Բրաունի բանաձևով շարունակվող կոտորակների հաշվարկի ամփոփում. Շարունակվող կոտորակներ

ՇԱՐՈՒՆԱԿՎԱԾ ԿՈՏՈՐԱԿԱՆՆԵՐ.Հաջորդականությունը, որի յուրաքանչյուր անդամ ընդհանուր կոտորակ է, առաջացնում է շարունակական (կամ շարունակվող) կոտորակ, եթե դրա երկրորդ անդամը գումարվում է առաջինին, և յուրաքանչյուր կոտորակ, սկսած երրորդից, ավելանում է նախորդ կոտորակի հայտարարին:

Օրինակ, հաջորդականությունը 1, 1/2, 2/3, 3/4,..., n/(n+ 1),... առաջացնում է շարունակվող կոտորակը

որտեղ էլիպսիսը վերջում ցույց է տալիս, որ գործընթացը շարունակվում է անորոշ ժամանակով: Իր հերթին շարունակվող կոտորակը առաջացնում է կոտորակների ևս մեկ հաջորդականություն, որը կոչվում է կոնվերգենտներ: Մեր օրինակում առաջին, երկրորդ, երրորդ և չորրորդ կոնվերգենտներն են

Նրանք կարող են կառուցվել ըստ պարզ կանոն 1, 1/2, 2/3, 3/4, ոչ լրիվ քանորդների հաջորդականությունից... Նախ դուրս ենք գրում առաջին և երկրորդ կոնվերգենտները 1/1 և 3/2: Երրորդ տեղավորումը հավասար է (2P 1 + 3P 3) / (2P 1 + 3P 2) կամ 11/8, դրա համարիչը հավասար է առաջին և երկրորդ տեղավորվող կոտորակների համարիչների գումարին, համապատասխանաբար, բազմապատկած։ երրորդ թերի քանորդի համարիչով և հայտարարով, իսկ հայտարարը հավասար է առաջին և երկրորդ թերի քանորդի հայտարարների գումարին, համապատասխանաբար բազմապատկելով երրորդ թերի քանորդի համարիչով և հայտարարով: Չորրորդ հարմար կոտորակը նմանապես ստացվում է չորրորդ մասնակի 3/4-ից և երկրորդ և երրորդ հարմար կոտորակներից՝ (3P 3 + 4P 11) / (3P 2 + 4P 8) կամ 53/38: Հետևելով այս կանոնին՝ մենք գտնում ենք առաջին յոթ հարմար կոտորակները՝ 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 և 16687/11986: Գրենք դրանք որպես տասնորդական կոտորակներ (վեց տասնորդական թվերով). 1.000000; 1,500000; 1.375000; 1.397368; 1.391892; 1.392247 և 1.392208: Մեր շարունակվող կոտորակի արժեքը կլինի թիվը x, որի առաջատար թվերն են 1,3922։ Կիրառելի կոտորակները թվի լավագույն մոտարկումն են x. Ընդ որում, դրանք հերթափոխով ավելի քիչ են ստացվում, հետո ավելի շատ x(կենտ - ավելին x, իսկ զույգ թվերն ավելի փոքր են):

Երկու դրական ամբողջ թվերի հարաբերակցությունը որպես վերջավոր շարունակական կոտորակ ներկայացնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել ամենամեծը գտնելու մեթոդը. ընդհանուր բաժանարար. Օրինակ, վերցրեք 50/11 հարաբերակցությունը: Քանի որ 50 = 4×11 + 6 կամ 11/50 = 1/(4 + 6/11), և նմանապես, 6/11 = 1/(1 + 5/6) կամ 5/6 = 1/(1 + 1) /5), մենք ստանում ենք.

Շարունակվող կոտորակները օգտագործվում են իռացիոնալ թվերը ռացիոնալ թվերի հետ մոտավորելու համար: Եկեք այդպես ձևացնենք x- իռացիոնալ թիվ (այսինքն, այն չի կարող ներկայացվել որպես երկու ամբողջ թվերի հարաբերակցություն): Հետո եթե n 0-ը ամենամեծ ամբողջ թիվն է, որը փոքր է x, Դա x = n 0 + (x – n 0), որտեղ x – n 0-ը 1-ից փոքր դրական թիվ է, ուստի այն փոխադարձ է x 1-ը մեծ է 1-ից և x = n 0 + 1/x 1 . Եթե n 1-ը ամենամեծ ամբողջ թիվն է, քան x 1, ապա x 1 = n 1 + (x 1 – n 1), որտեղ x 1 – n 1-ը դրական թիվ է, որը փոքր է 1-ից, հետևաբար դրա փոխադարձ թիվը x 2-ը մեծ է 1-ից, և x 1 = n 1 + 1/x 2. Եթե n 2-ը ամենամեծ ամբողջ թիվն է, որը փոքր է x 2, ապա x 2 = n 2 + 1/x 3, որտեղ x 3-ը մեծ է 1-ից և այլն: Արդյունքում մենք քայլ առ քայլ գտնում ենք ոչ լրիվ քանորդների հաջորդականություն n 0 , 1/n 1 , 1/n 2 ,... շարունակական կոտորակ, որոնք մոտավորություններ են x.

Ասվածը բացատրենք օրինակով։ Ենթադրենք, որ այն ժամանակ

Առաջին 6 համընկնող կոտորակներն են 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70: Գրված տասնորդական կոտորակների տեսքով՝ դրանք տալիս են հետևյալ մոտավոր արժեքները՝ 1000; 1500; 1400; 1.417; 1,4137; 1.41428. Համար շարունակվող կոտորակը ունի 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1,... մասնակի քանորդներ... Իռացիոնալ թիվը ամբողջ թվով գործակիցներով քառակուսի հավասարման արմատն է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրա մասնակի մասնակի ընդարձակումները շարունակվող կոտորակի մեջ պարբերական են:

Շարունակվող կոտորակները սերտորեն կապված են մաթեմատիկայի բազմաթիվ ոլորտների հետ, ինչպիսիք են ֆունկցիաների տեսությունը, դիվերգենտ շարքերը, պահերի խնդիրը, դիֆերենցիալ հավասարումները և անվերջ մատրիցները։ Եթե xսուր անկյան ճառագայթային չափումն է, այնուհետև անկյան շոշափողը x x/1, - x 2 /3, - x 2 /7, - x 2/9, ..., և եթե xդրական թիվ է, ապա 1 + բնական լոգարիթմը xհավասար է 0 մասնակի քանորդներով շարունակվող կոտորակի արժեքին, x/1, 1 2 x/2, 1 2 x/3, 2 2 x/4, 2 2 x/5, 3 2 x/6,... . Դիֆերենցիալ հավասարման ֆորմալ լուծումը x 2 դի/dx+y = 1 + xհզորության շարքի տեսքով դիվերգենտ հզորության շարքն է 1 + x – 1!x 2 + 2!x 3 – 3!x 4 + .... Այս հզորության շարքը կարող է վերածվել շարունակական կոտորակի՝ մասնակի քանորդներով 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1,... և օգտագործիր այն իր հերթին դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը ստանալու համար x 2 դի/dx + y = 1 + x.

ՇԱՐՈՒՆԱԿՎԱԾ ԿՈՏՈՐԱԿԱՆՆԵՐ

Հաջորդականությունը, որի յուրաքանչյուր անդամ ընդհանուր կոտորակ է, առաջացնում է շարունակական (կամ շարունակվող) կոտորակ, եթե դրա երկրորդ անդամը գումարվում է առաջինին, և յուրաքանչյուր կոտորակ, սկսած երրորդից, ավելանում է նախորդ կոտորակի հայտարարին: Օրինակ՝ 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... հաջորդականությունը առաջացնում է շարունակվող կոտորակը

Դրանք կարելի է կառուցել պարզ կանոնով 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... թերի քանորդների հաջորդականությունից: Առաջին հերթին մենք դուրս ենք գրում առաջին և երկրորդ կոնվերգենտները 1/1 և 3/2: Երրորդ հարմար կոտորակը հավասար է (2?1 + 3?3) / (2?1 + 3?2) կամ 11/8-ի, նրա համարիչը հավասար է առաջին և երկրորդ հարմար համարիչների արտադրյալների գումարին։ կոտորակները՝ բազմապատկելով համապատասխանաբար երրորդ մասնակի քանորդի համարիչով և հայտարարով, և հայտարարը հավասար է առաջին և երկրորդ թերի քանորդի հայտարարների արտադրյալների գումարին՝ բազմապատկելով երրորդ մասնակի քանորդի համարիչով և հայտարարով, համապատասխանաբար. Չորրորդ կոնվերգենտը նմանապես ստացվում է չորրորդ մասնակի 3/4-ից և երկրորդ և երրորդ կոնվերգենտներից՝ (3?3 + 4?11)/(3?2 + 4?8) կամ 53/38: Հետևելով այս կանոնին՝ մենք գտնում ենք առաջին յոթ հարմար կոտորակները՝ 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 և 16687/11986: Գրենք դրանք որպես տասնորդական կոտորակներ (վեց տասնորդական թվերով). 1.000000; 1,500000; 1.375000; 1.397368; 1.391892; 1.392247 և 1.392208: Մեր շարունակվող կոտորակի արժեքը կլինի x թիվը, որի առաջին թվերն են 1,3922: Համապատասխան կոտորակները x-ի լավագույն մոտարկումն են: Ավելին, դրանք հերթափոխով պարզվում են, որ կամ պակաս են կամ ավելի x թվից (կենտ՝ x-ից ավելի, իսկ զույգ՝ պակաս):

Երկու դրական ամբողջ թվերի հարաբերությունը որպես վերջավոր շարունակական կոտորակ ներկայացնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու մեթոդը: Օրինակ, վերցրեք 50/11 հարաբերակցությունը: Քանի որ 50 = 4?11 + 6 կամ 11/50 = 1/(4 + 6/11), և նմանապես, 6/11 = 1/(1 + 5/6) կամ 5/6 = 1/(1 + 1) /5), մենք ստանում ենք.

Շարունակվող կոտորակները օգտագործվում են իռացիոնալ թվերը ռացիոնալ թվերի հետ մոտավորելու համար: Ենթադրենք, որ x-ը իռացիոնալ թիվ է (այսինքն, այն չի կարող ներկայացվել որպես երկու ամբողջ թվերի հարաբերակցություն): Այդ դեպքում, եթե n0-ն ամենամեծ ամբողջ թիվն է, որը փոքր է x-ից, ապա x = n0 + (x - n0), որտեղ x - n0 դրական թիվ է 1-ից փոքր, ուստի x1-ի փոխադարձը մեծ է 1-ից և x = n0 + 1/ x1. Եթե n1-ը ամենամեծ ամբողջ թիվն է, որը փոքր է x1-ից, ապա x1 = n1 + (x1 - n1), որտեղ x1 - n1 դրական թիվ է, որը փոքր է 1-ից, ուստի x2-ի փոխադարձությունը մեծ է 1-ից, և x1 = n1 + 1: /x2. Եթե n2-ը x2-ից փոքր ամենամեծ ամբողջ թիվն է, ապա x2 = n2 + 1/x3 որտեղ x3-ը մեծ է 1-ից և այլն: Արդյունքում մենք քայլ առ քայլ գտնում ենք շարունակվող կոտորակի n0, 1/n1, 1/n2, ... մասնակի գործակիցների հաջորդականությունը, որոնք x-ի մոտավորություններ են:

Ասվածը բացատրենք օրինակով։ Ենթադրենք, ապա

Առաջին 6 համընկնող կոտորակներն են 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70: Գրված տասնորդականների տեսքով՝ դրանք տալիս են հետևյալ մոտավոր արժեքները՝ 1000; 1500; 1400; 1.417; 1,4137; 1.41428. For շարունակվող կոտորակն ունի 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... մասնակի քանորդներ: Իռացիոնալ թիվը ամբողջ թվային գործակիցներով քառակուսի հավասարման արմատն է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրա մասնակի ընդլայնումները շարունակական կոտորակների մեջ պարբերական են:

Շարունակվող կոտորակները սերտորեն կապված են մաթեմատիկայի բազմաթիվ ոլորտների հետ, ինչպիսիք են ֆունկցիաների տեսությունը, դիվերգենտ շարքերը, պահերի խնդիրը, դիֆերենցիալ հավասարումները և անվերջ մատրիցները։ Եթե x-ը սուր անկյան ճառագայթային չափումն է, ապա x անկյան շոշափողը հավասար է 0, x/1, ?x2/3, ?x2/7, ?x2/9 մասնակի քանորդներով շարունակվող կոտորակի արժեքին: , ..., և եթե x-ը դրական թիվ է, ապա 1 + x-ի բնական լոգարիթմը հավասար է 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4 մասնակի քանորդներով շարունակվող կոտորակի արժեքին։ , 22x/5, 32x/6, ... . Հզորության շարքի տեսքով x2dy/dx + y = 1 + x դիֆերենցիալ հավասարման ձևական լուծումը 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... դիվերգենտ հզորության շարքն է: Այս հզորության շարքը կարող է փոխարկվել շարունակական կոտորակի՝ 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ... թերի քանորդներով, և դա իր հերթին կարող է օգտագործվել։ լուծման դիֆերենցիալ հավասարում ստանալու համար x2dy/dx + y = 1 + x.

Կոլիեր. Collier's Dictionary. 2012

Տես նաև մեկնաբանությունները, հոմանիշները, բառերի իմաստները և ինչ են ՇԱՐՈՒՆԱԿԱԿԱՆ ԿՈՏԱԿՆԵՐԸ ռուսերեն լեզվով բառարաններում, հանրագիտարաններում և տեղեկատու գրքերում.

ՄԱՍ
Եթե որոշ a ամբողջ թիվ բաժանվում է մեկ այլ ամբողջ թվի b, այսինքն՝ որոնվում է x թիվ, որը բավարարում է bx=a պայմանը, ապա ...
ԿԱՈՒԱՅ ԿՂԶԻ Հրաշքների ձեռնարկում, անսովոր երևույթներ, ՉԹՕ և ավելին.
Երկրի ամենախոնավ վայրը, որը գտնվում է Հավայան արշիպելագում խաղաղ Օվկիանոսորտեղ գրեթե անընդհատ անձրև է գալիս: Միջին տարեկան գումարը...
STALKER (MOVIE) Վիքի Մեջբերում.
ՌՈՒՍԱՍՏԱՆ, ԴԻՎ. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ Համառոտ կենսագրական հանրագիտարանում.
Գրավոր հուշարձանների դարաշրջանը Ռուսաստանում գտնում է տասնորդական թվերի համակարգի օգտագործումը 1 - 10000 (մթություն) և երկուական համակարգի ֆրակցիաների սահմաններում ...
ՄԱՍ Մեծ Հանրագիտարանային բառարանում.
ՅԱԿՈԲԵԱՆ
ֆունկցիոնալ որոշիչ -aik-1n տարրերով, որտեղ yi fi (X1 , ... , Xn), l £ i £ ...
ՖՈՒՆԿՑԻՈՆԱԼ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ (ՄԱԹԵՄԱՏ.) Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
վերլուծություն, ժամանակակից մաթեմատիկայի մաս, որի հիմնական խնդիրն է անվերջ չափերի տարածությունների և դրանց քարտեզագրումների ուսումնասիրությունը։ Առավել ուսումնասիրված են գծային տարածությունները և գծային ...
ՖՈՒՆԿՑԻՈՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
հավասարումներ, շատ ընդհանուր դասհավասարումներ, որոնցում ցանկալի է ինչ-որ ֆունկցիա: Ֆ.-ին ժամը. ըստ էության վերաբերում են դիֆերենցիալ հավասարումներին, ...
ԷՆԵՐԳԵՏԻԿ ՄԱԿԱՐԴԱԿՆԵՐ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
էներգիաներ, քվանտային համակարգերի էներգիայի հնարավոր արժեքներ, այսինքն՝ միկրոմասնիկներից (էլեկտրոններ, պրոտոններ և այլն) բաղկացած համակարգեր։ տարրական մասնիկներ, ատոմային միջուկներ, ...
ՏՈՊՈԼՈԳԻԱ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
(հունարեն topos - տեղ և - տրամաբանություն) - երկրաչափության մի մաս, որը նվիրված է շարունակականության երևույթի ուսումնասիրությանը (արտահայտված, օրինակ, հասկացության մեջ ...
ՈՉ ՀԱՎԱՍԱՐԱԿԱԿԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՆԵՐԻ ԹԵՐՄՈԴԻՆԱՄԻԿԱ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
ոչ հավասարակշռված պրոցեսներ, ոչ հավասարակշռված պրոցեսների մակրոսկոպիկ նկարագրության ընդհանուր տեսություն։ Այն նաև կոչվում է ոչ հավասարակշռված թերմոդինամիկա կամ անշրջելի պրոցեսների թերմոդինամիկա։ Դասական թերմոդինամիկա...
ՋԵՐՄԱՓՈՒՌ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
վառարան, արդյունաբերական վառարան մետաղական արտադրատեսակների ջերմային կամ քիմիական-ջերմային մշակման տարբեր գործողություններ կատարելու համար։ T. p. դասակարգվում են ըստ աշխատանքի մեթոդի. պարբերական ...
ԽՍՀՄ. ՏԵԽՆԻԿԱԿԱՆ ԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
Գիտություն Ավիացիոն գիտություն և տեխնիկա Նախահեղափոխական Ռուսաստանում կառուցվել են օրիգինալ դիզայնի մի շարք ինքնաթիռներ։ Նրանց ինքնաթիռները ստեղծվել են (1909-1914) Յա.
ՌԱՑԻՈՆԱԼ ՖՈՒՆԿՑԻԱ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
ֆունկցիա, ֆունկցիա, որը ստացվում է x փոփոխականի և կամայական թվերի վրա կատարվող վերջավոր թվով թվաբանական գործողություններից (գումարում, բազմապատկում և բաժանում)։ Ռ.…
ԳԼՈՂԱԿԱՑՈՒՄ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
ջրաղաց, պտտվող գլանափաթեթների միջև մետաղ և այլ նյութեր ձևավորելու մեքենա, այսինքն՝ գլանման գործընթացն իրականացնելու համար, ...
ՊՈԼԻՄԵՐՆԵՐ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
(հունական պոլիմերներից - բաղկացած բազմաթիվ մասերից, բազմազան), բարձր մոլեկուլային քաշով քիմիական միացություններ (մի քանի հազարից մինչև շատ ...
ՊԱՐԲԵՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿԱՆ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
կոտորակ, անվերջ տասնորդական կոտորակ, որում որոշակի տեղից սկսած լինում է միայն պարբերաբար կրկնվող թվանշանների որոշակի խումբ։ Օրինակ՝ 1.3181818...; Կարճ ասած…
ՇԱՐՈՒՆԱԿՎԱԾ ԿՈՏՈՐԱԿԱՆ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
կոտորակ, շարունակական կոտորակ, թվերի և ֆունկցիաների ներկայացման կարևորագույն ձևերից մեկը։ N. d.-ն այն ձևի արտահայտությունն է, որտեղ 0 - ...
ՇԱՐՈՒՆԱԿԱԿԱՆ ԽՈՒՄԲ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
խումբ, մաթեմատիկական հասկացություն, ինչպես սովորական խմբի հասկացությունը, որն առաջանում է փոխակերպումները դիտարկելիս։ Թող M լինի որոշ տարրերի x տարրերի բազմություն:
ՄԱՐՈԿՈ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
Մարոկկոյի թագավորություն (արաբերեն - Al-Mamlaka al-Maghribiya, կամ Maghreb al-Aqsa, բառացիորեն - Հեռավոր Արևմուտք): Ի. Ընդհանուր տեղեկությունՄ.-ն պետության վրա ...
ԳԻԾ (երկրաչափական հայեցակարգ) Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
(լատ. linea-ից), երկրաչափական հասկացություն, որի ճշգրիտ և միևնույն ժամանակ բավականին ընդհանուր սահմանումը էական դժվարություններ է ներկայացնում և իրականացվում է ...
ՔԱՆԱԿ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
կատեգորիա, որն արտահայտում է առարկաների կամ դրանց մասերի արտաքին, ֆորմալ հարաբերությունները, ինչպես նաև հատկությունները, կապերը՝ դրանց չափը, թիվը, դրսևորման աստիճանը կամ ...
ԿԻԲԵՐՆԵՏԻԿԱ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
(հունարեն kybernetike-ից՝ կառավարման արվեստ, kybernao-ից՝ քշում եմ, կառավարում եմ), գիտություն կառավարման, հաղորդակցության և տեղեկատվության մշակման մասին։ …
ՈՍԿԻ ՀԱՄԱՁԱՅՐԵՐ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
համաձուլվածքներ, համաձուլվածքներ, որոնց կարևորագույն բաղադրիչը ոսկին է (Au): Au-ի միաձուլումը այլ մետաղների (լիգատուրաների) հետ նպատակ ունի բարձրացնել ուժը ...
ԲԼԻՆԿ ՋԱՌԱՑ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
ջրաղաց, գլանման գործարան, որը նախատեսված է ծաղկման կամ ձուլակտորների գլանման համար քառակուսի կամ կլոր հատվածհետագա մշակման համար...
ԿՐԱԿՈՎ ՀՈՐԱՏՈՒՄ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
հորատում, պտտվող հորատման տեսակ՝ որպես հղկող նյութ օգտագործելով կրակոց։ Առաջարկվել է ԱՄՆ-ում 1899 թվականին հորեր հորատելու համար…
ԻՐԱԿԱՆ ԹԻՎ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
թիվ, իրական թիվ, ցանկացած դրական թիվ, բացասական թիվ կամ զրո: Դ.ժամերը բաժանվում են ռացիոնալ և իռացիոնալ: Առաջինը ներկայացված է որպես...
ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ Մեծ խորհրդային հանրագիտարանում, TSB.
(հունարեն geometria, ge - Երկիր և metreo - ես չափում եմ), մաթեմատիկայի ճյուղ, որն ուսումնասիրում է տարածական հարաբերություններն ու ձևերը, ինչպես նաև այլ ...
Արգելակ
ՁԵՌՔԻ ՀՐԱԶԵՆ Բրոքհաուսի և Էուֆրոնի հանրագիտարանային բառարանում.
Այն բնութագրվում է նրանով, որ մարտական օգտագործման համար պահանջվում է միայն մեկ մարդու ջանքեր։ Դրա նախատիպը (XIII, XIV դդ.) ձեռքի ռմբակոծումն է (bomba ...
ՌՈՒՍԱՍՏԱՆ. ՌՈՒՍ ԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆ՝ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ Բրոքհաուսի և Էուֆրոնի հանրագիտարանային բառարանում.
Գրավոր հուշարձանների դարաշրջանը Ռուսաստանում գտնում է տասնորդական թվերի համակարգի օգտագործումը 1-10000 (մթություն) և երկուական համակարգի կոտորակների, ինչպես նաև ...
ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ Բրոքհաուսի և Էուֆրոնի հանրագիտարանային բառարանում։
ՈՐՍՈՐՍԱԿԱՆ ԱՌԱՆՑԸ ՏԵՍԵԼՈՎ Բրոքհաուսի և Էուֆրոնի հանրագիտարանային բառարանում.
խնդիր ունի ինչպես ուսումնասիրել դրա մարտական գործողությունը, այնպես էլ տարբեր կրակոցների թվերով որոշել մարտերի ճշգրտության, սրության և տիրույթի սահմանները։ Բոլորի կռիվը...
ԲՈՒՅՍԵՐԻ ՕՐԳԱՆՆԵՐԻ ՇԱՐԺՈՒՄ Բրոքհաուսի և Էուֆրոնի հանրագիտարանային բառարանում։
ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ Բրոքհաուսի և Էուֆրոնի հանրագիտարանային բառարանում.
«Մաթեմատիկա» բառը գալիս է հունարենից (գիտություն, ուսուցում), իր հերթին, այն, ինչ տեղի է ունենում, նույն իմաստն ունեցող բառի հետ միասին ...
ՈՍԿՈՐՆԵՐ Բրոքհաուսի և Էուֆրոնի հանրագիտարանային բառարանում.
պինդ մասեր, որոնց միացումը կազմում է ողնաշարավորների մարմնի կմախքը կամ կմախքը և որոնք բնութագրվում են բարձր կարծրությամբ, հանքանյութերի զգալի պարունակությամբ և ...
ՀՐԱՁԱՅՆ ԿԱԴՐ Բրոքհաուսի և Էուֆրոնի հանրագիտարանային բառարանում։
ԹՎԱՅԻՆ Ռուսական մեծ հանրագիտարանային բառարանում.
ԹՎԱՅԻՆ ՀԵՌՈՒՍՏԱՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ, հեռուստատեսային հեռարձակման համակարգ, որում հեռուստացույցները ժամանակի ընթացքում շարունակական են։ Հաղորդման ընթացքում ազդանշանները վերածվում են դիսկրետների և փոխանցվում ...
Արգելակ*
ՁԵՌՔԻ ՀՐԱԶԵՆ *
? Այն բնութագրվում է նրանով, որ մարտական օգտագործման համար պահանջվում է միայն մեկ մարդու ջանքեր։ Դրա նախատիպը (XIII, XIV դդ.) ձեռքով ռմբակոծել...
ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ* Բրոքհաուսի և Էֆրոնի հանրագիտարանում։
ՈՐՍՈՐՍԱԿԱՆ ԱՌԱՆՑԸ ՏԵՍԵԼՈՎ Բրոքհաուսի և Էֆրոնի հանրագիտարանում.
? խնդիր ունի ինչպես ուսումնասիրել դրա մարտական գործողությունը, այնպես էլ տարբեր կրակոցների թվերով որոշել մարտերի ճշգրտության, սրության և տիրույթի սահմանները։ Ճակատամարտը…
ԲՈՒՅՍԻ ՕՐԳԱՆՆԵՐԻ ՇԱՐԺՈՒՄԸ* Բրոքհաուսի և Էֆրոնի հանրագիտարանում։
Ալյուրի արտադրություն* Բրոքհաուսի և Էֆրոնի հանրագիտարանում։
ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ Բրոքհաուսի և Էֆրոնի հանրագիտարանում.
? «Մաթեմատիկա» բառը գալիս է հունարենից (գիտություն, ուսուցում), իր հերթին, այն, ինչ տեղի է ունենում, նույն իմաստով հանդերձ ...
ՈՍԿՈՐՆԵՐ Բրոքհաուսի և Էֆրոնի հանրագիտարանում.
? կոշտ մասեր, որոնց միացումը կազմում է ողնաշարավորների մարմնի կմախքը կամ կմախքը և որոնք բնութագրվում են բարձր կարծրությամբ, հանքանյութերի զգալի պարունակությամբ...
ԹՎԵՐ ԵՎ ԹՎԱԿԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ՝ ԹՎԱԿԱՆ ՆՇԱՆԱԿՈՒՄՆԵՐ Collier's Dictionary-ում.
ԹՎԵՐ ԵՎ ԹՎԱԿԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ Հին Եգիպտոս հոդվածին. Առաջին դինաստիայի օրոք Եգիպտոսում ստեղծված թվային համակարգի վերծանում (մոտ 2850 ...
ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ՝ ԻՐԱԿԱՆ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ Collier's Dictionary-ում.
Վերադառնալ հոդված ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ Տարրական վերլուծության մեջ օգտագործվող ֆունկցիաները սահմանվում են բանաձևերով։ Նրանց գրաֆիկները սովորաբար կարելի է նկարել առանց մատիտը բարձրացնելու…
ՓԱՅՏ՝ ՓԱՅՏԻ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԵՐ Collier's Dictionary-ում.
ԾԱՌ Հոդվածի համար Ծառերը, բացառությամբ ծառերի պտերերի, սերմնաբույսեր են, որոնք բաղկացած են արմատներից, ցողունից, տերևներից և վերարտադրողական (սեռական) օրգաններից, ...

ՊԵԼԼԵՏ Ամբողջական ընդգծված պարադիգմում՝ ըստ Զալիզնյակի.
կոտորակներ «nka, կոտորակներ» nkoy, կոտորակներ «nkoy, կոտորակներ» nok, կոտորակներ «nke, կոտորակներ» nkam, կոտորակներ «nku, կոտորակներ» nka, կոտորակներ «nkoy, կոտորակներ» nkoyu, կոտորակներ «nkami, կոտորակներ»: .
ԴՐՈԲԻՆԱ Ամբողջական ընդգծված պարադիգմում՝ ըստ Զալիզնյակի.
կոտորակներ «վրա, կոտորակներ» մեզ, կոտորակներ «մեզ, կոտորակներ» n, կոտորակներ «ոչ, կոտորակներ» մեզ, կոտորակներ «լավ, կոտորակներ» մեզ, կոտորակներ «նոյ, կոտորակներ» նոյ, կոտորակներ «մեզ, կոտորակներ» ոչ, . .
ՄԱՂԱՑՈՂ Ամբողջական ընդգծված պարադիգմում՝ ըստ Զալիզնյակի.
կոտորակներ «shchik, կոտորակներ» shchiki, կոտորակներ «shchik, կոտորակներ» shchika, կոտորակներ «shchik, կոտորակներ» shchikov, կոտորակներ «shchik, կոտորակներ» shchika, կոտորակներ «shchik», կոտորակներ «shchiki, կոտորակային, ...»
ՓԱՇՏՈՂ Ամբողջական ընդգծված պարադիգմում՝ ըստ Զալիզնյակի.
կտավատի ֆրակցիա, կտավատի կոտորակ, կտավատի կոտորակ, կտավատի ֆրակցիա, կտավատի ֆրակցիա, կտավատի ֆրակցիա, կտավատի ֆրակցիա, կտավատի կոտորակ, կտավատի ֆրակցիա, կտավատի ֆրակցիա, կտավատի ֆրակցիա, կտավատի կոտորակ, կտավատի կոտորակ, կտավատի կոտորակ, կտավատի կոտորակ, կտավատի կոտորակ , կոտորակ» կտավատ, կոտորակ «կտավատ, ...
ՋԱԴՐԻՉ Ամբողջական ընդգծված պարադիգմում՝ ըստ Զալիզնյակի.
կոտորակներ «լո, կոտորակներ» լա, կոտորակներ «լա, կոտորակներ» լ, կոտորակներ «լու, կոտորակներ» լամ, կոտորակներ «լո, կոտորակներ» լա, կոտորակներ «գրություն», կոտորակներ «լամի, կոտորակներ» լե, ...
ՋԱԴՐԻՉ Ամբողջական ընդգծված պարադիգմում՝ ըստ Զալիզնյակի.
կոտորակներ «լկա, կոտորակներ» lka, կոտորակներ «լկա, կոտորակներ» lok, կոտորակներ «լք, կոտորակներ» lk, կոտորակներ «lk, կոտորակներ» lk, կոտորակներ «lk, կոտորակներ» lk, կոտորակներ «lk, կոտորակներ» lk, .. .
ՄԱՍ Ժամանակակից բացատրական բառարանում, TSB.
թվաբանության մեջ՝ թվ, որը կազմված է մեկի կոտորակների ամբողջ թվից։ Կոտորակն արտահայտվում է որպես երկու ամբողջ թվի հարաբերակցություն m/n, որտեղ n-ը ...
ՇԱՐՈՒՆԱԿԱԿԱՆ Վ բացատրական բառարանՌուսաց լեզու Ուշակով.
շարունակական, շարունակական; շարունակական, շարունակական, շարունակական։ 1. Չունենալով ընդմիջումներ, բացեր, ձգվելով շարունակական շարքով, գծով։ Շարունակական շղթա. Շարունակական շարք. Շարունակական հոսք: …

Պլանավորում:

1 Կոտորակի շարունակական ընդլայնումը
2 Հարմար կոտորակներ
3 Իրական թվերի մոտարկումը ռացիոնալ թվերով
- 3.1 Օրինակներ
4 Հատկություններ և օրինակներ
5 Շարունակվող կոտորակների կիրառությունները
- 5.1 օրացույցի տեսություն
- 5.2 Առաջին աստիճանի համեմատությունների լուծում
- 5.3 Այլ հավելվածներ
  - 5.3.1 Ոսկե հատվածի հատկությունները
6 Պատմական անդրադարձ
7 Մոտիվացիա

Ներածություն

շղթայական կրակոց(կամ շարունակվող կոտորակ) ձևի մաթեմատիկական արտահայտությունն է

Որտեղ ա 0-ն ամբողջ թիվ է և մնացած ամեն ինչ ա nբնական թվեր (այսինքն՝ ոչ բացասական ամբողջ թվեր)։ Ցանկացած իրական թիվ կարող է ներկայացվել որպես շարունակական կոտորակ (վերջավոր կամ անվերջ): Թիվը ներկայացված է վերջավոր շարունակվող կոտորակով, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն ռացիոնալ է: Թիվը ներկայացված է պարբերական շարունակվող կոտորակով, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն քառակուսի իռացիոնալություն է:

1. Կոտորակի շարունակական ընդլայնում

Ցանկացած իրական թիվ xկարող է ներկայացվել (վերջավոր կամ անվերջ) շարունակվող կոտորակով, որտեղ

որտեղ նշանակում է թվի ամբողջական մասը x .

Ռացիոնալ թվի համար xայս ընդլայնումն ավարտվում է, երբ այն հասնում է զրոյի x nորոշ n. Այս դեպքում xներկայացված է վերջավոր շարունակվող կոտորակով:

Իռացիոնալների համար xբոլոր քանակությունները x nկլինի ոչ զրոյական, և ընդլայնման գործընթացը կարող է շարունակվել անորոշ ժամանակով: Այս դեպքում xներկայացված է անվերջ շարունակվող կոտորակով:

Ռացիոնալ թվերի համար Էվկլիդեսի ալգորիթմը կարող է օգտագործվել կոտորակի շարունակական ընդլայնումն արագ ստանալու համար։

2. Հարմար կոտորակներ

n-Օհ հարմար կոտորակշարունակվող կոտորակի համար կոչվում է վերջավոր շարունակական կոտորակ, որի արժեքը հավասար է ինչ-որ ռացիոնալ թվի: Զույգ թվով կոնվերգենտները կազմում են աճող հաջորդականություն, որի սահմանը հավասար է x. Նմանապես, կենտ թվով կոնվերգենտները կազմում են նվազող հաջորդականություն, որի սահմանը նույնպես հավասար է. x .

Էյլերի կողմից ստացված ռեկուրսիվ բանաձևերը՝ կոնվերգենտների համարիչները և հայտարարները հաշվարկելու համար.

Այսպիսով, քանակները էջ nԵվ ք nներկայացված են շարունակական արժեքներով.

Հերթականությունները և ավելանում են:

Հարակից հարմար կոտորակների համարիչները և հայտարարները կապված են հարաբերությամբ.

էջ n ք n - 1 - ք n էջ n - 1 = (- 1) n - 1 ,

(1)

որը կարող է վերաշարադրվել որպես

Ուստի հետևում է, որ

3. Իրական թվերի մոտարկումը ռացիոնալ թվերով

Շարունակվող կոտորակները թույլ են տալիս արդյունավետորեն գտնել իրական թվերի լավ ռացիոնալ մոտարկումներ: Այսինքն, եթե իրական թիվ xընդլայնվել է շարունակական կոտորակի մեջ, ապա նրա կոնվերգենտները կբավարարեն անհավասարությունը

Սրանից, մասնավորապես, հետևում է.

3.1. Օրինակներ

Ընդարձակենք π = 3,14159265… թիվը շարունակական կոտորակի մեջ և հաշվենք դրա կոնվերգենտները՝ 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Երկրորդ կոտորակը (22/7) հայտնի Արքիմեդյան մոտարկումն է։ Չորրորդը (355/113) առաջին անգամ ձեռք է բերվել Հին Չինաստանում:

4. Հատկություններ և օրինակներ

Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարող է ներկայացվել որպես վերջավոր շարունակական կոտորակ երկու ձևով, օրինակ.

Լագրանժի թեորեմըԹիվը ներկայացված է որպես անվերջ պարբերական շարունակվող կոտորակ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն ամբողջ թվային գործակիցներով քառակուսի հավասարման իռացիոնալ լուծում է:

Օրինակ: ոսկե հարաբերակցությունը ե − 1 =

համարի համար

Pi թիվը պարզ օրինաչափություն չունի.

π =

Գաուս-Կուզմինի թեորեմ. Գրեթե բոլոր իրական թվերի համար (բացառությամբ զրոյի չափումների բազմության) գոյություն ունի դրանց համապատասխան շարունակվող կոտորակների գործակիցների երկրաչափական միջինը, և այն հավասար է Խինչինի հաստատունին:
Մարշալ Հոլլի թեորեմ. Եթե թվի ընդլայնման մեջ xշարունակվող կոտորակի մեջ՝ սկսած երկրորդ տարրից, մեծ թվեր չկան n, ապա ասում ենք, որ թիվը xպատկանում է դասին Ֆ(n) Ցանկացած իրական թիվ կարելի է ներկայացնել որպես դասի երկու թվերի գումար Ֆ(4) և որպես դասի երկու թվերի արտադրյալ Ֆ(4). Հետագայում ցույց տվեցին, որ ցանկացած իրական թիվ կարելի է ներկայացնել որպես դասի 3 թվերի գումար Ֆ(3) և որպես դասարանի 4 թվերի գումար Ֆ(2). Այս թեորեմում պահանջվող տերմինների թիվը հնարավոր չէ կրճատել. որոշ թվեր նշված ձևով ներկայացնելու համար քիչ թվեր բավարար չեն։

5. Շարունակվող կոտորակների կիրառությունները

5.1. օրացույցի տեսություն

Արեգակնային օրացույց մշակելիս անհրաժեշտ է գտնել տարվա օրերի թվի ռացիոնալ մոտավորություն, որը կազմում է 365,2421988 ... Հաշվենք այս թվի կոտորակային մասի համար հարմար կոտորակները.

Առաջին մասնաբաժինը նշանակում է, որ յուրաքանչյուր 4 տարին մեկ պետք է լրացուցիչ օր ավելացնել. Այս սկզբունքը հիմք է հանդիսացել Հուլյան օրացույցի համար: Այս դեպքում 1 օրվա սխալը կուտակվում է 128 տարվա ընթացքում։ Երկրորդ արժեքը (7/29) երբեք չի օգտագործվել: Երրորդ մասնաբաժինը (8/33), այսինքն՝ 8 նահանջ տարի 33 տարվա ընթացքում, առաջարկվել է Օմար Խայամի կողմից 11-րդ դարում և հիմք դրեց պարսկական օրացույցին, որտեղ օրական սխալը կուտակվում է ավելի քան 4500 տարի։ (Գրիգորյանում՝ ավելի քան 3280 տարի)։ Չորրորդ կոտորակով շատ ճշգրիտ տարբերակ (31/128, օրական սխալը կուտակվում է միայն 100,000 տարուց ավելի) առաջ քաշեց գերմանացի աստղագետ Յոհան ֆոն Մեդլերը (1864), բայց նա մեծ հետաքրքրություն չառաջացրեց:

5.2. Առաջին աստիճանի համեմատությունների լուծում

Դիտարկենք համեմատությունը՝ որտեղ հայտնի են, և կարելի է ենթադրել, որ ափոխադարձաբար պարզ հետ մ. Պետք է գտնել x .

Եկեք ընդլայնենք այն շարունակական կոտորակի մեջ: Դա կլինի վերջնական, և վերջին հարմար կոտորակը։ Փոխարինեք բանաձևով (1).

մք n − 1 − աէջ n − 1 = (− 1) n − 1

Սրանից հետևում է.

, կամ:

Եզրակացություն․ մնացորդային դասը սկզբնական համեմատության լուծումն է։

5.3. Այլ հավելվածներ

5.3.1. Ոսկե հարաբերակցության հատկությունները

Հետաքրքիր արդյունքը, որը բխում է այն փաստից, որ φ-ի շարունակական կոտորակի արտահայտությունը չի օգտագործում 1-ից մեծ ամբողջ թվեր, այն է, որ φ-ն ամենադժվար իրական թվերից մեկն է ռացիոնալ թվերի հետ մոտավորելու համար: Մեկ թեորեմ (Հուրվիցի թեորեմ) ասում է, որ ցանկացած իրական թիվ կկարելի է մոտավորել կոտորակով մ/nօգնությամբ

Հետո երբ գրեթե բոլոր իրական թվերը կունեն անսահման շատ մոտավորություններ մ/n, որոնք գտնվում են շատ ավելի կարճ հեռավորության վրա կքան այս սահմանը, φ-ի մոտավորությունները (այսինքն՝ 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 և այլն թվերը) հաջորդաբար «դիպչում են սահմանին՝ պահպանելով հեռավորությունը φ-ից գրեթե ճիշտ հեռավորության վրա, հետևաբար. երբեք չարտադրելով մոտավորություններ այնքան տպավորիչ, որքան, օրինակ, 355/113-ը π-ի համար: Կարելի է ցույց տալ, որ ձևի ցանկացած իրական թիվ ( ա + բφ)/( գ + դφ) – որտեղ ա, բ, գԵվ դնման են ամբողջ թվերին Հայտարարություն − մ.թ.ա= ±1 - ունեն նույն հատկությունը, ինչ ոսկե հարաբերակցությունը φ; և նաև, որ մնացած բոլոր իրական թվերը կարող են շատ ավելի լավ մոտավորվել:

6. Պատմական նախադրյալներ

Հին մաթեմատիկոսները կարողացան ներկայացնել անհամեմատելի մեծությունների հարաբերությունները հաջորդական հարմար հարաբերակցությունների շղթայի տեսքով՝ ստանալով այս շղթան Էվկլիդես ալգորիթմի միջոցով։ Ըստ երևույթին, Արքիմեդն այսպես ստացավ մոտավորությունը. սա 12-րդ հարմար կոտորակն է կամ 4-րդ հարմար կոտորակի համար:

5-րդ դարում հնդիկ մաթեմատիկոս Արյաբհատան կիրառել է նմանատիպ «զտման մեթոդ»՝ լուծելու առաջին և երկրորդ աստիճանի անորոշ հավասարումներ։ Նույն տեխնիկայի օգնությամբ հավանաբար ստացվել է π (355/113) թվի հայտնի մոտարկումը։ 16-րդ դարում Ռաֆայել Բոմբելին օգտագործում էր շարունակական կոտորակներ՝ քառակուսի արմատներ հանելու համար (տես նրա ալգորիթմը)։

Սկսել ժամանակակից տեսությունշարունակական ֆրակցիաները դրվել են 1613 թվականին Պիետրո Անտոնիո Կատալդիի կողմից։ Նա նշել է նրանց հիմնական հատկությունը (դիրքը հարմար կոտորակների միջև) և ներմուծել ժամանակակիցը հիշեցնող նշում։ Հետագայում նրա տեսությունն ընդլայնվեց Ջոն Վալիսի կողմից, ով առաջարկեց տերմինը «շարունակվող կոտորակ». Համարժեք տերմինն է « շարունակվեց կրակոցըհայտնվել է 18-րդ դարի վերջին։

Այս կոտորակները հիմնականում օգտագործվել են իրական թվերի ռացիոնալ մոտարկման համար. Օրինակ, Քրիստիան Հյուգենսն օգտագործել է դրանք իր պլանետարիումի շարժակների նախագծման համար: Հյուգենսն արդեն գիտեր, որ կոնվերգենտները միշտ անկրճատելի են, և որ դրանք ներկայացնում են լավագույն ռացիոնալ մոտարկումը:

18-րդ դարում շարունակվող կոտորակների տեսությունը ընդհանուր գծերով ավարտվեց Լեոնհարդ Էյլերի և Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի կողմից։

7. Մոտիվացիա

Շարունակվող կոտորակները իրական թվերի առավել «մաթեմատիկական» ներկայացումն են:

Մարդկանց մեծամասնությունը ծանոթ է իրական թվերի տասնորդական ներկայացմանը, որը կարող է սահմանվել որպես

որտեղ 0-ը կարող է լինել ցանկացած ամբողջ թիվ, իսկ հաջորդական a i-ն տարրերից մեկն է (0,1,2,…,9): Այս ներկայացման մեջ π թիվը, օրինակ, կարող է ներկայացվել որպես ամբողջ թվերի հաջորդականություն։

Այս տասնորդական ներկայացումը մի քանի խնդիր ունի: Դրանցից մեկը՝ շատ ռացիոնալ թվեր այս համակարգում վերջնական ներկայացվածություն չունեն: Օրինակ, 1/3 թիվը կարող է ներկայացվել անվերջ հաջորդականությամբ (0,3,3,3,3,…): Մեկ այլ խնդիր այն է, որ հաստատուն 10-ը, ըստ էության, կամայական ընտրություն է, որը նպաստում է թվերին, որոնք ինչ-որ կերպ կապված են 10-ի ամբողջ թվի հետ: Օրինակ, 137/1600-ն ունի վերջավոր տասնորդական ներկայացում, մինչդեռ 1/3-ը չունի, ոչ այն պատճառով, որ այդ 137/1600-ը ավելի պարզ, քան 1/3-ը, բայց միայն այն պատճառով, որ 1600-ը բաժանում է 10-ի հզորությունը (10 6 = 1600 × 625): Շարունակվող կոտորակի նշումը իրական թվերի ներկայացում է, որը չունի այս խնդիրները:

Եկեք նայենք, թե ինչպես կարող ենք նկարագրել 415/93-ի նման թիվը, որը մոտավորապես հավասար է 4,4624-ի: Դա մոտավորապես 4 է: Իրականում դա 4-ից մի փոքր ավելի է, մոտավորապես 4 + 1/2: Բայց հայտարարի 2-ը լիովին ճշգրիտ չէ. պետք է լինի 2-ից մի փոքր ավելի մեծ թիվ, մոտ 2 + 1/6: Այսպիսով, 415/93-ը մոտավորապես հավասար է 4 + 1/(2 + 1/6): Բայց հայտարարի 6-ը սխալ է. իրական արժեքը 6-ից մի փոքր ավելի է, 6+1/7: Այսպիսով, 415/93-ը 4+1/(2+1/(6+1/7) է, սա ճշգրիտ արժեքն է:

Բաց թողնելով որոշ պահանջվող մասեր 4 + 1 / (2 + 1 / (6 + 1 / 7)) արտահայտության մեջ մենք ստանում ենք սղագրություն: (Նկատի ունեցեք, որ սովորական է միայն առաջին ստորակետը փոխարինել ստորակետով):

Իրական թվի շարունակական կոտորակի ներկայացումը կարող է սահմանվել այս կերպ. Այն ունի մի քանի ցանկալի հատկություններ.

Կոտորակի շարունակական ներկայացումը վերջավոր է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե թիվը ռացիոնալ է:

Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ, ըստ էության, ունի եզակի ներկայացում որպես շարունակական կոտորակ: Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ կարող է ներկայացվել ուղիղ երկու ձևով, քանի որ [ ա 0 ; ա 1 , … ա n − 1 , ա n ] = [ա 0 ; ա 1 , … ա n − 1 , ա n− 1, 1]։ Մաթեմատիկոսները նախընտրում են ռացիոնալ թվերի և շարունակական կոտորակների միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն ունենալ. Որպես կանոնական ներկայացում ընտրվում է առաջին՝ ավելի կարճ նշումը։

Ներկայացումը որպես իռացիոնալ թվի շարունակական կոտորակ եզակի է:

Շարունակվող կոտորակը պարբերական է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ թիվը քառակուսի իռացիոնալություն է, այսինքն. ունի ձևը

ամբողջ թվերի համար ա, բ, գ, դ; Որտեղ բԵվ դոչ զրո եւ գ>1 և գճշգրիտ քառակուսի չէ:

Օրինակ, պարբերական շարունակվող կոտորակը ոսկե հարաբերակցությունն է, իսկ պարբերական շարունակվող կոտորակը քառակուսի արմատ 2-ից.

X-ի շարունակական կոտորակի ներկայացման վաղ կրճատումը հանգեցնում է x-ի ռացիոնալ մոտարկմանը, որը որոշակի առումով «լավագույն» ռացիոնալ մոտարկումն է:

Վերջին հատկությունը չափազանց կարևոր է. Թվի տասնորդական ներկայացումը՝ ոչ: Թվի տասնորդական պատկերի կրճատումը հանգեցնում է թվի ռացիոնալ մոտարկման, բայց սովորաբար ոչ այնքան լավ մոտարկման: Օրինակ, 1/7 = 0,142857… տարբեր վայրերում կրճատումը հանգեցնում է այնպիսի մոտավորությունների, ինչպիսիք են 142/1000, 14/100 և 1/10: Բայց ակնհայտորեն լավագույն ռացիոնալ մոտարկումը կլինի հենց «1/7» թիվը։ Կտրելով π-ի տասնորդական ներկայացումը մենք ստանում ենք այնպիսի մոտավորություններ, ինչպիսիք են 31415/10000 և 314/100: Շարունակվող π կոտորակը սկսվում է . Կտրելով այս ներկայացումը, մենք ստանում ենք գերազանց ռացիոնալ մոտարկումներ 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ...: 314/100-ի և 333/106-ի հայտարարները գրեթե նույնն են, սակայն 314/100 մոտարկման սխալը տասնինը անգամ ավելի մեծ է, քան 333/106 մոտարկման սխալը: Որպես π-ի մոտավորություն, ավելի քան հարյուր անգամ ավելի ճշգրիտ, քան 3,1416-ի մոտարկումը:

, Կոտորակ , Կոտորակ (մաթեմատիկա) , Ճիշտ կոտորակ .

Որտեղ էլիպսիսը վերջում ցույց է տալիս, որ գործընթացը շարունակվում է անորոշ ժամանակով: Իր հերթին շարունակվող կոտորակը առաջացնում է կոտորակների ևս մեկ հաջորդականություն, որը կոչվում է կոնվերգենտներ: Մեր օրինակում առաջին, երկրորդ, երրորդ և չորրորդ կոնվերգենտներն են

Դրանք կարելի է կառուցել պարզ կանոնով 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... թերի քանորդների հաջորդականությունից: Առաջին հերթին մենք դուրս ենք գրում առաջին և երկրորդ կոնվերգենտները 1/1 և 3/2: Երրորդ հարմար կոտորակը հավասար է (2*1 + 3*3)/(2*1 + 3*2) կամ 11/8, դրա համարիչը հավասար է առաջին և երկրորդ հարմար համարիչների արտադրյալների գումարին։ կոտորակները՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով երրորդ թերի գործակցի համարիչով և հայտարարով, իսկ հայտարարը հավասար է առաջին և երկրորդ թերի քանորդի հայտարարների արտադրյալների գումարին՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով երրորդ մասնակի քանորդի համարիչով և հայտարարով։ . Չորրորդ կոնվերգենտը նմանապես ստացվում է չորրորդ մասնակի 3/4-ից և երկրորդ և երրորդ կոնվերգենտներից՝ (3*3 + 4*11)/(3*2 + 4*8) կամ 53/38։ Հետևելով այս կանոնին՝ մենք գտնում ենք առաջին յոթ հարմար կոտորակները՝ 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 և 16687/11986: Գրենք դրանք որպես տասնորդական կոտորակներ (վեց տասնորդական թվերով). 1.000000; 1,500000; 1.375000; 1.397368; 1.391892; 1.392247 և 1.392208: Մեր շարունակվող կոտորակի արժեքը կլինի x թիվը, որի առաջին թվերն են 1,3922: Համապատասխան կոտորակները x-ի լավագույն մոտարկումն են: Ավելին, դրանք հերթափոխով պարզվում են, որ կամ պակաս են կամ ավելի x թվից (կենտ՝ x-ից ավելի, իսկ զույգ՝ պակաս): Երկու դրական ամբողջ թվերի հարաբերությունը որպես վերջավոր շարունակական կոտորակ ներկայացնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու մեթոդը: Օրինակ, վերցրեք 50/11 հարաբերակցությունը: Քանի որ 50 = 4×11 + 6 կամ 11/50 = 1/(4 + 6/11), և նմանապես, 6/11 = 1/(1 + 5/6) կամ 5/6 = 1/(1 + 1) /5), մենք ստանում ենք.

https:="">
">

Հետո

Առաջին 6 համընկնող կոտորակներն են 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70: Տասնորդական թվերով գրված դրանք տալիս են հետևյալ մոտավոր արժեքները
1000; 1500; 1400; 1.417; 1,4137; 1.41428. Շարունակվող կոտորակը համար
ունի 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... թերի քանորդներ։ Իռացիոնալ թիվը ամբողջ թվային գործակիցներով քառակուսի հավասարման արմատն է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրա մասնակի ընդլայնումները շարունակական կոտորակների մեջ պարբերական են: Շարունակվող կոտորակները սերտորեն կապված են մաթեմատիկայի բազմաթիվ ոլորտների հետ, ինչպիսիք են ֆունկցիաների տեսությունը, դիվերգենտ շարքերը, պահերի խնդիրը, դիֆերենցիալ հավասարումները և անվերջ մատրիցները։ Եթե x-ը սուր անկյան ռադիանի չափն է, ապա x անկյան շոշափողը հավասար է 0, x/1, -x2/3, -x2/7, -x2/9 մասնակի քանորդներով շարունակվող կոտորակի արժեքին։ , ..., և եթե x-ը դրական թիվ է, ապա 1 + x-ի բնական լոգարիթմը հավասար է 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4 մասնակի քանորդներով շարունակվող կոտորակի արժեքին։ , 22x/5, 32x/6, ... . Հզորության շարքի տեսքով x2dy/dx + y = 1 + x դիֆերենցիալ հավասարման ձևական լուծումը 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... դիվերգենտ հզորության շարքն է: Այս հզորության շարքը կարող է փոխարկվել շարունակական կոտորակի՝ 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ... թերի քանորդներով, և դա իր հերթին կարող է օգտագործվել։ լուծման դիֆերենցիալ հավասարում ստանալու համար x2dy/dx + y = 1 + x.

- երկու թվերի հարաբերակցությունը մեկը մյուսի վրա բաժանված, a / b ձևի. օրինակ 3/4. Այս արտահայտության մեջ a-ն համարիչն է, իսկ b-ն՝ հայտարարի: Եթե a-ն և b-ն ամբողջ թվեր են, ապա գործակիցը պարզ կոտորակ է: Եթե a-ն փոքր է b-ից, ապա կոտորակը պատշաճ է...
Գիտատեխնիկական հանրագիտարանային բառարան
- գրանցված ներկայացուցիչներին միջնորդավճարներ վճարելու պրակտիկան այն բանից հետո, երբ նրանք դադարեցնեն իրենց գործունեությունը որպես բրոքերներ / դիլերներ կամ գրանցված ներկայացուցչի մահից հետո ժառանգներին ...
Մեծ տնտեսական բառարան
- Ապագա մուտքերի տոկոսների կամ զեղչերի հաշվարկը մշտական հիմունքներով: Տարեկան 100 ռ տոկոսադրույքով N տարի հետո վարկի գումարը կավելանա N անգամ սկզբնական գումարի համեմատ...
Տնտեսական բառարան
- Ռուխին, 1961, - ռիթմեր, որոնք առանձնացված չեն նստվածքի կայուն ընդմիջումներով և անպայման ունեն ռեգրեսիվ մաս ...
Երկրաբանական հանրագիտարան
- միջավայրեր, որտեղ առաձգական ալիքների տարածման արագությունը խորության հետ անընդհատ աճում է. Սեյսմիկ հետախուզության մեջ դրանց ուսումնասիրությունը կարևոր դեր է...
Երկրաբանական հանրագիտարան
- տե՛ս Հաջորդաբար հաշված օրերը ...
Ծովային բառապաշար
- տեսական ֆինանսական հաշվարկներում - անսահման փոքր ժամանակահատվածների համար հաշվարկված տոկոսներ Հոմանիշներ՝ Continuous accrual Տես. Տես նաև՝ Վարկի արժեքը ...
Ֆինանսական բառապաշար
- տե՛ս Կոտորակ...
- տե՛ս Կոտորակ...
Հանրագիտարանային բառարանԲրոքհաուս և Էուֆրոն
- շարունակվող կոտորակի ընդմիջումից առաջացող թվեր կամ ֆունկցիաներ...
Խորհրդային մեծ հանրագիտարան
- 1. Արք., Օրլ., Սիբ. Պար, ընդհատումներով ոտքերդ գետնին դիպչելով: SRNG 8, 189; SOG 1989, 75; FSS, 12. 2. Վոլգա. Հպեք ձեր ոտքերին ցրտից: Գլուխով 1988, 3...
- Սիբ. Նույնը, ինչ 1-ին կոտորակներին խփելը. FSS, 53...
Մեծ բառարանՌուսական ասացվածքներ
- Լրացրեք / լրացրեք ինչ-որ մեկի կոտորակների վրա: Ջարգ. գամասեղ: Մերժել, մերժել մեկին: աննշան պատճառով. NRL-82; Մոկիենկո 2003, 26...
Ռուսական ասացվածքների մեծ բառարան
- ած., հոմանիշների թիվը՝ 1 ամբողջ ...
Հոմանիշների բառարան

«ՇԱՐՈՒՆԱԿՎԱԾ ԿՈՏԱԿՆԵՐԸ» գրքերում

Պուտինի շարունակական ընտրություն

Հեղինակի գրքից

Պուտինի շարունակական ընտրությունները ժողովրդի մեջ Պուտինի անձնական ժողովրդականությունը պահպանելու համար նրա թիմն անմիջապես արձագանքում է իրավիճակի ամենափոքր փոփոխությանը։ «Մշտական ընտրությունները» լրացուցիչ նշանակություն ձեռք բերեցին 2000-ականների սկզբին, երբ «գունավոր հեղափոխությունների» շարքը տարավ.

Շարունակական և արմատական նորարարություն

Անկշիռ հարստություն գրքից. Որոշեք ձեր ընկերության արժեքը ոչ նյութական ակտիվների տնտեսության մեջ հեղինակ Thyssen Rene

Շարունակական և արմատական նորարարություն Առայժմ բոլորին ծանոթ է աճի կորի տեսությունը: Երկար տարիներ այն եղել է (և շարունակում է լինել) ընկերության դիրքը որոշելու գործիքներից մեկը նրա զարգացման ցանկացած փուլում: Յուրաքանչյուր ապրանք և ծառայություն ունի իր ցիկլը

4. 5. Շարունակական հոսքեր

Ձեռնարկությունների կիբեռնետիկայի հիմունքներ գրքից հեղինակ Ֆորեսթեր Ջեյ

4. 5. Շարունակական հոսքեր Մատակարարման շղթայի մոդել կառուցելիս մենք ենթադրում ենք, որ դրա հիմքը, գոնե սկզբնական շրջանում, շարունակական հոսքերն են և փոփոխականների փոխազդեցությունները: Իրադարձությունների դիսկրետությունը կարելի է հաշվի առնել տեղեկատվական համակարգերի հետ վերլուծելիս

Շարունակական նորարարությունը և կայուն հաջողությունը հաղթողի մրցանակն է

Առողջ բիզնեսում գրքից - առողջ միտք. Ինչպես են մեծ ընկերությունները զարգացնում իմունիտետը ճգնաժամերի նկատմամբ Կարլգարդ Ռիչի կողմից

Շարունակական նորարարությունը և կայուն հաջողությունը հաղթողի մրցանակն է Այժմ, երբ դուք պատկերացում ունեք հաջողության եռանկյունու երեք կողմերից յուրաքանչյուրի մասին, ես դրանք միասին կկազմեմ: Եթե ձեր նպատակն է ստեղծել ընկերություն, որը կարող է մշտապես նորարարություններ կատարել և իրականացնել

Շարունակական սպառնալիքներ

Սիբիրյան ճամբարներում գրքից. Գերմանացի բանտարկյալի հուշեր. 1945-1946 թթ հեղինակ Գերլախ Հորստ

Շարունակական սպառնալիքներ Ամբողջ գիշեր մենք զենքի տակ էինք ռուսների հետ։ Մեզ փակեցին, հետո ուրիշները եկան ու հայհոյեցին, որ դռները փակ են։ Շուրջը ինչ-որ շարժում չէր դադարում, ամեն ինչ ցնցվում էր ու նայվում՝ սնդուկներ, տուփեր, տուփեր: Դրանց պարունակությունը դուրս է շպրտվել

Գլուխ I

Կրոնական պատերազմներ գրքից հեղինակ Live Georges

ԳԼՈՒԽ I ՇԱՐՈՒՆԱԿԱԿԱՆ ՀԱԿԱՄԱՐՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՎ ԱՆՎԱՍՏ ՀԱՆԱԴԱՐՁ 1559 թվականին Մոնտգոմերիի նիզակը, որը սպանեց Հենրի II թագավորին, «փոխում է Ֆրանսիայի դեմքը»։ Կկարողանա՞ արդյոք գահաժառանգ Ֆրանցիսկոս II-ը զսպել այն ուժերին, որոնք պատրաստ են կատաղել թագավորական իշխանության ամենաչնչին թուլացման դեպքում։ Մի կողմից,

Հարմար կոտորակներ

Մեծ գրքից Խորհրդային հանրագիտարան(PO) հեղինակ TSB

3.2.1. երկուական կոտորակներ

հեղինակ Գրիգորիև Ա.Բ.

3.2.1. Երկուական կոտորակներ Սկսենք մաթեմատիկայից: Դպրոցում մենք անցնում ենք երկու տեսակի կոտորակներ՝ պարզ և տասնորդական: Տասնորդական թվերն ըստ էության տասը ուժերով թվի ընդլայնումն են։ Այսպիսով, 13.6704 մուտքը նշանակում է թիվ, որը հավասար է 1?101 + 3?100 + 6?10-1 + 7?10-2 + 0?10-3 + 4?10-4: Բայց

3.2.5. Անսահման կոտորակներ

Ինչ գրված չէ Դելֆիի գրքերում գրքից հեղինակ Գրիգորիև Ա.Բ.

3.2.5. Անսահման կոտորակներ Դպրոցից մենք բոլորս հիշում ենք, որ ոչ բոլոր թվերը կարող են գրվել որպես վերջնական տասնորդական կոտորակ: Անսահման կոտորակների երկու տեսակ կա՝ պարբերական և ոչ պարբերական։ Ոչ պարբերական կոտորակի օրինակ է թիվը ?, պարբերական կոտորակը թիվը? կամ որևէ այլ

Ինչ կարող են բերել երկար, շարունակական ջանքերը

Կանոնների գրքից. Հաջողության օրենքներ հեղինակ Canfield Jack

Ի՞նչ երկար, շարունակական ջանքեր կարող են բերել Արդյո՞ք խաղն արժեր մոմը: Օ, այո! Գիրքն ի վերջո վաճառվեց 8 միլիոն օրինակով 39 լեզուներով: Արդյո՞ք դա տեղի ունեցավ մեկ գիշերվա ընթացքում: Օ ոչ! Մենք գրքի հրատարակումից մեկ տարի անց հայտնվեցինք բեսթսելլերների ցանկում՝ մինչև վերջ

Կոտորակներ

Գրքից 50 լավագույն գլուխկոտրուկներ ուղեղի ձախ և աջ կիսագնդերի զարգացման համար Ֆիլիպս Չարլզի կողմից

Fractions Fractions-ը նոր գործակալություն է, որն առաջարկում է մաթեմատիկայի դասեր: Դիզայներ Ֆրեդի Մատիսը հանելուկի տեսքով ներկայացրել է գործակալության տարբերանշանի տարբերակները՝ A-ն վերածվում է B-ի օգնությամբ. պարզ փոխակերպում; եթե դուք կատարեք նույն փոխակերպումը հնգանկյունի համար

Վեցերորդ հատկանիշ. շարժումներ՝ կապված և շարունակական մեկ qi-ի ձևավորման հետ

Չեն ոճի գաղտնի տեխնիկան Թայ Չի Չուան գրքից հեղինակ Jiazhen Chen

Վեցերորդ հատկանիշը. շարժումներ՝ կապված և շարունակական մեկ qi-ի ձևավորման հետ Մարմնամարզության մասին տրակտատներում տրված են հետևյալ պահանջները.1) Հետ և առաջ շարժումը պետք է ունենա ընդմիջում և փոփոխություն. Հարձակումը և նահանջը պետք է հեղաշրջում կատարեն: 2) Վերցնելով, նրանք անմիջապես բաց թողեցին,

Շարունակական նորարարություն

Թելիս Ջերարդի կողմից

Շարունակական ինովացիոն շուկաները և տեխնոլոգիաները անընդհատ փոխվում են, և հաջողակ արտադրանքները հնանում են: Նույնիսկ ամենաուժեղ ընկերությունների դիրքերը շատ խոցելի են տեխնոլոգիական և շուկայական փոփոխությունների պատճառով։ Ուստի շուկայի առաջատարությունը պահպանելու համար ընկերությունները

Շարունակական նորարարություն. Հետադարձ կապ

Կամք և տեսիլք գրքից. Ինչպես են ուշացած մարդիկ վերջապես կառավարում շուկաները Թելիս Ջերարդի կողմից

Շարունակական նորարարություն. Հետադարձ կապ Intel-ի փորձը ցույց է տալիս, որ շարունակական նորարարությունը ոչ միայն խանգարում է մրցակիցներին, այլև եկամուտ է բերում նոր նորարարությունների համար: Միկրոպրոցեսորների շուկան շատ ավելի դինամիկ է, քան սափրվելու համակարգերի շուկան: Նկար 7-3-ը ցույց է տալիս միտումները

1.4. Դիսկրետ և շարունակական համակարգեր

Գիտության ֆենոմեն գրքից. Էվոլյուցիայի կիբեռնետիկ մոտեցում հեղինակ Տուրչին Վալենտին Ֆեդորովիչ

1.4. Դիսկրետ և շարունակական համակարգեր Համակարգի վիճակը որոշվում է նրա բոլոր ենթահամակարգերի վիճակների ամբողջության միջոցով, այսինքն, ի վերջո, տարրական ենթահամակարգերի: Տարրական ենթահամակարգերը լինում են երկու տեսակի՝ վերջավոր և անսահման թվով հնարավոր վիճակներով։ Ենթահամակարգեր

- 88,50 Կբ

ՌՈՒՍԱՍՏԱՆԻ ԴԱՇՆԱԿԱՆ ԱՆՏԱՌԱՅԻՆ ԳՈՐԾԱԿԱԼՈՒԹՅՈՒՆ

FBOU SPO «DIVNOGORSK FORESTRY - TECHNIKUM»

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՍԵՆՅԱԿ

ՀԱՇՎԵՏՎՈՒԹՅՈՒՆ

ՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՄԱՍԻՆ No.

«ՇԱՐՈՒՆԱԿՎԱԾ ԿՈՏԱԿՆԵՐ» ԹԵՄԱՅԻ ՄԱՍԻՆ.

Ավարտված:

1-ին կուրսի ուսանող գր. 11Բ-Լ Կարդապոլցև Ա.Օ.

Ստուգվում:

Ուսուցիչ: Կոնովալովա Է.Գ.

Դասարան:

Ներածություն - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

Շարունակական կոտորակ- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Կոտորակի շարունակական ընդլայնում - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Իրական թվերի մոտարկումը ռացիոնալ թվերով - - 6

Պատմական նախադրյալներ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Եզրակացություն - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.

Մատենագիտական ցանկ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9

Ներածություն

Իմ նպատակը հետազոտական աշխատանքշարունակական կոտորակների տեսության ուսումնասիրությունն է։ Դրանում ես կփորձեմ բացահայտել կոնվերգենտների հատկությունները, իրական թվերի ոչ պատշաճ կոտորակների ընդլայնման առանձնահատկությունները, այս ընդլայնման արդյունքում առաջացող սխալները և շարունակական կոտորակների տեսության կիրառումը մի շարք խնդիրներ լուծելու համար: հանրահաշվական խնդիրներ.

Շարունակվող կոտորակները ներմուծվել են 1572 թվականին իտալացի մաթեմատիկոս Բոմբելլիի կողմից։ Շարունակվող կոտորակների ժամանակակից նշումը գտնվել է իտալացի մաթեմատիկոս Կատալդիի կողմից 1613 թ. 18-րդ դարի մեծագույն մաթեմատիկոս Լեոնարդո Էյլերն առաջինն էր, ով ուրվագծեց շարունակական կոտորակների տեսությունը, բարձրացրեց դրանց օգտագործման հարցը դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համար, կիրառեց դրանք ֆունկցիաների ընդլայնման, անվերջ արտադրյալների ներկայացման համար և տվեց. դրանց կարևոր ընդհանրացումը։

Էյլերի աշխատանքը շարունակական կոտորակների տեսության վրա շարունակեցին Մ.Սոֆրոնովը (1729-1760), ակադեմիկոս Վ.Մ. Viskovatym (1779-1819), D. Bernoulli (1700-1782) և ուրիշներ Այս տեսության շատ կարևոր արդյունքներ պատկանում են ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Լագրանժին, ով գտել է մոտավոր լուծման մեթոդ՝ օգտագործելով դիֆերենցիալ հավասարումների շարունակական կոտորակները:

Շարունակվող կոտորակ

շղթայական կրակոց(կամ շարունակվող կոտորակ) ձևի մաթեմատիկական արտահայտությունն է

Որտեղ ա 0 ամբողջ թիվ է և մնացածը ա n բնական թվեր (այսինքն՝ ոչ բացասական ամբողջ թվեր)։ Ցանկացած իրական թիվ կարող է ներկայացվել որպես շարունակական կոտորակ (վերջավոր կամ անվերջ): Թիվը ներկայացված է վերջավոր շարունակվող կոտորակով, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն ռացիոնալ է: Թիվը ներկայացված է պարբերական շարունակվող կոտորակով, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն քառակուսի իռացիոնալություն է:

Կոտորակի շարունակական ընդլայնումը

Ցանկացած իրական թիվx կարող է ներկայացվել (վերջավոր կամ անվերջ) շարունակվող կոտորակով, որտեղ

որտեղ նշանակում է թվի ամբողջական մասըx .

Ռացիոնալ թվի համարx այս ընդլայնումն ավարտվում է, երբ այն հասնում է զրոյիx n ոմանց համար n. Այս դեպքում x ներկայացված է շարունակական կոտորակով

Իռացիոնալների համարxբոլոր քանակությունները x n կլինի ոչ զրոյական, և ընդլայնման գործընթացը կարող է շարունակվել անորոշ ժամանակով: Այս դեպքումx ներկայացված է անվերջ շարունակվող կոտորակով

Իրական թվերի մոտարկումը ռացիոնալ թվերով

Շարունակվող կոտորակները թույլ են տալիս արդյունավետորեն գտնել իրական թվերի լավ ռացիոնալ մոտարկումներ: Այսինքն, եթե իրական թիվx ընդարձակվի շարունակական կոտորակի մեջ, այնուհետև նրա կոնվերգենտները կբավարարեն անհավասարությունը.

Սրանից, մասնավորապես, հետևում է.

1) հարմար կոտորակլավագույն մոտարկումն է

Համար x բոլոր այն կոտորակների մեջ, որոնց հայտարարը չի գերազանցումք n ;

2) ցանկացած իռացիոնալ թվի իռացիոնալության չափը 2-ից ոչ պակաս է:

Օրինակներ

1) Ընդլայնել թիվըπ \u003d 3.14159265 ... շարունակվող կոտորակի մեջ և հաշվարկիր դրա կոնվերգենտները՝ 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ...

2) Երաժշտության տեսության մեջ պահանջվում է ռացիոնալ մոտավորություն գտնել

Երրորդ հարմար կոտորակը` 7/12 թույլ է տալիս հիմնավորել օկտավայի դասական բաժանումը 12 կիսաձայնների.

Պատմական անդրադարձ

Հին մաթեմատիկոսները կարողացան ներկայացնել անհամեմատելի մեծությունների հարաբերությունները հաջորդական հարմար հարաբերակցությունների շղթայի տեսքով՝ ստանալով այս շղթան Էվկլիդես ալգորիթմի միջոցով։ Ըստ երևույթին, հենց այս կերպ Արքիմեդը ստացավ մոտավորությունը.

Սա 12-րդ ընդհանուր կոտորակն է

Կամ 4-րդ հարմար կոտորակից համար.

5-րդ դարում հնդիկ մաթեմատիկոս Արյաբհատան կիրառել է նմանատիպ «զտման մեթոդ»՝ լուծելու առաջին և երկրորդ աստիճանի անորոշ հավասարումներ։ Նույն տեխնիկայի օգնությամբ թվի հայտնի մոտարկումըπ (355/113). 16-րդ դարում Ռաֆայել Բոմբելին օգտագործում էր շարունակական կոտորակներ՝ քառակուսի արմատներ հանելու համար (տես նրա ալգորիթմը)։

Շարունակվող կոտորակների ժամանակակից տեսության սկիզբը դրվել է 1613 թվականին Պիետրո Անտոնիո Կատալդիի կողմից։ Նա նշել է նրանց հիմնական հատկությունը (դիրքը հարմար կոտորակների միջև) և ներմուծել ժամանակակիցը հիշեցնող նշում։ Հետագայում նրա տեսությունն ընդլայնվեց Ջոն Վալիսի կողմից, ով առաջարկեց տերմինը «շարունակվող կոտորակ». Համարժեք տերմինն է « շարունակվեց կրակոցըհայտնվել է 18-րդ դարի վերջին։

Եզրակացություն

Այս հետազոտական աշխատանքը ցույց է տալիս շարունակական կոտորակների կարևորությունը մաթեմատիկայի մեջ:

Դրանք կարող են հաջողությամբ կիրառվել ձևի անորոշ հավասարումների լուծման համար

կացին+ըստ=գ.

Նման հավասարումների լուծման հիմնական դժվարությունը որոշակի լուծում գտնելն է: Այսպիսով, շարունակվող կոտորակների օգնությամբ դուք կարող եք նշել ալգորիթմ նման կոնկրետ լուծում գտնելու համար:

Շարունակվող կոտորակները կարող են կիրառվել նաև ավելի բարդ անորոշ հավասարումների վրա, ինչպիսին է այսպես կոչված Pell-ի հավասարումը.

().

Անսահման շարունակվող կոտորակները կարող են օգտագործվել հանրահաշվական և տրանսցենդենտալ հավասարումներ լուծելու, առանձին ֆունկցիաների արժեքները արագ հաշվարկելու համար:

Ներկայումս շարունակվող ֆրակցիաները ավելի ու ավելի են օգտագործվում համակարգչային տեխնոլոգիաներում, քանի որ դրանք թույլ են տալիս ստեղծել արդյունավետ ալգորիթմներ համակարգչի վրա մի շարք խնդիրներ լուծելու համար:

Մատենագիտական ցանկ.

http://en.wikipedia.org

Հանրահաշիվ և թվերի տեսություն. Խմբագրել է N.Ya. Վիլենկինա, Մ, «Լուսավորություն», 84։
ՆՐԱՆՔ. Վինոգրադով. Թվերի տեսության հիմունքները. Մ, «Գիտություն», 72։
Ա.Ա. Կոչեւը։ Հանրահաշվի և թվերի տեսության առաջադրանքների տետր-սեմինար. Մ, «Լուսավորություն», 84։
Լ.Յա. Կուլիկով, Ա.Ի. Մոսկալենկո, Ա.Ա. Ֆոմին. Հանրահաշվի և թվերի տեսության խնդիրների ժողովածու։ Մ, «Լուսավորություն», 93։

Է.Ս. Լյապին, Ա.Է. Եվսեեւը։ Հանրահաշիվ և թվերի տեսություն. Մ, «Լուսավորություն»,

Աշխատանքի նկարագրություն

Իմ հետազոտական աշխատանքի նպատակն է ուսումնասիրել շարունակական կոտորակների տեսությունը: Դրանում ես կփորձեմ բացահայտել կոնվերգենտների հատկությունները, իրական թվերի ոչ պատշաճ կոտորակների ընդլայնման առանձնահատկությունները, այս ընդլայնման արդյունքում առաջացող սխալները և շարունակական կոտորակների տեսության կիրառումը մի շարք խնդիրներ լուծելու համար: հանրահաշվական խնդիրներ.