Սկզբնական երկրաչափական տեղեկատվությունը ցույց է տալիս ուղիղ հատվածների ճառագայթները: Նախնական երկրաչափական տեղեկատվություն

Դիդակտիկ նյութ

Ստուգման համար տեսական գիտելիքներ 7-րդ դասարանի երկրաչափություն դասընթացի համար։

1. Ճիշտ պնդումները նշի՛ր «+» նշանով, իսկ սխալները՝ «-» նշանով:

1. Հարթության վրա երկրաչափական պատկերների օրինակներ են կետը, ուղիղ գիծը, քառակուսին, խորանարդը, գնդակը:

2. Հարթության վրա երկրաչափական պատկերների օրինակներ են կետը, ուղիղը, ճառագայթը, հատվածը, բազմանկյունը:

3. Երկու տողերը կամ ունեն միայն մեկ ընդհանուր կետ, կամ չունեն ընդհանուր կետեր:

4. Ցանկացած երկու կետով կարելի է գծել երեք ուղիղ գիծ:

5. Հատվածը ուղիղ գծի մի մասն է։

6. Ճառագայթը ուղիղ գծի մի մասն է, որը բաղկացած է այս ուղիղ գծի բոլոր կետերից, որոնք ընկած են նրա տվյալ կետի մի կողմում։

7. AB ճառագայթի սկիզբը B կետն է:

8. Անկյունը երկրաչափական պատկեր է, որը բաղկացած է կետից և այս կետից բխող երկու ճառագայթներից:

9. Ցանկացած անկյուն կարող է ունենալ բազմաթիվ գագաթներ:

10. Հատվածի այն կետը, որը բաժանում է այն կիսով չափ, կոչվում է հատվածի միջնակետ:

11. Չմշակված անկյունը միշտ ավելի մեծ է, քան զարգացածը:

12. Չմշակված անկյունը միշտ ավելի քիչ է, քան զարգացածը:

13. Անկյան կիսադիրը անկյան գագաթից բխող ճառագայթ է, որը անկյունը բաժանում է երկու հավասար անկյունների։

14. Հատվածի երկարությունը նրա ցանկացած կետի հեռավորությունն է:

15. Հատվածի վրա ընկած ցանկացած կետ այն բաժանում է երկու մասի։

16. Եթե B կետը պատկանում է AK հատվածին, ապա AK \u003d AB - BK:

17. Մշակված անկյունն ունի 90 0 աստիճանի չափ:

18. Անկյունը կոչվում է ուղիղ, եթե այն հավասար է 60 0-ի:

19. Սուր անկյունը միշտ փոքր է ուղիղից:

20. Երկու անկյունները, որոնք ունեն մի կողմ ընդհանուր, իսկ մյուս երկուսը մեկը մյուսի շարունակությունն են, կոչվում են կից:

21. Կից անկյունների գումարը 180 0 է:

22. Գումարը ուղղահայաց անկյուններմիշտ 100 0.

23. Եթե երկու կից անկյունները հավասար են, ապա դրանք ուղիղ են:

Նախնական երկրաչափական տեղեկատվություն.

2. Ճիշտ պնդումները նշի՛ր «+» նշանով, իսկ սխալները՝ «-» նշանով:

1. Երկու տողերը միշտ ունեն ընդհանուր կետ:

2. Հատվածը ուղիղ գծի մի մասն է, որը բաղկացած է այս ուղիղ գծի բոլոր կետերից, որոնք ընկած են դրա երկու տրված կետերի միջև։

3. Անկյունը երկրաչափական պատկեր է, որը բաղկացած է կետից և այս կետից բխող երեք ճառագայթներից:

4. Երկրաչափական պատկերները կոչվում են հավասար, եթե նրանց բոլոր կողմերը զույգերով հավասար են:

5. Երկրաչափական պատկերները կոչվում են հավասար, եթե դրանք համընկնում են, երբ համընկնում են:

6. Անկյունը կոչվում է տեղակայված, եթե նրա երկու կողմերն էլ գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա:

7. Անկյունի գագաթից բխող ցանկացած ճառագայթ այն բաժանում է երկու հավասար անկյունների։

8. Հատվածի երկարությունը նրա ծայրերի հեռավորությունն է:

9. Հատվածի երկարությունը հավասար է այն մասերի երկարությունների գումարին, որոնց այն բաժանվում է իր ցանկացած կետով:

10. Անկյունների չափման միավորներ՝ աստիճաններ:

11. Բութ անկյունը միշտ փոքր է ուղիղ անկյունից:

12. Երկու անկյունները կոչվում են ուղղահայաց: Եթե ​​մի անկյան կողմերը մյուսի կողմերի երկարացումներ են:

13. Հարակից անկյունները հավասար են:

14. Երկու ուղիղները կոչվում են ուղղահայաց, եթե կազմում են երկու ուղիղ անկյուն։

15. Երրորդին ուղղահայաց երկու ուղիղ չեն հատվում։

16. Հավասար անկյուններն ունեն հավասար աստիճանի չափումներ:

17. Ընդլայնված անկյունը 180 0 է։

18. Եթե երկու կից անկյունները հավասար են, ապա դրանք սուր են:

19. Եթե երկու ուղիղ ուղղահայաց են երրորդին, ապա դրանք զուգահեռ են։

20. Երկու հարակից անկյունները երկուսն էլ կարող են բութ լինել:

Եռանկյուններ.

1. Եռանկյունը եռաչափ պատկեր է:

2. Եռանկյունը երկրաչափական պատկեր է, որը բաղկացած է երեք կետերից, որոնք զույգերով միացված են հատվածներով:

3. Եռանկյունը երկրաչափական պատկեր է, որը բաղկացած է երեք կետերից, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա և զույգերով միացված են հատվածներով։

4. Եթե երկու եռանկյուններ հավասար են, ապա դրանց համապատասխան տարրերը միշտ հավասար են։

5. Եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը կողմի և երկու անկյունների հավասարության նշանն է:

6. Ուղղահայաց գծերը հատելիս ստացվում է չորս սուր անկյուն.

7. Տրված գագաթից գծված եռանկյան միջնագիծը այս գագաթը հակառակ կողմի միջնակետի հետ կապող ուղիղ գիծ է։

8. Տրված գագաթից գծված եռանկյան միջնագիծը այս գագաթը հակառակ կողմի միջնակետին միացնող հատվածն է։

9. Ցանկացած եռանկյունում կարելի է գծել միայն երեք կիսորդ:

10. Ցանկացած եռանկյան կիսորդը հատված է:

11. Ցանկացած եռանկյան կիսատները միշտ հատվում են մի կետում:

12. Տրված գագաթից իջած եռանկյան բարձրությունը գագաթից եռանկյան հակառակ կողմին գծված ուղղահայացն է:

13. Տրված գագաթից իջած եռանկյան բարձրությունը գագաթից եռանկյան հակառակ կողմը պարունակող գծին գծված ուղղահայացն է։

14. Հավասարաչափ եռանկյան հավասար կողմերը կոչվում են կողային:

15. Հավասարաչափ եռանկյան հավասար կողմերը կոչվում են հիմքեր:

16. Հավասարաչափ եռանկյունն ունի երկու կողմ և մեկ հիմք:

17. Հավասարաչափ եռանկյան հիմքի անկյունները հավասար են:

18. Հավասարաչափ եռանկյունում բոլոր անկյունները հավասար են:

19. Եթե եռանկյան պարագիծը 60 սմ է, իսկ եռանկյունը հավասարակողմ, ապա յուրաքանչյուր կողմի երկարությունը 20 սմ է։

20. Եռանկյունների հավասարության երրորդ նշանը երկու կողմերի և անկյան հավասարության նշանն է։

21. Եռանկյունների հավասարության երրորդ նշանը երեք կողմերի հավասարության նշանն է։

22. Շրջանակը տվյալ կետից որոշակի հեռավորության վրա գտնվող հարթության կետերից կազմված պատկեր է։

23. Տրամագիծը ամենամեծ ակորդն է։

24. Շառավիղը ակորդ է։

Եռանկյուններ.

1. Եռանկյունը հարթ պատկեր է:

2. ABC եռանկյան մեջ CAB անկյան հարակից կողմերն են AC և BC:

3. AMC եռանկյան մեջ AMC անկյան հակառակ կողմը AC կողմն է:

4. 7 սմ, 11 սմ, 8 սմ կողմերով MSC եռանկյունու պարագիծը 26 սմ է։

5. Եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը կողմերի և անկյան հավասարության նշանն է։

6. Եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը կողմերի և նրանց միջև անկյան առումով հավասարության նշան է:

7. Երբ ուղղահայաց գծերը հատվում են, ստացվում է չորս ուղիղ անկյուն:

8. Ցանկացած եռանկյունում կարելի է գծել միայն երեք միջնագիծ:

9. Ցանկացած եռանկյունում կարելի է նկարել միայն մեկ միջնագիծ:

10. Տրված գագաթից գծված եռանկյան կիսանդրին այս գագաթից դուրս եկող ճառագայթն է, որն անցնում է անկյան կողմերի միջև և կիսում է անկյունը։

11. Տրված գագաթից գծված եռանկյան կիսադիրը եռանկյան անկյան կիսադիրի այն հատվածն է, որը կապում է այս գագաթը հակառակ կողմի կետին։

12. Ցանկացած եռանկյունում կարող եք նկարել այնքան բարձրություն, որքան ցանկանում եք:

13. Ցանկացած եռանկյունում կարելի է գծել միայն երեք բարձրություն:

14. Կոչվում է հավասարաչափ եռանկյուն, որի երկու կողմերը հավասար են:

15 . Հավասարսուռ եռանկյունին այն եռանկյունն է, որի երեք կողմերը հավասար են:

16. Կոչվում է հավասարակողմ եռանկյուն, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

17. Հավասարակողմ եռանկյան մեջ բոլոր անկյունները հավասար են:

18. Եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը կողմի և երկու անկյունների հավասարության նշանն է։

19. Եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը հավասարության նշան է կողմի և դրան կից երկու անկյունների առումով:

20. Շրջանակը տվյալ կետից տրված հեռավորության վրա գտնվող հարթության բոլոր կետերից բաղկացած պատկեր է:

21. Շրջանակում բոլոր շառավիղները տարբեր երկարություններ ունեն:

22. Շրջանակում բոլոր ակորդները հավասար են:

23. Տրամագիծը կենտրոնով անցնող ակորդ է։

24. Շրջանի տրամագիծը երկու անգամ մեծ է նույն շրջանագծի շառավղից:

25. Շրջանակում բոլոր շառավիղները հավասար են:

Զուգահեռ գծեր

1. Ճիշտ պնդումները նշի՛ր «+» նշանով, իսկ սխալները՝ «-» նշանով:

1. Զուգահեռ ուղիղները այն ուղիղներն են, որոնք չեն հատվում:

2. Միայն երկու զուգահեռ գիծ կարելի է գծել։

3. Եթե որոշակի ուղիղ հատում է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկը, ապա այն հատում է նաև մյուսը։

4. Եթե երկու ուղիղ զուգահեռ են երրորդին, ապա դրանք չեն կարող զուգահեռ լինել:

5. Եթե երկու ուղիղ ուղղահայաց են երրորդին, ապա դրանք զուգահեռ են։

6.Երբ երկու ուղիղները հատվում են երրորդի հետ, առաջանում են չորս չընդլայնված անկյուններ։

3 4 7. 3-րդ և 5-րդ, 4-րդ և 6-րդ անկյունները կոչվում են խաչաձև:

8. 3 և 6, 5 և 4 անկյունները կոչվում են խաչաձև:

9. 3-րդ և 5-րդ, 4-րդ և 6-րդ անկյունները կոչվում են միակողմանի:

5 6 10. 3 և 7, 2 և 6 անկյունները կոչվում են համապատասխան:

7 8 11. 4-րդ և 6-րդ, 5-րդ և 4-րդ անկյունները կոչվում են միակողմանի:

12. Տրված ուղիղի վրա չգտնվող կետով անցնում է տրվածին զուգահեռ ուղիղների բազմություն։

13. Եթե ուղիղը հատում է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկը, ապա այն ուղղահայաց է մյուս ուղիղին:

14. Եթե հատվածի երկու ուղիղների հատման կետում ընկած անկյունները հավասար են, ապա ուղիղները զուգահեռ են։

15. Եթե հատվածի երկու ուղիղների հատման կետում խաչի ընկած անկյունների գումարը հավասար է 180 0-ի, ապա ուղիղները զուգահեռ են։

16. Եթե երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են սեկանտով, ապա խաչաձեւ ընկած անկյունները հավասար են։

17. Եթե երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են սեկանտով, ապա միակողմանի անկյունների գումարը 180 0 է:

2. Ճիշտ պնդումները նշի՛ր «+» նշանով, իսկ սխալները՝ «-» նշանով:

1. Զուգահեռ ուղիղները հարթության վրա ընկած և չհատվող ուղիղներն են:

2. Միայն երեք զուգահեռ գիծ կարելի է գծել։

3. Տրված գծի վրա չպառկած ցանկացած կետի միջով կարելի է հարթության մեջ դրան զուգահեռ ուղիղ գիծ գծել, այն էլ միայն մեկը։

4. Եթե երկու ուղիղ զուգահեռ են երրորդին, ապա դրանք զուգահեռ են միմյանց:

5.Երբ երկու ուղիղները հատվում են երրորդի հետ, առաջանում է ութ չընդարձակված անկյուն:

6. Երրորդի երկու ուղիղ գծերի հատման կետում առաջանում են երկու զույգ խաչաձեւ պառկած անկյուններ։

7. Աքսիոմը թվերի հատկությունների վերաբերյալ մաթեմատիկական պնդում է:

8. Աքսիոմը երկրաչափական պատկերների հատկությունների մասին մաթեմատիկական պնդում է՝ ընդունված առանց ապացույցի։

9. Ուղիղ գիծն անցնում է ցանկացած երկու կետով, ընդ որում՝ միայն մեկ։

10. Տրված ուղիղի վրա չընկնող կետով անցնում է տրվածին զուգահեռ միայն մեկ ուղիղ։

11. Տրված ուղիղի վրա չընկնող կետի միջով տրված ուղիղին զուգահեռ ընդամենը երկու ուղիղ կա։

12. Եթե երկու ուղիղ զուգահեռ են երրորդին, ապա դրանք ուղղահայաց են միմյանց:

13. Եթե երկու ուղիղ զուգահեռ են երրորդին, ապա դրանք զուգահեռ են միմյանց:

14. Եթե հատվածի երկու ուղիղների հատման կետում համապատասխան անկյունները հավասար են, ապա ուղիղները զուգահեռ են։

15. Եթե երկու ուղիղների հատման կետում համապատասխան անկյունների կտրվածքային գումարը 180 0 է, ապա ուղիղները զուգահեռ են։

16. Եթե երկու ուղիղների հատման կետում միակողմանի անկյունների կտրվածքի գումարը 180 0 է, ապա ուղիղները զուգահեռ են։

17. Եթե ուղիղը ուղղահայաց է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն նույնպես ուղղահայաց է մյուսին։

18. Եթե երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են հատվածով, ապա համապատասխան անկյունները հավասար են:

թեմայի շուրջ՝ «Պլանաչափության սկզբնական հասկացությունները. Ուղիղ գիծ և կտրեք: Ճառագայթը և անկյունը:

Դասի տեսակը՝ ONZ.

Դասի նպատակները.

I Ձեռնարկներ.

Համակարգել տեղեկատվությունը կետերի և գծերի հարաբերական դիրքի մասին.

Դիտարկենք ուղիղ գծի հատկությունները.

Սովորեք նկարում նշել կետերը և գծերը;

Ներկայացրե՛ք հատված հասկացությունը;

Հիշեցրեք ուսանողներին, թե ինչ են ճառագայթը և անկյունը; ներկայացնել չընդլայնված անկյան ներքին և արտաքին տարածքների հասկացությունները, ներկայացնել ճառագայթների և անկյունների տարբեր նշանակումներ.

Սկսեք սովորել երկրաչափական խնդրի տեքստից առանձնացնելու ունակությունը, թե ինչ է տրված և ինչ պետք է գտնել, արտացոլեք խնդրի վիճակում տրված իրավիճակը և որը առաջանում է դրա լուծման ընթացքում, նկարում, հակիրճ և հստակ. գրեք խնդրի լուծումը.

II Զարգացող:

Զարգացում ճանաչողական հետաքրքրությունուսանողները;

Ուսանողների հիշողության զարգացում;

Ուսանողների հետաքրքրասիրության զարգացում.

III Ուսումնական:

Մտավոր կրթություն (տրամաբանական, վերացական, համակարգային մտածողության ձևավորում; ինտելեկտուալ հմտությունների և մտավոր գործողությունների տիրապետում - վերլուծություն և սինթեզ, համեմատություն, ընդհանրացում);

Անհատականության այնպիսի գծերի ձևավորում, ինչպիսիք են կազմակերպվածությունը, կարգապահությունը, ճշգրտությունը:

IV մետա-առարկա՝ առարկայի նկատմամբ ճանաչողական հետաքրքրության զարգացում, այլ գիտությունների հետ անալոգիաներ և կապեր գտնելու կարողություն։

Դասերի ժամանակ

Ի. Կազմակերպման ժամանակ.

Ուսուցիչ. «Զանգը հնչեց, աշակերտները պատրաստ են դասին: Եկեք սկսենք մեր դասը»:

II. Դասի թեմայի հաղորդումը նոթատետրում նշումով. Ուսանողների համար դասի նպատակների սահմանում.

III. Ներածական զրույց երկրաչափության ծագման և զարգացման մասին:

Զրույցի պլան.

1. Երկրաչափության ծագումը.

2. Գործնական երկրաչափությունից մինչև երկրաչափության գիտություն:

3. Էվկլիդեսի երկրաչափություն.

4. Երկրաչափության զարգացման պատմություն.

5. Երկրաչափական պատկերներ.

Սլայդներ #2-5.

Երկրաչափությունը արդյունքն է գործնական գործունեությունպետք էր կառուցել կացարաններ, տաճարներ, կառուցել ճանապարհներ, ոռոգման ջրանցքներ, սահմաններ հաստատել. հողատարածքներև որոշել դրանց չափերը: Հունարենից թարգմանված «երկրաչափություն» բառը նշանակում է «գեոդեզիա» («geo» - հունարեն - երկիր, և «metreo» - չափել): Այս անվանումը բացատրվում է նրանով, որ երկրաչափության ծագումը կապված է եղել տարբեր չափման աշխատանքների հետ։

Կարևոր դեր են խաղացել նաև մարդկանց գեղագիտական ​​կարիքները՝ իրենց տունն ու հագուստը զարդարելու, շրջապատող կյանքի նկարները նկարելու ցանկությունը։ Այս ամենը նպաստել է երկրաչափական տեղեկատվության ձևավորմանն ու կուտակմանը։

Բաբելոնում, Չինաստանում, Եգիպտոսում և Հունաստանում մ. օրինակ՝ տարածքների թվեր, մարմինների ծավալներ գտնելու կանոններ, ուղիղ անկյունների կառուցում և այլն։

Այս կանոնների ոչ մի ապացույց չկար, և դրանց բացահայտումը չէր հանդիսանում գիտական ​​տեսություն. Առաջինը, ով սկսեց երկրաչափական փաստեր ստանալ՝ օգտագործելով հիմնավորումը (ապացույցները), հին հույն մաթեմատիկոսն էր Թալես(մ.թ.ա. 6-րդ դար), ով իր ուսումնասիրություններում օգտագործել է գծագրի ծռումը, պատկերի մի մասի պտույտը և այլն, այսինքն՝ այն, ինչը ժամանակակից երկրաչափական լեզվով կոչվում է շարժում։

Աստիճանաբար երկրաչափությունը դառնում է գիտություն, որտեղ փաստերի մեծ մասը հաստատվում է եզրակացությունների, պատճառաբանությունների և ապացույցների միջոցով:

Երկրաչափական փաստերը համակարգ ներմուծելու հույն գիտնականների փորձերը սկսվել են դեռ մ.թ.ա 5-րդ դարում: մ.թ.ա ե. Երկրաչափության հետագա զարգացման վրա ամենամեծ ազդեցությունը թողել են հույն գիտնական Էվկլիդեսի աշխատանքները, ով ապրել է Ալեքսանդրիայում մ.թ.ա 3-րդ դարում: մ.թ.ա ե. Գրեթե 2000 տարի Էվկլիդեսի տարրերը ծառայել են որպես հիմնական գիրք, որի վրա ուսումնասիրվել է երկրաչափությունը։ «Սկզբունքներում» համակարգվել է այն ժամանակ հայտնի երկրաչափական տեղեկատվությունը, և երկրաչափությունն առաջին անգամ հայտնվել է որպես մաթեմատիկական գիտություն։

Այս գիրքը թարգմանվել է աշխարհի շատ ժողովուրդների լեզուներով, և դրանում ուրվագծված երկրաչափությունը հայտնի է դարձել որպես Էվկլիդեսյան երկրաչափություն:

Դպրոցական երկրաչափության դասընթացը բաժանված է պլանաչափությունԵվ ստերեոմետրիա. Երկրաչափության այն ճյուղը, որն ուսումնասիրում է հարթության վրա պատկերների հատկությունները, կոչվում է պլանիմետրիա (լատիներեն «planum»՝ հարթություն և հունարեն «metreo»՝ չափում եմ) բառերից։ Ստերեոմետրիայում ուսումնասիրվում են տարածության մեջ գտնվող ֆիգուրների՝ զուգահեռականի, գնդիկի, գլանի, բուրգի հատկությունները։ Մենք երկրաչափության մեր ուսումնասիրությունը կսկսենք պլանաչափությամբ:

Երկրաչափության մեջ ուսումնասիրվում են առարկաների ձևերը, չափերը և փոխադարձ դասավորությունը՝ անկախ դրանց մյուս հատկություններից՝ զանգված, գույն և այլն։ Վերցվելով այդ հատկություններից և հաշվի առնելով միայն առարկաների ձևն ու չափը, հանգում ենք հասկացությանը. երկրաչափական պատկեր.

Երկրաչափությունը ոչ միայն պատկերացում է տալիս թվերի, դրանց հատկությունների, փոխադարձ դասավորության մասին, այլև սովորեցնում է տրամաբանել, հարցեր տալ, վերլուծել, եզրակացություններ անել, այսինքն՝ մտածել տրամաբանորեն:

Մաթեմատիկայի դասերին ծանոթացար մի քանի երկրաչափական պատկերների ու պատկերացրիր ինչ կետ, ուղիղ, հատված, ճառագայթ, անկյուն,ինչպես կարող են դրանք տեղադրվել միմյանց նկատմամբ:

IV. Նոր նյութի ներկայացում.

Սլայդ թիվ 7.

Կառուցեք երկու զույգ կետեր, գծեր գծեք քանոնի երկայնքով գտնվող կետերի միջով: Քանի՞ գիծ կարելի է գծել երկու տարբեր կետերի միջով:

Սահմանված է գծի առաջին բնորոշ հատկությունը.

Սլայդ թիվ 8.

Աշակերտը եզրակացնում է, որ կա միայն մեկ ուղիղ, որն անցնում է երկու տարբեր կետերով:

Ուսուցիչը ուսանողներին ներկայացնում է պատկանելության նշանը  և . Սլայդի հիմնական նպատակն է խրախուսել երեխաներին բացահայտել գծի երկրորդ հատկությունը՝ դուք կարող եք դրա վրա կառուցել ցանկացած կետ, գիծն ունի «այնքան» կետեր, որքան ցանկանում եք: Աշակերտները բնականաբար ընկալում են «ցանկացած միավոր միավոր» արտահայտության փոխարինումը «անսահման շատ միավոր» արտահայտությամբ։

Սլայդ թիվ 9.

Աշխատելով այս սլայդի հետ՝ ուսանողները հասկանում են, որ ուղիղ գծի մոդելը դեռ չի ստացվել՝ շինարարությունը պետք է շարունակել քանոնը աջ կամ ձախ տեղափոխելով: Հարց է առաջանում՝ մինչեւ ո՞ւր կարելի է «գնալ» նման շինարարությամբ։ Գործողության տեսանելիությունը հուշում է պատասխանը՝ կամայականորեն հեռու, անսահման հեռու և՛ աջ, և՛ ձախ: Այսպիսով, տողը անսահման է, սա նրա երկրորդ հատկությունն է։ Ահա թե ինչու, ինչպես ասվում է դասագրքում, «Ուղիղ գծի ցանկացած կետից ցանկացած երկարության հատվածները կարող են հետաձգվել երկու ուղղությամբ»: Ուսուցիչը դասագրքից մի արտահայտություն է կարդում. «Ուղիղ գիծը, ի տարբերություն հատվածի, չունի ոչ սկիզբ, ոչ վերջ»: Բայց շրջանակը ոչ սկիզբ ունի, ոչ վերջ։ Միգուցե ուղիղ գիծը «կարծես» շրջանի՞ է: Այժմ մենք պետք է զբաղվենք սլայդի երկրորդ հարցով. կկոկորդիլոսն ու մեղուն կհանդիպե՞ն՝ կառուցելով ուղիղ գիծ՝ մեկը ձախ, մյուսը՝ աջ։ Սովորաբար երեխաները պատասխանում են. «Չեն հանդիպի, ուղիղ գիծը շրջանագծի նման չէ, այն փակ չէ» (մեկ այլ պատասխան նույնպես տրամաբանական է, բայց ուսանողները կարող են տեղյակ չլինեն):

Եթե ​​այդքան պարզ կերպով պարզաբանվի ուղիղ գծի բաց լինելու հատկությունը, ապա ուսանողները հետագայում կկարողանան հասկանալ, թե ինչպես է «ստացվում ճառագայթը», տեսնել հայեցակարգի ծագումը:

Սլայդ թիվ 10.

Այս սլայդը ցուցադրվում է որպես ամփոփում: Այս կամ այն ​​հատկությանը անդրադառնալու կարողությունը ցույց կտա, որ ուսանողի մտածողության մեջ ձևավորվել է ուղիղ գիծ հասկացությունը։

Ուղեղային շրջանառությունը բարելավելու համար ուսանողների կողմից ֆիզիկական դաստիարակության դասընթացի անցկացում.

Եվ ֆիզիկական վարժություններ աչքերի համար.

Սլայդ թիվ 11.

Բնական է ուսանողների առաջ հարցը դնել՝ հնարավո՞ր է բացատրել, թե ինչպես է ստացվում հատված։ Եկեք օգտագործենք սլայդ: Միեւնույն ժամանակ, «միջեւ» տերմինը ընկալվում է ինտուիցիայով։

Սլայդներ 12 և 13:

Սովորողները լուծում են թիվ 5 և թիվ 7 խնդիրները (առաջադրանքների տեքստը տրված է սլայդների վրա): Այս խնդիրները կարող են լուծվել ուսուցչի մեկնաբանությունների հետ միասին (կամ կարող եք ցույց տալ պատասխանը, որպեսզի ուսանողը ստուգի դրանց լուծումը):

Սլայդ թիվ 14.

Ուսուցիչը ներկայացնում է ճառագայթ հասկացությունը: Կառուցվում են AB ուղիղը և նրան պատկանող O կետը։ Գծանկարը ստացվել է. Ուսուցիչը առաջարկում է O կետը և ուղիղ գծի հատվածը O կետից աջ ներկել, օրինակ՝ վարդագույն: Պարզվեց նոր գործիչ՝ ճառագայթ: Դրա ստացումը նկարագրված է սլայդի «ճառագայթի» վրա: Կառուցվում են ճառագայթներ, ներկայացվում է նշանակում, երեխաները պարզում են, թե ինչու է ճառագայթը սկզբից անսահման հեռու: Ճառագայթը ստացվում է որպես գծի կետի և այն մասերից մեկի միավորում, որին այս կետը բաժանում է ուղիղը։

Սլայդ թիվ 15.

Հայեցակարգը համախմբելու համար երեխաները կատարում են դասագրքի թիվ 8 առաջադրանքը (առաջադրանքի տեքստը տրված է սլայդում):

Սլայդ թիվ 16.

Անկյուն հասկացության ձևավորումն իրականացվում է մոտավորապես այնպես, ինչպես պատկերների հատման և միավորման հասկացությունները (օրինակ, ինչպես ավելի վաղ ներկայացվել է ճառագայթ): Ուսանողները կառուցում են երկու տարբեր ճառագայթներ՝ ընդհանուր սկիզբով: Հիշելով, որ ճառագայթը անսահման է, երեխաները պարզում են, որ կառուցված երկու ճառագայթները ընդհանուր ծագմամբ բաժանում են ինքնաթիռը երկու շրջանի։ Տարածքներից մեկն առաջարկվում է ներկել։ Այն փաստը, որ ճառագայթները և ընտրված տարածքը գունավորված են նույն գույնով, նշանակում է, որ դրանց միավորումը կառուցվել է: Ստացված ցուցանիշը կոչվում է անկյուն։ Ինչպե՞ս է կառուցվում անկյունը: Ուսուցիչը խրախուսում է ուսանողներին գրել հայեցակարգի նկարագրությունը՝ օգտագործելով այս սլայդը: Մուտքագրեք անկյունների նշանակումը:

սլայդ թիվ 17.

Սլայդներ 18 և 19:

Ուսանողները կատարում են վարժություններ, որոնք նպաստում են անկյուն հասկացության ձևավորմանը և պատկերների հատման հասկացության ձևավորմանը: Այս վարժությունները հատկապես հետաքրքիր են, դրանք թույլ կտան պարզել, թե արդյոք ձևավորվել է հայեցակարգը:

Աչքերի համար ֆիզիկական վարժություններ կատարող ուսանողները.Ամուր փակեք ձեր աչքերը (հաշվեք մինչև 3, բացեք դրանք և նայեք հեռուն (հաշվեք մինչև 5): Կրկնեք 4-5 անգամ։

Վ. Ուսումնասիրված նյութի համախմբում.

սլայդ թիվ 20.

Ուսուցիչը ուսանողներին խնդրում է ինքնուրույն կատարել հետևյալ առաջադրանքները.

Նկար 1-ում պատասխանեք հարցերին.

1. Գրեք բոլոր հատվածները:

2. Գրի՛ր բոլոր տողերը։

3. Ո՞ր կետերն են պատկանում AD ուղղին, որոնք՝ ոչ: Գրեք ձեր պատասխանը՝ օգտագործելով մաթեմատիկական նշաններ:

4. Ընտրեք մի կետ, որը պատկանում է և՛ BC, և՛ AC ուղղին: Ո՞րն է այս կետի այլ անվանումը:

5. Համաձայն նկար 2-ի, գրի՛ր այն կետերը, որոնք պատկանում են.

Ա) անկյունի արտաքին հատվածը.

Բ) անկյունի ներքին շրջանը.

Ինքնաթեստի պատասխաններ.

1. AB, BD, AD, DC, BC, DM, AM:

Ուսանողները ամփոփում են դասը, բանավոր պատասխանում ուսուցչի հարցերին.

1) Ի՞նչ են նրանք սովորել:

2) Ի՞նչ է «երկրաչափությունը»:

3) երկրաչափության ի՞նչ բաժիններ կան:

4) ի՞նչ հիմնական հասկացություններ են քննարկվել դասում:

5) ինչ է «ուղիղ գիծը»: «գծային հատված». «Ռեյ» «անկյուն»?

VII. Դասի գնահատում ուսուցչի մեկնաբանությամբ.

VIII. Տնային աշխատանք(սլայդ թիվ 22):

Գրականություն:

1) Լ.Ս.Աթանասյան,Վ.Ֆ.Բուտուզով և ուրիշներ.Երկրաչափություն՝դասագիրք. 7-9 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ - Մ .: Կրթություն, 2010 թ.

2) Gavrilova N. F. Pourochnye զարգացումը երկրաչափության մեջ. 7-րդ դասարան. Մ.՝ «ՎԱԿՈ», 2010 թ.

Դասի թեման. Նախնական երկրաչափական տեղեկատվություն. Ուղիղ գիծ և կտրեք:

Թիրախ: ուսանողներին ծանոթացնել իրենց համար նոր առարկայի, երկրաչափության զարգացման պատմությանը, հարթության վրա գտնվող հիմնական երկրաչափական պատկերներին.

Առաջադրանքներ :

ձևավորել երկրաչափական գործչի հայեցակարգը, որպես կետերի հավաքածու.

համակարգել ուսանողների գիտելիքները կետերի և ուղիղների հարաբերական դիրքի մասին.

պատկերացում կազմել մաթեմատիկայի և օբյեկտիվ իրականության փոխհարաբերությունների մասին:

Օրգմոմենտ

Հաղորդագրություն դասի թեմայի և նպատակի մասին

Նոր նյութ սովորելը

1. Ներածական զրույց

Այսօր մենք սկսում ենք երկրաչափության մաթեմատիկական նոր առարկայի ուսումնասիրությունը, որն անբաժանելի մասն է. մեծ գիտՄաթեմատիկա.

Դուք արդեն ծանոթ եք բազմաթիվ երկրաչափական ձևերի։ Թվարկե՛ք դրանք և մատնանշե՛ք դրանք դասարանում:

Երկրաչափություն (հունարեն) - «geos» - երկիր, «metreo» - ես չափում եմ:

Երկրաչափությունը գիտություն է երկրաչափական ձևերի հատկությունների մասին։

Երկրաչափությունը լայն կիրառություն ունի տարբեր մասնագիտությունների տեր մարդկանց աշխատանքում։

Նաև ներս Հին Հունաստանակադեմիայի դարպասներին փորագրված էին «Այստեղ երկրաչափություն չտիրապետող մարդ թող չմտնի»։

Հին հույն պատմիչ Հերոդոտոսը (մ.թ.ա. 5-րդ դար) Հին Եգիպտոսում երկրաչափության ծագման մասին մ.թ.ա. մոտ 2000 թ. «Եգիպտական ​​փարավոնը բաժանեց երկիրը, յուրաքանչյուր եգիպտացու վիճակահանությամբ մի հողատարածք տվեց և յուրաքանչյուր հողամասից հարկ գանձեց։ Պատահում էր, որ Նեղոսը ողողեց որոշակի տարածք, այնուհետև զոհը դիմեց թագավորին, և թագավորը գեոդեզիներ ուղարկեց, որպեսզի պարզեն, թե որքան է պակասել տարածքը և համապատասխանաբար նվազեցնել հարկը: Այսպիսով, երկրաչափությունը ծագեց Եգիպտոսում, և այնտեղից այն անցավ Հունաստանին:

Երկրաչափությունը որպես գիտություն առաջացել է մարդու գործնական գործունեության արդյունքում (կաշեգործ, շինարար և այլն)։ Մարդը հանդիպեց երկրաչափական ձևերին և դրանց հատկություններին Առօրյա կյանքերկրաչափական պատկերների և դրանց հատկությունների ուսումնասիրությանը, այսինքն. երկրաչափության ուսումնասիրությանը։

Մի քանի դար մ.թ.ա. Բաբելոնում, Չինաստանում, Եգիպտոսում և Հունաստանում տարրական երկրաչափական գիտելիքներ արդեն կային, բայց դրանք դեռ համակարգված չէին և սովորաբար հաղորդվում էին կանոնների և բաղադրատոմսերի տեսքով՝ որոշելու, օրինակ, պատկերների տարածքները, մարմինների ծավալները և այլն։ Նրանք ապացույցներ չունեին, և ներկայացումը գիտական ​​տեսություն չէր:

Գիտելիքների համակարգման կարիք կա. Առաջին փորձն արեց Հիպոկրատը (եղան նաև այլ փորձեր), բայց այս բոլոր փորձերը մոռացվեցին, երբ Էվկլիդեսի անմահ «Սկիզբները» աշխատությունը հայտնվեց մ.թ.ա.

Ոչ մի գիտական ​​գիրք չի վայելել այնպիսի դարավոր հաջողություն, ինչպիսին Էվկլիդեսի տարրերը: Գրեթե 2000 տարի այն եղել է հիմնական դասագիրքը։

Այն երկրաչափությունը, որը մենք սովորում ենք դպրոցում, կոչվում է Էվկլիդեսյան:

7-9 բջիջ - ուսումնասիրել երկրաչափության բաժինը՝ պնիմետրիա: Այն ուսումնասիրում է հարթության վրա պատկերների հատկությունները (գծի հատվածներ, եռանկյուններ, ուղղանկյուններ, շրջան, շրջան և այլն)

Կարո՞ղ ենք խորանարդն ուսումնասիրել պլանաչափությամբ:

Պլանաչափության ուսումնասիրությունը սկսենք հիմնական երկրաչափական ձևերի ուսումնասիրությունից, որոնք են՝ կետ, ուղիղ գիծ։ Մտածեք, թե ինչպես են գծվում կետն ու գիծը:

2.Հիմնական նյութ

Ինչից է կազմված երկրաչափական պատկերը: (կետերից)

Գծանկարում ուղիղ գիծ պատկերելու համար օգտագործեք քանոն (ցուցադրված է ուղիղ գծի միայն մի մասը)

ա) Գիծն անվերջ է

Գծեք ուղիղ գիծ: Ուղիղ գիծը ծայրեր ունի՞:

բ) Նշանակում

ուղիղ գիծ - ա,բ, գ, դ, ե, զև այլն:

կետ -Ա, Բ, Գ, Դ, Ե, Ֆև այլն:

գ) Գծի վրա նշի՛ր 2 կետ և 1 դրսում:

A  a, B  a, C Ա

դ) Քանի՞ կետ կարելի է նշել գծի վրա և դրանից դուրս: (∞)

ե) Նշեք 1 կետ և ուղիղ գծեր գծեք դրա միջով:

3 միավորի միջով.

2 միավորի միջով

Քանի՞ գիծ կարելի է գծել:

Ցանկացած 2 կետի միջոցով կարելի է գիծ գծել, ընդ որում՝ միայն մեկը .

ե)ա բ - Ա, ե դ- ընդհանուր կետեր չկան

է) չի կարող ունենալ 2 և այլն: ընդհանուր կետերը, քանի որաքսիոմա

է) - երկու կետով սահմանափակված ուղիղ գծի մաս

[ ԱԲ] A, B - հատվածի ծայրերը

Գիտելիքների կիրառում ստանդարտ իրավիճակում

№ 1, № 2, № 4, №7

Ամփոփելով

Քանի՞ գիծ կարելի է գծել մեկ կետով, երկու կետով:

Կարո՞ղ են տարբեր լինել OA և AB ուղիղները, եթե O կետըԱԲ ( ոչ, որովհետև երկուսն էլ անցնում են A-ով և O-ով, և միայն մեկ ուղիղ է անցնում երկու կետով)

Տրված է 2 ուղիղ գիծԱ Եվ բ , հատվում են C կետում, իսկ կետըԴբ(ոչ, քանի որ 2 տողը չի կարող ունենալ 2 ընդհանուր կետ )

Երկրաչափությունը հնագույն գիտություններից է։ Առաջին երկրաչափական փաստերը հայտնաբերվել են բաբելոնյան սեպագիր աղյուսակներում և եգիպտական ​​պապիրուսներում։ (IIIհազարամյակը), ինչպես նաև այլ աղբյուրներում։ Հին հունական ծագում ունեցող «երկրաչափություն» գիտության անվանումը կազմված է երկու հին հունարեն բառերից՝ «ge»՝ «երկիր» և «metreo»՝ «չափում եմ» (չափում եմ երկիրը):

Երկրաչափություն - մաթեմատիկայի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է երկրաչափական պատկերները և դրանց հատկությունները։

1 . Գծեք ուղիղ գիծ: Ինչպե՞ս կարելի է այն պիտակավորել:

2 . Նշի՛ր տրված գծի վրա չպառկած Գ կետը և միավորի՛ր Դ , Ե , Կ ,նույն գծի վրա պառկած .

Սեփականության նշաններ

պատկանում չի պատկանում

3 . Օգտագործելով անդամակցության նշանները, գրեք «Կետ Դ պատկանում է գծին AB,և Գ կետը չի պատկանում գծինԱ».

4 . Օգտագործելով գծանկարը և անդամակցության նշանները՝ գրի՛ր, թե որ կետերն են պատկանում գծին բ , իսկ որոնք չեն:

Քանի՞ գիծ կարելի է գծել տրված կետով Ա.

— Քանի՞ գիծ կարելի է գծել երկու կետով:

Կարո՞ղ է գիծ գծել ցանկացած երկու կետով:

5 .Ուղիղ գծեր գծիր XY Եվ ՄԿ , հատվելով մի կետում ՄԱՍԻՆ .

Այդ ուղիղը նշելու համար XYԵվՄԿհատվում են մի կետում ՄԱՍԻՆ,օգտագործիր ∩ նշանը և գրիր այն այսպես. XY ∩ ՄԿ = Օ.

Քանի՞ ընդհանուր կետ կարող է ունենալ երկու ուղիղ:

6. Ուղիղ գծի վրա Անշեք հաջորդական միավորներ A, B, C,Դ . Գրեք ստացված բոլոր հատվածները:

7 . ուղիղ գծեր նկարել ԱԵվ բ , հատվելով մի կետում Մ.Վրա ուղիղ Անշեք մի կետ Ն , տարբերվում է կետից Մ .

ա) գծերն են MN Եվ Ա տարբեր տողեր?

բ) Կարող է ուղիղ գիծ բ անցնել մի կետով Ն ?

Լուծել խնդիրները:

1) Քանի հատ հատման կետ կարող է ունենալ երեք ուղիղ: Հաշվի առեք բոլոր հնարավոր դեպքերը և կատարեք համապատասխան գծագրեր:

Բացատրական նշում
		Բելիչենկո Աննա Վլադիմիրովնա, մաթեմատիկայի ուսուցիչ
	Ռեսուրսի անվանումը	Նախնական երկրաչափական տեղեկատվություն. Ուղիղ գիծ և կտրեք:
	Ռեսուրսի տեսակը	Ներկայացում + դասի ամփոփում
	Թեմա, UMK	Երկրաչափություն, UMK L. S. Atanasyan
	Ռեսուրսի նպատակը և խնդիրները	Ներկայացրե՛ք «երկրաչափություն» հասկացությունը, պատկերացրե՛ք երկրաչափությունը որպես գիտություն: Մուտքագրեք «Կետ. Ուղիղ. Հատված», որպեսզի կարողանանք տարբերակել այս հասկացությունները նոր նյութի ուսումնասիրման գործընթացում:
	Ուսանողների տարիքը, որոնց համար նախատեսված է ռեսուրսը
	Ծրագիրը, որում ստեղծվել է ռեսուրսը	Microsoft Power, Խոսք
		Համակարգիչ, պրոյեկտոր + էկրան
	Տեղեկատվության աղբյուրները (պարտադիր է)
	Ֆոն-Բաևա Նատալյա Վլադիմիրովնա, ուսուցիչ տարրական դպրոց MKOU «Նովոյարկովսկայայի միջնակարգ դպրոց» Կամենսկի շրջանի Ալթայի երկրամաս, «Գրքեր»; https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE https://yandex.ru/images http://easyen.ru/

Դիտեք փաստաթղթի բովանդակությունը
«Առաջին դաս 7-րդ դասարանում ՀՄԿ Աթանասյան Լ երկրաչափությունից».

Առաջին դասը 7-րդ դասարանում UMK-ի երկրաչափություն Աթանասյան Լ.Ս.« Նախնական երկրաչափական տեղեկատվություն. Ուղիղ գիծ և կտրեք»

Բելիչենկո Աննա Վլադիմիրովնա,

մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Դասի նպատակները. Ներկայացրե՛ք «երկրաչափություն» հասկացությունը, պատկերացրե՛ք երկրաչափությունը որպես գիտություն: Մուտքագրեք «Կետ. Ուղիղ. Սեգմենտ», նոր նյութի ուսումնասիրման գործընթացում կարողանալ տարբերակել այս հասկացությունները:

Դասերի ժամանակ

Կազմակերպման ժամանակ. Անվտանգության ճեպազրույց մաթեմատիկայի դասարանում. Վարքագծի և աշխատանքի կանոններ մաթեմատիկայի դասարանում, երկրաչափության դասերին.

Դասի թեմայի ներածություն.

(Սլայդ 11) Ուղիղ սեփականություն.
Ցանկացած երկու կետերի միջով կարող եք ուղիղ գիծ գծել և միայն մեկը:

(Սլայդ 12)

Սովորվածի համախմբում:

(Սլայդ 13) Մենք դիտարկում ենք առաջադրանքների ճիշտ ձևավորումը: Թիվ 2, 3, 5 դասագրքից։

Անկախ աշխատանք . Ինքնուրույն աշխատանքն իրականացվում է թելադրության տեսքով թերթիկների վրա և ստուգման համար ներկայացվել ուսուցչին:

Պատասխանները:

բ Մ Ե

Մ բ, Ե բ

3. 3 հատման կետ, 1 հատման կետ, 2 հատ հատման կետ, խաչմերուկ չկա:

Տնային աշխատանք. էջ 1.2, պատասխանեք 1-3 հարցերին էջ. 25, թիվ 1, 4, 6, 7

Դիտեք ներկայացման բովանդակությունը
«Երկրաչափության առաջին դաս 7-րդ դասարանում»

Առաջին դասը 7-րդ դասարանում երկրաչափություն UMK Atanasyan L. S. «Նախնական երկրաչափական տեղեկատվություն. Ուղիղ գիծ և հատված»

Բելիչենկո Աննա Վլադիմիրովնա

մաթեմատիկայի ուսուցիչ

MBOU №17 միջնակարգ դպրոց

Կավկազսկի շրջան, Կրոպոտկին

Թալես

Էվկլիդես

Լոբաչևսկի Ն.Ի.

Մորիս Կոռնելիուս Էշեր «Վերելք և իջնել»

Մորիս Կոռնելիուս Էշեր «Ջրվեժ»

Դուք արդեն գիտեք որոշ երկրաչափական ձևեր

անկյուն

եռանկյուն

ուղղանկյուն

շրջան

. կետ

ուղիղ

գծի հատված

ստերեոմետրիա

պլանաչափություն

Հատվածը ուղիղ գծի մի մասն է, որը սահմանափակված է երկու կետով: միավորներ Ա Եվ Բ- հատվածի ավարտը

A և B ծայրերով հատվածը նշանակվում է AB կամ BA:

Այն պարունակում է A և B կետերը և A և B կետերի միջև գծի բոլոր կետերը:

Գիծը կարող է սահմանվել երկու եղանակով.

• փոքր լատինատառ,
• երկու մեծ լատինատառ.

Քանի՞ գիծ կարելի է գծել տրված կետով:

Քանի՞ գիծ կարելի է գծել երկու կետով:

Կարո՞ղ է գիծ գծել ցանկացած երկու կետով:

Ուղիղ սեփականություն.Ցանկացած երկու կետերի միջով կարող եք ուղիղ գիծ գծել և միայն մեկը:

XY ∩ MK = O

Երկու տող կարող է ունենալ կամ մեկ ընդհանուր կետ, կամ ոչ մի ընդհանուր կետ:

№ 1

Գտնել՝ FE - ?

FE = 8 - 5 = 3 սմ

Պատասխան՝ 3 սմ

Անկախ աշխատանք

1. Գծի՛ր և պիտակի՛ր տառով բ. նշեք մի կետ Մպառկած այս գծի վրա և նշիր մի կետ Եայս գծի վրա պառկած չէ. Օգտագործելով սիմվոլիկան պատկանում է - є, չի պատկանում - є, գրեք «M կետն ընկած է b տողի վրա, իսկ E կետը չի ընկած դրա վրա» նախադասությունը:

2. Ինքնաթիռում տրված է երեք միավոր։ Քանի՞ գիծ կարելի է գծել այս կետերի միջով, որպեսզի տրված կետերից առնվազն երկուսը ընկնեն յուրաքանչյուր ուղղի վրա: Կատարեք նկարչություն:

3. Քանի հատ հատման կետ կարող է ունենալ երեք ուղիղ:

• § 1, 2, հարցեր 1 - 3, էջ 25
• № 1, 4, 6, 7

• Լ. Ս. Աթանասյան, «Երկրաչափություն, 7-9 դասարաններ», Մոսկվա, Կրթություն;
• Նախապատմություն - Բաևա Նատալյա Վլադիմիրովնա, տարրական դպրոցի ուսուցիչ, MKOU «Նովոյարկովսկայայի միջնակարգ դպրոց» Կամենսկի շրջանի Ալթայի երկրամաս, «Գրքեր»;
• T. M. Mishchenko, «Երկրաչափություն. Թեմատիկ թեստեր, դասարան 7, Մոսկվա, Կրթություն;
• G. Yu.Kovtun, «Երկրաչափություն. Տեխնոլոգիական քարտեր, 7-րդ դասարան»;
• Ն.Ֆ.Գավրիլովա, «Ունիվերսալ դասի զարգացումներերկրաչափության մեջ, 7-րդ դասարան »;
• https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE
• https://yandex.ru/images
• http://easyen.ru/