse f(£(z)) jaoks ei ole täidetud, eriti kui £(z) on Poissoni juhuslik suurus ja f(x) - x2. Pange tähele, et Crameri tingimus eraldatava statistika enda jaoks üldistatud jaotusskeemides on alati täidetud, kuna iga fikseeritud n, N korral on nende skeemide võimalike tulemuste arv piiratud.

Nagu on märgitud /2/, kui Crameri tingimus ei ole täidetud, siis identselt jaotatud juhuslike muutujate summade suurte hälvete tõenäosuste asümptootika leidmiseks on vaja täiendavat täitmist. f

V i. . I tingimused tähtaja jaotuse korrektseks muutmiseks. Töös j

O, 5 vaadeldakse /2/ tingimuse (3) täitmisele vastavat juhtu, st seitsmeastmelist juhtumit. Olgu P(£i = k) > 0 kõigi k = 0,1, korral. ja funktsiooni p(k) = -\nP(k = k), saab laiendada pideva argumendi funktsiooniks – korrapäraselt muutuvale funktsioonile järku p, 0< р < со /45/, то есть положительной функции такой, что при t ->oo p(tx) xp.

Olgu funktsioon f(x) argumendi piisavalt suurte väärtuste korral positiivne, rangelt kasvav, korrapäraselt muutuva järjestusega funktsioon.

Ülejäänud reaalteljel saab ip(x) anda suvaliselt piiratud mõõdetaval viisil.

Siis s. V. /(£i) omab mis tahes järjestust momente ja ei rahulda Crameri tingimust, p(x) = o(x) kui x -> ω ja kehtib järgmine teoreem fg^ktion on monotoonselt mittekasvav, n, N -> oo, nii et jj - A, 0< Л < оо; гд - единственный корень уравнения M^i(^) = Л, тогда для любого с >b(z\), kus b(z) = M/(£i(.z)), on olemas piir CN) = -(c - b(z\))4.

Teoreemist b järeldub, et kui Crameri tingimus ei ole täidetud, siis piir lim 1 InP(LN(h(n, N)) > cN) = 0, ^ ^ iv-liiga iv, mis tõestab väidetava oletuse paikapidavust. aastal /39/. Seega on sobivuse kriteeriumi indeksi väärtus üldistatud paigutusskeemides ja juhul, kui Crameri tingimus ei ole täidetud, alati nulliga. Sel juhul koostatakse kriteeriumide klassis, kui Crameri tingimus on täidetud, nullist erineva indeksi väärtusega kriteeriumid. Sellest võime järeldada, et selliste kriteeriumide kasutamine, mille statistika Crameri tingimust ei rahulda, näiteks hii-ruut test polünoomilises skeemis, on sobivuse testide konstrueerimine hüpoteeside kontrollimiseks mittelähenevate alternatiividega, on asümptootiliselt ebaefektiivne. see tunne. Sarnane järeldus tehti ka /54/, tuginedes polünoomilises skeemis hii-ruut statistika ja maksimaalse tõenäosuse suhte võrdlemise tulemustele.

Kolmandas peatükis lahendame hüpoteeside testimiseks üldistatud paigutustes sobivuse kriteeriumide konstrueerimise ülesande kriteeriumi indeksi kõrgeima väärtusega (kriteeriumi madalama indeksi suurim väärtus). Tuginedes entroopiafunktsioonide omadusi, infokaugust ja suurte hälvete tõenäosusi käsitleva esimese ja teise peatüki tulemustele, leitakse kolmandas peatükis vormi funktsioon (0,4) selline, et sobivuse kriteerium on sobiv. selle alusel ehitatud omab vaadeldava kriteeriumi klassis täpselt madalama indeksi suurimat väärtust. Tõestatakse järgmine teoreem.

Teoreem 7. Indeksi olemasolust. Olgu teoreemi 3 tingimused täidetud, 0< /3 < 1, Н = Hp(i),Hp(2>,. on alternatiivsete jaotuste jada, a,φ((3, N) on maksimaalne arv, mille puhul hüpoteesi Нр<ло выполнено неравенство существует предел lim^-оо о>φ(P, N) - a. Siis on punktis (/3, H) olemas kriteeriumi φ indeks

3ff, H) = 3((φ(x) >a, x£^.PW).

sh)<ШН)>kus w/fo fh h v^l ^

Kokkuvõte toob välja saadud tulemused seoses lõputöös püstitatud üldeesmärgi ja konkreetsete ülesannetega, sõnastab lõputöö tulemuste põhjal järeldused, osutab töö teaduslikule uudsusele, teoreetilisele ja praktilisele väärtusele, samuti konkreetsetele teaduslikele eesmärkidele. probleemid, mille autor on tuvastanud ja mille lahendus tundub asjakohane.

Lühiülevaade uurimisteemat käsitlevast kirjandusest. Lõputöös käsitletakse sobivuskriteeriumide headuse konstrueerimise probleemi vormi (0,4) funktsioonide klassis kõige suurema kriteeriumi indeksi väärtusega üldistatud jaotusskeemides mittelähenevate alternatiividega.

Üldised jaotusskeemid tutvustas VF Kolchin aastal /24/. Polünoomilise skeemi väärtusi nimetati r-kaadriga rakkude arvuks ja neid uurisid üksikasjalikult V. F. Kolchini, B. A. Sevastjanovi, V. P. Chistyakov /27/ monograafias. Kuuse väärtusi üldistatud paigutustes uuris VF Kolchin /25/,/26/. Vormi (0,3) statistikat käsitles esmakordselt Yu. I. Medvedev dokumendis /30/ ja seda nimetati eraldatavaks (additiivselt eraldatavaks) statistikaks. Kui funktsioonid /„ in (0.3) ei sõltu u-st, kutsuti sellist statistikat /31/ sümmeetriliseks eraldatavaks statistikaks. Eraldatava statistika hetkede asümptootilise käitumise üldistatud jaotusskeemides sai GI Ivchenko dokumendis /9/. Üldise jaotusskeemi piirteoreeme käsitleti ka /23/. Ülevaateid piiriteoreemide tulemuste ja sobivuse headuse kohta diskreetsete tõenäosusskeemide puhul (0,2) andsid V. A. Ivanov, G. I. Ivtšenko, Yu. I. Medvedev /8/ ja G. I. Ivtšenko, Yu. I. Medvedev, A. F. Ronžin aastal /14/. Üldiste paigutuste sobivuse kriteeriume käsitles A.F. Ronzhin dokumendis /38/.

Nende tööde statistiliste testide omaduste võrdlus viidi läbi suhtelise asümptootilise efektiivsuse seisukohalt. Käsitleti lähenevate (külgnevate) hüpoteeside juhtumit - tõhusus Pitmani tähenduses ja mittekonvergeerivad hüpoteesid - tõhusus Bahaduri, Hodgesi - Lehmani ja Tšernovi tähenduses. Erinevat tüüpi statistiliste testide suhtelise jõudluse vahelist seost on käsitletud näiteks /49/. Nagu tuleneb 10. I. Medvedevi tulemustest /31/ separeeritava statistika jaotuse kohta polünoomilises skeemis, on hii-ruutstatistil põhinev test suurim asümptootiline võimsus konvergeerivate hüpoteeside korral eraldatava statistika klassis. tulemuste sagedused polünoomilises skeemis. Selle tulemuse üldistas A. F. Ronzhin 0,2 tüüpi skeemide jaoks dokumendis /38/. II Viktorova ja VP Tšistjakov koostasid /4/ optimaalse kriteeriumi polünoomskeemile /xr lineaarfunktsioonide klassis. A. F. Ronzhin konstrueeris /38/ kriteeriumi, mis nullhüpoteesile mittelähenevate alternatiivide jada korral minimeerib esimest tüüpi vea tõenäosuse logaritmilise määra, mis kaldub nullini sellise vormi statistika klassis. (0,6). Hii-ruutstatistika suhtelise jõudluse ja koonduvate ja mittekonvergeerivate hüpoteeside maksimaalse tõenäosuse suhte võrdlus tehti /54/.

Lõputöös käsitleti mittelähenevate hüpoteeside juhtumit. Kriteeriumide suhtelise statistilise efektiivsuse uurimine mittekonvergeerivate hüpoteeside korral nõuab ülisuurte kõrvalekallete tõenäosuste uurimist - suurusjärgus 0(i/n). Esimest korda lahendas IN Sanov sellise kindla arvu tulemustega polünoomjaotuse probleemi /40/. Sobivuskriteeriumide asümptootilist optimaalsust polünoomjaotuse lihtsate ja keeruliste hüpoteeside testimiseks mittelähenevate alternatiividega piiratud arvu tulemuste korral vaadeldi /48/. Infokauguse omadusi käsitlesid varem Kullback, Leibler /29/,/53/ ja I. II. Sanov /40/, samuti Heffding /48/. Nendes paberites käsitleti teabekauguse järjepidevust eukleidilise meetrika lõplike mõõtmetega ruumides. Autor käsitles ka kasvava mõõtmega ruumide jada, näiteks Yu. V. Prohhorovi /37/ või V. I. Bogatšovi, A. V. Kolesnikovi /1/ töödes. Ligikaudsed (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) teoreemid eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosuste kohta üldistatud jaotusskeemides Crameri tingimusel sai AF Ronzhin dokumendis /38/. A. N. Timašev /42/,/43/ sai täpsed (kuni ekvivalentsuseni) mitmemõõtmelised integraali- ja lokaalsed piirteoreemid vektori fir^n, N),., iir.(n,N) suurte hälvete tõenäosuste kohta, kus s, r\,., rs on fikseeritud täisarvud,

KOHTA<П < .
Suurte kõrvalekallete tõenäosuste uurimine sõltumatute juhuslike suuruste puhul, kui Crameri tingimus ei ole täidetud, viidi läbi A. V. Nagajevi töödes /35/. Konjugeeritud jaotuste meetodit kirjeldab Feller /45/.

Asenduseta valikuskeemi hüpoteeside kontrollimise ja parameetrite hindamise statistilisi probleeme veidi erinevas sõnastuses käsitlesid G. I. Ivchenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, kus hinnanguülesanded lahendati lõpliku üldkogumi jaoks, kui selle elementide arv on tundmatu väärtus, tõestati s sõltumatute valimite mitme muutujaga S-statistika asümptootiline normaalsus selektsiooniskeemis ilma asendamiseta. Sõltumatute katsete jadades kordustega seotud juhuslike muutujate uurimise probleemi uurisid A. M. Zubkov, V. G. Mihhailov, A. M. Shoitov artiklites /6/, /7/, /32/, /33/, /34/ . Hüpoteeside hindamise ja kontrollimise põhiliste statistiliste probleemide analüüsi Markov-Poya üldmudeli raames viisid läbi G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev /13/, mille tõenäosusanalüüs on toodud /11. /. Meetod ebatõenäoliste mõõtude täpsustamiseks kombinatoorsete objektide kogumil, mis ei ole taandatav üldisele jaotusskeemile (0,2), kirjeldas GI Ivchenko, Yu. I. Medvedev /12/. Mitmele tõenäosusteooria ülesandele, mille puhul vastuse saab korduvate valemite abil tehtavate arvutuste tulemusena, osutab AM Zubkov dokumendis /5/.

Diskreetsete jaotuste entroopia ebavõrdsused saadi /50/ (tsiteeritud A. M. Zubkovi kokkuvõttest ajakirjas RZhMat). Kui (pn)^Lo on tõenäosusjaotus, oo

Pp \u003d E Rk, k \u003d tg

A = supp^Pn+i< оо (0.14) п>0 ja

F(x) = (x + 1) In (x + 1) - x In x, siis selle tõenäosusjaotuse entroopia R jaoks

00 i \u003d - 5Z Pk ^ Pk k \u003d 0, ebavõrdsused kehtivad -L 1 00 00 P

I + (In -f-) £ (Arp - Rp + 1)< F(А) < Я + £ (АРп - P„+i)(ln

L D p \u003d P -t p.4-1 ja ebavõrdsused muutuvad võrdsusteks, kui

Pn= (xf1)n+vn>Q. (0,15)

Pange tähele, et ekstreemjaotus (0,15) on geomeetriline jaotus ootusega A ja parameetri (0,14) funktsioon F(A) langeb kokku 1. teoreemi ootuse funktsiooniga.

Sarnased teesid erialal "Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika", 01.01.05 kood HAC

Skaalavaba eksponentsiaalsuse kriteeriumide asümptootiline efektiivsus 2005, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Chirina, Anna Vladimirovna

Mõned Laplace'i jaotusega seotud tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika probleemid 2010, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Lyamin, Oleg Olegovitš

Piirteoreemid tihedas kinnises ja tihedate jadaprobleemid diskreetsetes juhuslikes jadades 2009, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Mežennaja, Natalja Mihhailovna

Piirteoreemid riba lõikumiste arvu kohta juhusliku kõnni trajektooride järgi 2006, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Orlova, Nina Gennadievna

Sõltumatute juhuslike muutujate summade jaotuste normaalproksimatsiooni täpsuse hetkehinnangute struktuuri optimeerimine 2013, füüsika- ja matemaatikateaduste doktor Ševtsova, Irina Gennadievna

Doktoritöö järeldus teemal "Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika", Kolodzei, Aleksander Vladimirovitš

3.4. järeldused

Selles peatükis on eelmiste peatükkide tulemuste põhjal võimalik konstrueerida sobivuse test hüpoteeside testimiseks üldistatud jaotusskeemides kõrgeima logaritmilise konvergentsimääraga I tüüpi vigade nulltõenäosustele tüübi fikseeritud tõenäosuste korral. Ma eksin ja ei lähene alternatiive. ~"

Järeldus

Lõputöö eesmärgiks oli konstrueerida sobivuse kriteeriumid hüpoteeside kontrollimiseks valikuskeemis ilma 2 värvi kuuli sisaldavast urnist naasmata. Autor otsustas uurida statistikat sama värvi pallide vahekauguste sageduse põhjal. Selles sõnastuses taandus probleem hüpoteeside kontrollimise probleemiks sobivas üldistatud paigutuses.

Lõputöös

Uuritakse piiramatu arvu tulemustega diskreetsete jaotuste entroopia omadusi ja informatsioonilist kaugust piiratud matemaatilise ootusega;

Saadakse umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika laia statistikaklassi suurte kõrvalekallete tõenäosustele üldistatud jaotusskeemis;

Saadud tulemuste põhjal konstrueeritakse teist liiki vea fikseeritud tõenäosuse ja mittelähenevate alternatiivide jaoks kriteeriumfunktsioon, mille konvergentsi kiirus on kõrgeim esimest tüüpi vea tõenäosuse nullile;

On tõestatud, et statistikal, mis Crameri tingimust ei rahulda, on suurte kõrvalekallete tõenäosuste tõenäosus nullida väiksem kui sellist tingimust rahuldava statistikaga.

Töö teaduslik uudsus on järgmine.

Antakse üldistatud meetrika mõiste - funktsioon, mis lubab lõpmatuid väärtusi ja rahuldab identiteedi, sümmeetria ja kolmnurga ebavõrdsuse aksioome. Leitakse üldistatud mõõdik ja näidatakse hulgad, millel entroopia ja teabekauguse funktsioonid, mis on antud loendatava arvu tulemustega diskreetsete jaotuste perekonnal, on selles mõõdikus pidevad;

Üldistatud jaotusskeemis leitakse Crameri tingimuse vastavat vormi rahuldava vormi (0,4) statistika suurte hälvete tõenäosustele ligikaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika;

Üldistatud jaotusskeemis leitakse umbkaudne (kuni logaritmilise ekvivalentsuseni) asümptootika sümmeetrilise eraldatava statistika suurte kõrvalekallete tõenäosustele, mis ei rahulda Crameri tingimust;

Vormi (0,7) kriteeriumide klassis konstrueeritakse kriteeriumi indeksi suurima väärtusega kriteerium.

Töös on lahendatud rida küsimusi suurte kõrvalekallete tõenäosuste käitumise kohta üldistatud jaotusskeemides. Saadud tulemusi saab kasutada õppeprotsessis matemaatilise statistika ja infoteooria erialadel, statistiliste protseduuride uurimisel diskreetsete jadade analüüsiks ning neid kasutati /3/, /21/ ühe klassi turvalisuse põhjendamisel. infosüsteemidest.

Siiski jääb lahtiseks hulk küsimusi. Autor piirdus n osakese N rakku paigutamise üldistatud skeemide parameetrite n, N keskse muutuse tsooni käsitlemisega. Kui üldistatud jaotusskeemi (0,2) genereeriva juhuslike suuruste jaotuse kandja ei ole hulk kujul r, siis r + 1, r + 2,., ei käsitletud autori töös. Indeksi maksimaalse väärtusega pakutud funktsiooni alusel üles ehitatud kriteeriumite praktiliseks rakendamiseks on vaja uurida selle jaotust nii nullhüpoteesi kui ka alternatiivide, sealhulgas koonduvate, alusel. Samuti pakub huvi väljatöötatud meetodite ülekandmine ja saadud tulemuste üldistamine muudele tõenäosusskeemidele peale üldistatud jaotusskeemide.

Kui - binoomskeemis tulemusarvude 0 vahekauguste sagedused tulemuste tõenäosustega r0> 1 - Rho, siis saab näidata, et sel juhul

Pb = kh.t fin = kn) = I(± iki = n)(kl + --, (3.3) v=\ K\ \ . Kn\ kus

O* = Po~1(1 ~Po),v =

Punktis /26/ tõestatud z väärtuste ühisjaotuse valemi analüüsist osakeste üldistatud paigutuses järeldub, et jaotust (3.3) ei saa üldiselt esitada üldjuhul kui z väärtuste ühine jaotus osakeste mis tahes üldistatud paigutuses rakkude kaupa. See jaotus on jaotuste erijuhtum kombinatoorsete objektide hulgal, mis tutvustati /12/. Kiireloomulise ülesandena näib olevat üldistatud küljenduste lõputöö tulemuste ülekandmine käesolevasse juhtumisse, millest oli juttu /52/.

Kui tulemuste arv valiku-asendamata skeemis või polünoomilises jaotusskeemis on suurem kui kaks, siis ei saa kõrvuti asetsevate identsete tulemuste kauguste ühist sagedusjaotust enam nii lihtsalt esitada. Seni on olnud võimalik arvutada ainult matemaatilist ootust ja selliste vahemaade arvu dispersiooni /51/.

Doktoritöö uurimistöö viidete loetelu Füüsikaliste ja matemaatikateaduste kandidaat Kolodzey, Aleksander Vladimirovitš, 2006

1. V. I. Bogachev ja A. V. Kolesnikov, "Kumerorite mittelineaarsed teisendused ja Radon-Nikodimi tiheduste entroopia", Dokl. - 2004. - T. 207. - 2. - S. 155 - 159.

2. V. V. Vidyakin ja A. V. Kolodzey, "Varjatud kanalite statistiline tuvastamine andmeedastusvõrkudes", Tez. aruanne II Intern. konf. "Infosüsteemid ja tehnoloogiad IST" 2004 "(Minsk, 8-10 okt. 2004) Minsk: BGU, 2004. - Osa 1. - Lk 116 - 117.

3. I. I. Viktorova ja V. P. Tšistjakov, "Mõned tühja kasti kriteeriumi üldistused", Teor. Verojatnost. ja selle rakendamine. - 1966. - T. XI. - 2. S. 306-313.

4. A. M. Zubkov, “Rekursiivsed valemid diskreetsete juhuslike muutujate koefitsientide arvutamiseks”, Obozrenie Prikl. ja tööstus matemaatika. 1996. - T. 3. - 4. - S. 567 - 573.

5. G. A. M. Zubkov ja V. G. Mihhailov, "Pikkade kordustega seotud juhuslike muutujate piirjaotused sõltumatute katsete jadas", Teor. Veroyatnost. ja selle rakendamine. - 1974. - T. XIX. 1. - S. 173 - 181.

6. A. M. Zubkov ja V. G. Mihhailov, "S-stringide kordustest sõltumatute muutujate jadas", Teor. Veroyatnost. ja selle rakendamine - 1979. T. XXIV. - 2. - S. 267 - 273.

7. V. A. Ivanov, G. I. Ivchenko ja Yu. I. Medvedev, “Diskreetsed probleemid tõenäosusteoorias”, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. tõenäosusteooria, matemaatika. statistik, teoreetik. küber. T. 23. - M.: VINITI, 1984. S. 3 -60.

8. G. I. Ivtšenko, "Separeeritava statistika hetkedest üldises jaotusskeemis", matemaatika. märkmeid. 1986. - T. 39. - 2. - S. 284 - 293.

9. G. I. Ivchenko ja V. V. Levin, "Asümptootiline normaalsus asendusskeemis ilma asendamiseta", Teor. Veroyatnost. ja seda rakendatakse. - 1978.- T. XXIII. 1. - S. 97 - 108.

10. G. I. Ivchenko ja Yu. I. Medvedev, “Markov-Poya urniskeemist: aastast 1917 kuni tänapäevani,” Obozrenie prikl. ja tööstus matemaatika. - 1996.- T. 3. 4. - S. 484-511.

11. G. I. Ivchenko ja Yu. I. Medvedev, "Juhuslikud kombinatoorsed objektid", Dokl. 2004. - T. 396. - 2. - S. 151 - 154.

12. G. I. Ivchenko ja Yu. I. Medvedev, "Statistilised probleemid, mis on seotud diskreetsete juhuslike järjestuste genereerimise protsesside kontrolli korraldamisega", Diskretn. matemaatika. - 2000. - T. 12. - 2. S. 3 - 24.

13. G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev ja A. F. Ronzhin, "Polünoomnäidiste eraldatav statistika ja sobivustestide headus", Trudy Mat. NSVL Teaduste Akadeemia Instituut. 1986. - T. 177. - S. 60 - 74.

14. G. I. Ivchenko ja E. E. Timonina, “Hinnangust lõpliku populatsiooni hulgast valimisel”, Math. märkmeid. - 1980. - T. 28. - 4. - S. 623 - 633.

15. A. V. Kolodzei, “Suurte kõrvalekallete tõenäosuste teoreem eraldatava statistika jaoks, mis ei vasta Crameri tingimusele”, Diskretn. matemaatika. 2005. - T. 17. - 2. - S. 87 - 94.

16. A. V. Kolodzei, "Diskreetsete jaotuste entroopia ja funktsioonide suurte kõrvalekallete tõenäosus lahtrite täitmisest üldistatud jaotusskeemides", Obozrenie Prikl. ja tööstus matemaatika. - 2005. - T. 12. 2. - S. 248 - 252.

17. Kolodzey A. V. Statistilised kriteeriumid varjatud kanalite tuvastamiseks, mis põhinevad sõnumite järjekorra muutmisel // Uurimistöö "Vabandus": aruanne / FSTEC RF, juht A. V. Knyazev. Arv. 7 puitlaastplaati - M., 2004. - S. 96 - 128.

18. Kolodzey A. V., Ronzhin A. F. Mõnest juhuslike diskreetsete järjestuste homogeensuse kontrollimisega seotud statistikast // Uurimistöö "Krüptograafia matemaatiliste probleemide arendamine" N 4 2004.: Aruanne / AC RF, - M., 2004 .

19. A. V. Kolchin, "Limitteoreemid üldistatud jaotusskeemi jaoks", Diskretn. matemaatika. 2003. - T. 15. - 4. - S. 148 - 157.

20. V. F. Kolchin, "Üks klass piirteoreemid tingimuslike jaotuste jaoks", Lit. matemaatika. laup. - 1968. - T. 8. - 1. - S. 111 - 126.

21. V. F. Kolchin, Juhuslikud graafikud. 2. väljaanne - M.: FIZMATLIT, 2004. - 256s.

22. V. F. Kolchin, Juhuslikud kaardistused. - M.: Nauka, 1984. - 208s.

23. V. F. Koltšin, B. A. Sevastjanov ja V. P. Tšistjakov, Juhuslikud eraldised. M.: Nauka, 1976. - 223lk.

24. G. Kramer, Uspekhi Mat. Teadused. - 1944. - vyi. 10. - S. 166 - 178.

25. Kulbak S. Infoteooria ja statistika. - M.: Nauka, 1967. - 408s.

26. Yu. I. Medvedev, "Mõned teoreemid hii-ruutstatistika asümptootilise jaotuse kohta", Dokl. NSVL Teaduste Akadeemia. - 1970. - T. 192. 5. - S. 997 - 989.

27. Yu. I. Medvedev, Eraldatav statistika polünoomiskeemil I; II. // Teooria Prob. ja tema eeskuju. - 1977. - T. 22. - 1. - S. 3 - 17; 1977. T. 22. - 3. - S. 623 - 631.

28. V. G. Mihhailov, "Mitme pikkade kordustega seotud juhuslike muutujate piirjaotused sõltumatute katsete jadas", Teor. Veroyatnost. ja selle rakendamine. - 1974. T. 19. - 1. - S. 182 - 187.

29. V. G. Mihhailov, "Mittetäielike pikkade korduste arvu keskpiiri teoreem", Teor. Verojatnost. ja selle rakendamine. - 1975. - T. 20. 4. - S. 880 - 884.

30. V. G. Mihhailov ja A. M. Shoitov, "S-stringide struktuurne ekvivalents juhuslikes diskreetsetes järjestustes", Diskret. matemaatika. 2003. - T. 15, - 4. - S. 7 - 34.

31. Nagaev A.V. Suurte hälvete tõenäosusi arvestavad integraalpiiri teoreemid. I. // Teor. Veroyatnost. ja seda rakendatakse. -1969. T. 14. 1. - S. 51 - 63.

32. V. V. Petrov, Sõltumatute juhuslike muutujate summad. - M.: Nauka, 1972. 416s.

33. Yu. V. Prohhorov, "Juhuslike vektorite summade piirteoreemid, mille mõõde kaldub lõpmatusse", Teor. Veroyatnost. ja selle rakendamine. 1990. - T. 35. - 4. - S. 751 - 753.

34. Ronžin A.F. Üldistatud osakeste paigutusskeemide kriteeriumid // Teor. Veroyatnost. ja selle rakendamine. - 1988. - T. 33. - 1. - S. 94 - 104.

35. Ronžin A.F. Teoreem eraldatava statistika suurte hälvete tõenäosuste ja selle statistilise rakendamise kohta // Math. märkmeid. 1984. - T. 36. - 4. - S. 610 - 615.

36. I. N. Sanov, “Juhuslike suuruste suurte hälvete tõenäosustest”, Math. laup. 1957. - T. 42. - 1 (84). - S. I - 44.

37. Seneta E. Funktsioonide korrektne muutmine. M.: Nauka, 1985. - 144 lk.

38. A. N. Timashev, "Mitmemõõtmeline integraalteoreem suurte kõrvalekallete kohta võrdse tõenäosusega jaotusskeemis", Diskreta, Mat. - 1992. T. 4. - 4. - S. 74 - 81.

39. A. N. Timašev, "Multidimensionaalne lokaalse suure kõrvalekalde teoreem võrdse tõenäosusega jaotusskeemis", Diskretn. matemaatika. - 1990. T. 2. - 2. - S. 143 - 149.

40. Fedoruk M.V. Läbimise meetod. M.: Nauka, 1977. 368s.

41. Feller V. Sissejuhatus tõenäosusteooriasse ja selle rakendustesse. T. 2. - M.: Mir, 1984. 738s.

42. Shannon K. Kommunikatsiooni matemaatiline teooria // Infoteooria ja küberneetika alaseid töid: Per. inglise keelest. / M., IL, 1963, lk. 243-332.

43. Conrad K. Tõenäosuse jaotus ja maksimaalne entroopia // http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/entropypost.pdf

44. Hoeffding W. Asümptootiliselt optimaalsed testid multinomaalse jaotuse jaoks, Ann. matemaatika. statist. 1965. - T. 36. - C. 369 - 408.

45. Inglot T,. Rallenberg W. C. M., Ledwina T. Kaduv puudus ja asümptootiline suhteline efektiivsus // Ann. statist. - 2000. - T. 28. - C. 215 238.

46. Jurdas C., Pecaric J., Roki R., Sarapa N., Tõenäosuse jaotuse theentroopia ebavõrdsusest, Math. Ebavõrdne. ja App. - 2001. T. 4. - 2. - C. 209 - 214. (RZhMat. - 2005. - 05.07-13B.16).

47. Kolodzey A. V., Ronzhin A. F., Juhuslike kombinatoorsete objektide sobivustestide headus, Tez. aruanne int. konf. Kaasaegsed probleemid ja uued suundumused tõenäosusteoorias, (Tšernivtsi, 19.–26. juuni 2005) – Kiiev: Matemaatikainstituut, 2005. 1. osa. Lk 122.

48. Kullback S. ja Leibler R. A. Teabest ja piisavusest // Ann. matemaatika. statist. 1951. - T. 22. - C. 79 - 86.

49. Quine M.P., Robinson J. Hii-ruut efektiivsuse ja sobivusteste tõenäosuse suhte headus, Ann. statist. 1985. - T. 13. - 2. - C. 727 -742.

Pange tähele ülaltoodut teaduslikud tekstid postitatud läbivaatamiseks ja saadud väitekirjade originaaltekstide (OCR) tunnustamise kaudu. Sellega seoses võivad need sisaldada tuvastusalgoritmide ebatäiuslikkusega seotud vigu. Meie poolt edastatavate lõputööde ja kokkuvõtete PDF-failides selliseid vigu pole.

Definitsioon. Nullist erineva vektori poolt määratletud suunda nimetatakse asümptootiline suund teise järgu rea suhtes, kui ükskõik milline selle suuna sirgel (st paralleelsel vektoriga ) on joonega maksimaalselt üks ühine punkt või see sisaldub sellel sirgel.

? Mitu ühispunkti võib teist järku sirgel ja sirgel olla? asümptootiline suund selle liini kohta?

Teist järku ridade üldteoorias on tõestatud, et kui

Siis nullist erinev vektor ( määratleb joone asümptootilise suuna

(asümptootilise suuna üldkriteerium).

Teise järjekorra ridade jaoks

kui , siis asümptootilisi suundi pole,

kui siis on kaks asümptootilist suunda,

kui siis on ainult üks asümptootiline suund.

Järgmine lemma osutub kasulikuks ( paraboolset tüüpi joone asümptootilise suuna kriteerium).

Lemma . Laskma olema rida parabool tüüpi.

Nullist erineval vektoril on asümptootiline suund

suhteliselt . (5)

(Probleem. Tõesta lemma.)

Definitsioon. Asümptootilise suuna sirgjoont nimetatakse asümptoot teist järku read, kui see sirge kas ei ristu või sisaldub selles.

Teoreem . Kui sellel on asümptootiline suund suhtes, siis vektoriga paralleelne asümptoot määratakse võrrandiga

Täidame tabeli.

ÜLESANDED.

1. Leidke asümptootilised suunavektorid järgmistele teist järku ridadele:

4 - hüperboolne tüüp, kaks asümptootilist suunda.

Kasutame asümptootilise suuna kriteeriumi:

Omab antud joone suhtes asümptootilist suunda 4 .

Kui =0, siis =0, see tähendab null. Seejärel jagage hankimisega ruutvõrrand: , kus t = . Lahendame selle ruutvõrrandi ja leiame kaks lahendit: t = 4 ja t = 1. Siis sirge asümptootilised suunad .

(Võib kaaluda kahte võimalust, kuna joon on paraboolset tüüpi.)

2. Uurige, kas koordinaattelgedel on teist järku joonte suhtes asümptootilised suunad:

3. Kirjutage teise järku rea üldvõrrand, mille jaoks

a) abstsissteljel on asümptootiline suund;

b) Mõlemal koordinaatteljel on asümptootilised suunad;

c) koordinaattelgedel on asümptootilised suunad ja O on sirge keskpunkt.

4. Kirjutage ridade asümptootvõrrandid:

a) ng w:val="EN-US"/>y=0"> ;

5. Tõesta, et kui teist järku sirgel on kaks mitteparalleelset asümptooti, siis on nende lõikepunkt selle sirge keskpunkt.

Märge: Kuna on kaks mitteparalleelset asümptooti, on kaks asümptootilist suunda, siis , ja seetõttu on joon keskne.

Kirjutage asümptootvõrrandid üldine vaade ja süsteem keskuse leidmiseks. Kõik on ilmselge.

6.(№920) Kirjutage hüperbooli võrrand, mis läbib punkti A(0, -5) ja mille asümptoodid on x - 1 = 0 ja 2x - y + 1 = 0.

näidustus. Kasutage eelmise ülesande väidet.

Kodutöö . , nr 915 (c, e, e), nr 916 (c, d, e), nr 920 (kui teil polnud aega);

Hällid;

Silajev, Timošenko. Praktilised ülesanded geomeetria järgi,

1 semester Lk 67, küsimused 1-8, lk 70, küsimused 1-3 (suuline).

TEISE JÄRJUSE RIDA LÄBIMEETMED.

PARETUD LÄBIMEETMED.

Antakse afiinne koordinaatsüsteem.

Definitsioon. läbimõõt teist järku joon, mis on konjugeeritud vektori suhtes mitteasümptootilise suuna vektoriga, on vektoriga paralleelse sirge kõigi akordide keskpunktide kogum.

Loengul tõestati, et läbimõõt on sirge ja saadi selle võrrand

Soovitused: Näidake (ellipsil), kuidas see on konstrueeritud (seadke mitteasümptootiline suund; tõmmake [kaks] selle suuna sirgjoont, mis lõikuvad joonega; leidke äralõigatud kõõlude keskpunktid; tõmmake sirgjoon läbi keskpunktide - see on läbimõõt).

Arutage:

1. Miks on läbimõõdu definitsioonis võetud mitteasümptootilise suuna vektor. Kui nad ei oska vastata, paluge neil ehitada näiteks parabooli läbimõõt.

2. Kas mõnel teist järku real on vähemalt üks läbimõõt? Miks?

3. Loengul tõestati, et läbimõõt on sirge. Millise akordi keskpunkt on joonisel punkt M?

4. Vaadake võrrandis (7) olevaid sulgusid. Mida need meenutavad?

Järeldus: 1) iga keskpunkt kuulub igasse diameetrisse;

2) kui on tsentrite sirgjoon, siis on üks diameeter.

5. Mis on parabooljoonte läbimõõtude suund? (asümptootiline)

Tõestus (ilmselt loengus).

Olgu võrrandiga (7`) antud läbimõõt d konjugeeritud mitteasümptootilise suuna vektoriga. Siis selle suunavektor

(-(), ). Näitame, et sellel vektoril on asümptootiline suund. Kasutame parabooljoone jaoks asümptootilise suunavektori kriteeriumi (vt (5)). Asendame ja veendume (ärge unustage, et .

6. Mitu läbimõõtu on paraboolil? Nende suhteline positsioon? Mitu läbimõõtu on ülejäänud parabooljoontel? Miks?

7. Kuidas konstrueerida mõne teist järku joonepaari koguläbimõõt (vt allpool küsimusi 30, 31).

8. Täidame tabeli, teeme kindlasti joonised.

1. . Kirjutage kõigi vektoriga paralleelsete akordide keskpunktide hulga võrrand

2. Kirjutage sirge punkti K(1,-2) läbiva läbimõõdu d võrrand.

Lahenduse sammud:

1. viis.

1. Määrake tüüp (et teada saada, kuidas selle joone läbimõõdud käituvad).

Sel juhul on joon keskel, siis läbivad kõik läbimõõdud keskpunkti C.

2. Koostame kahte punkti K ja C läbiva sirge võrrandi. See on soovitud läbimõõt.

2. viis.

1. Kirjutame läbimõõdu d võrrandi kujul (7`).

2. Asendades selles võrrandis punkti K koordinaadid, leiame seose vektori konjugaadi koordinaatide ja läbimõõduga d vahel.

3. Seadistame selle vektori, võttes arvesse leitud sõltuvust, ja koostame läbimõõdu d võrrandi.

Selles ülesandes on lihtsam arvutada teisel viisil.

3. . Kirjutage x-teljega paralleelse läbimõõdu võrrand.

4. Leia joonega ära lõigatud akordi keskkoht

real x + 3y – 12 =0.

Ettepanek otsuse tegemiseks: Loomulikult võite leida antud sirge ja sirge lõikepunktid ning seejärel - saadud lõigu keskkoha. Soov seda teha kaob, kui võtame näiteks sirge võrrandiga x + 3y – 2009 = 0.

Programmide täitmisaja asümptootiline tähistus. Alumine, ülemine, asümptootiliselt täpsed hinnangud

Piiratud ootusega diskreetsete jaotuste entroopia

Kullback-Leibler-Sanovi teabekauguse järjepidevus

Eraldatava statistika teabekaugus ja suurte kõrvalekallete tõenäosus

Üldiste paigutuste lahtrite arvul põhinevad kriteeriumid

"asümptootiliselt optimaalne" raamatutes

Optimaalne visuaalne kontrast (OVC)

Mis on optimaalne skaala?

8.4.2. Optimaalne kasvutee

Parim variant

PARIM VARIANT

Optimaalne

Optimaalne järjekord

Inimene on optimaalne

Parim variant

Parim variant

Optimaalne kontroll

Optimaalne viis

Optimaalne lähenemine

Parim variant

Optimaalne kontroll

Soovitatav lõputööde loetelu

Jaotuste iseloomustusomadustel põhinevate sobivuse testide asümptootiline efektiivsus 2011, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Volkova, Ksenia Jurjevna

Suured kõrvalekalded ja piirteoreemid mõne juhusliku kõnni funktsionaali puhul 2011, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Škljajev, Aleksander Viktorovitš

Juhusliku kõnni sammude piirteoreemid ja suured kõrvalekalded 2004, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Kozlov, Andrei Mihhailovitš

Sobivuse testide ja astmeseaduse lahknemise mõõtmete hii-ruutjaotuse statistika konvergentsi kiiruse kohta 2010, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Zubov, Vassili Nikolajevitš

Ruumiasümptootiliselt homogeensete ergoodiliste Markovi ahelate suurte kõrvalekallete tõenäosus 2004, füüsika- ja matemaatikateaduste doktor Koršunov, Dmitri Aleksejevitš

Sissejuhatus lõputöösse (osa referaadist) teemal "Sobivuskriteeriumide asümptootilised omadused hüpoteeside testimiseks valikuskeemis ilma asendamiseta, lahtrite täitmisel põhinevas üldistatud jaotusskeemis"

Sarnased teesid erialal "Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika", 01.01.05 kood HAC

Skaalavaba eksponentsiaalsuse kriteeriumide asümptootiline efektiivsus 2005, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Chirina, Anna Vladimirovna

Mõned Laplace'i jaotusega seotud tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika probleemid 2010, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Lyamin, Oleg Olegovitš

Piirteoreemid tihedas kinnises ja tihedate jadaprobleemid diskreetsetes juhuslikes jadades 2009, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Mežennaja, Natalja Mihhailovna

Piirteoreemid riba lõikumiste arvu kohta juhusliku kõnni trajektooride järgi 2006, füüsika- ja matemaatikateaduste kandidaat Orlova, Nina Gennadievna

Sõltumatute juhuslike muutujate summade jaotuste normaalproksimatsiooni täpsuse hetkehinnangute struktuuri optimeerimine 2013, füüsika- ja matemaatikateaduste doktor Ševtsova, Irina Gennadievna

Doktoritöö järeldus teemal "Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika", Kolodzei, Aleksander Vladimirovitš

Doktoritöö uurimistöö viidete loetelu Füüsikaliste ja matemaatikateaduste kandidaat Kolodzey, Aleksander Vladimirovitš, 2006

Teid võib huvitada:

Kategooriad

Viimased artiklid

Reklaam